第一章 度量空间若在实数集R 中点列n x 的极限是x 时，我们使用||n x x -来表示n x 和x 的接近程度，事实上，||n x x -可表示为数轴上n x 和x 这两点间的距离，那么实数集R 中点列n x 收敛于x 也就是指n x 和x 之间的距离随着n →∞而趋于0，即lim (,)0n n d x x →∞=． 于是人们就想，在一般的点集X 中如果也有“距离”，那么在点集X 中也可借这一“距离”来定义极限，而究竟什么是“距离”呢？或者说“距离”的本质是什么？ 诗人顾城的一首诗《远和近》对距离的感受又如何呢？远和近 你 一会看我 一会看云 我觉得 你看我时很远 你看云时很近这首诗诗似乎是纯理性的，十分冷静，但细细品味，其中暗暗催动着一股热流：呼唤一种相互理解、相互信任、和谐融洽的人际关系．现实距离和心理距离并不总是一致的．现实距离很远，但心理距离却可能很近，“海内存知己，天涯若比邻”，即是此意．也可能现实距离很近，而心理距离却很远，所谓“咫尺天涯”大概就是指此而言了．那么如何给出距离这一概念？1.1 度量空间的定义与极限1.1.1 度量空间的定义与举例定义 1.1.1 设X 为一非空集合．若存在二元映射:d X X ⨯→R ，使得,,x y z X∀∈，均满足以下三个条件：（1）(,)0,d x y ≥且(,)0d x y =当且仅当x y = (非负性 Positivity )； （2）(,)(,)d x y d y x = (对称性 Symmetry )；（3）(,)(,)(,)d x z d x y d y z ≤+ (三角不等式 Triangle inequality )，则称d 为X 上的一个距离函数，称(,)X d 为距离空间或度量空间(Metric Spaces)，(,)d x y 称为x 和y 两点间的距离．□注1：在不产生误解时，(,)X d 可简记为X ．下面我们来看一些具体的例子 例 1.1.1 欧氏空间n R ．设n R 12{(,,,)|,1,2,,}n i x x x x R i n =∈=，定义(,)d x y其中12(,,,),n x x x x = 12(,,,)n y y y y =n R ∈，可以验证(,)n R d 是一个度量空间．在证明之前，引入两个重要的不等式．引理1.1.1 (许瓦兹(Schwarz)不等式) 任给2n 个实数1212,,,,,,,n n a a a b b b ，有112222111()()n nni i iii i i a b ab ===≤∑∑∑ (1.1) 证明 任取实数λ，则由222211110()2nnn ni i ii i i i i i i a b ba b a λλλ====≤+=++∑∑∑∑知右端二次三项式的判别式不大于零，即222111240n nni i i ii i i a b b a===⎛⎫∆=-≤ ⎪⎝⎭∑∑∑于是可得(1.1)式成立．□进一步有H ölder 不等式11111()()nnnpq pqi ii i i i i a ba b ===≤∑∑∑其中,1p q ≥且111p q+=，称这样的两个实数,p q 为一对共轭数． 引理1.1.2 闵可夫斯基(Minkowski)不等式的和形式 任给2n 个实数12,,,n a a a 及12,,,n b b b ，有111222222111()nnni i i i i i k a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1.2)证明 由(1.1)式得2221111()2n nn niiii i i i i i i a b aa b b ====+=++∑∑∑∑1122222211112nnnnii i i i i i i a a b b ====⎛⎫⎛⎫≤+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑211222211n n i i i i a b ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑这就证明了(1.2)式．□进一步可有Minkowski 不等式的一般形式，其中1k≥111111()()()nnnk k k kkki i i i i i i a b a b ===+≤∑∑∑例 1.1.1 欧氏空间n R ． 设n R 12{(,,,)|,1,2,,}n i x x x x R i n =∈=，定义1k ≥(,)d x y =(1.3)其中12(,,,),n x x x x = 12(,,,)n y y y y =n R ∈，可以验证(,)n R d 是一个距离函数．证明 非负性(1)和对称性(2)显然成立，下面仅验证(3)也成立．对于任意的12(,,,)n n z z z z R =∈，由闵可夫斯基不等式(1.2)有()1221ni i i x z =⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∑()1221ni i i i i x y y z =⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦∑≤()1221ni i i x y =⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑()1221ni i i y z =⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑，即(,)(,)(,)d x z d x y d y z ≤+．从而得证d是一个距离函数．□注2：称(,)nR d 为n 维欧氏空间，d称为欧氏距离或标准欧氏距离．今后若不作特殊申明，凡提到度量空间n R ，均指由(1.3)式的欧氏距离所定义的．注3：在n R 中我们还可以定义其他的距离：1(,)max ||k k d x y x y =-；21(,)||nk k k d x y x y ==-∑．可以验证距离1d 、2d 均满足条件(1)、(2)和(3)． 注4：在2R 中比较上述三种距离d、1d 和2d ，可看看他们各表示什么？由此知道，在一个集合上，定义距离的方法可以不止一种．但务必注意的是，由于定义的距离不同，所以即使基本集相同，也应视他们为不同的度量空间．下面的例子说明任何一个集合上均可定义距离，使其成为度量(距离)空间． 例1.1.2 离散度量空间 设X 为非空集合，,x y X∀∈，定义距离00 (,)1x y d x y x y =⎧=⎨≠⎩当时当时 (1.4)容易验证0d 满足距离的三个条件，并称之为离散距离，0(,)X d 为离散度量空间．例 1.1.3 连续函数空间[,]C a b[,]{:[,]|}C a b f a b R f =→连续，,[,]f g C a b ∀∈，定义[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-，证明 显然d 满足非负性(1)和对称性(2)，下面验证(3)也成立．(),(),()[,]f t g t h t C a b ∀∈及[,]t a b ∀∈均有|()()||()()||()()|f t h t f t g t g t h t -≤-+-[,][,]max |()()|max |()(|t a b t a b f t g t g t h t ∈∈≤-+-）(,)(,)d f g d g h =+，故[,](,)max |()()|t a b d fh f t h t ∈=-≤(,)(,)d f g d g h +．称([,],)C a b d 为连续函数空间，简记为[,]C a b ．□注5：在[,]C a b 中我们还可以定义如下的距离：1(,)()()bad f g f x g x dx =-⎰．可以验证1d 均满足条件(1)、(2)和(3)，所以1([,],)C a b d 也为一度量空间．例 1.1.4 有界数列空间l∞121{(,,,,)()| sup{||}}n i i i l x x x x x x ∞≥===<∞，对于()i x x =，()i y y =∈l ∞，定义1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-，可以验证d 是一个距离函数，并称(,)ld ∞为有界数列空间，简记为l ∞．例1.1.5p 次幂可和的数列空间p l121{(,,,,)()| ||,1}pp n i i i l x x x x x x p ∞====<∞<<+∞∑(),()p i i x x y y l ∀==∈，定义11(,)||pp p i i i d x y x y ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ (1.5)(1.5)式是有意义的，因为由闵可夫斯基不等式及pl 的定义知其右端有界．可以证明p d 是一个距离函数．称(,)pp l d 为p 次幂可和的数列空间，简记为pl ．例1.1.6p 次幂可积函数空间[,]p L a b (1)p ≥[,]{()| |()|[a,b]}p p L a b f t f t L =在上可积即：{}[,][,]()||()|p p a b L a b f t f t dt =<+∞⎰在[,]p L a b 中，我们把几乎处处相等的函数视为同一函数． 对于,[,]p f g L a b ∈，定义距离1[,](,)(|()()|)ppa b d f g f t g t dt =-⎰那么([,],)pLa b d 为度量空间． 并称([,],)p L a b d 为p 次幂可积函数空间，简记为[,]p L a b ．分析 集合[,]p L a b 具有下列重要性质：(1)对线性运算是封闭的．即若,[,]p f g L a b ∈，α是一常数，则[,],[,]p p f L a b f g L a b α∈+∈．(2)[,][,](1)p L a b L a b p ⊂≥．设[,]p f L a b ∈，令(||1)A E f =≥，(||1),[,]B E f E a b =<=，则||||||baABf dm f dm f dm =+⎰⎰⎰||()p A f dm b a ≤+-⎰||()pbaf dm b a ≤+-<+∞⎰故(,)f L a b ∈．引理1.1.3 闵可夫斯基(Minkowski)不等式(积分形式): 设()f x 、()g x 是可测集E 上的可测函数且1k ≥()()()111()()()()kkkkkkEEEf xg x dxf x dxg x dx+≤+⎰⎰⎰(1.6)证明 因为1(,)|()()|ppba d f g f t g t dt ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰()()11()()ppppEEf x dxg x dx≤+⎰⎰≤+∞，所以(1.6)式有意义． 显然非负性(1)和对称性(2)成立，下面验证三角不等式(3)也成立． 对于任意的(),(),()[,]p f x g x z x L a b ∈有1(,)|()()|ppba d f g f t g t dt ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰1|()()()()|pp b a f t z x z x g t dt ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎰()()11()()()()ppppEEf x z x dxz x g x dx≤-+-⎰⎰(,)(,)d f z d z g =+ □上述例子涉及到常用的六个度量空间： n 维欧氏空间(,)n R d ；离散度量空间0(,)X d ；连续函数空间[,]C a b ；有界数列空间l ∞；p次幂可和的数列空间pl；p 次幂可积函数空间([,],)p L a b d ．1.1.2 度量空间中的极限极限理论是数学分析的基础, 数学分析主要研究微分和积分, 而极限又是微积分学大厦的基石，在数学分析中, 利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数, 广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分等概念，可见极限思想贯穿于整个数学分析课程，它也是高等数学必不可少的一种重要思想．同样地，在度量空间中也可定义极限，而且分析中的数列极限可看成下列度量空间中点列极限的特例．定义1.1.2 设(,)X d 是度量空间，,{}n x X x ∈是X 中点列，若lim (,)0n n d x x →∞=， 则称点列{}n x 收敛于x ，称x 为点列{}n x 的极限． 记作lim n n x x →∞=，或()dn x x n →→∞或()n x x n →→∞．{}n x 收敛于x 用“N ε-”语言描述是: 0,N ε∀>∃∈N，当n N >时，恒有(,)n d x x ε<成立． 若点列{}n x 不收敛，则称其发散．□例1.1.7 设X 是实数集，数列1(1,2,)n x n n==．若在X 上定义欧氏距离(,)||(,),d x y x y x y X =-∈显然，数列{}n x 在度量空间(,)X d 中收敛于0．若在X 上定义离散距离00,,(,)(,),1,x y d x y x y X x y=⎧=∈⎨≠⎩则数列{}n x 在度量空间0(,)X d 中是发散的．因为对任意给定的0x X∈， 只要01x n ≠，就有01,1d x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以无论n 多么大，有 001lim ,10,n d x n →∞⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭可见数列{}n x 不收敛于0x ．虽然(,)u X d 与0(,)X d 有共同的基本集X，但由于定义的距离的不同，它们是两个不同的度量空间，可见同一点列{}n x 在一个度量空间中收敛，在另一度量空间中却发散．□定义1.1.3 设(,)X d 为度量空间，A X⊂，若将距离限制在A A ⨯上，显然A 也是一个度量空间，称作X 的子空间．若,x X A X∈⊂，则点x 到A 的距离定义为：{}(,)inf (,)y Ad x A d x y ∈= (1.7)集合A 的直径定义为：{},dia sup (,)x y AA d x y ∈= (1.8)若dia A 有限，则称A 为有界集；若dia A =+∞，则称A 为无界集．□在离散度量空间0(,)d R 中点0x A ∉，A ⊂R ，那么0(,)d x A 和dia A 分别是多少？显然(1)当A 是单点集时，有0(,)1d x A =及dia 0A=；(2)当A 不是单点集时，有0(,)1d x A =及dia 1A =．定理1.1.1 极限的性质 设(,)X d 是度量空间， {}n x 是X中的一个点列．（1）若点列{}n x 收敛，则其极限唯一； （2）若点列0()n x x n →→∞，则{}n x 的任何子列0()k n x x k →→∞；（3）若收敛点列{}n x 看作是X 的子集，则它是有界的．证明 （1）设()n x x n →→∞且()n x y n →→∞，由定义知：0,ε∀>N ∃N∈，当n >N 时，有(,),(,)22n n d x x d x y εε<<，故当n >N 时，我们有(,)(,)(,)n n d x y d x x d x y ≤+22εεε<+=．由ε的任意性知，(,)0d x y =，从而x y =．（2）设()n x x n →→∞，{}k n x 是{}n x 的子列．{}n x ： 1234567,,,,,,,,,,n x x x x x x x x{}k n x ：1n x ，2n x ， 3n x ， ,,k n x由定义，0,ε∀>N∃N∈，当n >N 时，有(,)n d x x ε<，由于k >N时，k n k ≥>N，故(,)k n d x x ε<，即()k n x x k →→∞．（3）设0()n x x n →→∞，由定义知：对01ε=，N∃N∈，当n >N时，00(,)1n d x x ε<=．取10200m a x {(,),(,),,(,),1}1M d x x d x x d x x N =+，则n N ∀∈，0(,)n d x x M<，于是,n m N ∀∈，00(,)(,)(,)2n m n m d x x d x x d x x M≤+<．即{}n x 作为点集有界．□例 1.1.8 设{}()n f x 是连续函数空间[,]C a b ([,](,)max|()()|t a b d f g f t g t ∈=-)中的点列，那么 ()()n f x f x ⇒(函数列一致收敛)当且仅当()()n f x f x →(度量空间中的点列收敛)．证明()()n f x f x →()n →∞等价于0,ε∀>N ∃N∈，当n >N 时，有((),())n d f x f x ε<．其中((),())n d f x f x ε<，等价于[,](,)max |()()|n n x a b d f f f x f x ε∈=-<．进一步等价于[,]x a b ∀∈，有|()()|n f x f x ε-<．于是()()n f x f x →()n →∞等价于0,ε∀>N∃N ∈，当n >N时，[,]x a b ∀∈，有|()()|n f x f x ε-<，即()()n f x f x ⇒．□例1.1.9 设(,)d x y 是X 上的一个距离，则1(,)(,)1(,)d x y d x y d x y =+也是X 上的距离．证明 显然非负性和对称性成立，下面仅证三角不等式． 由于(,)d x y 是X上的距离，所以,,x y z X∀∈，有(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+． 又知函数()1t f t t =+21(()0)(1)'f t t =>+为单调递增函数，于是1(,)(,)1(,)d x y d x y d x y =+(,)(,)1(,)(,)d x z d z y d x z d z y +≤++ (()f t 单调递增)(,)(,)1(,)(,)1(,)(,)d x z d z y d x z d z y d x z d z y =+++++(,)(,)1(,)1(,)d x z d z y d x z d z y ≤+++ 11(,)(,)d x z d z y =+ 因此1(,)d x y 是X上的距离． □。
