八年级数学下册19.1矩形19.1.2矩形的判定第1课时矩形的判定课堂练习(新版)华东师大版

《矩形的判定》教学设计［教学目标］知识与技能：认识矩形的性质，探索并掌握矩形的判定方法，会应用矩形的定义，判定定理等知识， 解决简单的实际问题，书写出规范的推理格式。

过程与方法：通过对逆命题的猜想，操作验证，逻辑推理，体现数学研究和发现的过程，学会数学 思考的方法。

情感、态度与价值观：能积极参加数学学习活动，能体验数学活动充满着探索，并从中获得成功的 体验，充满对数学学习的好奇心和求知欲；培养数学逻辑推理能力及与同伴合作交流的能力.［教学重点、难点］重点：矩形判定方法的探究。

难点：矩形判定方法的证明以及简单应用。

［教学过程］（一） 情景引入老师刚搬新家，有个门框看起来不太方正，老师想检验一下这门框是否是矩形，现在老师手头上有卷尺和量角器这两样工具，你能帮助老师解决这个问题吗？（导入课题一一今天我们就一起来探索矩形的判定方法）。

（板书课题）设计意图：从学生身边的数学入手，通过设疑式导入，设置悬念，引起思考，使学生产生迫切学习 的浓厚兴趣，诱导学生由疑到思，由思到知，由知到用，为后面的问题解决埋下伏笔。

（二） 温故而知新回忆：我们是怎样探究平行四边形的判定方法？（由平行四边形的性质的逆命题得出猜测、并 操作验证、然后用逻辑推理证明方式得到的）.同样，我们可以通过类似的方法寻找判定矩形的其他方法，首先让我们先回顾矩形的性质.1. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2.边：矩形的对边平行且相等 角：矩形的四个角都是直角 对角线：矩形的两条对角线相等且互相平分 设计意图：从已学知识入手，根据性质写出命题的逆命题，并判断真假，引入新课的学习。

（三）新课讲解 判定方法1:有一个角是直角 的平行四边形 是矩形（板书） 回顾：请同学们回忆一下平时是怎样画矩形的？（画三个角是直角的四边形） 探究一 证一证：有三个角是直角的四边形是矩形/ 一个角是直角平行四边形 .■: -----------------------矩形的性质已知：在四边形ABCD中，/ A=Z B=Z C= 90° .求证：四边形ABCD是矩形.证明：T / A = / B = / C =90 °•••/A + / B =180 ° , / B + / C =180°••• AD// BC,AB// CD•四边形ABCD是平行四边形•四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形（板书）探究二思考：（1）对角线相等的四边形一定是矩形吗？（2）需要添加什么条件才能使对角线相等的四边形是矩形呢设计意图：由逆命题结合猜想引发学生思考，引导其探究新知。

19.1.2矩形的判定导学练习班级 号数 姓名 自我评价【知识准备】1、 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c ，满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

2、 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

3、 矩形的性质：（1）对称性：矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形；（2）边：矩形的两组对边分别平行且相等；（3）角：矩形的四个角都是直角(几何语言表述：在矩形ABCD 中，︒=∠=∠=∠=∠90D C B A ）（4）对角线：矩形的对角线互相平分且相等。

（几何语言表述：在矩形ABCD 中，AC=BD,OA=OB=OC=OD ）4、 等腰三角形的性质“三线合一”：在等腰三角形中(前提)顶角的角平分线,底边的中线,底边的高线,三条线互相重合。

课前寄语：亲爱的同学们！请将以上几点理解并背熟，下节课我们将会用到它们哦，加油！期待同学们有出色的表现。

【新课知识点引学】矩形的判定方法:1、定义法： 有一个角是 的 是矩形；几何语言： ∵ 中 ， =︒90∴ 是矩形2、判定定理1: 有 个角是直角的四边形是矩形；几何语言： ∵ =︒90∴ 是矩形【寻找“直角”君】1、已知：AB⊥CD，垂足为点0, 则 =900AC O DB2、已知：AB∥CD, ∠A= 900, 则 = 9003、已知在△ ABC中，AB=3,BC=4,AC=5, 则 = 9004、已知在△ ABC中，AB=AC, AD平分∠BAC, 则 = 9005中，∠DAB和∠ABC的角平分线相交于点E，则 = 9006、如图，点O是直线AB上的一点，OE平分∠A0C, OF平分∠BOC,则 =900CE FA B【例题引学】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵ AB∥CD∴∠BAD + ∠ =︒180∵∠BAD=90°，∴∠ =︒180-900 =90°.∵ AB=5，BC=12，AC=13，满足2+2=2，∴是直角三角形，且∠ =90°，∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）【当堂检测】1、（课本第106页习题1）如图,中，AB=6,BC=8,AC=10求证：四边形ABCD是矩形2、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BA C的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．【课后作业单】（第1、2、5题必做，第3题期中考分数105分以上同学选做，第4题A等级以上的同学选做）1、（课本第106页练习1）如图，AD、AE分别是△ABC的内角∠BAC和外角∠BAF的平分线，BE⊥AE，DA⊥BC.求证：四边形AEBD是矩形.2、（课本第124页第5题）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D =90°,AB=CD，求证：四边形ABCD是矩形。

初二数学矩形的判定作业练习题一．选择题（共5小题）1．能判定一个平行四边形是矩形的条件是( )A ．两条对角线互相平分B ．一组邻边相等C ．两条对角线相等D ．两条对角线互相垂直2．四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是( )A ．AB CD = B ．AC BD = C ．AB BC = D ．AC BD ⊥3．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是( )A ．一般平行四边形B ．一般四边形C ．对角线垂直的四边形D ．矩形4．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下而是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是( )A ．测量其中三个角是否都为直角B ．测量对角线是否相等C ．测量两组对边是否分别相等D ．测量对角线是否相互平分5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是( )A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD = C ．AD AB = D ．BAD ADC ∠=∠二．填空题（共5小题）6．要使ABCD Y 为矩形，则可以添加一个条件为 7．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是 ．8．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O 且AC ，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是矩形，则这个条件可以是 （填写一个即可）．9．如图，在ABC ∆，AB AC =，点D 为BC 的中点，AE 是BAC ∠外角的平分线，//DE AB 交AE 于E ，则四边形ADCE 的形状是 ．10．对角线 的四边形是矩形．三．解答题（共3小题）11．在平行四边形ABCD中，6AD=．求证：平行四边形ABCD是矩形．AC=，8AB=，1012．如图，AC是ABCD=，连接DEY的对角线，延长BA至点E，使AE AB（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；（2）连接EC交AD于点O，若2∠=∠，求证：四边形ACDE是矩形．EOD B13．如图，AD是ABC=．AE BC，BE交AD于点F，且AF DF∆的中线，//（1）求证：AFE DFB∆≅∆；（2）求证：四边形ADCE是平行四边形；（3）当AB、AC之间满足条件_______________时，四边形ADCE是矩形．答案与解析一．选择题（共5小题）1．能判定一个平行四边形是矩形的条件是()A．两条对角线互相平分B．一组邻边相等C．两条对角线相等D．两条对角线互相垂直【分析】根据平行四边形的判定（对角线互相平分），矩形的判定（对角线互相平分且相等），菱形的判定（对角线互相平分且垂直或一组邻边相等的平行四边形）判断即可．【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形不一定是矩形，故本选项错误；C、根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确；D、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误．故选：C．2．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是() A．AB CD⊥=D．AC BD=B．AC BD=C．AB BC【分析】由平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定方法即可得出结论．【解答】解：需要添加的条件是AC BD=；理由如下：Q四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，AC BDQ，=∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；故选：B．3．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是()A．一般平行四边形B．一般四边形C．对角线垂直的四边形D．矩形【分析】由于平行四边形的邻角互补，那么每两条相邻的内角平分线都互相垂直，则围成四边形就有4个直角，因此这个四边形一定是矩形．【解答】解：如图；Q四边形ABCD是平行四边形，∴∠+∠=︒；DAB ADC180Q、DH平分DABAH∠、ADC∠，EHG∠=︒；∴∠+∠=︒，即90HAD HDA90同理可证得：90∠=∠=∠=︒；HEF EFG FGH故四边形EFGH是矩形．故选：D．4．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下而是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是()A．测量其中三个角是否都为直角B．测量对角线是否相等C．测量两组对边是否分别相等D．测量对角线是否相互平分【分析】由矩形的判定定理和平行四边形的判定定理即可得出答案．【解答】解：A、测量其中三个角是否都为直角，能判定矩形；B 、测量对角线是否相等，不能判定平行四边形；C 、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；D 、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；故选：A ．5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是( )A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD = C ．AD AB = D ．BAD ADC ∠=∠【分析】本题考查的是矩形的判定，平行四边形的性质有关知识，利用矩形的判定，平行四边形的性质对选项进行逐一判断即可解答．【解答】解：A ．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项不符合题意；B ．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项不符合题意；C ．不能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项符合题意；D ．平行四边形ABCD 中，//AB CD ，180BAD ADC ∴∠+∠=︒，又BAD ADC ∠=∠Q ，90BAD ADC ∴∠=∠=︒，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项不符合题意． 故选：C ．二．填空题（共5小题）6．要使ABCD Y 为矩形，则可以添加一个条件为 对角线相等或有一个直角；【分析】根据矩形的判断方法即可解决问题；【解答】解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，故答案为对角线相等或有一个直角；7．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是 对角线相等的平行四边形是矩形 ．【分析】根据矩形和平行四边形的判定方法填空即可．【解答】解：先测量两组对边是否分别相等，可判定是否是平行四边形，然后测量两条对角线是否相等可判定是否是矩形，所以这样做的依据是：对角线相等的平行四边形是矩形，故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．8．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O 且AC ，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是矩形，则这个条件可以是 AC BD =或有个内角等于90度 （填写一个即可）．【分析】因为在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相平分，所以四边形ABCD 是平行四边形，根据矩形的判定条件，可得在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD 成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．【解答】解：Q 对角线AC 与BD 互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，要使四边形ABCD 成为矩形，需添加一个条件是：AC BD =或有个内角等于90度．故答案为：AC BD =或有个内角等于90度．9．如图，在ABC ∆，AB AC =，点D 为BC 的中点，AE 是BAC ∠外角的平分线，//DE AB 交AE 于E ，则四边形ADCE 的形状是 矩形 ．【分析】首先利用外角性质得出B ACB FAE EAC ∠=∠=∠=∠，进而得到//AE CD ，即可求出四边形AEDB 是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE 是平行四边形，即可求出四边形ADCE 是矩形．【解答】证明：AB AC =Q ，B ACB ∴∠=∠，Q 点D 为BC 的中点，90ADC ∴∠=︒，AE Q 是BAC ∠的外角平分线，FAE EAC ∴∠=∠，B ACB FAE EAC ∠+∠=∠+∠Q ，B ACB FAE EAC ∴∠=∠=∠=∠，//AE CD ∴，又//DE AB Q ，∴四边形AEDB 是平行四边形，AE ∴平行且等于BD ，又BD DC =Q ，AE ∴平行且等于DC ，故四边形ADCE 是平行四边形，又90ADC ∠=︒Q ，∴平行四边形ADCE 是矩形．即四边形ADCE 是矩形．故答案为矩形．10．对角线 互相平分且相等 四边形是矩形．【分析】根据矩形的判定可得对角线互相平分且相等的四边形为矩形．【解答】解：由对角线互相平分且相等的四边形为矩形可知，故填：互相平分且相等．三．解答题（共3小题）11．在平行四边形ABCD 中，6AB =，10AC =，8AD =．求证：平行四边形ABCD 是矩形．【分析】根据勾股定理的逆定理得到90ABC ∠=︒，从而判定矩形．【解答】解：10AC =Q ，10BD AC ∴==，6AB =Q ，8AD =，222AC AB BC ∴=+，90ABD ∴∠=︒，∴平行四边形ABCD 是矩形．12．如图，AC 是ABCD Y 的对角线，延长BA 至点E ，使AE AB =，连接DE（1）求证：四边形ACDE 是平行四边形；（2）连接EC 交AD 于点O ，若2EOD B ∠=∠，求证：四边形ACDE 是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB CD =，//AB CD ，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形ACDE 是平行四边形；（2）由三角形的外角可证ADC OCD ∠=∠，可得OC OD =，即可得AD EC =，可证四边形ACDE 是矩形．【解答】证明：（1）Q 四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴=，//AB CD ，AE AB =Q ，AE CD ∴=，且//AB CD ，∴四边形ACDE 是平行四边形；（2）Q 四边形ABCD 是平行四边形，B ADC ∴∠=∠，2EOD B ∠=∠Q2EOD ADC ∴∠=∠，且EOD ADC OCD ∠=∠+∠， ADC OCD ∴∠=∠，OC OD ∴=，Q 四边形ACDE 是平行四边形；AO DO ∴=，EO CO =，且OC OD =， AD CE ∴=，∴四边形ACDE 是矩形．13．如图，AD 是ABC ∆的中线，//AE BC ，BE 交AD 于点F ，且AF DF =．（1）求证：AFE DFB ∆≅∆；（2）求证：四边形ADCE 是平行四边形；（3）当AB 、AC 之间满足什么条件时，四边形ADCE 是矩形．【分析】（1）由“AAS ”可证AFE DFB ∆≅∆；（2）由全等三角形的性质和中线性质可得AE CD =，且//AE BC ，可证四边形ADCE 是平行四边形；（3）由等腰三角形的性质可得AD BC ⊥，即可得四边形ADCE 是矩形．【解答】证明：（1）//AE BC Q ，AEF DBF ∴∠=∠，且AFE DFB ∠=∠，AF DF = ()AFE DFB AAS ∴∆≅∆（2）AFE DFB ∆≅∆Q ，AE BD ∴=，AD Q 是ABC ∆的中线，BD CD ∴=AE CD ∴=//AE BC Q∴四边形ADCE 是平行四边形；（3）当AB AC =时，四边形ADCE 是矩形； AB AC =Q ，AD 是ABC ∆的中线，AD BC ∴⊥，90ADC ∴∠=︒Q 四边形ADCE 是平行四边形∴四边形ADCE 是矩形∴当AB AC =时，四边形ADCE 是矩形．。

2.矩形的判定1.下列识别图形不正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形2.四边形ABCD的对角线相交于点O,下列条件不能判定它是矩形的是（）A．AB=CD,AB∥CD,∠BAD=90°B．AO=CO,BO=DO,AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°,∠BCD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC=90°3.两条平行线被第三条直线所截,两组内错角的平分线相交所成的四边形是（）A. 一般平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形4.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点,顺次连结E、F、G、H所得的四边形EFGH是矩形吗？5.如图,□ ABCD各角的角平分线分别相交于点E,F,G,H. 求证：•四边形EFGH是矩形．6.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,延长OA到N,使ON＝OB,再延长OC至M,使CM＝AN. 求证：四边形NDMB是矩形.7.在四边形ABCD中,∠B＝∠D＝90°,且AB＝CD,四边形ABCD是矩形吗？为什么？8.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E、F为AB上的两点,且△DAF≌△CBE.求证：四边形ABCD是矩形.9.如图,在△ABC中,点O是AC边上的中点,过点O的直线MN∥BC,且MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,点P是BC延长线上一点. 求证：四边形AECF是矩形.10.如图所示,△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,AE•是∠CAF的平分线且∠CAF是△ABC的一个外角,且DE∥BA,四边形ADCE是矩形吗？为什么？D A CF P E B11.如图,在△AB C 中,AB ＝AC,CD⊥AB 于D,P•为BC 上的任意一点,过P 点分别作PE⊥AB ,PF⊥CA ,垂足分别为E,F,则有PE ＋PF ＝CD,你能说明为什么吗？。

19.1.2矩形的判定(1)一、温故知新1、请叙述矩形的定义。

2、已知：如图，矩形ABCD请写出图中相等的线段以及相等的角。

二、设问导读阅读课本102—103页中内容，并回答下列问题。

1、至少有几个角是直角的四边形是矩形？如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，则四边形ABCD是矩形吗？请写出推理过程A DB C2、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形，正确吗？并说明理由三、自学检测1、两条对角线相等的平行四边形一定是（）A. 矩形B. 菱形C. 矩形或正方形D. 正方形2、下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线互相平分且垂直D．对角线互相平分且相等3、下列说法正确的是（）A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.对角线相等的四边形是矩形C.三条边相等的四边形是菱形D.三个角是直角的四边形是矩形四、巩固训练题组一1、下列说法错误的是（）A.有一个内角是直角的平行四边形是矩形B.矩形的四个角都是直角，并且对角线相等C.对角线相等的平行四边形是矩形D.有两个角是直角的四边形是矩形2、如图，四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O,OA=OC ，OB=OD ，∠ABC=90°，则四边形ABCD 是3、若点O为四边形对角线的交点且OA=OB=OC=OD,则四边形ABCD是（）A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 正方形题组二4、如图，四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O,且AC=BD，则下列能判定四边形ABCD为矩形的是（）A、AB=CDB、OA=OC OB=ODC、AC⊥BDD、AB∥CD AD=BC5、在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BDB．AO=CO，BO=DO，∠A=90°C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BDD．∠A=∠B=90°，AC=BD6、已知，平行四边形ABCD对角线相交于点O，请添加一个条件（只添加一个即可）使平行四边形ABCD是矩形。

华东师大版数学八年级下册第19章矩形、菱形与正方形2.矩形的判定1．(2019·浙江宁波七中月考)在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，再补充一个条件使得四边形ABCD为矩形，这个条件可以是(C)A．AC＝BD B．AB＝BCC．AC与BD互相平分D．AC⊥BD2．(2019·广西桂林期末)如图，在▱ABCD中，M为AD的中点，BM＝CM.求证：(1)△ABM≌△DCM；(2)四边形ABCD是矩形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD.∵M为AD的中点，∴AM＝DM.又BM＝CM，∴△ABM≌△DCM(SSS)．(2)∵△ABM≌△DCM，∴∠A＝∠D.∵AB∥DC，∴∠A＋∠D＝180°.∴∠A＝90°.∴平行四边形ABCD是矩形．3．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是(D)A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量四边形其中的三个角是否都为直角4．如图，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是__∠A＝90°(或∠B＝90°或AD＝BC或AB∥CD)__(写出一种情况即可)．5．(2018·山西长治期中)如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF.∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.求证：四边形EGFH是矩形．证明：∵EH平分∠BEF，GE平分∠AEF，∴∠FEH＝12∠BEF，∠FEG＝12∠AEF.∵∠AEF＋∠BEF＝180°，∴∠FEG＋∠FEH＝12×180°＝90°.同理，∠GFH＝90°.∵AB∥CD，∴∠AEF＋∠CFE＝180°.∴∠GEF＋∠GFE＝12(∠AEF＋∠CFE)＝90°.∴∠G＝90°.∴四边形EGFH是矩形．6．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是(C)A．AB＝CD B．AD＝BCC．AC＝BD D．AB＝BC7．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是__对角线相等的平行四边形是矩形__．8．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD.求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AC＝2AO，BD＝2OD.∵OA＝OD，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．9．(2019·安徽亳州涡阳期末)如图，将▱ABCD的边DA延长到点F，使DA＝AF，CF交边AB于点E.(1)求证：BE＝AE；(2)若2∠D＝∠BEF，求证：四边形ACBF是矩形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD綊BC.∵DA＝AF，∴AF綊BC.∴四边形ACBF是平行四边形．∴BE＝AE.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC綊AB.∴∠D＝∠F AB.∵2∠D＝∠BEF＝∠F AB＋∠AFC，∴∠D＝∠AFC.∴DC＝CF.∴CF＝AB.又四边形ACBF是平行四边形，∴四边形ACBF是矩形．易错点对矩形的判定方法理解错误导致出错10．(教材P105，例6改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，F为BA延长线上的一点，AE平分∠F AC，DE∥BA交AE于点E.求证：四边形ADCE是矩形．证明：∵AB＝AC，AD是角平分线，∴∠B＝∠ACB，AD⊥BC，BD＝DC.∵AE平分∠F AC，∴∠F AE＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠F AE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC.∴AE∥CD.又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形．∴AE綊BD.∴AE綊DC.∴四边形ADCE是平行四边形．又∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．11．(2019·山东临沂中考)如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连结AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是(A)A．OM＝12AC B．MB＝MOC．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND12．(2019·河南新乡期中)如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和1 cm/s，则最快__5__s后，四边形ABPQ成为矩形．13．(2019·贵州安顺中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连结MN，则线段MN的最小值为__125__.14．(2019·河南安阳检测)如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD 上，DF＝BE，连结AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE.又∵DF＝BE，∴四边形DEBF是平行四边形．又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形．(2)∵四边形BFDE是矩形，∴∠BFC＝90°.∵CF＝3，BF＝4，∴BC＝32＋42＝5，∴在▱ABCD中，AD＝BC＝5，∴AD＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DF A.∵DC∥AB，∴∠DF A＝∠F AB，∴∠DAF＝∠F AB，∴AF平分∠DAB.15．(2019·山东青岛中考)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使EG＝AE，连结CG.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB 綊CD ，OB ＝OD ，OA ＝OC ，∴∠ABE ＝∠CDF . ∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点， ∴BE ＝12OB ，DF ＝12OD ，∴BE ＝DF . ∴△ABE ≌△CDF (SAS)．(2)当AC ＝2AB 时，四边形EGCF 是矩形．理由如下： ∵AC ＝2OA ，AC ＝2AB ，∴AB ＝OA .∵E 是OB 的中点，∴AG ⊥OB .∴∠OEG ＝90°. 同理可得CF ⊥OD ，∴EG ∥CF .由(1)知AE ＝CF ， 又EG ＝AE ，∴EG ＝CF . ∴四边形EGCF 是平行四边形．∵∠OEG ＝90°，∴四边形EGCF 是矩形．。