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微分方程中的数学建模实例分析作者：邹佩来源：《科技风》2024年第05期摘要：传统高等数学教学有较好的基础，但是由于教学手段单一，教学内容单调枯燥，学生很难将所学知识应用于实践。
数学建模将实际问题经过分析、抽象、通过合理假设、化简，变化成一个数学问题，再通过数值分析方法求解问题，最后将结果应用于实践。
本文旨在通过多个微分方程模型实例，探讨将数学建模思想和建模方法渗透和融入高等数学课程的教学中，培养和提高学生应用随机数学的思想方法建模、解决实际问题的实践、应用能力。
关键词：数学建模；微分方程；分離变量法；齐次方程微积分是高等数学教学内容中非常重要的一部分，它以极限思想为基础来研究实数函数。
微分方程模型描述的是动态系统，需要通过随时间或空间的演变过程，分析动态对象的变化规律、研究变化特性、预测其未来发展性。
这个过程就需要确定函数和其导数之间的关系，根据建模目的和问题分析作出简化假设，按照内在规律建立微分方程，最终通过对微分方程的求解来指导实践。
一、数学建模实例选择标准高等数学中很多问题和数学建模思想相关，而渗透建模思想的主要途径就是联系实际。
于是选择教学案例时要注意以下几点。
首先，数学建模的实例要简单易懂，学生要能直观感受其中的数学关系，否则会过多占用学生思考时间，影响后续教学进度；其次，案例密切联系实际，既有助于教学内容的理解，又通过对问题的分析，抽象能用学过的知识解决问题；再次，案例要与高等数学的知识范围相关，如果案例中数学知识超出课程大纲范畴，学生难以理解，教学效果得不到保证，而所用知识太简单，又不足以帮助学生深入理解数学建模过程，达不到教学目的；最后，建模案例应具备一定科学性，所选的案例要符合客观事件发展规律，有较严谨的逻辑关系。
二、微分模型实例分析建立微分模型的关键词是“瞬时变化率”，而在实际中应用的表述变化的词有物理学中的速度、经济学中增长率、边际利润等，并且注意对象描述中的绝对增加率和相对增加率的计算。
实验二：微分方程与差分方程模型Matlab 求解专业年级： 2014级信息与计算科学1班 姓名： 黄志锐 学号：201430120110一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。
二、实验内容1．求微分方程的解析解, 并画出图形，解：使用MATLAB 编程计算得出上述微分方程的解析解为：y =3e x −2x −2其解析解图示如图1所示：图1 解析解图示=+2,(0)1,01y y x y x '=<<MATLAB代码运行结果截图如下所示：2．求微分方程的数值解, 并画出图形，解：使用MATLAB编程计算上述微分方程的数值解，并作出其数值解的图示如图2所示：图2 数值解图示cos0,(0)1,(0)0y y x y y'''+===3．两种相似的群体之间为了争夺有限的同一种食物来源和生活空间而进行生存竞争时，往往是竞争力较弱的种群灭亡，而竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量。
假设有甲、乙两个生物种群，当它们各自生存于一个自然环境中，均服从 Logistic 规律。
（1）是两个种群的数量； （2）是它们的固有增长率； （3）是它们的最大容量；（4）为种群乙(甲)占据甲(乙)的位置的数量，并且建立模型如下：)(),(21t x t x 21,r r 21,n n )(12m m .1122;x m x m βα==计算, 画出图形及相轨线图。
解释其解变化过程。
2）121,r r ==设12100,n n ==102010x x ==,=1.5，=0.7，计算, 画出图形及相轨线图。
解释其解变化过程。
解：（1）使用MATLAB 编程实现上述模型，并输入相关参数后，计算得出, 并画出图形及相轨线图如下所示：图3 数值解图示)(),(21t x t x αβ)(),(21t x t x )(),(21t x tx图4 相轨线图详细MATLAB代码如下：由图3、图4可以看出，甲、乙两个生物种群以几乎一致的趋势不断增长，直到达到一个相对稳定的数量。
微分方程建模案例微分方程是数学中的一种重要工具，它被广泛应用于各个领域的建模和问题求解中。
下面将以一个具体的案例来介绍微分方程建模的过程，并通过求解微分方程来解决实际问题。
案例：生物种群的增长模型在生态学中，研究生物种群的增长是一个重要的课题。
种群的增长速度与种群中的个体数量有关。
如果种群中个体数量增加的速度与当前个体数量成正比，可以建立如下的微分方程模型：$$\frac{dN}{dt} = rN$$其中，$N$表示种群的个体数量，$t$表示时间，$r$表示增长的速率。
这个微分方程描述了种群个体数量随时间变化的规律。
解：首先，我们需要求解上述微分方程，得到种群个体数量随时间的函数关系。
这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用分离变量的方法求解。
将微分方程变形为：$$\frac{dN}{N} = rdt$$将方程两边同时积分，得到：$$\int \frac{dN}{N} = \int rdt$$经过积分运算，得到：$$\ln N = rt + C$$其中，$C$为积分常数。
进一步求解，得到：$$N = e^{rt + C}$$根据初始条件，当$t=0$时，$N=N_0$，其中$N_0$为初始种群个体数量。
代入初始条件，解得$C=\ln N_0$，将其代入上述方程，得到最终的解：$$N = N_0e^{rt}$$这个解描述了种群个体数量随时间的增长情况。
接下来，我们来解决一个具体的问题，一个兔子种群的增长情况。
假设初始时刻兔子种群中有100只兔子，增长速率$r=0.02$，那么该种群在未来的10个月内，兔子的数量会如何变化？根据上面的微分方程解，代入初始条件$N_0=100$，$r=0.02$，$t=10$，得到：$$N=100e^{0.02t}$$将$t=10$代入上述方程，可以得到10个月后兔子种群的个体数量：所以，10个月后的兔子种群中大约有122只兔子。
通过这个模型，我们可以预测种群在未来的增长情况，并在实践中应用于生态学、环境保护等领域，为实际问题的决策提供参考。
微分方程和差分方程是数学建模中两个重要的工具，它们在描述和解决现实问题中起到了关键作用。
微分方程描述了变量之间的变化率关系，而差分方程描述了变量在不同时间点之间的差异。
本文将讨论微分方程和差分方程在数学建模中的应用以及它们之间的联系。
首先，微分方程在数学建模中的应用非常广泛。
以生态系统建模为例，人们关心物种之间的相互作用，而微分方程提供了描述这些相互作用的数学工具。
例如，Lotka-Volterra模型是描述捕食者与被捕食者之间的关系，其中包含一组微分方程，描述了捕食者和被捕食者的数量随时间的变化。
另外，微分方程还可以用于描述传染病模型、金融模型等各种实际问题。
其次，差分方程也在数学建模中发挥着重要的作用。
差分方程适用于离散时间点的模型建立。
这种模型可以用于描述各类实际问题，比如金融市场波动、天气预测等。
例如，差分方程可以用来模拟股票价格的变化。
我们可以将股价视作一个时间序列，每个时间点的股价与前一时间点的股价之间存在差异。
通过建立差分方程模型，我们可以预测未来股价的变化趋势。
微分方程和差分方程之间存在紧密的联系。
在某些情况下，当离散时间趋于无穷小时，差分方程可以无限地逼近相应的微分方程。
这个过程被称为“微分方程与差分方程的近似”。
通过这个近似，我们可以将微分方程转化为差分方程进行数值计算，从而得到问题的解决办法。
另外，差分方程也可以通过细化时间步长，将离散的解逼近到连续解，并逼近相应的微分方程解。
在数学建模中，我们需要考虑实际问题的特点，来决定使用微分方程还是差分方程。
一般来说，微分方程适用于描述连续变量之间的关系，而差分方程适用于描述离散变量之间的关系。
根据问题的特点，我们可以选择合适的数学工具，并进行模型建立和求解。
综上所述，微分方程和差分方程在数学建模中是不可分割的。
微分方程用于描述连续变量之间的关系，差分方程用于描述离散变量之间的关系。
虽然它们有着不同的应用场景和数学表达方式，但通过近似和转化，它们可以相互联系，并共同为解决实际问题提供了强有力的工具。
数学建模是一门研究如何用数学方法解决实际问题的学科，它在现代科学、工程技术以及社会经济领域中扮演着重要的角色。
在数学建模的过程中，我们经常会遇到需要描述连续或离散变化的问题，而差分方程与微分方程则成为了解决这类问题的有力工具。
差分方程是描述离散变化的方程，它将一个变量与它在前一时刻或前几个时刻的取值联系起来。
在数学建模中，差分方程常常被用来描述离散的时间或空间变化，比如物种数量的变化、金融市场的波动等。
差分方程最简单的形式是递推式，它用一个前一时刻的变量的值来表示当前时刻的变量的值。
例如，一个典型的一阶差分方程可以写作：$x_{n+1}=f(x_n)$，其中$x_n$表示第$n$个时刻的变量的值，$f(x_n)$表示根据$x_n$计算出的$x_{n+1}$的函数。
通过递推式，我们可以得到变量在不同时刻的取值，进而研究它的变化规律。
微分方程是描述连续变化的方程，它涉及到变量对时间的导数或各个变量之间的关系。
微分方程在数学建模中的应用非常广泛，尤其在物理学、生物学等自然科学领域中经常被用来描述变化的物理现象。
微分方程的形式多种多样，比如一阶线性微分方程、二阶非线性微分方程等等。
一阶微分方程的一般形式可以写作：$\frac{dx}{dt}=f(x,t)$，其中$x$表示一个或多个变量，$t$表示时间，$f(x,t)$表示$x$和$t$的关系。
通过求解微分方程，我们可以得到变量随时间的变化规律，并进一步分析问题。
在实际问题中，差分方程与微分方程往往会相互呼应和融合，一些问题既可以用差分方程描述离散变化，也可以用微分方程描述连续变化。
这时，我们可以通过将差分方程转化为微分方程或将微分方程离散化为差分方程来求解问题。
例如，在人口增长的问题中，我们可以通过建立一个差分方程来描述每一年的人口数量，而利用微分方程的分析方法可以得到人口增长的长期行为。
又例如，在物理学中，连续介质的运动可以用微分方程描述，而粒子的运动可以用差分方程描述。
§2 生态系统一、一阶常系数线性差分方程),2,1,0()(1 ==++n n f ay y n n其通解是对应齐次方程),2,1,0(01 ==++n ay y n n的通解n n a C y )(-=加上原方程的一个特解*y 。
*y 的算法是待定系数法。
（1）m n P n f m -=)()(次多项式⎩⎨⎧-=-≠==1,11,0,)(*a a k n Q n y m k（2）-=n bd n f )(指数函数⎩⎨⎧-=-≠==d a d a k d An y nk ,1,0,* 二、应用举例设想在一个长满了青草的小荒岛上栖息繁衍着一群野兔。
开始时共有野兔0y 只，我们来研究其数目随时间变化的规律。
假设第n 年野兔的数目用n y 表示。
记第0年的野兔数为0y 。
（1）先作如下的假设：下一年野兔的净增加数目和上一年的数目成正比，且比例系数是一个常数，记为)1(>K K 。
这种假设是很合理的，因为在野兔的食物——青草非常充足的条件下，一年内新出生的野兔数和成年母兔数成正比，而成年母兔数又和野兔总数成正比，因而一年内新出生的野兔数和野兔总数成正比。
另一方面，一年内死亡的野兔数大体也和野兔总数成正比。
这样，第n 年野兔的净增加数（出生数减去死亡数）1--n n y y 和上一年野兔的数目1-n y 成正比，即可以列出方程：11--'=-n n n y K y y移项整理后得到方程1-=n n y K y （1） 这里1+'=K K 。
这是一阶常系数齐次线性差分方程。
可以计算出第n 年的野兔总数为n n K y y 0=。
这个描述野兔数目的模型是否合理呢？假设4.1=K ，1000=y ，计算对应的n y 值列表如下： n 01 2 3 4 8 10 15 20 50 n y 100 140 196 274 384 1 475 2 893 15 57683 668 20(亿) 这是一个按指数增长的量，由表中数据我们发现，50年后野兔的总数为20亿！也许有人会认为4.1=K 太大，但是对于一年可以生育2~3次的兔子来说4.1=K 不应该算太大。
第七章 常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。
微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。
特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。
【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。
【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。
理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。
了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。
会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。
【考点分析】本章包括三个重点内容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。
求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。
2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。
利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。
若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。
差分方程作业题
黄冈职业技术学院
宋进健 胡敏 熊梦颖
1．一对年轻夫妇准备购买一套住房，但缺少资金近6万元。
假设它们每月可有节余900元，且有如下的两种选择：
(1)使用银行贷款60000元。
月利率0.01，贷款期25年=300个月； (2) 到某借贷公司借贷60000元，月利率0.01，22年还清。
只要（i ）每半个月还316元，(ii) 预付三个月的款。
你能帮他们做出明智的选择吗？ 模型假设：
（1）银行及借贷公司在贷款期限内利率不变; （2）不考虑物价变化和经济等因素从而影响利率；
（3）银行利息按复利计算且单位时间可任意缩短至时间变量连续性变化 建立模型：
对第一种情况有: 设n 年期贷款月利率为r ，共贷款 元，贷款后第k 个月时欠款余额为 元，月还款m 元。
模型求解：
由MATLAB 得出结果m=631.9345 建立模型：
对第二种情况有: 设n 年期贷款半月利率为r ，共贷款A 0元，贷款后第k 个月时欠款余额为A k 元，半月还款m 元。
模型求解：
()()
011
1,k
k
k r A A r m k N
r
+-=+-∈1
0)1()1(300
300
300
-=
⇒=++r r A A
r m N
k m r A
A
k
K ∈-+=+,)
1(1
N
k m r A
A
k
K ∈-+=+,)
1(1
()()
011
1,k
k
k r A A r m
k N
r
+-=+-∈1
0)1()1(528
528
528
-=
⇒=++r r A A
r
m A k A 0
由MATLAB 得出结果m= 313.0038
模型分析：由第一种方式计算m=631.9345小于月节余额900元，能够承受月还款；由第二种方式计算m= 313.0038小于借贷公司要求没半个月还款316元，如果按照借贷公司要求则每月还款为632元大于第一种还款方式631.9345元，故选择第一种还款方式。
2. 在一城市的某商业区内，有两家有名的快餐店“肯德基”分店和“麦当劳”分
店。
据统计每年“肯德基”保有其上一年老顾客的1/3，而另外的2/3顾客转移到“麦当劳”；每年“麦当劳”保有其上一年的老顾客的1/2，而另外的1/2顾客转移到“肯德基”。
用二维向量X k =[x k y k ]T 表示两个快餐店市场分配的情况，初始的市场分配为X 0 = [200 200]T
如果有矩阵L 存在，使得 X k +1 = LX k ，则称 L 为状态转移矩阵。
（1） 写出X k =[x k y k ]T 和X k+1=[x k +1 y k +1]T 的递推关系式，以及状态转移矩阵L 。
（2） 根据递推关系计算近几年的市场分配情况；
模型假设：
（1） 当前的肯德基和麦当劳的市场份额继续不变。
（2） 肯德基和麦当劳不推出优惠活动和新的经营计划。
模型建立：
初始的市场分配数量为：200,2000
0==y x
以一年为一时间段，则某时刻两个快餐店的顾客数量可用向量]
,[1
1y x T
X =表
示。
用向量]
,[y x X k
k T
k =表示第K 年两个快餐店顾客数量分布。
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+
=
+
=
++x
y
y
y x
x k
k
k k
k
k 3
22
121311
1
模型求解：
故X k =[x k y k ]T
和X k+1=[x k +1
y k +1]T 的递推关系式为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+
=+
=++x
y
y y x
x k
k
k k
k
k 3
221
21311
1，状
态转移矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=3221213
1
L
由初始数据计算近几年的市场分配情况，MATLAB 程序如下：
x0=[200;200];
L=[1/3,1/2; 1/2,2/3]; X=x0;
x(1)=X(1);y(1)=X(2); for k=2:6 X=L*X;
x(k)=X(1);y(k)=X(2); end t=0:5;
figure,bar(t,x), figure,bar(t,y) 运行结果如下：
1
2
3
4
5
20406080100120140160180
200
肯德基五年内市场分配情况
012345
50
100
150
200
250
300
麦当劳五年内市场分配情况。
