[指南]第一章 度量空间-黎永锦

拓扑与度量空间拓扑与度量空间是数学中两个重要的概念，它们用于描述空间的结构和性质。

在数学领域中，我们经常需要研究集合上的结构和性质，而拓扑与度量空间为我们提供了两种不同的观察和分析空间的方法。

一、拓扑空间的概念拓扑空间是一种用于描述空间结构的数学概念。

它基于集合论中的集合和集合操作，并引入了开集和闭集的概念。

对于一个集合X，在X上定义一个拓扑T，即可构成一个拓扑空间。

拓扑空间中的开集是一个非常重要的概念。

开集可以定义为满足以下条件的集合：对于任意一个集合中的元素x，存在一个包含x的开集，使得这个开集完全包含于所定义的集合中。

闭集是开集的补集。

闭集满足以下条件：一个集合是闭集，当且仅当它的补集是一个开集。

在拓扑空间中，我们可以通过开集和闭集的概念，研究集合的连通性、紧致性以及其他的拓扑性质。

通过分析和定义拓扑空间中的开集和闭集，我们可以研究集合上的结构和性质。

二、度量空间的概念度量空间是另一种描述空间结构的方法。

与拓扑空间不同，度量空间引入了度量的概念。

度量是集合中两个元素之间的距离函数，它可以度量集合中任意两个元素之间的距离。

在度量空间中，我们可以通过度量的定义，研究集合中元素之间的距离、邻域以及其他的性质。

度量空间中的度量函数需要满足一些条件，如非负性、对称性和三角不等式等。

这些条件保证了度量函数的准确性和可靠性。

通过度量的定义，我们可以研究集合的完备性、连通性以及其他与距离相关的性质。

度量空间为我们提供了一种具体和直观的方法，来描述空间中元素之间的距离和关系。

三、拓扑空间与度量空间的关系拓扑空间和度量空间在某种程度上是相互联系的。

事实上，度量空间是拓扑空间的一种特例。

在某些情况下，可以通过给定度量构造对应的拓扑，而将度量空间转化为拓扑空间。

这种转化不仅保留了度量空间中元素之间的距离关系，还引入了开集和闭集的概念。

拓扑空间和度量空间的关系也可以从另一个角度理解。

在某些情况下，我们可以通过拓扑的性质来构造度量。

度量空间与完备度量空间的基本性质度量空间是数学中一种常见且重要的概念，它为我们研究空间中的距离和收敛性提供了数学工具。

在度量空间的基础上，还衍生出了完备度量空间这一概念，它具有更强的完备性质。

本文将介绍度量空间与完备度量空间的基本性质，并探讨它们在数学分析中的应用。

一、度量空间的基本性质度量空间是一种集合，其中每个元素都与其他元素之间存在一种（非负）距离关系。

设X为非空集合，d为X上的度量（距离）函数，若满足以下四个条件，即称(X,d)为一个度量空间：1. 非负性：对于任意x, y∈X，有d(x,y) ≥ 0，且当且仅当x = y时，有d(x,y) = 0；2. 同一性：对于任意x, y∈X，有d(x,y) = d(y,x)；3. 对称性：对于任意x, y, z∈X，有d(x,y) + d(y,z) ≥ d(x,z)（三角不等式）；4. 三角不等式：对于任意x, y∈X，有d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)。

基于以上性质，我们可以推导出诸多重要结论，例如嵌套定理、开覆盖定理等，这些定理在实际问题的分析和求解中具有重要应用。

二、完备度量空间的基本性质在度量空间的基础上，完备度量空间引入了“序列收敛性”的概念。

设(X,d)为一个度量空间，如果X中的任意柯西序列都在X中收敛，则称(X,d)为一个完备度量空间。

柯西序列是指对于任意ε > 0，存在自然数N，使得当m, n > N时，有d(xm, xn) < ε。

它反映了序列中元素之间逐渐趋近的特性。

若在柯西序列的度量空间中存在极限元素，即序列中的所有项无限接近该极限元素，则说明该度量空间是完备的。

完备度量空间的重要性质有：1. 完备度量空间是闭集：对于给定的完备度量空间(X,d)，如果一个集合是某个闭集的子集，则该集合也是完备度量空间。

2. 内积空间和赋范空间是完备度量空间的特例：内积空间和赋范空间是更加特殊的度量空间，它们都是完备度量空间。

拓扑群方面的书籍
在拓扑群方面，有一些比较经典的书籍可以参考，例如《拓扑群引论》和《拓扑群引论（第二版）》。

《拓扑群引论》由黎景辉、冯绪宁编著，介绍了拓扑群的基本概念、测度与积分、拓扑群（特别是紧、局部紧的拓扑群）的表示，同时讨论了齐性空间、群代数和K理论的一些相关结果。

内容由浅入深，直至近代的重要成果，适用于大学数学系本科生和研究生阅读参考。

《拓扑群引论（第二版）》在第一版的基础上进行了修订和扩展，增加了新的内容和应用实例，更加适合大学数学系本科生和研究生的学习和研究。

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泛函分析讲义-黎永锦134部分习题解答意义深刻的数学问题从来不是一找出解答就完事了,好象遵循着的格言,每一代的数学家都重新思考并重新改造他们前辈所发现的解答,并把这 解答纳入当代流行的概念和符号体系之中L. Bers （贝尔斯）（1914-1993,美国数学家）习题一1.2 设∑=∞≤∈=n i ii i x R x x l 11}||,|){(,对任意1)(),(l y y x x i i ∈==,∑∞=-=1||),(i iiy x y x d ,||sup ),(i i y x y x -=ρ, 试证明d 和ρ为X 上的两个度量,且存在序列1}{l x n ⊂,1l x o ∈,使得0),(0→x x n ρ,但),(0x x d n 不收敛于0.1.2证明：（1）只须按度量定义验证即可知道为上的两个度量(,)d x y 和(,)x y ρ为 1l 上的两个度量.（2）取111(,,,,0,)n x n n n= 当i n ≤时,()1n i n x = , 当i n >时()0n ix =,则1n x l ∈且()1(,0)sup |0|0n n inx xρ=-=→,但()111(,0)|0|1nn n in i i d x x∞===-==∑∑.因此(,0)0n x ρ→,但),(0x x d n 不收敛于0.黎永锦-部分习题解答1351.4 试找出一个度量空间),(d X ,在X 中有两点y x ,,但不存在X z ∈,使得=),(z x d ),(21),(y x d z y d =. 1.4 证明：在2R 上取离散度量(,)d x y =0, 1,.x y x y ⎧=⎨≠⎩当时当时,则对于x y ≠,有(,)1d x y =,但不存在2z R ∉,使得12(,)(,)(,)d x z d y z d x y ==.1.6 在∞l 中,设F 为的非空子集,G 为开集,试证明G F +为开集.1.6证明：由(,)sup ||i i d x y x y =-可知,对任意,x y l ∞∈,有(,)(,0)d x y d x y =-,若G 是开集,则对于任意,x F y G ∈∈,有开球(,)U y r G ⊂.故(,)x U y r x G +⊂+,因而G x r y x U +⊂+),(,从而对任意,x F x G ∈+是开集,由()x FF G x G ∈+=+ 可知F G +是开集.1.8 在∞l 中,设|){(i x M =只有限个i x 不为0},试证明M 不是紧集. 1.8证明：取()()n n i x x =,当i n >时,()0n ix =当i n ≤时,()1n i i x = ,则n x M ∈,且lim n n x x →= ,这里112(1,,,,)n x = ,但x M ∉,因此M 不是闭集,所以M 不是紧集.1.10 设),(d X 为度量空间,X F ⊂,试证明CC F F )(0=.1.10证明：对于任意0x F ∈,有0(,)U x r F ⊂,故φ=C F r x U ),(,因而C C F x )(∈,从而C C F F )(0⊂.对于任意C C F x )(∈,有()Cx F ∉,因而存在φ=C F r x U ),(,故(,)U x r F ⊂,从而0x F ∈,故0)(F F C C ⊂.所以,0()C CF F ⊂.1.12 设),(d X 为度量空间,X F ⊂,试证明}|),(inf{),(F y y x d F x d ∈=为X 到 ),0[+∞的连续算子.泛函分析讲义-黎永锦1361.12 证明：对于任意,x z X ∈,有.(,)inf{(,)|}inf{(,)(,)|}(,)inf{(,)|}(,)(,)d x F d x y y F d x z d y z y F d x z d y z y F d x z d z F =∈≤+∈=+∈=+故(,)(,)(,)d x F d z F d x z -≤类似地,有(,)(,)(,)d z F d x F d z x -≤因此|(,)(,)|(,)d x F d z F d x z -≤所以,0n x x →时,必有0(,)(,)n d x F d x F →,即(,)d x F 是连续函数. 1.14 设),(d X 为度量空间,F 为闭集,试证明存在可列个开集n G ,使n G F =.1.14 证明：由于F 是闭集,因此{|(,)0}F x d x F ==,又因为(,)d x F 是连续的,所以对任意1,{|(,)}n n x d x F <是开集,从而对于开集1{|(,)}n n G x d x F =<,有1{|(,)0}{|(,)1/}n F x d x F x d x F n ∞====< ，所以1n n F G ∞== .1.16 试证明∞l 是完备的度量空间.1.16证明：设{}n x 为 ∞l 的Cauchy 列,则对于任意0ε>,存在 N,使得n N >时有()()(,)sup ||n p n n p n i i d x x x x ε++=-<.故对每个固定的i,有()()||(,1)n p n i i x x n N p ε+-<>>.因此(){}n i x 是Cauchy 列.因而存在i x ,使得()lim n ii n x x →∞=,令()i x x =,则由可知(1)||N i i x x ε+-≤故黎永锦-部分习题解答137(1)||||N i i x x ε+≤+由于(1)1()N N ix x l ++∞=∈,因此存在常数1N M +使得11sup ||N i N x M ++≤<+∞.又由()()||n p n ii x x ε+-<可知||n i i x x ε-<对任意i 及n N ∈成立.故()(,)sup ||n n i i d x x x x ε=-<所以,n x x →,即l ∞是完备的度量空间. 1.18 证明0c 中的有界闭集不一定是紧集.1.18 证明：令{()|||1}i i M x x =≤,则M 是0c 的有界闭集,但M 是不紧集.1.20 设),,1[+∞=X |/1/1|),(y x y x d -=,试证明),(d X 为度量空间,但不是完备的. 1.20证明：容易验证|/1/1|),(y x y x d -=是),(d X 的度量.取X x n ∈,),1[+∞∈=n x n ,则}{n x 为X 的Cauchy 列，但}{n x 没有极限点，因此}{n x 不是收敛列，所以不是完备的.1.22 试证明度量空间),(d X 上的实值函数f 是连续的当且仅当对于任意R ∈ε,})(|{ε≤x f x 和})(|{ε≥x f x 都是),(d X 的闭集.1.22证明: 若度量空间),(d X 上的函数f 是连续的,则明显地,对于任意R ∈ε,})(|{ε≤x f x 和})(|{ε≥x f x 都是),(d X 的闭集.如果对于任意R ∈ε,})(|{ε≤x f x 和})(|{ε≥x f x 都是),(d X 的闭集,则于任意R ∈21,εε,容易知道})(|{})(|{\})(|{2121εεεε≥≤=<<x f x x f x X x f x 是开集,对于R 上的开集G ,有G 的构成区间),(n n βα,使得),(n n G βα =,因而)(1G f -是开集,所以f 是连续的.1.24 设R 为实数全体,试在R 上构造算子T ,使得对任意R y x ∈,,y x ≠,都有||||y x Ty Tx -<-,但T 没有不动点.泛函分析讲义-黎永锦1381.24证明：(1) 设R 为实数全体,12:,tan T R R Tx x x π-→=+- 则对任意,,x y R x y ∈≠,由'()()()()f x f y f x y ξ-=-可知22|()()|||||1f x f y x y x y ξξ-=-<-+ 但f(x)没有不动点.实际上,若()x f x = ,则1tan 2x π-=,因而矛盾.(2) 设),,1[+∞=X 11:,x T X X Tx x +→=+ 则对任意,,x y R x y ∈≠,由'()()()()f x f y f x y ξ-=-可知21|()()|[1]||||(1)f x f y x y x y ξ-=--<-+但f(x)没有不动点.实际上,若()x f x =,则110x +=,矛盾,所以f(x)没有不动点.1.25 设函数),(y x f 在)},(],,[|),{(+∞-∞∈∈=y b a x y x H 上连续,处处都有偏导数),('y x f y ,且满足+∞<≤≤<M y x f m y ),('0试证明0),(=y x f 在],[b a 上有唯一的连续解)(x y ϕ=. 提示：定义:],[],[:b a C b a C T →为),(1ϕϕϕx f MT -= 证明T 为压缩算子,然后利用S. Banach 不动点定理.1.26 设),(d X 为度量空间,T 为X 到X 的算子,若对任意X y x ∈,,y x ≠,都有 ),(),(y x d Ty Tx d <,且T 有不动点,试证明T 的不点是唯一的.1.26证明：反证法,假设A 有两个不动点12,x x ,使得1122,A x x A x x ==,则121212(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x =<但这与12x x ≠矛盾,所以A 只有唯一的不动点.黎永锦-部分习题解答1391.27 设),(d X 为度量空间,且X 为紧集,T 为X 到X 的算子,且y x ≠时,有),(),(y x d Ty Tx d <,试证明T 一定有唯一的不动点.证明思路：构造X 上的连续泛函),(),(y x d Ty Tx d <,利用紧集上的连续泛函都可以达到它的下确界,证明存在X x ∈0,使得}|)({inf )(0X x x f x f ∈=,0x 就是T 的不动点. 1.28 试构造一个算子22:R R T →,使得T 不是压缩算子,但2T 是压缩算子.1.28证明：定义)0,(),(:221x x x T →,则T 不是压缩算子,但2T )0,0(),(:21→x x 是压缩算子.1.30 设||),(),,1[y x y x d X -=+∞=,x x Tx X X T /13/,:+=→,试证明T 是压缩算子. 1.30证明：由 x x Tx /13/+=,可知|/13//13/|||y y x x Ty Tx +--=-),(32|||131|2y x d y x ≤--=ξ,所以T 是压缩算子.习题二2.2 设X 为赋范线性空间,||||⋅为X 上的范数,定义⎩⎨⎧≠+-==.y x 1||||；y x ,0),(时当时当，y x y x d试证明),(d X 为度量空间,且不存在X 上的范数1||||⋅,使得1||||),(y x y x d -=. 2.2证明：由度量的定义可知是X 上的度量.假设存在X 上的范数1||||⋅,使得1(,)||||d x y x y =-,则对于,K x X λ∈∈,一定有11||||||||||x x λλ=⋅.泛函分析讲义-黎永锦140如果取001,,||||12x X x λ=∈=,则 001000013||||||||1||||||1122x x x λλλ=+=⋅+=+= , 但是1)11(21)1||(||||||||||00100=+=+=x x λλ,因此11||||||||||x x λλ=⋅不成立,所以一定不存在X 上的范数1||||⋅,使得1(,)||||d x y x y =-.2.4设M 是赋范空间X 的线性子空间,若M 是X 的开集,证明M X =.2.4证明：由于M 是线性子空间,因此0M ∈.由M 是开集可知存在(0,){|||||}U x x M εε=<⊂.因而对于任意,0x M x ∈≠,有),0(2εεU x∈,从而M x∈2ε,因为M 是线性子空间,所以x M ∈,即M X =.2.6设X 是赋范线性空间,若λλλλ→∈∈n n n X x x K ,,,,且x x n →,试证明x x n n λλ→.2.6证明：由n x x →可知存在0M >,使得||||x M ≤,故||||||||||||||||||||||||||||||||0n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x M x x λλλλλλλλλλλλ-≤-+-≤-⋅+⋅-≤-+⋅-→所以,n n x x λλ→.2.10 在∞l 中,若M 是∞l 中只有有限个坐标不为零的数列全体,试证明M 是∞l 的线性子空间,但M 不是闭的.2.10证明：明显地M 是线性子空间,取112(1,,,,0,0)n n x = ,则n x M ∈ 且0n x x →,但1102(1,,,,0,0)n x M =∉ ,所以M 不是闭的子空间.2.12 设R R f →:,满足)()()(y f x f y x f +=+对任意X y x ∈,成立，若f 在R 上连续,试证明f 是线性的.黎永锦-部分习题解答1412.12证明：由)()()(y f x f y x f +=+可知,)()(x nf nx f =对所有正整数N n ∈都成立.并且)()()(m x mf m x m x m x f x f =+⋅⋅⋅++=,故)(1)(x f mm x f =对所有正整数N m ∈都成立.因此所有正有理数Q q ∈都有)()(x qf qx f =成立,由)()())((x f x f x x f -+=-+和)0()0()0(f f f +=可知0)0(=f 并且)()(x f x f -=-,因而)()(x qf qx f =对所有有理数Q q ∈都有成立.由于f 在R 上连续,因此,对于任意R ∈α,有Q q n ∈,使得α→n q ,从而)()(lim )(lim )(x f x f q x q f x f n n n n αα===∞→∞→,所以f 是线性的.2.14设X 是有限维Banach 空间,n i i x 1}{=为X 的Schauder 基,试证明存在*∈X f i ,使得1)(=i i x f ,且0)(=j i x f ,对j i ≠成立.2.14证明：令{|}i j M span x i j =≠,则M 是 n-1维的闭子空间,且i i x M ∉,由Hahn Banach -定理可知存在*,||||1i g X x ∈=,使得()(,)i i i i g x d x M =,且()0g x =对任意i x M ∈成立,令(,)ii i g i d x M f = ,则*i f X ∈,且()1,()0i i i j f x f x ==,对任意i j≠成立.2.16设X 是赋范空间,M 为X 的闭线性子空间,M X x \0∈,试证明存在*∈X f ,使得),(1||||,1)(00M x d f x f ==,且0)(=x f ,对所有M x ∈成立.2.16证明： 由M 是闭线性子空间,M X x \0∈因此,因此0(,)0d x M >存在*,||||1g X g ∈=,使得00()(,)g x d x M =,且()0g x =对于任意x M ∈成立.令0(,)gd x M f =,则00||||10(,)(,)()1,||||g d x M d x M f x f ===,且()0f x =对任意x M ∈成立.2.18设X 是严格凸空间,试证明对任意,0,0,,≠≠∈y x X y x 且||||||||||||y x y x +=+时,有0>λ 使得x y λ=.2.18证明：假设存在00,x y ,使得0000||||||||||||x y x y +=+,但00x y λ≠,对任意0λ>成泛函分析讲义-黎永锦142立,则0000||||||||xy x y ≠,故有0000000000||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||1x x y yx y x x y y ++⋅+⋅<因而0000||||||||||||1x yx y ++< 但这与0000||||||||||||x y x y +=+矛盾,所以||||||||||||y x y x +=+时,有x y λ=对某个0λ>成立.2.20试证明1l 和∞l 都不是严格凸的赋范线性空间. 2.20证明：在1l 中,取1111(,0,,0,0,,0),(0,,0,,0,,0)2222x y == ,则||||1,||||1x y ==,且x y ≠,但||||2x y +=,因而1l 不是严格凸的.类似的,在∞l 中,取(1,0,1,0,0,,0),(1,1,0,,0)x y == ,则 ||||1,||||1x y ==,且x y ≠,但 ||||2x y +=,所以l ∞不是严格凸的.2.22举例说明在赋范线性空间中,绝对收敛的级数不一定是收敛级数.2.22证明：令{()|N 0}i i i X x x R i N x =∈>=存在某个，使得时，有,定义1||||||()||||i i i x x x ∞===∑,则(,||||)X ⋅是赋范空间,取12(0,0,,0,,0,0,,0)n n x = ,则1211||||nni i x∞∞===∑∑,因此1ni x∞=∑绝对收敛,但级数1ni x∞=∑不收敛.2.24 设是X 赋范线性空间,,,X x x n ∈x x n →,试证明对任意*∈X f ,有)||||()||||(x xf x x f n n →. 2.24证明：由x x n →可知, ||||||||x x n →,因而,||||||||x xx x n n →,所以, ≤-|)||||()||||(|x x f x x f n n 0||||||||||||||||→-x xx x f n n . 2.26在]1,0[C 中,]},[),()(|)({b a C x b x a x t x M ∈==,试证明M 是]1,0[C 的完备线性子空间.黎永锦-部分习题解答1432.26证明：容易验证M 是]1,0[C 的线性子空间.由于]1,0[C 是完备赋范线性空间,M 是]1,0[C 的闭子空间,因此M 是]1,0[C 的完备线性子空间.2.28 在2R 中,取范数||||||||21x x x +=，}|)0,{(11R x x M ∈=,则M 为2R 的线性子空间,对20)1,0(R x ∈=,试求出M y ∈0,使得),(||||000M x d y x =-.2.28证明：由于1||})1,(inf{||}|||inf{||),(100≥=∈-=x M y y x M x d ,并对于M y ∈=)0,0(0,有1||)1,0(||||||00==-y x ,所以1),(0=M x d ,且),(||||000M x d y x =-.习题三3.2 设1)(l x i ∈,算子11:l l T →, 1)(),3(l x x x Tx i i i∈==任意,试证明T 是线性有界算子,并求||||T .3.2证明： 由T 的定义可知T 是线性算子,且||||31||31||)3(||||||1x x x Tx i i i =≤=∑∞=, 因此13||||T ≤,从而T 是线性有界算子.取0(1,0,,0)x = ,则01x l ∈,且0||||1x =,故01||||||||3T Tx ≥=,所以1||||3T =. 3.4 设),(Y X L T ∈,试证明||||sup ||||1||||Tx T x <=.3.4证明：由于||||||||sup ||||supsup 111T x Txx Tx Tx x x x =≤≤≠<<,因此Tx T x 1||||sup ||||<≥.对于任意10n >,由||||sup ||||||||sup ||||||||sup||||1||||0||||0||||Tx x xT x Tx T x x x =≠≠===可知,有||||1n x =,使得1||||||||n n Tx T ≥-,故111||(1)||(1)(||||)n n n n T x T -≥--,因而111||||1sup ||||||(1)||(1)(||||)n n n n x Tx T x T <≥-≥--对任意n 成立泛函分析讲义-黎永锦144从而||||1||||sup ||||x T Tx <≤,所以||||sup ||||1||||Tx T x <=3.6 设X 是赋范空间,X x ∈α,若对任意*f X ∈,有+∞<|)(|sup ααx f ,试证明+∞<||||sup ααx .3.6 证明：定义*:,()()T X K T f f x ααα→=,则T α是*X 到K 的线性有界算子,且对于任意*f X ∈,有sup |()|sup |()|T f f x ααα=<+∞因为任意赋范空间X 的共轭空间 *X 都是完备的,因此由一致有界原理,有sup ||||T α<+∞.由αT 的定义可知||)(||sup |)(||sup ||||1||||1||||αααx f f T T f f ====故||||||||T x αα=,所以,sup ||||x α<+∞.3.7 设X ,Y 是赋范空间,}0{≠X , 试证明Y 是Banach 空间当且仅当),(Y X L 是Banach 空间.证明思路：明显地,只需证明),(Y X L 是Banach 空间时,Y 是Banach 空间.由于}0{≠X ,因此有1||||,00=∈x X x ,故由Hahn-Banach 定理存在1||||=f ,使得1||||)(00==x x f .若Y y n ∈}{是Cauchy 列,定义算子列),(Y X L T n ∈为n n y x f x T )(=,则),(Y X L T n ∈,并且||||||||n m n m y y T T -=-,因而}{n T 为),(Y X L 的Cauchy 列,所以存在),(Y X L T ∈,使得T T n →.不难证明0Tx y n →,从而Y 是Banach 空间.3.8 设X 是Banach 空间,*X f n ∈且对任意)()(lim ,x f x f X x n n =∈∞→,试证明*∈X f .3.8证明： 由于lim ()()n n f x f x →∞=,因此sup{|()|}n f x <∞对任意x 成立,由X 是Banach黎永锦-部分习题解答145空间可知sup{||||}n f M <<∞因而|()|||||||||||||n n f x f x M x ≤⋅<,所以|()|||||f x M x ≤,即f 是X 的线性连续泛函. 3.10 设X ,Y 是赋范空间,Y X T →:是线性算子,且T 是满射,若存在0>M ,使得||||||||x M Tx ≥对任意X x ∈成立,试证明1-T 是线性连续算子,且MT1||||1≤-. 3.10 证明：由||||||||Tx M x ≥可知T 是单射,因而1T -存在,且对于任意y Y ∈,由T 满射可知存在x X ∈,使得y Tx =,容易验证T 是线性算子,故1111||||||||||||||||||||T y T Tx x Tx y --==≤=,所以,1T -连续,且11||||MT-≤.3.12 设X 是Banach 空间,f 是X 上的非零线性泛函,试证明f 一定是开映射. 3.12证明：由0f ≠可知存在00x ≠,使得0()1f x =,故对于X 的开集G 及任意()f G α∈,必有x G ∈,使得()f x α=,由于是G 开集,故有0ε>,使(,)U x G ε⊂,因此对00,||||||x x x λλε+<,有0x x G λ+∈,因而0()f x x G λ+∈,但00()()()f x x f x f x λλαλ+=+=+,故(,)()f G αεαε-+⊂ ,即α为G 的内点,所以()f G 为开集,即f 一定开映射.3.13 设X 是赋范空间,T 是从X 到X 的线性算子,X T D =)(,S 是从*X 到*X 的线性算子,*=X S D )(若对任意*∈∈X f X x ,,有)())((Tx f x Sf =,试证明T 和S 都是线性连续算子.证明思路：先证S 为闭算子,从而S 是线性连续算子,然后利用Hahn-Banach 定理的推论可泛函分析讲义-黎永锦146知, 当0≠Sx 时,存在1||||,*=∈f X f ,使得||||)(Sx Sx f =,不难进一步证明T 为是线性连续算子.3.14 设X ,Y 是赋范空间,T 为X 到Y 的闭线性算子,F 为X 的紧集,试证明)(F T 为Y 的闭集.3.14证明：若()n y T F ∈,且0n y y →,则存在n x F ∈使得()n n y f x =,由于F 是紧集,因此存在k n x ,使得0k n x x →,且0x F ∈.由0y Tx k n →及T 是闭线性算子可知0y Tx =,所以0()y T F ∈,即)(F T 是闭集.3.15 设X 为Banach 空间,T 为X 到X 的线性算子,若T T =2,且)(T N 和)(T R 都是闭的,试证明),(X X L T ∈.证明思路：由于T 的定义域为X ,因此明显地,只需证明T 为闭线性算子.设有点列X x n ∈}{,X y x ∈,,当∞→n 时,x x n →,y Tx n →.由)(T R 是闭的,)(T R Tx n ∈可知必有X x ∈0,使得0Tx y =.由于T T=2,因此0)(2=-=-n n n n Tx x T x Tx T ,即)(T N x Tx n n ∈-.由)(T N 是闭的,可得)()(lim T N x Tx x y n n n ∈-=-∞→,从而0)(=-x y T .因此y Tx Tx T Ty Tx ====00)(,所以T 为闭线性算子.由闭图像定理可知),(X X L T ∈3.16 设X ,Y 赋范空间,),(,Y X L T T n ∈,若n T 强收敛于T ,试证明n T 弱收敛于T . 3.16证明：由于n T 强收敛于,因此T 对任意x X ∈,有||||0n T x Tx -→,故对于任意*f Y ∈,有|()()||()|||||||||0n n n f T x f Tx f T x Tx f T x Tx -=-≤⋅-→,所以n T 弱收敛于T .黎永锦-部分习题解答147习题四4.2 试证明∞=l l *1.4.2证明：对于任意1x l ∈,有11lim ni ii i n i i x x ex e ∞→∞====∑∑,故对于任意*1f l ∈,有11()lim ()lim ()nni i i i n n i i f x f x e x f e →∞→∞====∑∑由于1111|()||||()|||||||||||||||||n n n niiiiiiii i i i x f e x f e x f e x f ====≤≤⋅⋅=⋅∑∑∑∑因此由1()i x x l =∈可知1||n ii x =∑收敛,从而1()niii x f e =∑绝对收敛,且11|()||()|sup |()|sup |()|||||i i i i i i i f x x f e f e x f e x ∞∞===≤=⋅∑∑令()(())i i y f e α==,则y l ∞∈,且对于任意,都1()i x x l =∈,有1()i i i f x x α∞==∑ 且||||||||f y =.反过来,对于任意 ()i y l α∞=∈,则定义f 为11(),()i iii f x x x x l α∞==∀=∈∑则f 是上的线性连续泛函,且||||sup ||||||i f y α==,所以 ∞=l l *1 4.4 试证明1*l l ≠∞.4.4证明： 用反证法,假设 *1l l ∞=,则由于1l 是可分的,因此是l ∞可分的,但这与1l 不可分矛盾,所以1*l l ≠∞泛函分析讲义-黎永锦1484.6 试证明在2l 中强收敛比按坐标收敛强.4.6证明：若()(0)202(),()n n i i x x l x x l =∈=∈,且0n x x →,则()(0)21/21(||)0n i i i x x ∞=-→∑因此,对于任意i 有()(0)()(0)21/21||(||)n n iii i i xxx x ∞=-≤-∑从而()(0)n ii x x →,所以强收敛比按坐标收敛强.4.7 设X 是无穷维的赋范空间,试证明*X 一定也是无穷维的赋范空间.证明思路：对于任意的自然数n ,由于X 是无穷维的赋范空间,因此存在n 个线性无关的的X e e e n ∈⋅⋅⋅,,,21,由Hahn-Banach 定理,不难证明存在*21,,,X f f f n ∈⋅⋅⋅,使得都成立对任意并且j i e f e f j i i i ≠==,0)(,1)(,从而只需证明n f f f ,,,21⋅⋅⋅是线性无关的,则n X >)dim(*,所以*X 一定也是无穷维的赋范空间.4.8设X 是赋范空间,X x x n ∈,,x x wn −→−,若}{n x 是相对紧的,试证明x x n −→−. 4.8证明：由于{}n x 是相对紧的,因此存在子列{}k n x 收敛于y ,但n x 弱收敛于x ,因此对于任意*f X ∈,有()()k n f x f x →.由{}k n x 收敛于y 可知|()()|||||k kn n f x f y f x y -≤⋅-→,从而()()f x f y =,对任意成*f X ∈立.因而x y =.故k n x x →,所以x x n −→−. 4.10设Y X ,为赋范空间,),(Y X L T ∈,若x x w n −→−,试证明Tx Tx wn −→− 4.10证明：对于任意*g Y∈,定义X 上的泛函()()f x g T x =,则由|()||()||||||f x g T x g T x =≤⋅⋅,可知f 是X 上的线性连续泛函,由于n x 弱收敛x ,因黎永锦-部分习题解答149此()()n f x f x →,因而()()n g Tx g Tx →,所以n Tx 弱收敛Tx .4.12 设X 为Banach 空间,*,,,X f f X x x n n ∈∈n x 弱收敛于x ,且n f 收敛于f ,试证明)()(x f x f n n →.4.12证明：由于n x 弱收敛于x 时,有0M >,使得||||n x M ≤<∞,因此|()()||()()||()()||||||||||()()||||||()()|n n n n n n n n n n n f x f x f x f x f x f x f f x f x f x M f f f x f x -≤-+-≤-⋅+-≤-+-所以,当n x 弱收敛于x ,且n f 收敛于f 时,有()()n n f x f x →.4.14设Y X ,是Banach 空间,),(Y X L T ∈,且1-T 存在且有界,试证明*T 的逆存在且*11*)()(--=T T .4.14证明：由 **11*()()T T T T I --==及 1**1*()()T T TT I --==可知*1()T -存在,并且*11*)()(--=T T .4.16设X 是赋范空间,}{,0n w n x span M x x =−→−,试证明M x ∈0. 4.16证明：反证法,假设0x M ∉,则由于M 是闭子空间,因此0(,)0d x M >,故由Hahn Banach-定理可知存在*f X ∈,使得00()(,)f x d x M =且对于任意 ,()0x M f x ∈=,所以00()0,()(,)0n f x f x d x M ==>,但这与n x 弱收敛于0x 矛盾,因而n x 弱收敛0x 时,一定有0x M ∈.习题五泛函分析讲义-黎永锦1505.2设X 是内积空间,X y ∈,试证明),()(y x x f =是X 上的线性连续泛函,且||||||||y f =.5.2证明： 由()(,)f x x y =可知f 线性泛函,且|()||(,)|||||||||f x x y x y =≤⋅,因此f 是X 上的连续线性泛函,并且||||||||f y ≤,取||||y y x =,则||||||||1,|()||(,)|(,)||||y y x f x x y y y ====，所以，||||||||f y =.5.4 设X 是内积空间,X e e n ∈,,1 ,若=),(j i e e ⎩⎨⎧=≠.1j,0j i ，i试证明n e e ,,1 线性无关.5.4证明：若12,,,n e e e X ∈ ,且=),(j i e e ⎩⎨⎧=≠.1j ,0j i ，i则对于i K α∈,当10ni ii eα==∑时,有1(,)0ni i i i i e e αα===∑.因此120n ααα==== ,所以12,,,n e e e 线性无关.5.6 设M 是Hilbert 空间X 的闭真子空间,试证明⊥M 含有非零元素.5.6 证明： 由M 是X 的真子空间,因而对\x X M ∈,存在0x M ⊥∈,使得 00x x y =+,由x M ∉及0x M ∈可知00x x -≠所以0y ≠,且y M ⊥∈,即M ⊥含有非零元.5.8 设M 是Hilbert 空间X 的闭真子空间,试证明⊥⊥=M M .5.8证明：由于M M⊥⊥⊂,因此只须证MM ⊥⊥⊂.对于任意x M ⊥⊥∈有y M ⊥∈使得0x x y =+,由M M ⊥⊥⊂可知0x M ⊥⊥∈,故0x x M ⊥⊥-∈,因此0y x x M ⊥⊥=-∈,所以y y ⊥,因而0y =,从而MM ⊥⊥⊂.黎永锦-部分习题解答1515.9 设f 是实内积空间3R 上的线性连续泛函,若32132)(x x x x f ++=,试求X y ∈,使得),()(y x x f =.5.9 解答:取)3,2,1(,3=∈y R y ,则一定有32132)(x x x x f ++=. 5.10 设M 是内积空间X 的非空子集,试证明⊥⊥⊥⊥=M M . 5.10 证明：由()MM ⊥⊥⊥⊥⊥⊥=可知, M M ⊥⊥⊥⊥⊂.反过来,对任意x M ⊥⊥⊥∈,及y M M⊥⊥∈⊂,可知(,)0x y =,因而x y ⊥对于任意y M ∈成立,故x M ⊥∈因此M M ⊥⊥⊥⊥⊂,所以M M ⊥⊥⊥⊥=.5.12 设X 是Hilbert 空间,M 、N 是X 的闭真空间,N M ⊥,试证明N M +是X 的闭子空间.5.12证明：明显地N M +是X 的线性子空间,因此只须证N M +在X 中是闭的,若,,n n n n x y M N x M y N +∈+∈∈,且n n x y z +→,则由于X 是Hilbert 空间,M 是闭子空间,因此,,z x y x M y M ⊥=+∈∈,故,n n x x M y y M ⊥-∈-∈.因而22222||||||||||||||()||||||0n n n n n n n n x x y y x x y y x y x y x y z -+-=-+-=+-+=+-→,所以,n n x x y y →→,故,,z x y x M y N =+∈∈,即N M +是的X 闭子空间. 5.14 设X 是内积空间,X y x ∈,,试证明y x ⊥的充要条件为对任意K ∈α,有||||||||y x y x αα-=+.5.14 证明：若x y ⊥,则对任意K α∈,有2222||||(,)(,)(,)(,)(,)||||||||||x y x y x y x x x y y x y y x y αααααααα+=++=+++=+ 且2222||||||||||||||x y x y αα+=+ 因此||||||||y x y x αα-=+.泛函分析讲义-黎永锦152反过来,若K α∈,有||||||||y x y x αα-=+,则由(,)(,)(,)(,)(,)x y x y x x x y y x y y αααααα++=+++和(,)(,)(,)(,)(,)x y x y x x x y y x y y αααααα--=--+可知2(,)2(,)0x y y x αα+=令(,)x y α= ,则22|(,)||(,)|0x y x y += 因而(,)0x y =,所以x y ⊥.5.16设X 是内积空间,X y x ∈,,试证明y x ⊥当且仅当对任意K∈α,有||||||||x y x ≥+α.5.16证明：若x y ⊥,则对任意K α∈,有x y α⊥,因此 22222||||||||||||||||||x y x y x αα+=+≥，所以||||||||x y x ≥+α.反过来,若对任意K α∈,有||||||||x y x ≥+α,则 令2(,)||||x y y α=-,由22||||||||0x y x α+-≥及|||||),(|),(|||||),(||||||),(||||||),(|),(||),(),(),(),(),(),(),(),(),(224222222≥-=+--=++=-+++=-++y y x y y y y x y y x y y x y y x y y x x x y y x y y x x x x x y x y x αααααααα因此(,)0x y =,所以,x y ⊥.5.17 设}|{N i e i ∈是内积空间X 的正交规范集,试证明黎永锦-部分习题解答153|||||||||),)(,(|1y x e y e x i ii⋅≤∑∞=对任意X y x ∈,成立.5.17证明：由于{|}i e i N ∈是X 的正交规范集,因此对任意,x y X ∈,有222211|(,)|||||,|(,)|||||ii i i x e x y e y ∞∞==≤≤∑∑故21/221/2111|(,)(,)|[|(,)|][|(,)|]||||||||iiiii i i x e y e x e x e x y ∞∞∞===≤=⋅∑∑∑5.18设}|{N i e i ∈为Hilbert 空间的正交规范集,}{i e span M =,试证明M x ∈时,有i i i e e x x ∑∞==1),(.5.18证明：若x M ∈,则由于{}i e 是正交规范集,因此221|(,)|||||ii x e x ∞=≤∑.因为X 是完备的,所以由22||(,)|||(,)|0n p n p iiii ni nx e e x e ++===→∑∑ 可知1(,)i ii x e e ∞=∑是收敛级数,记1(,)iii y x e e ∞==∑,则1(,)((,),)(,)(,)0j i i j j j i x y e x x e e e x e x e ∞=-=-=-=∑故x y M -⊥,由,x y M ∈,可知x y M -∈,因而x y x y -⊥-,所以,0x y -=,即ii iee x x ∑∞==1),(.泛函分析讲义-黎永锦1545.19设}{n x 是Hilbert 空间X 的正交集,试证明1{}ii x ∞=∑弱收敛当且仅当21||||ii x ∞=<∞∑.5.19证明：若1ii x ∞=∑弱收敛,则存在0M >,使得M x ni i≤∑=||||1对任意n 成立,故由{}ix 是正交集可知22211||||||||ii i i x x M ∞∞===≤∑∑,所以21||||i i x ∞=<∞∑.反之,若21||||ii x ∞=<∞∑,则由0||||||||2121→=∑∑++=++=pn n i ipn n i ix x 可知1{}i i x ∞=∑是X 的Cauchy 列,所以1i i x ∞=∑在Hilbert 空间X 中收敛,因而1i i x ∞=∑弱收敛.5.20设}|{∧∈=ααe S 是内积空间X 的正交规范集,则对于任意}|),{(,∧∈∈ααe x X x 中最多只有可列个不为零,且22|||||),(|x e x i ≤∑∧∈α.5.20证明：若Λ是有限集,则明显地,有22|||||),(|x e x i≤∑∧∈α若Λ不是有限集,则对于任意}1),(|{,me x e S N m m ≥=∈αα,只能是有限集,因而'1m m S S ∞== 是可数集,且对任意'\e S S α∈,有(,)0x e α=,故22|||||),(|x e x i ≤∑∧∈α5.21 设X 是Hilbert 空间,),(X X L T ∈,若1-T 存在,且),(1X X L T∈-,试证明1*)(-T 存在且*11*)()(--=T T .5.21 证明：由于X 是Hilbert 空间,且),(1X X L T∈-,因此1*()T -存在.对于任意,x y X ∈,有11**1*(,)(,)(,())(,())x y T Tx y Tx T y x T T y ---===黎永锦-部分习题解答155又因为11*1**(,)(,)(,)(,())x y TT x y T x T y x T T y ---===,所以,*1*1**()()T T T T --=,因而*11*)()(--=T T .5.22 设X 是Hilbert 空间,),(,X X L T T n ∈,若T T n →,试证明**T T n →.5.22证明：由***()n n T T T T -=-及*||()||||||n n T T T T -=-,可知n T T →时,有**||||||||0n n T T T T -=-→,因此**T T n →.5.24 若X 是Hilbert 空间,),(,X X L T S ∈是自伴算子,R ∈βα,,试证明T S βα+是自伴算子.5.24证明：由于,S T 是自伴算子,因此*S S = ,且*T T =,所以对于***,,()R S T S T S T αβαβαβαβ∈+=+=+.5.25 设X 是Hilbert 空间,),(X X L T ∈,若T 是自伴算子,N n ∈,试证明n T 是自伴算子.5.25证明：由于*T T =,因此***()()()n nnT T T T T T =⋅⋅⋅== ,所以n T 是自伴的.5.26 设X 是复H i l b e r t 空间,),(X X L T ∈若试证明存在唯一的自伴算子),(,21X X L T T ∈,使得21iT T T +=,且21*iT T T -=.5.26 证明：令**111222(),()iT T T T T T =+=-,则),(,21X X L T T ∈,且*1212,T T iT T T iT =+=-由于***1111*******11122222()(),[()]()()iii T T T T T T T T T T T T T T =+=+==-=--=-=因此1T 和2T 都是自伴算子.假设存在自伴算子12,(,)S S L X X ∈,使得12T S iS =+,则1212S iS T iT +=+且**12121212()()S iS S iS T iT T iT -=+=+=-,因此1122,S T S T ==.泛函分析讲义-黎永锦156所以,存在唯一的自伴算子),(,21X X L T T ∈,使得*1212,T T iT T T iT =+=-. 5.27 设X 是Hilbert 空间,T T X X L T T n n →∈),,(,,若n T 是正规算子,试证明T 是正规算子.5.27 证明：由于n T 是正规,因此**n n n T T T T =故************************||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||n n n n n n n n n n n n n n n nn n n nn n n n n T T TT TT T T T T T T TT T T TT T T TT T T TT TT TT T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T -≤-+-+-≤-+-≤-+-⋅-+-≤⋅-+⋅-+⋅-+⋅**||n T -由n T T →可知**n T T →,所以**||||0T T TT -=即T 是正规算子.5.28 设X 是复H i l b e r t 空间,),(X X L T ∈,试证明T 是正规算子当且仅当||||||||*Tx x T =对于任意X x ∈成立.5.28 证明：若T 是正规算子,则**T T TT =,因此对于任意x X ∈,有**((),)0T T TT x x -=,故**(,)(,)T Tx x TT x x =,因此**(,)(,)Tx Tx T x T x =,所以*||||||||T x T x =对任意x X ∈成立.反之,若对任意x X ∈有*||||||||T x Tx =,则**(,)(,)Tx Tx T x T x =,故**(,)(,)T Tx x TT x x =.因而**((),)0T T TT x x -=对任意x X ∈成立.所以**0TT T T -=,即是T 正规算子.5.29 设X 是Hilbert 空间, T 是X 到X 的线性算子,若对任意,x y X ∈,有(,)(,)Tx y x Ty =,试证明T 是连续线性算子.5.29 证明：由于()D T X =,因此只须证T 是闭线性算子,若00,n n x x Tx y →→,则对于黎永锦-部分习题解答157任意y X ∈,有000(,)lim(,)lim(,)(,)(,)n n n n y y Tx y x Ty x Ty Tx y →∞→∞====故00(,)(,)y y Tx y =对任意y X ∈成立,因此00Tx y =,因而T 是闭线性算子,所以由闭图象定理可知T 是连续的.学年论文可选的题目学完一门课程,如能对所学内容做些比较系统的整理和思考,对加深该课程的理解和进一步学习都会有很好的帮助.学年论文的写作,可以提高阅读有关文献资料的能力,学会从书本和论文中了解有关信息、得到启发．并可有目的、有计划地搜集相关资料,可以养成独立思考和研究探索的好习惯. 下面的一些题目和思路可供参考：1. 抽象空间的球具有哪些奇怪的性质,在度量空间和赋范空间中,它们的性质有哪些不同,如开球的闭包一定是与开球球心和半径一样的闭球吗？开球有可能是闭集吗？2. 不动点定理的推广和应用,特别是在微分方程中的一些应用.3. 度量空间和赋范空间中,序列的各种收敛性的相互关系.4. 度量空间和赋范空间中,紧、完备、闭、有界等的相互关系.5. 凸集和凸函数的性质.6. 线性连续泛函和可加泛函的性质.7. 一致有界原理的应用.8. 逆算子定理或闭算子定理的应用. 9. Hahn-Banach 定理及其推广和应用. 10. 内积空间中的正交性的推广.11. 平面几何的有关概念和性质在Hilbert 空间的推广.泛函分析讲义-黎永锦12. 数学分析中的Fourier 级数相关概念在内积空间的推广.13. 赋范空间中的级数收敛的判别法.158。

第一章度量空间-黎永锦第1章度量空间在1900年巴黎数学家大会上我曾毫不犹豫地把十九世纪称为函数论的世纪.V. Volterra(伏尔泰拉)(1860-1940, 意大利数学家)泛函分析这一名称是由法国数学家P. Levy引进的. 在十九世纪后期,许多数学家已经认识到数学中许多领域处理的是作用在函数上的变换或者算子,推动创立泛函分析的根本思想是这些算子或变换可以看作某类函数上算子的抽象形式,把这类函数全体看成空间,而每个函数就是空间的点,算子或变换就把点变成点,将函数变成实数或复数的算子就称为泛函.泛函的抽象理论是由V. Volterra(1860-1940)在关于变分法的 P. Levy (1886-1971)工作中最先研究的,但在建立函数空间和泛函的抽象理论中,第一个卓越的成果是由法国数学家M. Frechet 1906年在他的博士论文中得到的.1. 1 度量空间M. Frechet是法国数学家,他1906年获得博士学位. M. Frechet的博士论文开创了一般拓扑学,G. Cantor, C. Jordan, G. Peano, E. Borel和其他数学家发展了有限维空间的点集理论. V. Volterra, G. ascoli和J. Hadamard等开始把实值函数作为空间的点来考虑. M. Frechet的博士论文统一了这两种思想,并建立了一个公理结构. 他给出收敛序列的极限的一组公理,然后定义了闭集、内点和完备集等基本概念,还引入1了相对列紧性和列紧性,并得到了列紧集的基本性质,在他的博士论文中,M. Frechet第一次给出了度量空间的公理.定义 1.1.1 若是一个非空集合,是满足下列条件的实值函数,Xd:X，X,Rx,y,X对于任意,有d(x,y),0(1) 当且仅当; x,yd(x,y),d(y,x);(2)d(x,y),d(x,z)，d(y,z)(3) .(X,d)则称d为X上的度量,称为度量空间.d(x,y)，d(y,x),d(x,x)d(x,y),0 明显地,由(3)可知 ,故由(2)可知,因此是一个非负函数. d(E,d)若X是一个度量空间,E是X的非空子集,则明显地也是度量空间,称(X,d)(E,d)为的度量子空间.d(x,y),|x,y|(R,d)例1.1.1 若R是实数集,定义,则容易看出是度量空间.X例1.1.2 对于任意一个非空集,只需定义,0,当 x , y 时,d(x,y) = ,1,当 x , y 时.,(X,d)则X是一个度量空间,称d为上的平凡度量或离散度量.度量不是唯一的,在一个非空集合上,可以定义几种完全不同的度量.nR例1.1.3 对于,可以定义几种不同的度量,对于, 有 x,(x),y,(y)iin21/2d(x,y),[(x,y)]; ,ii,n12nd(x,y),|x,y|; ,1iin,1d(x,y),max{|x,y|}2iinnnn容易验证,和都是度量空间,一般称为欧几里得(R,d)(R,d)(R,d)(R,d)12 空间.以下的例子是在M. Frechet 1906年提出的.例1.1.4 如果用记所有实数列形成的集合,对于任意,定义 x,(x),y,(y)sii ,|x,y|iid(x,y), ,i!(1，|x,y|)i1,iix容易知道满足度量定义中的(1)和(2),由函数(x) =在 (0, ) 是d,，,1，x |a，b|,|a|，|b|单调增加的可知对于,有|a，b||a|，|b||a||b|,,， 1，|a，b|1，|a|，|b|1，|a|，|b|1，|a|，|b| |a||b|,， 1，|a|1，|b|d(x,y),d(x,z)，d(y,z)(s,d) 令,则可得到,所以a,x,z,b,z,yiiii是一个度量空间.常见的序列空间还有如下几个空间.(x),(y),ll,{(x)|sup|x|,，,}例1.1.5 , 对于任意的,定义,iiii,i,,1d(x,y),sup|x,y|l. 即为所有有界数列所形成的空间,如, x,()ii,ii, 但. y,(1，(,1)),lz,(i),l,,c,{(x)|limx,0}(x),(y),c例1.1.6 ，对于任意的,定义ii00iii,,31cd(x,y),sup|x,y|. 即为所有收敛于0的数列所成的空间,如x,(), 0iii2 i1，(,1)i, 但. y,(),cz,(1，(,1)),c0i03,(x),(y),ld(x,y)例1.1.7 ,对于任意的,定义 l,{(x)||x|,，,}ii11,ii1i, ,1l.即为所有绝对收敛数列所成的空间,如, 但 ,|x,y|x,(),l1ii1,ii1,31. z,(),l1i3R 度量就是中距离的推广,在给定的集合上定义了度量,就可以讨论点列的收敛性.d(x,x),0(X,d)定义 1.1.2 设是度量空间,, 若, 则称序{x},Xlimn0n,,nxx,x(n,,)limx,x列按度量收敛于,记为, 或, 此时称为d{x}{x}0n0n0nn,,n x收敛点列,称为的极限. {x}0n大家都知道,若数列在数学分析中,是收敛的,则其极限是唯一的.类似地,在{x}n度量空间也有下面的结论.(X,d)定理 1.1.1 在度量空间中,若是收敛点列,则的极限一定唯{x}{x}nn一.x,y,Xlimx,xlimx,yx,y证明用反证法,假设有,使得,,但,则由nn,,,,nnd(x,y),0d(x,y),0,可知.又由于,因此d(x,y),d(x,x)，d(x,y)nnd(x,y),0x,y,但这与假设矛盾,所以由反证法原理可知的极限唯一. {x}n(X,d) 另外,容易看出,在度量空间中,若是收敛点列,则的任意子{x}{x}nn列也是收敛点列,并且极限是一样的.d(x,y),d(x,y)d(x,y)x,xy,y定理 1.1.2 若, ,则. 即是nn00n0n04和的二元连续函数. yx证明由于d(x,y),d(x,x)，d(x,y) nnn00n,d(x,x)，d(x,y)，d(y,y) n0000n因此d(x,y),d(x,y),d(x,x)，d(y,y) nn00n0n0同样地,有d(x,y),d(x,y),d(x,x)，d(y,y) 00nnn0n0因而|d(x,y),d(x,y)|,d(x,x)，d(y,y) nn00n0n0d(x,y),d(x,y)所以,. nn00如果考虑如下的问题呢,(X,d)问题 1.1.1 若 X 是线性空间,为度量空间,加法是否连续呢, 不一定,下面的例子是 D. D. Rothmann [A nearly discrete metric. Amer. Math.Monthly 81 (1974), 1018-1019. ] 作出的.R,(,,,，,)x,y,R例1.1.8 设, 对于任意,定义0,当 x , y 时,,d(x,y)= ,xy,max{||,||}当 x , y 时.,(R,d)则容易验证是一度量空间.1yx,1x,1y,1其实,只要取,,,, 则 ,,nn00n11,d(y,y),d(,,0),,0. d(x,x),d(1,1),0,0n0n0nn1d(x，y,x，y)d(x，y,x，y),d(1,,1),1但, 因此不收敛于0. 所以,虽nn00nn00n5x，yy,yx,x然,, 但是不收敛于. {x，y}00n0n0nn231/23R在空间解析几何中,称{(x,x,x)|(|x,x|),r}是中一个以,i1230i,1rx为球心,为半径的球.同样地,球的概念可以推广到一般的度量空间. 0r(X,d)定义 1.1.3 若为度量空间, 为大于0的实数,则称,{x,X|d(x,x),r}xrU(x,r)U(x,r)是以为球心, 为半径的开球,记为. 而0000 ,{x,X|d(x,x),r}xrB(x,r)称是以为球心,为半径的闭球. 000抽象的度量空间与现实的世界有着较大的区别,下面的问题是很有意思的.问题 1.1.2 在度量空间中,一个半径较小的开球能否真包含一个半径较大的开球,度量空间的开球与真实世界的球有着本质的区别,一个半径为6的开球,可能会真包含在一个半径为4的开球内.22X,{(x,x)|x,x例1.1.9 设X为实数,}, 在上定义度量 |x|，|x|,16121212 221/2,则以x= (0, 0) 为球心4为半径的小球真包含以d(x,y),(|x,y|，|x,y|)01122y= (3, 0)为球心6为半径的大球. 0进一步,还可以考虑下面的问题.r,r,0问题 1.1.3 对于任意,是否都可找到一个度量空间,存在两球,使得小21 U(x,r)U(x,r)球真包含大球呢, 01026利用开球还可以刻画点列的收敛性,类似于数学分析中的数列收敛与开区间的{x},,0n,N联系,序列依度量收敛于当且仅当对于任意,存在,使得xNn0xU(x,,)时, 都包含在开球中. n00,,,1例1.1.10 若为非空集合的平凡度量,则对任意及, Xdx,X0xn,NU(x,,)只包含一个点,因此如果序列收敛于,则必有,使得时,一定xNn00 x,x有. n0r,0 1.1.4 设M是度量空间X定义的子集,若存在 xX,, 使得M包含在,0U(x,,)(X,d)开球中,则称M是的有界集. 0r,0明显地,M是有界集当且仅当存在x及,使得对任意,有x,M0. d(x,x),r0定理 1.1.3 若为度量空间的收敛序列,则是有界的. {x}{x}nnN,,1n,Nlimx,x证明设, 则对于,存在,使得时,有. d(x,x),1n0n0,,nn令, 则对任意的,有,故r,max{1,d(x,x),,,,,d(x,x)}，1d(x,x),r010n,10n ,所以是有界的. {x}{x},U(x,r)nn0(X,d)有界集是一个与度量有关的概念,因为对于任意一个度量空间,都可以引M,X入另一度量,使任意子集都是有界集. ,d(x, y),(x,y),M,XX事实上,只需令 ,则容易看出对任意,M都是(,) ,1，d(x, y)d(x,x),0,(x,x),0的有界集,并且有当且仅当. nn7d(x,y)例1.1.11 设s 为全体实数列,对于任意, x,(x),y,(y),sii,|x,y|ii=,试证明(s, d)中序列按度量收敛当且仅当序列按坐标收敛. d,i!(1，|x,y|)ii,i1 (n)(0),|x,x|iix,s证明若 , ,则 d(x, x) =0,,d(x,x),0nn,n0(n)(0)i!(1，|x,x|)i1,ii故对每一个固定的 i,有 0(n)(0)|x,x|ii00,d(x,x) n0(n)(0)i!(1，|x,x|)0ii00因而i!d(x,x)(n)(n)0n0|x,x|, ii001,i!d(x,x)0n0(n)(n)所以 ,即按坐标收敛于. {x}xlimx,xn0ii00,,n,1x若反过来,按坐标收敛于,则对于任意0,,,1,由于级数收{x}0,ni!,i1,1,,敛,因此存在正整数m,使得 . ,i!4im,,n()(0)对于每个i <m,有 N,使得 n > N时,有 .令 N =max {N,...,||x,x,ii 1ii4N },则当 n > N时,有 m-1,(n)(0)m,1m,1|x,x|4ii ,,,(n)(0),i!(1，|x,x|)i,1i,1iii!(1，)43, ,4因此(n)(0)(n)(0)m1,,|x,x||x,x|iiiid(x,x),， n0,,(n)(0)(n)(0)i!(1，|x,x|)i!(1，|x,x|)i1im,,iiii,,3 ,，,.,448limd(x,x),0.所以即依度量收敛到. d{x}xn0n0,,n1.2 度量拓扑在数学分析,对实数集R,已经有了开区间,闭区间,开集和闭集等概念,将这些概(X,d)念推广到一般的度量空间,就可以建立起度量空间的拓扑结构.(X,d)定义 1.2.1 设是度量空间,是X的子集,x,G称为的内点,若存GG0在的某个开球,使得. 若G的每一个点都是的内点,则称GU(x,r)U(x,r),G00 为开集. G, 另外,规定空集是开集,明显地X一定是开集.(X,d)定理 1.2.1 对于任意, 开球是度量空间的开集. x,X,r,0U(x,r)00证明只需证明对于任意的,是的内点. xx,U(x,r)U(x,r)00r',r,d(x,x)d(x,x),rr',0 对于,有,令,则且 x,U(x,r)000d(x,y),r'时, 有,因而 y,U(x,r')d(x,y),d(x,x)，d(x,y),d(x,x)，r',r 000所以，,即是的内点,由是任意的可知是xxU(x,r'),U(x,r)U(x,r)U(x,r)000开集.下面关于开集的基本性质就是一般拓扑学的公理基础.(X,d)定理 1.2.2 设是度量空间,则(1) 任意个开集的并集是开集;9(2) 有限个开集的交集是开集.(X,d)证明 (1) 设为的一族开集,则对任意,有某个下标, x,:GG,0,,,U(x,r),GU(x,r),G使 ,由于G是开集,因而有开球,因此,故x,G,,,,:000, GG 为的内点, 由是任意的可知是开集. xx::,,,,nG,,,,,Gx,G (2) 设为开集,对于任意,对,有, i,1,2,,,,,nx,G1nii:i,1Gr,min{r|i,1,2,,,,n}U(x,r),Gr由于是开集,因此有使得,令,则 iiiiinnnU(x,r),GU(x,r),GGG,因而, 所以,为的内点,从而为开集.xii:::iiii,1,1i,1例1.2.1 设X是非空集合,为X上的平凡度量,则对任意,开球 dx,X0U(x,1),{x|d(x,x),1},{x}, 因而是开集,所以,X的任意子集 {x}0000G,{x}都是开集. :x问题 1.2.1 任意多个开集的交集是否一定为开集,任意多个开集的交集不一定是开集.11d(x,y),|x,y|例 1.2.2 在实数空间中,,对于任意自然数,G,(,,)Rnnnn,11,:(,,),{0}G是的开集, 但不是开集. Rn:nn,n1C(X,d)F,X定义 1.2.2 度量空间的子集称为闭集,若的余集\是开集. FFF 由上面的定理,容易看出下面定理成立.(X,d)定理 1.2.3 设是度量空间,则,X(1) 和是闭集;10(2) 任意闭集的交集是闭集;(3) 有限个闭集的并集是闭集.与闭集有着密切联系的概念是极限点.(X,d)定义 1.2.3 设F是中的集合,,若包含的任意开集都含有不同x,XxFF于的的点,则称为的极限点. xxFFR 明显地,为的极限点时,不一定属于. 例如在实数空间中,0是 F = xx 1{| n = 1, 2,… , n,… }的极限点,但. 0,FnF容易看出,有几种方法可以检查一个点是否为的极限点. xx,X(X,d)定理 1.2.4 设为度量空间, , ,则下列条件等价: F,X0F (1) x为的极限点; 0F(2) 包含x的任何一个开集都含有异于x的无穷多个点; 00x,x,xlimx,x.F (3) 在中存在序列,且 nn0n0,,n(X,d)FF定义 1.2.4 设是度量空间,,称的极限点全体为的导集,记F,XF,F:F'F'F为.称为的闭包.F,FF,[1,2]:{3,4}F',[1,2]例1.2.3 在实数空间中,若,则,且. R(X,d)FX定理 1.2.5 设是度量空间,为的子集,则下列条件等价:F (1) 是闭集;F',F(2) ;F,F(3) .CF,FF',F 证明 (1)(2) 若是闭集,则是开集. 如果,则. 如果 F',,x,F'x,F,, 则对任意,必有. F',CCCx,Fx,FF:F,F,不然,假设,则有,由于是开集,且, 但这与11x,F'矛盾.F,F:F',F(2)(3) 若F',F,则. ,CF,F,F:F',F,(3)(1) 若,则F',F.如果,则是闭集; F,X,CCx,FF,x,F',如果,则对任意,由F',F可知,因而存在开球CCCFFU(x,r):F,,F, 故,即是的内点,因此是开集,所以是闭xU(x,r),F 集.x,X(X,d)定理 1.2.6 设是度量空间,,,则下列条件等价: F,X(1) ; x,F(2) 的每个开球都包含有的点; Fxlimx,x.{x},F(3) 有序列,使得 nn,,nx,F,F:F'x,FU(x,r)证明 (1)(2) 对,若,则明显地对每个开球, ,xx,F'U(x,r)U(x,r)U(x,r)包含有的点.若,则对于的每个开球,必含有的FFx U(x,r)异于的点,所以一定含有的点. Fx11x (2)(3) 对于任意正整数,中含有的点,因而dxx,所U(x,)F,(,),nnnnn limx,x.以, n,,n{x},Fx,Flimx,x. (3)(1) 设存在,使得如果,则明显地有,nn,,nx,x{x},Fx,Fx,Flimx,x..如果,则由可知,因而由可知nnn,,nx,Fx,F',所以,.容易证明,的闭包就是包含的最小闭集,因此需要考虑下面的问题. FFU(x,r)(X,d)问题 1.2.2 在度量空间中,开球的闭包是否一定是闭球0B(x,r), 0rU(x,r)(X,d)B(x,r)x在度量空间中,都以为球心,为半径的开球和闭球 00012虽然半径一样,但开球的闭包不一定是闭球.R,(,,,，,)例1.2.4 在上,定义平凡度量,0,当 x , y 时,d(x,y)= ,1,当 x , y 时.,U(0,1)U(0,1),{0}则对于开球,由于是闭集,因此它的闭包仍是{0},不是闭球B(0,1),(,,,，,).(X,d)定义 1.2.5 设是度量空间,, 称的内点全体为的内部,记GGG,X0G为.容易证明,对于的内部和闭包,有下面的定理成立. G(X,d)F,X定理 1.2.7 设为度量空间,, ,则 G,X0G,G (1) 是开集当且仅当; G0G,G,G (2) ;00G,FG,F(3) 当G,F时,一定有, .利用闭包这一概念,还可以引进一些与闭包有关的概念.F,X(X,d)定义 1.2.6 设X为度量空间的子集,若,则称在中稠密. FFF(X,d)定义 1.2.7 设为度量空间的子集,若不包含任何内点,则称称在FFX中是疏朗的.R,(,,,，,)例1.2.5 全体有理数Q在实数空间中是稠密的,而全体自然数在中是疏朗的. ZR(X,d)在度量空间d中,利用度量,可以定义开集,闭集,闭包,内部等概念,也可13以利用开集来刻画序列依度量收敛于. dx{x}0nF. Hausdorff (1868-1942)发现对于一个给定的点集,可以不必引进度量,也能用某种方式来确定某些子集为开集,然后利用开集就可以建立闭集,闭包和序列收敛等概念,F. Hausdorff 利用这些概念建立了拓扑空间的完整理论.定义 1.2.8 设X是一个非空集合,是X的一族子集,若满足下面的三个公,,理,则称(X,)是拓扑空间 ,X,,,(1) ,,,;(2) 中任意个集合的并集属于; ,,(3) 中任意有限个集合的交集属于. ,,此时称中每一个集合为开集,则称为拓扑. ,,(X,,)(X,d)明显地,若是度量空间,为度量空间中的全体开集,则为拓扑,空间,称为度量d产生的拓扑. ,(X,,)XX例1.2.6 设是一个非空集合,为的子集的全体,则是一个拓扑,X空间,此时称为的离散拓扑.此时,对于任意,都是开集.若d为上的平凡x,Xx, X度量,则度量d产生的拓扑就是的离散拓扑.(X,,)X,{x,y,z}X,{x},{x,y},{x,z}},例1.2.7 设,={,,则为一拓扑空,z(X,,)UUy间. 但在中,对含有点和含有点的任意开集和,都有 zyU:U,,. yz 1x,y,X(X,d)明显地,在度量空间中,对于任意,只需取, 则r,d(x,y)4U(x,r):U(y,r),,,具有这种性质的拓扑空间称为Hausdorff 空间.14(X,,)定义 1.2.9 拓扑空间称为Hausdorff 空间,若对于中的任意,Xx,yx,yUx,U,,存在两个开集和, 使得,,且. UU:U,y,Uxxyxyy(X,d)另外,度量空间还具有下面例题中的性质,而具有这种性质的拓扑空间为正规空间.(X,d)FFF:F,,例题 1.2.1 设,是度量空间中的两个闭集,且,试证明1212UUF,UF,UU:U,,存在开集,,使得,,且. 12112212ccF:F,,F证明: 由于,因此.由是闭的可知是开集,故对于任意 FF,F122122 cx,Fr,0,存在,使. U(x,r),F1x2xrxUF,UU,U(x,)令,则是开集,且. 1111:2,xF1rycy,F,(,)UUy类似地,对于任意,存在,使得U(y,r),F,令,则r,0221yy:2,xF2UF,U是开集,且. 222rryx:(,)z,U:UUx:,如果存在,则由可知一定有:(,)Uy,122,xF2,yF12rryxx,F(,)z,Uy(,)y,Fz,Ux,,使且. 1222因此rryxd(x,y),d(x,z)，d(y,z),，,max{r,r} xy22cy,Fd(x,y),r但这是不可能的,因为若,则与矛盾;若d(x, y) <y,U(x,r),Fx22xcx,Fx,U(y,r),Fr, 则与矛盾. y11yU:U,,F,UF,U因此由上面讨论可知,所以存在开集,且121122U:U,,. 1215(X,,)Paul S. Uryosohn (1892-1924) 还证明了每一个正规的拓扑空间都可以引进度量,使得产生的拓扑与是一致的,即每一个正规的拓扑空间都是可度量d, 化的.1.3 连续算子M. Frechet在他1906年的博士论文中,考察了一类空间,在空间中定义了LL泛函的连续性和一致收敛性等,在空间中引进并研究了列紧性,证明了在列紧集L 上的连续泛函是有界的,并在列紧上达到它的极大(小)值,这样就将实变函数的许多结果进行推广.其实,依照数学分析中函数的连续性,在度量空间中很容易引入算子的连续性.(X,d)定义 1.3.1 设和(Y,)都是度量空间,为X到Y的算子,x,X,若对,T0x,,0d(x,x),,,(Tx.Tx),,任意,存在,使得时,有,则称算子在点连续,T,,0000 XX若在上的任意点都连续,则称在上连续. TT例1.3.1 设 c 为所有收敛于0的实数列的全体,在度量 d(x, y) = sup |x - y| 0ii下是度量空间,若 T 为 c 到 c 的算子,T x = 3x + y,这里 y 为 c 的一个固定00000元,则 T 为连续映射.事实上,由于 c 是线性空间,且由d的定义可知d(x, y) = d(x - y, 0),因而对任0,,,,意 >0, 只须取 = ,则当 d(x, x) <时,有 d(Tx, Tx) = d(3x+y, 3x + y) = 000006,3d(x, x) <,因而T在x点连续,而x是c的任意点,所以T在X上连续. 0000 x(X,d) 容易看出,若是到(Y,)的算子,则在点连续当且仅当对于任意T,T016x{x}limTx,Tx.收敛于的序列,有 0nn0,,n,还可以利用开集来刻画的连续性. 另外T(X,d)Y定理 1.3.1 设和(Y,)是度量空间,则在上连续当且仅当中每X,T个开集的逆象在中是开集. X,1,1GY,证明若是的开集,则不妨设,对任意,有x,T(G)T(G),0Tx,GG,由于是开集,因此存在,因为是连续的,所以存在> 0,,TU(Tx,,),G00,1,1x,U(x,,)Tx,U(Tx,,)U(x,,),T(U(Tx,,)),T(G)使得时,有,因而, 0000 ,1,1,1故x是的内点,所以,由x是的任意点,可知是开集. T(G)T(G)T(G)00 ,1x,XGY 反之,若对于中的每个开集,都是X的开集,则对于任意 T(G)011,,,,0和任意,T(U(Tx,,))为X的开集,因此存在U(x,,),T(U(Tx,,)), 即对000d(Tx,Tx),,,,0d(x,x),,,x于任意,存在>0,使得时,有, 所以在点连续,T000 X因而在上连续. T在实数空间中,[a, b] 上的连续函数一定有界并达到它的上下界. 但在度量R 空间中,有界闭集上的连续函数不一定能达到它的上、下界,因此需要引入列紧性这一概念,列紧性是 M. Frechet在1904年发表在 Comptes Rendus 的论文引进的.下面的列紧性与紧性在实数中可由Heine-Borel-Lebesgue定理和 RBolzano-Weierstrass定理来表现.Heine-Borel-Lebesgue 定理指的是闭区间 [a, b] 为一族开区间所覆盖时,它一定为这一族中的有限个开区间所覆盖,而Bolzano-Weierstrass定理指的是有限区间中每个点列必有子列收敛于区间中的一点.(X,d)XX定义 1.3.2 设为度量空间,为的子集,若的任何序列都有在FF17中收敛的子序列,并且是闭的,则称为列紧集. F(X,d)定义 1.3.3 设为度量空间,的子集称为紧的,若的每个开覆盖XFF都有有限的子覆盖, 即如果是的一族(可列或不可列)开集,且,XGG,F,,:,1 n:G,F则一定存在有限个开集, ,使得. GG,,,,,G,,,,i2n1i,1(X,d) 在度量空间中,的子集的列紧性与紧性是一致的. X(X,d)定理 1.3.2 设是度量空间, F,X,则是列紧的当且仅当是紧FF的.由紧集的定义容易得到下列的简单性质.(X,d)定理 1.3.3 设是度量空间,则(1) 只有有限个点的子集是紧集;(2) 紧集是有界闭集;(3) 紧集的任意闭子集是紧的;(4) 任意一族紧集的交集是紧集.X,{1,2,3,,,,,n,,,,} 但度量空间的有界闭集不一定是紧的,如在中,定义平凡度F,{2,4,6,,,,,2k,,,,}d(x,y)量,则为的有界集,且是闭的,但不是紧集. XF(X,d) 度量空间的紧集上的连续函数具有许多闭区间上连续函数所具有的性质.Y(X,d)XX定理 1.3.4 设和(Y,)为度量空间,为的紧集,为到的连,FTT(F)续算子,则是紧集.y,Tx{y}{x},FT(F)证明设为的任意序列,则有,使得.由于是紧Fnnnn18x,Flimx,x的. 因此存在,使得,且.因为在点连续,所以x{x}T00n0nkkk,,limy,limTx,y,故为紧集. ,T(F)T(F)nn0kk,,,,kkf(X,d)定理 1.3.5 若为度量空间,为的紧集,为到实数的连续函XXFRf数,则一定有界,并且在X上达到上、下确界.f(F)f(F)证明由上面的定理可知,为实数的紧集,因此有界,故存在M > 0,R|f(x)|,Mf(F)f(F)使得对任意 x,有.由于为实数的紧集,因而包含上确界Rf(x),yf(x),yyyx,x,F和下确界,所以存在,使得,. 11221212(X,d)由上面定理可知,若为度量空间, 为紧集,则上每个实值连续函数FF都是有界的,但下面的问题又如何呢,(X,d)问题 1.3.1 设为度量空间,若X上的每个实值连续函数都是有界的,则X是否一定是紧的呢,XX E. Hewitt 在1948年肯定地回答了上述问题,他证明了是紧的当且仅当上的每个实值连续函数都是有界的.Émile Borel在1895年首先给出并证明了现在的Heine–Borel定理,Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) 和Schoenflies (1900)推广和完善了该定理.nR定理 1.3.6 (Heine–Borel theorem)空间中的子集是紧的当且仅当是有FF 界闭集.证明当是紧集时,明显地是有界闭集. FFnRd(x,0),x,F 反过来,若是的有界闭集,则存在M > 0,使得对于任意,有 F19nnk()21/221/2(|x|),Md(0,x),(|x|),M.故对于中的任意序列, 有,因F{x}ikik,,ii,1,1(k)(k)(k)ki{x},R而对于每个固定的,有 |对任意成立,由及{x}为有界数x|,Miii(k)Ri,1列可知它一定有收敛子序列. 对于, 在中一定有收敛的子序列{x}1 (k)(k)mmRi,2;同样,对于, 在中一定有收敛的子序列,不妨仍记为{x}{x}12 (k)(k)(k)(k)mmmm,依照同样的方法,可以找到个子序列,即, ,...,n{x}{x}{x}{x}n122nR都收敛.由中度量的定义容易知道的子序列一定收敛,所以,是紧{x}F{x}kkm 集.紧集上的连续算子还具有一些关于不动点的性质.下面先看看不动点的定义和一个非常简单的例子.x,F(X,d)F,XT定义 1.3.4 设为度量空间,,为到的映射,若,使FF0Tx,xxT得 ,则称为的不动点. 000先看看下面很有意思的例子.xff例 1.3.2 若是[0,1]到[0,1]的连续函数,则在[0,1]一定有不动点,使得0f(x),x. 00f(0),0f(1),1f实际上,如果或,则明显地,在[0,1]一定有不动点.假如g(0),0f(0),0f(1),1g(x),f(x),x和都不成立,那么对于,有,并且x,(0,1)g(x),f(x),x,0g(1),0,有连续函数的中值定理可知，存在,使得,0000 f所以,在[0,1]一定有不动点.容易知道,[0,1]是R上的闭凸集,将上面的结果推广到[0,1]上的紧凸集,就得nR到了Brouwer不动点定理,L. E. J. Brouwer 在1912年证明了欧几里得空间的不20动点定理.nnRR定理 1.3.7 (Brouwer不动点定理) 设为欧几里得空间,为的紧凸集,若F Tx,xx,FT为到的连续映射,则存在,使得. FF000x,y,XFF,X 设为线性空间,,则是凸集指的是对于任意的,及任意X,x，(1,,)y,F,有. ,,(0,1)凸集非凸集1922年,G. D.Birkhoff 和O. Kellogg证明在中不动点定理成立. J. Schauder l2在1930年还把上述不动点定义推广到赋范空间,即赋范空间中的任一紧凸集具有不动点性质,而Tychonoff进一步证明局部凸空间的任一紧凸集也具有不动点性质.1.4 完备性与不动点定理{x}在数学分析讨论实数数列的极限时,大家都知道数列是Cauchy列当且仅n {x}当为收敛数列,Cauchy列这一概念亦可推广到度量空间. n,,0{x}(X,d)X定义 1.4.1 设是度量空间,为的序列,若对任意, 存在正n{x}m,n,Nd(x,x),,N整数,使得时,有,则称为Cauchy列. mnn21{x}{x}(X,d)明显地,若为度量空间的收敛列,则一定是Cauchy列,但反之nn 不然.d(x,y),|x,y|(Q,d)例1.4.1 设为全体有理数,,则为度量空间,且Q11nn(Q,d)Cauchy列,但在度量空间中不是收敛列. ，，{(1)}{(1)}nn(X,d)定义 1.4.2 若度量空间的每一个Cauchy列都收敛于中的点,则称 X(X,d)为完备的度量空间.完备的度量空间具有很好的性质,M.Frechet在他的博士论文中就已经仔细地区别完备与非完备的度量空间了.d(x,y),sup|x,y|例1.4.2 所有实数收敛数列全体c在度量下是一个完备ii的度量空间.nR{x}例1.4.3 欧几里得空间是完备的度量空间,事实上,如果是Cauchy列,k则对于每个固定的,由 in(l)(m)(l)(m)21/2|x,x|,(|x,x|),d(x,x) ,iiiilm,i1(k)(k)xx,(x){x}可知是中的Cauchy列,因而存在,使得令,Rlimx,x.iiiii,,k nRlimx,x则,所以,是完备的度量空间. k,,k常见的序列空间c,l,l(1,p,,)都是完备的度量空间. 01p{[a,b]}在数学分析中,大家都知道闭区间套定理:如果闭区间列满足如下条nn 件:22[a,b],[a,b](1) ,; n,1,2,3,,,,n，1n，1nnlim|a,b|,0(2) . nnn,,,,[a,b](n,1,2,3,,,,)lima,limb,,则存在唯一的,使得. nnnnn,,n,,在完备的度量空间,有类似的结论.(X,d)定理 1.4.1 设是完备的度量空间,, B,{x|d(x,x),r}nnn,B,B,,,,,B,B,,,,,并且limr,0.则必有唯一的. x,:B12nn，1nn1n,n,,r,,,,0limr,0n,NN证明由于,因此对于任意的,存在,使得时,有. nnk,,{x}d(x,x),r,,m,n,N对于,由 ,可知,因而是Cauchy 列.因为B,Bnmnnmnlimx,xX是完备的度量空间,所以有,使. x,Xn,,n,d(x,x),r由,可知对任意成立,因此x,:B. d(x,x),rnnnn，pnnn1n,,,d(y,x),ry,:Blimx,y 假设,则由可知,所以,即,:Bx,ynnn1nn,nn,1n,,中只含有一点.该定理的几何意义是很明显的,如果有一列闭球,像洋葱一样,闭球内还有闭球,并且半径越来越小趋于0, 则一定有一点,在所有的球里面.(X,d)X例题 1.4.1 设是一个度量空间,若对中任意一列闭球B,B,,,,,B,B,,,limr,0, 这里,当时,一定有B,{x|d(x,x),r}12nn，1nnnnk,, ,(X,d)唯一的,试证明是完备的度量空间. x,:Bn1n,1xn,NNX证明设是的Cauchy列,则对,存在,使得时,有 ,,nkkkkk，12n,n,,,,,n,,,,nd(x,x),,.不妨把取为. 12kknnkkk，1231y,B令 ,则当时,有 B,{x|d(x,x),}k，1knkk2111 d(y,x),d(y,x)，d(x,x),，,nnnnk，1k，1kkk，1k，1k222B,B因而. kk，111,由可知存在唯一的,从而,因此limr,,0x,:Bd(x,x),k1kk,kkkk,,22{x}(X,d)limx,xlimx,x,由是Cauchy列可知,所以度量空间是完备的. nkn,,,,knlimr,0思考题 1.4.1 在上面定理中,若去掉条件,定理是否成立, nk,,x,y,X实际上,设为所有的正整数全体,对任意,定义 X1,1，,当 x,y 时,,,x，y,(x,y), ,,0,当 x,y 时.,,则是X上的一个度量,容易验证(X,,)是完备的度量空间.对任意正整数,取,n 1B,B,,,,,B,B,,,,就有,但B,{x|d(n,x),1，},{n，1,n，2,,,,}12nn，1n2n ,为空集. :Bnn,1思考题 1.4.2 在上面定理中,若去掉度量空间完备的条件,定理是否成立, 一个度量空间如果不是完备的,则用起来比较困难,好在F. Hausdorff早就证明一个度量空间能够,并且只能够按一种方式扩展成一个完备的度量空间.x,f(x)把某些方程写成的形式,把求解问题转化为求算子的不动点,然后利用逐次逼近法来求不动点,是一种很早就使用的方法,牛顿求代数方程的根时用的切线法就是这种方法,后来Picard用逐次逼近来求解常微分方程,S. Banach在1922年用度量空间及压缩算子描述这个方法,这就是Banach不动点定理.24(X,d)T定义 1.4.5 设是度量空间,是到的算子,若存在实数[0, XX,,x,yx,y,X,,都有 1),使得对一切d(Tx,Ty),,d(x,y)T则称为压缩算子.f|f'(x)|,,,1例1.4.4 设为实数上的可微函数,且在上有,则 RR,f(y)|,|f'(,)||x,y|,,d(x,y)d(f(x),f(y)),|f(x)f,为到的压缩算子,RR x如就是到的压缩算子. f(x),，1RR3ff反过来,若为实数上的可微函数,为到的压缩算子,则一定有RRRx,R|f'(x)|,,,1对所有的.实际上，由于fxxfxxxx,|(，,),()||(，,),|fx |'()|,lim,lim,,,1,x,0,x,0xx,,x,R|f'(x)|,,,1因此,对所有的都成立.T(X,d)T明显地,若是度量空间的压缩算子,则一定是连续的.事实上,若x,xd(Tx,Tx),,d(x,x),0T,则,因而是连续的. n0n0n0压缩算子最重要的性质是它在完备度量空间的Banach不动点定理.(X,d)TT定理 1.4.2 设度量空间是完备的,是压缩算子,则有唯一的不动点, Tx,xx即存在唯一的,使得.Xx证明在上取一固定的点,令 02nx,Tx,,,,x,Tx,Txx,Tx,Tx,, 10,10nn210p,1则对正整数n,1及,有25d(x,x),d(x,x)，d(x,x)n，pnn，pn，p,1n，p,1n,d(x,x)，d(x,x)，d(x,x)n，pn，p,1n，p,1n，p,2n，p,2n,,,,,d(x,x)，d(x,x)，,,,，d(x,x)n，pn，p,1n，p,1n，p,2n，1n1121n，pn，p,n，p,n，p,n，n ,d(Tx,Tx)，d(Tx,Tx)，,,,，d(Tx,Tx)000000 12231n，p,n，p,n，p,n，p,nn, ,,d(Tx,Tx)，,d(Tx,Tx)，,,,，,d(Tx,Tx)000000,,,,12n，p,n，p,n ,,d(Tx,x)，,d(Tx,x)，,,,，,d(Tx,x)000000n, . ,d(x,x)10,,1(X,d)由0,,1可知为Cauchy列,因为是完备的,所以存在,使,{x}x,Xnx,Txx,TxTlimx,x.由,可知,因此为的不动点. xn，1nn,,nyx,yd(x,y),d(Tx,Ty),,d(x,y)T 假设是的另一个不动点,并且,则 ,d(x,y)T,矛盾,所以是唯一的不动点. x22TT容易看出,若是压缩算子,则也是压缩算子.但是压缩算子时,不一定TT是压缩算子.nT例1.4.5 不是压缩算子时,可能存在,使得是压缩算子. Tn,NtTx(t),x(u)dux,C[0,1]C[0,1]C[0,1]设是从空间到内的映射,对于,, T,0 d(x,y),max|x(t),y(t)|C[0,1]0,t,1.这里的度量为. 明显地,有tt d(Tx,Ty),max|x(u)du,y(u)du|,d(x,y),,0026x(t),A,y(t),B令,这里A和B为常数,则ttd(Tx,Ty),max|Adu,Bdu| ,,000,t,1,|A,B|,d(x,y),,[0,1)因此,不存在,使得d(Tx,Ty),,d(x,y)从而不是压缩算子. Tx,y,C[0,1] 对任意,有tu22d(Tx,Ty),max|[x(v),y(v)]dvdu| ,,000,t,1t1 . ,max|ud(x,y)du|,d(x,y),00,,1t22T所以,是压缩算子.A(X,d)XX推论 1.4.1 设是完备度量空间,为到的算子,若存在某个正nAA整数n,1,使得是压缩算子,则有唯一的不动点.nnnx,yT,Ad(Ax,Ay),,d(x,y)证明若,对任意的x,y,X,成立, 则令,Tx,x由上面定理可知存在唯一的,使得.. Tx,Xnn，1Tx,x,AxTAx,Ax,Ax,则由,及,可知假如x,Axd(x,Ax),d(Tx,TAx),,d(x,Ax),d(x,Ax)yyx,AxxAA矛盾,从而,即为的不动点,并且当是的另一个不动点时,一x,yxA定是的不动点, 因而,所以只有唯一的不动点. T27nxxAA 另外, 明显地,若是的不动点,则对于任意正整数,也是的不n,100动点.x,2，2，2，x例题 1.4.2 试求方程的根.X,[0,，,),d(x,y),|x,y|(X,d) 解令,则是完备的度量空间,定义T:X,X,Tx,2，x,容易验证1d(Tx,Ty),d(x,y) 2x,2xTx,x因而，存在不动点,使得,并且. 000033x,2T:X,X,Tx,2，2，2，x 明显地, 也是的不动点,0x,2x,2，2，2，x所以,方程有根. 0(X,d)思考题 1.4.3 在不动点定理中,若条件“度量空间完备”去掉,则定理成立否,d(Tx,Ty),思考题 1.4.5 在不动点定理中,若条件“存在 0<1使得 ,,,d(x,y)d(Tx,Ty),d(x,y)对任意都成立”换为“对任意都成立”,则x,yx,y定理成立否,容易找到例子,上面两个问题的答案都是否定的.x,Tx上面在证明不动点定理时,采用进行逐次迭代的方法,这是一种在n，1n。

设E 是集合，若映射:[0,)d E E R +×=+∞ 满足下述性质： M1：(,)0d x y x y =⇔= M2：(,)(,)d x y d y x = M3：(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+则称映射d 是E 上的度量(metric)，(,)d x y 称为点x ,y 间的距离(distance)，(,)E d 称为度量空间(Metric space)[例1] 在实线R 上，映射(,)||x y x y →−是通常的度量 [例2] 设G 是一个（加法）交换群，映射:p G R + 满足：()00;()();()()()p x x p x p x p x y p x p y =⇔=−=+≤+则映射(,)()d x y p x y =−是G 上的度量 比如，12{(,,...,):}n n i R x x x x x R ==∈，1/1()(||),1nq q i i p x x q ==≥∑满足上述三个性质，因此1/1(,)()(||),1nq q i i i d x y p x y x y q ==−=−≥∑是n R 上的度量。

[例3] 离散度量：E 是一任意集合，(,)0;(,)1d x y if x y d x y if x y ===≠[距离空间的积]设{(,):1,2,...,}i i E d i n =是一簇度量空间，令积空间112(...)n i i n E E E E E ==×=×××，则（1）1/1(,)(,),1qnqq i i i i d x y d x y q =⎛⎞=≥⎜⎟⎝⎠∑（2）(,)sup (,)i i i i d x y d x y ∞= 均为积空间E 上的度量 [度量的等价性]设,d d ′是集合E 上的两个度量，如果存在常数12,0c c >使得1212(,)(,)(,),(,)()c d x y d x y c d x y x y E Ec d d c d ′≤≤∀∈×′≤≤则称,d d ′是等价的，记作d d ′∼[例4] 在积空间1n i i E E ==×中，不难验证：1/,1q q d d n d q ∞∞≤≤≥因此，{:[1,]}q d q ∈∞是E 上的一簇等价度量。

《度量空间》读书笔记金融数学10本 黄小听 17号关键词：度量空间 距离 连续映射 可分性 列紧性 完备性 完备化在数学分析中，当实数集R 中点列}{n x 的极限为x 时，用||x x n -来表示n x 与x 的接近程度。

实际上，|x x |n -可表示为数轴上n x 与x 这两点间的距离。

那么R 中点列}{n x 收敛于x 也就是指n x 与x 之间的距离随着∞→n 而趋于0，即0),(lim =∞→x x d n n 。

于是设想在一般的点集X 中如果也有“距离”，则在点集X 中也可借这一距离来定义极限，那么究竟什么是距离呢？一 度量空间的定义定义1.1 设X 是一个非空集合，若存在映射R X X d →⨯:，使得X z y x ∈∀,,，均满足以下三个条件：(1)0),(≥y x d ，且0),(=y x d 当且仅当y x =（非负性）；(2)),(),(x y d y x d =（对称性）；(3)),(),(),(z y d y x d z x d +≤（三角不等式），则称d 为X 上的一个度量函数（或距离函数），),(d X 为度量空间（或距离空间），简记为X 。

注：若X 为度量空间，Y 是X 的一个非空子集，则Y 也是一个度量空间，称Y 为X 的子空间。

例1-1 n 维欧氏空间n R 。

解析：n 维欧氏空间n R ，n R 表示n 维向量),,,(21n x x x x ⋯=。

对于n R 中任意两点),,,(x 21n x x x ⋯=，)y ,,,y (y 21n y ⋯=，定义： 21]||[),(12∑=-=n i i i y x y x d 易证）y x d ,(满足距离的条件，且其中的三角不等式为：≤-∑=21]||[12n i i i z x 21]||[12∑=-n i i i y x +21]||[12∑=-n i i i z y 因此，),(d R n 是度量空间，其中d 称为欧几里得距离。

度量空间定义嘿，朋友们！今天咱来聊聊度量空间呀！这玩意儿听起来好像挺玄乎，其实啊，就跟咱生活里的好多事儿差不多呢！你想想看，度量空间就像是一个大舞台，上面有各种各样的点在那蹦跶。

这些点之间的距离，那就是它们的关系呀！就好比咱人和人之间，关系有远有近，这距离不就跟度量空间里的概念很像嘛！比如说吧，你和你最好的朋友，那距离就近呀，天天黏在一起，有啥事儿都一起分享。

可要是个不太熟的人呢，那距离就远喽。

这在度量空间里也是一样的道理呀！不同的点之间的距离是不一样的。

再打个比方，你家到学校的距离，和你家到超市的距离，能一样吗？肯定不一样呀！这就是度量空间里说的不同点之间的距离差异。

而且度量空间里还有好多有趣的性质呢！就好像一个人有各种性格特点一样。

有的度量空间很规整，有的就奇奇怪怪的。

这多有意思呀！咱平时生活中也经常会用到类似的概念呀。

比如说你要去一个地方，你得考虑距离远近吧，得选择最合适的路线吧，这其实就是在不自觉地运用度量空间的思想呢！你说这度量空间是不是无处不在呀？它可不只是存在于那些高深的数学书里，就在咱身边呢！咱们每天走的路、见的人、经历的事儿，都可以和度量空间联系起来呢。

想想看，你和朋友闹别扭了，是不是就像两个点之间的距离突然变远了？等和好了，距离又近了。

度量空间真的很神奇呀，它能帮我们理解好多生活中的现象呢。

我们可以通过它来更好地认识这个世界，认识我们自己和周围人的关系。

所以啊，别小看这度量空间，它可有着大用处呢！它就像一把钥匙，能打开我们对世界更深层次理解的大门。

让我们能更清楚地看到事物之间的联系和区别。

怎么样，是不是很厉害？反正我是这么觉得的！。

泛函分析讲义-黎永锦134部分习题解答意义深刻的数学问题从来不是一找出解答就完事了,好象遵循着的格言,每一代的数学家都重新思考并重新改造他们前辈所发现的解答,并把这 解答纳入当代流行的概念和符号体系之中L. Bers （贝尔斯）（1914-1993,美国数学家）习题一1.2 设∑=∞≤∈=n i ii i x R x x l 11}||,|){(,对任意1)(),(l y y x x i i ∈==,∑∞=-=1||),(i iiy x y x d ,||sup ),(i i y x y x -=ρ, 试证明d 和ρ为X 上的两个度量,且存在序列1}{l x n ⊂,1l x o ∈,使得0),(0→x x n ρ,但),(0x x d n 不收敛于0.1.2证明：（1）只须按度量定义验证即可知道为上的两个度量(,)d x y 和(,)x y ρ为 1l 上的两个度量.（2）取111(,,,,0,)n x n n n= 当i n ≤时,()1n i n x = , 当i n >时()0n ix =,则1n x l ∈且()1(,0)sup |0|0n n inx xρ=-=→,但()111(,0)|0|1nn n in i i d x x∞===-==∑∑.因此(,0)0n x ρ→,但),(0x x d n 不收敛于0.黎永锦-部分习题解答1351.4 试找出一个度量空间),(d X ,在X 中有两点y x ,,但不存在X z ∈,使得=),(z x d ),(21),(y x d z y d =. 1.4 证明：在2R 上取离散度量(,)d x y =0, 1,.x y x y ⎧=⎨≠⎩当时当时,则对于x y ≠,有(,)1d x y =,但不存在2z R ∉,使得12(,)(,)(,)d x z d y z d x y ==.1.6 在∞l 中,设F 为的非空子集,G 为开集,试证明G F +为开集.1.6证明：由(,)sup ||i i d x y x y =-可知,对任意,x y l ∞∈,有(,)(,0)d x y d x y =-,若G 是开集,则对于任意,x F y G ∈∈,有开球(,)U y r G ⊂.故(,)x U y r x G +⊂+,因而G x r y x U +⊂+),(,从而对任意,x F x G ∈+是开集,由()x FF G x G ∈+=+ 可知F G +是开集.1.8 在∞l 中,设|){(i x M =只有限个i x 不为0},试证明M 不是紧集. 1.8证明：取()()n n i x x =,当i n >时,()0n ix =当i n ≤时,()1n i i x = ,则n x M ∈,且lim n n x x →= ,这里112(1,,,,)n x = ,但x M ∉,因此M 不是闭集,所以M 不是紧集.1.10 设),(d X 为度量空间,X F ⊂,试证明CC F F )(0=.1.10证明：对于任意0x F ∈,有0(,)U x r F ⊂,故φ=C F r x U ),(,因而C C F x )(∈,从而C C F F )(0⊂.对于任意C C F x )(∈,有()Cx F ∉,因而存在φ=C F r x U ),(,故(,)U x r F ⊂,从而0x F ∈,故0)(F F C C ⊂.所以,0()C CF F ⊂.1.12 设),(d X 为度量空间,X F ⊂,试证明}|),(inf{),(F y y x d F x d ∈=为X 到 ),0[+∞的连续算子.泛函分析讲义-黎永锦1361.12 证明：对于任意,x z X ∈,有.(,)inf{(,)|}inf{(,)(,)|}(,)inf{(,)|}(,)(,)d x F d x y y F d x z d y z y F d x z d y z y F d x z d z F =∈≤+∈=+∈=+故(,)(,)(,)d x F d z F d x z -≤类似地,有(,)(,)(,)d z F d x F d z x -≤因此|(,)(,)|(,)d x F d z F d x z -≤所以,0n x x →时,必有0(,)(,)n d x F d x F →,即(,)d x F 是连续函数. 1.14 设),(d X 为度量空间,F 为闭集,试证明存在可列个开集n G ,使n G F =.1.14 证明：由于F 是闭集,因此{|(,)0}F x d x F ==,又因为(,)d x F 是连续的,所以对任意1,{|(,)}n n x d x F <是开集,从而对于开集1{|(,)}n n G x d x F =<,有1{|(,)0}{|(,)1/}n F x d x F x d x F n ∞====< ，所以1n n F G ∞== .1.16 试证明∞l 是完备的度量空间.1.16证明：设{}n x 为 ∞l 的Cauchy 列,则对于任意0ε>,存在 N,使得n N >时有()()(,)sup ||n p n n p n i i d x x x x ε++=-<.故对每个固定的i,有()()||(,1)n p n i i x x n N p ε+-<>>.因此(){}n i x 是Cauchy 列.因而存在i x ,使得()lim n ii n x x →∞=,令()i x x =,则由可知(1)||N i i x x ε+-≤故黎永锦-部分习题解答137(1)||||N i i x x ε+≤+由于(1)1()N N ix x l ++∞=∈,因此存在常数1N M +使得11sup ||N i N x M ++≤<+∞.又由()()||n p n ii x x ε+-<可知||n i i x x ε-<对任意i 及n N ∈成立.故()(,)sup ||n n i i d x x x x ε=-<所以,n x x →,即l ∞是完备的度量空间. 1.18 证明0c 中的有界闭集不一定是紧集.1.18 证明：令{()|||1}i i M x x =≤,则M 是0c 的有界闭集,但M 是不紧集.1.20 设),,1[+∞=X |/1/1|),(y x y x d -=,试证明),(d X 为度量空间,但不是完备的. 1.20证明：容易验证|/1/1|),(y x y x d -=是),(d X 的度量.取X x n ∈,),1[+∞∈=n x n ,则}{n x 为X 的Cauchy 列，但}{n x 没有极限点，因此}{n x 不是收敛列，所以不是完备的.1.22 试证明度量空间),(d X 上的实值函数f 是连续的当且仅当对于任意R ∈ε,})(|{ε≤x f x 和})(|{ε≥x f x 都是),(d X 的闭集.1.22证明: 若度量空间),(d X 上的函数f 是连续的,则明显地,对于任意R ∈ε,})(|{ε≤x f x 和})(|{ε≥x f x 都是),(d X 的闭集.如果对于任意R ∈ε,})(|{ε≤x f x 和})(|{ε≥x f x 都是),(d X 的闭集,则于任意R ∈21,εε,容易知道})(|{})(|{\})(|{2121εεεε≥≤=<<x f x x f x X x f x 是开集,对于R 上的开集G ,有G 的构成区间),(n n βα,使得),(n n G βα =,因而)(1G f -是开集,所以f 是连续的.1.24 设R 为实数全体,试在R 上构造算子T ,使得对任意R y x ∈,,y x ≠,都有||||y x Ty Tx -<-,但T 没有不动点.泛函分析讲义-黎永锦1381.24证明：(1) 设R 为实数全体,12:,tan T R R Tx x x π-→=+- 则对任意,,x y R x y ∈≠,由'()()()()f x f y f x y ξ-=-可知22|()()|||||1f x f y x y x y ξξ-=-<-+ 但f(x)没有不动点.实际上,若()x f x = ,则1tan 2x π-=,因而矛盾.(2) 设),,1[+∞=X 11:,x T X X Tx x +→=+ 则对任意,,x y R x y ∈≠,由'()()()()f x f y f x y ξ-=-可知21|()()|[1]||||(1)f x f y x y x y ξ-=--<-+但f(x)没有不动点.实际上,若()x f x =,则110x +=,矛盾,所以f(x)没有不动点.1.25 设函数),(y x f 在)},(],,[|),{(+∞-∞∈∈=y b a x y x H 上连续,处处都有偏导数),('y x f y ,且满足+∞<≤≤<M y x f m y ),('0试证明0),(=y x f 在],[b a 上有唯一的连续解)(x y ϕ=. 提示：定义:],[],[:b a C b a C T →为),(1ϕϕϕx f MT -= 证明T 为压缩算子,然后利用S. Banach 不动点定理.1.26 设),(d X 为度量空间,T 为X 到X 的算子,若对任意X y x ∈,,y x ≠,都有 ),(),(y x d Ty Tx d <,且T 有不动点,试证明T 的不点是唯一的.1.26证明：反证法,假设A 有两个不动点12,x x ,使得1122,A x x A x x ==,则121212(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x =<但这与12x x ≠矛盾,所以A 只有唯一的不动点.黎永锦-部分习题解答1391.27 设),(d X 为度量空间,且X 为紧集,T 为X 到X 的算子,且y x ≠时,有),(),(y x d Ty Tx d <,试证明T 一定有唯一的不动点.证明思路：构造X 上的连续泛函),(),(y x d Ty Tx d <,利用紧集上的连续泛函都可以达到它的下确界,证明存在X x ∈0,使得}|)({inf )(0X x x f x f ∈=,0x 就是T 的不动点. 1.28 试构造一个算子22:R R T →,使得T 不是压缩算子,但2T 是压缩算子.1.28证明：定义)0,(),(:221x x x T →,则T 不是压缩算子,但2T )0,0(),(:21→x x 是压缩算子.1.30 设||),(),,1[y x y x d X -=+∞=,x x Tx X X T /13/,:+=→,试证明T 是压缩算子. 1.30证明：由 x x Tx /13/+=,可知|/13//13/|||y y x x Ty Tx +--=-),(32|||131|2y x d y x ≤--=ξ,所以T 是压缩算子.习题二2.2 设X 为赋范线性空间,||||⋅为X 上的范数,定义⎩⎨⎧≠+-==.y x 1||||；y x ,0),(时当时当，y x y x d试证明),(d X 为度量空间,且不存在X 上的范数1||||⋅,使得1||||),(y x y x d -=. 2.2证明：由度量的定义可知是X 上的度量.假设存在X 上的范数1||||⋅,使得1(,)||||d x y x y =-,则对于,K x X λ∈∈,一定有11||||||||||x x λλ=⋅.泛函分析讲义-黎永锦140如果取001,,||||12x X x λ=∈=,则 001000013||||||||1||||||1122x x x λλλ=+=⋅+=+= , 但是1)11(21)1||(||||||||||00100=+=+=x x λλ,因此11||||||||||x x λλ=⋅不成立,所以一定不存在X 上的范数1||||⋅,使得1(,)||||d x y x y =-.2.4设M 是赋范空间X 的线性子空间,若M 是X 的开集,证明M X =.2.4证明：由于M 是线性子空间,因此0M ∈.由M 是开集可知存在(0,){|||||}U x x M εε=<⊂.因而对于任意,0x M x ∈≠,有),0(2εεU x∈,从而M x∈2ε,因为M 是线性子空间,所以x M ∈,即M X =.2.6设X 是赋范线性空间,若λλλλ→∈∈n n n X x x K ,,,,且x x n →,试证明x x n n λλ→.2.6证明：由n x x →可知存在0M >,使得||||x M ≤,故||||||||||||||||||||||||||||||||0n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x M x x λλλλλλλλλλλλ-≤-+-≤-⋅+⋅-≤-+⋅-→所以,n n x x λλ→.2.10 在∞l 中,若M 是∞l 中只有有限个坐标不为零的数列全体,试证明M 是∞l 的线性子空间,但M 不是闭的.2.10证明：明显地M 是线性子空间,取112(1,,,,0,0)n n x = ,则n x M ∈ 且0n x x →,但1102(1,,,,0,0)n x M =∉ ,所以M 不是闭的子空间.2.12 设R R f →:,满足)()()(y f x f y x f +=+对任意X y x ∈,成立，若f 在R 上连续,试证明f 是线性的.黎永锦-部分习题解答1412.12证明：由)()()(y f x f y x f +=+可知,)()(x nf nx f =对所有正整数N n ∈都成立.并且)()()(m x mf m x m x m x f x f =+⋅⋅⋅++=,故)(1)(x f mm x f =对所有正整数N m ∈都成立.因此所有正有理数Q q ∈都有)()(x qf qx f =成立,由)()())((x f x f x x f -+=-+和)0()0()0(f f f +=可知0)0(=f 并且)()(x f x f -=-,因而)()(x qf qx f =对所有有理数Q q ∈都有成立.由于f 在R 上连续,因此,对于任意R ∈α,有Q q n ∈,使得α→n q ,从而)()(lim )(lim )(x f x f q x q f x f n n n n αα===∞→∞→,所以f 是线性的.2.14设X 是有限维Banach 空间,n i i x 1}{=为X 的Schauder 基,试证明存在*∈X f i ,使得1)(=i i x f ,且0)(=j i x f ,对j i ≠成立.2.14证明：令{|}i j M span x i j =≠,则M 是 n-1维的闭子空间,且i i x M ∉,由Hahn Banach -定理可知存在*,||||1i g X x ∈=,使得()(,)i i i i g x d x M =,且()0g x =对任意i x M ∈成立,令(,)ii i g i d x M f = ,则*i f X ∈,且()1,()0i i i j f x f x ==,对任意i j≠成立.2.16设X 是赋范空间,M 为X 的闭线性子空间,M X x \0∈,试证明存在*∈X f ,使得),(1||||,1)(00M x d f x f ==,且0)(=x f ,对所有M x ∈成立.2.16证明： 由M 是闭线性子空间,M X x \0∈因此,因此0(,)0d x M >存在*,||||1g X g ∈=,使得00()(,)g x d x M =,且()0g x =对于任意x M ∈成立.令0(,)gd x M f =,则00||||10(,)(,)()1,||||g d x M d x M f x f ===,且()0f x =对任意x M ∈成立.2.18设X 是严格凸空间,试证明对任意,0,0,,≠≠∈y x X y x 且||||||||||||y x y x +=+时,有0>λ 使得x y λ=.2.18证明：假设存在00,x y ,使得0000||||||||||||x y x y +=+,但00x y λ≠,对任意0λ>成泛函分析讲义-黎永锦142立,则0000||||||||xy x y ≠,故有0000000000||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||1x x y yx y x x y y ++⋅+⋅<因而0000||||||||||||1x yx y ++< 但这与0000||||||||||||x y x y +=+矛盾,所以||||||||||||y x y x +=+时,有x y λ=对某个0λ>成立.2.20试证明1l 和∞l 都不是严格凸的赋范线性空间. 2.20证明：在1l 中,取1111(,0,,0,0,,0),(0,,0,,0,,0)2222x y == ,则||||1,||||1x y ==,且x y ≠,但||||2x y +=,因而1l 不是严格凸的.类似的,在∞l 中,取(1,0,1,0,0,,0),(1,1,0,,0)x y == ,则 ||||1,||||1x y ==,且x y ≠,但 ||||2x y +=,所以l ∞不是严格凸的.2.22举例说明在赋范线性空间中,绝对收敛的级数不一定是收敛级数.2.22证明：令{()|N 0}i i i X x x R i N x =∈>=存在某个，使得时，有,定义1||||||()||||i i i x x x ∞===∑,则(,||||)X ⋅是赋范空间,取12(0,0,,0,,0,0,,0)n n x = ,则1211||||nni i x∞∞===∑∑,因此1ni x∞=∑绝对收敛,但级数1ni x∞=∑不收敛.2.24 设是X 赋范线性空间,,,X x x n ∈x x n →,试证明对任意*∈X f ,有)||||()||||(x xf x x f n n →. 2.24证明：由x x n →可知, ||||||||x x n →,因而,||||||||x xx x n n →,所以, ≤-|)||||()||||(|x x f x x f n n 0||||||||||||||||→-x xx x f n n . 2.26在]1,0[C 中,]},[),()(|)({b a C x b x a x t x M ∈==,试证明M 是]1,0[C 的完备线性子空间.黎永锦-部分习题解答1432.26证明：容易验证M 是]1,0[C 的线性子空间.由于]1,0[C 是完备赋范线性空间,M 是]1,0[C 的闭子空间,因此M 是]1,0[C 的完备线性子空间.2.28 在2R 中,取范数||||||||21x x x +=，}|)0,{(11R x x M ∈=,则M 为2R 的线性子空间,对20)1,0(R x ∈=,试求出M y ∈0,使得),(||||000M x d y x =-.2.28证明：由于1||})1,(inf{||}|||inf{||),(100≥=∈-=x M y y x M x d ,并对于M y ∈=)0,0(0,有1||)1,0(||||||00==-y x ,所以1),(0=M x d ,且),(||||000M x d y x =-.习题三3.2 设1)(l x i ∈,算子11:l l T →, 1)(),3(l x x x Tx i i i∈==任意,试证明T 是线性有界算子,并求||||T .3.2证明： 由T 的定义可知T 是线性算子,且||||31||31||)3(||||||1x x x Tx i i i =≤=∑∞=, 因此13||||T ≤,从而T 是线性有界算子.取0(1,0,,0)x = ,则01x l ∈,且0||||1x =,故01||||||||3T Tx ≥=,所以1||||3T =. 3.4 设),(Y X L T ∈,试证明||||sup ||||1||||Tx T x <=.3.4证明：由于||||||||sup ||||supsup 111T x Txx Tx Tx x x x =≤≤≠<<,因此Tx T x 1||||sup ||||<≥.对于任意10n >,由||||sup ||||||||sup ||||||||sup||||1||||0||||0||||Tx x xT x Tx T x x x =≠≠===可知,有||||1n x =,使得1||||||||n n Tx T ≥-,故111||(1)||(1)(||||)n n n n T x T -≥--,因而111||||1sup ||||||(1)||(1)(||||)n n n n x Tx T x T <≥-≥--对任意n 成立泛函分析讲义-黎永锦144从而||||1||||sup ||||x T Tx <≤,所以||||sup ||||1||||Tx T x <=3.6 设X 是赋范空间,X x ∈α,若对任意*f X ∈,有+∞<|)(|sup ααx f ,试证明+∞<||||sup ααx .3.6 证明：定义*:,()()T X K T f f x ααα→=,则T α是*X 到K 的线性有界算子,且对于任意*f X ∈,有sup |()|sup |()|T f f x ααα=<+∞因为任意赋范空间X 的共轭空间 *X 都是完备的,因此由一致有界原理,有sup ||||T α<+∞.由αT 的定义可知||)(||sup |)(||sup ||||1||||1||||αααx f f T T f f ====故||||||||T x αα=,所以,sup ||||x α<+∞.3.7 设X ,Y 是赋范空间,}0{≠X , 试证明Y 是Banach 空间当且仅当),(Y X L 是Banach 空间.证明思路：明显地,只需证明),(Y X L 是Banach 空间时,Y 是Banach 空间.由于}0{≠X ,因此有1||||,00=∈x X x ,故由Hahn-Banach 定理存在1||||=f ,使得1||||)(00==x x f .若Y y n ∈}{是Cauchy 列,定义算子列),(Y X L T n ∈为n n y x f x T )(=,则),(Y X L T n ∈,并且||||||||n m n m y y T T -=-,因而}{n T 为),(Y X L 的Cauchy 列,所以存在),(Y X L T ∈,使得T T n →.不难证明0Tx y n →,从而Y 是Banach 空间.3.8 设X 是Banach 空间,*X f n ∈且对任意)()(lim ,x f x f X x n n =∈∞→,试证明*∈X f .3.8证明： 由于lim ()()n n f x f x →∞=,因此sup{|()|}n f x <∞对任意x 成立,由X 是Banach黎永锦-部分习题解答145空间可知sup{||||}n f M <<∞因而|()|||||||||||||n n f x f x M x ≤⋅<,所以|()|||||f x M x ≤,即f 是X 的线性连续泛函. 3.10 设X ,Y 是赋范空间,Y X T →:是线性算子,且T 是满射,若存在0>M ,使得||||||||x M Tx ≥对任意X x ∈成立,试证明1-T 是线性连续算子,且MT1||||1≤-. 3.10 证明：由||||||||Tx M x ≥可知T 是单射,因而1T -存在,且对于任意y Y ∈,由T 满射可知存在x X ∈,使得y Tx =,容易验证T 是线性算子,故1111||||||||||||||||||||T y T Tx x Tx y --==≤=,所以,1T -连续,且11||||MT-≤.3.12 设X 是Banach 空间,f 是X 上的非零线性泛函,试证明f 一定是开映射. 3.12证明：由0f ≠可知存在00x ≠,使得0()1f x =,故对于X 的开集G 及任意()f G α∈,必有x G ∈,使得()f x α=,由于是G 开集,故有0ε>,使(,)U x G ε⊂,因此对00,||||||x x x λλε+<,有0x x G λ+∈,因而0()f x x G λ+∈,但00()()()f x x f x f x λλαλ+=+=+,故(,)()f G αεαε-+⊂ ,即α为G 的内点,所以()f G 为开集,即f 一定开映射.3.13 设X 是赋范空间,T 是从X 到X 的线性算子,X T D =)(,S 是从*X 到*X 的线性算子,*=X S D )(若对任意*∈∈X f X x ,,有)())((Tx f x Sf =,试证明T 和S 都是线性连续算子.证明思路：先证S 为闭算子,从而S 是线性连续算子,然后利用Hahn-Banach 定理的推论可泛函分析讲义-黎永锦146知, 当0≠Sx 时,存在1||||,*=∈f X f ,使得||||)(Sx Sx f =,不难进一步证明T 为是线性连续算子.3.14 设X ,Y 是赋范空间,T 为X 到Y 的闭线性算子,F 为X 的紧集,试证明)(F T 为Y 的闭集.3.14证明：若()n y T F ∈,且0n y y →,则存在n x F ∈使得()n n y f x =,由于F 是紧集,因此存在k n x ,使得0k n x x →,且0x F ∈.由0y Tx k n →及T 是闭线性算子可知0y Tx =,所以0()y T F ∈,即)(F T 是闭集.3.15 设X 为Banach 空间,T 为X 到X 的线性算子,若T T =2,且)(T N 和)(T R 都是闭的,试证明),(X X L T ∈.证明思路：由于T 的定义域为X ,因此明显地,只需证明T 为闭线性算子.设有点列X x n ∈}{,X y x ∈,,当∞→n 时,x x n →,y Tx n →.由)(T R 是闭的,)(T R Tx n ∈可知必有X x ∈0,使得0Tx y =.由于T T=2,因此0)(2=-=-n n n n Tx x T x Tx T ,即)(T N x Tx n n ∈-.由)(T N 是闭的,可得)()(lim T N x Tx x y n n n ∈-=-∞→,从而0)(=-x y T .因此y Tx Tx T Ty Tx ====00)(,所以T 为闭线性算子.由闭图像定理可知),(X X L T ∈3.16 设X ,Y 赋范空间,),(,Y X L T T n ∈,若n T 强收敛于T ,试证明n T 弱收敛于T . 3.16证明：由于n T 强收敛于,因此T 对任意x X ∈,有||||0n T x Tx -→,故对于任意*f Y ∈,有|()()||()|||||||||0n n n f T x f Tx f T x Tx f T x Tx -=-≤⋅-→,所以n T 弱收敛于T .黎永锦-部分习题解答147习题四4.2 试证明∞=l l *1.4.2证明：对于任意1x l ∈,有11lim ni ii i n i i x x ex e ∞→∞====∑∑,故对于任意*1f l ∈,有11()lim ()lim ()nni i i i n n i i f x f x e x f e →∞→∞====∑∑由于1111|()||||()|||||||||||||||||n n n niiiiiiii i i i x f e x f e x f e x f ====≤≤⋅⋅=⋅∑∑∑∑因此由1()i x x l =∈可知1||n ii x =∑收敛,从而1()niii x f e =∑绝对收敛,且11|()||()|sup |()|sup |()|||||i i i i i i i f x x f e f e x f e x ∞∞===≤=⋅∑∑令()(())i i y f e α==,则y l ∞∈,且对于任意,都1()i x x l =∈,有1()i i i f x x α∞==∑ 且||||||||f y =.反过来,对于任意 ()i y l α∞=∈,则定义f 为11(),()i iii f x x x x l α∞==∀=∈∑则f 是上的线性连续泛函,且||||sup ||||||i f y α==,所以 ∞=l l *1 4.4 试证明1*l l ≠∞.4.4证明： 用反证法,假设 *1l l ∞=,则由于1l 是可分的,因此是l ∞可分的,但这与1l 不可分矛盾,所以1*l l ≠∞泛函分析讲义-黎永锦1484.6 试证明在2l 中强收敛比按坐标收敛强.4.6证明：若()(0)202(),()n n i i x x l x x l =∈=∈,且0n x x →,则()(0)21/21(||)0n i i i x x ∞=-→∑因此,对于任意i 有()(0)()(0)21/21||(||)n n iii i i xxx x ∞=-≤-∑从而()(0)n ii x x →,所以强收敛比按坐标收敛强.4.7 设X 是无穷维的赋范空间,试证明*X 一定也是无穷维的赋范空间.证明思路：对于任意的自然数n ,由于X 是无穷维的赋范空间,因此存在n 个线性无关的的X e e e n ∈⋅⋅⋅,,,21,由Hahn-Banach 定理,不难证明存在*21,,,X f f f n ∈⋅⋅⋅,使得都成立对任意并且j i e f e f j i i i ≠==,0)(,1)(,从而只需证明n f f f ,,,21⋅⋅⋅是线性无关的,则n X >)dim(*,所以*X 一定也是无穷维的赋范空间.4.8设X 是赋范空间,X x x n ∈,,x x wn −→−,若}{n x 是相对紧的,试证明x x n −→−. 4.8证明：由于{}n x 是相对紧的,因此存在子列{}k n x 收敛于y ,但n x 弱收敛于x ,因此对于任意*f X ∈,有()()k n f x f x →.由{}k n x 收敛于y 可知|()()|||||k kn n f x f y f x y -≤⋅-→,从而()()f x f y =,对任意成*f X ∈立.因而x y =.故k n x x →,所以x x n −→−. 4.10设Y X ,为赋范空间,),(Y X L T ∈,若x x w n −→−,试证明Tx Tx wn −→− 4.10证明：对于任意*g Y∈,定义X 上的泛函()()f x g T x =,则由|()||()||||||f x g T x g T x =≤⋅⋅,可知f 是X 上的线性连续泛函,由于n x 弱收敛x ,因黎永锦-部分习题解答149此()()n f x f x →,因而()()n g Tx g Tx →,所以n Tx 弱收敛Tx .4.12 设X 为Banach 空间,*,,,X f f X x x n n ∈∈n x 弱收敛于x ,且n f 收敛于f ,试证明)()(x f x f n n →.4.12证明：由于n x 弱收敛于x 时,有0M >,使得||||n x M ≤<∞,因此|()()||()()||()()||||||||||()()||||||()()|n n n n n n n n n n n f x f x f x f x f x f x f f x f x f x M f f f x f x -≤-+-≤-⋅+-≤-+-所以,当n x 弱收敛于x ,且n f 收敛于f 时,有()()n n f x f x →.4.14设Y X ,是Banach 空间,),(Y X L T ∈,且1-T 存在且有界,试证明*T 的逆存在且*11*)()(--=T T .4.14证明：由 **11*()()T T T T I --==及 1**1*()()T T TT I --==可知*1()T -存在,并且*11*)()(--=T T .4.16设X 是赋范空间,}{,0n w n x span M x x =−→−,试证明M x ∈0. 4.16证明：反证法,假设0x M ∉,则由于M 是闭子空间,因此0(,)0d x M >,故由Hahn Banach-定理可知存在*f X ∈,使得00()(,)f x d x M =且对于任意 ,()0x M f x ∈=,所以00()0,()(,)0n f x f x d x M ==>,但这与n x 弱收敛于0x 矛盾,因而n x 弱收敛0x 时,一定有0x M ∈.习题五泛函分析讲义-黎永锦1505.2设X 是内积空间,X y ∈,试证明),()(y x x f =是X 上的线性连续泛函,且||||||||y f =.5.2证明： 由()(,)f x x y =可知f 线性泛函,且|()||(,)|||||||||f x x y x y =≤⋅,因此f 是X 上的连续线性泛函,并且||||||||f y ≤,取||||y y x =,则||||||||1,|()||(,)|(,)||||y y x f x x y y y ====，所以，||||||||f y =.5.4 设X 是内积空间,X e e n ∈,,1 ,若=),(j i e e ⎩⎨⎧=≠.1j,0j i ，i试证明n e e ,,1 线性无关.5.4证明：若12,,,n e e e X ∈ ,且=),(j i e e ⎩⎨⎧=≠.1j ,0j i ，i则对于i K α∈,当10ni ii eα==∑时,有1(,)0ni i i i i e e αα===∑.因此120n ααα==== ,所以12,,,n e e e 线性无关.5.6 设M 是Hilbert 空间X 的闭真子空间,试证明⊥M 含有非零元素.5.6 证明： 由M 是X 的真子空间,因而对\x X M ∈,存在0x M ⊥∈,使得 00x x y =+,由x M ∉及0x M ∈可知00x x -≠所以0y ≠,且y M ⊥∈,即M ⊥含有非零元.5.8 设M 是Hilbert 空间X 的闭真子空间,试证明⊥⊥=M M .5.8证明：由于M M⊥⊥⊂,因此只须证MM ⊥⊥⊂.对于任意x M ⊥⊥∈有y M ⊥∈使得0x x y =+,由M M ⊥⊥⊂可知0x M ⊥⊥∈,故0x x M ⊥⊥-∈,因此0y x x M ⊥⊥=-∈,所以y y ⊥,因而0y =,从而MM ⊥⊥⊂.黎永锦-部分习题解答1515.9 设f 是实内积空间3R 上的线性连续泛函,若32132)(x x x x f ++=,试求X y ∈,使得),()(y x x f =.5.9 解答:取)3,2,1(,3=∈y R y ,则一定有32132)(x x x x f ++=. 5.10 设M 是内积空间X 的非空子集,试证明⊥⊥⊥⊥=M M . 5.10 证明：由()MM ⊥⊥⊥⊥⊥⊥=可知, M M ⊥⊥⊥⊥⊂.反过来,对任意x M ⊥⊥⊥∈,及y M M⊥⊥∈⊂,可知(,)0x y =,因而x y ⊥对于任意y M ∈成立,故x M ⊥∈因此M M ⊥⊥⊥⊥⊂,所以M M ⊥⊥⊥⊥=.5.12 设X 是Hilbert 空间,M 、N 是X 的闭真空间,N M ⊥,试证明N M +是X 的闭子空间.5.12证明：明显地N M +是X 的线性子空间,因此只须证N M +在X 中是闭的,若,,n n n n x y M N x M y N +∈+∈∈,且n n x y z +→,则由于X 是Hilbert 空间,M 是闭子空间,因此,,z x y x M y M ⊥=+∈∈,故,n n x x M y y M ⊥-∈-∈.因而22222||||||||||||||()||||||0n n n n n n n n x x y y x x y y x y x y x y z -+-=-+-=+-+=+-→,所以,n n x x y y →→,故,,z x y x M y N =+∈∈,即N M +是的X 闭子空间. 5.14 设X 是内积空间,X y x ∈,,试证明y x ⊥的充要条件为对任意K ∈α,有||||||||y x y x αα-=+.5.14 证明：若x y ⊥,则对任意K α∈,有2222||||(,)(,)(,)(,)(,)||||||||||x y x y x y x x x y y x y y x y αααααααα+=++=+++=+ 且2222||||||||||||||x y x y αα+=+ 因此||||||||y x y x αα-=+.泛函分析讲义-黎永锦152反过来,若K α∈,有||||||||y x y x αα-=+,则由(,)(,)(,)(,)(,)x y x y x x x y y x y y αααααα++=+++和(,)(,)(,)(,)(,)x y x y x x x y y x y y αααααα--=--+可知2(,)2(,)0x y y x αα+=令(,)x y α= ,则22|(,)||(,)|0x y x y += 因而(,)0x y =,所以x y ⊥.5.16设X 是内积空间,X y x ∈,,试证明y x ⊥当且仅当对任意K∈α,有||||||||x y x ≥+α.5.16证明：若x y ⊥,则对任意K α∈,有x y α⊥,因此 22222||||||||||||||||||x y x y x αα+=+≥，所以||||||||x y x ≥+α.反过来,若对任意K α∈,有||||||||x y x ≥+α,则 令2(,)||||x y y α=-,由22||||||||0x y x α+-≥及|||||),(|),(|||||),(||||||),(||||||),(|),(||),(),(),(),(),(),(),(),(),(224222222≥-=+--=++=-+++=-++y y x y y y y x y y x y y x y y x y y x x x y y x y y x x x x x y x y x αααααααα因此(,)0x y =,所以,x y ⊥.5.17 设}|{N i e i ∈是内积空间X 的正交规范集,试证明黎永锦-部分习题解答153|||||||||),)(,(|1y x e y e x i ii⋅≤∑∞=对任意X y x ∈,成立.5.17证明：由于{|}i e i N ∈是X 的正交规范集,因此对任意,x y X ∈,有222211|(,)|||||,|(,)|||||ii i i x e x y e y ∞∞==≤≤∑∑故21/221/2111|(,)(,)|[|(,)|][|(,)|]||||||||iiiii i i x e y e x e x e x y ∞∞∞===≤=⋅∑∑∑5.18设}|{N i e i ∈为Hilbert 空间的正交规范集,}{i e span M =,试证明M x ∈时,有i i i e e x x ∑∞==1),(.5.18证明：若x M ∈,则由于{}i e 是正交规范集,因此221|(,)|||||ii x e x ∞=≤∑.因为X 是完备的,所以由22||(,)|||(,)|0n p n p iiii ni nx e e x e ++===→∑∑ 可知1(,)i ii x e e ∞=∑是收敛级数,记1(,)iii y x e e ∞==∑,则1(,)((,),)(,)(,)0j i i j j j i x y e x x e e e x e x e ∞=-=-=-=∑故x y M -⊥,由,x y M ∈,可知x y M -∈,因而x y x y -⊥-,所以,0x y -=,即ii iee x x ∑∞==1),(.泛函分析讲义-黎永锦1545.19设}{n x 是Hilbert 空间X 的正交集,试证明1{}ii x ∞=∑弱收敛当且仅当21||||ii x ∞=<∞∑.5.19证明：若1ii x ∞=∑弱收敛,则存在0M >,使得M x ni i≤∑=||||1对任意n 成立,故由{}ix 是正交集可知22211||||||||ii i i x x M ∞∞===≤∑∑,所以21||||i i x ∞=<∞∑.反之,若21||||ii x ∞=<∞∑,则由0||||||||2121→=∑∑++=++=pn n i ipn n i ix x 可知1{}i i x ∞=∑是X 的Cauchy 列,所以1i i x ∞=∑在Hilbert 空间X 中收敛,因而1i i x ∞=∑弱收敛.5.20设}|{∧∈=ααe S 是内积空间X 的正交规范集,则对于任意}|),{(,∧∈∈ααe x X x 中最多只有可列个不为零,且22|||||),(|x e x i ≤∑∧∈α.5.20证明：若Λ是有限集,则明显地,有22|||||),(|x e x i≤∑∧∈α若Λ不是有限集,则对于任意}1),(|{,me x e S N m m ≥=∈αα,只能是有限集,因而'1m m S S ∞== 是可数集,且对任意'\e S S α∈,有(,)0x e α=,故22|||||),(|x e x i ≤∑∧∈α5.21 设X 是Hilbert 空间,),(X X L T ∈,若1-T 存在,且),(1X X L T∈-,试证明1*)(-T 存在且*11*)()(--=T T .5.21 证明：由于X 是Hilbert 空间,且),(1X X L T∈-,因此1*()T -存在.对于任意,x y X ∈,有11**1*(,)(,)(,())(,())x y T Tx y Tx T y x T T y ---===黎永锦-部分习题解答155又因为11*1**(,)(,)(,)(,())x y TT x y T x T y x T T y ---===,所以,*1*1**()()T T T T --=,因而*11*)()(--=T T .5.22 设X 是Hilbert 空间,),(,X X L T T n ∈,若T T n →,试证明**T T n →.5.22证明：由***()n n T T T T -=-及*||()||||||n n T T T T -=-,可知n T T →时,有**||||||||0n n T T T T -=-→,因此**T T n →.5.24 若X 是Hilbert 空间,),(,X X L T S ∈是自伴算子,R ∈βα,,试证明T S βα+是自伴算子.5.24证明：由于,S T 是自伴算子,因此*S S = ,且*T T =,所以对于***,,()R S T S T S T αβαβαβαβ∈+=+=+.5.25 设X 是Hilbert 空间,),(X X L T ∈,若T 是自伴算子,N n ∈,试证明n T 是自伴算子.5.25证明：由于*T T =,因此***()()()n nnT T T T T T =⋅⋅⋅== ,所以n T 是自伴的.5.26 设X 是复H i l b e r t 空间,),(X X L T ∈若试证明存在唯一的自伴算子),(,21X X L T T ∈,使得21iT T T +=,且21*iT T T -=.5.26 证明：令**111222(),()iT T T T T T =+=-,则),(,21X X L T T ∈,且*1212,T T iT T T iT =+=-由于***1111*******11122222()(),[()]()()iii T T T T T T T T T T T T T T =+=+==-=--=-=因此1T 和2T 都是自伴算子.假设存在自伴算子12,(,)S S L X X ∈,使得12T S iS =+,则1212S iS T iT +=+且**12121212()()S iS S iS T iT T iT -=+=+=-,因此1122,S T S T ==.泛函分析讲义-黎永锦156所以,存在唯一的自伴算子),(,21X X L T T ∈,使得*1212,T T iT T T iT =+=-. 5.27 设X 是Hilbert 空间,T T X X L T T n n →∈),,(,,若n T 是正规算子,试证明T 是正规算子.5.27 证明：由于n T 是正规,因此**n n n T T T T =故************************||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||n n n n n n n n n n n n n n n nn n n nn n n n n T T TT TT T T T T T T TT T T TT T T TT T T TT TT TT T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T -≤-+-+-≤-+-≤-+-⋅-+-≤⋅-+⋅-+⋅-+⋅**||n T -由n T T →可知**n T T →,所以**||||0T T TT -=即T 是正规算子.5.28 设X 是复H i l b e r t 空间,),(X X L T ∈,试证明T 是正规算子当且仅当||||||||*Tx x T =对于任意X x ∈成立.5.28 证明：若T 是正规算子,则**T T TT =,因此对于任意x X ∈,有**((),)0T T TT x x -=,故**(,)(,)T Tx x TT x x =,因此**(,)(,)Tx Tx T x T x =,所以*||||||||T x T x =对任意x X ∈成立.反之,若对任意x X ∈有*||||||||T x Tx =,则**(,)(,)Tx Tx T x T x =,故**(,)(,)T Tx x TT x x =.因而**((),)0T T TT x x -=对任意x X ∈成立.所以**0TT T T -=,即是T 正规算子.5.29 设X 是Hilbert 空间, T 是X 到X 的线性算子,若对任意,x y X ∈,有(,)(,)Tx y x Ty =,试证明T 是连续线性算子.5.29 证明：由于()D T X =,因此只须证T 是闭线性算子,若00,n n x x Tx y →→,则对于黎永锦-部分习题解答157任意y X ∈,有000(,)lim(,)lim(,)(,)(,)n n n n y y Tx y x Ty x Ty Tx y →∞→∞====故00(,)(,)y y Tx y =对任意y X ∈成立,因此00Tx y =,因而T 是闭线性算子,所以由闭图象定理可知T 是连续的.学年论文可选的题目学完一门课程,如能对所学内容做些比较系统的整理和思考,对加深该课程的理解和进一步学习都会有很好的帮助.学年论文的写作,可以提高阅读有关文献资料的能力,学会从书本和论文中了解有关信息、得到启发．并可有目的、有计划地搜集相关资料,可以养成独立思考和研究探索的好习惯. 下面的一些题目和思路可供参考：1. 抽象空间的球具有哪些奇怪的性质,在度量空间和赋范空间中,它们的性质有哪些不同,如开球的闭包一定是与开球球心和半径一样的闭球吗？开球有可能是闭集吗？2. 不动点定理的推广和应用,特别是在微分方程中的一些应用.3. 度量空间和赋范空间中,序列的各种收敛性的相互关系.4. 度量空间和赋范空间中,紧、完备、闭、有界等的相互关系.5. 凸集和凸函数的性质.6. 线性连续泛函和可加泛函的性质.7. 一致有界原理的应用.8. 逆算子定理或闭算子定理的应用. 9. Hahn-Banach 定理及其推广和应用. 10. 内积空间中的正交性的推广.11. 平面几何的有关概念和性质在Hilbert 空间的推广.泛函分析讲义-黎永锦12. 数学分析中的Fourier 级数相关概念在内积空间的推广.13. 赋范空间中的级数收敛的判别法.158。

第一章度量空间-黎永锦第1章度量空间在1900年巴黎数学家大会上我曾毫不犹豫地把十九世纪称为函数论的世纪.V. Volterra(伏尔泰拉)(1860-1940, 意大利数学家)泛函分析这一名称是由法国数学家P. Levy引进的. 在十九世纪后期,许多数学家已经认识到数学中许多领域处理的是作用在函数上的变换或者算子,推动创立泛函分析的根本思想是这些算子或变换可以看作某类函数上算子的抽象形式,把这类函数全体看成空间,而每个函数就是空间的点,算子或变换就把点变成点,将函数变成实数或复数的算子就称为泛函.泛函的抽象理论是由V. Volterra(1860-1940)在关于变分法的 P. Levy (1886-1971)工作中最先研究的,但在建立函数空间和泛函的抽象理论中,第一个卓越的成果是由法国数学家M. Frechet 1906年在他的博士论文中得到的.1. 1 度量空间M. Frechet是法国数学家,他1906年获得博士学位. M. Frechet的博士论文开创了一般拓扑学,G. Cantor, C. Jordan, G. Peano, E. Borel和其他数学家发展了有限维空间的点集理论. V. Volterra, G. ascoli和J. Hadamard等开始把实值函数作为空间的点来考虑. M. Frechet的博士论文统一了这两种思想,并建立了一个公理结构. 他给出收敛序列的极限的一组公理,然后定义了闭集、内点和完备集等基本概念,还引入1了相对列紧性和列紧性,并得到了列紧集的基本性质,在他的博士论文中,M. Frechet第一次给出了度量空间的公理.定义 1.1.1 若是一个非空集合,是满足下列条件的实值函数,Xd:X，X,Rx,y,X对于任意,有d(x,y),0(1) 当且仅当; x,yd(x,y),d(y,x);(2)d(x,y),d(x,z)，d(y,z)(3) .(X,d)则称d为X上的度量,称为度量空间.d(x,y)，d(y,x),d(x,x)d(x,y),0 明显地,由(3)可知 ,故由(2)可知,因此是一个非负函数. d(E,d)若X是一个度量空间,E是X的非空子集,则明显地也是度量空间,称(X,d)(E,d)为的度量子空间.d(x,y),|x,y|(R,d)例1.1.1 若R是实数集,定义,则容易看出是度量空间.X例1.1.2 对于任意一个非空集,只需定义,0,当 x , y 时,d(x,y) = ,1,当 x , y 时.,(X,d)则X是一个度量空间,称d为上的平凡度量或离散度量.度量不是唯一的,在一个非空集合上,可以定义几种完全不同的度量.nR例1.1.3 对于,可以定义几种不同的度量,对于, 有 x,(x),y,(y)iin21/2d(x,y),[(x,y)]; ,ii,n12nd(x,y),|x,y|; ,1iin,1d(x,y),max{|x,y|}2iinnnn容易验证,和都是度量空间,一般称为欧几里得(R,d)(R,d)(R,d)(R,d)12 空间.以下的例子是在M. Frechet 1906年提出的.例1.1.4 如果用记所有实数列形成的集合,对于任意,定义 x,(x),y,(y)sii ,|x,y|iid(x,y), ,i!(1，|x,y|)i1,iix容易知道满足度量定义中的(1)和(2),由函数(x) =在 (0, ) 是d,，,1，x |a，b|,|a|，|b|单调增加的可知对于,有|a，b||a|，|b||a||b|,,， 1，|a，b|1，|a|，|b|1，|a|，|b|1，|a|，|b| |a||b|,， 1，|a|1，|b|d(x,y),d(x,z)，d(y,z)(s,d) 令,则可得到,所以a,x,z,b,z,yiiii是一个度量空间.常见的序列空间还有如下几个空间.(x),(y),ll,{(x)|sup|x|,，,}例1.1.5 , 对于任意的,定义,iiii,i,,1d(x,y),sup|x,y|l. 即为所有有界数列所形成的空间,如, x,()ii,ii, 但. y,(1，(,1)),lz,(i),l,,c,{(x)|limx,0}(x),(y),c例1.1.6 ，对于任意的,定义ii00iii,,31cd(x,y),sup|x,y|. 即为所有收敛于0的数列所成的空间,如x,(), 0iii2 i1，(,1)i, 但. y,(),cz,(1，(,1)),c0i03,(x),(y),ld(x,y)例1.1.7 ,对于任意的,定义 l,{(x)||x|,，,}ii11,ii1i, ,1l.即为所有绝对收敛数列所成的空间,如, 但 ,|x,y|x,(),l1ii1,ii1,31. z,(),l1i3R 度量就是中距离的推广,在给定的集合上定义了度量,就可以讨论点列的收敛性.d(x,x),0(X,d)定义 1.1.2 设是度量空间,, 若, 则称序{x},Xlimn0n,,nxx,x(n,,)limx,x列按度量收敛于,记为, 或, 此时称为d{x}{x}0n0n0nn,,n x收敛点列,称为的极限. {x}0n大家都知道,若数列在数学分析中,是收敛的,则其极限是唯一的.类似地,在{x}n度量空间也有下面的结论.(X,d)定理 1.1.1 在度量空间中,若是收敛点列,则的极限一定唯{x}{x}nn一.x,y,Xlimx,xlimx,yx,y证明用反证法,假设有,使得,,但,则由nn,,,,nnd(x,y),0d(x,y),0,可知.又由于,因此d(x,y),d(x,x)，d(x,y)nnd(x,y),0x,y,但这与假设矛盾,所以由反证法原理可知的极限唯一. {x}n(X,d) 另外,容易看出,在度量空间中,若是收敛点列,则的任意子{x}{x}nn列也是收敛点列,并且极限是一样的.d(x,y),d(x,y)d(x,y)x,xy,y定理 1.1.2 若, ,则. 即是nn00n0n04和的二元连续函数. yx证明由于d(x,y),d(x,x)，d(x,y) nnn00n,d(x,x)，d(x,y)，d(y,y) n0000n因此d(x,y),d(x,y),d(x,x)，d(y,y) nn00n0n0同样地,有d(x,y),d(x,y),d(x,x)，d(y,y) 00nnn0n0因而|d(x,y),d(x,y)|,d(x,x)，d(y,y) nn00n0n0d(x,y),d(x,y)所以,. nn00如果考虑如下的问题呢,(X,d)问题 1.1.1 若 X 是线性空间,为度量空间,加法是否连续呢, 不一定,下面的例子是 D. D. Rothmann [A nearly discrete metric. Amer. Math.Monthly 81 (1974), 1018-1019. ] 作出的.R,(,,,，,)x,y,R例1.1.8 设, 对于任意,定义0,当 x , y 时,,d(x,y)= ,xy,max{||,||}当 x , y 时.,(R,d)则容易验证是一度量空间.1yx,1x,1y,1其实,只要取,,,, 则 ,,nn00n11,d(y,y),d(,,0),,0. d(x,x),d(1,1),0,0n0n0nn1d(x，y,x，y)d(x，y,x，y),d(1,,1),1但, 因此不收敛于0. 所以,虽nn00nn00n5x，yy,yx,x然,, 但是不收敛于. {x，y}00n0n0nn231/23R在空间解析几何中,称{(x,x,x)|(|x,x|),r}是中一个以,i1230i,1rx为球心,为半径的球.同样地,球的概念可以推广到一般的度量空间. 0r(X,d)定义 1.1.3 若为度量空间, 为大于0的实数,则称,{x,X|d(x,x),r}xrU(x,r)U(x,r)是以为球心, 为半径的开球,记为. 而0000 ,{x,X|d(x,x),r}xrB(x,r)称是以为球心,为半径的闭球. 000抽象的度量空间与现实的世界有着较大的区别,下面的问题是很有意思的.问题 1.1.2 在度量空间中,一个半径较小的开球能否真包含一个半径较大的开球,度量空间的开球与真实世界的球有着本质的区别,一个半径为6的开球,可能会真包含在一个半径为4的开球内.22X,{(x,x)|x,x例1.1.9 设X为实数,}, 在上定义度量 |x|，|x|,16121212 221/2,则以x= (0, 0) 为球心4为半径的小球真包含以d(x,y),(|x,y|，|x,y|)01122y= (3, 0)为球心6为半径的大球. 0进一步,还可以考虑下面的问题.r,r,0问题 1.1.3 对于任意,是否都可找到一个度量空间,存在两球,使得小21 U(x,r)U(x,r)球真包含大球呢, 01026利用开球还可以刻画点列的收敛性,类似于数学分析中的数列收敛与开区间的{x},,0n,N联系,序列依度量收敛于当且仅当对于任意,存在,使得xNn0xU(x,,)时, 都包含在开球中. n00,,,1例1.1.10 若为非空集合的平凡度量,则对任意及, Xdx,X0xn,NU(x,,)只包含一个点,因此如果序列收敛于,则必有,使得时,一定xNn00 x,x有. n0r,0 1.1.4 设M是度量空间X定义的子集,若存在 xX,, 使得M包含在,0U(x,,)(X,d)开球中,则称M是的有界集. 0r,0明显地,M是有界集当且仅当存在x及,使得对任意,有x,M0. d(x,x),r0定理 1.1.3 若为度量空间的收敛序列,则是有界的. {x}{x}nnN,,1n,Nlimx,x证明设, 则对于,存在,使得时,有. d(x,x),1n0n0,,nn令, 则对任意的,有,故r,max{1,d(x,x),,,,,d(x,x)}，1d(x,x),r010n,10n ,所以是有界的. {x}{x},U(x,r)nn0(X,d)有界集是一个与度量有关的概念,因为对于任意一个度量空间,都可以引M,X入另一度量,使任意子集都是有界集. ,d(x, y),(x,y),M,XX事实上,只需令 ,则容易看出对任意,M都是(,) ,1，d(x, y)d(x,x),0,(x,x),0的有界集,并且有当且仅当. nn7d(x,y)例1.1.11 设s 为全体实数列,对于任意, x,(x),y,(y),sii,|x,y|ii=,试证明(s, d)中序列按度量收敛当且仅当序列按坐标收敛. d,i!(1，|x,y|)ii,i1 (n)(0),|x,x|iix,s证明若 , ,则 d(x, x) =0,,d(x,x),0nn,n0(n)(0)i!(1，|x,x|)i1,ii故对每一个固定的 i,有 0(n)(0)|x,x|ii00,d(x,x) n0(n)(0)i!(1，|x,x|)0ii00因而i!d(x,x)(n)(n)0n0|x,x|, ii001,i!d(x,x)0n0(n)(n)所以 ,即按坐标收敛于. {x}xlimx,xn0ii00,,n,1x若反过来,按坐标收敛于,则对于任意0,,,1,由于级数收{x}0,ni!,i1,1,,敛,因此存在正整数m,使得 . ,i!4im,,n()(0)对于每个i <m,有 N,使得 n > N时,有 .令 N =max {N,...,||x,x,ii 1ii4N },则当 n > N时,有 m-1,(n)(0)m,1m,1|x,x|4ii ,,,(n)(0),i!(1，|x,x|)i,1i,1iii!(1，)43, ,4因此(n)(0)(n)(0)m1,,|x,x||x,x|iiiid(x,x),， n0,,(n)(0)(n)(0)i!(1，|x,x|)i!(1，|x,x|)i1im,,iiii,,3 ,，,.,448limd(x,x),0.所以即依度量收敛到. d{x}xn0n0,,n1.2 度量拓扑在数学分析,对实数集R,已经有了开区间,闭区间,开集和闭集等概念,将这些概(X,d)念推广到一般的度量空间,就可以建立起度量空间的拓扑结构.(X,d)定义 1.2.1 设是度量空间,是X的子集,x,G称为的内点,若存GG0在的某个开球,使得. 若G的每一个点都是的内点,则称GU(x,r)U(x,r),G00 为开集. G, 另外,规定空集是开集,明显地X一定是开集.(X,d)定理 1.2.1 对于任意, 开球是度量空间的开集. x,X,r,0U(x,r)00证明只需证明对于任意的,是的内点. xx,U(x,r)U(x,r)00r',r,d(x,x)d(x,x),rr',0 对于,有,令,则且 x,U(x,r)000d(x,y),r'时, 有,因而 y,U(x,r')d(x,y),d(x,x)，d(x,y),d(x,x)，r',r 000所以，,即是的内点,由是任意的可知是xxU(x,r'),U(x,r)U(x,r)U(x,r)000开集.下面关于开集的基本性质就是一般拓扑学的公理基础.(X,d)定理 1.2.2 设是度量空间,则(1) 任意个开集的并集是开集;9(2) 有限个开集的交集是开集.(X,d)证明 (1) 设为的一族开集,则对任意,有某个下标, x,:GG,0,,,U(x,r),GU(x,r),G使 ,由于G是开集,因而有开球,因此,故x,G,,,,:000, GG 为的内点, 由是任意的可知是开集. xx::,,,,nG,,,,,Gx,G (2) 设为开集,对于任意,对,有, i,1,2,,,,,nx,G1nii:i,1Gr,min{r|i,1,2,,,,n}U(x,r),Gr由于是开集,因此有使得,令,则 iiiiinnnU(x,r),GU(x,r),GGG,因而, 所以,为的内点,从而为开集.xii:::iiii,1,1i,1例1.2.1 设X是非空集合,为X上的平凡度量,则对任意,开球 dx,X0U(x,1),{x|d(x,x),1},{x}, 因而是开集,所以,X的任意子集 {x}0000G,{x}都是开集. :x问题 1.2.1 任意多个开集的交集是否一定为开集,任意多个开集的交集不一定是开集.11d(x,y),|x,y|例 1.2.2 在实数空间中,,对于任意自然数,G,(,,)Rnnnn,11,:(,,),{0}G是的开集, 但不是开集. Rn:nn,n1C(X,d)F,X定义 1.2.2 度量空间的子集称为闭集,若的余集\是开集. FFF 由上面的定理,容易看出下面定理成立.(X,d)定理 1.2.3 设是度量空间,则,X(1) 和是闭集;10(2) 任意闭集的交集是闭集;(3) 有限个闭集的并集是闭集.与闭集有着密切联系的概念是极限点.(X,d)定义 1.2.3 设F是中的集合,,若包含的任意开集都含有不同x,XxFF于的的点,则称为的极限点. xxFFR 明显地,为的极限点时,不一定属于. 例如在实数空间中,0是 F = xx 1{| n = 1, 2,… , n,… }的极限点,但. 0,FnF容易看出,有几种方法可以检查一个点是否为的极限点. xx,X(X,d)定理 1.2.4 设为度量空间, , ,则下列条件等价: F,X0F (1) x为的极限点; 0F(2) 包含x的任何一个开集都含有异于x的无穷多个点; 00x,x,xlimx,x.F (3) 在中存在序列,且 nn0n0,,n(X,d)FF定义 1.2.4 设是度量空间,,称的极限点全体为的导集,记F,XF,F:F'F'F为.称为的闭包.F,FF,[1,2]:{3,4}F',[1,2]例1.2.3 在实数空间中,若,则,且. R(X,d)FX定理 1.2.5 设是度量空间,为的子集,则下列条件等价:F (1) 是闭集;F',F(2) ;F,F(3) .CF,FF',F 证明 (1)(2) 若是闭集,则是开集. 如果,则. 如果 F',,x,F'x,F,, 则对任意,必有. F',CCCx,Fx,FF:F,F,不然,假设,则有,由于是开集,且, 但这与11x,F'矛盾.F,F:F',F(2)(3) 若F',F,则. ,CF,F,F:F',F,(3)(1) 若,则F',F.如果,则是闭集; F,X,CCx,FF,x,F',如果,则对任意,由F',F可知,因而存在开球CCCFFU(x,r):F,,F, 故,即是的内点,因此是开集,所以是闭xU(x,r),F 集.x,X(X,d)定理 1.2.6 设是度量空间,,,则下列条件等价: F,X(1) ; x,F(2) 的每个开球都包含有的点; Fxlimx,x.{x},F(3) 有序列,使得 nn,,nx,F,F:F'x,FU(x,r)证明 (1)(2) 对,若,则明显地对每个开球, ,xx,F'U(x,r)U(x,r)U(x,r)包含有的点.若,则对于的每个开球,必含有的FFx U(x,r)异于的点,所以一定含有的点. Fx11x (2)(3) 对于任意正整数,中含有的点,因而dxx,所U(x,)F,(,),nnnnn limx,x.以, n,,n{x},Fx,Flimx,x. (3)(1) 设存在,使得如果,则明显地有,nn,,nx,x{x},Fx,Fx,Flimx,x..如果,则由可知,因而由可知nnn,,nx,Fx,F',所以,.容易证明,的闭包就是包含的最小闭集,因此需要考虑下面的问题. FFU(x,r)(X,d)问题 1.2.2 在度量空间中,开球的闭包是否一定是闭球0B(x,r), 0rU(x,r)(X,d)B(x,r)x在度量空间中,都以为球心,为半径的开球和闭球 00012虽然半径一样,但开球的闭包不一定是闭球.R,(,,,，,)例1.2.4 在上,定义平凡度量,0,当 x , y 时,d(x,y)= ,1,当 x , y 时.,U(0,1)U(0,1),{0}则对于开球,由于是闭集,因此它的闭包仍是{0},不是闭球B(0,1),(,,,，,).(X,d)定义 1.2.5 设是度量空间,, 称的内点全体为的内部,记GGG,X0G为.容易证明,对于的内部和闭包,有下面的定理成立. G(X,d)F,X定理 1.2.7 设为度量空间,, ,则 G,X0G,G (1) 是开集当且仅当; G0G,G,G (2) ;00G,FG,F(3) 当G,F时,一定有, .利用闭包这一概念,还可以引进一些与闭包有关的概念.F,X(X,d)定义 1.2.6 设X为度量空间的子集,若,则称在中稠密. FFF(X,d)定义 1.2.7 设为度量空间的子集,若不包含任何内点,则称称在FFX中是疏朗的.R,(,,,，,)例1.2.5 全体有理数Q在实数空间中是稠密的,而全体自然数在中是疏朗的. ZR(X,d)在度量空间d中,利用度量,可以定义开集,闭集,闭包,内部等概念,也可13以利用开集来刻画序列依度量收敛于. dx{x}0nF. Hausdorff (1868-1942)发现对于一个给定的点集,可以不必引进度量,也能用某种方式来确定某些子集为开集,然后利用开集就可以建立闭集,闭包和序列收敛等概念,F. Hausdorff 利用这些概念建立了拓扑空间的完整理论.定义 1.2.8 设X是一个非空集合,是X的一族子集,若满足下面的三个公,,理,则称(X,)是拓扑空间 ,X,,,(1) ,,,;(2) 中任意个集合的并集属于; ,,(3) 中任意有限个集合的交集属于. ,,此时称中每一个集合为开集,则称为拓扑. ,,(X,,)(X,d)明显地,若是度量空间,为度量空间中的全体开集,则为拓扑,空间,称为度量d产生的拓扑. ,(X,,)XX例1.2.6 设是一个非空集合,为的子集的全体,则是一个拓扑,X空间,此时称为的离散拓扑.此时,对于任意,都是开集.若d为上的平凡x,Xx, X度量,则度量d产生的拓扑就是的离散拓扑.(X,,)X,{x,y,z}X,{x},{x,y},{x,z}},例1.2.7 设,={,,则为一拓扑空,z(X,,)UUy间. 但在中,对含有点和含有点的任意开集和,都有 zyU:U,,. yz 1x,y,X(X,d)明显地,在度量空间中,对于任意,只需取, 则r,d(x,y)4U(x,r):U(y,r),,,具有这种性质的拓扑空间称为Hausdorff 空间.14(X,,)定义 1.2.9 拓扑空间称为Hausdorff 空间,若对于中的任意,Xx,yx,yUx,U,,存在两个开集和, 使得,,且. UU:U,y,Uxxyxyy(X,d)另外,度量空间还具有下面例题中的性质,而具有这种性质的拓扑空间为正规空间.(X,d)FFF:F,,例题 1.2.1 设,是度量空间中的两个闭集,且,试证明1212UUF,UF,UU:U,,存在开集,,使得,,且. 12112212ccF:F,,F证明: 由于,因此.由是闭的可知是开集,故对于任意 FF,F122122 cx,Fr,0,存在,使. U(x,r),F1x2xrxUF,UU,U(x,)令,则是开集,且. 1111:2,xF1rycy,F,(,)UUy类似地,对于任意,存在,使得U(y,r),F,令,则r,0221yy:2,xF2UF,U是开集,且. 222rryx:(,)z,U:UUx:,如果存在,则由可知一定有:(,)Uy,122,xF2,yF12rryxx,F(,)z,Uy(,)y,Fz,Ux,,使且. 1222因此rryxd(x,y),d(x,z)，d(y,z),，,max{r,r} xy22cy,Fd(x,y),r但这是不可能的,因为若,则与矛盾;若d(x, y) <y,U(x,r),Fx22xcx,Fx,U(y,r),Fr, 则与矛盾. y11yU:U,,F,UF,U因此由上面讨论可知,所以存在开集,且121122U:U,,. 1215(X,,)Paul S. Uryosohn (1892-1924) 还证明了每一个正规的拓扑空间都可以引进度量,使得产生的拓扑与是一致的,即每一个正规的拓扑空间都是可度量d, 化的.1.3 连续算子M. Frechet在他1906年的博士论文中,考察了一类空间,在空间中定义了LL泛函的连续性和一致收敛性等,在空间中引进并研究了列紧性,证明了在列紧集L 上的连续泛函是有界的,并在列紧上达到它的极大(小)值,这样就将实变函数的许多结果进行推广.其实,依照数学分析中函数的连续性,在度量空间中很容易引入算子的连续性.(X,d)定义 1.3.1 设和(Y,)都是度量空间,为X到Y的算子,x,X,若对,T0x,,0d(x,x),,,(Tx.Tx),,任意,存在,使得时,有,则称算子在点连续,T,,0000 XX若在上的任意点都连续,则称在上连续. TT例1.3.1 设 c 为所有收敛于0的实数列的全体,在度量 d(x, y) = sup |x - y| 0ii下是度量空间,若 T 为 c 到 c 的算子,T x = 3x + y,这里 y 为 c 的一个固定00000元,则 T 为连续映射.事实上,由于 c 是线性空间,且由d的定义可知d(x, y) = d(x - y, 0),因而对任0,,,,意 >0, 只须取 = ,则当 d(x, x) <时,有 d(Tx, Tx) = d(3x+y, 3x + y) = 000006,3d(x, x) <,因而T在x点连续,而x是c的任意点,所以T在X上连续. 0000 x(X,d) 容易看出,若是到(Y,)的算子,则在点连续当且仅当对于任意T,T016x{x}limTx,Tx.收敛于的序列,有 0nn0,,n,还可以利用开集来刻画的连续性. 另外T(X,d)Y定理 1.3.1 设和(Y,)是度量空间,则在上连续当且仅当中每X,T个开集的逆象在中是开集. X,1,1GY,证明若是的开集,则不妨设,对任意,有x,T(G)T(G),0Tx,GG,由于是开集,因此存在,因为是连续的,所以存在> 0,,TU(Tx,,),G00,1,1x,U(x,,)Tx,U(Tx,,)U(x,,),T(U(Tx,,)),T(G)使得时,有,因而, 0000 ,1,1,1故x是的内点,所以,由x是的任意点,可知是开集. T(G)T(G)T(G)00 ,1x,XGY 反之,若对于中的每个开集,都是X的开集,则对于任意 T(G)011,,,,0和任意,T(U(Tx,,))为X的开集,因此存在U(x,,),T(U(Tx,,)), 即对000d(Tx,Tx),,,,0d(x,x),,,x于任意,存在>0,使得时,有, 所以在点连续,T000 X因而在上连续. T在实数空间中,[a, b] 上的连续函数一定有界并达到它的上下界. 但在度量R 空间中,有界闭集上的连续函数不一定能达到它的上、下界,因此需要引入列紧性这一概念,列紧性是 M. Frechet在1904年发表在 Comptes Rendus 的论文引进的.下面的列紧性与紧性在实数中可由Heine-Borel-Lebesgue定理和 RBolzano-Weierstrass定理来表现.Heine-Borel-Lebesgue 定理指的是闭区间 [a, b] 为一族开区间所覆盖时,它一定为这一族中的有限个开区间所覆盖,而Bolzano-Weierstrass定理指的是有限区间中每个点列必有子列收敛于区间中的一点.(X,d)XX定义 1.3.2 设为度量空间,为的子集,若的任何序列都有在FF17中收敛的子序列,并且是闭的,则称为列紧集. F(X,d)定义 1.3.3 设为度量空间,的子集称为紧的,若的每个开覆盖XFF都有有限的子覆盖, 即如果是的一族(可列或不可列)开集,且,XGG,F,,:,1 n:G,F则一定存在有限个开集, ,使得. GG,,,,,G,,,,i2n1i,1(X,d) 在度量空间中,的子集的列紧性与紧性是一致的. X(X,d)定理 1.3.2 设是度量空间, F,X,则是列紧的当且仅当是紧FF的.由紧集的定义容易得到下列的简单性质.(X,d)定理 1.3.3 设是度量空间,则(1) 只有有限个点的子集是紧集;(2) 紧集是有界闭集;(3) 紧集的任意闭子集是紧的;(4) 任意一族紧集的交集是紧集.X,{1,2,3,,,,,n,,,,} 但度量空间的有界闭集不一定是紧的,如在中,定义平凡度F,{2,4,6,,,,,2k,,,,}d(x,y)量,则为的有界集,且是闭的,但不是紧集. XF(X,d) 度量空间的紧集上的连续函数具有许多闭区间上连续函数所具有的性质.Y(X,d)XX定理 1.3.4 设和(Y,)为度量空间,为的紧集,为到的连,FTT(F)续算子,则是紧集.y,Tx{y}{x},FT(F)证明设为的任意序列,则有,使得.由于是紧Fnnnn18x,Flimx,x的. 因此存在,使得,且.因为在点连续,所以x{x}T00n0nkkk,,limy,limTx,y,故为紧集. ,T(F)T(F)nn0kk,,,,kkf(X,d)定理 1.3.5 若为度量空间,为的紧集,为到实数的连续函XXFRf数,则一定有界,并且在X上达到上、下确界.f(F)f(F)证明由上面的定理可知,为实数的紧集,因此有界,故存在M > 0,R|f(x)|,Mf(F)f(F)使得对任意 x,有.由于为实数的紧集,因而包含上确界Rf(x),yf(x),yyyx,x,F和下确界,所以存在,使得,. 11221212(X,d)由上面定理可知,若为度量空间, 为紧集,则上每个实值连续函数FF都是有界的,但下面的问题又如何呢,(X,d)问题 1.3.1 设为度量空间,若X上的每个实值连续函数都是有界的,则X是否一定是紧的呢,XX E. Hewitt 在1948年肯定地回答了上述问题,他证明了是紧的当且仅当上的每个实值连续函数都是有界的.Émile Borel在1895年首先给出并证明了现在的Heine–Borel定理,Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) 和Schoenflies (1900)推广和完善了该定理.nR定理 1.3.6 (Heine–Borel theorem)空间中的子集是紧的当且仅当是有FF 界闭集.证明当是紧集时,明显地是有界闭集. FFnRd(x,0),x,F 反过来,若是的有界闭集,则存在M > 0,使得对于任意,有 F19nnk()21/221/2(|x|),Md(0,x),(|x|),M.故对于中的任意序列, 有,因F{x}ikik,,ii,1,1(k)(k)(k)ki{x},R而对于每个固定的,有 |对任意成立,由及{x}为有界数x|,Miii(k)Ri,1列可知它一定有收敛子序列. 对于, 在中一定有收敛的子序列{x}1 (k)(k)mmRi,2;同样,对于, 在中一定有收敛的子序列,不妨仍记为{x}{x}12 (k)(k)(k)(k)mmmm,依照同样的方法,可以找到个子序列,即, ,...,n{x}{x}{x}{x}n122nR都收敛.由中度量的定义容易知道的子序列一定收敛,所以,是紧{x}F{x}kkm 集.紧集上的连续算子还具有一些关于不动点的性质.下面先看看不动点的定义和一个非常简单的例子.x,F(X,d)F,XT定义 1.3.4 设为度量空间,,为到的映射,若,使FF0Tx,xxT得 ,则称为的不动点. 000先看看下面很有意思的例子.xff例 1.3.2 若是[0,1]到[0,1]的连续函数,则在[0,1]一定有不动点,使得0f(x),x. 00f(0),0f(1),1f实际上,如果或,则明显地,在[0,1]一定有不动点.假如g(0),0f(0),0f(1),1g(x),f(x),x和都不成立,那么对于,有,并且x,(0,1)g(x),f(x),x,0g(1),0,有连续函数的中值定理可知，存在,使得,0000 f所以,在[0,1]一定有不动点.容易知道,[0,1]是R上的闭凸集,将上面的结果推广到[0,1]上的紧凸集,就得nR到了Brouwer不动点定理,L. E. J. Brouwer 在1912年证明了欧几里得空间的不20动点定理.nnRR定理 1.3.7 (Brouwer不动点定理) 设为欧几里得空间,为的紧凸集,若F Tx,xx,FT为到的连续映射,则存在,使得. FF000x,y,XFF,X 设为线性空间,,则是凸集指的是对于任意的,及任意X,x，(1,,)y,F,有. ,,(0,1)凸集非凸集1922年,G. D.Birkhoff 和O. Kellogg证明在中不动点定理成立. J. Schauder l2在1930年还把上述不动点定义推广到赋范空间,即赋范空间中的任一紧凸集具有不动点性质,而Tychonoff进一步证明局部凸空间的任一紧凸集也具有不动点性质.1.4 完备性与不动点定理{x}在数学分析讨论实数数列的极限时,大家都知道数列是Cauchy列当且仅n {x}当为收敛数列,Cauchy列这一概念亦可推广到度量空间. n,,0{x}(X,d)X定义 1.4.1 设是度量空间,为的序列,若对任意, 存在正n{x}m,n,Nd(x,x),,N整数,使得时,有,则称为Cauchy列. mnn21{x}{x}(X,d)明显地,若为度量空间的收敛列,则一定是Cauchy列,但反之nn 不然.d(x,y),|x,y|(Q,d)例1.4.1 设为全体有理数,,则为度量空间,且Q11nn(Q,d)Cauchy列,但在度量空间中不是收敛列. ，，{(1)}{(1)}nn(X,d)定义 1.4.2 若度量空间的每一个Cauchy列都收敛于中的点,则称 X(X,d)为完备的度量空间.完备的度量空间具有很好的性质,M.Frechet在他的博士论文中就已经仔细地区别完备与非完备的度量空间了.d(x,y),sup|x,y|例1.4.2 所有实数收敛数列全体c在度量下是一个完备ii的度量空间.nR{x}例1.4.3 欧几里得空间是完备的度量空间,事实上,如果是Cauchy列,k则对于每个固定的,由 in(l)(m)(l)(m)21/2|x,x|,(|x,x|),d(x,x) ,iiiilm,i1(k)(k)xx,(x){x}可知是中的Cauchy列,因而存在,使得令,Rlimx,x.iiiii,,k nRlimx,x则,所以,是完备的度量空间. k,,k常见的序列空间c,l,l(1,p,,)都是完备的度量空间. 01p{[a,b]}在数学分析中,大家都知道闭区间套定理:如果闭区间列满足如下条nn 件:22[a,b],[a,b](1) ,; n,1,2,3,,,,n，1n，1nnlim|a,b|,0(2) . nnn,,,,[a,b](n,1,2,3,,,,)lima,limb,,则存在唯一的,使得. nnnnn,,n,,在完备的度量空间,有类似的结论.(X,d)定理 1.4.1 设是完备的度量空间,, B,{x|d(x,x),r}nnn,B,B,,,,,B,B,,,,,并且limr,0.则必有唯一的. x,:B12nn，1nn1n,n,,r,,,,0limr,0n,NN证明由于,因此对于任意的,存在,使得时,有. nnk,,{x}d(x,x),r,,m,n,N对于,由 ,可知,因而是Cauchy 列.因为B,Bnmnnmnlimx,xX是完备的度量空间,所以有,使. x,Xn,,n,d(x,x),r由,可知对任意成立,因此x,:B. d(x,x),rnnnn，pnnn1n,,,d(y,x),ry,:Blimx,y 假设,则由可知,所以,即,:Bx,ynnn1nn,nn,1n,,中只含有一点.该定理的几何意义是很明显的,如果有一列闭球,像洋葱一样,闭球内还有闭球,并且半径越来越小趋于0, 则一定有一点,在所有的球里面.(X,d)X例题 1.4.1 设是一个度量空间,若对中任意一列闭球B,B,,,,,B,B,,,limr,0, 这里,当时,一定有B,{x|d(x,x),r}12nn，1nnnnk,, ,(X,d)唯一的,试证明是完备的度量空间. x,:Bn1n,1xn,NNX证明设是的Cauchy列,则对,存在,使得时,有 ,,nkkkkk，12n,n,,,,,n,,,,nd(x,x),,.不妨把取为. 12kknnkkk，1231y,B令 ,则当时,有 B,{x|d(x,x),}k，1knkk2111 d(y,x),d(y,x)，d(x,x),，,nnnnk，1k，1kkk，1k，1k222B,B因而. kk，111,由可知存在唯一的,从而,因此limr,,0x,:Bd(x,x),k1kk,kkkk,,22{x}(X,d)limx,xlimx,x,由是Cauchy列可知,所以度量空间是完备的. nkn,,,,knlimr,0思考题 1.4.1 在上面定理中,若去掉条件,定理是否成立, nk,,x,y,X实际上,设为所有的正整数全体,对任意,定义 X1,1，,当 x,y 时,,,x，y,(x,y), ,,0,当 x,y 时.,,则是X上的一个度量,容易验证(X,,)是完备的度量空间.对任意正整数,取,n 1B,B,,,,,B,B,,,,就有,但B,{x|d(n,x),1，},{n，1,n，2,,,,}12nn，1n2n ,为空集. :Bnn,1思考题 1.4.2 在上面定理中,若去掉度量空间完备的条件,定理是否成立, 一个度量空间如果不是完备的,则用起来比较困难,好在F. Hausdorff早就证明一个度量空间能够,并且只能够按一种方式扩展成一个完备的度量空间.x,f(x)把某些方程写成的形式,把求解问题转化为求算子的不动点,然后利用逐次逼近法来求不动点,是一种很早就使用的方法,牛顿求代数方程的根时用的切线法就是这种方法,后来Picard用逐次逼近来求解常微分方程,S. Banach在1922年用度量空间及压缩算子描述这个方法,这就是Banach不动点定理.24(X,d)T定义 1.4.5 设是度量空间,是到的算子,若存在实数[0, XX,,x,yx,y,X,,都有 1),使得对一切d(Tx,Ty),,d(x,y)T则称为压缩算子.f|f'(x)|,,,1例1.4.4 设为实数上的可微函数,且在上有,则 RR,f(y)|,|f'(,)||x,y|,,d(x,y)d(f(x),f(y)),|f(x)f,为到的压缩算子,RR x如就是到的压缩算子. f(x),，1RR3ff反过来,若为实数上的可微函数,为到的压缩算子,则一定有RRRx,R|f'(x)|,,,1对所有的.实际上，由于fxxfxxxx,|(，,),()||(，,),|fx |'()|,lim,lim,,,1,x,0,x,0xx,,x,R|f'(x)|,,,1因此,对所有的都成立.T(X,d)T明显地,若是度量空间的压缩算子,则一定是连续的.事实上,若x,xd(Tx,Tx),,d(x,x),0T,则,因而是连续的. n0n0n0压缩算子最重要的性质是它在完备度量空间的Banach不动点定理.(X,d)TT定理 1.4.2 设度量空间是完备的,是压缩算子,则有唯一的不动点, Tx,xx即存在唯一的,使得.Xx证明在上取一固定的点,令 02nx,Tx,,,,x,Tx,Txx,Tx,Tx,, 10,10nn210p,1则对正整数n,1及,有25d(x,x),d(x,x)，d(x,x)n，pnn，pn，p,1n，p,1n,d(x,x)，d(x,x)，d(x,x)n，pn，p,1n，p,1n，p,2n，p,2n,,,,,d(x,x)，d(x,x)，,,,，d(x,x)n，pn，p,1n，p,1n，p,2n，1n1121n，pn，p,n，p,n，p,n，n ,d(Tx,Tx)，d(Tx,Tx)，,,,，d(Tx,Tx)000000 12231n，p,n，p,n，p,n，p,nn, ,,d(Tx,Tx)，,d(Tx,Tx)，,,,，,d(Tx,Tx)000000,,,,12n，p,n，p,n ,,d(Tx,x)，,d(Tx,x)，,,,，,d(Tx,x)000000n, . ,d(x,x)10,,1(X,d)由0,,1可知为Cauchy列,因为是完备的,所以存在,使,{x}x,Xnx,Txx,TxTlimx,x.由,可知,因此为的不动点. xn，1nn,,nyx,yd(x,y),d(Tx,Ty),,d(x,y)T 假设是的另一个不动点,并且,则 ,d(x,y)T,矛盾,所以是唯一的不动点. x22TT容易看出,若是压缩算子,则也是压缩算子.但是压缩算子时,不一定TT是压缩算子.nT例1.4.5 不是压缩算子时,可能存在,使得是压缩算子. Tn,NtTx(t),x(u)dux,C[0,1]C[0,1]C[0,1]设是从空间到内的映射,对于,, T,0 d(x,y),max|x(t),y(t)|C[0,1]0,t,1.这里的度量为. 明显地,有tt d(Tx,Ty),max|x(u)du,y(u)du|,d(x,y),,0026x(t),A,y(t),B令,这里A和B为常数,则ttd(Tx,Ty),max|Adu,Bdu| ,,000,t,1,|A,B|,d(x,y),,[0,1)因此,不存在,使得d(Tx,Ty),,d(x,y)从而不是压缩算子. Tx,y,C[0,1] 对任意,有tu22d(Tx,Ty),max|[x(v),y(v)]dvdu| ,,000,t,1t1 . ,max|ud(x,y)du|,d(x,y),00,,1t22T所以,是压缩算子.A(X,d)XX推论 1.4.1 设是完备度量空间,为到的算子,若存在某个正nAA整数n,1,使得是压缩算子,则有唯一的不动点.nnnx,yT,Ad(Ax,Ay),,d(x,y)证明若,对任意的x,y,X,成立, 则令,Tx,x由上面定理可知存在唯一的,使得.. Tx,Xnn，1Tx,x,AxTAx,Ax,Ax,则由,及,可知假如x,Axd(x,Ax),d(Tx,TAx),,d(x,Ax),d(x,Ax)yyx,AxxAA矛盾,从而,即为的不动点,并且当是的另一个不动点时,一x,yxA定是的不动点, 因而,所以只有唯一的不动点. T27nxxAA 另外, 明显地,若是的不动点,则对于任意正整数,也是的不n,100动点.x,2，2，2，x例题 1.4.2 试求方程的根.X,[0,，,),d(x,y),|x,y|(X,d) 解令,则是完备的度量空间,定义T:X,X,Tx,2，x,容易验证1d(Tx,Ty),d(x,y) 2x,2xTx,x因而，存在不动点,使得,并且. 000033x,2T:X,X,Tx,2，2，2，x 明显地, 也是的不动点,0x,2x,2，2，2，x所以,方程有根. 0(X,d)思考题 1.4.3 在不动点定理中,若条件“度量空间完备”去掉,则定理成立否,d(Tx,Ty),思考题 1.4.5 在不动点定理中,若条件“存在 0<1使得 ,,,d(x,y)d(Tx,Ty),d(x,y)对任意都成立”换为“对任意都成立”,则x,yx,y定理成立否,容易找到例子,上面两个问题的答案都是否定的.x,Tx上面在证明不动点定理时,采用进行逐次迭代的方法,这是一种在n，1n。

1第1章 度量空间在1900年巴黎数学家大会上我曾毫不犹豫地把十九世纪称为函数论的世纪.V. V olterra(伏尔泰拉) (1860-1940, 意大利数学家)泛函分析这一名称是由法国数学家P. Levy 引进的. 在十九世纪后期,许多数学家已经认识到数学中许多领域处理的是作用在函数上的变换或者算子,推动创立泛函分析的根本思想是这些算子或变换可以看作某类函数上算子的抽象形式,把这类函数全体看成空间,而每个函数就是空间的点,算子或变换就把点变成点,将函数变成实数或复数的算子就称为泛函.泛函的抽象理论是由V. V olterra(1860-1940)在关于变分法的 P. Levy (1886-1971) 工作中最先研究的,但在建立函数空间和泛函的抽象理论中,第一个卓越的成果是由法国数学家M. Frechet 1906年在他的博士论文中得到的.1. 1 度量空间M. Frechet 是法国数学家,他1906年获得博士学位. M. Frechet 的博士论文开创了一般拓扑学,G . Cantor, C. Jordan, G. Peano, E. Borel 和其他数学家发展了有限维空间的点集理论. V. V olterra, G . ascoli 和J. Hadamard 等开始把实值函数作为空间的点来考虑. M. Frechet 的博士论文统一了这两种思想,并建立了一个公理结构. 他给出收敛序列的极限的一组公理,然后定义了闭集、内点和完备集等基本概念,还引入2了相对列紧性和列紧性,并得到了列紧集的基本性质,在他的博士论文中,M. Frechet 第一次给出了度量空间的公理.定义 1.1.1 若X 是一个非空集合,R X X d →⨯:是满足下列条件的实值函数,对于任意X y x ∈,,有(1) 0),(=y x d 当且仅当y x =; (2) );,(),(x y d y x d =(3) ),(),(),(z y d z x d y x d +≤. 则称d 为X 上的度量,称),(d X 为度量空间.明显地,由（3）可知 ),(),(),(x x d x y d y x d ≥+,故由（2）可知0),(≥y x d ,因此d 是一个非负函数.若X 是一个度量空间,E 是X 的非空子集,则),(d E 明显地也是度量空间,称),(d E 为),(d X 的度量子空间.例1.1.1 若R 是实数集,定义||),(y x y x d -=,则容易看出),(d R 是度量空间. 例1.1.2 对于任意一个非空集X ,只需定义),(y x d =⎩⎨⎧≠=.y x 1；y x ,0时当时当，则),(d X 是一个度量空间,称d 为X 上的平凡度量或离散度量.度量不是唯一的,在一个非空集合上,可以定义几种完全不同的度量. 例1.1.3 对于nR ,可以定义几种不同的度量,对于)(),(i i y y x x ==, 有2/121])([),(i nn i y x y x d -=∑=;3||),(11i nn i y x y x d -=∑=;|}max{|),(2i i y x y x d -=容易验证),(d R n ,),(1d R n 和),(2d R n 都是度量空间,一般称),(d R n 为欧几里得空间.以下的例子是在M. Frechet 1906年提出的.例1.1.4 如果用s 记所有实数列形成的集合,对于任意)(),(i i y y x x ==,定义|)|1(!||),(1i i i i i y x i y x y x d -+-=∑∞=容易知道d 满足度量定义中的（1）和（2）,由函数ϕ(x) =xx+1在 (0, ∞+) 是单调增加的可知对于||||||b a b a +≤+,有||||1||||||1||||||1||||||1||b a b b a a b a b a b a b a +++++=+++≤+++||1||||1||b b a a +++≤令i i i i y z b z x a -=-=,,则可得到),(),(),(z y d z x d y x d +≤,所以),(d s 是一个度量空间.常见的序列空间还有如下几个空间.例 1.1.5 }||sup |){(+∞<=∞→∞i i i x x l , 对于任意的∞∈l y x i i )(),(,定义||s u p ),(i i y x y x d -=. 即∞l 为所有有界数列所形成的空间,如)1(ix =,∞∈-+=l y i ))1(1(, 但∞∉=l i z )(.例 1.1.6 }0lim |){(0==∞→i i i x x c ，对于任意的0)(),(c y x i i ∈,定义4||sup ),(i i y x y x d -=. 即0c 为所有收敛于0的数列所成的空间,如)21(ix =, 0)3)1(1(c y ii ∈-+=, 但0))1(1(c zi ∉-+=.例1.1.7 }|||){(11+∞<=∑∞=i i i x x l ,对于任意的1)(),(l y x i i ∈,定义),(y x d∑∞=-=1||i i i y x .即1l 为所有绝对收敛数列所成的空间,如1)31(l x i ∈=, 但 1)1(l iz ∉=.度量就是3R 中距离的推广,在给定的集合上定义了度量,就可以讨论点列的收敛性.定义 1.1.2 设),(d X 是度量空间,X x n ⊂}{, 若0),(0lim =∞→x x d n n , 则称序列}{n x 按度量d 收敛于0x ,记为0lim x x n n =∞→, 或)(0∞→→n x x n , 此时称}{n x 为收敛点列,称0x 为}{n x 的极限.在数学分析中,大家都知道,若数列}{n x 是收敛的,则其极限是唯一的.类似地,在度量空间也有下面的结论.定理 1.1.1 在度量空间),(d X 中,若}{n x 是收敛点列,则}{n x 的极限一定唯一.证明 用反证法,假设有X y x ∈,,使得x x n n =∞→lim ,y x n n =∞→lim ,但y x ≠,则由),(),(),(y x d x x d y x d n n +≤,可知0),(≤y x d .又由于0),(≥y x d ,因此0),(=y x d ,但这与假设y x ≠矛盾,所以由反证法原理可知}{n x 的极限唯一.另外,容易看出,在度量空间),(d X 中,若}{n x 是收敛点列,则}{n x 的任意子列也是收敛点列,并且极限是一样的.定理 1.1.2 若0x x n →, 0y y n →,则),(),(00y x d y x d n n →. 即),(y x d 是5x 和y 的二元连续函数.证明 由于),(),(),(00n n n n y x d x x d y x d +≤ ),(),(),(0000n n y y d y x d x x d ++≤因此),(),(),(),(0000y y d x x d y x d y x d n n n n +≤-同样地,有),(),(),(),(0000y y d x x d y x d y x d n n n n +≤-因而),(),(|),(),(|0000y y d x x d y x d y x d n n n n +≤-所以,),(),(00y x d y x d n n →.如果考虑如下的问题呢？问题 1.1.1 若 X 是线性空间,),(d X 为度量空间,加法是否连续呢？ 不一定,下面的例子是 D. D. Rothmann [A nearly discrete metric. Amer. Math. Monthly 81 (1974), 1018-1019. ] 作出的.例1.1.8 设),(+∞-∞=R , 对于任意R y x ∈,,定义),(y x d =⎩⎨⎧≠=.y x |}||,max{|；yx ,0时当时当，y x则容易验证),(d R 是一度量空间. 其实,只要取1=n x ,n y n 1-=,10=x ,10=y , 则 00)1,1(),(0→==d x x d n ,01)0,1(),(0→=-=nn d y y d n .但1)1,11(),(00=-=++nd y x y x d n n , 因此),(00y x y x d n n ++不收敛于0. 所以,虽6然0x x n →,0y y n →, 但是}{n n y x +不收敛于00y x +.在空间解析几何中,称})||(|),,{(2/12310321r x x x x x i i ≤-∑=是3R 中一个以0x 为球心,r 为半径的球.同样地,球的概念可以推广到一般的度量空间.定义 1.1.3 若),(d X 为度量空间,r为大于0的实数,则称),(0r x U }),(|{0r x x d X x <∈=是以0x 为球心, r 为半径的开球,记为),(0r x U . 而称),(0r x B }),(|{0r x x d X x ≤∈=是以0x 为球心,r 为半径的闭球.抽象的度量空间与现实的世界有着较大的区别,下面的问题是很有意思的.问题 1.1.2 在度量空间中,一个半径较小的开球能否真包含一个半径较大的开球？度量空间的开球与真实世界的球有着本质的区别,一个半径为6的开球,可能会真包含在一个半径为4的开球内.例 1.1.9 设2121,|),{(x x x x X =为实数,16||||2221<+x x }, 在X 上定义度量 2/1222211)|||(|),(y x y x y x d -+-=,则以0x = (0, 0) 为球心4为半径的小球真包含以0y = (3, 0)为球心6为半径的大球.进一步,还可以考虑下面的问题.问题 1.1.3 对于任意012>>r r ,是否都可找到一个度量空间,存在两球,使得小球),(10r x U 真包含大球),(20r x U 呢？7利用开球还可以刻画点列的收敛性,类似于数学分析中的数列收敛与开区间的联系,序列}{n x 依度量收敛于0x 当且仅当对于任意0>ε,存在N ,使得Nn >时,n x 都包含在开球),(0εx U 中.例 1.1.10 若d 为非空集合X 的平凡度量,则对任意X x ∈0及10<<ε,),(0εx U 只包含一个点,因此如果序列n x 收敛于0x ,则必有N ,使得N n >时,一定有0x x n =.定义 1.1.4 设M 是度量空间X 的子集,若存在 x 0∈X,0>r , 使得M 包含在开球),(0εx U 中,则称M 是),(d X 的有界集. 明显地,M 是有界集当且仅当存在0x 及0>r ,使得对任意M x ∈,有r x x d ≤),(0.定理 1.1.3 若}{n x 为度量空间的收敛序列,则}{n x 是有界的.证明 设0lim x x n n =∞→, 则对于1=ε,存在N ,使得N n >时,有1),(0≤x x d n .令1)},(,),,(,1max{1010+⋅⋅⋅=-n x x d x x d r , 则对任意的n,有r x x d n ≤),(0,故),(}{0r x U x n ⊂,所以}{n x 是有界的.有界集是一个与度量有关的概念,因为对于任意一个度量空间),(d X ,都可以引入另一度量ρ,使任意子集X M ⊂都是有界集.事实上,只需令=),(y x ρy)d(x,1y)d(x,+,则容易看出对任意X M ⊂,M 都是(X ,ρ)的有界集,并且有0),(→x x d n 当且仅当0),(→x x n ρ.8例 1.1.11 设s 为全体实数列,对于任意s y y x x i i ∈==)(),(,),(y x d =|)|1(!||1i i i i i y x i y x -+-∑∞=,试证明(s, d)中序列按度量d 收敛当且仅当序列按坐标收敛.证明 若 s x n ∈, 0),(0→x x d n ,则 d(x n , x) =|)|1(!||)0()()0()(1i n i i n i i x x i x x -+-∑∞=→0,故对每一个固定的 i 0,有),(|)|1(!||00)0()(000x x d x x i x x n i i i n i ≤-+-因而),(!1),(!||0000)()(0x x d i x x d i x x n n n i n i -≤-所以 )()(0lim n i n i n x x =∞→,即}{n x 按坐标收敛于0x .反过来,若}{n x 按坐标收敛于0x ,则对于任意10<<ε,由于级数!11i i ∑∞=收敛,因此存在正整数m,使得4!1ε<∑∞=i mi . 对于每个i <m,有 N i ,使得 n > N i 时,有 4||)0()(ε≤-in ix x .令 N =max {N 1,...,N m-1 },则当 n > N 时,有)41(!4|)|1(!||11)0()()0()(11εε+≤-+-∑∑-=-=i x x i x x m i i n i i n i m i43ε≤因此|)|1(!|||)|1(!||),()0()()0()()0()()0()(110i n i i n i m i i n i i n i m i n x x i x x x x i x x x x d -+-+-+-=∑∑∞=-= .443εεε=+≤9所以 .0),(lim 0=∞→x x d n n 即}{n x 依度量d 收敛到0x .1.2 度量拓扑在数学分析,对实数集R,已经有了开区间,闭区间,开集和闭集等概念,将这些概念推广到一般的度量空间,就可以建立起度量空间),(d X 的拓扑结构.定义 1.2.1 设),(d X 是度量空间,G 是X 的子集,G x ∈0称为G 的内点,若存在的某个开球),(0r x U ,使得G r x U ⊂),(0. 若G 的每一个点都是G 的内点,则称G 为开集.另外,规定空集φ是开集,明显地X 一定是开集.定理 1.2.1 对于任意0,0>∈r X x , 开球),(0r x U 是度量空间),(d X 的开集. 证明 只需证明对于任意的),(0r x U x ∈,x 是),(0r x U 的内点.对于),(0r x U x ∈,有r x x d <),(0,令),('0x x d r r -=,则0'>r 且)',(r x U y ∈时, 有'),(r y x d <,因而),(),(),(00y x d x x d y x d +≤r r x x d =+<'),(0所以，),()',(0r x U r x U ⊂,即x 是),(0r x U 的内点,由x 是任意的可知),(0r x U 是开集.下面关于开集的基本性质就是一般拓扑学的公理基础.定理 1.2.2 设),(d X 是度量空间,则(1) 任意个开集的并集是开集；10(2) 有限个开集的交集是开集.证明 (1) 设αG 为),(d X 的一族开集,则对任意ααG x ∈,有某个下标α0,使 0αG x ∈,由于0αG 是开集,因而有开球0),(αG r x U ⊂,因此ααG r x U ⊂),(,故x 为ααG 的内点, 由x 是任意的可知ααG 是开集.(2) 设n G G ,,1⋅⋅⋅为开集,对于任意ini G x 1=∈,对n i ,,2,1⋅⋅⋅=,有iG x ∈,由于i G 是开集,因此有i r 使得i i G r x U ⊂),(,令},2,1|m in{n i r r i ⋅⋅⋅==,则i G r x U ⊂),(,因而ini G r x U 1),(=⊂, 所以,x 为in i G 1= 的内点,从而ini G 1= 为开集.例 1.2.1 设X 是非空集合,d 为X 上的平凡度量,则对任意X x ∈0,开球}{}1),(|{)1,(000x x x d x x U =<=, 因而}{0x 是开集,所以,X 的任意子集}{x G x=都是开集.问题 1.2.1 任意多个开集的交集是否一定为开集？任意多个开集的交集不一定是开集.例 1.2.2 在实数空间R 中,||),(y x y x d -=,对于任意自然数n ,)1,1(nn G n -=是 R 的开集, 但}0{)1,1(1=-=∞=n n G n n不是开集.定义 1.2.2 度量空间),(d X 的子集F 称为闭集,若F 的余集X F C =\F 是开集.由上面的定理,容易看出下面定理成立. 定理 1.2.3 设),(d X 是度量空间,则(1) φ和X 是闭集；11(2) 任意闭集的交集是闭集； (3) 有限个闭集的并集是闭集.与闭集有着密切联系的概念是极限点.定义 1.2.3 设F 是),(d X 中的集合,X x ∈,若包含x 的任意开集都含有不同于x 的F 的点,则称x 为F 的极限点.明显地,x 为F 的极限点时,x 不一定属于F . 例如在实数空间R 中,0是 F = {n1| n = 1, 2,… , n,… }的极限点,但F ∉0.容易看出,有几种方法可以检查一个点x 是否为F 的极限点.定理 1.2.4 设),(d X 为度量空间, X F ⊂, X x ∈0,则下列条件等价：(1) 0x 为F 的极限点；(2) 包含0x 的任何一个开集都含有F 异于0x 的无穷多个点；(3) 在F 中存在序列0,x x x n n ≠,且.lim 0x x n n =∞→定义 1.2.4 设),(d X 是度量空间,X F ⊂,称F 的极限点全体为F 的导集,记为'F .'F F F =称为F 的闭包.例1.2.3 在实数空间R 中,若}4,3{]2,1[ =F ,则]2,1['=F ,且F F =. 定理 1.2.5 设),(d X 是度量空间,F 为X 的子集,则下列条件等价： (1) F 是闭集；(2) F F ⊂'；(3) F F =.证明 (1)⇒(2) 若F 是闭集,则C F 是开集. 如果='F φ,则F F ⊂'. 如果 ≠'F φ, 则对任意'F x ∈,必有F x ∈.不然,假设F x ∉,则有CFx ∈,由于C F 是开集,且=F F C φ, 但这与12'F x ∈矛盾.(2)⇒(3) 若F F ⊂',则F F F F ==' .(3)⇒(1) 若F F F F ==' ,则F F ⊂'.如果=CF φ,则X F =是闭集；如果≠CF φ,则对任意C F x ∈,由F F ⊂'可知'F x ∉,因而存在开球=F r x U ),(φ, 故C F r x U ⊂),(,即x 是C F 的内点,因此C F 是开集,所以F 是闭集.定理 1.2.6 设),(d X 是度量空间,X F ⊂,X x ∈,则下列条件等价：(1) F x ∈；(2) x 的每个开球都包含有F 的点； (3) 有序列F x n ⊂}{,使得.lim x x n n =∞→证明 (1)⇒(2) 对'F F F x =∈,若F x ∈,则明显地对x 每个开球),(r x U ,),(r x U 包含有F 的点.若'F x ∈,则对于x 的每个开球),(r x U ,),(r x U 必含有F 的异于x 的点,所以),(r x U 一定含有F 的点.(2)⇒(3) 对于任意正整数n ,)1,(n x U 中含有F 的点n x ,因而nx x d n 1),(<,所以,.lim x x n n =∞→(3)⇒(1) 设存在F x n ⊂}{,使得.lim x x n n =∞→如果F x ∈,则明显地有F x ∈.如果F x ∉,则由F x n ⊂}{可知x x n ≠,因而由.lim x x n n =∞→可知'F x ∈,所以,F x ∈.容易证明,F 的闭包就是包含F 的最小闭集,因此需要考虑下面的问题. 问题 1.2.2 在度量空间),(d X 中,开球),(0r x U 的闭包是否一定是闭球),(0r x B ？在度量空间),(d X 中,都以0x 为球心,r 为半径的开球),(0r x U 和闭球),(0r x B13虽然半径一样,但开球的闭包不一定是闭球.例1.2.4 在),(+∞-∞=R 上,定义平凡度量),(y x d =⎩⎨⎧≠=.y x 1；y x ,0时当时当，则对于开球)1,0(U ,由于}0{)1,0(=U 是闭集,因此它的闭包仍是{0},不是闭球),()1,0(+∞-∞=B .定义 1.2.5 设),(d X 是度量空间,X G ⊂, 称G 的内点全体为G 的内部,记为0G .容易证明,对于G 的内部和闭包,有下面的定理成立.定理 1.2.7 设),(d X 为度量空间,X G ⊂, X F ⊂,则 (1) G 是开集当且仅当0G G =； (2) G G G ⊂⊂0；(3) 当F G ⊂时,一定有00F G ⊂, F G ⊂.利用闭包这一概念,还可以引进一些与闭包有关的概念.定义 1.2.6 设F 为度量空间),(d X 的子集,若X F =,则称F 在X 中稠密. 定义 1.2.7 设F 为度量空间),(d X 的子集,若F 不包含任何内点,则称F 称在X 中是疏朗的.例 1.2.5 全体有理数Q 在实数空间),(+∞-∞=R 中是稠密的,而全体自然数 Z 在R 中是疏朗的.在度量空间),(d X 中,利用度量d ,可以定义开集,闭集,闭包,内部等概念,也可14以利用开集来刻画序列}{n x 依度量d 收敛于0x .F. Hausdorff (1868-1942)发现对于一个给定的点集,可以不必引进度量,也能用某种方式来确定某些子集为开集,然后利用开集就可以建立闭集,闭包和序列收敛等概念,F. Hausdorff 利用这些概念建立了拓扑空间的完整理论.定义 1.2.8 设X 是一个非空集合,τ是X 的一族子集,若τ满足下面的三个公理,则称(X,τ)是拓扑空间(1) φτ∈,τ∈X ；(2) τ中任意个集合的并集属于τ； (3)τ中任意有限个集合的交集属于τ.此时称τ中每一个集合为开集,则称τ为拓扑.明显地,若),(d X 是度量空间,τ为度量空间中的全体开集,则),(τX 为拓扑空间,称τ为度量d 产生的拓扑.例1.2.6 设X 是一个非空集合,τ为X 的子集的全体,则),(τX 是一个拓扑空间,此时称τ为的离散拓扑.此时,对于任意X x ∈,x 都是开集.若d 为X 上的平凡度量,则度量d 产生的拓扑就是X 的离散拓扑.例1.2.7 设},,{z y x X =,τ={φ,}},{},,{},{,z x y x x X ,则),(τX 为一拓扑空间. 但在),(τX 中,对含有y 点和含有z点的任意开集y U 和z U ,都有≠z y U U φ.明显地,在度量空间),(d X 中,对于任意X y x ∈,,只需取),(41y x d r =, 则=),(),(r y U r x U φ,具有这种性质的拓扑空间称为Hausdorff 空间.15定义 1.2.9 拓扑空间),(τX 称为Hausdorff 空间,若对于X 中的任意y x ,, y x ≠,存在两个开集x U 和y U , 使得x U x ∈,y U y ∈,且=y x U U φ.另外,度量空间),(d X 还具有下面例题中的性质,而具有这种性质的拓扑空间为正规空间.例题 1.2.1 设1F ,2F 是度量空间),(d X 中的两个闭集,且=21F F φ,试证明存在开集1U ,2U ,使得11U F ⊂,22U F ⊂,且=21U U φ.证明： 由于=21F F φ,因此c F F 21⊂.由2F 是闭的可知c F 2是开集,故对于任意 1F x ∈,存在0>x r ,使c x F r x U 2),(⊂.令)2,(11xF x r x U U ∈=,则1U 是开集,且11U F ⊂.类似地,对于任意2F y ∈,存在0>y r ,使得c y F r y U 1),(⊂,令)2,(22y F x r y U U∈=,则2U 是开集,且22U F ⊂.如果存在21U U z ∈,则由)2,(1xF x r x U ∈ )2,(2y F y r y U ∈ ≠φ可知一定有1F x ∈,2F y ∈,使)2,(xr x U z ∈且)2,(y r y U z ∈. 因此},m ax{22),(),(),(y x yx r r r r z y d z x d y x d ≤+<+≤ 但这是不可能的,因为若x r y x d <),(,则c x F r x U y 2),(⊂∈ 与2F y ∈矛盾；若d(x, y) < r y , 则c y F r y U x 1),(⊂∈与1F x ∈矛盾.因此由上面讨论可知=21U U φ,所以存在开集11U F ⊂,22U F ⊂且=21U U φ.16Paul S. Uryosohn (1892-1924) 还证明了每一个正规的拓扑空间),(τX 都可以引进度量d ,使得产生的拓扑与τ是一致的,即每一个正规的拓扑空间都是可度量化的.1.3 连续算子M. Frechet 在他1906年的博士论文中,考察了一类L 空间,在L 空间中定义了泛函的连续性和一致收敛性等,在L 空间中引进并研究了列紧性,证明了在列紧集上的连续泛函是有界的,并在列紧上达到它的极大(小)值,这样就将实变函数的许多结果进行推广.其实,依照数学分析中函数的连续性,在度量空间中很容易引入算子的连续性.定义 1.3.1 设),(d X 和(Y ,ρ)都是度量空间,T 为X 到Y 的算子,X x ∈0,若对任意0>ε,存在0>δ,使得δ<),(0x x d 时,有ερ<).(0Tx Tx ,则称算子T 在点0x 连续,若T 在X 上的任意点都连续,则称T 在X 上连续.例1.3.1 设 c 0 为所有收敛于0的实数列的全体,在度量 d(x, y) = sup |x i - y i | 下是度量空间,若 T 为 c 0 到 c 0 的算子,T x = 3x + y 0,这里 y 0 为 c 0 的一个固定元,则 T 为连续映射.事实上,由于 c 0 是线性空间,且由d 的定义可知d(x, y) = d(x - y, 0),因而对任意ε >0, 只须取δ = 6ε,则当 d(x, x 0) <δ时,有 d(Tx, Tx 0) = d(3x+y 0, 3x 0 + y 0) = 3d(x, x 0) <ε,因而T 在x 0点连续,而x 0是c 0的任意点,所以T 在X 上连续.容易看出,若T 是),(d X 到(Y ,ρ)的算子,则T 在0x 点连续当且仅当对于任意17收敛于0x 的序列}{n x ,有.lim 0Tx Tx n n =∞→另外,还可以利用开集来刻画T 的连续性.定理 1.3.1 设),(d X 和(Y ,ρ)是度量空间,则T 在X 上连续当且仅当Y 中每个开集的逆象在X 中是开集.证明 若G 是Y 的开集,则不妨设≠-)(1G T φ,对任意)(10G T x -∈,有G Tx ∈0,由于G 是开集,因此存在G Tx U ⊂),(0ε,因为T 是连续的,所以存在δ> 0,使得),(0δx U x ∈时,有),(0εTx U Tx ∈,因而)()),((),(1010G T Tx U T x U --⊂⊂εδ, 故0x 是)(1G T -的内点,所以,由0x 是)(1G T -的任意点,可知)(1G T -是开集. 反之,若对于Y 中的每个开集G , )(1G T -都是X 的开集,则对于任意X x ∈0和任意0>ε,)),((01εTx U T -为X 的开集,因此存在)),((),(010εδTx U T x U -⊂, 即对于任意0>ε,存在δ>0,使得δ<),(0x x d 时,有ε<),(0Tx Tx d , 所以T 在0x 点连续,因而T 在X 上连续.在实数空间R 中,[a, b] 上的连续函数一定有界并达到它的上下界. 但在度量空间中,有界闭集上的连续函数不一定能达到它的上、下界,因此需要引入列紧性这一概念,列紧性是 M. Frechet 在1904年发表在 Comptes Rendus 的论文引进的. 下面的列紧性与紧性在实数R 中可由Heine-Borel-Lebesgue 定理和 Bolzano-Weierstrass 定理来表现.Heine-Borel-Lebesgue 定理指的是闭区间 [a, b] 为一族开区间所覆盖时,它一定为这一族中的有限个开区间所覆盖,而Bolzano-Weierstrass 定理指的是有限区间中每个点列必有子列收敛于区间中的一点.定义 1.3.2 设),(d X 为度量空间,F 为X 的子集,若F 的任何序列都有在X18中收敛的子序列,并且是闭的,则称F 为列紧集.定义 1.3.3 设 ),(d X 为度量空间,X 的子集F 称为紧的,若F 的每个开覆盖都有有限的子覆盖, 即如果αG 是X 的一族（可列或不可列）开集,且F G ⊃αα1,则一定存在有限个开集1αG , ,,2⋅⋅⋅αG n G α,使得F G i ni ⊃=α1 .在度量空间),(d X 中,X 的子集的列紧性与紧性是一致的.定理 1.3.2 设),(d X 是度量空间, X F ⊂,则F 是列紧的当且仅当F 是紧的.由紧集的定义容易得到下列的简单性质.定理 1.3.3 设),(d X 是度量空间,则(1) 只有有限个点的子集是紧集； (2) 紧集是有界闭集； (3) 紧集的任意闭子集是紧的； (4) 任意一族紧集的交集是紧集.但度量空间的有界闭集不一定是紧的,如在},,,3,2,1{⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n X 中,定义平凡度量),(y x d ,则},2,,6,4,2{⋅⋅⋅⋅⋅⋅=k F 为X 的有界集,且是闭的,但F 不是紧集.度量空间),(d X 的紧集上的连续函数具有许多闭区间上连续函数所具有的性质.定理 1.3.4 设),(d X 和(Y,ρ)为度量空间,F 为X 的紧集,T 为X 到Y 的连续算子,则)(F T 是紧集.证明 设}{n y 为)(F T 的任意序列,则有F x n ⊂}{,使得n n Tx y =.由于F 是紧19的. 因此存在}{k n x ,使得0li m x x k n k =∞→,且F x ∈0.因为T 在0x 点连续,所以0lim lim y Tx y k k n k n k ==∞→∞→)(F T ∈,故)(F T 为紧集.定理 1.3.5 若),(d X 为度量空间,F 为X 的紧集,f 为X 到实数R 的连续函数,则f 一定有界,并且在X 上达到上、下确界.证明 由上面的定理可知,)(F f 为实数R 的紧集,因此)(F f 有界,故存在M > 0,使得对任意 x,有M x f ≤|)(|.由于)(F f 为实数R 的紧集,因而)(F f 包含上确界1y 和下确界2y ,所以存在F x x ∈21,,使得11)(y x f =,22)(y x f =.由上面定理可知,若),(d X 为度量空间, F 为紧集,则F 上每个实值连续函数都是有界的,但下面的问题又如何呢？问题 1.3.1 设),(d X 为度量空间,若X 上的每个实值连续函数都是有界的,则X 是否一定是紧的呢？E. Hewitt 在1948年肯定地回答了上述问题,他证明了X 是紧的当且仅当X 上的每个实值连续函数都是有界的.Émile Borel 在1895年首先给出并证明了现在的Heine –Borel 定理,Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) 和Schoenflies (1900)推广和完善了该定理.定理 1.3.6 (Heine –Borel theorem)空间n R 中的子集F 是紧的当且仅当F 是有界闭集.证明 当F 是紧集时,明显地F 是有界闭集.反过来,若F 是n R 的有界闭集,则存在M > 0,使得对于任意F x ∈,有=)0,(x d20M x ni i ≤∑=12/12)||(.故对于F 中的任意序列}{k x , 有M xx d ni k ik ≤=∑=12/12)()||(),0(,因而对于每个固定的i ,有 |M x k i ≤|)(对任意k 成立,由R x k i ⊂}{)(及}{)(k ix 为有界数列可知它一定有收敛子序列. 对于1=i , }{)(1k x 在R 中一定有收敛的子序列}{)(1m k x ；同样,对于2=i , }{)(2m k x 在R 中一定有收敛的子序列,不妨仍记为}{)(2m k x ,依照同样的方法,可以找到n 个子序列,即}{)(1m k x , }{)(2m k x ,...,}{)(m k nx 都收敛.由n R 中度量的定义容易知道}{k x 的子序列}{m k x 一定收敛,所以,F 是紧集.紧集上的连续算子还具有一些关于不动点的性质.下面先看看不动点的定义和一个非常简单的例子.定义 1.3.4 设),(d X 为度量空间,X F ⊂,T 为F 到F 的映射,若F x ∈0,使得 00x Tx =,则称0x 为T 的不动点.先看看下面很有意思的例子.例 1.3.2 若f 是]1,0[到]1,0[的连续函数,则f 在]1,0[一定有不动点0x ,使得00)(x x f =.实际上,如果0)0(=f 或1)1(=f ,则明显地,f 在]1,0[一定有不动点.假如0)0(=f 和1)1(=f 都不成立,那么对于x x f x g -=)()(,有0)0(>g ,并且0)1(<g ,有连续函数的中值定理可知，存在)1,0(0∈x ,使得0)()(000=-=x x f x g ,所以,f 在]1,0[一定有不动点.容易知道,]1,0[是R 上的闭凸集,将上面的结果推广到]1,0[上的紧凸集,就得到了Brouwer 不动点定理,L. E. J. Brouwer 在1912年证明了欧几里得空间n R 的不21动点定理.定理 1.3.7 (Brouwer 不动点定理) 设n R 为欧几里得空间,F 为n R 的紧凸集,若T 为F 到F 的连续映射,则存在F x ∈0,使得00x Tx =.设X 为线性空间,X F ⊂,则F 是凸集指的是对于任意的X y x ∈,,及任意)1,0(∈λ,有F y x ∈-+)1(λλ.凸集 非凸集1922年,G. D.Birkhoff 和O. Kellogg 证明在2l 中不动点定理成立. J. Schauder 在1930年还把上述不动点定义推广到赋范空间,即赋范空间中的任一紧凸集具有不动点性质,而Tychonoff 进一步证明局部凸空间的任一紧凸集也具有不动点性质.1.4 完备性与不动点定理在数学分析讨论实数数列的极限时,大家都知道数列}{n x 是Cauchy 列当且仅当}{n x 为收敛数列,Cauchy 列这一概念亦可推广到度量空间.定义 1.4.1 设),(d X 是度量空间,}{n x 为X 的序列,若对任意0>ε, 存在正整数N ,使得N n m >,时,有ε<),(n m x x d ,则称}{n x 为Cauchy 列.22明显地,若}{n x 为度量空间),(d X 的收敛列,则}{n x 一定是Cauchy 列,但反之不然.例 1.4.1 设Q 为全体有理数,||),(y x y x d -=,则),(d Q 为度量空间,且})11{(n n +Cauchy 列,但})11{(n n+在度量空间),(d Q 中不是收敛列.定义 1.4.2 若度量空间),(d X 的每一个Cauchy 列都收敛于X 中的点,则称),(d X 为完备的度量空间.完备的度量空间具有很好的性质,M.Frechet 在他的博士论文中就已经仔细地区别完备与非完备的度量空间了.例1.4.2 所有实数收敛数列全体c 在度量||sup ),(i i y x y x d -=下是一个完备的度量空间.例1.4.3 欧几里得空间n R 是完备的度量空间,事实上,如果}{k x 是Cauchy 列,则对于每个固定的i ,由),(||||2/121)()()()(m l ni m il im il i x x d x x x x =-≤-∑=）（可知}{)(k ix 是R 中的Cauchy 列,因而存在i x ,使得.lim )(i k ik x x =∞→令)(i x x =,则x x k k =∞→lim ,所以,n R 是完备的度量空间.常见的序列空间)1(,,10∞<≤p l l c p 都是完备的度量空间.在数学分析中,大家都知道闭区间套定理:如果闭区间列]},{[n n b a 满足如下条件:23(1) ],[],[11n n n n b a b a ⊂++,⋅⋅⋅=,3,2,1n ; (2) 0||lim =-∞→n n n b a .则存在唯一的),3,2,1](,[⋅⋅⋅=∈n b a n n ξ,使得ξ==→∞→∞n n n n b a lim lim .在完备的度量空间,有类似的结论.定理 1.4.1 设),(d X 是完备的度量空间,}),(|{n n n r x x d x B ≤=,⋅⋅⋅⊃⊃⊃⋅⋅⋅⊃⊃+121n n B B B B ,并且0lim =∞→n n r .则必有唯一的n n B x ∞=∈1 .证明 由于0lim =∞→n k r ,因此对于任意的0>ε,存在N ,使得N n >时,有ε<n r .对于N n m >>,由 n m B B ⊂,可知ε<<n n m r x x d ),(,因而}{n x 是Cauchy 列.因为X 是完备的度量空间,所以有X x ∈,使x x n n =∞→lim .由n n p n r x x d <+),(,可知n n r x x d <),(对任意n 成立,因此n n B x ∞=∈1 .假设n n B y ∞=∈1 ,则由n n r x y d <),(可知y x n n =∞→lim ,所以y x =,即,nn B ∞=1 中只含有一点.该定理的几何意义是很明显的,如果有一列闭球,像洋葱一样,闭球内还有闭球,并且半径越来越小趋于0, 则 一定有一点,在所有的球里面.例题 1.4.1 设),(d X 是一个度量空间,若对X 中任意一列闭球⋅⋅⊃⊃⊃⋅⋅⋅⊃⊃+121n n B B B B , 这里}),(|{n n n r x x d x B ≤=,当0lim =∞→n k r 时,一定有唯一的n n B x ∞=∈1 ,试证明),(d X 是完备的度量空间.证明 设n x 是X 的Cauchy 列,则对121+=k k ε,存在k N ,使得k k N n >时,有k n n k k x x d ε<+),(1.不妨把k n 取为⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<<k n n n 21.24令 }21),(|{k n k k x x d x B ≤=,则当1+∈k B y 时,有 n n n n k k k k x x d x y d x y d 212121),(),(),(11=+≤+≤++ 因而1+⊃k k B B .由 021lim ==∞→k k k r 可知存在唯一的k k B x ∞=∈1 ,从而k k x x d 21),(≤,因此x x k k =∞→lim ,由}{n x 是Cauchy 列可知x x n n =∞→lim ,所以度量空间),(d X 是完备的.思考题 1.4.1 在上面定理中,若去掉条件0lim =∞→n k r ,定理是否成立？实际上,设X 为所有的正整数全体,对任意X y x ∈,,定义=),(y x ρ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠++.y ,0；y ,11时当时当x x yx则ρ是X 上的一个度量,容易验证),(ρX 是完备的度量空间.对任意正整数n ,取},2,1{}211),(|{⋅⋅⋅++=+≤=n n nx n d x B n ,就有⋅⋅⊃⊃⊃⋅⋅⋅⊃⊃+121n n B B B B ,但n n B ∞=1 为空集.思考题 1.4.2 在上面定理中,若去掉度量空间完备的条件,定理是否成立？一个度量空间如果不是完备的,则用起来比较困难,好在F. Hausdorff 早就证明一个度量空间能够,并且只能够按一种方式扩展成一个完备的度量空间.把某些方程写成)(x f x =的形式,把求解问题转化为求算子的不动点,然后利用逐次逼近法来求不动点,是一种很早就使用的方法,牛顿求代数方程的根时用的切线法就是这种方法,后来Picard 用逐次逼近来求解常微分方程,S. Banach 在1922年用度量空间及压缩算子描述这个方法,这就是Banach 不动点定理.25定义 1.4.5 设),(d X 是度量空间,T 是X 到X 的算子,若存在实数α∈[0, 1),使得对一切X y x ∈,,y x ≠,都有),(),(y x d Ty Tx d α≤则称T 为压缩算子.例 1.4.4 设f 为实数R 上的可微函数,且在R 上有1|)('|<≤αx f ,则)(|))(),((x f y f x f d =),(|||)('||)(y x d y x f y f αζ≤-=-,f 为R 到R 的压缩算子,如13)(+=xx f 就是R 到R 的压缩算子. 反过来,若f 为实数R 上的可微函数,f 为R 到R 的压缩算子,则一定有1|)('|<≤αx f 对所有的R x ∈.实际上，由于1|)(|lim |)()(|lim|)('|00<=∆-∆+≤∆-∆+=→∆→∆ααxx x x x x f x x f x f x x因此,1|)('|<≤αx f 对所有的R x ∈都成立.明显地,若T 是度量空间),(d X 的压缩算子,则T 一定是连续的.事实上,若0x x n →,则0),(),(00→≤x x d Tx Tx d n n α,因而T 是连续的.压缩算子最重要的性质是它在完备度量空间的Banach 不动点定理.定理 1.4.2 设度量空间),(d X 是完备的,T 是压缩算子,则T 有唯一的不动点,即存在唯一的x ,使得x Tx =. 证明 在X 上取一固定的点0x ,令01Tx x =,0212x T Tx x ==01,x T Tx x n n n ==⋅⋅⋅-,则对正整数1≥n 及1≥p ,有26),(),(),(11n p n p n p n n p n x x d x x d x x d -+-++++≤ ),(),(),(2211n p n p n p n p n p n x x d x x d x x d -+-+-+-++++≤⋅⋅⋅≤),(),(),(1211n n p n p n p n p n x x d x x d x x d +-+-+-+++⋅⋅⋅++≤),(),(),(0010201010x T x T d x T x T d x T x T d n n p n p n p n p n +-+-+-+++⋅⋅⋅++≤ ),(),(),(010********x T x T d x T x T d x T x T d n n p n p n p n p n --+-+-+-++⋅⋅⋅++≤ααα⋅⋅⋅≤),(),(),(00002001x Tx d x Tx d x Tx d n p n p n ααα+⋅⋅⋅++≤-+-+),(101x x d nαα-≤.由10<≤α可知}{n x 为Cauchy 列,因为),(d X 是完备的,所以存在X x ∈,使x x n n =∞→lim .由n n Tx x =+1,可知Tx x =,因此x 为T 的不动点.假设y 是T 的另一个不动点,并且y x ≠,则),(),(),(y x d Ty Tx d y x d α≤=),(y x d <,矛盾,所以x 是T 唯一的不动点.容易看出,若T 是压缩算子,则2T 也是压缩算子.但2T 是压缩算子时,T 不一定是压缩算子.例1.4.5 T 不是压缩算子时,可能存在N n ∈,使得n T 是压缩算子.设T 是从空间]1,0[C 到]1,0[C 内的映射,对于]1,0[C x ∈,⎰=tdu u x t Tx 0)()(,10≤≤t .这里]1,0[C 的度量为|)()(|max ),(t y t x y x d -=.明显地,有),(|)()(|max ),(0y x d du u y du u x Ty Tx d tt ≤-=⎰⎰27令B t y A t x ==)(,)(,这里A 和B 为常数,则⎰⎰-=≤≤t tt Bdu Adu Ty Tx d 010||max ),(),(||y x d B A =-=因此,不存在)1,0[∈α,使得),(),(y x d Ty Tx d α≤从而T 不是压缩算子.对任意]1,0[,C y x ∈,有⎰⎰-=≤≤t ut dvdu v y v x y T x T d 001022|)]()([|max ),(),(21|),(|max 010y x d du y x ud t t =≤⎰≤≤. 所以,2T 是压缩算子.推论 1.4.1 设),(d X 是完备度量空间,A 为X 到X 的算子,若存在某个正整数1≥n ,使得nA 是压缩算子,则A 有唯一的不动点.证明 若),(),(y x d y A x A d nn α≤,对任意的X y x ∈,,y x ≠成立, 则令n A T =,由上面定理可知T 存在唯一的X x ∈,使得x Tx =..假如Ax x ≠,则由x A x Tx n==,及Ax x ATAx n ==+1,可知),(),(),(),(Ax x d Ax x d TAx Tx d Ax x d <≤=α矛盾,从而Ax x =,即x 为A 的不动点,并且当y 是A 的另一个不动点时,y 一定是T 的不动点, 因而y x =,所以A 只有唯一的不动点x .28另外, 明显地,若0x 是A 的不动点,则对于任意正整数1≥n ,0x 也是nA 的不动点.例题 1.4.2 试求方程xx +++=222的根.解 令||),(),,0[y x y x d X -=+∞=,则),(d X 是完备的度量空间,定义x Tx X X T +=→2,:,容易验证),(21),(y x d Ty Tx d ≤因而，存在不动点0x ,使得00x Tx =,并且20=x .明显地, 20=x 也是x x T X XT +++=→222,:33的不动点,所以,方程x x +++=222有根20=x .思考题 1.4.3 在不动点定理中,若条件“度量空间),(d X 完备”去掉,则定理成立否？思考题 1.4.5 在不动点定理中,若条件“存在 0≤α<1使得≤),(Ty Tx d),(y x d α对任意y x ≠都成立”换为“),(),(y x d Ty Tx d <对任意y x ≠都成立”,则定理成立否？容易找到例子,上面两个问题的答案都是否定的.上面在证明不动点定理时,采用n n Tx x =+1进行逐次迭代的方法,这是一种在近似计算中很常用并且很有效的方法,利用逐次迭代法,就可以很容易地估计n x 与不动点x 的误差,只须在),(1),(01x x d x x d nn p n αα-≤+.中令∞→p 则可得到误差估计式。

部分习题解答意义深刻的数学问题从来不是一找出解答就完事了,好象遵循着的格言,每一代的数学家都重新思考并重新改造他们前辈所发现的解答,并把这 解答纳入当代流行的概念和符号体系之中L. Bers （贝尔斯）（1914-1993,美国数学家）习题一1.2 设∑=∞≤∈=n i ii i x R x x l 11}||,|){(,对任意1)(),(l y y x x i i ∈==,∑∞=-=1||),(i iiy x y x d ,||sup ),(i i y x y x -=ρ, 试证明d 和ρ为X 上的两个度量,且存在序列1}{l x n ⊂,1l x o ∈,使得0),(0→x x n ρ,但),(0x x d n 不收敛于0.1.2证明：（1）只须按度量定义验证即可知道为上的两个度量(,)d x y 和(,)x y ρ为 1l 上的两个度量.（2）取111(,,,,0,)n x n n n= 当i n ≤时,()1n i n x = , 当i n >时()0n i x =,则1n x l ∈且()1(,0)sup |0|0n n inx xρ=-=→,但()111(,0)|0|1nn n in i i d x x∞===-==∑∑.因此(,0)0n x ρ→,但),(0x x d n 不收敛于0.135 / 251.4 试找出一个度量空间),(d X ,在X 中有两点y x ,,但不存在X z ∈,使得=),(z x d ),(21),(y x d z y d =. 1.4 证明：在2R 上取离散度量(,)d x y =0, 1,.x y x y ⎧=⎨≠⎩当时当时,则对于x y ≠,有(,)1d x y =,但不存在2z R ∉,使得12(,)(,)(,)d x z d y z d x y ==.1.6 在∞l 中,设F 为的非空子集,G 为开集,试证明G F +为开集.1.6证明：由(,)sup ||i i d x y x y =-可知,对任意,x y l ∞∈,有(,)(,0)d x y d x y =-,若G 是开集,则对于任意,x F y G ∈∈,有开球(,)U y r G ⊂.故(,)x U y r x G +⊂+,因而G x r y x U +⊂+),(,从而对任意,x F x G ∈+是开集,由()x FF G x G ∈+=+ 可知F G +是开集.1.8 在∞l 中,设|){(i x M =只有限个i x 不为0},试证明M 不是紧集.1.8证明：取()()n n i x x =,当i n >时,()0n i x =当i n ≤时,()1n i i x = ,则n x M ∈,且lim n n x x →= ,这里112(1,,,,)n x = ,但x M ∉,因此M 不是闭集,所以M 不是紧集.1.10 设),(d X 为度量空间,X F ⊂,试证明C C F F )(0=.1.10证明：对于任意0x F ∈,有0(,)U x r F ⊂,故φ=C F r x U ),(,因而C C F x )(∈,从而C C F F )(0⊂.对于任意C C F x )(∈,有()C x F ∉,因而存在φ=C F r x U ),(,故(,)U x r F ⊂,从而0x F ∈,故0)(F F C C ⊂.所以,0()C C F F ⊂.1.12 设),(d X 为度量空间,X F ⊂,试证明}|),(inf{),(F y y x d F x d ∈=为X 到),0[+∞的连续算子.1.12 证明：对于任意,x z X ∈,有.(,)inf{(,)|}inf{(,)(,)|}(,)inf{(,)|}(,)(,)d x F d x y y F d x z d y z y F d x z d y z y F d x z d z F =∈≤+∈=+∈=+故(,)(,)(,)d x F d z F d x z -≤类似地,有(,)(,)(,)d z F d x F d z x -≤因此|(,)(,)|(,)d x F d z F d x z -≤所以,0n x x →时,必有0(,)(,)n d x F d x F →,即(,)d x F 是连续函数. 1.14 设),(d X 为度量空间,F 为闭集,试证明存在可列个开集n G ,使n G F =.1.14 证明：由于F 是闭集,因此{|(,)0}F x d x F ==,又因为(,)d x F 是连续的,所以对任意1,{|(,)}n n x d x F <是开集,从而对于开集1{|(,)}n n G x d x F =<,有1{|(,)0}{|(,)1/}n F x d x F x d x F n ∞====<，所以1n n F G ∞==.1.16 试证明∞l 是完备的度量空间.1.16证明：设{}n x 为 ∞l 的Cauchy 列,则对于任意0ε>,存在 N,使得n N >时有()()(,)sup ||n p n n p n i i d x x x x ε++=-<.故对每个固定的i,有()()||(,1)n p n i i x x n N p ε+-<>>.因此(){}n i x 是Cauchy 列.因而存在i x ,使得()lim n i i n x x →∞=,令()i x x =,则由可知(1)||N i i x x ε+-≤137 / 25故(1)||||N i i x x ε+≤+由于(1)1()N N ix x l ++∞=∈,因此存在常数1N M +使得11sup ||N i N x M ++≤<+∞. 又由()()||n p n ii x x ε+-<可知||n i i x x ε-<对任意i 及n N ∈成立.故()(,)sup ||n n i i d x x x x ε=-<所以,n x x →,即l ∞是完备的度量空间. 1.18 证明0c 中的有界闭集不一定是紧集.1.18 证明：令{()|||1}i i M x x =≤,则M 是0c 的有界闭集,但M 是不紧集.1.20 设),,1[+∞=X |/1/1|),(y x y x d -=,试证明),(d X 为度量空间,但不是完备的. 1.20证明：容易验证|/1/1|),(y x y x d -=是),(d X 的度量.取X x n ∈,),1[+∞∈=n x n ,则}{n x 为X 的Cauchy 列，但}{n x 没有极限点，因此}{n x 不是收敛列，所以不是完备的.1.22 试证明度量空间),(d X 上的实值函数f 是连续的当且仅当对于任意R ∈ε,})(|{ε≤x f x 和})(|{ε≥x f x 都是),(d X 的闭集.1.22证明: 若度量空间),(d X 上的函数f 是连续的,则明显地,对于任意R ∈ε,})(|{ε≤x f x 和})(|{ε≥x f x 都是),(d X 的闭集.如果对于任意R ∈ε,})(|{ε≤x f x 和})(|{ε≥x f x 都是),(d X 的闭集,则于任意R ∈21,εε,容易知道})(|{})(|{\})(|{2121εεεε≥≤=<<x f x x f x X x f x 是开集,对于R 上的开集G ,有G 的构成区间),(n n βα,使得),(n n G βα =,因而)(1G f -是开集,所以f 是连续的.1.24 设R 为实数全体,试在R 上构造算子T ,使得对任意R y x ∈,,y x ≠,都有||||y x Ty Tx -<-,但T 没有不动点.1.24证明：(1) 设R 为实数全体,12:,tan T R R Tx x x π-→=+- 则对任意,,x y R x y ∈≠,由'()()()()f x f y f x y ξ-=-可知22|()()|||||1f x f y x y x y ξξ-=-<-+ 但f(x)没有不动点.实际上,若()x f x = ,则1tan2x π-=,因而矛盾.(2) 设),,1[+∞=X 11:,x T X X Tx x +→=+ 则对任意,,x y R x y ∈≠,由'()()()()f x f y f x y ξ-=-可知21|()()|[1]||||(1)f x f y x y x y ξ-=--<-+ 但f(x)没有不动点.实际上,若()x f x =,则110x +=,矛盾,所以f(x)没有不动点.1.25 设函数),(y x f 在)},(],,[|),{(+∞-∞∈∈=y b a x y x H 上连续,处处都有偏导数),('y x f y ,且满足+∞<≤≤<M y x f m y ),('0试证明0),(=y x f 在],[b a 上有唯一的连续解)(x y ϕ=. 提示：定义:],[],[:b a C b a C T →为),(1ϕϕϕx f MT -= 证明T 为压缩算子,然后利用S. Banach 不动点定理.1.26 设),(d X 为度量空间,T 为X 到X 的算子,若对任意X y x ∈,,y x ≠,都有 ),(),(y x d Ty Tx d <,且T 有不动点,试证明T 的不点是唯一的.1.26证明：反证法,假设A 有两个不动点12,x x ,使得1122,Ax x Ax x ==,则121212(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x =<139 / 25但这与12x x ≠矛盾,所以A 只有唯一的不动点.1.27 设),(d X 为度量空间,且X 为紧集,T 为X 到X 的算子,且y x ≠时,有),(),(y x d Ty Tx d <,试证明T 一定有唯一的不动点.证明思路：构造X 上的连续泛函),(),(y x d Ty Tx d <,利用紧集上的连续泛函都可以达到它的下确界,证明存在X x ∈0,使得}|)({inf )(0X x x f x f ∈=,0x 就是T 的不动点. 1.28 试构造一个算子22:R R T →,使得T 不是压缩算子,但2T 是压缩算子.1.28证明：定义)0,(),(:221x x x T →,则T 不是压缩算子,但2T )0,0(),(:21→x x 是压缩算子.1.30 设||),(),,1[y x y x d X -=+∞=,x x Tx X X T /13/,:+=→,试证明T 是压缩算子. 1.30证明：由 x x Tx /13/+=,可知|/13//13/|||y y x x Ty Tx +--=-),(32|||131|2y x d y x ≤--=ξ,所以T 是压缩算子.习题二2.2 设X 为赋范线性空间,||||⋅为X 上的范数,定义⎩⎨⎧≠+-==.y x 1||||；y x ,0),(时当时当，y x y x d试证明),(d X 为度量空间,且不存在X 上的范数1||||⋅,使得1||||),(y x y x d -=. 2.2证明：由度量的定义可知是X 上的度量.假设存在X 上的范数1||||⋅,使得1(,)||||d x y x y =-,则对于,K x X λ∈∈,一定有11||||||||||x x λλ=⋅.如果取001,,||||12x X x λ=∈=,则 001000013||||||||1||||||1122x x x λλλ=+=⋅+=+= , 但是1)11(21)1||(||||||||||00100=+=+=x x λλ,因此11||||||||||x x λλ=⋅不成立,所以一定不存在X 上的范数1||||⋅,使得1(,)||||d x y x y =-.2.4设M 是赋范空间X 的线性子空间,若M 是X 的开集,证明M X =.2.4证明：由于M 是线性子空间,因此0M ∈.由M 是开集可知存在(0,){|||||}U x x M εε=<⊂.因而对于任意,0x M x ∈≠,有),0(2εεU x∈,从而M x∈2ε,因为M 是线性子空间,所以x M ∈,即M X =.2.6设X 是赋范线性空间,若λλλλ→∈∈n n n X x x K ,,,,且x x n →,试证明x x n n λλ→.2.6证明：由n x x →可知存在0M >,使得||||x M ≤,故||||||||||||||||||||||||||||||||0n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x M x x λλλλλλλλλλλλ-≤-+-≤-⋅+⋅-≤-+⋅-→所以,n n x x λλ→.2.10 在∞l 中,若M 是∞l 中只有有限个坐标不为零的数列全体,试证明M 是∞l 的线性子空间,但M 不是闭的.2.10证明：明显地M 是线性子空间,取112(1,,,,0,0)n n x =,则n x M ∈ 且0n x x →,但1102(1,,,,0,0)n x M =∉,所以M 不是闭的子空间.2.12 设R R f →:,满足)()()(y f x f y x f +=+对任意X y x ∈,成立，若f 在R 上连续,试证141 / 25明f 是线性的.2.12证明：由)()()(y f x f y x f +=+可知,)()(x nf nx f =对所有正整数N n ∈都成立.并且)()()(m x mf m x m x m x f x f =+⋅⋅⋅++=,故)(1)(x f mm x f =对所有正整数N m ∈都成立.因此所有正有理数Q q ∈都有)()(x qf qx f =成立,由)()())((x f x f x x f -+=-+和)0()0()0(f f f +=可知0)0(=f 并且)()(x f x f -=-,因而)()(x qf qx f =对所有有理数Q q ∈都有成立.由于f 在R 上连续,因此,对于任意R ∈α,有Q q n ∈,使得α→n q ,从而)()(lim )(lim )(x f x f q x q f x f n n n n αα===∞→∞→,所以f 是线性的.2.14设X 是有限维Banach 空间,ni i x 1}{=为X 的Schauder 基,试证明存在*∈X f i ,使得1)(=i i x f ,且0)(=j i x f ,对j i ≠成立.2.14证明：令{|}i j M span x i j =≠,则M 是 n-1维的闭子空间,且i i x M ∉,由Hahn Banach -定理可知存在*,||||1i g X x ∈=,使得()(,)i i i i g x d x M =,且()0g x =对任意i x M ∈成立,令(,)ii i g i d x M f =,则*i f X ∈,且()1,()0i i i j f x f x ==,对任意i j≠成立.2.16设X 是赋范空间,M 为X 的闭线性子空间,M X x \0∈,试证明存在*∈X f ,使得),(1||||,1)(00M x d f x f ==,且0)(=x f ,对所有M x ∈成立.2.16证明： 由M 是闭线性子空间,M X x \0∈因此,因此0(,)0d x M >存在*,||||1g X g ∈=,使得00()(,)g x d x M =,且()0g x =对于任意x M ∈成立.令0(,)g d x M f =,则00||||10(,)(,)()1,||||g d x M d x M f x f ===,且()0f x =对任意x M ∈成立.2.18设X 是严格凸空间,试证明对任意,0,0,,≠≠∈y x X y x 且||||||||||||y x y x +=+时,有0>λ 使得x y λ=.2.18证明：假设存在00,x y ,使得0000||||||||||||x y x y +=+,但00x y λ≠,对任意0λ>成立,则000||||||||xy x y ≠,故有00000||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||1x x y yx y x x y y ++⋅+⋅<因而0000||||||||||||1x yx y ++< 但这与0000||||||||||||x y x y +=+矛盾,所以||||||||||||y x y x +=+时,有x y λ=对某个0λ>成立.2.20试证明1l 和∞l 都不是严格凸的赋范线性空间. 2.20证明：在1l 中,取1111(,0,,0,0,,0),(0,,0,,0,,0)2222x y ==,则||||1,||||1x y ==,且x y ≠,但||||2x y +=,因而1l 不是严格凸的.类似的,在∞l 中,取(1,0,1,0,0,,0),(1,1,0,,0)x y ==,则 ||||1,||||1x y ==,且x y ≠,但 ||||2x y +=,所以l ∞不是严格凸的.2.22举例说明在赋范线性空间中,绝对收敛的级数不一定是收敛级数.2.22证明：令{()|N 0}i i i X x x R i N x =∈>=存在某个，使得时，有,定义1||||||()||||i i i x x x ∞===∑,则(,||||)X ⋅是赋范空间,取12(0,0,,0,,0,0,,0)n n x =,则1211||||nni i x∞∞===∑∑,因此1ni x∞=∑绝对收敛,但级数1ni x∞=∑不收敛.2.24 设是X 赋范线性空间,,,X x x n ∈x x n →,试证明对任意*∈Xf ,有)||||()||||(x xf x x f n n →.143 / 252.24证明：由x x n →可知, ||||||||x x n →,因而,||||||||x xx x n n →,所以, ≤-|)||||()||||(|x x f x x f n n 0||||||||||||||||→-x xx x f n n . 2.26在]1,0[C 中,]},[),()(|)({b a C x b x a x t x M ∈==,试证明M 是]1,0[C 的完备线性子空间. 2.26证明：容易验证M 是]1,0[C 的线性子空间.由于]1,0[C 是完备赋范线性空间,M 是]1,0[C 的闭子空间,因此M 是]1,0[C 的完备线性子空间.2.28 在2R 中,取范数||||||||21x x x +=，}|)0,{(11R x x M ∈=,则M 为2R 的线性子空间,对20)1,0(R x ∈=,试求出M y ∈0,使得),(||||000M x d y x =-.2.28证明：由于1||})1,(inf{||}|||inf{||),(100≥=∈-=x M y y x M x d ,并对于M y ∈=)0,0(0,有1||)1,0(||||||00==-y x ,所以1),(0=M x d ,且),(||||000M x d y x =-.习题三3.2 设1)(l x i ∈,算子11:l l T →, 1)(),3(l x x x Tx i ii∈==任意,试证明T 是线性有界算子,并求||||T .3.2证明： 由T 的定义可知T 是线性算子,且||||31||31||)3(||||||1x xx Tx i ii =≤=∑∞=, 因此13||||T ≤,从而T 是线性有界算子. 取0(1,0,,0)x =,则01x l ∈,且0||||1x =,故01||||||||3T Tx ≥=,所以1||||3T =.3.4 设),(Y X L T ∈,试证明||||sup ||||1||||Tx T x <=.3.4证明：由于||||||||sup ||||supsup 111T x Txx Tx Tx x x x =≤≤≠<<,因此Tx T x 1||||sup ||||<≥.对于任意10n >,由||||sup ||||||||sup ||||||||sup||||1||||0||||0||||Tx x xT x Tx T x x x =≠≠===可知,有||||1n x =,使得1||||||||n n Tx T ≥-,故111||(1)||(1)(||||)n n n n T x T -≥--,因而111||||1sup ||||||(1)||(1)(||||)n n n n x Tx T x T <≥-≥--对任意n 成立 从而||||1||||sup ||||x T Tx <≤,所以||||sup ||||1||||Tx T x <=3.6 设X 是赋范空间,X x ∈α,若对任意*f X ∈,有+∞<|)(|sup ααx f ,试证明+∞<||||sup ααx .3.6 证明：定义*:,()()T X K T f f x ααα→=,则T α是*X 到K 的线性有界算子,且对于任意*f X ∈,有sup |()|sup |()|T f f x ααα=<+∞因为任意赋范空间X 的共轭空间 *X 都是完备的,因此由一致有界原理,有sup ||||T α<+∞.由αT 的定义可知||)(||sup |)(||sup ||||1||||1||||αααx f f T T f f ====故||||||||T x αα=,所以,sup ||||x α<+∞.3.7 设X ,Y 是赋范空间,}0{≠X , 试证明Y 是Banach 空间当且仅当),(Y X L 是Banach 空间.证明思路：明显地,只需证明),(Y X L 是Banach 空间时,Y 是Banach 空间.由于}0{≠X ,因此有1||||,00=∈x X x ,故由Hahn-Banach 定理存在1||||=f ,使得1||||)(00==x x f .若Y y n ∈}{是Cauchy 列,定义算子列),(Y X L T n ∈为n n y x f x T )(=,则),(Y X L T n ∈,并且||||||||n m n m y y T T -=-,因而}{n T 为),(Y X L 的Cauchy 列,所以存在145 / 25),(Y X L T ∈,使得T T n →.不难证明0Tx y n →,从而Y 是Banach 空间.3.8 设X 是Banach 空间,*X f n ∈且对任意)()(lim ,x f x f X x n n =∈∞→,试证明*∈X f .3.8证明： 由于lim ()()n n f x f x →∞=,因此sup{|()|}n f x <∞对任意x 成立,由X 是Banach空间可知sup{||||}n f M <<∞因而|()|||||||||||||n n f x f x M x ≤⋅<,所以|()|||||f x M x ≤,即f 是X 的线性连续泛函. 3.10 设X ,Y 是赋范空间,Y X T →:是线性算子,且T 是满射,若存在0>M ,使得||||||||x M Tx ≥对任意X x ∈成立,试证明1-T是线性连续算子,且MT1||||1≤-. 3.10 证明：由||||||||Tx M x ≥可知T 是单射,因而1T -存在,且对于任意y Y ∈,由T 满射可知存在x X ∈,使得y Tx =,容易验证T 是线性算子,故1111||||||||||||||||||||MMT y T Tx x Tx y --==≤=,所以,1T -连续,且11||||MT-≤.3.12 设X 是Banach 空间,f 是X 上的非零线性泛函,试证明f 一定是开映射. 3.12证明：由0f ≠可知存在00x ≠,使得0()1f x =,故对于X 的开集G 及任意()f G α∈,必有x G ∈,使得()f x α=,由于是G 开集,故有0ε>,使(,)U x G ε⊂,因此对00,||||x x x λλε+<,有0x x G λ+∈,因而0()f x x G λ+∈,但00()()()f x x f x f x λλαλ+=+=+,故(,)()f G αεαε-+⊂ ,即α为G 的内点,所以()f G 为开集,即f 一定开映射.3.13 设X 是赋范空间,T 是从X 到X 的线性算子,X T D =)(,S 是从*X 到*X 的线性算子,*=X S D )(若对任意*∈∈X f X x ,,有)())((Tx f x Sf =,试证明T 和S 都是线性连续算子.证明思路：先证S 为闭算子,从而S 是线性连续算子,然后利用Hahn-Banach 定理的推论可知, 当0≠Sx 时,存在1||||,*=∈f X f ,使得||||)(Sx Sx f =,不难进一步证明T 为是线性连续算子.3.14 设X ,Y 是赋范空间,T 为X 到Y 的闭线性算子,F 为X 的紧集,试证明)(F T 为Y 的闭集.3.14证明：若()n y T F ∈,且0n y y →,则存在n x F ∈使得()n n y f x =,由于F 是紧集,因此存在k n x ,使得0k n x x →,且0x F ∈.由0y Tx k n →及T 是闭线性算子可知0y Tx =,所以0()y T F ∈,即)(F T 是闭集.3.15 设X 为Banach 空间,T 为X 到X 的线性算子,若T T =2,且)(T N 和)(T R 都是闭的,试证明),(X X L T ∈.证明思路：由于T 的定义域为X ,因此明显地,只需证明T 为闭线性算子.设有点列X x n ∈}{,X y x ∈,,当∞→n 时,x x n →,y Tx n →.由)(T R 是闭的,)(T R Tx n ∈可知必有X x ∈0,使得0Tx y =.由于T T =2,因此0)(2=-=-n n n n Tx x T x Tx T ,即)(T N x Tx n n ∈-.由)(T N 是闭的,可得)()(lim T N x Tx x y n n n ∈-=-∞→,从而0)(=-x y T .因此y Tx Tx T Ty Tx ====00)(,所以T 为闭线性算子.由闭图像定理可知),(X X L T ∈3.16 设X ,Y 赋范空间,),(,Y X L T T n ∈,若n T 强收敛于T ,试证明n T 弱收敛于T .147 / 253.16证明：由于n T 强收敛于,因此T 对任意x X ∈,有||||0n T x Tx -→,故对于任意*f Y ∈,有|()()||()|||||||||0n n n f T x f Tx f T x Tx f T x Tx -=-≤⋅-→,所以n T 弱收敛于T .习题四4.2 试证明∞=l l *1.4.2证明：对于任意1x l ∈,有11lim ni ii i n i i x x ex e ∞→∞====∑∑,故对于任意*1f l ∈,有11()lim ()lim ()nni i i i n n i i f x f x e x f e →∞→∞====∑∑由于1111|()||||()|||||||||||||||||n n n niiiiiiii i i i x f e x f e x f e x f ====≤≤⋅⋅=⋅∑∑∑∑因此由1()i x x l =∈可知1||n ii x =∑收敛,从而1()niii x f e =∑绝对收敛,且11|()||()|sup |()|sup |()|||||i i i i i i i f x x f e f e x f e x ∞∞===≤=⋅∑∑令()(())i i y f e α==,则y l ∞∈,且对于任意,都1()i x x l =∈,有1()i i i f x x α∞==∑ 且||||||||f y =.反过来,对于任意 ()i y l α∞=∈,则定义f 为11(),()i iii f x x x x l α∞==∀=∈∑则f 是上的线性连续泛函,且||||sup ||||||i f y α==,所以 ∞=l l *1 4.4 试证明1*l l ≠∞.4.4证明： 用反证法,假设 *1l l ∞=,则由于1l 是可分的,因此是l ∞可分的,但这与1l 不可分矛盾,所以1*l l ≠∞4.6 试证明在2l 中强收敛比按坐标收敛强.4.6证明：若()(0)202(),()n n i i x x l x x l =∈=∈,且0n x x →,则()(0)21/21(||)0n i i i x x ∞=-→∑因此,对于任意i 有()(0)()(0)21/21||(||)n n iii i i xxx x ∞=-≤-∑从而()(0)n ii x x →,所以强收敛比按坐标收敛强.4.7 设X 是无穷维的赋范空间,试证明*X 一定也是无穷维的赋范空间.证明思路：对于任意的自然数n ,由于X 是无穷维的赋范空间,因此存在n 个线性无关的的X e e e n ∈⋅⋅⋅,,,21,由Hahn-Banach 定理,不难证明存在*21,,,X f f f n ∈⋅⋅⋅,使得都成立对任意并且j i e f e f j i i i ≠==,0)(,1)(,从而只需证明n f f f ,,,21⋅⋅⋅是线性无关的,则n X >)dim(*,所以*X 一定也是无穷维的赋范空间.4.8设X 是赋范空间,X x x n ∈,,x x wn −→−,若}{n x 是相对紧的,试证明x x n −→−. 4.8证明：由于{}n x 是相对紧的,因此存在子列{}k n x 收敛于y ,但n x 弱收敛于x ,因此对于任意*f X ∈,有()()k n f x f x →.由{}k n x 收敛于y 可知|()()|||||||||0k k n n f x f y f x y -≤⋅-→,从而()()f x f y =,对任意成*f X ∈立.因而149 / 25x y =.故k n x x →,所以x x n −→−.4.10设Y X ,为赋范空间,),(Y X L T ∈,若x x w n −→−,试证明Tx Tx wn −→− 4.10证明：对于任意*g Y∈,定义X 上的泛函()()f x g Tx =,则由|()||()|||||||||||||f x g Tx g T x =≤⋅⋅,可知f 是X 上的线性连续泛函,由于n x 弱收敛x ,因此()()n f x f x →,因而()()n g Tx g Tx →,所以n Tx 弱收敛Tx .4.12 设X 为Banach 空间,*,,,X f f X x x n n ∈∈n x 弱收敛于x ,且n f 收敛于f ,试证明)()(x f x f n n →.4.12证明：由于n x 弱收敛于x 时,有0M >,使得||||n x M ≤<∞,因此|()()||()()||()()||||||||||()()||||||()()|n n n n n n n n n n n f x f x f x f x f x f x f f x f x f x M f f f x f x -≤-+-≤-⋅+-≤-+-所以,当n x 弱收敛于x ,且n f 收敛于f 时,有()()n n f x f x →. 4.14设Y X ,是Banach 空间,),(Y X L T ∈,且1-T存在且有界,试证明*T 的逆存在且*11*)()(--=T T .4.14证明：由 **11*()()T T T T I --==及 1**1*()()T T TT I --==可知*1()T -存在,并且*11*)()(--=T T .4.16设X 是赋范空间,}{,0n w n x span M x x =−→−,试证明M x ∈0. 4.16证明：反证法,假设0x M ∉,则由于M 是闭子空间,因此0(,)0d x M >,故由Hahn Banach -定理可知存在*f X ∈,使得00()(,)f x d x M =且对于任意,()0x M f x ∈=,所以00()0,()(,)0n f x f x d x M ==>,但这与n x 弱收敛于0x 矛盾,因而n x 弱收敛0x 时,一定有0x M ∈.习题五5.2设X 是内积空间,X y ∈,试证明),()(y x x f =是X 上的线性连续泛函,且||||||||y f =.5.2证明： 由()(,)f x x y =可知f 线性泛函,且|()||(,)|||||||||f x x y x y =≤⋅,因此f 是X 上的连续线性泛函,并且||||||||f y ≤,取||||y y x =,则 ||||||||1,|()||(,)|(,)||||y y x f x x y y y ====，所以，||||||||f y =. 5.4 设X 是内积空间,X e e n ∈,,1 ,若=),(j i e e ⎩⎨⎧=≠.1j,0j i ，i试证明n e e ,,1 线性无关. 5.4证明：若12,,,n e e e X ∈,且=),(j i e e ⎩⎨⎧=≠.1j,0j i ，i则对于i K α∈,当10ni ii eα==∑时,有1(,)0ni i i i i e e αα===∑.因此120n ααα====,所以12,,,n e e e 线性无关.5.6 设M 是Hilbert 空间X 的闭真子空间,试证明⊥M 含有非零元素.5.6 证明： 由M 是X 的真子空间,因而对\x X M ∈,存在0x M ⊥∈,使得 00x x y =+,由x M ∉及0x M ∈可知00x x -≠所以0y ≠,且y M ⊥∈,即M ⊥含有非零元.151 / 255.8 设M 是Hilbert 空间X 的闭真子空间,试证明⊥⊥=M M . 5.8证明：由于M M ⊥⊥⊂,因此只须证M M ⊥⊥⊂.对于任意x M⊥⊥∈有y M ⊥∈使得0x x y =+,由M M ⊥⊥⊂可知0x M ⊥⊥∈,故0x x M ⊥⊥-∈,因此0y x x M ⊥⊥=-∈,所以y y ⊥,因而0y =,从而M M ⊥⊥⊂.5.9 设f 是实内积空间3R 上的线性连续泛函,若32132)(x x x x f ++=,试求X y ∈,使得),()(y x x f =.5.9 解答:取)3,2,1(,3=∈y R y ,则一定有32132)(x x x x f ++=. 5.10 设M 是内积空间X 的非空子集,试证明⊥⊥⊥⊥=M M . 5.10 证明：由()MM ⊥⊥⊥⊥⊥⊥=可知, M M ⊥⊥⊥⊥⊂.反过来,对任意x M ⊥⊥⊥∈,及y M M⊥⊥∈⊂,可知(,)0x y =,因而x y ⊥对于任意y M ∈成立,故x M ⊥∈因此M M ⊥⊥⊥⊥⊂,所以M M ⊥⊥⊥⊥=.5.12 设X 是Hilbert 空间,M 、N 是X 的闭真空间,N M ⊥,试证明N M +是X 的闭子空间.5.12证明：明显地N M +是X 的线性子空间,因此只须证N M +在X 中是闭的,若,,n n n n x y M N x M y N +∈+∈∈,且n n x y z +→,则由于X 是Hilbert 空间,M 是闭子空间,因此,,z x y x M y M ⊥=+∈∈,故,n n x x M y y M ⊥-∈-∈.因而22222||||||||||||||()||||||0n n n n n n n n x x y y x x y y x y x y x y z -+-=-+-=+-+=+-→,所以,n n x x y y →→,故,,z x y x M y N =+∈∈,即N M +是的X 闭子空间. 5.14 设X 是内积空间,X y x ∈,,试证明y x ⊥的充要条件为对任意K ∈α,有||||||||y x y x αα-=+.5.14 证明：若x y ⊥,则对任意K α∈,有2222||||(,)(,)(,)(,)(,)||||||||||x y x y x y x x x y y x y y x y αααααααα+=++=+++=+ 且2222||||||||||||||x y x y αα+=+ 因此||||||||y x y x αα-=+.反过来,若K α∈,有||||||||y x y x αα-=+,则由(,)(,)(,)(,)(,)x y x y x x x y y x y y αααααα++=+++和(,)(,)(,)(,)(,)x y x y x x x y y x y y αααααα--=--+可知2(,)2(,)0x y y x αα+=令(,)x y α= ,则22|(,)||(,)|0x y x y += 因而(,)0x y =,所以x y ⊥.5.16设X 是内积空间,X y x ∈,,试证明y x ⊥当且仅当对任意K∈α,有||||||||x y x ≥+α.5.16证明：若x y ⊥,则对任意K α∈,有x y α⊥,因此 22222||||||||||||||||||x y x y x αα+=+≥，所以||||||||x y x ≥+α.反过来,若对任意K α∈,有||||||||x y x ≥+α,则 令2(,)||||x y y α=-,由22||||||||0x y x α+-≥及153 / 25|||||),(|),(|||||),(||||||),(||||||),(|),(||),(),(),(),(),(),(),(),(),(224222222≥-=+--=++=-+++=-++y y x y y y y x y y x y y x y y x y y x x x y y x y y x x x x x y x y x ααααααααα因此(,)0x y =,所以,x y ⊥.5.17 设}|{N i e i ∈是内积空间X 的正交规范集,试证明|||||||||),)(,(|1y x e y e x i ii⋅≤∑∞=对任意X y x ∈,成立.5.17证明：由于{|}i e i N ∈是X 的正交规范集,因此对任意,x y X ∈,有222211|(,)|||||,|(,)|||||ii i i x e x y e y ∞∞==≤≤∑∑故21/221/2111|(,)(,)|[|(,)|][|(,)|]||||||||iiiii i i x e y e x e x e x y ∞∞∞===≤=⋅∑∑∑5.18设}|{N i e i ∈为Hilbert 空间的正交规范集,}{i e span M =,试证明M x ∈时,有i i i e e x x ∑∞==1),(.5.18证明：若x M ∈,则由于{}i e 是正交规范集,因此221|(,)|||||ii x e x ∞=≤∑.因为X 是完备的,所以由22||(,)|||(,)|0n p n p iiii ni nx e e x e ++===→∑∑ 可知1(,)iii x e e ∞=∑是收敛级数,记1(,)iii y x e e ∞==∑,则1(,)((,),)(,)(,)0j i i j j j i x y e x x e e e x e x e ∞=-=-=-=∑故x y M -⊥,由,x y M ∈,可知x y M -∈,因而x y x y -⊥-,所以,0x y -=,即ii iee x x ∑∞==1),(.5.19设}{n x 是Hilbert 空间X 的正交集,试证明1{}ii x ∞=∑弱收敛当且仅当21||||ii x ∞=<∞∑.5.19证明：若1ii x ∞=∑弱收敛,则存在0M >,使得M x ni i≤∑=||||1对任意n 成立,故由{}ix 是正交集可知22211||||||||ii i i x x M ∞∞===≤∑∑,所以21||||i i x ∞=<∞∑.反之,若21||||ii x ∞=<∞∑,则由0||||||||2121→=∑∑++=++=pn n i ipn n i ix x 可知1{}i i x ∞=∑是X 的Cauchy 列,所以1i i x ∞=∑在Hilbert 空间X 中收敛,因而1i i x ∞=∑弱收敛.5.20设}|{∧∈=ααe S 是内积空间X 的正交规范集,则对于任意}|),{(,∧∈∈ααe x X x 中最多只有可列个不为零,且22|||||),(|x e x i ≤∑∧∈α.5.20证明：若Λ是有限集,则明显地,有22|||||),(|x e x i≤∑∧∈α若Λ不是有限集,则对于任意}1),(|{,me x e S N m m ≥=∈αα,只能是有限集,因而'1m m S S ∞==是可数集,且对任意'\e S S α∈,有(,)0x e α=,故22|||||),(|x e x i ≤∑∧∈α155 / 255.21 设X 是Hilbert 空间,),(X X L T ∈,若1-T 存在,且),(1X X L T∈-,试证明1*)(-T 存在且*11*)()(--=T T .5.21 证明：由于X 是Hilbert 空间,且),(1X X L T∈-,因此1*()T -存在.对于任意,x y X ∈,有11**1*(,)(,)(,())(,())x y T Tx y Tx T y x T T y ---===又因为11*1**(,)(,)(,)(,())x y TT x y T x T y x T T y ---===,所以,*1*1**()()T T T T --=,因而*11*)()(--=T T .5.22 设X 是Hilbert 空间,),(,X X L T T n ∈,若T T n →,试证明**T T n →.5.22证明：由***()n n T T T T -=-及*||()||||||n n T T T T -=-,可知n T T →时,有**||||||||0n n T T T T -=-→,因此**T T n →.5.24 若X 是Hilbert 空间,),(,X X L T S ∈是自伴算子,R ∈βα,,试证明T S βα+是自伴算子.5.24证明：由于,S T 是自伴算子,因此*S S = ,且*T T =,所以对于***,,()R S T S T S T αβαβαβαβ∈+=+=+.5.25 设X 是Hilbert 空间,),(X X L T ∈,若T 是自伴算子,N n ∈,试证明nT 是自伴算子.5.25证明：由于*T T =,因此***()()()n n n T T T T T T =⋅⋅⋅==,所以n T 是自伴的.5.26 设X 是复Hilbert 空间,),(X X L T ∈若试证明存在唯一的自伴算子),(,21X X L T T ∈,使得21iT T T +=,且21*iT T T -=.5.26 证明：令**111222(),()iT T T T T T =+=-,则),(,21X X L T T ∈,且*1212,T T iT T T iT =+=-由于***111122*******11122222()(),[()]()()iii T T T T T TT T T T T T T T =+=+==-=--=-=因此1T 和2T 都是自伴算子. 假设存在自伴算子12,(,)S S L X X ∈,使得12T S iS =+,则1212S iS T iT +=+且**12121212()()S iS S iS T iT T iT -=+=+=-,因此1122,S T S T ==.所以,存在唯一的自伴算子),(,21X X L T T ∈,使得*1212,T T iT T T iT =+=-.5.27 设X 是Hilbert 空间,T T X X L T T n n →∈),,(,,若n T 是正规算子,试证明T 是正规算子.5.27 证明：由于n T 是正规,因此**n n n T T T T =故************************||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||n n n n n n n n n n n n n n n nn n n nn n n n n T T TT TT T T T T T T TT T T TT T T TT T T TT TT TT T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T -≤-+-+-≤-+-≤-+-⋅-+-≤⋅-+⋅-+⋅-+⋅**||n T -由n T T →可知**n T T →,所以**||||0T T TT -=即T 是正规算子.5.28 设X 是复Hilbert 空间,),(X X L T ∈,试证明T 是正规算子当且仅当||||||||*Tx x T =对于任意X x ∈成立.5.28 证明：若T 是正规算子,则**T T TT =,因此对于任意x X ∈,有**((),)0T T TT x x -=,故**(,)(,)T Tx x TT x x =,因此**(,)(,)Tx Tx T x T x =,所以*||||||||T x Tx =对任意x X ∈成立.反之,若对任意x X ∈有*||||||||T x Tx =,则**(,)(,)Tx Tx T x T x =,故157 / 25**(,)(,)T Tx x TT x x =.因而**((),)0T T TT x x -=对任意x X ∈成立.所以**0TT T T -=,即是T 正规算子.5.29 设X 是Hilbert 空间, T 是X 到X 的线性算子,若对任意,x y X ∈,有(,)(,)Tx y x Ty =,试证明T 是连续线性算子.5.29 证明：由于()D T X =,因此只须证T 是闭线性算子,若00,n n x x Tx y →→,则对于任意y X ∈,有000(,)lim(,)lim(,)(,)(,)n n n n y y Tx y x Ty x Ty Tx y →∞→∞====故00(,)(,)y y Tx y =对任意y X ∈成立,因此00Tx y =,因而T 是闭线性算子,所以由闭图象定理可知T 是连续的.学年论文可选的题目学完一门课程,如能对所学内容做些比较系统的整理和思考,对加深该课程的理解和进一步学习都会有很好的帮助.学年论文的写作,可以提高阅读有关文献资料的能力,学会从书本和论文中了解有关信息、得到启发．并可有目的、有计划地搜集相关资料,可以养成独立思考和研究探索的好习惯. 下面的一些题目和思路可供参考：1. 抽象空间的球具有哪些奇怪的性质,在度量空间和赋范空间中,它们的性质有哪些不同,如开球的闭包一定是与开球球心和半径一样的闭球吗？开球有可能是闭集吗？2. 不动点定理的推广和应用,特别是在微分方程中的一些应用.3. 度量空间和赋范空间中,序列的各种收敛性的相互关系.4. 度量空间和赋范空间中,紧、完备、闭、有界等的相互关系.5. 凸集和凸函数的性质.6. 线性连续泛函和可加泛函的性质.7. 一致有界原理的应用.8. 逆算子定理或闭算子定理的应用.9. Hahn-Banach 定理及其推广和应用.10. 内积空间中的正交性的推广.11. 平面几何的有关概念和性质在Hilbert空间的推广.12. 数学分析中的Fourier 级数相关概念在内积空间的推广.13. 赋范空间中的级数收敛的判别法.。

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度量空间例题度量空间是数学中的一种结构，它由一个集合和一个定义在这个集合上的度量函数组成。

度量函数衡量了集合中不同元素之间的距离或者相似度。

在度量空间中，我们可以定义一些基本概念和性质。

首先，度量函数必须满足一些基本性质，例如非负性、同一性和对称性。

非负性要求度量函数的值始终非负；同一性要求度量函数在同一个元素上的取值为0；对称性要求度量函数在两个元素之间的取值与它们的顺序无关。

除了上述基本性质，度量函数还必须满足一条重要的性质，即三角不等式。

三角不等式要求对于任意三个元素a、b和c，度量函数的值满足d(a,c) ≤ d(a,b) + d(b,c)。

这个性质可以理解为在度量空间中，从一个点到另一个点的最短路径不会超过从起点到中间点再到终点的路径。

在实际应用中，度量空间有着广泛的应用。

例如，在机器学习领域，我们可以使用度量空间来度量不同数据点之间的相似度，从而进行分类、聚类等任务。

在计算几何学中，度量空间可以用来度量物体之间的距离，从而进行图形的表示和分析。

举一个度量空间的例题：假设我们有一个集合A={1, 2, 3, 4}，定义度量函数d(a,b)=|a-b|，其中|.|表示绝对值。

我们可以通过计算来验证这个函数是否满足度量空间的定义。

首先，我们可以验证这个度量函数是否满足非负性。

计算任意两个元素之间的距离，例如d(1,2)=|1-2|=1，d(2,3)=|2-3|=1，d(3,4)=|3-4|=1，可以发现这些值都是非负的。

接下来，我们验证这个度量函数是否满足同一性和对称性。

计算d(1,1)=|1-1|=0和d(1,2)=|1-2|=1，可以发现这个函数满足同一性；同时，计算d(1,2)=|1-2|=1和d(2,1)=|2-1|=1，也可以发现这个函数满足对称性。

最后，我们验证这个度量函数是否满足三角不等式。

计算d(1,3)=|1-3|=2，d(1,2)+d(2,3)=|1-2|+|2-3|=1+1=2，可以发现这个函数满足三角不等式。