垂线的性质PPT课件

几何问题中的应用
直角三角形
在几何学中，垂线与直角三角形密切相关。通过垂线可以 确定直角三角形的直角，并用于解决与直角三角形相关的 于计算图形的面积。例如，在 矩形、三角形等图形中，通过垂线将图形划分为多个小矩 形或小三角形，然后分别计算面积并相加。
空间几何
，然后画线段。
利用几何定理
03
利用勾股定理或类似三角形的性质来证明两条直线垂直，从而
确定垂足的位置。
05
垂线的历史与发展
古代的垂线概念
垂线概念起源
在古希腊和古埃及时代，人们开始认识到垂线在几何图形中 的重要性。
垂线的早期应用
古希腊数学家利用垂线解决了一些与直角三角形相关的问题 ，奠定了基础。
近代的垂线研究
垂线段的性质与计算
垂线段的性质
垂线段最短
在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段是最短的 。
垂直平分线与垂线段的关系
一条经过某点且垂直于此点与另一点的连线的线段，是该点的垂直 平分线。
垂线段的交点
两条直线相交形成的垂线段的交点是它们的公共垂足。
垂线段的计算
利用勾股定理计算
在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方，可以利用勾股定理计 算垂线段的长度。
在三维空间中，垂线用于描述物体的位置和方向，以及解 决与空间几何相关的问题。
物理学中的应用
重力作用
在物理学中，垂线被用来描述重 力的方向。地球上的重力加速度
总是垂直向下，与地面垂直。
力的合成与分解
在分析力的作用时，垂线用于确 定力的方向和大小。通过力的合 成与分解，可以解决各种物理问 题，如力的平衡、运动轨迹等。
运动学
在研究物体的运动轨迹时，垂线 用于描述速度和加速度的方向。 例如，在自由落体运动中，物体

THANKS
感谢观看
详细描述
首先，确定给定的点和平行线。然后，选择一个与该平面垂直的平面，并将给 定点包含在该平面内。最后，过该点作与该平面垂直的直线，即为所求的垂线 。
过一点作已知直线的垂面
总结词
通过给定的点，使用三维几何的知识，可以作出已知直线的垂面。
详细描述
首先，确定给定的点和已知直线。然后，选择一个与该直线垂直的平面，并将给 定点包含在该平面内。最后，过该点作与该平面垂直的平面，即为所求的垂面。
总结词
通过给定的点，使用直角三角形的性质，可以作出已知直线 的垂线。
详细描述
首先，将给定的点和已知直线连接，形成一个直线段。然后 ，以该点为顶点，直角三角形的直角边与已知直线重合，构 造一个直角三角形。最后，沿着直角三角形的斜边进行延长 ，即可得到过该点的垂线。
过一点作已知平面的垂线
总结词
通过给定的点，使用空间几何的性质，可以作出已知平面的垂线。
机械制造应用
在机械制造中，垂线是确 定机器部件位置和方向的 重要依据。
数学应用
在数学中，垂线是解决几 何问题的重要工具，如求 点到直线的距离、确定直 线的位置等。
02
垂线的判定
直线与直线垂直的判定
判定定理
空间中的垂直关系
两条直线所成的角为直角，则这两条 直线垂直。
如果两条直线所成的角为直角，则它 们垂直。
这个平面垂直。
平面与平面垂直的判定
判定定理
如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面 垂直，那么这两个平面垂直。
推论
如果一个平面内的无数条直线都与另一个平面垂 直，那么这两个平面垂直。
空间中的垂直关系
如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面 垂直，那么这两个平面垂直。

3.经过直线l 外一点B画 l 的垂线，这样的垂线能 画出几条？
注意：过一点画射线或线段的垂线，是指画它们 所在直线的垂线，垂足有时在延长线上.
13
1.垂线的画法：
工具：直尺、三角板 如图，已知直线 l,作l的垂线。
问题：
A
这样画l的
垂线可以 画几条？
O
l
无数条
1放、 2靠、 3画线、
0
1
2
3
4
5
1
观察与思考
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,a、b所 成的角α也会发生变化.
b
b
b
bb
当α =90°时,a与b垂直.
α ）α
当α ≠90°时,a与b不垂
a
直，叫斜交.
斜交 两条直线相交
垂直 垂直是相交的特殊情况
2
方格本的横线和竖线
铅垂线和水平线
3
你能再举出其他例子吗？
与已知直线垂直。
17
下列说法 （1）一条直线只有一条垂线； （2）两条直线相交就是垂直； （3）线段和射线也有垂线。 其中正确的有___________
18
一条直线的垂线有无数条。
19
例3：下列说法（1）一条直线只有一条垂线； （2）两条直线相交就是垂直； （3）线段和射线也有垂线。
其中正确的有________（___3_）_______________
（6）线段AB是点B到AC的距离.
A
其中正确的有（ C ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
B
D
C 29
如图：在铁路旁边有一张庄，
现在要建一火车站，为了使张庄人

线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短．
点到直线的距离的概念
直线外一点到已知直线的垂线段的长度 就叫做点到直线的距离。
A 如图，点P到直线AB的距离 就是垂线段PQ的长度
P
Q
B
线段AB⊥直线CD，如图，垂足为B，我们就把线 段AB叫做点A到直线CD的垂线段。
区别：垂线是直线，垂线段是线段； 联系：垂线和垂线段都垂直于已知直线
垂线的性质
第二课时
复习回顾
1.如图，直线AB和CD相交于点O，则对 顶角有___对， 分别是___。∠AOB的 邻补角有___个，分别是_____。
A
2
⌒1O 4
D
⌒
C
3
B
2.如上图：若∠1=2∠2， 求∠1，∠2，∠3，∠4的度数
一、垂直的定义
1.定义：当两条直线所成的四个角
中有一个角是直角时，我们就说这
世界上最好的课堂在老人的脚下.
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
垂线与垂 线段有何
区别和联 系？
A
垂 线 段
C
B
D
注 意： 点A到直线CD的距离是
垂线段AB的长度，而不是垂线段AB。
拓展应用
如图：要把水渠中的水引到水池C 中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的 长度才能最短？ 请画出图来，并说明理由。

小练习
1.自己画平行线，你行吗？
自己画平行线，你行吗？ 看一看，线段间有什么位置关系？
2.在你画的两条平行线 这一点到这条直线的线段的长。
哪一条最合理？为什么？ 从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂直的线段最短，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离。 平行线间的距离处处相等。 （3）在同一条直线上作两条垂线，这两条
小练习
1.自己画平行线，你行吗？ 2.在你画的两条平行线 之间画几条与平行线垂 直的线段。 3.量一量这些线段的长 度，你发现什么？
在平行线的一条直线上取两点，画垂 直线段。
平行线间的距离处处相等。
与两条平行线互相 垂直的线段的长度 都相等。
看一看，线段间有什么位置关系？ 上下两边互相平行；左右两边互相平行。
相邻的两边互相垂直。
怎样画一个长5厘米，宽2厘米的 长方形？
2厘米
5厘米
直角：相互垂直
在同一平面内， 两条直线
相交
垂线、垂足
非直角：相交
不相交：平行
从直线外一点到这条直线所画的 垂直线段最短，它的长度叫做这 点到直线的距离。
距
垂直线段
离
1、判断（对的画“√”，错的画“×”）。 （1）过直线外一点，可给这条直线作无数条
之间画几条与平行线垂 量一量这些线段的长度，你发现什么？
在同一平面内，两条直线 在平行线的一条直线上取两点，画垂直线段。 从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂直的线段最短，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离。 垂线、垂足
直的线段。 在你画的两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段。
哪一条最合理？为什么？ （1）过直线外一点，可给这条直线作无数条 在你画的两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段。 看一看，线段间有什么位置关系？

《
《
我
是
算
命
先
生
》
证明： PO⊥α
①
PO⊥a ②
aα
AO⊥a a⊥平面POA ③
PO AO O PA 平面POA a⊥PA
①
②
③
线面垂直
线线垂直
线面垂直
线线垂直
性质定理
判定定理
性质定理
新知探究 • 定理内容
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个
平面的一条斜线的正射影垂直，那么它也和这条 斜线垂直。
P 定理
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在

情景导入
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什 么特殊的位置关系？
知识精讲
知识点一 垂线的概念 1.垂直的定义：在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b.当b的位
置发生变化时，a、b所成的∠ 也会发生变化.当∠ = 90°时，我们
说a与b互相垂直（perpendicular），记作a⊥b.
.B . Al
如图，已知直线 l ，作 l 的垂线.
A
一放
O
二靠
l
三画0Biblioteka 1234
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 无数条
总结
用三角尺画垂线的方法： 一贴，用三角尺的一条直角边贴住已知直线； 二靠，用三角尺的另一条直角边靠住已知点； 三画，画出垂线． 如果作线段互相垂直或作射线的垂线，实际 上是作线段所在的直线互相垂直，或作射线所在的直线的垂线， 因为射线和线段都是直线的一部分．在垂线的画法中，有时需 延长线段，垂足在延长线上，并记上直角符号“┒”．
反过来，如果
AB⊥CD，那么 ∠AOC 是多少度？
A
A
D
C
O
D
B
O CB
从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键是： 只要找到两条直线相交时四个交角中有一个角是直角.
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出下图中 的一些互相垂直的直线.你能再举出其他例子吗?
窗户的四边
二维码的四边
围棋盘的横线和竖线
总结归纳：
垂线性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂 线段最短．简单说成：垂线段最短．

24
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平 面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
M
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11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
6
②二面角的平面角
如图，过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别 作 BO⊥l，AO⊥l，则__∠__A_O_B__就叫做二面角 α-l-β 的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为 θ，则 θ∈_[_0_，__π_]__．
π ④当 θ＝___2_____时，二面角叫做直二面角．
7
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的 垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
8
1．(2015·高考浙江卷)设 α，β是两个不同的平面，l，m 是
质 个平面的两
定 条直线 理 __平__行____
符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a∥
b
3
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一 判定 个平面的_垂_线__，
定理 则这两个平面互
相垂直
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质 定理
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
16
3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD， CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.

角为90度。
垂线的性质
垂线与给定直线相交于一点，这 一点称为垂足。
垂线与给定直线的夹角为90度， 这是垂线的唯一性。
垂线具有传递性，即如果直线a 垂直于直线b，直线b垂直于直线 c，那么直线a也垂直于直线c。
垂线的应用
在几何学中，垂线是解决许多问题的基础，如求点到直线的距离、判断两条直线是 否平行等。
利用垂线定理
垂线定理是几何学中的重要定理之一，它告诉我们一个点 到一条直线的距离是最短的，这个性质在解决几何问题时 非常有用。
利用垂线的性质
垂线有很多重要的性质，如垂直平分线定理、等腰三角形 性质等，这些性质都可以用来解决几何问题。
利用垂线解决实际问题的方法
利用垂线解决高度测量问题
在测量高度时，我们可以利用垂线的性质来计算高度，例如在建筑、地形测量 等领域。
在一些复杂的几何问题中，我们可以利用垂线定理和勾股定理来解决问题，这些 定理可以帮助我们找到解决问题的关键点。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在工程学中，垂线也具有广泛的应用，如在建筑、道路、桥梁等工程中，需要用到 垂线来确定物体的位置和方向。
在物理学中，垂线也是非常重要的概念，如在重力学中，需要用到垂线来确定物体 的重心和平衡状态。
02 垂线的判定
直线与直线垂直的判定
01
02
03
判定定理
两条直线相交，所形成的 对角相等且互补，则这两 条直线互相垂直。
延长线段
将线段延长，使其与另一条线段 相交，形成垂足。
垂线的应用实例
建筑学
在建筑设计中，垂线用于确定建筑物的垂直方向 和垂直度。
工程学
在桥梁、隧道等工程设计中，垂线用于确定结构 的垂直度和稳定性。

例2 如图，直线AB，CD相交于点O，过O点画射线OE， OF，使OE⊥CD，OD平分∠BOF. 如果∠BOE＝ 50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度数．
导引：根据∠AOC与∠BOD是对顶角， 且∠BOD与∠BOE互余，即可 求出∠AOC的度数；根据OD平 分∠BOF，∠EOF＝∠BOE＋2∠BOD即可求出 ∠EOF的度数；根据∠AOF与∠BOF互补可求得 ∠AOF的度数．
2.推理格式： 因为∠AOC＝90°(已知)， 所以AB⊥CD(垂直定义)． 反过来：因为AB⊥CD(已知)， 所以∠AOC＝90°(垂直定义)．
例1 如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射 线OE，OF是什么位置关系？请说明理由．
导引： 要判断OE，OF是什么位置关 系，其实质是说明OE，OF是 否垂直，即要看∠EOF是否为 90°；要让∠EOF＝90°，需说明∠EOF＝ ∠AOC或∠EOF＝∠BOC都可，这样就把问题 转化为说明∠AOE＝∠COF(已知)了．
知识点 3 垂线的基本事实
关于垂线的基本事实： (1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直． (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段
最短，简单说成：垂线段最短．(过直线外一点画已 知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，叫这点 到已知直线的垂线段)
例4 如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引 到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案： 方案一：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别 为点 E，F，沿CE，DF铺设管道； 方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管 道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？ 为什么？(忽略河流的宽度)
1 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是___ 时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫 做另一条直线的________，它们的交点叫做______．