排队论与服务过程管理39页PPT

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系顾
统客
中源
允中
许顾
的客
最数
大，
顾默
客 数
认 无 穷
，
默
认
无
穷
队列长度有限 队列最大长度
C=D 损失制
C<D< 混合制 D= 等待制
3
M/M/…的排队模型
考虑整个排队系统中顾客数的变化
有顾客到达，系统中顾客数加1 有顾客服务完毕，系统中顾客数减1 总之，顾客的到达和离开致使系统顾客数有变化
t 0
jt 0(t)
t

j
j是正在忙的服务窗个数
j=i,im 系统顾客数少于等于服务窗数时，所有顾客都在 接受服务
j=m,i>m 系统顾客数大于 服务窗个数时，所有服务窗都在 服务，正在接受服务的顾客数＝服务窗个数
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第三章 单服务窗排队模型
第一节 损失制M/M/1/1 第二节 等待制M/M/1 第三节 混合制M/M/1/m 第四节 可变服务率的M/M/1 第五节 可变输入率的M/M/1 第六节 具有不耐烦顾客的M/M/1 第七节 单服务窗闭合式M/M/1/m/m 第八节 有差错服务的M/M/1
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增长率和消亡率的分析
i状态下，i状态代表排队系统中有i个顾客，假定此时有j个 顾客正在接受服务(ji)，当i m j=i,当i>m时j=m, m为服务 窗个数 pi,i1(t) P(t内到达了1个，离开了0个)
P(t内到达了k个，离开了k 1个,k 2)
M/M…排队模型综述
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排队模型回顾
顾客到达排队系统请求服务
服

(1)损失制。这是指如果顾客到达排队系
统时，所有服务台都被先到的顾客占用， 那么他们就自动离开系统永不再来。
2．服务规则
(2)等待制 这是指当顾客来到系统时，所有服务台
都不空，顾客加入排队行列等待服务。等待制中，服务 台在选择顾客进行服务时常有如下四种规则： 1)先到先服务。按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务。 2)后到先服务。 3)随机服务。即当服务台空闲时，不按照排队序列而随 意指定某个顾客接受服务。 4)优先权服务。
②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq； ③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W；
④顾客排队等待时间的期望值Wq。
第二节 M／N／1模型
模型的条件是： 1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到
达完全是随机的，单个到来，到达过程 服从普阿松分布，且是平稳的； 2、排队规则――单队，且队长没有限制， 先到先服务； 3、服务机构――单服务台，服务时间的长 短是随机的，服从相同的指数分布 。
第六章 排 队 论
随机服务系统理论
第六章 排 队 论
排队系统描述 基本概念 M / M / 1 模型 M / M / S 模型
第一节 排队系统描述
顾客－－－要求服务的对象统称为“顾 客”
服务台－－－把提供服务的人或机构称 为“服务台”或“服务员”
各种形式的排队系统
各种形式的排队系统
(2)其他常用数量指标
Pn PNn:稳态系统任一 为n时 的刻 概状
特别n＝ 当0时（系统中0顾 ）客 ，数为 P0即稳态系统所 全有 部服 空务 闲台 的概
(2)其他常用数量指标
ρ ——服务强度，即每个服务台单位时间内的平 均服务时间，—般有ρ =λ ／(sμ )，这是衡量 排队系统繁忙程度的重要尺度，当ρ 趋近于0时， 表明对期望服务的数量来说，服务能力相对地 说是很大的。这时，等待时间一定很短，服务 台有大量的空闲时间；如服务强度ρ 趋近于1， 那么服务台空闲时间较少而顾客等待时间较多。 我们一般都假定平均服务率μ 大于平均到达率 λ ，即λ /μ <1,否则排队的人数会越来越多， 以后总是保持这个假设而不再声明。

第五章 排队论(Queuing Theory)
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。
1909年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主 要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判 断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根 据排队理论进行研究。
2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率 规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙 期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。
3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，
• 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS]
1
2
... n
单队多服务台（串列）
.
1
1
2
3
2
混合形式
5
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
§1.2 排队系统的模型分类
上述特征中最主要的、影响最大的是： • 顾客相继到达的间隔时间分布 • 服务时间的分布 • 服务台数
最优运营（动态优化）。
.
8
§2.2 排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过
研究排队系统运行的效率指标，估计服务质
量，确定系统的合理结构和系统参数的合理
值，以便实现对计等。
排队问题的一般步骤：

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排队系统类型3：
服务完成后离开
服务台1
顾客到达
服务完成后离开
服务台2
服务完成后离开
服务台s
S个服务台， S个队列的排队系统
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排队系统类型4：
顾客到达
服务台1
离开
服务台s
多服务台串联排队系统
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排队系统的描述 实际中的排队系统各不相同，但概括 起来都由三个基本部分组成： 1、输入过程; 2、排队及排队规则; 3、服务机构
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➢ 定长分布（D）：每个顾客接受的服 务时间是一个确定的常数。
➢ 负指数分布（M）：每个顾客接受的
服务时间相互独立，具有相同的负指
数分布： e- t t0
f(t)=
0
t<0
其中>0为一常数。
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➢ K阶爱尔朗分布（Ek）：
f(t)=
k(kt)k-1 · e- kt
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无形排队现象：如几个旅客同时打电话 订车票；如果有一人正在通话，其他人只 得在各自的电话机前等待，他们分散在不 同的地方，形成一个无形的队列在等待通 电话。
排队的不一定是人，也可以是物。如生 产线上的原材料，半成品等待加工；因故 障而停止运行的机器设备在等待修理；码 头上的船只等待装货或卸货；要下降的飞 机因跑道不空而在空中盘旋等。
理；出价高的顾客应优先考虑。
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❖ 3、服务机制
包括：服务员的数量及其连接方式（串联还是并联） 顾客是单个还是成批接受服务； 服务时间的分布
记某服务台的服务时间为V，其分布函数 为B(t),密度函数为b(t),则常见的分布 有：定长分布（D）

3) 普遍性：在 t 时间内到达一个顾客的概率为 t +o(t )，
到达两个或两个以上顾客的概率为 o(t )；即两个顾客不可 能同时到达 • 泊松过程具有可迭加性 – 即独立的泊松分布变量的和仍为泊松分布
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6.3.2.2 负指数分布
（1）推导
• 泊松过程的到达间隔时间为负指数分布 – 令 h 代表间隔时间，则概率 P{h > t}代表时间区间 △t 内没有顾客来的概率；由泊松分布
第六章 随机服务系统理论
排队论
Queuing Theory
确定型只是随机现象的特例
1
6.1 随机服务系统基础
• 系统的输入与输出是随机变量 • A.k.Erlang 于1909~1920年发表了一系列根据话务量计
算电话机键配置的方法，为随机服务理论奠定了基础 • 又称为排队论(Queuing Theory)或拥塞理论(Congestion
PB3 (1 / 8)PA0 (1 / 8)
(16 1 / 8)3 3!
e 161 / 8
e 81 / 8
0.0664
(2) 3 个顾客全是购买 B 类商品的概率为
Pn ( t ) 0
n2
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例-2
某铁路与公路相交的平面交叉口，当火车通过 交叉口时，横木护栏挡住汽车通行。每次火车 通过时，平均封锁公路3min，公路上平均每分 钟有4辆汽车到达交叉口。求火车通过交叉口 时，汽车排队长度超过100m的概率（即排队 汽车超过12辆的概率）。
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
6.1.1 基本要素
排队系统的三个基本组成部分. •输入过程 (顾客按照怎样的规律到达); •排队规则 (顾客按照一定规则排队等待服务); •服务机构 (服务机构的设置,服务台的数量,服务的 方式,服务时间分布等)

❖ 1、队长——系统中的顾客数量
m
L S Pi i i0
队长
m
m
i P0 i P0 i i 1
i0
i1
P0
m i1
d d
(
i)
P0
d d
m
(
i1
i)
P0
d d
1 m 1
(
)
1
1
P0
1
(m
1) m (1 ) 2
m
m 1
1
LS
m 2
❖ 2、排队长——系统中等待的顾客数量
i-1个细菌
一、生灭过程定义
❖ 研讨系统内部形状变化的过程 形状i+1
一个事件
系统形状i
一个事件
形状i-1
在Δt时辰内发生两个或两个以上 事件的概率为O(Δt)
Δt→0， O(Δt)→0
系统具有0,1,2,……个形状。在任何时辰，假设 系统处于形状i，并且系统形状随时间变化的过 程满足以下条件，称为一个生灭过程：
M/M/1/∞/∞排队系统
系统容量无限、顾客源无限 最根本的排队系统 排队过程为生灭过程过程
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
S0
S1
S2
…
Si-1
Si
Si+1
…
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
P0
P1
P2
Pi
列形状转移方程组求各形状概率
P1 P0
P1
P0
P0
Pi ii1Pi1Pi1iP0
Pi 1
i0
( 1 23 i )P 0 1

0 0 0
顾客离去
10%
(
调试 0 检验
)
90
%
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(5)匹配排队模型
煤矿 火车 煤仓
汽车(或火车)
港口
轮船
另外还有
(6)优先权的排队系统 (7)成批排队模型 (8)有限源排队模型
我们讨论(1)(2)两种
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（三）、建立排队模型步骤 1.确定表达排队问题各个变量并建立它们之间的相互
时解，一般这种瞬时解是难以求得的
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3.统计平衡下的极限解
实际应用中，关心的是t 时，方程的解称
为
生
灭
lim t
过程微
pn(t) pn
分由p差n' (t)分 0方
程
组
的
极
限
解
。
令
及(9.1)(9.2)式得当S
为有n1限pn状1 态(n集 时n )，pn (9.n11)p式n1 变 0为
2.几种重要的排队模型 (1)单服务台系统
顾客到达
排队
00…00
服务台
(2)多服务台的平衡系统
顾客离去
顾客到达 排队 服务台
00…00
顾客离去
顾客离去 服务台
服务机构
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(3)串联排队系统
顾客到达 排队 00…00
0
0
顾客离去
M1
M2
…
Mn
0
(4)排队网络模型
顾客到达 排队 00…00
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输入过程一样，服务时间都是随机的，且我们假设，设
n表示服务员为n个顾客提供服务所需的时间，则服务

概况2
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概况3
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第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
(1) 队长：系统中的顾客数，期望值记作Ls； 排队长：系统中排队等待服务的顾客数，期望值记作Lq；
系统 中 在队列中正 等在 待服务 顾客 数 服务的顾 的 客顾 数客数
(2) 逗留时间：顾客在系统中的停留时间，期望值记作Ws； 等待时间：顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作Wq， ［逗留时间］＝［等待时间］＋［服务时间］
在实际应用中，大多数系统会很快趋于稳态，而无需等到t→∞以 后。
❖ 求稳态概率Pn时，不需要求t→∞时Pn(t)的极限， 而只需令导数dPn(t)/dt=0即可。
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清华大学出版社
第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
服务机构
修理技工 发放修配零件的管理员 医生(或包括手术台) 交换台 打字员 仓库管理员 跑道 货码头(泊位) 水闸管理员 我方高射炮
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1.2 排队系统的组成和特征
❖ 排队系统由三个基本部分组成：
①输入过程 ②排队规则 ③服务机构

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something
第十章 排队论
Operational Research ( OR )
引言
生灭过程和Poisson过程
本
M/M/s等待制排队模型
章
M/M/s混合制排队模型
内
其他排队模型简介
容
排队系统的优化
分析排队系统的模拟方法
排队系统特征及排队论
排队 系统 的特 征及 排队 论
服
L npn n(1 ) n
n0
n1
务 台
( 2 2 33 …) ( 2 23 3 4 …)
2
3
…=
1-
模
平均排队长Lq为：
型
Lq (n 1) pn L (1 p0 )
n1
L 2 2
1 ( )
关于顾客在系统中的逗留时间T，可说明它服从参 数为μ-λ
单
P T t e()t t≥0
(3) 普通性： 在［t,t+Δt］内多于一个顾客到达的概 率为o(Δt)。 则称{N(t),t≥0}为Poisson过程。
生 灭 过 程 和
Poisson 过 程
定理1
设N(t)为时间［0,t］内到达系统的顾客数，则
{N(t),t≥0}为Poisson过程的充分必要条件是：
PN (t) n (t)n et
的
(3) 系统优化问题，又称为系统控制问题或系统运营问
题，其基本目的是使系统处于最优或最合理的状态。
基
系统优化问题包括最优设计问题和最优运营问题，其
内容很多，有最少费用问题、服务率的控制问题、服
本
务台的开关策略、顾客(或服务)根据优先权的最优排
序等方面的问题。

服务过程管理是现代服务业的核心竞争力之一。通过对服务流程进行科学规划、控制和改进，可以提 高服务质量、降低成本、增强客户忠诚度和提高企业盈利能力。
对未来研究的建议与展望
01
拓展研究领域
未来研究可以进一步拓展排队论和服务过程管理的应用领域，如医疗、
物流、金融等。通过深入研究不同领域的特点和需求，可以开发出更具
排队论有助于优化服务流程，降低无 效等待和空闲时间，从而降低服务成 本。
提高服务水平
通过排队论对等待时间和等待队长进行 预测，服务提供者可以提前准备，减少 顾客等待时间，提高顾客满意度。
实际应用案例分析
酒店预订系统
利用排队论优化酒店预订系统， 合理分配客房资源，提高预订成
功率。
银行排队系统
通过排队论设计银行排队系统，实 现顾客分流和快速处理，提高服务 质量。
提升员工的服务意识和技 能水平，确保服务过程的 高效执行。
05 结论与展望
研究结论
排队论在服务过程管理中的应用
排队论作为一种数学理论，在服务过程管理中具有广泛的应用。通过对服务系统的性能指标进行定量 分析和优化，排队论有助于提高服务效率、减少等待时间、优化资源配置和提高客户满意度。
服务过程管理的重要性

推动服务过程管理领域的不断发展。
06 参考文献
参考文献
排队论是数学的一个分支，主要研究排队系统中的数学模型和性能指标， 如等待时间、服务时间、队列长度等。
排队论在服务行业、交通系统、计算机科学等领域有广泛应用，是优化 资源配置和提高效率的重要工具。
常见的排队模型包括：M/M/1模型（指数分布到达，指数分布服务时间， 单服务台）、M/D/1模型（混合分布到达，定长服务时间，单服务台） 等。