11映射与函数

映射与函数知识点总结一、映射与函数的概念1.映射的定义：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的一些元素的规律称为映射。

对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有一个元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的映射。

记作f：A→B。

2.函数的定义：函数是一种特殊的映射，它满足每个元素a∈A只能对应一个元素b∈B的规律。

对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有唯一的元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的函数。

记作f：A→B。

3.定义域和值域：函数f的定义域是指所有可能作为函数输入的数的集合，通常用符号D(f)表示；函数f的值域是指函数所有可能的输出的数的集合，通常用符号R(f)表示。

二、映射与函数的性质1.单射：也称为一一对应，指当对于集合A中的不同元素a1和a2，它们在集合B中的对应元素f(a1)和f(a2)也不相同。

换句话说，每个元素a∈A都对应着集合B中唯一的元素。

2.满射：也称为映满函数，指函数的值域与集合B相同，即函数的所有可能的输出都在集合B中。

3.双射：即同时满足单射和满射的函数，也称为一一映射。

4.奇函数和偶函数：如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f是奇函数；如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f是偶函数。

5.反函数：如果函数f的定义域和值域都是实数集，且对于函数f中的每一对实数(x,y)，都有y=f(x)，则存在一个函数g，使得对于函数g中的每一对实数(y,x)，都有x=g(y)。

这样的函数g称为函数f的反函数。

三、映射与函数的应用1.函数关系式：映射与函数可以描述实际问题中的各种关系，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

通过分析函数关系式，我们可以了解函数的性质和特点，从而应用到各种实际问题中。

2.函数的图像：通过绘制函数的图像，可以直观地表达函数的变化规律，了解函数的增减性、奇偶性、周期性等。

映射和函数的分类与性质一、映射的概念与性质1.映射：从集合A到集合B的一种规则，使得A中任意一个元素x，在B中都有唯一的元素y与之对应。

2.映射的性质：a)单射性（一一对应）：对于A中的任意两个不同元素x1、x2，在B中对应的元素y1、y2也不同，即y1 ≠ y2。

b)满射性（覆盖）：对于B中的任意元素y，存在A中的元素x与之对应。

c)域和值域：映射的定义域为集合A，值域为集合B中所有可能的输出值。

二、函数的分类1.线性函数：形如y = kx + b（k、b为常数）的函数，其中k≠0。

2.非线性函数：不包括线性函数的函数，如二次函数、指数函数、对数函数等。

3.单调函数：a)单调递增函数：对于定义域内的任意两个不同元素x1、x2，若x1 < x2，则f(x1) ≤ f(x2)。

b)单调递减函数：对于定义域内的任意两个不同元素x1、x2，若x1 < x2，则f(x1) ≥ f(x2)。

4.奇函数与偶函数：a)奇函数：满足f(-x) = -f(x)的函数。

b)偶函数：满足f(-x) = f(x)的函数。

三、函数的性质1.连续性：函数在每一点上都存在极限，且极限值等于函数值。

2.可导性：函数在某一点可导，意味着在该点处存在切线，且切线斜率等于函数导数值。

3.周期性：函数满足f(x + T) = f(x)，其中T为函数的周期。

4.奇偶性：根据奇函数和偶函数的定义，函数的奇偶性决定了其在y轴对称或关于原点对称。

四、映射与函数的关系1.函数是特殊的映射：函数是一种映射，具有单射性、满射性和域值域的概念。

2.函数的定义域和值域：函数的定义域为映射的输入集合，值域为映射的输出集合。

五、映射和函数的应用1.数学领域：在数学分析、线性代数、概率论等领域中，映射和函数是基本概念，用于描述变量之间的关系。

2.物理学：在物理学中，函数用于描述物理量随另一物理量的变化规律，如速度与时间的关系。

3.计算机科学：在计算机科学中，函数用于实现算法，映射概念用于哈希表等数据结构的设计。

映射与函数的概念与性质随着数学领域的不断发展，映射与函数的概念与性质也逐渐被人所熟知。

那么，什么是映射与函数呢？它们又有哪些特性呢？让我们一起来探讨一下。

一、映射的概念和性质映射是指将集合A中的每一个元素都对应唯一的集合B中的一个元素的规律。

我们也可以将其称之为映照、映像或者变换。

关于映射，我们可以了解以下几点性质：（1）如果A中的每一个元素都有对应B中的元素，则我们称之为映射f：A→B。

其中A称之为“定义域”，B称之为“到达域”。

（2）如果集合A中有两个元素x和y，在B中它们分别对应了f(x)和f(y)，那么就表示f(x)和f(y)具有重合的情况。

（3）如果B中存在一个元素y，使得在A中有多个元素x1、x2、……、xn，它们对应的f(x1)、f(x2)、……、f(xn)均为y，则我们称f(x1)、f(x2)、……、f(xn)在B中具有重合的情况。

（4）我们可以将映射看作是一种相对关系，即若A与B中仅有x和y两个元素，则我们可以有以下三种类型的映射：①单射：若x和y在B中的形式不同，则我们称此时的映射是“单射”。

②满射：若映射中每个元素都被映射到了B中，则我们称此时的映射是“满射”。

③一一映射：如果一个映射既是单射，又是满射，则我们称之为“一一映射”。

二、函数的概念和性质函数也是映射的一种，它实际上是将一个集合映射到另一个集合的过程中，其中定义域和到达域都是实数集。

对于函数，我们可以了解以下几点性质：（1）如果函数y=f(x)既有定义域又有到达域，则可以认为f(x)是一个函数。

（2）函数的定义域和到达域都必须是实数集，同时，函数的定义域中的每一个元素都必须在函数的定义范围内。

（3）函数的定义域中两个元素x1和x2必须是不同的。

如果它们是相同的，则我们认为f(x1)和f(x2)也是相同的。

（4）每一个实数，都必须有且只有一个对应的函数值。

（5）如果函数y=f(x)中所有的函数值都大于零，则我们称f(x)是正函数。

高中数学知识点：函数、映射的概念1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。

（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。

2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x∈A}叫做函数f （x）的值域。

显然值域是集合B的子集。

3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。

值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。

4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。

映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。

映射与函数的关系
映射与函数的关系：
相同点: (1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A中元素具有任意性,B 中元素具有唯一性；
区别：函数是一种特殊的映射,它要求两个集合中的元素必须是数,而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。

注意：有时函数和映射的对应法则可以用含有两个变量的等式来表示,在函数中这个式子叫解析式映射是特殊的对应即由集合 ,集合和对应法则f三者构成的一个整体,映射的特殊之处在于必须是多对一和一对一的对应；
映射的定义: 设X,Y 是两个非空集合,若对X 中的任意一个元素x ,按照一定的法则总有确定的 Y中元素y 与之对应,则称这个对应是集合X到Y 的一个映射. 若映射定义中的一般集合X,Y 为数集,我们称映射f 为函数,所以函数是一种特殊的映射,函数也可用如下定义。

函数的定义：设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时,变量y按照一定的法则总有确定的数值和它对应,则称y是x函数，记作 y=f（x）。