2020年临沂市高三数学上期中一模试题附答案

高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设，则z的虚部是（）A. -1B.C. -2iD. -22.已知集合M==（）A. （-1，1）∪（1，2）B. （-1，2）C. （-1，1）∪（1，2]D. （-1，2]3.已知向量=（2，1），=（1，k），⊥（2-），则k=（）A. -8B. -6C. 6D. 84.把函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位长度得到函数g（x），则下列说法正确的是（）A. g（x）在上单调递增B. g（x）的图象关于对称C. g（x）的最小正周期为4πD. g（x）的图象关于y轴对称5.已知x，y满足约束条件，若的最大值为4，则实数m的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 86.赵爽是三国时代的数学家、天文学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）．如图，设AB：BC=1：3，若向弦图内随机抛掷5000颗米粒（大小忽略不计），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A. 134B. 67C. 200D. 2507.给出下列四个命题：①命题p：；②的值为0；③若f（x）=x2-ax+1为偶函数，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=2x．④已知随机变量ξ～N（1，1），若P（-1＜ξ＜3）=0.9544，则P（ξ＜3）=0.9772．其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 48.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 1B.C.D. 09.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=3，c=2，b sin A==（）A. 1B.C.D.10.某几何体的三视图如图所示（俯视图中的虚线为半圆），则该几何体的体积为（）A. 8-2πB.C.D.11.函数f（x）=上不单调的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.12.F1，F2是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，F1关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. 2 D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知sinα+cosα==______．14.（2x+y）（x-2y）5展开式中x3y3的系数为______．15.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是_______________．16.在△ABC中，A=，AB=10，AC=6，O为△ABC所在平面上一点，且满足，则m+3n的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1=3，对任意n∈N*，都有2S n-a n=na n．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)令求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=1，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）线段AD上是否存在一点M，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由．19.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P为抛物线上一点，O为坐标原点，△OFP的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为3π．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l交C于A，B两点，M是AB的中点，若|AB|=12，求点M到y轴的距离的最小值，并求此时l的方程．20.随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018年中国快递量世界第一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名．某快递公司收取费的标准是：不超过1kg的包裹收费8元；超过1kg的包裹，在8元的基础上，每超过1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收4元．该公司将最近承揽（接收并发送）的100件包裹的质量及件数统计如下（表1）：1公司对近天每天承揽包裹的件数（在表中的“件数范围”内取的一个近似数据）、件数范围及天数，列表如表（表2）：表2：（）将频率视为概率，计算该公司未来天内恰有天揽件数在～之间的概率；（2）①根据表1中最近100件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值：②根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余用作其他费用．目前，前台有工作人员5人，每人每天揽件数不超过100件，日工资80元．公司正在考虑是否将前台人员裁减1人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员1人？21.已知函数f（x）=（ax2-2x+a）e-x（a∈）．（1）当a≥0时，求f（x）的单调区间；（2）若存在a∈（-∞，0]，使得f（x）≥b ln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ＞0，0≤θ＜2π），点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|=6，点B的轨迹为C2．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）设点C的极坐标为（2，0），求△ABC面积的最小值．23.已知函数f（x）=|x-5|+|x-1|．（1）求f（x）的最小值m；（2）若正实数a，b满足≥m．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，则z的虚部是-2．故选：D．2.【答案】C【解析】解：∵，∴（x-2）（x+1）≤0，且x+1≠0，∴-1＜x≤2，∴M={x|-1＜x≤2}，∵∁R N={x|x≠1且x≠3且x≠5}，∴M∩（∁R N）={x|-1＜x≤2且x≠1}．故选：C．解分式不等式化简集合M，再由交集的运算求出M∩（∁R N）．本题考查交、并、补集的混合运算，以及分式不等式的运算，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：；∵；∴；∴k=8．故选：D．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k的值．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法、数乘和数量积的运算．4.【答案】A【解析】解：函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到y=sin（2x+），再将图象向右平移个单位长度得到函数g（x），即g（x）=sin[2（x-）+]=sin（2x-+）=sin（2x-），A．当x∈时，2x-∈（-，），此时g（x）为增函数，故A正确，B．g（-）=sin（-×2-）=sin（-）=-1≠0，即g（x）的图象关于不对称，故B 错误，C．g（x）的最小正周期为=π，故C错误，D．g（x）不是偶函数，关于y轴不对称，故D错误，故选：A．根据三角函数的图象变换，求出g（x）的解析式，结合三角函数的单调性，对称性以及周期性分别进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的图象变换规律求出g（x）的解析式以及利用三角函数的性质是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示，根据z=3x-2y的最大值为4，得出直线x+y-m=0，过直线3x-2y=4和直线x-2=0的交点A（2，1），计算m=2+1=3．故选：B．画出不等式组表示的平面区域，根据z=3x-2y的最大值为4，得出直线x+y-m=0，过直线3x-2y=4和直线x-2=0的交点A，从而求得m的值．本题考查了线性规划的应用问题，解题时用“角点法”，即由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证求出最优解．6.【答案】C【解析】解：设小正方形的边长为a，则四个全等的直角三角形的两直角边长分别为：3a，4a，则大正方形的边长为5a，则S小正方形=a2，S大正方形=25a2，设落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为n，由几何概型中的面积型可得：=，解得n=200，故选：C．本题考查了几何概型中的面积型的知识点，属简单题．由几何概型中的面积型可得：=，又设小正方形的边长为a，易得大正方形的边长为5a，由正方形面积公式运算可得解．7.【答案】B【解析】解：①命题p的￢p：∃x＞2，x2-1≤0；故①错误，②=（2x-cos x）|=2π-cosπ-（-2π-cos（-π））=2π+1-（-2π+1）=4π；故②错误；③若f（x）=x2-ax+1为偶函数，则f（-x）=f（x），即x2+ax+1=x2-ax+1，即ax=-ax，则a=-a，即a=0，则f（x）=x2+1，则f（1）=2，f′（x）=2x，则f′（1）=2，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y-2=2（x-1），即y=2x，故③正确．④已知随机变量ξ～N（1，1），若P（-1＜ξ＜3）=0.9544，则P（ξ≥3）=P（ξ≤-1）=（1-P（-1＜ξ＜3））=（1-0.9544）=0.0228，则P（ξ＜3）=1-P（ξ≥3）=1-0.228=0.9772，故④正确，故正确的命题是③④，共两个，故选：B．①根据全称命题的否定是特称命题进行判断②根据积分的定义和公式进行计算③根据偶函数的定义先求出a=0，然后结合导数的几何意义进行求解判断④根据概率的对称性结合概率公式进行求解判断即可本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．8.【答案】A【解析】解：第一次循环，k=1，S=cos0=1，k=1+1=2，k＞6不成立，第二次循环，k=2，S=1+cos=1+，k=2+1=3，k＞6不成立；第三次循环，k=3，S=1++cos=1++=+，k=3+1=4，k＞6不成立；第四次循环，k=4，S=++cos=+，k=4+1=5，k＞6不成立第五次循环，k=5，S=++cos=+-=1+，k=5+1=6，k＞6不成立；第六次循环，k=6，S=1++cosπ=1+-=1，k=6+1=7，k＞6成立．输出S=1，故选：A．根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查正余弦定理，角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，是中档题．由正弦定理得b sin A=a sin B，与b sin A=a cos（B+ ），由此能求出B．由余弦定理即可解得b的值．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得：，得b sin A=a sin B，又b sin A=a cos（B+）．∴a sin B=a cos（B+），即sin B=cos（B+）=cos B cos-sin B sin=cos B-sin B，∴tan B=，又B∈（0，π），∴B=．∵在△ABC中，a=3，c=2，由余弦定理得b===．故选：C．10.【答案】C【解析】解：根据三视图知，该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，中间挖去一个半圆锥，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为：V=V四棱锥-V半圆锥=×2×2×2-×π•12•2=．故选：C．根据三视图知该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，中间挖去一个半圆锥，结合图中数据计算该几何体的体积即可．本题考查了利用三视图求简单组合体体积的应用问题，是基础题．11.【答案】A【解析】解：由题意，f′（x）=ax-2a+=，∵函数f（x）在（1，3）上不单调，∴分子应满足在（1，3）有实根，设g（x）=ax2-2ax+1，a=0时，显然不成立，a≠0时，只需，解得：a≥1或a＜-，故a∈（-∞，-）∪[1，+∞），其子集是A，故选：A．先求导函数，再根据函数f（x）在（1，3）上不单调，得g（1）g（3）＜0且△≥0，从而可求a的取值范围．本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的单调性，关键是等价转化．12.【答案】B【解析】解：设F1（-c，0），F2（c，0），F1'（m，n），直线l：y=x，F1关于直线l的对称点为，可得，解得m=，n=-，可得F1'（，-），由题意可得|F2F1'|==b，结合a2+b2=c2，化为b2=4a2，可得e====．另解：设F1关于直线bx-ay=0对称点为F1'，设M为渐近线与F1F1'的交点，连接F1'F2，可得由OM为△F1F2F1'的中位线，可得|OM|=|F2F1'|=b，由F1到直线bx-ay=0的距离为d==b，即有b2+b2=c2，可得5（c2-a2）=4c2，即c2=5a2，可得e==．故选：B．设F1（-c，0），F2（c，0），F1'（m，n），直线l：y=x，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得对称点的坐标，以及两点的距离公式，化简整理，结合离心率公式可得所求值．方法二、运用中位线定理和勾股定理，以及离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，同时考查点关于直线的对称点问题，考查方程思想和圆能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由sinα+cosα=，得，∴．∵（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=．∴，∴=．故答案为：．由同角三角函数基本关系求出sinαcosα，再由两角差的正弦函数公式化简求值即可．本题考查了同角三角函数基本关系式，考查了两角差的正弦函数公式的应用，是基础题．14.【答案】-120【解析】解：根据题意，（x-2y）5=x5-10x4y+40x3y2-80x2y3+80xy4-32y5，则（2x+y）（x+2y）5展开式中x3y3的系数为2×（-80）+1×40=-160+40=-120，故答案为：-120．根据题意，结合二项式定理把（x+2y）5按照二项式定理展开，由多项式乘法的性质分析可得答案．本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），，两式相减得：=-∴=-×，∴==4，∴a2=2b2=4，∴a=2．故答案为：2．利用点差法得a2=2b2，进一步求得a．本题考查了椭圆标准方程的应用，考查了点差法，属中档题．16.【答案】【解析】解：由得：||=||=||，则点O是△ABC的外心，则，由=10×=30所以，所以，所以m+3n=，故答案为：由外心是中垂线的交点及投影的概念得：则，由平面向量的数量积公式得：=10×=30，所以，所以，所以m+3n=，得解．本题考查了外心是中垂线的交点，投影的概念，平面向量的数量积公式，属中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)已知a1=3，对任意n∈N*，都有2S n-a n=na n①，当n≥2时，2S n-1-a n-1=（n-1）a n-1②，①-②得：，所以：，…，，故：，解得：a n=3n（首项符合通项），故：a n=3n．(Ⅱ)由于a n=3n，则：==，故：==.【解析】(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】证明：（1）∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴BF⊥AE，∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥AB，平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，∴CB⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE，∴CB⊥AE，∵BF∩BC=B，∴AE⊥平面BCE．解：（2）线段AD上存在一点M，当AM=时，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为．理由如下：∵AE⊥平面BCE，BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE，在Rt△AEB中，AB=2，AE=1，∴∠ABE=30°，∠BAE=60°，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，设AM=h，则0≤h≤2，∵AE=1，∠BAE=60°，∴M（0，0，h），E（，，0），B（0，2，0），C（0，2，2），∴=（，，-h），=（，-，-2），设平面MCE的一个法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（（2+3h），h-2，2），平面ABE的一个法向量=（0，0，1），由题意得：|cos＜＞|===，解得h=或h=-（舍），∴线段AD上存在一点M，当AM=时，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为．【解析】（1）推导出BF⊥AE，BC⊥AB，从而CB⊥平面ABE，进而CB⊥AE，由此能证明AE⊥平面BCE．（2）推导出AE⊥BE，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法推导出线段AD上存在一点M，当AM=时，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）∵△OFP的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFP的外接圆圆心到准线的距离等于圆的半径，∵圆周长为3π，所以，圆的半径为，又∵圆心在OF的垂直平分线上，，∴，解得p=2，因此，抛物线的方程为y2=4x；（2）法一：①当l的斜率不存在时，∵|AB|=12，∴4x=62，得x=9，∴点M到y轴的距离为9，此时，直线l的方程为x=9；②当l的斜率存在且k≠0时，设l的方程为y=kx+b，设A（x1，y1）、B（x2，y2），M（x0，y0），由，得k2x2+2（kb-2）x+b2=0，∴△=-16kb+16＞0，由韦达定理得，．∴═=，即．又==，当且仅当，即时，等号成立，将代入，得或．这两种情况均满足△=16-16kb＞0，合乎题意！则直线l的方程为或．综上所述，点M到y轴距离的最小值为5，此时，直线l的方程为或；法二：由题意可知直线l的斜率不为零，设l：x=my+n，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则点，点M到y轴的距离为．由，整理得y2-4my-4n=0．△=16m2+16n＞0，由韦达定理得y1+y2=4m，y1y2=-4n．=，可得，∵，∴==，当且仅当，即m2=2，即当时，等号成立，此时，△=16m2+16n＞0成立，合乎题意！因此，点M到y轴的距离的最小值为5，此时，直线l的方程为．【解析】（1）先求出△OFP的外接圆的半径长，再利用抛物线的定义可求出p的值，从而得出抛物线C的方程；（2）法一：设直线l的方程为y=kx+b，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），设点M（x0，y0），将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，并计算出|AB|的表达式，根据条件|AB|=12得出k与b所满足的关系式，并求出点M的坐标，结合关系式并利用基本不等式可求出点M到y轴距离的最小值，利用等号成立的条件得出k与b的值，从而求出直线l的方程；法二：设直线l的方程为x=my+n，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算|AB|，并利用条件|AB|=12，得出m与n所满足的关系式，然后求出点M的坐标，可得出点M到y轴距离的表达式，将关系式代入并结合基本不等式可得出点M到y轴距离的最小值，并由等号成立的条件得出m与n的值，从而得出直线l的方程．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义以及方程的求解，同时也考查了韦达定理法在抛物线综合问题中的应用，属于难题．20.【答案】解：（1）由题意得近50天每天承揽包裹的件数在100～299之间的天数为35，∴每天揽件数在100～299之间的概率为=，未来3天中，包裹件数在100～299之间的天数X服从二项分布X～B（3，），∴未来3天内恰有1天揽件数在100～299之间的概率：P==．（2）①估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值为：=[43×8+30×（8+4）+15×（8+4×2）+8×（8+4×3）+4×（8+4×4）]=12（元）．②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加12元，若不裁员，则每天可揽件的上限为500件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为240×12×-5×80=560（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为200件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为185×12×-4×80=420（元）因420＜560，故公司不应将前台工作人员裁员1人．【解析】（1）样本中包裹件数在100～299之间的天数为35，未来3天中，包裹件数在100～299之间的天数X服从二项分布，即X～B（3，），由此能求出结果．（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表格，故样本中每件快递收取的费用的平均值．②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加12元，若不裁员，则每天可揽件的上限为500件，公司每日揽件数情况如表格．若裁员1人，则每天可揽件的上限为400件，公司每日揽件数情况如表格．可得公司平均每日利润的期望值．本题考查了频率分布直方图的性质及其应用、二项分布列的计算公式，数学期望求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域是，f'（x）=-e-x（x-1）（ax-a-2），（i）a=0时，f'（x）=2e-x（x-1），令f'（x）＞0，解得：x＞1，令f'（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增；（ii）a＞0时，1+＞1，令f'（x）＞0，解得：1＜x＜1+，令f'（x）＜0，解得：x＜1或x＞1+，故f（x）在（-∞，1）递减，在（1，1+）递增，在（1+，+∞）递减；（2）f（x）≥b ln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，当x=0时，f（0）≥b ln（0+1），故a≥0成立，又a∈（-∞，0]，故a=0；（i）当b≥0时，∀x∈（0，+∞），b ln（x+1）≥0，xe-x＞0，此时，b ln（x+1）=2xe-x＞0，不合题意，（ii）当b＜0时，令h（x）=b ln（x+1）+2xe-x，x∈[0，+∞），则h'（x）=，其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）=be x+2-2x2，x∈[0，+∞），∵b＜0，∴p（x）在[0，+∞）递减，①当b≤-2时，p（x）≤p（0）=b+2≤0，故对任意x∈[0，+∞），h'（x）≤0，则h（x）在[0，+∞）递减，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≤h（0）=0，即不等式b ln（x+1）+2xe-x≤0在[0，+∞）上恒成立，满足题意；②当-2＜b＜0时，由p（0）=b+2＞0，p（1）=be＜0及p（x）在[0，+∞）递减，故存在唯一x0∈（0，1），使得p（x0）=0且x∈（0，x0）时，p（x0）＞0，从而x∈（0，x0）时，h'（x）＞0，故h（x）在区间（0，x0）递增，则x∈（0，x0）时，h（x）＞h（0）=0，即b ln（x+1））+2xe-x＞0，不符合题意，综上，b≤-2．【解析】本题考查了函数的单调性，存在性和恒成立问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）利用函数的存在性和恒成立，通过讨论b的范围结合函数的单调性确定b的范围即可．22.【答案】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为：x2+（y-1）2=1．转换为极坐标方程为：ρ=2sinθ．设点B的极坐标方程为（ρ，θ），点A的极坐标为（ρ0，θ0），则：|OB|=ρ，|OA|=ρ0，由于：满足|OA|•|OB|=6，则：，整理得：ρsinθ=3．（2）点C的极坐标为（2，0），则：|OC|=3，所以：．当sinθ=1时，S△ABC的最小值为1．【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，进一步利用三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】（1）解f（x）=|x-5|+|x-1|≥|（x-5）-（x-1）|=4；∴f（x）的最小值m为4；（2）证明：∵a＞0，b＞0，+=，∴（+）[12+（）2]≥（×1+×）2=6≥4．【解析】（1）根据绝对值不等式|a+b|≥|a-b|便可得出|x-5|+|x-1|≥4，从而得出f（x）的最小值为4，即得到t=4；（2）利用柯西不等式即可证明．考查绝对值不等式公式：|a|+|b|≥|a-b|，以及柯西不等式的应用，属于中档题．。

2020年临沂市高三模拟试题数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|2A x x =∈<Z ，{}|21xB x =>，则A B =I （ ） A. {}1 B. {}1,2 C. {}0,1 D. {}1,0,1-【答案】A 【解析】 【分析】计算{}1,0,1A =-，{}0B x x =>，再计算交集得到答案.【详解】{}{}2|21,0,1A x x =∈<=-Z ，{}{}210xB x x x ==>，故{}1A B ⋂=.故选：A .【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2.已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,1-，()0,1，则12z z 的共轭复数为（ ） A. 1i + B. 1i -+C. 1i --D. 1i -【答案】B 【解析】 【分析】根据题意11z i =-，2z i =，121z z i z ==--，再计算共轭复数得到答案. 【详解】复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,1-，()0,1，故11z i =-，2z i =，()122111i i z i z i z i i ---====---，故1z i =-+. 故选：B .【点睛】本题考查了复数的除法，共轭复数，复数对应的点，意在考查学生对于复数知识的综合应用. 3.若a ∈R ，则“1a >”是“31a >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】依次判断充分性和必要性，取2a =-得到不充分，得到答案. 【详解】当1a >时，取2a =-，则381a =-<，故不充分；当31a >时，根据幂函数3y x =的单调性得到1a >，故1a >，必要性成立.故选：B .【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.4.已知向量,,a b c →→→，其中a →与b →是相反向量，且a c b →→→+=，()3,3a c →→-=-，则a b →→⋅=（ ）A.B.C. 2D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】设(),a x y =r，则(),b x y =--r ，计算得到1x =，1y =-，再计算数量积得到答案. 【详解】设(),a x y =r ，则(),b x y =--r ，a c b +=r r r，故()2,2c x y =--r ， ()()3,33,3a c x y -==-r r ，故1x =，1y =-，()()1,11,12a b ⋅=-⋅-=-r r.故选：D .【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力和转化能力. 5.已知ln x π=，5log 2y =，0.5z e -=，则（ ） A. x y z >> B. x z y >>C. z y x >>D. z x y >>【答案】B 【解析】 【分析】计算得到ln 1x π=>，51log 22y =<，0.5211z e-=<<，得到答案.【详解】ln ln 1x e π=>=，551log 2log 2y =<=，又2ln2ln4ln 1e =>=， 所以1ln 22>，ln 20.50121ez e e --=<=<=，故x z y >>. 故选：B .【点睛】本题考查了根据对数函数和指数函数的单调性比较函数值大小，意在考查学生的计算能力和应用能力.6.已知函数()21212f x x x =-+，[]1,4x ∈，当x a =时，()f x 取得最大值b ，则函数()x bg x a +=的大致图象为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】计算4a =，1b =，()1114,144,1x x x x g x x ++--⎧≥-==⎨<-⎩，对比图像得到答案. 【详解】()()2211212122f x x x x =-+=--，故4a =，1b =. ()1114,144,1x x bx x x g x ax +++--⎧≥-===⎨<-⎩，对比图像知C 满足条件. 故选：C .【点睛】本题考查了二次函数的最值，指数型函数图像，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知园周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈610=立方寸），一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子（ ）A. 200两B. 240两C. 360两D. 400两【答案】D 【解析】 【分析】计算底面半径为12223r ==⨯，2132143V =⨯⨯⨯=，换算单位得到答案. 【详解】底面半径为12223r ==⨯，2132143V =⨯⨯⨯=立方丈6410=⨯立方寸4000027=斛， 故40000270100040027⨯÷=两. 故选：D .【点睛】本题考查了圆锥的体积的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 8.点M 为抛物线214y x =上任意一点，点N 为圆223204x y y +-+=上任意一点，若函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点P ，则MP MN +的最小值为（ ）A.52B.114C. 3D.134【答案】A 【解析】 【分析】计算()1,2P -，则1122MP MN MP MF PD +≥+-≥-，计算得到答案. 【详解】函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点()1,2-，故()1,2P -.214y x =，即24x y =，焦点为()0,1F ，准线为1y =-， 223204x y y +-+=，即()22114x y +-=.111532222MP MN MP MF PD +≥+-≥-=-=，当PMD 共线时等号成立. 故选：A .【点睛】本题考查了对数函数过定点问题，抛物线的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下列结论正确的是（ ） A. 若tan 2α=，则3cos 25α=B. 若sin cos 1αβ+=，则221sin cos 2αβ+≥C. “0x ∃∈Z ，0sin x ∈Z ”的否定是“x ∀∈Z ，sin x ∉Z ”D. 将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，所得图象关于原点对称 【答案】BC 【解析】 【分析】根据齐次式计算3cos25α=-，A 错误，222111sin cos 2sin 222αβα⎛⎫+=-+≥ ⎪⎝⎭，B 正确，特称命题的否定是全称命题，C 正确，平移后得到偶函数，D 错误，得到答案.【详解】tan 2α=，则222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5ααααααα--===-++，故A 错误； sin cos 1αβ+=，则()22222111sin cos sin 1sin 2sin 222αβααα⎛⎫+=+-=-+≥ ⎪⎝⎭，B 正确；根据特称命题的否定是全称命题：“0x Z ∃∈，0sin x Z ∈”的否定是“x Z ∀∈，sin x Z ∉”，故C 正确；将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到cos 2sin 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭为偶函数，故D 错误.故选：BC .【点睛】本题考查了齐次式求值，函数取值范围，命题否定，函数平移和奇偶性，意在考查学生的综合应用能力.10.某同学在微信上查询到近十年全国高考报名人数、录取人数和山东夏季高考报名人数的折线图，其中2019年的录取人数被遮挡了．他又查询到近十年全国高考录取率的散点图，结合图表中的信息判定下列说法正确的是（ ）A. 全国高考报名人数逐年增加B. 2018年全国高考录取率最高C. 2019年高考录取人数约820万D. 2019年山东高考报名人数在全国的占比最小 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图表2016年的人数少于2015年人数，故A 错误，2018年的录取率为81.1%，为最高，B 正确，2019年高考录取人数为820，故C 正确，计算占比得到D 正确，得到答案. 【详解】2016年的人数少于2015年人数，故A 错误； 2018年的录取率为81.1%，为最高，B 正确；2019年高考录取人数为103179.5%820⨯≈，故C 正确； 从2010—2019年山东高考报名人数在全国的占比分别为：6.9%,6.3%,5.6%,5.5%,5.9%,7.4%,6.4%,6.2%,6.1%,5.4%，故D 正确. 故选：BCD .【点睛】本题考查了折线图和散点图，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若b =3c =，3A C π+=，则下列结论的正确的是（ ）A. cos 3C =B. sin 3B =C. 3a =D. ABC S =V 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正弦定理得到cos C =，sin sin 23B C ==，根据余弦定理得到1a =，ABC S =V 案.【详解】3A C π+=，故2B C =，根据正弦定理：sin sin b cB C=，即32sin cos C C C =⨯，sin 0C ≠，故cos C =，sin C =，sin sin 22sin cos 3B C C C ===. 2222cos c a b ab C =+-，化简得到2430a a -+=，解得3a =或1a =，若3a =，故4A C π==，故2B π=，不满足，故1a =.11sin 122ABC S ab C ==⨯⨯=△ 故选：AD .【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力.12.如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C ，D 的动点，将ADE V 沿AE 翻折成SAE △，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A. 存在点E 和某一翻折位置，使得SB SE ⊥B. 存在点E 和某一翻折位置，使得//AE 平面SBCC. 存在点E 和某一翻折位置，使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45°D. 存在点E 和某一翻折位置，使得二面角S AB C --的大小为60° 【答案】ACD【解析】 【分析】依次判断每个选项：当SE CE ⊥时，⊥SE SB ，A 正确，//AE 平面SBC ，则//AE CB ，这与已知矛盾，故B 错误，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，计算得到2cos 3α=，C 正确，取二面角D AE B --的平面角为60︒，计算得到tan θ=，故D 正确，得到答案. 【详解】当SE CE ⊥时，SE AB ⊥，SE SA ⊥，故SE ⊥平面SAB ，故⊥SE SB ，A 正确； 若//AE 平面SBC ，因AE ⊂平面ABC ，平面ABC I 平面SBC BC =，则//AE CB ， 这与已知矛盾，故B 错误；如图所示：DF AE ⊥交BC 于F ，交AE 于G ，S 在平面ABCE 的投影O 在GF 上， 连接BO ，故SBO ∠为直线SB 与平面ABC 所成的角，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，3DE =，故5AE DF ==，1CE BF ==，125DG =，12cos 5OG α=，故只需满足12sin 5SO OB α==， 在OFB △中，根据余弦定理：2221213121312sin 1cos 2cos cos 55555OFB ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+---∠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2cos 3α=，故C 正确； 过O 作OMAB ⊥交AB 于M ，则SMO ∠为二面角S AB C --的平面角，取二面角D AE B --的平面角为60︒，故只需满足22DG GO OM ==， 设OAG OAM θ∠=∠=，84ππθ<<，则22DAG πθ∠=-，tan tan 22DG OGAG πθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得到2tan tan 21θθ=，解得tan 5θ=，验证满足，故D 正确；故选：ACD .【点睛】本题考查了线线垂直，线面平行，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力，推断能力和空间想象能力.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.三名旅游爱好者商定，新冠肺炎疫情全面结束后，前往湖北省的武汉、宜昌、黄冈三个城市旅游.如果三人均等可能的前往上述三个城市之一，则他们选择同一个城市的概率是_______. 【答案】19【解析】 分析】根据三人均等可能的前往三个城市之一，可得共有3327=种选择情况，他们选择同一城市有3种情况，即可求得答案.【详解】Q 三人均等可能前往三个城市之一∴共有3327=种选择情况，他们选择同一城市有3种情况，∴概率为31279=. 故答案为：19.【点睛】本题主要考查了求事件概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.14.若21nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中的各项系数的和为1024，则常数项为__________．【答案】405 【解析】【的【分析】根据系数和得到5n =，再根据二项式定理计算得到答案.【详解】21nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中的各项系数的和为41024n =，故5n =，故521x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的通项为：(555522155213rrrrr r r T C C x x ---+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭， 取1r =得到常数项为1453405C ⋅=.故答案为：405.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，左、右焦点分别为1F ，2F ，点A在双曲线上，且212AF F F ⊥，则该双曲线的离心率为__________，12sin AF F ∠=__________． 【答案】(1). (2).12【解析】 【分析】根据渐近线得到c =，得到离心率，不妨取2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，计算得到答案.【详解】一条渐近线方程为y =，故b =，c =，故e =212AF F F ⊥，不妨取2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故22122121sin 422b AF a aAF F b AF a aa∠====+.12. 【点睛】本题考查了双曲线渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.16.已知函数()32232,0,0xx x x f x x e x ⎧-++≥=⎨-<⎩，若方程()0f x a +=有两个不相等的实根，则实数a 取值范围是__________．【答案】{|62a a -<≤-，或24}a e -= 【解析】【分析】分段求导得到函数单调区间，画出函数图像，()0f x a +=，即()f x a =-，根据图像得到答案. 【详解】当0x ≥时，()3232f x x x =-++，故()()23632f x x x x x =-+'=--，故函数在[]0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，()02f =，()26f =；当0x <时，()2x f x x e =-，故()()2xf x xe x '=-+，故函数在(),2-∞-上单调递减，在[)2,0-上单调递增，()224f e --=-，画出函数图像，如图所示：()0f x a +=，即()f x a =-，根据图像知：26a ≤-<或24a e --=-，解得62a -<≤-或24a e -=.故答案为：{|62a a -<≤-，或24}a e -=.【点睛】本题考查了函数的零点问题，求出单调区间得到函数图像是解题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a <，2234n n n a a S -=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1n n a b =，求满足1223117n n b b b b b b ++++<L 的正整数n 的最大值． 【答案】（1）21n a n =--；（2）8． 【解析】 【分析】（1）根据公式1n n n a S S -=-得到12n n a a --=-得到通项公式. （2）121n b n =-+，故122311112323n n b b b b b b n +⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭L ，解得答案. 【详解】（1）当1n =，2111234a a a -=-，211230a a +-=，又0n a <，13a ∴=-． 当2n ≥时，2234n n n a a S -=-，①2111234n n n a a S ----=-，②①—②整理得，12n n a a --=-，()321n a n ∴=---，21n a n ∴=--． （2）因为1n n a b =，所以121n b n =-+， 所以()()11111212322123n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故1223111111111112355721232323n n b b b b b b n n n +⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭L L ， 令111123237n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，解得9n <，所以n 的最大值为8． 【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 18.已知函数()()sin 0,02f x x m πωϕωϕ⎛⎫=++>-<< ⎪⎝⎭满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：①32ω=，②周期T π=，③过点()0,0，④332f π⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）写出所满足的3个条件的序号（不需要说明理由），并求()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的图象与直线1y =相邻两个交点间的最短距离． 【答案】（1）②③④；()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）3π． 【解析】 【分析】（1）所满足的三个条件是：②③④，计算得到2ω=，sin 0m ϕ+=，23sin 32m πϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得6πϕ=-，12m =，得到解析式.（2）根据题意1sin 262x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故6x k ππ=+，或2x k ππ=+，k ∈Z ，得到答案. 【详解】（1）所满足的三个条件是：②③④，()f x Q 的周期T π=，2ω∴=，()()sin 2f x x m ϕ∴=++，又过点()0,0，且332f π⎛⎫=⎪⎝⎭，sin 0m ϕ∴+=，23sin 32m πϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 23sin sin 32πϕϕ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭，13sin sin 222ϕϕϕ∴--=，13cos 22ϕϕ⎫=⎪⎪⎭，sin 6πϕ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，又02πϕ-<<，6πϕ∴=-， 又sin 0m ϕ+=，102m ∴-+=，12m ∴=，()1sin 262f x x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭．（2）由()1sin 2162f x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，得1sin 262x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 2266x k πππ∴-=+，或52266x k πππ-=+，k ∈Z ， 6x k ππ∴=+，或2x k ππ=+，k ∈Z ，所以函数()f x 的图象与直线1y =相邻两个交点间的最短距离为263πππ-=．【点睛】本题考查了三角函数解析式，图像中的最短距离，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是边长为2的正三角形，O 为BC 的中点，1A O ⊥平面ABC ，点M 在AO 上，2AM MO =，N 为1OC 与1B C 的交点，且1BB 与平面ABC 所成的角为4π．（1）求证：//MN 平面11ACC A ； （2）求二面角11A OC B --的正弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）4． 【解析】 【分析】（1）连结1AC ，证明相似得到1//MN AC ，得到证明.（2）以OC ，OA ，1OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面11AOC 的法向量为)1n =u v ，平面1BOC 的法向量为()2=0,1,1n u u v，计算夹角得到答案.【详解】（1）连结1AC ，O Q 为BC 的中点，11//OC B C ，11112ON OC NC B C ==， 又2AM MO =，112OM ON AM NC ∴==，1//MN AC ∴． 又MN ⊄平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ，所以//MN 平面11ACC A ．（2）因为ABC V 是边长为2的正三角形，O 为BC 的中点，1A O ⊥平面ABC ，所以，AO ，BC ，1A O 两两垂直，以OC ，OA ，1OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．1BB Q 与平面ABC 所成的角为4π，又1AA ∥1BB ，1AA ∴与平面ABC 所成的角为4π， 又1A O ⊥平面ABC ，1AA ∴与平面ABC 所成的角为1A AO ∠，即14A AO π∠=．又ABC V 是边长为2的正三角形，O 为BC的中点，1AO AO =由题意知，(10,0A ，()1,0,0B -，(11,C ，所以，(1OA =u u u v ，()1,0,0OB =-u u u v，(11,OC =u u u u v ，设平面11AOC 的法向量为()1111,,n x y z =u v，所以，111100n OA n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u u v，即111100x =+=⎪⎩，取)1n =u v ，设平面1BOC 的法向量为()2222,,n x y z =u u v，由22100n OB n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u u v，得22220x x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取()2=0,1,1n u u v ，所以121212cos ,n n n n n n ⋅===u v u u vu v u u v u v u u v ， 设二面角11A OCB --的大小为θ，sin 4θ∴===．所以二面角11A OC B --的正弦值为4．【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20.动点P 在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为A ，点B 满足3AB AP →→=，已知点B 的轨迹是过点()0,3Q 的圆． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N 在x 轴的同侧），1F ，2F 为椭圆的左、右焦点，若12//F M F N ，求四边形12F F NM 面积的最大值．【答案】（1）2219x y +=；（2）3． 【解析】 【分析】（1）设点(),B x y ，()00,P x y ，得到003x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩，点B 的轨迹是过()0,3Q 的圆，故2291a b ⎧=⎨=⎩，得到椭圆方程.（2）如图，延长1MF 交C 于点M '，由对称性可知：12F M NF '=，设()11,M x y ，()22,M x y '，直线1MF的方程为x my =-联立方程得到1229y y m +=+，12219y y m =-+，计算8S =，利用均值不等式得到答案.【详解】（1）设点(),B x y ，()00,P x y ，则点()0,0A x ，()0,AB x x y =-u u u r ，()00,AP y =u u u r， 3AB AP =u u u r u u u r Q ，0003x x y y -=⎧∴⎨=⎩，003x x y y =⎧⎪∴⎨=⎪⎩， Q 点()00,P x y 在椭圆C 上，222219x y a b∴+=，即为点B 的轨迹方程． 又Q 点B 的轨迹是过()0,3Q 的圆，2229919a b b⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，解得2291a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为2219x y +=．（2）如图，延长1MF 交C 于点M '，由对称性可知：12F M NF '=，由（1）可知()1F -，()2F ，设()11,M x y ，()22,M x y '，直线1MF的方程为x my =-由2219x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩可得()22910m y +--=，()2232490m m ∆=++>，1229y y m ∴+=+，12219y y m =-+，1229y y m ∴-===+， 设1F M 与2F N 的距离为d ，则四边形12F F NM 面积()1212S F M F N d =+ ()2111122MF M F M F M d MM d S '''=+==△， 而22121121212MF M F MF F M F S S S F F y y ''=+=-△△△，1382S ∴=⨯==≤=，=m =故四边形12F F NM 面积的最大值为3．【点睛】本题考查了椭圆方程，四边形面积的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力. 21.2020年新冠肺炎疫情暴发以来，中国政府迅速采取最全面、最严格、最彻底的防控举措，坚决遏制疫情蔓延势头，努力把疫情影响降到最低，为全世界抗击新冠肺炎疫情做岀了贡献．为普及防治新冠肺炎的相关知识，某高中学校开展了线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从大批参与者中随机抽取200名幸运者，他们的得分（满分100分）数据统计结果如图：（1）若此次知识竞答得分X 整体服从正态分布，用样本来估计总体，设μ，σ分别为这200名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求μ，σ的值（μ，σ的值四舍五入取整数），并计算()3779P X <<；（2）在（1）的条件下，为感谢大家积极参与这次活动，对参与此次知识竞答的幸运者制定如下奖励方案：得分低于μ的获得1次抽奖机会，得分不低于μ的获得2次抽奖机会．假定每次抽奖中，抽到18元红包的概率为23，抽到36元红包的概率为13．已知高三某同学是这次活动中的幸运者，记Y 为该同学在抽奖中获得红包的总金额，求Y 的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要抽奖红包的总金额． 参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；()220.9545P X μσμσ-<≤+≈；()330.9973P X μσμσ-<≤+≈．【答案】（1）65μ=，14σ≈；()37790.8186P X <<=；（2）分布列详见解析，数学期望为36；总金额为7200元． 【解析】【分析】（1）计算65μ=，14σ≈，故X 服从正态分布()265,14N ，计算得到答案.（2）Y 的取值为18，36，54，72，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1）()20350.545355465575 4.58529511300E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()65E X ∴=．即65μ=．()()()()()222235650.02545650.1555650.265650.25D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯ ()()()22275650.22585650.195650.05210+-⨯+-⨯+-⨯=．由2196225σ<<，则1415σ<<，而214.5210.25210=>，故14σ≈， 则X 服从正态分布()265,14N ，()()()()22377922P X P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<++-<<+<<=-<<+=0.95450.68270.81862+==．（2）Y取值为18，36，54，72．由题意知，()()12P X P X μμ<=≥=， ()12118233P Y ==⨯=，()111227362323318P Y ==⨯+⨯⨯=，()1211122542332339P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，()11117223318P Y ==⨯⨯=，所以Y 的分布列为()17211836547236318918E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，估算所需要抽奖红包的总金额为：200367200⨯=（元）．【点睛】本题考查了正态分布，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.的22.已知函数()ln f x a x =，21()2g x x bx b =++，,a b ∈R . （1）设() ()F x x f x =，求()F x 在[],2a a 上的最大值；（2）设()()()G x f x g x =+，若()G x 的极大值恒小于0，求证：42e a b +≤. 【答案】（1）最大值221ln 04()12ln 24a a a M a a a a ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（2）证明见解析【解析】 【分析】()1对函数求导得()(1ln )F x a x '=+，得到()F x 单调区间，分类讨论即可得()F x 最大值．()()22'(0)x bx aG x x x++=>，()G x 的极大值恒小于0可得3ln 2a b a a -+…，从而得到+a b 的最大值，构造函数即可证明42e a b +≤．【详解】()1由已知0a >，()(1ln )F x a x '=+，当10x e<<时，()F'0x <，当1x e >时，()'0F x >，从而()F x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 从而，()(){}()2,max F x max F a F a =， 于是222(2)()(ln 4ln )ln 4F a F a a a a a a -=-=当14a >时，()()2F a F a >，所以2max ()(2)2ln 2F x F a a a ==当104a <≤时，()()2F a F a ≤，所以2max ()()ln F x F a a a ==；综上所得221ln 04()12ln 24a a a M a a a a ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩．()2依题意()212G x alnx x bx b =+++，则()2'(0)a x bx aG x x b x x x++=++=>，的因为()G x 存在极大值，则关于x 的方程20x bx a ++=有两个不等的正根12,x x ，不妨12x x <，则12x x a =，则0a >，且10x <设()2p x x bx a =++列设表如下：从而，()()211111()ln 12G x G x a x x b x ==+++极大， 又()211bx x a =-+，从而()2111 1()ln 02G x G x a x x a b ==--+<极大对10x <<恒成立，设21()ln 2K x a x x a b =--+，(x ∈， 则()2'0a x K x x-=>，所以()K x 在(上递增，从而3()02a K x K ab <=+„，所以32a b a -„， 55ln 222a a a ab a a +-=-+„， 设(0)2a t t =>，则()25m t tln t t =-+， 又()'42m t ln t =-，若40,2e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0;m t >若4,2et⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()'0;m t<从而()442 2e em t m ⎛⎫≤=⎪⎝⎭，即42ea b+≤．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值与最值，利用导数研究存在或恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题．。

山东省高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．2．已知集合A={y|y=（）x，x≥﹣1}，B={y|y=e x+1，x≤0}，则下列结论正确的是（）A．A=B B．A∪B=R C．A∩（∁R B）=∅D．B∩（∁R A）=∅3．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生（）A．1030人B．97人 C．950人D．970人4．设，且⊥，则向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．下列四个结论中正确的个数是（）①“x2+x﹣2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件∈R，sinx0＞1”．②命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x③“若x=，则tanx=1，”的逆命题为真命题；2）+f（log23）=0．④若f（x）是R上的奇函数，则f（log3A．1 B．2 C．3 D．46．若执行如图的程序框图，输出S的值为﹣4，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜14B．k＜15C．k＜16D．k＜177．在△ABC中，cosA=，3sinB=2sinC，且△ABC的面积为2，则边BC的长为（）A．2B．3 C．2 D．8．已知a是常数，函数的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数g（x）=|a x﹣2|的图象可能是（）A．B．C．D．9．若x，y满足不等式组，则z=|x﹣3|+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．710．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别l1，l2，右焦点F．若点F关于直线l1的对称点M在l2上则双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡对应题号的位置位置.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．若tanα=2，则sin2α= ．12．若f（x）=3﹣2x，则|f（x+1）+2|≤3的解集为．13．已知的展开（1﹣2x）5式中所有项的系数和为m，则．14．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为．15．已知实数x，y满足x＞y＞0且x+y=1，则+的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡上的相应位置.16．（12分）（2016•临沂一模）已知函数满足下列条件：①周期T=π；② 图象向左平移个单位长度后关于y轴对称；③ f（0）=1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设，求cos（2α﹣2β）的值．17．（12分）（2016•临沂一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，M，N分别为PB，CD的中点，二面角P﹣CD﹣A的大小为60°，∠ABC=60°，AB=2，PC=PD=（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．18．（12分）（2016•临沂一模）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足6S n=a n2+3a n+2，且a2是a1和a6的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）符合[x]表示不超过实数x的最大整数，如[log23]=1，[log25]=2．记，求数列的前n项和T n．19．（12分）（2016•临沂一模）a，b，c，d四名运动员争夺某次赛事的第1，2，3，4名，比赛规则为：通过抽签，将4人分为甲、乙两个小组，每组两人．第一轮比赛（半决赛）：两组各自在组内进行一场比赛，决出各组的胜者和负者；第二轮比赛决赛：两组中的胜者进行一场比赛争夺1，2名，两组中的负者进行一场比赛争夺第3，4名．四名选手以往交手的胜负情况累计如下表：a b c da a13胜26负a20胜10负a21胜21负b b26胜13负b14胜28负b19胜19负c c10胜20负c28胜14负c18胜18负d d21胜21负d19胜19负d18胜18负若抽签结果为甲组：a，c；乙组：b，d．每场比赛中，双方以往交手各自获胜的频率作为获胜的概率．（Ⅰ）求c获得第1名的概率；（Ⅱ）求c的名次X的分布列和数学期望．20．（13分）（2016•临沂一模）已知函数f（x）=x2﹣2ax，g（x）=lnx．（Ⅰ）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x1，x2且，证明：h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2．21．（14分）（2016•临沂一模）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，M是直线l：x=2上的动点，F为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以为OM直径的圆C2相交于P，Q两点，与椭圆C1相交于A，B两点，如图所示．的方程；①若PQ=，求圆C2与四边形OAMB的面积分别为S1，S2，若S1=λS2，求λ的取值范围．② 设C2参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．【考点】复数相等的充要条件．【分析】设出复数z，然后利用复数相等的充要条件，求解即可．【解答】解：设复数z=bi，b≠0，∴（3﹣i）z=a+i，化为（3﹣i）bi=a+i，即b+3bi=a+i，∴b=a=，故选：D．【点评】本题考查复数的基本运算，复数相等的充要条件的应用，考查计算能力．2．已知集合A={y|y=（）x，x≥﹣1}，B={y|y=e x+1，x≤0}，则下列结论正确的是（）A．A=B B．A∪B=R C．A∩（∁R B）=∅D．B∩（∁R A）=∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A、B，求出∁R A，即可得出结论．【解答】解：集合A={y|y=（）x，x≥﹣1}={y|0＜y≤2}=（0，2]，B={y|y=e x+1，x≤0}={y|1＜y≤2}=（1，2]，∴∁R A=（﹣∞，0]∪（2，+∞），∴B∩（∁R A）=∅．故选：D．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．3．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生（）A．1030人B．97人 C．950人D．970人【考点】分层抽样方法．【分析】根据样本容量和女生比男生少6人，可得样本中女生数，再根据抽取的比例可得总体中的女生人数．【解答】解：∵样本容量为200，女生比男生少6人，∴样本中女生数为97人，又分层抽样的抽取比例为=，∴总体中女生数为970人．故选：D．【点评】本题考查了分层抽样的定义与应用问题，是基础题目．4．设，且⊥，则向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】⊥，可得=0，解得x．再利用向量夹角公式即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=x﹣3=0，解得x=．∴=（0，4），∴（）•=﹣12，||=4，==2，设向量的夹角为θ，∴cosθ===﹣，∴θ=150°．故选：D．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．下列四个结论中正确的个数是（）①“x2+x﹣2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件∈R，sinx0＞1”．②命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x③“若x=，则tanx=1，”的逆命题为真命题；2）+f（log23）=0．④若f（x）是R上的奇函数，则f（log3A．1 B．2 C．3 D．4【考点】四种命题．【分析】①由充分必要条件的定义，即可判断；②由含有一个量词的命题的否定形式，即可判断；③先求出逆命题，再判断真假即可，④根据奇函数的性质和对数的运算法则即可判断．【解答】解：对于①，x2+x﹣2＞0，解得x＜﹣2或x＞1，故“x＞1”的必要不充分条件，故错误，对于②，命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0＞1”，故正确，对于③，若x=，则tanx=1，”的逆命题为“若tanx=1，则x=，x还可以等于，故错误，对于④，f（x）是R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），∵log32=，∴log32与log23不是互为相反数，故错误．故选：A．【点评】本题考查简易逻辑的基础知识，考查复合命题的真假，命题的否定，充分必要条件的判断，同时考查函数的奇偶性，属于基础题．6．若执行如图的程序框图，输出S的值为﹣4，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜14B．k＜15C．k＜16D．k＜17【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=﹣4，可得出判断框内应填入的条件．【解答】解：执行如图的程序框图，运行结果如下：第1次循环S=log2=﹣1，k=2；第2次循环S=log2+log2=log2，k=3；第3次循环S=log2+log2=log2=﹣2，k=4；第4次循环S=log23+log2=log2，k=5；第5次循环S=log2+log2=log2，k=6；第6次循环S=log2+log2=log2，k=7；第7次循环S=log2+log24=log2=﹣3，k=8；…第14次循环S=log2+log2=log2，k=15；第15次循环S=log2+log2=log2=﹣4，•k=16；如果输出S=﹣4，那么只能进行15次循环，故判断框内应填入的条件是k＜16．故选：C．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，是基础题．7．在△ABC中，cosA=，3sinB=2sinC，且△ABC的面积为2，则边BC的长为（）A．2B．3 C．2 D．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由cosA=，A∈（0，π），可得sinA=．由3sinB=2sinC，且△ABC的面积为2，可得3b=2c，=2，再利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA．【解答】解：∵cosA=，A∈（0，π），∴sinA==，∵3sinB=2sinC，且△ABC的面积为2，∴3b=2c，=2，解得b=2，c=3．∴a2=b2+c2﹣2bccosA=22+32﹣2×2×3×=9，解得a=3．故选：B．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知a是常数，函数的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数g（x）=|a x﹣2|的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图象变换．【分析】求出原函数的导函数，由导函数的图象得到a＞1，然后利用指数函数的图象平移得答案．【解答】解：∵，∴f′（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，由函数y=f′（x）的图象可知，∴a＞1，则函数g（x）=|a x﹣2|的图象是把函数y=a x向下平移2个单位，然后取绝对值得到，如图．故可能是D．故选：D．【点评】本题考查指数式的图象平移，考查了导数的综合运用，是中档题．9．若x，y满足不等式组，则z=|x﹣3|+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．7【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，化简z=|x﹣3|+2y=，从而分别求最小值，从而解得．【解答】解：由题意作出其平面区域如右图，易知A（0，2），B（5，3），C（3，5），D（3，）；z=|x﹣3|+2y=，当x≥3时，z=x+2y﹣3在点D处取得最小值为，当x＜3时，z=﹣x+2y+3＞，故z=|x﹣3|+2y的最小值为，故选B．【点评】本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想方法应用，属于中档题．10．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别l1，l2，右焦点F．若点F关于直线l1的对称点M在l2上则双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】不妨设l1为y=x，l2为y=﹣x，设出对称点的坐标，根据中点坐标公式和斜率公式即可求出a与b的关系，再根据离心率公式即可求出．【解答】解：l1，l2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线，不妨设l1为y=x，l2为y=﹣x，由右焦点关于l1的对称点l2在上，设右焦点F关于l1的对称点为M（m，﹣），右焦点F坐标为（c，0），MF中点坐标为（，﹣），可得﹣=•，解得m=﹣c，即有M（﹣c，），可得MF的斜率为=﹣，即有﹣•=﹣1，可得b2=3a2，即c2=a2+b2=4a2，则c=2a，可得e==2，故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，以及点的对称问题，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡对应题号的位置位置.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．若tanα=2，则sin2α= ．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式，把要求的式子化为，把已知条件代入运算求得结果．【解答】解：∵tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα===，故答案为．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，二倍角的正弦公式的应用，属于中档题．12．若f（x）=3﹣2x，则|f（x+1）+2|≤3的解集为[0，3] ．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】求出f（x+1），问题转化为：|2x﹣3|≤3，解出即可．【解答】解：若f（x）=3﹣2x，则|f（x+1）+2|=|3﹣2（x+1）+2|=|2x﹣3|≤3，解得：0≤x≤3，故不等式的解集为[0，3]，故答案为：[0，3]．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，是一道基础题．13．已知的展开（1﹣2x）5式中所有项的系数和为m，则ln2 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据展开式中所有项的系数和求出m的值，再计算定积分的值即可．【解答】解：展开（1﹣2x）5式中所有项的系数和为m=（1﹣2）5=﹣1，∴x﹣1dx=lnx=ln2﹣ln1=ln2．故答案为：ln2．【点评】本题考查了二项式系数的应用问题，也考查了定积分的简单计算问题，是基础题目．14．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由等积法证明，然后利用棱锥的体积公式求得答案．【解答】解：如图，连接B1C，则，又，∴，∵AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，∴．【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及体积等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，是中档题．15．已知实数x，y满足x＞y＞0且x+y=1，则+的最小值是．【考点】基本不等式．【分析】化简+=+=2++，从而利用基本不等式求解．【解答】解：+=+=2+2++=2++≥2+=，（当且仅当2=，即x=，y=时，等号成立），故答案为：．【点评】本题考查了学生的化简运算能力及基本不等式的应用．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡上的相应位置.16．（12分）（2016•临沂一模）已知函数满足下列条件：①周期T=π；② 图象向左平移个单位长度后关于y轴对称；③ f（0）=1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设，求cos（2α﹣2β）的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）根据f（x）的周期求出ω的值，根据f（x）的图象平移以及g（x）的图象关于y 轴对称，求出φ的值，再由f（0）=1求出A的值，即得f（x）的解析式；（Ⅱ）根据f（α﹣）与f（β+）的值求出cos2α、cos2β，再根据α、β的范围求出sin2α、sin2β，从而求出cos（2α﹣2β）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的周期为T==π，∴ω=2；又函数f（x）的图象向左平移个单位长度，变为g（x）=Asin[2（x+）+φ]，由题意，g（x）的图象关于y轴对称，∴2×+φ=+kπ，k∈Z；又|φ|＜，∴φ=，∴函数f（x）=Asin（2x+）；又f（0）=1，∴Asin=1，解得A=2，∴函数f（x）=2sin（2x+）；（Ⅱ）由f（α﹣）=﹣，f（β+）=，得2sin（2α﹣+）=﹣，2sin（2β++）=，∴cos2α=，cos2β=；又α、β∈（0，），∴2α、2β∈（0，），∴sin2α=，sin2β=，∴cos（2α﹣2β）=cos2αcos2β+sin2αsin2β=×+×=．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的恒定变换应用问题，是基础题目．17．（12分）（2016•临沂一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，M，N分别为PB，CD的中点，二面角P﹣CD﹣A的大小为60°，∠ABC=60°，AB=2，PC=PD=（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）连结AN，根据三线合一可得AN⊥CD，PN⊥CD，于是得出CD⊥平面PAN，故而PA⊥CD，计算AN，PN，利用余弦定理求出PA，得出PA⊥AN，从而得出PA⊥平面ABCD；（II）以A为原点建立空间坐标系，求出平面PCD的法向量，则|cos＜，＞|即为所求．【解答】证明：（I）连结AN，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ACD是等边三角形，∵N是CD的中点，PC=PD，∴AN⊥CD，PN⊥CD，∴∠PNA为二面角P﹣CD﹣A的平面角，且CD⊥平面PAN．∴PA⊥CD，∠PNA=60°．∵AB=AD=2，PC=PD=．∴AN=，PN==2．在△PAN中，由余弦定理得PA2=AN2+PN2﹣2AN•PNcos60°=3+12﹣2=9．∴PA2+AN2=PN2，∴PA⊥AN，又CD⊂平面ABCD，AN⊂平面ABCD，AN∩CD=N，∴PA⊥平面ABCD．（II）以A为原点，以AB，AN，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），B（2，0，0），N（0，，0），P（0，0，3），C（1，，0），D（﹣1，，0）．∴M（1，0，）．∴=（﹣1，，﹣），=（1，，﹣3），=（﹣2，0，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，=0，∴，令z=1得=（0，，1）．∴=，∴cos＜＞===．∴直线MN与平面PCD所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量的应用，线面角的计算，属于中档题．18．（12分）（2016•临沂一模）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足6S n=a n2+3a n+2，且a2是a1和a6的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）符合[x]表示不超过实数x的最大整数，如[log23]=1，[log25]=2．记，求数列的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）由6S n=a n2+3a n+2，当n≥2时，+2，可得：6a n=﹣+3a n﹣3a n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，根据数列{a n}是正项数列，及其等差数列的通项公式、a2是a1和a6的等比中项即可得出．（II）=[log2（n+1）]，可得==n，=n•2n．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）由6S n=a n2+3a n+2，当n≥2时，+2，可得：6a n=﹣+3a n﹣3a n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，∵数列{a n}是正项数列，∴a n+a n﹣1＞0，可得a n﹣a n﹣1=3，∴数列{a n}是等差数列，公差为3．由6a1=+3a1+2，解得a1=1或2．当a1=2时，a n=2+3（n﹣1）=3n﹣1，可得a2=5，a6=17，不满足a2是a1和a6的等比中项，舍去．当a1=1时，a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2，可得a2=4，a6=16，满足a2是a1和a6的等比中项．∴a n=3n﹣2．（II）=[log2（n+1）]，∴==n，∴=n•2n．∴数列的前n项和T n=2+2×22+3×23+…+n•2n，2T n=22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，∴﹣T n=2+22+…+2n﹣n•2n+1=2×﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，∴T n=（n﹣1）•2n+1+2．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016•临沂一模）a，b，c，d四名运动员争夺某次赛事的第1，2，3，4名，比赛规则为：通过抽签，将4人分为甲、乙两个小组，每组两人．第一轮比赛（半决赛）：两组各自在组内进行一场比赛，决出各组的胜者和负者；第二轮比赛决赛：两组中的胜者进行一场比赛争夺1，2名，两组中的负者进行一场比赛争夺第3，4名．四名选手以往交手的胜负情况累计如下表：a b c da a13胜26负a20胜10负a21胜21负b b26胜13负b14胜28负b19胜19负c c10胜20负c28胜14负c18胜18负d d21胜21负d19胜19负d18胜18负若抽签结果为甲组：a，c；乙组：b，d．每场比赛中，双方以往交手各自获胜的频率作为获胜的概率．（Ⅰ）求c获得第1名的概率；（Ⅱ）求c的名次X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）求出a分别与b，c，d比赛时获胜的概率，b分别与a，c，d比赛时获胜的概率，c分别与a，b，d比赛时获胜的概率，由此能求出C获得第一名的概率．（Ⅱ）C名次X的可能取值有1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设a分别与b，c，d比赛时获胜的事件分别为A b，A c，A d，则P（A b）=，P（A c）=，P（A d）=，b分别与a，c，d比赛时获胜的事件分别为B a，B c，B d，则P（B a）=，P（B c）=，P（B d）=，c分别与a，b，d比赛时获胜的事件分别为C a，C b，C d，则P（C a）=，P（C b）=，P（C d）=，d分别与a，b，c比赛时获胜的事件分别为Da，D b，D c，则P（D a）=，P（D b）=，P（D c）=，∴C获得第一名的概率：P=P（C a）P（B d）P（C b）+P（C a）P（D b）P（C d）==．（Ⅱ）C名次X的可能取值有1，2，3，4，P（X=1）=P（C a）P（B d）P（C b）+P（C a）P（D b）P（C d）==．若C为第二名，则甲组中C胜，且C与乙组的胜者比赛时负，∴P（X=2）=P（C a）P（B d）P（B c）+P（C a）P（D b）P（D c）==，若C为第3名，则甲组中C负，且C与乙组的负者比赛时胜，∴P（X=3）=P（A c）P（D b）P（C b）+P（A c）P（B d）P（C d）═+=，P（X=4）=1﹣P（X=1）﹣P（X=2）﹣P（X=3）=1﹣=．∴X的分布列为：X 1 2 3 4PEX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（13分）（2016•临沂一模）已知函数f（x）=x2﹣2ax，g（x）=lnx．（Ⅰ）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x1，x2且，证明：h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）分离参数a可得：a≤（x﹣），（x＞0），设ω（x）=（x﹣），根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出a的范围即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，得到x2=∈（1，+∞），且2ax1=2+1，2ax2=2+1，设μ（x）=x2﹣﹣ln2x2（x＞1），求出函数的单调性，证出结论即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：f（x）≥g（x）⇔x2﹣2ax≥lnx，（x＞0），分离参数a可得：a≤（x﹣），（x＞0），设ω（x）=（x﹣），则ω′（x）=，由于y=x2，y=lnx在（0，+∞）递增，∴y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）递增，显然x=1时，该函数值是0，x∈（0，1）时，ω′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，ω′（x）＞0，∴ω（x）min=ω（1）=，∴a≤ω（x）min=，即a∈（﹣∞，]．（Ⅱ）证明：由题意得：h（x）=x2﹣2ax+lnx，则h′（x）=2x﹣2a+=（x＞0），∴方程2x2﹣2ax+1=0（x＞0）有2个不相等的实数根x1，x2且x1∈（0，），又∵x1 x2=，∴x2=∈（1，+∞），且2ax1=2+1，2ax2=2+1，而h（x1）﹣h（x2）=[﹣（2+1）+lnx1]﹣[﹣（2+1）+lnx2]=﹣﹣ln2，（x2＞1），设μ（x）=x2﹣﹣ln2x2（x＞1），令t=x2，则t＞1，μ（t）=t﹣﹣ln2t，∴μ′（t）=1+﹣=≥0，∴μ（t）＞μ（1）=1﹣﹣ln2=﹣ln2，即h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．21．（14分）（2016•临沂一模）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，M是直线l：x=2上的动点，F为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以为OM直径的圆C2相交于P，Q两点，与椭圆C1相交于A，B两点，如图所示．的方程；①若PQ=，求圆C2与四边形OAMB的面积分别为S1，S2，若S1=λS2，求λ的取值范围．② 设C2【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程．（Ⅱ）①设M（2，t），则C2的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=1+，由此利用圆的性质结合已知条件能求出圆C2的方程．②由①知PQ方程为2x+ty﹣2=0，（t≠0），代入椭圆方程得（8+t2）x2﹣16x+8﹣2t2=0，t≠0，由此利用根的判断式、韦达定理、弦长公式、分类讨论思想，能求出λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上，∴，解得a=，b=c=1，∴椭圆C1的方程为．（Ⅱ）①由（Ⅰ）知F（1，0），设M（2，t），则C2的圆心坐标为（1，），C2的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=1+，直线PQ方程为y=（x﹣1），（t≠0），即2x+ty﹣2=0，（t≠0）又圆C2的半径r==，由（）2+d2=r2，得（）2+=，解得t2=4，∴t=±2，∴圆C2的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x﹣1）2+（y+1）2=2．②由①知PQ方程为2x+ty﹣2=0，（t≠0），由，得（8+t2）x2﹣16x+8﹣2t2=0，t≠0，则△=（﹣16）2﹣4（8+t2）（8﹣2t2）=8（t4+4t2）＞0，，，|AB|===2×，∴==，S1=πr2=，∵S1=λS2，∴==，当t=0时，PQ的方程为x=1，|AB|=，|OM|=2，|OM|×|AB|=，=π，∴．∵S1=λS2，∴====＞=．当直线PQ的斜率不存在时，PQ方程为x=1，|AB|=，|OM|=2，∴S2=|OM|×|AB|=，S1==π，．综上，．【点评】本题考查椭圆方程、圆的方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判断式、韦达定理、弦长公式、分类讨论思想的合理运用．。

山东省临沂市高考数学一模试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合U={0，1，2，3，4}，M={1，3}，N={1，2，4}，则为（∁u M）∩N（）A．{1，3，4}B．{0，2，4}C．{2，4}D．{3，4}2．如果复数z=，则（）A．|z|=2 B．z的实部为1C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i3．命题∀m∈[0，1]，则的否定形式是（）A．∀m∈[0，1]，则B．∃m∈[0，1]，则C．∃m∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），则D．∃m∈[0，1]，则4．“α=”是sin（α﹣β）=cosβ“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如表所示：X 11 10.5 10 9.5 9y 5 6 8 10 11由此表可得回归直线方程=﹣3.2x+，据此模型预测零售价为5元时，每天的销售量为（）A．23个B．24个C．25个D．26个6．下列函数中，既是奇函数又在区间（﹣1，1）上单调递减的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=2cosx+1 C．f（x）=2x﹣1 D．7．一个几何体的三视图如图所示，根据图中数据，该几何体的体积是（）A．B．3πC．4πD．8．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣1，2]9．已知a是常数，函数的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数g （x）=|a x﹣2|的图象可能是（）A．B．C．D．10．双曲线﹣=1的渐近线方程与圆（x﹣）2+（y﹣1）2=1相切，则此双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡对应题号的位置位置.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．函数y=（x+a）e x在x=0处的切线与直线x+y+1=0垂直，则a的值为．12．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则角C=．13．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，则f（x）的解析式为．14．如图所示的程序框图，当a1=1，k=2016时，输出的结果为．15．已知x＞0，y＞0，且x+y=1，则的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡上的相应位置.16．（12分）（2016•临沂一模）某校组织学生参加数学竞赛，共有15名学生获奖，其中10名男生和5名女生，其成绩如茎叶图所示（单位：分）．规定：成绩在80分以上者为一等奖，80分以下者为二等奖，已知这5名女生的平均成绩为73．（I）求男生成绩的中位数及m的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法，从一等奖和二等奖学生中共选取5人，再从这5人中选取2人，求至少有1人是一等奖的概率．17．（12分）（2016•临沂一模）已知函数f（x）=sin（ωx﹣）+cos（ωx﹣）﹣2sin2（ω＞0）的周期为π．（I）求ω的值；（Ⅱ）若x∈[0，]，求f（x）的最大值与最小值．18．（12分）（2016•临沂一模）在正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1），将△AEF折起到△A1EF的位置上，连接A1B，A1C（如图2）（I）求证：FP∥面A1EB；（Ⅱ）求证：EF⊥A1B．19．（12分）（2016•临沂一模）已知正数列{a n}的前n项和S n满足．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）符号[x]表示不超过实数x的最大整数，如[log23]=1，[log25]=2．记，求数列的前n和T n．20．（13分）（2016•临沂一模）已知函数．（I）证明：函数f（x）在[1，e]上存在唯一的零点；（Ⅱ）若g（x）≥af（x）在[1，e]上恒成立，求a的取值范围．21．（14分）（2016•临沂一模）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，M是直线l：x=2上的动点，F为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以为OM 直径的圆C2相交于P，Q两点，与椭圆C1相交于A，B两点，如图所示．•①若PQ=，求圆C2的方程；②‚设C2与四边形OAMB的面积分别为S1，S2，若S1=λS2，求λ的取值范围．山东省临沂市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合U={0，1，2，3，4}，M={1，3}，N={1，2，4}，则为（∁u M）∩N（）A．{1，3，4}B．{0，2，4}C．{2，4}D．{3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U及M，求出M的补集，找出M补集与N的交集即可．【解答】解：∵U={0，1，2，3，4}，M={1，3}，N={1，2，4}，∴∁u M={0，2，4}，则（∁u M）∩N={2，4}，故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．如果复数z=，则（）A．|z|=2 B．z的实部为1C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】直接利用复数的除法运算化简，求出复数的模，然后逐一核对选项即可得到答案．【解答】解：由z==，所以，z的实部为﹣1，z的虚部为﹣1，z的共轭复数为﹣1+i，故选C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．命题∀m∈[0，1]，则的否定形式是（）A．∀m∈[0，1]，则B．∃m∈[0，1]，则C．∃m∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），则D．∃m∈[0，1]，则【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题是否定是特称命题，所以，命题∀m∈[0，1]，则的否定形式是：∃m∈[0，1]，则故选：D．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题否定关系，是基础题．4．“α=”是sin（α﹣β）=cosβ“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】α=⇒sin（α﹣β）=cosβ，反之不成立，例如取α=．【解答】解：α=⇒sin（α﹣β）=cosβ，反之不成立，例如取α=．∴α=”是sin（α﹣β）=cosβ的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如表所示：X 11 10.5 10 9.5 9y 5 6 8 10 11由此表可得回归直线方程=﹣3.2x+，据此模型预测零售价为5元时，每天的销售量为（）A．23个B．24个C．25个D．26个【考点】线性回归方程．【分析】求出数据中心，代入回归方程得出，将x=5代入回归方程得出答案．【解答】解：=10，=8．∴8=﹣3.2×10+，∴=40．∴回归方程为=﹣3.2x+40．当x=5时，=﹣3.2×5+40=24．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程的特点，属于基础题．6．下列函数中，既是奇函数又在区间（﹣1，1）上单调递减的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=2cosx+1 C．f（x）=2x﹣1 D．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数、偶函数的定义，正弦函数的单调性，指数函数的图象，奇函数图象的对称性，以及复合函数、对数函数和反比例函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．f（x）=sinx在（﹣1，1）上单调递增，∴该选项错误；B．f（x）=2cosx+1是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；C．f（x）=2x﹣1的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；D．解得，﹣1＜x＜1，且；∴f（x）为奇函数；；在（﹣1，1）上单调递减，y=lnx单调递增；∴f（x）在（﹣1，1）上单调递减，∴该选项正确．故选：D．【点评】考查奇函数、偶函数的定义，奇函数图象的对称性，指数函数的图象，以及对数函数、反比例函数及复合函数的单调性．7．一个几何体的三视图如图所示，根据图中数据，该几何体的体积是（）A．B．3πC．4πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个圆锥，下面是一个圆柱．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个圆锥，下面是一个圆柱．∴该几何体的体积=π×12×3+=．故选：A．【点评】本题考查了三视图的有关计算、圆锥与圆柱的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣1，2]【考点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入•分析比较后，即可得到•的取值范围．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，•=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，•=﹣1×1+1×2=1当x=0，y=2时，•=﹣1×0+1×2=2故•和取值范围为[0，2]解法二：z=•=﹣x+y，即y=x+z当经过P点（0，2）时在y轴上的截距最大，从而z最大，为2．当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小，从而z最小，为0．故•和取值范围为[0，2]故选：C【点评】本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键．9．已知a是常数，函数的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数g （x）=|a x﹣2|的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图象变换．【分析】求出原函数的导函数，由导函数的图象得到a＞1，然后利用指数函数的图象平移得答案．【解答】解：∵，∴f′（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，由函数y=f′（x）的图象可知，∴a＞1，则函数g（x）=|a x﹣2|的图象是把函数y=a x向下平移2个单位，然后取绝对值得到，如图．故可能是D．故选：D．【点评】本题考查指数式的图象平移，考查了导数的综合运用，是中档题．10．双曲线﹣=1的渐近线方程与圆（x﹣）2+（y﹣1）2=1相切，则此双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出双曲线的渐近线方程为y=x，运用直线和圆相切的条件：d=r，化简可得b=a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，由渐近线与圆相切，可得圆心（，1）到渐近线的距离为1，即为=1，化为b=a，可得c==2a，即有e==2．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡对应题号的位置位置.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．函数y=（x+a）e x在x=0处的切线与直线x+y+1=0垂直，则a的值为0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵函数y=（x+a）e x在x=0处的切线与直线x+y+1=0垂直，∴函数y=（x+a）e x在x=0处的切线斜率k=1，∵f′（x）=（x+a+1）e x，∴f′（0）=（a+1）e0=a+1=1，得a=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．12．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则角C=．【考点】两角和与差的余弦函数；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由条件利用正弦定理和余弦定理求得cosC=，可得角C的值．【解答】解：△ABC中，∵，∴=a﹣b，∴a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==，∴C=，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．13．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，则f（x）的解析式为f（x）=﹣2cos2x．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由题意可得，把的图象向右平移个单位长度后，得到f（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x的图象，故答案为：f（x）=﹣2cos2x．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．14．如图所示的程序框图，当a1=1，k=2016时，输出的结果为．【考点】程序框图．【分析】题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量i，由判断框得知，算法执行的计算并输出S=+…+的值，用裂项法即可计算求值．【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=+…+的值，由于S=+…+=（1﹣）+（）+…（）=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环结构是先判断再执行，若满足条件进入循环，否则结束循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构中框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．15．已知x＞0，y＞0，且x+y=1，则的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】由题意可得（2x+y）+y=2，整体代入可得=（5++），由基本不等式可得．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+y=1，∴2x+2y=2，即（2x+y）+y=2，∴=（）[（2x+y）+y]=（5++）≥（5+2）=当且仅当=即2x+y=2y即y=2x=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查基本不等式求最值，整体代入并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡上的相应位置.16．（12分）（2016•临沂一模）某校组织学生参加数学竞赛，共有15名学生获奖，其中10名男生和5名女生，其成绩如茎叶图所示（单位：分）．规定：成绩在80分以上者为一等奖，80分以下者为二等奖，已知这5名女生的平均成绩为73．（I）求男生成绩的中位数及m的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法，从一等奖和二等奖学生中共选取5人，再从这5人中选取2人，求至少有1人是一等奖的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）利用中位数、平均值的意义即可得出；（Ⅱ）利用分层抽样及列举法、古典概型的计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）男生成绩的中位数为=80，∵这5名女生的平均成绩为73，∴（65+66+77+（70+m）+85）=73，解得m=2，（Ⅱ）由题意知一等奖获得者有6人，二等奖获得者为9人，则用分层抽样的选取的一等奖人数为×5=2人，记为A1，A2，选取的二等奖的人数为=3人，记为B1，B2，B3．从这5人中选2人的所以可能情况为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共10种，这10个基本事件是等可能性的，其中至少有1人是至少有1人是一等奖的结果有7种，∴至少有1人是一等奖的概率P=【点评】本题考查了由茎叶图求数据的平均数及古典概型的概率计算，熟练掌握茎叶图是解答问题的关键．17．（12分）（2016•临沂一模）已知函数f（x）=sin（ωx﹣）+cos（ωx﹣）﹣2sin2（ω＞0）的周期为π．（I）求ω的值；（Ⅱ）若x∈[0，]，求f（x）的最大值与最小值．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（I）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．（Ⅱ）由x∈[0，]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．【解答】解：（I）∵函数f（x）=sin（ωx﹣）+cos（ωx﹣）﹣2sin2=sinωxcos﹣cosωxsin+cosωxcos+sinωxsin﹣2•=sinωx+cosωx﹣1=2sin（ωx+）﹣1（ω＞0）的周期为=π，∴ω=2．（Ⅱ）若x∈[0，]，则2x+∈[，]，∴sin（ωx+）∈[﹣，1]，∴f（x）=2sin（ωx+）﹣1的值域为[﹣2，1]．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．（12分）（2016•临沂一模）在正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1），将△AEF折起到△A1EF的位置上，连接A1B，A1C（如图2）（I）求证：FP∥面A1EB；（Ⅱ）求证：EF⊥A1B．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）由AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2，得FP∥BE，由此能证明FP∥平面A1EB．（Ⅱ）设正三角形ABC的边长为3，则AE=1，AF=2，由余弦定理得EF=，由勾股定理得EF⊥AB，又EF⊥A1E，EF⊥BE，由此能证明EF⊥A1B．【解答】证明：（Ⅰ）∵正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2，∴FP∥BE，又BE⊂平面A1EB1，FD⊄平面A1EB，∴FP∥平面A1EB．（Ⅱ）设正三角形ABC的边长为3，则AE=1，AF=2，∵∠EAF=60°，∴EF2=AE2+AF2﹣2AE•AFcos∠EAF=1+4﹣2×1×2×cos60°=3，∴EF=，在△ABF中，AF2=AE2+EF2，∴EF⊥AE，∴EF⊥AB，则在图2中，有EF⊥A1E，EF⊥BE，∴EF⊥面A1EB，又∵A1B⊂面A1EB1，∴EF⊥A1B．【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）（2016•临沂一模）已知正数列{a n}的前n项和S n满足．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）符号[x]表示不超过实数x的最大整数，如[log23]=1，[log25]=2．记，求数列的前n和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）由，当n=1时，4a1=+1，化为=0，解得a1．当n≥2时，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，由于a n＞0，可得a n﹣a n﹣1=2．利用等差数列的通项公式即可得出．（II）由（I）可知：a n=2n﹣1，可得=[log2（n+1）]，利用[x]的定义可得：==n．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出数列的前n和T n．【解答】解：（I ）∵，∴当n=1时，4a 1=+1，化为=0，解得a 1=1．当n ≥2时，4（S n ﹣S n ﹣1）=+2a n +1﹣，化为：（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）=0，∵a n ＞0，∴a n ﹣a n ﹣1=2． ∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1．（II ）由（I ）可知：a n =2n ﹣1，可得=[log 2（n +1）]，由[x ]的定义可知：b 2=[log 23]=1，b 4=[log 25]=2，…， ∴==n ．∴数列的前n 和T n =1×2+2×22+3×23+…+n •2n ，2T n =22+2×23+…+（n ﹣1）×2n +n •2n+1， ∴﹣T n =2+22+…+2n ﹣n •2n+1=﹣n •2n+1=（1﹣n ）•2n+1﹣4，∴T n =（n ﹣1）•2n+1+4．【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、新定义函数[x ]的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）（2016•临沂一模）已知函数．（ I ）证明：函数f （x ）在[1，e ]上存在唯一的零点；（Ⅱ）若g （x ）≥af （x ）在[1，e ]上恒成立，求a 的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调性，求出f （1）f （e ）＜0，证出结论即可； （Ⅱ）问题转化为x +﹣alnx ≥0在[1，e ]上恒成立，令h （x ）=x +﹣alnx ，x ∈[1，e ]，通过讨论a 的范围，结合函数的单调性求出a 的具体范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）证明：∵f （x ）=lnx ﹣，x ∈[1，e ]， 则f ′（x ）=+＞0在[1，e ]恒成立，则f （x ）在[1，e ]递增，又f （1）=﹣1＜0，f （e ）=1﹣＞0，即f （1）•f （e ）＜0， ∴函数f （x ）在[1，e ]上存在唯一的零点； （Ⅱ）由g （x ）≥af （x ）在[1，e ]上恒成立，则x+≥a（lnx﹣），即x+﹣alnx≥0在[1，e]上恒成立，令h（x）=x+﹣alnx，x∈[1，e]，则h′（x）=，∵x∈[1，e]，∴x+1＞0，①1+a≥e即a≥e﹣1时，h′（x）≤0，h（x）在[1，e]递减，h（x）min=h（e）=e+﹣a，由h（x）min≥0，得：a≤，即e﹣1≤a≤；②1+a≤1即a≤0时，h′（x）≥0，h（x）在[1，e]递增，h（x）min=h（1）=2+a≥0，解得：a≥﹣2，此时：﹣2≤a≤0；③1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，在[1，a+1）上，h′（x）＜0，h（x）递减，在（a+1，e]上，h′（x）＞0，h（x）递增，∴h（x）min=h（a+1）=a+2﹣aln（a+1），∵1＜1+a＜e，∴0＜ln（a+1）＜1，∴a+2﹣aln（1+a）＞a+2﹣a=2＞0，即h（x）min＞0恒成立，∴0＜a＜e﹣1符合题意，综上，a的取值范围是[﹣2，]．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．21．（14分）（2016•临沂一模）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，M是直线l：x=2上的动点，F为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以为OM 直径的圆C2相交于P，Q两点，与椭圆C1相交于A，B两点，如图所示．•①若PQ=，求圆C2的方程；②‚设C2与四边形OAMB的面积分别为S1，S2，若S1=λS2，求λ的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程．（Ⅱ）①设M（2，t），则C2的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=1+，由此利用圆的性质结合已知条件能求出圆C2的方程．②由①知PQ方程为2x+ty﹣2=0，（t≠0），代入椭圆方程得（8+t2）x2﹣16x+8﹣2t2=0，t≠0，由此利用根的判断式、韦达定理、弦长公式、分类讨论思想，能求出λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上，∴，解得a=，b=c=1，∴椭圆C1的方程为．（Ⅱ）①由（Ⅰ）知F（1，0），设M（2，t），则C2的圆心坐标为（1，），C2的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=1+，直线PQ方程为y=（x﹣1），（t≠0），即2x+ty﹣2=0，（t≠0）又圆C2的半径r==，由（）2+d2=r2，得（）2+=，解得t2=4，∴t=±2，∴圆C2的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x﹣1）2+（y+1）2=2．②由①知PQ方程为2x+ty﹣2=0，（t≠0），由，得（8+t2）x2﹣16x+8﹣2t2=0，t≠0，则△=（﹣16）2﹣4（8+t2）（8﹣2t2）=8（t4+4t2）＞0，，，|AB|===2×，∴==，S1=πr2=，∵S1=λS2，∴==，当t=0时，PQ的方程为x=1，|AB|=，|OM|=2，|OM|×|AB|=，=π，∴．∵S1=λS2，∴====＞=．当直线PQ的斜率不存在时，PQ方程为x=1，|AB|=，|OM|=2，∴S2=|OM|×|AB|=，S1==π，．综上，．【点评】本题考查椭圆方程、圆的方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判断式、韦达定理、弦长公式、分类讨论思想的合理运用．。

2020年高三数学上期中一模试题含答案一、选择题1．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9002．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸3．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．34．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+B．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 5)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C．3 D ．26．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-7．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A．10 kmBkmC ．D ．8．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，且3b =，c =，30B =︒，则AB边上的中线的长为( )A ．2B ．34 C．32或D．349．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．910．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．12524311．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．612．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题13．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 14．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______15．若数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=______. 16．已知函数()3af x x x=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.17．不等式211x x --<的解集是 ．18．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？19．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．20．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.三、解答题21．在ABC V 中，3B π∠=，b =，________________，求BC 边上的高．从①sin 7A =， ②sin 3sin A C =， ③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．22．已知数列{n a }的前n 项和1*1()2()2n n n S a n N -=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ．(I)求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设2log n n n c a =，数列{22n n c c +}的前n 项和为T n ，求满足*25()21n T n N <∈的n 的最大值.23．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1） 求sin sin CA的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积. 24．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知24sin 4sin sin 22A BA B -+=（1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值.25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．已知数列{}n a 满足：1=1a ，()*11,2,n n n a n a n N a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数设21n n b a -=． （1）证明：数列{}2n b +为等比数列；（2）求数列3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 2．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。

2020届山东省临沂市高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1=2,3,,3aA B a b A B ⎧⎫=⋂=⎨⎬⎩⎭，，则AB =（ ）A ．1123⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，， B ．113⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，C ．123⎧⎫⎨⎬⎩⎭，D ．1123⎧⎫⎨⎬⎩⎭，， 【答案】A【解析】根据13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭得：1133A B ∈∈，，可得1,a =-13b =，最后利用集合的并运算，可得答案. 【详解】因为13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，所以1133A B ∈∈，， 所以1,a =-13b =， 所以11=2,,1,33A B ⎧⎫⎧⎫=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，所以1123A B ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭=，，.故选：A. 【点睛】本题考查元素与集合的关系、集合的并运算，考查对集合概念的理解及基本的运算求解能力.2．函数()ln 21y x =++ ） A ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由对数的真数大于0，被开方数大于等于0，列出关于x 的不等式组，再解不等式得到函数的定义域. 【详解】因为21210,,1,2240,222,x x x x x ⎧+>>-⎧⎪⎛⎤⇒⇒∈-⎨⎨ ⎥-≥⎝⎦⎩⎪-≤≤⎩， 所以函数的定义域为1,22x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦. 故选：B. 【点睛】本题考查函数定义域的求法，即使函数解析式有意义的自变量x 的取值的集合，考查基本运算求解能力.3．设函数()()21,04,0x log x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()233f f log -+=（ ）A ．9B ．11C ．13D ．15【答案】B【解析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 【详解】 ∵函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩， ∴()2l 23og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．故选：B ． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．4．已知,,a b c 满足a b c >>，且0ac <，那么下列选项中不一定．．．成立的是（ ） A ．ab ac > B ．()0a b c -<C ．22a c b c <D ．()0ac a c -<【答案】C【解析】利用不等式的性质、结合综合法、分析法对选项进行验证. 【详解】因为a b c >>，且0ac <，所以0,0,0a c b c ><->，对A ，若()0ab ac a b c >⇔->显然成立，所以ab ac >，故A 正确； 对B ，因为0,0a b c -><，所以()0a b c -<，故B 正确；对C ，因为0c <，所以2222a c b c a b <⇔>，若5,3,4c a b =-==-，此时22a b >不成立，若5,3,1c a b =-==-，此时22a b >成立，故C 不一定成立； 对D ，因为0ac <，0a c ->，所以()0ac a c -<成立，故D 正确； 故选：C. 【点睛】本题考查不等式性质的运用，求解时注意结合不等式证明的综合法、分析法，可使问题的求解更清晰，考查逻辑推理能力. 5．已知向量,a b ，满足2,2,1a b a b ==⋅=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．5B ．4 C ．3D ．2【答案】B【解析】直接根据向量的夹角公式求得余弦值. 【详解】设向量a 与b 的夹角为θ，所以4co 2s 2a b a bθ⋅=⋅==. 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的定义、向量的夹角公式，考查基本的运算求解能力.6．二十四节气是中国古代的一种指导农事的补充历法，是我国劳动人民长期经验的积累成果和智慧的结晶，被誉为“中国的第五大发明”．由于二十四节气对古时候农事的进行起着非常重要的指导作用，所以劳动人民编写了很多记忆节气的歌谣：春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影是按照等差数列的规律计算出来的，在下表中，冬至的晷影最长为130．0寸，夏至的晷影最短为14．8寸，那么《易经》中所记录的清明的晷影长应为（ ）A ．77.2寸B ．72.4寸C ．67.3寸D ．62.8寸【答案】D【解析】设冬至的晷影长为等差数列{}n a 的首项1a ，夏至的晷影长为13a ，求出等差数列的公差d ，再求8a 即可得到清明的晷影长. 【详解】设冬至的晷影长为等差数列{}n a 的首项1a ，夏至的晷影长为为13a ， 所以13114.81309.613112a a d --===--，所以8130(81)(9.6)62.8a =+--=. 故选：D. 【点睛】本题考查实际问题的建模，考查等差数列通项公式的应用，求解时要以哪一项为等差数列的首项，防止公差d 求错，考查基本运算求解能力.7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13243,6a a a a +=+=，则8=S （ ） A ．45 B ．81C ．117D ．153【答案】D【解析】利用通项公式得到关于1,a q 的两个方程组，求出1,a q 的值后，直接代入等比数列的前n 项和公式中，求得8S 的值. 【详解】由题意得：21113113,3,56, 2.a a a q a q a q q ⎧⎧=+=⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎩所以883(12)515312S -==-. 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列通项公式、前n 项和公式，求解时要注意运算的准确性. 8．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0,2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将()f x 图象（ ）A ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度 C ．向右平移12π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度【答案】C【解析】根据函数()f x 的图象求得1,3,4A πωϕ===，再根据左加右减平移变换，要得到()g x 的解析式，观察出如何进行平移变换. 【详解】由题意得：1A =，5223412463T T πππππωω=-=⇒==⇒=， 所以()()sin 3f x x ϕ=+， 所以5553sin 312,121242f k k Z ππππϕϕπ⎛⎫⎛⎫=⋅+=-⇒+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为2πϕ<，所以4πϕ=，所以()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象向右平移12π个单位长度可得：()sin 3()sin 3()124f x x x g x ππ⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查从三角函数图象提取信息求,,A ωϕ的值，考查“左加右减”平移变换，求解过程中注意是由函数()f x 平移变换到函数()g x ，考查数形结合思想的运用.9．已知()()21sin ,42f x x x f x π⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭为()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用诱导公式对函数解析式进行化简，再利用函数'()f x 的奇偶性及函数'()f x 在原点右边的小邻域内单调递减，即可选出正确答案. 【详解】 因为()21sin 42f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()21cos 4f x x x =+， 所以'()f x 为奇函数，排除A ，D ；因为'1()sin 2f x x x =-，''1()cos 2f x x =-， 当0)3x π∈（，时，''1()cos 02f x x =-<， 所以'()f x 在0)3π（，内递减. 故选：B. 【点睛】本题考查导数在函数中的应用、诱导公式、奇偶性、单调性的综合运用，求解时要充分利用图象提供的信息，寻找隐含条件，考查逻辑推理能力和运算求解能力.10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()6,3f x f x y f x +==+为偶函数，若()f x 在(0,3)内单调递减．则下面结论正确的是（ ）A ．()()1210ln 2f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()()12ln 210f e f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．()()12ln 210f f f e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．()()12ln 210f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭【答案】A【解析】先得到函数的周期为6，利用()3y f x =+为偶函数，得到()()33f x f x -+=+，将(10)f 化成(2)f ，再比较12,ln 2,2e 的大小关系，最后利用函数的单调性得到()()12ln 2,10,f f f e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系.【详解】因为()()6f x f x +=，所以()f x 的最小正周期6T =， 因为()3y f x =+为偶函数，所以()()33f x f x -+=+， 所以(10)(4)(2)f f f ==，因为0ln 21<<，1212e <<，且()f x 在(0，3)内单调递减，所以()()1210ln 2f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶性、单调性的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意利用函数的性质把自变量的取值都化到同一个单调区间内.二、多选题11．下列命题中，是真命题的是（ ）A ．已知非零向量,a b ，若,a b a b +=-则a b ⊥B ．若():0,,1ln ,p x x x ∀∈+∞->则()000:0,,1ln p x x x ⌝∃∈+∞-≤C ．在ABC ∆中，“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”的充要条件D ．若定义在R 上的函数()y f x =是奇函数，则()()y f f x =也是奇函数【答案】ABD【解析】对A ，对等式两边平方；对B ，全称命题的否定是特称命题；对C ，sin cos A A +=sin cos B B +两边平方可推得2A B π+=或A B =；对D ，由奇函数的定义可得()()y f f x =也为奇函数.【详解】对A ，222222220a b a b a b a b a b a b a b +=-⇒++⋅=+-⋅⇒⋅=，所以a b ⊥，故A 正确；对B ，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故B 正确； 对C ，sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos sin 2sin 2A A B B A A B B A B +=+⇒⋅=⋅⇒=，所以2A B π+=或A B =，显然不是充要条件，故C 错误；对D ，设函数()()()F x ff x =，其定义域为R 关于原点对称，且()()()()()()()()F x f f x f f x f f x F x -=-=-=-=-，所以()F x 为奇函数，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积与模的关系、全称命题的否定、解三角形与三角恒等变换、奇函数的定义等知识，考查逻辑推理能力，注意对C 选项中sin 2sin 2A B =得到的是,A B 的两种情况.12．设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不相等的实数12,x x ，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数中，具有性质P 的函数为（ ）①()1,00,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②()21f x x =-；③()3f x x x =+；④()2x f x =．A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】ABC【解析】函数()f x 具有性质P ，本质是在图象上找到三个点,,A B C ，且点B 为,A C 中点即可. 【详解】对A ，在函数()f x 图象上取(1,1),(0,0),(1,1)A B C --，有()()()1102f f f -+=成立，故A 正确；对B ，在函数()f x图象上取((0,1),A B C ，有()(02f ff +=成立，故B 正确；对C ，在函数()f x 图象上取(1,2),(0,0),(1,2)A B C --，有()()()1102f f f -+=成立，故C 正确；对D ，因为()2xf x =，()()121212||||||||||1212222222222x x x xx x f x f x x x f +++++⎛⎫=≥=≥= ⎪⎝⎭因为12x x ≠，所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，故D 错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查对命题的直接判断，函数与方程的综合应用，将问题转化成找到图象上的三个点，且前后两点关于中间点对称是求解本题的关键，考查数形结合思想的应用. 13．设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，对于下列4个说法正确的是（ ）A ．在()0,π上存在12,x x ，满足()()122f x f x -=B ．()f x 在()0,π有且仅有1个最大值点C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．ω的取值范围是1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】AD【解析】对A 选项，易知最小正周期T π<；对D ，结合伸缩变换先求sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在y 轴右侧的前4个零点，进而得到()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在y 轴右侧的前4个零点，再列出不等式组，即可得ω的范围；对B ，可以把第三个零点与第四个零点的中点坐标求出来，利用选项D 中ω的范围，可得该中点坐标可能在[0,]π内；对C ，根据选项D 中ω的范围，可得6x πω-的范围不在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内. 【详解】对A ，()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则函数的最小正周期T π<，所以在()0,π上存在12,x x ，使得()()121,1f x f x ==-，所以()()122f x f x -=可以成立，故A 正确；对B ，由D 选项中前4个零点分别是：71319,,,6666ππππωωωω，得0131986623x πππωωω+==，此时083x πω=可使函数()f x 取得最大值，因为1319,66ω∈⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以1681619313πππω<≤，所以()f x 在()0,π可能存在2个最大值点，故B 错误； 对C ，由D 选项中1319,66ω∈⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以176612x πππω-<-<，区间17(,)612ππ-不是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的子区间，故C 错误； 对D ，函数sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在y 轴右侧的前4个零点分别是：71319,,,6666ππππ，则函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在y 轴右侧的前4个零点分别是：71319,,,6666ππππωωωω， 因为()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，所以13,13196,1966,6ππωωππω⎧≤⎪⎪⎡⎫⇒∈⎨⎪⎢⎣⎭⎪>⎪⎩，故D 正确； 故选：AD. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，对三角函数的中ω对图象的影响作用做了深入的考查，求解时要能灵活地运用伸缩变换，研究函数的图象特征，考查数形结合思想、函数与方程思想，同时要注意懂得先判断D 选项的正确性，再利用ω的范围为判断B ，C 选项服务.三、填空题14．若tan 2α=，则cos 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________．【答案】45-【解析】利用诱导公式、二倍角正弦公式，将目标式子化成关于tan α的表达式，再进行求值； 【详解】 原式=2222sin cos 2tan 4cos 2sin 22sin cos 2sin cos tan 15παααααααααα--⎛⎫+=-=-===- ⎪++⎝⎭.故答案为：45-. 【点睛】本题考查诱导公式、二倍角正弦公式、同角三角函数的基本关系，考查基本运算求解能力，求解时要灵活地运用1的代换，能使问题的求解更简洁.15．若函数()3231f x x ax x =-++在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围为__________. 【答案】154a ≥【解析】对函数进行求导，利用'()0f x ≤在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，求得a 的取值范围.【详解】由题意得：'2()323f x x ax =-+， 因为()f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以'()0f x ≤在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，所以2111()0,3(230,152224(1)0,3230,f a a f a ⎧⎧≤⨯-⨯+≤⎪⎪⇒⇒≥⎨⎨⎪⎪≤-+≤⎩⎩''）. 故答案为：154a ≥. 【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，考查二次函数根的分布问题，求解时要注意是'()0f x ≤恒成立，而不是'()0f x <恒成立，考查逻辑推理能力和运算求解能力.16．ABC ∆中，D 为AC 上的一点，满足13AD DC =．若P 为BD 上的一点，满足()0,0AP mAB nAC m n =+>>，则mn 的最大值为_________；41m n+的最小值为_________．【答案】11616 【解析】由13AD DC =得14AD AC =，再,,B P D 三点共线得41m n +=，进而利用基本不等式分别求得mn ，41m n+的最大值和最小值.【详解】 如图所示，由13AD DC =得14AD AC =， 所以4AP mAB nAD =+，所以41m n +=()0,0m n >>，所以21141(4)()44216m n mn m n +=⋅≤=，等号成立当且仅当11,28m n ==， 所以mn 的最大值为116.因为414116()(4)816n m m n m n m n m n +=++=++≥，等号成立当且仅当11,28m n ==， 所以41m n+的最小值为16.故答案为：116；16.【点睛】本题以向量为问题背景，考查基本不等式的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要会用“1”的代换，构造可以利用基本不等式求最值的式子，同时注意验证等号能否成立.17．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知,,a b c 依次成等比数列，且()1cos cos 2A CB --=，则sinC =___________．【答案】12【解析】根据,,a b c 依次成等比数列得2b ac =，利用正弦定理得2sin sin sin B A C =⋅，利用()B A C π=-+化简()1cos cos 2A CB --=得1cos cos 4A C =，求出23B π=及A C =，最后求得sin C 的值.【详解】因为,,a b c 依次成等比数列， 所以2b ac =，在ABC ∆中，2sin sin sin a b cR A B C===， 所以2sin sin sin B A C =⋅①，因为()()()111cos cos cos cos cos cos 224A C B A C A C A C --=⇒-++=⇒=②，由①-②得：()2211cos sin cos (1cos )44A CB B B +=-⇒-=--，所以1cos 2B =-，因为0B π<<，所以23B π=，则sin B =. 由①+②得：cos()16A C A C π-=⇒==，所以1sin 2C =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比中项、三角形内角和、诱导公式、三角恒等变换等知识的综合运用，求解时注意两角互补，余弦值是互为相反数，考查逻辑推理能力和运算求解能力，考查转化与化归思想的运用.四、解答题18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且346,20a S ==． (1)求n a ；(2)若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值． 【答案】（1）2.n a n =（2）6k =【解析】（1）利用通项公式和前n 项和公式得314126,43420,2a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩求出1,a d ，即可写出通项公式；（2）由等比中项性质得关于k 的一元二次方程，可求出k 的值，并把不符合题意的k 值舍去. 【详解】（1）设公差为d ，则314126,43420,2a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩解得，12,2,a d ==()2122.n a n n ∴=+-⨯=（2）()()()()()2212,22223.2k k k k a k S k k k +++==+⨯+⨯=++又12,,k k a a S +成等比数列，()()()22232k k k ∴++=， 2560k k ∴--=，6k ∴=或1k =-，又k *∈N ， 6k ∴=.【点睛】本题考查等差数列通项公式、前n 项和公式、等比中项性质，考查函数与方程思想及基本量法的运用.19．设函数()22sin cos f x x x x ωωω=+的图象关于直线x π=对称，其中ω为常数，且1,12ω⎛⎫∈⎪⎝⎭． (1)求函数()f x 的解析式； (2)若()()1,0,fααπ=∈，求α的值．【答案】（1）()52sin 136f x πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）=10πα或710π.【解析】（1）利用降幂公式、辅助角公式得()2sin 216f x x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据图象的对称轴求得ω的值，进而得到函数的解析式； （2）根据()1f α=得到关于α的方程，再解三角方程得到α的值.【详解】（1）()22sin cos f x x x x ωωω=+2cos 21x x ωω=-+2sin 216x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.()f x 图象关于直线x π=对称，2,62k k Z πππωπ∴-=+∈.123k ω∴=+，又112ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 令1k =时，5=6ω符合要求， ∴()52sin 136f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（2）()52sin 11,36f παα⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭5sin 0,36πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭536k παπ∴-=，即3=,510k k Z παπ+∈， ()0,απ∈，∴当0k =时，=10πα；当1k =时，7=10πα； =10πα∴或710π. 【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数图象性质、已知三角函数值求角，考查基本运算求解能力，注意在解题过程中关注ω和角α的范围.20．已知函数()()1ln ,0f x a x a R a x=+∈≠. (1)若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直，求a 的值；(2)若在区间(0,]e 上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立，求a 的取值范围． 【答案】（1） 1.a =（2）1a e<-或a e >【解析】（1）先对函数求导，由()10f '=得到a 的值；（2）若在区间(]0,e 上存在0x ，使得()00f x <，问题转化为()f x 在区间(]0,e 上的最小值小于0，再对a 分3种情况讨论. 【详解】 解：（1）()1ln ,f x a x x =+()2211,a ax f x x x x-'∴=-= 曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直，()10,f '∴=()110,f a '∴=-= 1.a ∴=（2）()210,ax f x a x-'=≠，且 令()0f x '=，得1x a=， 若在区间(]0,e 上存在0x ，使得()00f x <，即()f x 在区间(]0,e 上的最小值小于0. ①当10a<，即0a <时，()()00f x '<+∞在，上恒成立， ()f x ∴在区间(]0,e 上的最小值为()1f e a e=+.由10a e+<，得1a e <-.②当10e a<<时，即1a e >，此时，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,x e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x ∴在区间10,e ⎛⎤⎥⎝⎦上的最小值为11ln ,f a a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由()11ln 1ln 0f a a a a a a ⎛⎫=+=-<⎪⎝⎭，得a e >. ③当1e a ≥，即10,a e<≤ 此时当()0,x e ∈上时，()0f x '<恒成立，()f x ∴在(0,)e 上的最小值为()1f e a e=+，显然10a e+<不成立. 综上可知，所求a 的取值范围为1a e<-或a e >. 【点睛】本题考查函数在某点处的切线方程、利用导数研究函数的单调性，求解时注意曲线在某点处的切线方程与过某点切线方程的区别，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的综合运用，在分类时要找准分类的标准，做到不重不漏. 21．如图，在平面四边形ABCD 中，3,,244ABC BAC DAC CD AB π∠=∠=∠==．(1)若AC =△ABC 的面积；(2)若6ADC π∠=，求AC ．【答案】（1）2（2）AC =【解析】（1）利用余弦定理求出BC 的值，再由面积公式得到1sin 2ABC S AB BC ABC ∆=⋅⋅∠求得△ABC 的面积； （2）设BAC CAD θ∠=∠=，在ABC ∆中利用正弦定理得sin 4AC θ=- ⎪⎝⎭，在ACD ∆中利用正弦定理得4sin sin6ACπθ=，从而得到关于θ的方程2sin cos θθ=，求出θ后，代入AC 的表达式，即可得答案. 【详解】 （1）3,2,4ABC AB AC π∠===， 由余弦定理可得，2222cos ,AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠220442BC BC ∴=++⨯⨯2160,BC ∴+-=BC ∴=BC =-，11sin 22222ABC S AB BC ABC ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=. （2）设BAC CAD θ∠=∠=，则04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中，sin sin AC ABABC BCA =∠∠，即23sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 4AC πθ∴=⎛⎫- ⎪⎝⎭在ACD ∆中sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，即4sin sin 6AC πθ=， 2.sin AC θ∴=由2sin sin 4πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得：2sin cos θθ=，又0,sin 4πθθ<<∴=，2sin AC θ∴==【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，在第（2）问求解时，关键是设出角θ，然后利用正弦定理寻找等量关系，从而得到关于θ的方程，是对函数与方程思想的深入考查.22．某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为80万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚4万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备(改造设备时间不计)，一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低原料成本，据测算，添加回收净化设备并投产后的前4个月中的累计生产净收入g (n )是生产时间n 个月的二次函数2()(g n n kn k =+是常数)，且前3个月的累计生产净收入可达309万元，从第5个月开始，每个月的生产净收入都与第4个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励120万元． (1)求前6个月的累计生产净收入g (6)的值；(2)问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造的纯收入． 【答案】（1）630万元（2）经过10个月投资开始见效【解析】（1）由前3个月的累计生产净收入可求得100=k ，第4个月的净收入为()()43107g g -=万元，再根据题意得()()642107g g =+⨯；（2）求出表达式()2100,4,10712, 4.n n n g n n n ⎧+≤=⎨->⎩要想投资开始见效，必须且只需()()150012080422n n g n n n -⎡⎤-+>-+⨯⎢⎥⎣⎦，将分段函数代入不等式解出n 的取值.【详解】解：（1）据题意()2333309g k =+=，解得100.k =()2100.g n n n ∴=+第4个月的净收入为()()43107g g -=万元.()()642107g g ∴=+⨯244002107630=++⨯=万元.（2）()()()()()2100,4,4443,4,n n n g n g n g g n ⎧+≤⎪=⎨⎡⎤+-->⎪⎣⎦⎩ 即()2100,4,10712, 4.n n n g n n n ⎧+≤=⎨->⎩ 要想投资开始见效，必须且只需()()150012080422n n g n n n -⎡⎤-+>-+⨯⎢⎥⎣⎦， 即()2773800g n n n +-->，①当1,2,3,4n =时，22100773800,n n n n ++-->即22233800,n n +->即()223380n n +>，显然不成立. ②当4n >时，210712773800n n n -+-->，即2303920n n +->，即()30392n n +>， 验算得10n ≥时，()30392n n +>， 所以，经过10个月投资开始见效. 【点睛】本题考查分段函数与二次函数的实际应用，考查对实际问题的建模能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想的综合运用.在求解关于n 的不等式时，可以灵活运用代入法判断不等式的解.23．已知()()()5,ln 2x e f x g x x x x ==-．(1)当0x >时，证明：()()f x g x >；(2)已知点()()(),sin ,cos P x xf x Q x x -，点，若O 为坐标原点，设函数()h x OP OQ =⋅，当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，试判断()h x 的零点个数．【答案】（1）证明见解析（2）零点个数为2【解析】（1）构造函数()()()()5ln 2x e x f x g x x x x ϕ=-=--，利用导数证明()x ϕ的最小值大于0，从而证明不等式成立；（2）求出函数()sin cos x h x x x e x =-，对区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦分成四种情况讨论，并利用零点存在定理、结合函数的单调性判断零点的情况.【详解】（1）令()()()()5ln 2x e x f x g x x x x ϕ=-=--. 则()()2512.x e x x x x ϕ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'= 令()5,0,2x G x e x x =-> 则()5,2xG x e '=- 由()0G x '>，得5ln 2x >， 由()0G x '<，得5ln 2x <<0， ()G x ∴在50ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减，在5ln ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， ()555555ln ln 1ln 0222222G x G ⎛⎫⎛⎫∴≥=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 502x e x ∴->在()0+∞，上恒成立， ()x ϕ在()01，递减，在()1+∞，递增， ()()510,2x e ϕϕ∴≥=-> ()()f x g x ∴>.（2）点()(),P x xf x ，点()sin cos Q x x -，， ()(,)(sin ,cos )sin cos x x h x OP OQ x e x x x x e x ∴=⋅=⋅-=-，()()()1sin cos ,x x h x e x x e x '∴=++-①当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，可知,0x x e x x e >∴-<，又sin 0,cos 0,x x ≤≥()()0,h x h x '∴<在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递减， ()01,022h h ππ⎛⎫=--=> ⎪⎝⎭. ()h x ∴在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上有一个零点。

临沂市高三教学质量检测考试数㊀学注意事项：１．答卷前，考生务必将自己的姓名㊁考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上㊂２．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑㊂如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号㊂回答非选择题时，将答案写在答题卡上㊂写在本试卷上无效㊂３．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回㊂一㊁选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．设集合Ａ＝｛ｘ｜３－ｘ＜２｝，Ｂ＝｛１，２，４，５｝，则Ｂɘ∁ＲＡ＝Ａ．｛１｝㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．｛１，２｝㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｃ．｛１，２，４｝㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｄ．｛４，５｝２．若ｚ＝５ｉｉ－２，则ｚ＝Ａ．２＋ｉＢ．－２＋ｉＣ．１＋２ｉＤ．１－２ｉ３．若扇形的弧长与面积都是６，则这个扇形的圆心角的弧度数是Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５４．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行 阶梯水价 ．计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过１２ｍ３４元／ｍ３超过１２ｍ３但不超过１８ｍ３６元／ｍ３超过１８ｍ３８元／ｍ３若某户居民上月交纳的水费为６６元，则该户居民上月用水量为Ａ．１３ｍ３Ｂ．１４ｍ３Ｃ．１５ｍ３Ｄ．１６ｍ３５．已知ｐ：ｘ２＋ｘ－２＞０，ｑ：ｘ＞ａ，若ｐ是ｑ的必要不充分条件，则Ａ．ａȡ１Ｂ．ａɤ１Ｃ．ａȡ－２Ｄ．ａɤ－２６．已知向量ＯＡң＝（１，７），ＯＢң＝（５，１），ＯＭң＝（２，１），若点Ｐ是直线ＯＭ上的一个动点，则ＰＡң㊃ＰＢң的最小值为Ａ．－４Ｂ．－６Ｃ．－８Ｄ．－１０㊀７．已知ａ＝５４ｌｎ５４，ｂ＝１４，ｃ＝２ｌｎ（ｓｉｎ１８＋ｃｏｓ１８），则Ａ．ｂ＜ｃ＜ａＢ．ａ＜ｃ＜ｂＣ．ｃ＜ａ＜ｂＤ．ｃ＜ｂ＜ａ８．函数ｆ（ｘ）是定义在（０，＋ɕ）上的单调函数，且对定义域内的任意ｘ，均有ｆ（ｆ（ｘ）－ｌｎｘ－ｘ）＝２，则ｆ（ｅ）＝Ａ．ｅ＋１Ｂ．ｅ＋２Ｃ．ｅ２＋１Ｄ．ｅ２＋２二㊁选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分．９．欧拉公式ｅｘｉ＝ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ（其中ｉ为虚数单位，ｘɪＲ）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，则Ａ．ｅπｉ＝１Ｂ．ｅπｉ２为纯虚数Ｃ．ｅｘｉ３＋ｉ＝１２Ｄ．复数ｅ２ｉ对应的点位于第三象限１０．函数ｆ（ｘ）＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（Ａ＞０，ω＞０，０＜φ＜π）的部分图象如图所示，则Ａ．ω＋φ＝π２Ｂ．ｆ（－２）＝－２２Ｃ．ｆ（ｘ）的图象关于点（２０２２，０）对称Ｄ．ｆ（２ｘ）在［３，４］上单调递增１１．南宋数学家杨辉所著的‘详解九章算法㊃商功“中出现了如图所示的形状，后人称之为 三角垛 ． 三角垛 最上层有１个球，第二层有３个球，第三层有６个球， ，以此类推．设从上到下各层球数构成一个数列｛ａｎ｝，则Ａ．ａ４＝９Ｂ．ａｎ＋１－ａｎ＝ｎ＋１Ｃ．ａ１０＝５５Ｄ．ðｎｉ＝１１ａｉ＝２ｎｎ＋１１２．若ａ＞ｂ＞０，且ａ＋ｂ＝１，则Ａ．ａｌｎｂ＞ｂｌｎａＢ．２ａ＋ａｂȡ２＋２２Ｃ．（ａ２＋１）（ｂ２＋１）＜３２Ｄ．ａ２ａ＋２＋ｂ２ｂ＋１ȡ１４三㊁填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．１３．已知向量ａ在ｂ方向上的投影向量是－２ｅ（ｅ是与ｂ同方向的单位向量），｜ｂ｜＝３，则ａ㊃ｂ＝㊀㊀㊀㊀．１４．已知ｔａｎ（π８－α）＝２３，则ｓｉｎ（π４＋２α）＝㊀㊀㊀㊀．１５．设函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ１２（－ｘ）－１，ｘ＜０ｌｏｇ２ｘ＋１，ｘ＞０{，若ｆ（ａ）＞ｆ（－ａ），则ａ的取值范围是㊀㊀㊀㊀．１６．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，某摩天轮最高点距离地面高度１２８米，转盘直径为１２０米，设置有４８个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要３０分钟．若游客甲坐上摩天轮的座舱，开始旋转ｔ分钟后距离地面的高度为ｈ米，则ｈ关于ｔ的函数解析式为㊀㊀㊀㊀㊀㊀；若游客甲在ｔ１，ｔ２时刻距离地面的高度相等，则ｔ１＋ｔ２的最小值为㊀㊀㊀㊀．四㊁解答题：本题共６小题，共７０分．解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤．１７．（１０分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象过点（０，２），且满足ｆ（－１）＝ｆ（３）．（１）求ｆ（ｘ）的解析式；（２）解关于ｘ的不等式ｆ（ｘ）＜（２ａ－２）ｘ．１８．（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ４ｘ＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ－ｓｉｎ４ｘ．（１）求ｆ（ｘ）的最小正周期；（２）将ｆ（ｘ）的图象向右平移π４个单位，得到函数ｇ（ｘ）的图象，若ｇ（ｘ）在［０，ｍ］上的最小值为ｇ（０），求ｍ的最大值．１９．（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ａｅｘ＋ｂｓｉｎｘ－２ｘ，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（０，ｆ（０））处的切线为ｙ＝１．（１）求ａ，ｂ；（２）求ｆ（ｘ）的最小值．㊀２０．（１２分）已知正项数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ，且ａｎ＋１ａｎ＝２Ｓｎ．（１）证明：数列｛Ｓｎ２｝为等差数列；（２）记Ｔｎ＝１Ｓ１＋１Ｓ２＋１Ｓ３＋ ＋１Ｓｎ，证明Ｔｎ＜２ｎ．２１．（１２分）әＡＢＣ中，ＡＢ＝４，ｃｏｓＡ＝７８，ＡＣ＞ＡＢ．（１）若ＡＢң㊃ＢＣң＝１２，求ＢＣ；（２）若ｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）＝１４，求әＡＢＣ的面积．２２．（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘｘ和ｇ（ｘ）＝ａｘｅｘ有相同的最大值．（１）求ａ，并说明函数ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）在（１，ｅ）上有且仅有一个零点；（２）证明：存在直线ｙ＝ｂ，其与两条曲线ｙ＝ｆ（ｘ）和ｙ＝ｇ（ｘ）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列．临沂市高三教学质量检测考试数学试题参考答案及评分标准２０２２．１１说明：一㊁本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分．二㊁当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分．三㊁解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四㊁只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一㊁选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．Ｄ㊀２．Ｃ㊀３．Ｂ㊀４．Ｃ㊀５．Ａ㊀６．Ｃ㊀７．Ｄ㊀８．Ｂ㊀二㊁选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分．９．ＢＣ㊀１０．ＡＢＤ㊀１１．ＢＣＤ㊀１２．ＢＤ㊀三㊁填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分．１３．－６㊀１４．５１３㊀１５．（－１２，０）ɣ（１２，＋ɕ）㊀１６．ｈ（ｔ）＝６０ｓｉｎ（π１５ｔ－π２）＋６８，ｔɪ［０，＋ɕ）㊀３０（第一空３分，第二空２分）四㊁解答题：本题共６小题，共７０分．解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤．１７．（１０分）解：（１）ȵｆ（ｘ）的图象过点（０，２），即ｆ（０）＝２，ʑｃ＝２．１分又ｆ（－１）＝ｆ（３），ʑｆ（ｘ）图象的对称轴为ｘ＝－１＋３２＝１，２分 ʑ－ｂ２＝１，ʑｂ＝－２．４分故ｆ（ｘ）＝ｘ２－２ｘ＋２．５分 （２）不等式ｆ（ｘ）＜（２ａ－２）ｘ，可化为ｘ２－２ａｘ＋２＜０．６分①当Δ＝４ａ２－８ɤ０，即－２ɤａɤ２时，不等式ｘ２－２ａｘ＋２ȡ０恒成立，此时不等式ｘ２－２ａｘ＋２＜０的解集为Ø．７分 ②当Δ＝４ａ２－８＞０，即ａ＜－２或ａ＞２时，㊀方程ｘ２－２ａｘ＋２＝０有两个根为ｘ１＝ａ－ａ２－２，ｘ２＝ａ＋ａ２－２，８分此时不等式ｘ－２ａｘ＋２＜０的解集为｛ｘ｜ａ－ａ２－２＜ｘ＜ａ＋ａ２－２｝．９分综上，当－２ɤａɤ２时，不等式的解集为Ø；当ａ＜－２或ａ＞２时，不等式的解集为｛ｘ｜ａ－ａ２－２＜ｘ＜ａ＋ａ２－２｝．１０分１８．（１２分）解：（１）ｆ（ｘ）＝（ｃｏｓ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ）（ｃｏｓ２ｘ－ｓｉｎ２ｘ）＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｃｏｓ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ２分＝２ｓｉｎ（２ｘ＋π４）４分ʑ最小正周期Ｔ＝２π２＝π．５分（２）ｇ（ｘ）＝２ｓｉｎ［２（ｘ－π４）＋π４］，７分即ｇ（ｘ）＝２ｓｉｎ（２ｘ－π４），８分ȵ０ɤｘɤｍ，ʑ－π４ɤ２ｘ－π４ɤ２ｍ－π４．９分由ｇ（ｘ）在［０，ｍ］上最小值为ｇ（０），ʑ２ｍ－π４ɤ５π４．ʑｍɤ３π４．１０分ʑ０＜ｍɤ３π４．１１分即ｍ的最大值为３π４．１２分１９．（１２分）解：（１）由已知：ｆᶄ（ｘ）＝ａｅｘ＋ｂｃｏｓｘ－２，１分ȵ曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（０，ｆ（０））处的切线方程为ｙ＝１，ʑｆ（０）＝１，ｆᶄ（０）＝０，{即ａ＝１，ａ＋ｂ－２＝０，{ʑａ＝１，ｂ＝１．{５分（２）由（１）知，ｆᶄ（ｘ）＝ｅｘ＋ｃｏｓｘ－２，６分当ｘ＜０时，ȵｅｘ＜１，ｃｏｓｘ＜１，ʑｆᶄ（ｘ）ɤ０，ʑｆ（ｘ）单调递减．８分当ｘ＞０时，令ｇ（ｘ）＝ｆᶄ（ｘ），则ｇᶄ（ｘ）＝ｅｘ－ｓｉｎｘ，ȵｅｘ＞１，ｓｉｎｘɤ１ʑｇᶄ（ｘ）＞０，ʑｆᶄ（ｘ）单调递增，ʑｆᶄ（ｘ）＞ｆᶄ（０）＝０．１０分ʑ当ｘ＞０时，ｆ（ｘ）单调递增．１１分ʑｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（０）＝１．ʑｆ（ｘ）的最小值为１．１２分２０．（１２分）解：（１）证明：ȵａｎ＋１ａｎ＝２Ｓｎ，ʑ当ｎȡ２时，Ｓｎ－Ｓｎ－１＋１Ｓｎ－Ｓｎ－１＝２Ｓｎ，１分ʑ１Ｓｎ－Ｓｎ－１＝Ｓｎ＋Ｓｎ－１），ʑＳｎ２－Ｓｎ－１２＝１．３分当ｎ＝１时，ａ１＋１ａ１＝２ａ１，ʑａ１２＝１，即Ｓ１２＝１，４分 故｛Ｓｎ２｝是首项为１，公差为１的等差数列，５分 （２）证明：由（１）知Ｓｎ２＝ｎ，Ｓｎ＝ｎ；７分 １Ｓｎ＝１ｎ＝２２ｎ＜２ｎ＋ｎ－１＝２（ｎ－ｎ－１），９分 ʑＴｎ＝１Ｓ１＋１Ｓ２＋１Ｓ３＋ ＋１Ｓｎ＜２（１－０＋２－１＋３－２＋ ＋ｎ－ｎ－１）＝２ｎ．１１分 即Ｔｎ＜２ｎ．１２分２１．（１２分）解：（１）ȵＡＢң㊃ＢＣң＝ＡＢң㊃（ＡＣң－ＡＢң）＝ＡＢң㊃ＡＣң－｜ＡＢң｜２１分＝｜ＡＢң｜㊃｜ＡＣң｜㊃ｃｏｓＡ－４２＝４ˑＡＣˑ７８－１６＝７２ＡＣ－１６，２分 由７２ＡＣ－１６＝１２，得ＡＣ＝８．３分 ʑＢＣ２＝ＡＢ２＋ＡＣ２－２ＡＢ㊃ＡＣｃｏｓＡ＝２４，４分 ʑＢＣ＝２６．５分 （２）法一：ȵｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）＝１４，ʑπ３＜Ｂ－Ｃ＜π２，２π３＜２（Ｂ－Ｃ）＜π，６分又ｃｏｓ２（Ｂ－Ｃ）＝２ｃｏｓ２（Ｂ－Ｃ）－１＝－７８，又ｃｏｓＡ＝７８，０＜Ａ＜π３，ʑ２（Ｂ－Ｃ）＝π－Ａ，㊀ʑ２（Ｂ－Ｃ）＝Ｂ＋Ｃ，ʑＢ＝３Ｃ，７分ʑＡ＝π－４Ｃ，ʑｃｏｓＡ＝ｃｏｓ（π－４Ｃ）＝７８，ʑｃｏｓ４Ｃ＝－７８，ʑ２ｃｏｓ２２Ｃ－１＝－７８，８分ʑｃｏｓ２Ｃ＝１４，ʑ１－２ｓｉｎ２Ｃ＝１４，ʑｓｉｎＣ＝６４，９分由正弦定理得，ＡＢｓｉｎＣ＝ＢＣｓｉｎＡ，又ｓｉｎＡ＝１－ｃｏｓ２Ａ＝１５８，ＡＢ＝４，ʑＢＣ＝４ˑ１５８ˑ４６＝１０，１０分又ｓｉｎ２Ｃ＝１５４，ｃｏｓＣ＝１０４，ʑｓｉｎＢ＝ｓｉｎ３Ｃ＝ｓｉｎ（Ｃ＋２Ｃ）＝ｓｉｎＣｃｏｓ２Ｃ＋ｃｏｓＣｓｉｎ２Ｃ＝６４ˑ１４＋１０４ˑ１５４＝３６８，１１分ʑＳәＡＢＣ＝１２ＡＢ㊃ＢＣｓｉｎＢ＝１２ˑ４ˑ１０ˑ３６８＝３１５２．１２分法二：在ＡＣ上取点Ｄ，使得øＣＢＤ＝øＣ，ȵｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）＝１４，ʑｃｏｓøＡＢＤ＝１４，６分ʑｓｉｎøＡＢＤ＝１－ｃｏｓ２øＡＢＤ＝１５４，又ｓｉｎＡ＝１－ｃｏｓ２Ａ＝１５８，７分ʑｃｏｓøＡＤＢ＝ｃｏｓ［π－（øＡ＋øＡＢＤ）］＝－ｃｏｓ（øＡ＋øＡＢＤ）＝ｓｉｎＡ㊃ｓｉｎøＡＢＤ－ｃｏｓＡｃｏｓøＡＢＤ＝１５８ˑ１５４－７８ˑ１４＝１４，８分ʑｃｏｓøＡＤＢ＝ｃｏｓøＡＢＤ，ʑøＡＤＢ＝øＡＢＤ．ʑＡＤ＝ＡＢ＝４．９分 又ＢＤ２＝ＡＢ２＋ＡＤ２－２ＡＢ㊃ＡＤ㊃ｃｏｓＡ＝１６＋１６－２ˑ４ˑ４ˑ７８＝４，ʑＢＤ＝２，１０分 ʑＤＣ＝ＢＤ＝２，ＡＣ＝ＡＤ＋ＤＣ＝６，１１分 ʑＳәＡＢＣ＝１２ＡＢ㊃ＡＣ㊃ｓｉｎＡ＝１２ˑ４ˑ６ˑ１５８＝３１５２．１２分２２．（１２分）解：（１）ｆᶄ（ｘ）＝１－ｌｎｘｘ２，１分 当ｘɪ（０，ｅ）时，ｆᶄ（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增；当ｘɪ（ｅ，＋ɕ）时，ｆᶄ（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减，ʑｘ＝ｅ时，ｆ（ｘ）取得最大值．即ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ｆ（ｅ）＝１ｅ．２分 ｇᶄ（ｘ）＝ａ（１－ｘ）ｅｘ，当ａ＞０时，ｘɪ（－ɕ，１）时，ｇᶄ（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）单调递增；ｘɪ（１，＋ɕ）时，ｇᶄ（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）单调递减，ʑｇ（ｘ）ｍａｘ＝ｇ（１）＝ａｅ．３分 当ａ＝０时，ｇ（ｘ）＝０，不合题意；当ａ＜０时，可知ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝ｇ（１），不合题意．故ａｅ＝１ｅ，即ａ＝１．４分 ʑｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝ｌｎｘｘ－ｘｅｘ．５分 ȵｈᶄ（ｘ）＝１－ｌｎｘｘ２－１－ｘｅｘ，当１＜ｘ＜ｅ时，１－ｌｎｘ＞０，１－ｘ＜０，ʑｈᶄ（ｘ）＞０，ʑｈ（ｘ）在［１，ｅ］上单调递增，又ｈ（１）＝－１ｅ＜０，ｈ（ｅ）＝１ｅ－ｅｅｅ＝１ｅ－１ｅｅ－１＝ｅｅ－１－ｅｅｅ＞０，ʑｈ（ｘ）在（１，ｅ）上有且仅有一个零点．６分（２）由（１）知，ｙ＝ｆ（ｘ），ｙ＝ｇ（ｘ）的图象大致如下图：㊀７分直线ｙ＝ｂ与曲线ｙ＝ｆ（ｘ），ｙ＝ｇ（ｘ）三个交点的横坐标从左至右依次为ｘ１，ｘ２，ｘ３，且０＜ｘ１＜１＜ｘ２＜ｅ＜ｘ３，８分 ʑ０＜ｌｎｘ２＜１＜ｌｎｘ３且ｌｎｘ３ｘ３＝ｌｎｘ２ｘ２＝ｘ１ｅｘ１＝ｂ．９分 由ｘ１ｅｘ１＝ｌｎｘ２ｘ２＝ｌｎｘ２ｅｌｎｘ２即ｇ（ｘ１）＝ｇ（ｌｎｘ２），ｘ１，ｌｎｘ２ɪ（０，１），ʑｘ１＝ｌｎｘ２即ｘ２＝ｅｘ１．① １０分 由ｘ２ｅｘ２＝ｌｎｘ３ｘ３＝ｌｎｘ３ｅｌｎｘ３即ｇ（ｘ２）＝ｇ（ｌｎｘ３），ʑｘ２＝ｌｎｘ３．② １１分 由①，②，ｘ２２＝ｅｘ１ｌｎｘ３，又ｌｎｘ３ｘ３＝ｘ１ｅｘ１即ｅｘ１ｌｎｘ３＝ｘ１ｘ３，ʑｘ２２＝ｘ１ｘ３．１２分。

2020年高三数学上期中一模试卷(带答案)一、选择题1．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形2．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y xx=+B ．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或54．在ABC V 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（ ）A B C D 5．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．216．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．40377．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( )A ．2BC D ．48．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92 C ．5 D ．529．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += ()2224S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，43a=，4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒D ．60B =︒11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13712．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)-二、填空题13．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．14．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．15．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得122m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值为__________． 16．设0x >，则231x x x +++的最小值为______.17．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________． 18．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____． 19．设2a b +=，0b >，则当a =_____时，1||2||a a b+取得最小值. 20．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．三、解答题21．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 22．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量12cos 13A =，3cos 5C =．（1）求索道AB 的长；（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？23．已知向量113,sin 222x x a ⎛⎫+ ⎝=⎪ ⎪⎭v 与()1,b y =v 共线，设函数()y f x =. （1）求函数()f x 的最小正周期及最大值.（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若有33f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，边217,sin 7BC B ==，求ABC ∆的面积. 24．如图，Rt ABC V 中，,1,32B AB BC π===点,M N 分别在边AB 和AC 上，将AMN V 沿MN 翻折，使AMN V 变为A MN '△，且顶点'A 落在边BC 上,设AMN θ∠=（1）用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围； （2）求线段CN 长度的最大值以及此时A MN '△的面积，25．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且112a b ==,338a b ==.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 26．已知数列为等差数列，且12a =，12312a a a ++=． (1) 求数列的通项公式； (2) 令，求证：数列是等比数列．（3）令11n n n c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，所以2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 2424442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.2．C解析：C 【解析】 【分析】由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】选项A 错误，x Q 可能为负数，没有最小值；选项B错误，化简可得2y ⎫=，=，即21x =-，显然没有实数满足21x =-；选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4xxy e e -=+取最小值4，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.3．B解析：B 【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-， 由19a =，所以211n a n =-+， 令2110n a n =-+<，即112n >， 所以n S 取最大值时的n 为5， 故选B ．4．C解析：C 【解析】试题分析：由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin 4BAC π=∠，解得sin 10BAC ∠=. 考点：解三角形.5．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r （，，即14)P （，，所以114)PB t=--u u u r （，，14)PC t =--u u u r （，，因此PB PC ⋅u u u r u u u r11416t t =--+117(4)t t =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．6．C解析：C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且2018201900a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.7．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 30B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.8．B解析：B 【解析】 【分析】设f （x ）1221x x=+-，根据形式将其化为f （x ）()1152221x x x x-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x 13=时()11221x x x x-+-的最小值为2，得到f （x ）的最小值为f（13）92=，再由题中不等式恒成立可知m ≤（1221x x+-）min ，由此可得实数m 的最大值． 【详解】解：设f （x ）11222211x x x x=+=+--（0＜x ＜1） 而1221x x+=-[x +（1﹣x ）]（1221x x +-）()1152221x x x x -=++- ∵x ∈（0，1），得x ＞0且1﹣x ＞0∴()11221x x x x -+≥-=2， 当且仅当()112211x x x x -==-，即x 13=时()11221x x x x-+-的最小值为2∴f （x ）1221x x =+-的最小值为f （13）92= 而不等式m 1221x x ≤+-当x ∈（0，1）时恒成立，即m ≤（1221x x+-）min 因此，可得实数m 的最大值为92故选：B ． 【点睛】本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．9．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)222S b a c =+-，得1sin 2cos 2ab C ab C =,整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．10．C解析：C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】解：60A =︒Q ，a=4b =由正弦定理得：sin 1sin2b A B a ===a b >Q 60B ∴<︒30B ∴=︒ 故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.11．B解析：B 【解析】 【分析】由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数. 【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.12．A解析：A 【解析】 【分析】 将代数式21x y+与2x y +相乘，展开式利用基本不等式求出2x y +的最小值8，将问题转化为解不等式()2min 72m m x y +<+，解出即可. 【详解】由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当()4,0y xx y x y=>，即当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为8. 由题意可得()2min 728m m x y +<+=，即2780m m +-<，解得81m -<<. 因此，实数m 的取值范围是(8,1)-，故选A. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题．二、填空题13．-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC 当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z 最小所以故填-6解析：-6 【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC,当直线122zy x =-经过点A(0，3)时，直线的纵截距2z-最大，z 最小.所以min 023 6.z =-⨯=-故填-6. 14．【解析】【分析】利用余弦定理得到进而得到结合正弦定理得到结果【详解】由正弦定理得【点睛】本题考查解三角形的有关知识涉及到余弦定理正弦定理及同角基本关系式考查恒等变形能力属于基础题解析：33【解析】 【分析】 利用余弦定理得到cos C ，进而得到sin C ，结合正弦定理得到结果. 【详解】9254913cos ,sin 302C C +-==-=，由正弦定理得732sin 33c R R C ===. 【点睛】本题考查解三角形的有关知识，涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本关系式，考查恒等变形能力，属于 基础题.15．【解析】【分析】由求得由可得结合为正整数讨论四种情况可得的最小值【详解】设等比数列的公比为由可得到由于所以解得或因为各项全为正所以由于存在两项使得所以可得当时;当时；当时;当时;综上可得的最小值为故解析：116【解析】 【分析】由7652a a a =+求得2q =1=可得5m n +=，结合,m n 为正整数，讨论四种情况可得14m n+的最小值. 【详解】设等比数列的公比为q ,由7652a a a =+, 可得到6662a a q a q=+, 由于0n a >,所以21q q=+,解得2q =或1q =-. 因为各项全为正,所以2q =.由于存在两项,m n a a 1=，所以,218m n a a a ⋅=,112211188m n m n a q a q a q --+-⋅=∴=，28m n q +-∴=,可得5m n +=.当1,4m n ==时,142m n+=; 当2,3m n ==时，14116m n +=； 当3,2m n ==时,1473m n +=;当4,1m n ==时,14174m n +=; 综上可得 14m n +的最小值为116, 故答案为116. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和性质,考查了分类讨论思想的应用,属于中档题. 分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.16．【解析】【分析】利用换元法令将所给的代数式进行变形然后利用均值不等式即可求得最小值【详解】由可得可令即则当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法换元法及其应用等知识意在解析：1【解析】 【分析】利用换元法，令1t x =+将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】由0x >，可得11x +>.可令()11t x t =+>，即1x t =-，则()()22113331111t t x x t x t t -+-+++==+-=+≥，当且仅当t =1x =时，等号成立.故答案为：1． 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法，换元法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【解析】【分析】由无穷等比数列的各项和为4得且从而可得的范围【详解】由题意可得且且 故答案为【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和而无穷等比数列的各项和是指当且时前n 项和的极限属于基础题 解析：(0,4)(4,8)⋃【解析】 【分析】由无穷等比数列{}n a 的各项和为4得,141a q=-,，||1q <且0q ≠,从而可得1a 的范围. 【详解】 由题意可得,14,||11a q q=<- ， 且0q ≠14(1)a q =- 108a ∴<<且14a ≠故答案为(0,4)(4,8)⋃ 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和,而无穷等比数列的各项和是指当,||1q <且0q ≠时前 n 项和的极限，属于基础题.18．1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：∴…∴…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1解析：1830 【解析】 【分析】由题意可得211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，变形可得312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，972a a +=，121040a a +=，13152a a +=，161456a a +=，…，利用数列的结构特征，求出{}n a 的前60项和． 【详解】解：1(1)n n a ++-Q 21n a n =-，∴211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，∴312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，9112a a +=，121040a a +=，13112a a +=，161456a a +=，…，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，{}n a 的前60项和为1514152(15816)18302⨯⨯+⨯+⨯=， 故答案为：1830． 【点睛】本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前n 项和，属于中档题．19．【解析】【分析】利用代入所求式子得再对分并结合基本不等式求最小值【详解】因为所以又因为所以因此当时的最小值是；当时的最小值是故的最小值为此时即故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求最值考查转化与化归 解析：2-【解析】 【分析】利用2a b +=代入所求式子得||4||4||a b a a a b++，再对a 分0a >，0a <并结合基本不等式求最小值. 【详解】 因为2a b +=，所以1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b++=+=++， 又因为0b >，||0a >，所以||14||b a a b +=…， 因此当0a >时，1||2||a a b +的最小值是15144+=； 当0a <时，1||2||a a b +的最小值是13144-+=. 故1||2||a a b +的最小值为34，此时,42,0,ab a b a b a ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎪⎩即2a =-. 故答案为：2-. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对a 的分类讨论及基本不等式求最值时，要验证等号成立的条件.20．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际解析：14【解析】 【分析】在ABC ∆中，由余弦定理，求得BC ，再由正弦定理，求得sin ,sin ACB BAC ∠∠，最后利用两角和的余弦公式，即可求解cos θ的值． 【详解】在ABC ∆中，40AB =海里，20AC =海里，120BAC ∠=o ， 由余弦定理可得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅=o ，所以BC =,由正弦定理可得sin sin 7AB ACB BAC BC ∠=⋅∠=， 因为120BAC ∠=o ，可知ACB ∠为锐角，所以cos 7ACB ∠=所以cos cos(30)cos cos30sin sin 30ACB ACB ACB θ=∠+=∠-∠=o o o ． 【点睛】本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．三、解答题21．（1）32n a n =-+（2）n S 23212n n n-=+-【解析】 【分析】（1）依题意()()382726a a a a d +-+==-，从而3d =-.由此能求出数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求出112322n n n n b a n --=-=-+，再分组求和即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差是d . 由已知()()382726a a a a d +-+==-， ∴3d =-，∴2712723a a a d +=+=-， 得 11a =-，∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+.（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，∴12n n n a b -+=，∴112322n n n n b a n --=-=-+，∴()()21147321222n n S n -=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()31212nn n -=+-， 23212n n n -=+-.【点睛】本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化. 22．（1）=1040AB m （2）3537（3）1250625[,]4314（单位：m/min ）【解析】 【分析】 【详解】（1）在ABC ∆中，因为12cos 13A =，3cos 5C =，所以5sin 13A =，4sin 5C =， 从而[]sin sin ()B A C π=-+sin()A C =+5312463sin cos sin cos 13513565A C C A =+=⨯+⨯=．由正弦定理sin sin AB AC C B=，得12604sin 104063sin 565AC AB C B =⨯=⨯=（m ）． （2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(10050)m t +，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得22212(10050)(130)2130(10050)13d t t t t =++-⨯⨯+⨯2200(377050)t t =-+， 由于10400130t ≤≤，即08t ≤≤， 故当35min 37t =时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理sin sin BC ACA B=， 得12605sin 50063sin 1365AC BC A B=⨯=⨯=（m ）． 乙从B 出发时，甲已走了50(281)550⨯++=（m ），还需走710m 才能到达C ． 设乙步行的速度为/min vm ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦（单位：/min m ）范围内． 考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用. 【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用.23．(1) 2,T π=当2,6x k k Z ππ=+∈时，()max 2f x = (2) ABC S ∆=【解析】 【分析】 【详解】（1）因为a r与b r共线，所以11(sin )0222y x x -+= 则()2sin 3y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的周期2T π= 当26x k ππ=+，k Z ∈，max 2f =（2）∵3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴2sin 33A ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭∴sin 2A = ∵02A π<<∴3A π=由正弦定理得sin sin BC ACA B=又sin B =∴sin 2sin BC B AC A ==，且sin C =∴1sin 2ABC S AC BC C ∆==24．()1212sin 42AM ππθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ ()2439；=S 【解析】 【分析】（1）在直角A BM '∆中，得出A M '与θ的关系，从而得出AM 与θ的不等式； （2）在AMN ∆中，利用正弦定理求出AN ，得出AN 的最小值，从而得出CN 的最大值. 【详解】（1）设MA MA x '==，则1MB x =-，在直角A BM '∆中，1cos(1802)xxθ--=o， 解得2111cos 22sin x θθ==-，即212sin AM θ=，因为A '在边BC 上，所以42ππθ≤≤.（2）因为,1,2B AB BC π∠===2AC =，所以60BAC ∠=o ，在AMN ∆中，由AMN θ∠=，可得18060120ANM θθ∠=--=-o o o ， 又由212sin MN θ=， 根据正弦定理，可得sin sin(120)AN AMθθ=-o ， 所以sin 1sin(120)2sin sin(120)AM AN θθθθ⋅==--o o ，令212sin sin(120)2sin (sin )sin cos 22t θθθθθθθθ=-=⋅+=+o1112cos 2sin(230)2222θθθ=+-=+-o ， 因为4590θ<<o o ，所以60230150θ<-<o o o ， 当且仅当23090θ-=o o 时，即60θ=o 时，t 有最大值32， 即当60θ=o 时，AN 有最小值23， 所以CN 的最大值为43，当60θ=o 时，AMN ∆为等边三角形，AMN ∆面积为22()439S ==. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.25．（1）31,2nn n a n b =-=；（2）1326n n +⨯--.【解析】试题分析：（1）设出等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n =a bn 结合数列{a n }和{b n }的通项公式得到数列{c n }的通项公式，结合等比数列的前n 项和求得数列{c n }的前n 项和S n ． 试题解析： （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．由，得，解得． 所以． 由，得，又，解得．所以． （2）因为，所以．26．解: (1)∵数列为等差数列,设公差为, 由,得,,∴，.(2)∵,∴∴数列是首项为9，公比为9的等比数列 .（3）∵11n n n c a a +=，2n a n =， ∴1111()22(1)41n c n n n n ==-⋅++∴11111(1)()42423n S =-+-+…111()41n n +-+11(1)41n =-+ 【解析】试题分析：(1)∵数列为等差数列,设公差为, …………………… 1分由,得,,∴， …………………… 3分. …………………… 4分(2)∵, …………………… 5分 ∴， …………………… 6分∴数列是首项为9，公比为9的等比数列 . …………………… 8分（3）∵11n n n c a a +=，2n a n =，∴1111()22(1)41ncn n n n==-⋅++………………… 10分∴11111(1)()42423nS=-+-+…111()41n n+-+11(1)41n=-+……… 12分考点：等差数列的性质；等比数列的性质和定义；数列前n项和的求法．点评：裂项法是求前n项和常用的方法之一．常见的裂项有：，，，，，。