沪教版(上海)八年级下册数学 21.6 二元二次方程组的解法 同步练习

二元二次方程组的解法4、 新课探索四（1）由上述探究，你对解:yn+1, r x 2+2y 2-l=0}' x J +y 2=13; ； [ x-y+1 =0…这种类型的二元二次方程组的基本思想和方法有什么认识 ？ 试一试解方程组："4x2-9护二15,①〔2x-3y=5. ②5、 新课探索四（2）[4*-9护二15,①解方程组:12x-3y=5.②r3x-y=5, 、英+y二—匚想一想解二元一次方程组的基本思想是什么 ？有哪些方法？琏化（洞元）1— 丄 …__ ”一元 代入法 加减法 “消元”、“降次”是解方程（组）的基本思想。

知识呈现: 1、新课探索一 观察下列三个二元二次方程组有什么共同特点 rx 2+2y 2-l=0,x —y+1二0;(1》鷲;爲⑵] 、4x 2-9y 2=15, .2x-3y=5.根据解方程（方程组）“消元”、“降次”转化的基本思想，你会解上述各 方程组吗？ 试一试解方程组（1）. 2、新课探索二 解方程组: y=x+l f ① x 2+y 2=13.②3、新课探索三 请解方程组:x-+2y 2-l=0,®x-y+l=O.②指出：代入多 项式时常添加 括号，不要忘 记回代.解释：不 同的回代途径 得出不同的结 果，因此回代 哪个方程不是 盲目的.解这个方程组时，可以先将 ②变形，得x= 5 3y ，代入①，求出y,然后2再“回代”，求出x,从而求得方程组的解（采用“代入消元法”解）. 观察上述方程的特点，想想还有其它不同的解法吗 ？6、新课探索五对于含一个二元一次方程的二元二次方程组，采用代入消元法解方程组 的一般步骤流程图表述为：7、课内练习一1.解下列方程组：⑴ F-：3y 二0,⑵（区-勿二5,U [ x 2+y 2=20;"'I x 2-y 2-2x+3y-7=0;lxy-12.②f x 2+y 2=8t ①2.从方程组 八：.中消去y ，得关于x 的二次方程.当m=3时，这个关于x 的方程有几个实数根 ？当m=4时呢？当m=5时呢？3、由上述练习，请思考：当m 为何值时，关于x ，y 的方程组 r x 2+y 2=&*• x+y 二m 有一个解?并且求出这个解.课堂小结： 解二元二次方程组的基本思想是“消元”、“降次”对于含一个二元一次方程的二元二次方程组 ，采用代入消元法解方程组的一般步骤流程图表述为：皋無数开绐一用另一^木如就一代入消元的代義式義示Y 代—方理归纳出“代入 消元法”解含 有二元一次方 程的二元二次 方程组的解题 过程的流程 图，疏通思维， 明确指向•学生通过自己的解题计算， 巩固解二元二 次方程组的基 本技能•。

(完整版)二元二次方程解法练习题(四种方法)引言二元二次方程是一个常见的数学问题，解决这类问题可以帮助我们进一步理解二次方程的性质和求解方法。

本文将介绍四种不同的方法来解决二元二次方程，并提供相应的练题，以帮助读者巩固所学的知识。

方法一：代入法代入法是一种简单直接的解法，通过将一个方程的解代入到另一个方程中，从而求得未知数的值。

以下是一个代入法的例子：例题：求解方程组\begin{align*}3x^2-4y^2&=5 \\x+y&=3\end{align*}解法：1. 将第二个方程中的 $x$ 替换为 $3-y$，得到新的方程 $3(3-y)^2-4y^2=5$。

2. 将该方程整理并解得 $y=1$。

3. 将 $y=1$ 代入第二个方程，解得 $x=2$。

因此，该方程组的解为 $x=2$，$y=1$。

练题：1. 求解方程组\begin{align*}2x^2-3y^2&=4 \\x+y&=2\end{align*}2. 求解方程组\begin{align*}4x^2-5y^2&=8 \\2x+y&=3\end{align*}方法二：消元法消元法是另一种常用的解法，通过将两个方程相加或相减，并适当选择系数，使得其中一个未知数的系数相同而相消，从而求解另一个未知数。

以下是一个消元法的例子：例题：求解方程组\begin{align*}2x^2-3y^2&=4 \\5x-2y&=1\end{align*}解法：1. 将第二个方程乘以 2，得到 $10x-4y=2$。

2. 将第一个方程乘以 5，得到 $10x^2-15y^2=20$。

3. 将第三步的方程与第二步的方程相减，得到$15y^2-4y=18$。

4. 解方程 $15y^2-4y=18$，得到 $y=2$。

5. 将 $y=2$ 代入第一个方程，解得 $x=1$。

因此，该方程组的解为 $x=1$，$y=2$。

八年级数学下册21.6二元二次方程组的解法1教学设计沪教版五四制一. 教材分析《沪教版五四制》八年级数学下册21.6节，主要讲述了二元二次方程组的解法。

这部分内容是整个初中数学的重要部分，也是学生学习数学的难点之一。

教材通过引入二元二次方程组的概念，让学生了解并掌握其解法，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了初一、初二级别的数学知识，对解一元二次方程、解二元一次方程组等概念有一定的了解。

但二元二次方程组作为一种新的方程形式，其解法较为复杂，需要学生进行适当的过渡和引导。

三. 说教学目标1.让学生理解二元二次方程组的概念，掌握其解法。

2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

四. 说教学重难点1.重点：二元二次方程组的概念及其解法。

2.难点：如何将实际问题转化为二元二次方程组，并灵活运用解法求解。

五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二元二次方程组的解法。

2.利用多媒体手段，如PPT、视频等，生动展示二元二次方程组的解法过程。

3.分组讨论，让学生在团队中互相学习，提高协作能力。

六. 说教学过程1.引入新课：通过一个实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决此类问题。

2.讲解概念：介绍二元二次方程组的概念，让学生理解其含义。

3.演示解法：利用多媒体手段，展示二元二次方程组的解法过程。

4.练习巩固：让学生通过练习题，巩固所学解法。

5.拓展应用：引导学生将实际问题转化为二元二次方程组，并求解。

6.总结反馈：对学生的学习情况进行总结，查漏补缺。

七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出二元二次方程组的概念和解法。

主要包括以下几个部分：1.二元二次方程组的定义2.二元二次方程组的解法步骤3.实际问题转化为二元二次方程组的例子八. 说教学评价教学评价主要包括两个方面：1.过程评价：观察学生在课堂上的参与程度、思考问题的深度以及团队协作能力。

二元二次方程组的解法一、课本巩固练习1、解下列方程。

()2230120x y x y -=⎧⎨+=⎩()222522370x y x y x y -=⎧⎨-+++=⎩()7312x y xy +=⎧⎨=⎩ 2、有一位同学，最本节例题1的解题过程与课本有所不同，他在求1220,3y y ==后，后面的解题过程如下：把10y =带入1中得，222010x +⨯-=解这个方程，得1x =± 把223y =代入1中得，2222103x ⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭解这个方程，得13x =± 所以，方程组的解是111;0;x y =⎧⎨=⎩,221;0;x y =-⎧⎨=⎩,33132;3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩441;32;3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩这位同学的解法正确吗？为什么？3、从方程组228x y x y m⎧+=⎨+=⎩中消去，得到关于x 的二次方程，当x=3时，这个关于 x 的方程有几个实数解？当m=4时呢？当m=5时呢？4、解方程组()()()2208x y x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩时，可以根据其特点把它化成两个方程组，这两个方程组是：____________________________，_______________________________5、解下列方程：()222223013x xy y x xy y ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩ ()()()222292320x xy y x y x y ⎧++=⎪⎨---+=⎪⎩二、基础过关1、方程组222220,440x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩可转化为方程组 和方程组 ，然后用 来解。

2、方程(1)(2)(3)(4)1x x x x ++++=-的解是3、若方程2226x y +=和3mx y +=只有一个公共实数解，那么m 的值为（ ）A ．1B ．—1C ．0或1D ．1或—14、解方程组 230(1)10x y x y --=⎧⎨++=⎩（2006上海中考题）22226024x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩（2）（3）⎪⎩⎪⎨⎧=++=+0423-513242-351-2y x y x5、（1）方程30xy x -+=有几个解？其中x 、y 的值互为倒数的解是什么？（2）方程30xy x y -++=有几个解？其中x 、y 的值互为相反数的解是什么？6、从方程组22410 ,0 .x x y x y m ⎧--+=⎨-+=⎩中消去y ，得到关于x 的二次方程，当这个关于x 的二次方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。

21.5 二元二次方程和方程组一、课本巩固练习1、 如图，有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1,那么直角三角形的两条边长是多少?2、 某剧场管理人员为了让观众有更舒适的欣赏环境，对座位进行了调整，已知剧场原有座位500个，每排的座位数一样多，现在每排减少2个座位，并减少了5排，剧场座位数相应减少345个，剧场原有座位的排数是多少?每排有多少个座位？3、.下列方程中，哪些是二元二次方程？()()()()22221123201320431x y y y y x xyx y +=-+=+-=++=二、基础过关一、填空题1、关于x ，y 的二元一次方程2227ax y -=-的一个解是12x y =-⎧⎨=⎩，那么 a=__________2、方程1112x y xy +=⎧⎨=-⎩的解为__________3、若()2222310520x y y x y --++-=，则x=________，y=________4、若方程23y x y k x⎧=⎨-=⎩有两组相同的解，则k=________二、选择题1、下列方程中，二元二次方程是( ) A. 211x y += B. 221x y -= C. 2340x x +-= D. 52x y y x -= 2、利用代入法解方程2217169x y x y +=⎧⎨+=⎩，消去x 可得方程( ) A. 217600y y ++= B. 217600y y -+= C. 22171200y y ++= D. 22171200y y -+= 3、如果方程组x y a xy b+=⎧⎨=⎩；无实数解，则a ，b 应满足的条件是( ) A. 24a b < B. 24a b > C. 24a b = D. 24a b ≥ 4、当2m=n 时，方程组242y x n y x m⎧-=⎨-=⎩的解的情况是( )A.有一个实数解B.有两个实数解C.没有实数解D.不能确定5、如果14x y =⎧⎨=⎩是方程组x y a xy b +=⎧⎨=⎩的一个解，那么这个方程组的另一个解是( ) A ． 41x y =⎧⎨=⎩ B.14x y =-⎧⎨=-⎩ C. 41x y =-⎧⎨=-⎩ D. 41x y =⎧⎨=-⎩ 6、如果方程组23295x y x y ⎧+=⎨+=⎩的两个实数解是1112x y αβ=⎧⎨=⎩，2222x y αβ=⎧⎨=⎩，那么1212αββα+的值( )A. 103B. 533C. 13D.1 三、解方程1、222252112x y x y xy +=⎧⎨+--=⎩2、222210430x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩四、试写出一个一元二次方程，使该方程有一个解是21x y =⎧⎨=-⎩。

二元二次方程及方程组【知识要点】1、二元二次方程：含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．2、二元二次方程组：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组．3、解二元二次方程组的基本思想和方法： 解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和 “降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。

因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。

【典型例题】一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组例1-1、解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩例1-2、解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩ 二、由两个二元二次方程组成的方程组1．可因式分解型的方程组例2-2、解方程组22225() (1)43 (2)x y x y x xy y ⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩例2-2、解方程组2212 (1)4 (2)x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 例2-3、解方程组2226 (1)5 (2)x y xy ⎧+=⎨=⎩2．可消二次项型的方程组例3、解方程组 3 (1)38 (2)xy x xy y +=⎧⎨+=⎩【大展身手】1．解下列方程组：(1) 26x y y x ⎧+=⎨=⎩(2) 22282x y x y ⎧+=⎨+=⎩ (3) 221235x y x xy y +=⎧⎨++=⎩ (4) 2203210x y x xy -=⎧⎨+=⎩2．解下列方程组：(1)32x y xy +=-⎧⎨=⎩ (2) 16x y xy +=⎧⎨=-⎩3．解下列方程组：(1) 2(23)01x x y x -=⎧⎨=-⎩(2) (343)(343)0325x y x y x y +-++=⎧⎨+=⎩ (3) 22(2)()08x y x y x y -++=⎧⎨+=⎩(4) ()(1)0()(1)0x y x y x y x y ++-=⎧⎨---=⎩ 4．解下列方程组：(1) 22223x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ (2) 168xy x xy x +=⎧⎨-=⎩ 【能力提升训练】1．解下列方程组：(1) 2232320x y x y x +=⎧⎨-+-=⎩(2) 22231234330x y x xy y x y -=⎧⎨-+-+-=⎩2．解下列方程组：(1) 32x y xy -=⎧⎨=-⎩ (2) 24221x y xy +=⎧⎨=-⎩3．解下列方程组：(1) 2222384x y x xy y ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩(2) 224221x y xy ⎧+=⎨=-⎩ 4．解下列方程组：(1) 2252x y xy ⎧+=⎨=-⎩(2) 22410x y x y +=⎧⎨+=⎩。

上海市八年级第二学期数学专题05 二元二次方程组与列方程（组）解应用题【考点剖析】 1.二元二次方程22(1)(2)(3)0(,,,,,(,42)2,ax bxy cy dx ey f a b c d f b c e a ⎧⎪⎪⎪+++++=⎨⎪⎪⎪⎩定义：仅含有未知数，并且含的最高次数是的方程；理解：；含有两个未知数；含有最高次数是.一般形式：是常数，且至少有一个不为零)解：能使二元二次方程左右两边两个未知数的项整式整式方程未知数的项一的值相等的的值.对未知数①②③ 2.二元二次方程组2(1)(2)⎧⎪⎨⎪⎩定义：仅含有，各方程是，并且含有的 最高次数是的；二元二次方程组的解:方程组中所含各方两个未知数整式方程未知数的项程的解.方程组公共 3.二元二次方程组的解法⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩基本思想二元二次方程组的解法题型一基本题型题型二 (1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次. (2)题型一：解方程组⎧⎨⎩；二元二次方二方程程.元一次即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.方法：代入消元法；一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解.(3)题型二：解方程组⎧⎨⎩二元二次方程；二元二次方程.（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式）方法：因式分解法；解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解.4.列方程（组）解应用题()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩审题；；；一般：解方程；；作答列解决问题设元列方程步骤检验一元二次方程高次方程分式方程；列方程组解应用题列简单的解决问题；列解决问题列解决问题列解决问题无理方程方程组①②③④⑤⑥.【典例分析】例题1（金山2018期中3）下列方程中，有实数解的是（ ） A.111x x x =--； B.220x +=；10=； D.220x y +=.【答案】D ；【解析】A 、解得1x =是增根，因此A 无实数根；B 、无实数根；C 、无实数根；D 、方程的解为00x y =⎧⎨=⎩；因此答案选D.例题2 （杨浦2019期中9）将方程组：22225601x xy y x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 转化成两个二元一次方程组分别是和 . 【答案】22222030,11x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩； 【解析】22225601x xy y x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩①②，由①得(2)(3)0x y x y --=，所以2030x y x y -=-=或，故原方程组可化为22222030,11x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩. 例题3（青浦2018期末20）解方程组：22860x y x xy y +=-⎧⎨+-=⎩. 【答案】16123483x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或；【解析】解：22860x y x xy y +=-⎧⎨+-=⎩①②，由②，得（x+3y ）（x ﹣2y ）＝0，即x+3y ＝0或x ﹣2y ＝0，所以原方程组可转化为：883020x y x y x y x y +=-+=-⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩或，解方程组，得16123483x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或.所以原方程组的解为：16123483x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或. 例题4 (奉贤2018期末19)解方程组：2242x y x y xy-=⎧⎨-=⎩. 【答案】121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩； 【解析】解：2242x y x y xy -=⎧⎨-=⎩①②由①得：x =4+y ③，把③代入②得：22(4)2(4)y y y y +-=+，解得：y 1=4，y 2=-2，代入③得：当y 1=4时，x 1=8，当y 2=-2时，x 2=2，所以原方程组的解为：121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩． 例题5（金山2018期中24）为改善生态环境，某村计划在荒坡上种1000棵树. 由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？ 【答案】40棵；【解析】解：设有的计划每天种x 棵，根据题意得：10001000510x x -=+，去分母整理，得： 21020000x x +-=， 解得1240,50x x ==-，经检验：1240,50x x ==-都是原方程的根，但50x =-不合题意，舍去. 答：原计划每天种树40棵. 【真题训练】 一、选择题1.（松江2018期中16）下列方程组中，是二元二次方程组的是（ ）A.12x y x y +=⎧⎨-=⎩；B.22231310x y x y⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩； C.21x y xy -=⎧⎨=⎩； D.313x y xy y x ⎧+=⎨=-⎩.【答案】C ；【解析】根据“二元二次方程组”定义满足三个条件：含两个未知数，最高次数是2次，整式方程；故A 、B 、D 不是，C 是二元二次方程组；因此答案选C.2. （黄浦2018期中5）方程组222x y x y k⎧-=⎨-=⎩有实数解，则k 的取值范围是（ ）A.3k ≥；B.3k =；C.3k <；D.3k ≤. 【答案】D ；【解析】解：222x y x y k ⎧-=⎨-=⎩①②，由②得，y=2x-k ③，把③代入①，得x 2-（2x-k ）=2，∴△=4-4（k-2）≥0，解得k≤3，故选：D ．3. （浦东2018期中5）在单元考试中，某班同学解答“由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解为121222,44x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩，试写出这样的一个方程组题目，出现了下面四种答案，其中正确的答案是（ ）A.68x y xy +=⎧⎨=⎩； B. 26x y y x +=-⎧⎨=⎩； C.22220y x x y =⎧⎨+=⎩； D. 22820xy x y =⎧⎨+=⎩【答案】C【解析】解：A 、第二个解不符合方程组中的第一个方程，所以方程组不符合，故本选项不符合题意； B 、第一个解不符合方程组中的第一个方程，所以方程组不符合，故本选项不符合题意； C 、两个解都是方程组的解，方程组也满足由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，故本选项符合题意； D 、方程组不是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，故本选项不符合题意； 故选：C ．4．（静安2018期末4）某校计划修建一条500米长的跑道，开工后每天比原计划多修15米，结果提前2天完成任务．如果设原计划每天修x 米，那么根据题意可列出方程（ ） A.500500215x x -=+； B. 500500215x x -=+； C. 500500215x x -=-； D. 500500215x x-=-. 【答案】A ；【解答】解：设原计划每天修x 米，则实际每天修（x+15）米．由题意，知原计划用的时间为500x天，实际用的时间为：50015x +天，故所列方程为：500500215x x -=+．故选：A ．二、填空题5.（崇明2018期中17）已知22(4)0x y -+=，则2x y += .【答案】16； 【解析】由已知22(4)0x y -+=可得：x=4，y=0，因此224016x y +=+=.6．（浦东四署2018期中11）将二元二次方程2221x xy y -+=化为二个二元一次方程为 ． 【答案】1,x y -=1x y -=-；【解析】由2221x xy y -+=得2()10x y --=即(1)(1)0x y x y ---+=，所以1,x y -=1x y -=-. 7. （松江2019期中11）已知12x y =⎧⎨=⎩是二元二次方程2221ax y -=的一个解，那么的值是_____________．【答案】9【解析】解：将12x y =⎧⎨=⎩代入方程2221ax y -=得，a ﹣8=1，解得a=9.故答案为：9.8.（松江2018期中11）某商品原价为180元，连续两次提价x%后售价为300元，依题决可列方程： . 【答案】2180(1%)300x +=；【解析】180元的商品连续两次提价x%后为2180(1%)x +，故得方程2180(1%)300x +=.9.（松江2018期中12）某花木园，计划在园中载96棵桂花树，开工后每天比计划多种2棵，结果提前4天完成任务. 设实际每天载x 棵桂花树，则可列出方程为 . 【答案】969642x x-=-； 【解析】原计划时间为：962x -，实际上所用时间为96x，因为实际提前4天完成，故得方程为：969642x x -=-.10．（浦东四署2018期中14）李强同学借了一本书共280页，要在两周的借期内读完，当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.求他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则可列方程为________________ 【答案】140140+=1421x x +； 【解析】依题李强读前一半时间为140x ，读后一半的时间为14021x +，故140140+=1421x x +. 11．（青浦2018期末16）某学校准备用2400元购买一批学习用品，已知甲种学习用品的单价比乙种学习用品的单价少2元，若用这些钱全部购买甲种学习用品比全部购买乙种学习用品可多买200件，问：这两种学习用品的单价分别是多少元？若设乙种学习用品的单价为x 元，那么根据题意可列方程 ． 【答案】240024002002x x-=-; 【解析】解：设乙种学习用品的单价为x 元，则甲种学习用品单价为（x ﹣2）元，根据题意，得240024002002x x -=-．故答案为240024002002x x-=-． 12．（静安2018期末13）某厂去年1月份的产值为144万元，3月份下降到100万元，求这两个月平均每月产值降低的百分率．如果设平均每月产值降低的百分率是x ，那么列出的方程是 ． 【答案】2144(1)100x -=；【解答】．解：设平均每月产值降低的百分率是x ，则2月份的产值为144(1)x -万元，3月份的产值为2144(1)x -万元，根据题意，得2144(1)100x -=．故答案为2144(1)100x -=．三、解答题13.（崇明2018期中23）2223230x y x xy y -=⎧⎨--=⎩①②【答案】111191,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩； 【解析】解：由②得：(3)()0x y x y -+=即300x y x y -=+=或，原方程组可变为：2323300x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩或，解之得111191,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩.故原方程组的解为111191,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩； 14.（松江2018期中23）解方程组：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②.【答案】121231,11x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩； 【解析】解：由②得：2x y =+③，将③代入①得：22(2)2(2)30y y y +-+-=，整理得：21y =，解得11y y ==-或，将1y =代入②得3x =，将1y =-代入②得1x =. 所以原方程组的解为121231,11x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩. （此题也可以将①分解成两个二元一次方程，然后与②联立得两个二元一次方程组去求解，过程略）15.（浦东一署2018期中23）解方程组22()()08x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩.【答案】312412342222,,,2222x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-===-⎩⎩⎩⎩；【解析】解：由原方程组变形得：222200,88x y x y x y x y +=-=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩，解得121222,22x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，343422,22x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩．故原方程组的解为：312412342222,,,2222x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-===-⎩⎩⎩⎩.16.（浦东四署2019期中22）解方程组：221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩. 【答案】121240,31x x y y =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩；【解析】解：221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩①②，把①代入②得：224(1)4(1)4x x x x -+++=，整理得240x x +=，解得40x x =-=或，当4x =-时，3y =-；当0x =时，1y =，所以原方程组的解为121240,31x x y y =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩.17. （松江2019期中22）解方程组：2256012x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩①②.【答案】121289,43x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩； 【解析】解：由①得2030x y x y -=-=或，所以原方程组可化为：20301212x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩或，解这两个方程组得：121289,43x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ . 所以原方程组的解为121289,43x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩. 18．（普陀2018期末21）解方程组：223020x y x y -=⎧⎨+=⎩.【答案】1212x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩【解析】解：223020x yx y-=⎧⎨+=⎩①②由方程①，得3x y=，将3x y=代入②，得22(3)20y y+=，整理，得22y=，解这个方程，得12y y==，将1y代入3x y=，得1x=，将2y=代入3x y=，得2x=-1212x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩．19．（静安2018期末20）解方程组：2222320344x xy yx y⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩①②.【答案】34121234x xx xy yy y⎧⎧==⎪⎪⎧⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎪⎩⎩==⎪⎪⎩⎩【解答】解：2222320344x xy yx y⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩①②由①，得（x﹣y）（x﹣2y）＝0，∴x﹣y＝0，x﹣2y＝0故原方程组可以变为2222020344344x y x yx y x y-=-=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩或，解这两个方程组得1212x xy y⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩3434x xy y⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩所以原方程组的解为：34121234x xx xy yy y⎧⎧==⎪⎪⎧⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎪⎩⎩==⎪⎪⎩⎩20.（嘉定2019期末20）解方程组222,20x yx xy y-=⎧⎨--=⎩①②【答案】121214,12x xy y==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩；【解析】解：由②得：(2)()0x y x y-+=，得200x y x y-=+=或，所以原方程可以化为：22020x y x yx y x y-=-=⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩或，解之得121214,12x xy y==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩.所以原方程组的解为121214,12x xy y==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩.21．（长宁2019期末20）解方程组：22220x yx xy y-=-⎧⎨--=⎩．【答案】121241,21x xy y=-=-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩；【解析】解：22220x y x xy y -=-⎧⎨--=⎩①②，由②得：（x +y ）（x ﹣2y ）＝0，x +y ＝0或x ﹣2y ＝0，原方程组可变形为：22200x y x y x y x y -=--=-⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩或，解得原方程的解：121241,21x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩．22.（松江2018期中25）迎新晚会需要气球3000个，八一班同学自愿承担吹气球的工作. 后来，有10名同学因排练节目没有参加吹气球，这样，其他同学平均每人吹的气球比原计划多15个，问这个班有多少名同学？【答案】50名；【解析】解：设这个班有x 名同学，根据题意，得300030001510x x =--，整理得：21020000x x --=，解得1250,40x x ==-，经检验：1250,40x x ==-都是原方程的根，但240x =-不符合题意，舍去. 答：这个班有50名同学.23. （黄浦2018期中23）某厂接到一份订单，某运动会开幕式需要720面彩旗，后来由于情况紧急，要求生产总量比原计划增加20%，且必须提前2天完成生产任务，该厂迅速增加人员，实际每天比原计划多生产36面彩旗．请问该厂实际每天生产多少面彩旗？ 提示：本题可以设该厂实际每天生产x 面彩旗，（直接设元），也可设实际完成生产任务需要x 天（间接设元），也可以同时设两个未知数列方程组，其中有些方法的运算量较小，请同学们在比较中体会． 【答案】108顶；【解析】解：设该厂实际需要x 天完成生产任务，由题意列方程得：-=36，解得：x 1=8，x 2=-6（不合题意，舍去），经检验，x =8是原方程的根，则720×（1+20%）÷8=108（顶）．答：该厂实际每天生产帐篷108顶．24.（浦东四署2018期中24）甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲乙两店各进货多少箱饮料？ 【答案】甲、乙两店分别进了10箱和15箱饮料；【解析】解：设甲店进了x 箱饮料，则乙店进了（25 - x ）箱饮料． 根据题意，得100010003501025x x+-=-．两边同乘以x （25 - x ），并整理，得226025000x x -+=，解得10250x x ==或，经检验，10250x x ==或是原方程的解．但当x = 250时，25 –x = -225 < 0，不合题意，所以，取x = 10． 于是，25 –x = 15． 答：甲、乙两店分别进了10箱和15箱饮料．25. （松江2019期中24）小王开车从甲地到乙地，去时走A 线路，全程约100千米，返回时走B 路线，全程约60千米.小王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快20千米/小时，所用时间却比返回时多15分钟.若小王返回时的平均车速不低于70千米/小时，求小王开车返回时的平均速度. 【答案】80千米/小时；【解析】解：设小王开车返回时的平均速度为x 千米/小时，10060152060x x -=+，去分母整理得：214048000x x -+=，解得6080x x ==或，经检验：6080x x ==或都是原方程的根，但是60x =，不符合题意，应舍去.答： 小王开车返回时的平均速度是80千米/小时.26．（普陀2018期末23）某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次又用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？ 【答案】10；【解析】解：设第一次买了x 本资料，根据题意，得：120240420x x -=+，整理得：x 2+50x ﹣600＝0． 解得：x 1＝﹣60，x 2＝10，经检验：它们都是方程的根，但x 1＝﹣60不符合题意，舍去，答：第一次买了10本资料．27. (奉贤2018期末22)中国的高铁技术已经然走在了世界前列，2018年的“复兴号”高铁列车较“和谐号”速度增加每小时70公里．上海火车站到北京站铁路距离约为1400公里，如果选择“复兴号”高铁，全程可以少用1小时，求上海火车站到北京火车站的“复兴号”运行时间． 【答案】4；【解析】 解：设复兴号用时x 小时，则和谐号用时（x +1）小时，根据题意得：=70+，解得：x =4或x =-5（舍去）答：上海火车站到北京火车站的“复兴号”运行时间为4小时．28.（嘉定2019期末22）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千米的效野公园. 已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了30分钟，结果两人同时到达公园. 问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？ 【答案】10千米/小时，8千米/小时；【解析】设甲平均每小时行驶x 千米，则20200.52x x-=-，化简为：22800x x --= 解得：128,10x x =-=，经12-8,10x x ==检验：不符合题意，舍去是原方程的解.答：甲平均每小时行驶10千米，乙平均每小时行驶8千米.29．（长宁2019期末23）小王开车从甲地到乙地，去时走A 线路，全程约100千米，返回时走B 线路，全程约60千米．小王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快20千米/小时，所用时间却比返回时多15分钟．若小王返回时的平均车速不低于70千米/小时，求小王开车返回时的平均速度．【答案】80千米/小时；【解析】解：设小王开车返回时的平均速度为x 千米/小时（x ≥70），则小王开车去时的平均速度为（x +20）千米/小时，根据题意得：10060152060x x -=+，解得：x ＝80或x ＝60（舍去），经检验：x ＝80是原方程的解．答：小王开车返回时的平均速度为80千米/小时．。

21.6 二元二次方程组的解法 同步练习一、选择题1．下列方程中，是二次方程的有（ ）A ．220x +=B ．320x x +=C ．43210x x ++=D ．2150x += 2．下列方程组中，二元二次方程组是（ ）A ．B ．C ．D ．3. 已知下列四对数值是方程2213x y +=的解是（ ）. 3223; B ; C ; D .2332x x x x A y y y y =-=-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-===⎩⎩⎩⎩4．已知下列四对数值是方程组22113y x x y =+⎧⎨+=⎩的解是（ ）. 3223; B ; C ; D .2332x x x x A y y y y =-=-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-===⎩⎩⎩⎩5．方程组⎩⎨⎧+==mx y x y 2有两组不同的实数解，则（ ）A 、m ≥41-B 、m ＞41-C 、41-＜m ＜41 D 、以上答案都不对 6．方程组2222135x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩的解有（ ）组. A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题 7．二元二次方程2x 2+3xy －6y 2+x －4y=3中，二次项是 ，一次项是 ，常数项是_______________.8. 解方程组的解为 . 9．方程组有实数解，则实数k 的取值范围为 ．10．解方程组 的解为 .11．已知⎩⎨⎧-==21y x 是方程组⎩⎨⎧=⋅=+n y x m y x 的一个解，那么这个方程组的另一个解是 . 三、解答题12. 解方程组221444x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩.13.解方程组 ．14. 某起重机厂四月份生产A 型起重机25台,B 型起重机若干台.从五月份起, A 型起重机月增长率相同,B 型起重机每月增加3台.已知五月份生产的A 型起重机是B 型起重机的2倍,六月份A 、 B 型起重机共生产54台.求四月份生产B 型起重机的台数和从五月份起A 型起重机的月增长率.15.某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元.经过市场调查后,进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元.求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元?参考答案1．【答案】A ；【解析】解：220x +=是一元二次方程；320x x +=是三次方程；43210x x ++=是四次方程； 2150x+=是分式方程． 故选A ．2. 【答案】C ；【解析】解：A 项为二元一次方程组，故本选项错误，B 项为二元一次分式方程组，故本选项错误，C 项得第二个方程为二元一次方程，故为二元二次方程组，故本选项正确，D 项中未知数的最高次项为3次，故不为二元二次方程，故本选线错误．故选择C ．3.【答案】A,B,C,D ；4.【答案】A,C ；5.【答案】B ；【解析】方程组⎩⎨⎧+==mx y x y 2有两组不同的实数解，两个方程消去y 得，20x x m --=，需要△＞0，即1+4m ＞0，所以m ＞41-.6.【答案】D.7．【答案】2x 2，3xy ，－6y 2； x ，－4y ； －3. 8.【解析】由(1)得y=8-x (3)把(3)代入(2)，整理得x 2-8x+12=0.解得x 1=2, x 2=6.把x 1=2代入(3)，得y 1=6.把x 2=6代入(3)，得y 2=2.所以原方程组的解是.9．【答案】﹣3≤k≤3；【解析】解：由②得：x=k ﹣y ③，把③代入①得：（k ﹣y ）2+y 2=9，即2y 2﹣2ky+（k 2﹣9）=0④，∵方程组有实数解，∴方程④有实数解，∴△=（﹣2k ）2﹣4×2×（k 2﹣9）=﹣4k 2+72≥0，解得：﹣3≤k≤3，故答案为：﹣3≤k≤3．10．【解析】(用代入法)由②得:y=③把③代入①得: x 2-+4()2+x--2=0.整理得:4x 2-21x+27=0∴x 1=3 x 2=. 把x=3代入③ 得:y=1把x=代入④ 得:y=.∴原方程组的解为:11.【答案】⎩⎨⎧=-=12y x . 【解析】将⎩⎨⎧-==21y x 代入原方程组求得12m n =-⎧⎨=-⎩，所以原方程组是12x y xy +=-⎧⎨=-⎩，再解此方程组即可.12.【答案与解析】解：由①得：1x y =+③，把③代入②得：()()2241414y y y y +-++=整理得：240y y +=解得：1204y ,y ==-把y 的值分别代入③得：1213x ,x ==- 故原方程组的解为1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =-⎧⎨=-⎩. 13.【答案与解析】解：由（1）得（x+y ）（x ﹣2y ）=0，∴x=﹣y 或x=2y ，当x=﹣y 时，代入（2），并整理得y 2+2=0．无解，当x=2y 时，代入（2），并整理，得y 2+3y+2=0，解得y 1=﹣1，y 2=﹣2．（2分）分别代入x=2y ，得x 1=﹣2，x 2=﹣4， ∴原方程组的解为，．14.【答案与解析】解：设四月份生产B 型起重机X 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y. 根据题意 ，可列方程组()()()()⎩⎨⎧=⨯++++=+5423125321252x y x y 解得：x=12,y=0.2.答：四月份生产B 型起重机12台,从五月份起A 型起重机的月增长率为20％.15.【答案与解析】解：设实际销售运动衣X 套,实际每套运动衣的利润是y 元.根据题意 ，可列方程组()()4001012000120004000x y xy ⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩ 解得：x=800,y=20.答：实际销售运动衣800套,实际每套运动衣的利润是20元.。

二元二次方程组的解法课题21.6（1）二元二次方程组的解法设计教材章节剖析：依照学生学情剖析：（注：只在开始新章节教学课必填）课型新讲课教1、理解解二元二次方程组的基本思想是消元和降次；掌握代入消元法解二元一学次方程和二元二次方程构成的方程组.目2、经历代入消元、因式分解降次的过程，经历回代解出方程组的标解的过程.3、解二元一次方程组与解二元二次方程组有同样的思想方法.要点难点教课准备学生活代入消元法解二元二次方程组.变形二元一次方程，用一个字母的代数式表示另一个字母并正确代入二元二次方程.一元二次方程的解、二元一次方程组的解和解法、代数式、二元二次方程组的解等.议论，沟通，总结，练习动形式教课过程设计企图课题引入：1、课前练习一经过练习，复以下方程组是二元二次方程组吗?习稳固代入消元法解二元二次方程组 .2、思虑：重申：基本思想和转变方法是不变的思想准则 .想想解一元高次方程的基本思想是什么?有哪些方法 ?指出：代入多项式经常增添括号，不要忘想想解二元一次方程组的基本思想是什么?有哪些方法 ?记回代.“消元”、“降次”是解方程（）的基本思想。

知呈：1、新研究一察以下三个二元二次方程有什么共同特色?依据解方程 ( 方程 )“消元”、“降次”化的基本思想, 你会解上述各方程?一解方程(1).2、新研究二3、新研究三解方程：4、新研究四（1）由上述研究 , 你解；⋯种型的二元二次方程的基本思想和方法有什么?一解方程：解：不同的回代门路得出不一样的果，所以回代哪个方程不是盲目的 .出“代入消元法”解含有二元一次方程的二元二次方程的解程的流程，疏导思，明确指向 .学生通自己的解算，稳固解二元二次方程的基本技术 .5、新研究四（2）解方程 :解个方程, 能够先将② 形, 得 x= 5 3 y,代入①,求出y,而后再2“回代” , 求出 x, 进而求得方程的解( 采纳“代入消元法”解).察上述方程的特色, 想想有其余不一样的解法?6、新研究五于含一个二元一次方程的二元二次方程组 , 采纳代入消元法解方程组的一般步骤流程图表述为:7、课内练习一1.解以下方程组 :2. 从方程组中消去y,得对于x的二次方程.当m=3时,这个对于 x 的方程有几个实数根?当 m=4时呢 ?当 m=5时呢 ?3、由上述练习 , 请思虑 : 当 m为什么值时 , 对于 x,y 的方程组有一个解 ?而且求出这个解.讲堂小结：解二元二次方程组的基本思想是“消元”、“降次”对于含一个二元一次方程的二元二次方程组 , 采纳代入消元法解方程组的一般步骤流程图表述为 :课外练习册 21.6（1）二元二次方程组的解法作业预习21.6 （2）二元二次方程组的解法要求25分钟）教课后记与反省1、讲堂时间耗费：教师活动15分钟；学生活动2、本课时实质教课成效自评（满分10 分）：分3、本课成功与不足及其改良举措：。

二元二次方程的解法【学习目标】1．掌握解二元二次方程组的基本思想。

2．熟练掌握“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。

3．亲历的二元二次方程组解法的探索过程，进一步发展探究、交流能力。

【学习重难点】重点：掌握二元二次方程组的解法。

难点：掌握“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。

【学习过程】一、新知学习1．解二元二次方程组的基本思想和方法解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。

因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。

2．“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。

“二·一”型方程组的解法（1）代入消元法（即代入法）代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。

（2）利用根与系数的关系对“二·一”型二元二次方程组中形如x y a xy b +=⎧⎨=⎩的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x 、y 看做一元二次方程z 2-az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z 1和z 2的值，就是x 、y 的值。

当x 1=z 1时，y 1=z 2；当x 2=z 2时，y 2=z 1，所以原方程组的解是两组“对称解”。

21.6（2）二元二次方程组的解法知识梳理用因式分解法解特殊方程组的一般步骤：（1）将一个方程变形有为两个___________的积等于零的形式，再将这两个二元一次方程分别与另一个议程联立成两个新的方程组；（2）分别求___个______方程组的解；（3）这些方程组的解的全体就是原方程组的___________．若原方程组中的一个方程可变形有为两个___________的积等于零的形式，另一个方程要左边是__________，右边是常数，的两个方程的左边均可因式分解，则原方程组可化为_____个______方程组．基础训练一、选择题1.二元二次方程22320x xy y -+=的解的情况··························································（）（A ）无数解；（B ）无解；（C ）两个解；（D ）四个解.2.若12x y =⎧⎨=⎩是二元二次方程222008ax by -=的解，那么，此方程一定还有解是············（）（A ）21x y =⎧⎨=⎩；（B ）21x y =-⎧⎨=-⎩；（C ）21x y =⎧⎨=-⎩；（D ）12x y =-⎧⎨=⎩3.若方程x 2+y 2-16=0和x 2-3y +12=0有公共解，则y 应取的值为································（）（A ）－7（B ）4（C ）－7和4（D ）不小于44.如果方程组⎩⎨⎧=-=-k y x y x 2,22有实数解，则k 的取值范围是·············································（）（A ）3≥k ；（B ）3=k ；（C ）3<k ；（D ）3≤k .二、填空题5.解二元二次方程组的基本思想方法是__________和__________.消元可把二元二次方程组转化为__________，降次能把二元二次方程组转化为__________.6.二元二次方程02322=+-y xy x 可以化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是：和________________.7.二元二次方程226925x xy y -+=可以化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是：和．8.二元二次方程02222=+--y x y x 可以化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是：和．9.二元二次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+065,52222y xy x y x 可以化成两个二元二次方程组，那么这两个二元二次方程组是和.10.已知方程组2y x x y a ⎧=⎨-=⎩有两个相等的解，则a =______，两个解是_________.三、解方程组11.224120,21.x xy y x y ⎧+-=⎨-=⎩12.⎩⎨⎧=-=-.53,15922y x y x 13.22240,40.x y x xy ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩14.2220,449.x xy x xy y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩四、拓展提高15．解方程组22780,890.x x y y ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩（2）解方程组2222320,236.x xy y x xy y ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩16.求函数2y x =与23y x =+的交点A 、B.（1）求A 、B 的坐标（2）三角形AOB 的面积.。

2024春八年级数学下册21.6二元二次方程组的解法1教学设计沪教版五四制一. 教材分析《2024春八年级数学下册21.6二元二次方程组的解法1》是沪教版五四制数学教材中的一章。

本节内容是在学生学习了二元一次方程组的基础上，引入二元二次方程组的概念，并探讨其解法。

通过本节内容的学习，学生能够掌握二元二次方程组的定义，了解其解法，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了二元一次方程组的概念和解法，具备了一定的数学基础。

但是，对于二元二次方程组，学生可能还存在一定的困惑，需要通过实例讲解和练习来进一步理解和掌握。

三. 教学目标1.知识与技能：理解二元二次方程组的概念，掌握其解法，并能够运用到实际问题中。

2.过程与方法：通过实例分析，引导学生自主探索二元二次方程组的解法，培养学生的解决问题的能力。

3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生能够主动参与数学学习。

四. 教学重难点1.重点：二元二次方程组的概念和解法。

2.难点：如何将实际问题转化为二元二次方程组，并运用解法求解。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过实例分析和练习，引导学生自主探索二元二次方程组的解法。

同时，运用合作学习法，鼓励学生分组讨论，共同解决问题。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示二元二次方程组的解法。

2.实例：准备一些实际问题，用于引导学生运用二元二次方程组解法。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生对二元二次方程组的掌握。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何解决这类问题。

例如，某商店同时销售两种商品A和B，售价分别为10元和5元。

如果每天销售A商品10件，B商品15件，则每天收入150元。

如果每天销售A商品15件，B商品10件，则每天收入180元。

问每天销售A和B商品各多少件时，收入最大？2.呈现（10分钟）引导学生将实际问题转化为二元二次方程组。

21.6 二元二次方程组的解法（1）一、学习说明【学习目标】1、知道“代入消元法”的内涵和一般步骤；2、掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；3、通过对二元二次方程组解法的学习，渗透“消元”、“降次”的数学思想方法，从而提高分析问题和解决问题的能力.【学习重难点】会用“代入消元法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；理解解二元二次方程组的基本思想．二、智慧启航（一）复习引入1.判断下列方程组是否为二元二次方程组？（二）探索新知1.观察：下列三个二元二次方程组有什么共同特点？根据解方程(方程组)“消元”“降次”转化的基本思想，你会解上述各方程吗？ 尝试用代入消元法解上述方程(1)2.尝试解决与核对：例题1 解方程组：反思总结：看看自己做对了吗？针对怎样的方程组，我们可用代入消元法来求解。

你还能提供不同于例题1解法的代入方法吗？{{{{22221830531324(1)(2)(3)(4)x y x y x x xy xy x y x xy y -=+=-====+=-+={{{222222121049151023513(1)(2)(3)y x x y x y x y x y x y =++-=-=-+=-=+={0120122=-+=+-y x y x（三）例题解析（课本p49）尝试利用两种不同的方法解例题2的方程组代入消元法：整体代换法：（四）归纳1.解二元二次方程组的基本思想是_________2.用代入消元法解本节例题的流程是：三、智慧乐园：记录你在预习过程中的困惑．．．．．．的地方．．．(可在书写过程中红笔标注)，并．．、需要引起注意在课堂上提出。

预习评价：自评（）教师评（）。

21.5-21.6二元二次方程和方程组及其解法知识梳理+九大例题分析+经典同步练习知识梳理一、二元二次方程1. 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.要点：（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a 、b 、c 分别叫做二次项系数，叫做这个方程的一次项，d 、e 分别叫做一次项系数，f 叫做这个方程的常数项.2.二元二次方程的解能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.要点：二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况.二、二元二次方程组1.概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.要点：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.2. 二元二次方程组的解:方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.22ax bxy cy dx ey f o +++++=22,,ax bxy cy ,dx ey三、二元二次方程组的解法1.代入消元法代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；　②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；　③解这个一元二次方程，求得未知数的值；　④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；　⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解；⑥写出原方程组的解.要点：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组；（2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.2、因式分解法　(1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解. (2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.典型例题例题1．在方程①57x y +=；②240-+=x y ；③70+=xy ；④22191+=x y ；⑤2253370+++=x xy y x 中，是二元二次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】化简后看含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程有几个即可．解：①含有两个未知数但未知数最高次数是1，是二元一次方程；②含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；③含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；④未知数在分母中，是分式方程，不是二元二次方程；⑤含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程．综上所述，有3个二元二次方程．故选：C例题2．下列方程组中，属于二元二次方程组的为（ ）A．2x yx y+=ìí-=îB．123234x yx yì+=ïïíï-=-ïîC．11xx yì+=ïí+=ïîD．324xxy=ìí=î【答案】D【解析】根据一元一次方程组的定义对A进行判断；根据整式方程组的定义对B、C进行判断；根据二元二次方程组的定义对D进行判断．解：A、两个方程都是二元一次方程，所组成的方程组为二元一次方程组，所以A 选项不正确；B、两个方程都是分式方程，所组成的方程组为分式方程组，所以B选项不正确；C、有一个方程是无理方程，所组成的方程组不是二元二次方程组，所以C选项不正确；D、有一个方程是二元二次方程，另一个是一元一次方程，所组成的方程组为二元二次方程组，所以D选项正确．例题3．已知：方程组îíì-==+)2(1)1(122x y y x ，把（2）代入（1），得到正确的方程是（ ）x 2+2（1﹣x ）=1B ．x 2+2（x ﹣1）=1C ．x 2+（1﹣x ）2=0D ．x 2+（1﹣x ）2=1【答案】D【解析】运用代入消元法解方程组即可．解：把（2）代入（1）得x 2+（1﹣x ）2=1四个答案中只有D 合题意．故选D ．例题4．二元二次方程组îíì=-=+1522y x y x 的一个解是（ ）îíì-=-=21y xB ．îíì=-=21y xC ．îíì-==21y xD ．îíì==21y x 【答案】A【解析】用代入法即可解答，把②化为x=1+y ，代入①得（1+y ）2+y 2=求解即可．解：把②化为x=1+y ，代入①得（1+y ）2+y 2=5，整理得，2y 2+2y ﹣4=0解得y 1=﹣2，y 2=1，分别代入②得当y 1=﹣2时，x 1=﹣1，当，y 2=1时，x 2=2，故原方程组的解为îíì-=-=2111y x ，îíì==1222y x ．故选A ．例题5．方程组 îíì-=--=-12122x y x y x 的实数解个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】把方程①变形成x=y+1，代入②即可求得y 的值，进而求得方程组的解，从而判断．解：îíì-=--=-）（）（2121122x y x y x 由①得：x=y+1代入方程②得：2（y+1）2﹣y 2﹣（y+1）=﹣1即：y 2+3y+2=0解得：y 1=﹣1，y 2=﹣2把y=﹣1代入①得：x=0把y=﹣2代入①得：x=﹣1则方程组的解是：îíì-==10y x ，和îíì-=-=21y x 只两个解．故选C ．例题6．方程组îíì==+022xy y x 的解是（ ）îíì==0011y x ，ïîïíì==12122y x B ．îíì==2011y x ，îíì==0122y x C ．îíì==2011y x ，îíì=-=0122y x D ．îíì-==2011y x ，îíì==0122y x 【答案】B 【解析】由①得出y=2﹣2x ③，把③代入②得出x （2﹣2x ）=0，求出x ，把x 的值分别代入③求出y 即可．解：îíì==+）（20)1(22xy y x ，由①得：y=2﹣2x ③，把③代入②得：x （2﹣2x ）=0，x=0，2﹣2x=0，解得：x 1=0，x 2=1，把x 1=0，x 2=1分别代入③得：y 1=2，y 2=0，即原方程组的解为：îíì==2011y x ，îíì==0122y x ．故选B ．例题7．方程ïîïíì+-=-++=+yx a y x y x a y x 2)(2)(22有解但无不同的解时，a=（ ）A ．1 B ．0 C ．﹣21 D ．﹣1【答案】D【解析】由题意知，原方程组有解，并且有相同的解，由一元二次方程根的判别式可以知道△=0，将原方程组转化成一元二次方程就利用△=0就可以求出a=的值．解：ïîïíì+-=-++=+)2(2)()1(2)(22y x a y x y x a y x 由①﹣②，得4xy=2x4xy ﹣2x=02x （2y ﹣1）=0∴x=0或y=21（与条件不符合，∵y=21时方程①、②不相等）∴当x=0时y 2=a+2y∴y 2﹣2y ﹣a=0∴△=（﹣2）2﹣4（﹣a ）=0∴4+4a=0∴a=﹣1．故D 答案正确．故选D ．例题8．方程组ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x 在实数范围内（ ）1.有1组解B ．有2组解C ．有4组解D ．有多于4组的解【答案】D【解析】根据题意，分析分别就a 、当x≥0、y≥0时；b 、当x≥0、y≤0时；c 、当x≤0、y≥0时；当x≤0、y≤0时四种情况，去掉决定值符号，分解因式联立方程，利用根据与系数的关系即是否符号题意，来判断方程组的解．解：a 、当x≥0、y≥0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=+-=+-)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2﹣5（x+y ）=0⇒（x+y ）（x ﹣y ﹣5）=0，即x=﹣y 或 x=y+5 ③当x=﹣y 时，解得x=0，y=0，当x=y+5时，②③联立得y 2﹣3y+5=0∵△=9﹣20=﹣11＜0，∴无解．b 、当x≥0、y≤0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=++=--)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2﹣5（x+y ）=0⇒（x+y ）（x ﹣y ﹣5）=0，即x=﹣y 或x=y+5 ③当x=﹣y 时，②③联立得 y 2+3y=0解得 îíì==00y x 或îíì-==33y x 当x=y+5时，②③联立得 y 2﹣3y+5=0∵△=9﹣20=﹣11＜0，∴无解．c 、当x≤0、y≥0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=--=++)2(04)1(0422x y y y x x ïîïíì=--=++)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2+5（x+y ）=0⇒（x+y ）（x ﹣y+5）=0，即x=﹣y 或x=y ﹣5 ③当x=﹣y 时，②③联立得 y 2﹣3y=0解得 îíì==00y x 或îíì=-=33y x ，当x=y ﹣5时，②③联立得 y 2﹣5y+5=0∵△=25﹣20=5＞0，∴方程有两解．d 、当x≤0、y≤0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=-+=-+)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2+5（x ﹣y ）=0⇒（x ﹣y ）（x+y ﹣5）=0，即x=y 或x=﹣y+5③当x=y 时，②③联立得 y 2+3y=0解得 îíì==00y x 或îíì-==33y x （不合题意，舍去）当x=﹣y+5时，②③联立得 y 2+5y ﹣5=0∵△=25+20=45＞0，∴方程有两解．综上所述，方程有7个解．故选D ．例题9．已知，实数x ，y ，z 满足，则x 4+y 4+z 4=（ ）A ．4B ．C ．D ．以上都不对【答案】C【解析】根据已知条件先求出xy+xz+yz=，再求出xyz=，根据完全平方公式即可求解．解：∵，∴由（1）代入上式得：xy+xz+yz=（4），而x 3+y 3+z 3﹣3xyz=（x+y+z ）（x 2+y 2+z 2﹣xy ﹣xz ﹣yz ），把（3）（4）代入上式得：xyz=（5），由（4）平方得：；把（5）代入上式得：，∴．故选C ．一、单选题1．下列方程中，判断中错误的是（）A ．方程20316x x x +-=+是分式方程B ．方程3210xy x ++=是二元二次方程C 20+=是无理方程D ．方程()()226x x +-=-是一元二次方程【答案】C逐一进行判断即可．A. 方程20316x x x +-=+是分式方程，正确，故该选项不符合题意； B. 方程3210xy x ++=是二元二次方程，正确，故该选项不符合题意；C.20+=是一元二次方程，错误，故该选项符合题意；D. 方程()()226x x +-=-是一元二次方程，正确，故该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查方程的概念，掌握一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程的概念是解题的关键．2．下列方程组中，是二元二次方程组的是（ ）A ．12x y x y +=ìí-=îB ．22231310x y x y ì-=ïïíï+=ïîC ．21x y xy -=ìí=îD ．313x y xy y xì+=í=-î【答案】C【解析】根据二元二次方程组的定义依次判断即可.A 、是二元一次方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意；B 、是分式方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意；C 、是二元二次方程组，故本选项符合题意；D 、是二元三次方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意；故选：C.此题考查二元二次方程组的定义，熟记定义是解题的关键.3．在方程①57x y +=；②240-+=x y ；③70+=xy ；④22191+=x y ；⑤2253370+++=x xy y x 中，是二元二次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】化简后看含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程有几个即可．解：①含有两个未知数但未知数最高次数是1，是二元一次方程；②含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；③含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；④未知数在分母中，是分式方程，不是二元二次方程；⑤含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程．综上所述，有3个二元二次方程．故选：C【点睛】本题考查了对二元二次方程的定义的应用，解题的关键是掌握二元二次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是二元二次方程.4．解方程组2222129x y x xy y ì-=í++=î①②的可行方法是（ ）A ．将①式分解因式B ．将②式分解因式C ．将①②式分解因式D ．加减消元【答案】C【解析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先因式分解组中的两个二元二次方程，再解答即可．解：∵因式分解①得： ()()1x y x y +-=，因式分解②得：()29x y +=∴3x y +=或3x y +=-，将3x y +=或3x y +=-代入()()1x y x y +-=中得到13x y -=或13x y -=-，得到方程组313x y x y +=ìïí-=ïî或313x y x y +=-ìïí-=-ïî，解得：115343x y ì=ïïíï=ïî，225343x y ì=-ïïíï=-ïî故答案为：C ．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是根据二元二次方程组的特点，进行因式分解．5．方程组2y x y x mì=í=+î有两组不同的实数解，则（ ）A ．m ≥14-B ．m ＞14-C ．14-＜m ＜14D ．以上答案都不对【答案】B【解析】将y=x²与y=x+m 函数联立，根据解的个数求解即可．方程组2y x y x mì=í=+î有两组不同的实数解，两个方程消去y 得，20x x m --=，需要△＞0，即1+4m ＞0，所以m ＞14-,故选B.【点睛】本题考查了二元二次方程，用到的知识点是加减消元法解方程组，根的判别式、解一元二次方程等知识，关键是根据根的判别式求出m 的值．6．方程组2211x y ì=í=î的实数解的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】根据平方根的性质，正数的平方根有两个，互为相反数即可求解.解：解21x =得1x =±，解21y =得1y =±，∴方程组的解为：11111111x x x x y y y y ===-=-ììììíííí==-==-îîîî，，，，故选D.【点睛】本题考查解二元二次方程组，二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二•一”型和“二•二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型．“二•一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二•二”型是由两个二元二次方程组成的方程．7．二元二次方程组的解是A．B．C．D．【答案】C本题可将选项中的四组答案代入检验看是否符合二元二次方程组．也可根据第一个式子，得出与的关系，代入第二个式子求解依题意得=3-∴y=（3-）=-10-2+3+10=02-3-10=0（-5）（+2）=0=5，2=-21∴方程的解为：，故选C8．已知下列四对数值不是方程的解是（）：A．B．C．D．【答案】A【解析】将各选项代入方程进行验证即可．解：A、当x=-5，y=-2时，左边=(-5)²+(-2)² =29≠13，左边≠右边，故A错误；B、当x=-2，y=3时，左边=(-2)²+3² =13，左边=右边，故B正确；C、当x=2，y=3时，左边=2²+3² =13，左边=右边，故C正确；D、当x=-3，y=2时，左边=(-3)²+2² =13，左边=右边，故D正确；【点睛】本题考查了二元二次方程的解的定义，掌握二元二次方程的解得定义是解题的关键．9．方程组20230x y x x y +=ìí++-=î的解的情况是（ ）A ．有两组相同的实数解B ．有两组不同的实数解C ．没有实数解D ．不能确定【答案】B【解析】首先运用代入法，将方程组进行变形，然后利用根的判别式即可判定.20230x y x x y +=ìí++-=î①②将①代入②，得2230x -=240423240b ac =-=+´´=△＞故方程有两组不同的实数解，故选：B.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.10．如果14x y =ìí=î 是方程组x y a xy b +=ìí=î的一组解，那么这个方程组的另一组解是（ ）A ．41x y =ìí=îB ．14x y =-ìí=-îC ．41x y =-ìí=-îD ．41x y =ìí=-î【答案】A将14x y =ìí=î代入方程组x y a xy b +=ìí=î求得54a b =ìí=î，再解方程组54x y xy +=ìí=î即可得解.将14x y =ìí=î代入方程组x y a xy b +=ìí=î中得：1414a b +=ìí´=î，解得：54a b =ìí=î，则方程组变形为：54x y xy +=ìí=î，由x+y=5得：x=5-y ，将x=5-y 代入方程xy=4中可得：y 2-5y+4=0，解得y=4或y=1，将y=1代入xy=4中可得：x=4，所以方程的另一组解为：41x y =ìí=î．故选A ．【点睛】本题考查了高次方程，二元一次方程组的解法，熟记解二元一次方程的解法是解题的关键．11．方程组2220x y m y x ì-=í-=î有四组不同的实数解，则m 的取值范围是（ ）A ．14m <-B ．14m >-C ．104m -<>D ．14m >-，且0m ¹【答案】D首先运用代入法将方程组变形，然后利用根的判别式即可得解.2220x y m y x ì-=í-=î①②由②，得2x y =③将③代入①，得420y y m --=∵方程组有四组不同的实数解，∴()()224141140b ac m m =-=--´´-=+△＞且0m ¹∴14m >-，且0m ¹故选：D.【点睛】此题主要考查根据二元二次方程组的解求参数的取值范围，解题关键的利用根的判别式.12．二元二次方程组22220,4 2.x xy y x y ì+-=í+=-î的解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由①得x-y=0或x+2y=0，原方程组可变为：2042x y x y -=ìí+=-î③④或22042x y x y +=ìí+=-î⑤⑥，然后用代入消元法求解即可．2222042x xy y x y ì+-=í+=-î①②，由①得(x-y)(x+2y)=0，∴x-y=0或x+2y=0，∴原方程组可变为：2042x y x y -=ìí+=-î③④或22042x y x y +=ìí+=-î⑤⑥，由③得x=y ，把x=y 代入④得y 2+4y=-2，解得，∴1122x y ì=-ïí=-ïî2222x y ì=-+ïí=-ïî；由⑤得x=-2y ，把x=-2y 代入⑥得4y 2+4y+2=0，即2y 2+2y+1=0，∆=4-8=-4＜0，∴此时方程无实数根，综上可知，方程组有两组解：1122x y ì=--ïí=-ïî，2222x y ì=-+ïí=-ïî．故选B ．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握代入消元法是解答本题的关键．二、填空题13．12x y =ìí=-î_______方程组22245x y x y -=ìí-=î的解（填“是”或“不是”）．【答案】不是【解析】把12x y =ìí=-î代入原方程组的两个方程即可得到答案．解：把12x y =ìí=-î代入原方程组22245x y x y -=ìí-=î中的225x y -=中，方程左边＝221(2)143--=-=-¹右边，所以12x y =ìí=-î不是原方程组的解．故答案为：不是．【点睛】本题考查的是方程组的解的含义，掌握方程组的解满足方程组的每一个方程是解题的关键．14．像22121x y x y ì+=-í+=î这样的二元二次方程组，是由一个________方程和一个_________方程组成，可以用________法解这个方程．【答案】二元二次二元一次 代入 【解析】观察方程组，由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，可以用代入法求解.由题意，得该方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，可以用代入法求解，故答案为：二元二次；二元一次；代入.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.15．已知12x y =ìí=-î是方程组x y m x y n +=ìí×=î的一个解，那么这个方程组的另一个解是__________.【答案】21x y =-ìí=î.【解析】将12x y =ìí=-î代入原方程组求得12m n =-ìí=-î，所以原方程组是12x y xy +=-ìí=-î，再解此方程组即可.解：将12x y =ìí=-î代入原方程组求得12m n =-ìí=-î，∴原方程组是12x y xy +=-ìí=-î①②，由①，得x=-y-1③，把③代入②式，化简得y 2+y-2=0，解之，得y 1= -2，y 2= 1．把y 1=-2代入x=-y-1，得x 1=1，把y 2=1代入x=-y-1，得x 2=-2．∴原方程组的解为：121212,21x x y y ==-ììíí=-=îî.故答案为：21x y =-ìí=î.【点睛】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．解方程组24221x y xy +=ìí=-î①② 的解为_______________【答案】121237,7322x x y y =-=ììïïíí==-ïïîî【解析】由①得出x=4-2y ③，把③代入②得：2（4-2y ）y=-21，求出y 1 = 72 ，y 2 = - 32，分别代入③，求出x 即可．解： 24221x y xy +=ìí=-î①②由①得：x=4-2y ③，把③代入②得：2（4-2y ）y=-21，解得：y 1 =72 ，y 2 = - 32 ， 把y 1 = 72代入③得：x 1 =-3， 把y 2 =- 32代入③得：x 2 =7， 即原方程组的解是 121237,7322x x y y =-=ììïïíí==-ïïîî .【点睛】本题考查了解高次方程组的应用，解此题的关键是能正确消元，即把二元变成一元．17．解方程组224422032110x xy y x y x y ì-++--=í+-=î的解为_______________【答案】21129341178x x y y ìì=ïï=ïïíí=ïï=ïïîî【解析】首先把方程②变形为y=1132x -，然后利用代入法消去y ，得到关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，然后就可以求出y ，从而求解．解：224422032110x xy y x y x y ì-++--=í+-=î①②，由②得:y=1132x -③ 把③代入①得:x 2-4(113)2x x -+4(1132x -)2+x-2(113)2x --2=0. 整理得:4x 2-21x+27=0∴x 1=3 x 2=94. 把x=3代入③　得:y=1把x=94代入④　得:y=178. ∴原方程组的解为: 21129341178x x y y ìì=ïï=ïïíí=ïï=ïïîî【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．18．二元二次方程()()23320x y +-=有__________个解．【答案】无数【解析】根据()()23320x y +-=可得230x +=或320y -=，从而得出当32x =-时，y 可以取任意实数，当23y =，时，x 可以取任意实数，确定方程有无数个解．解：∵()()23320x y +-=∴230x +=或320y -=∴32x =-或23y =，当32x =-时，y 可以取任意实数，当23y =，时，x 可以取任意实数，∴方程有无数个解，故答案为：无数．【点睛】本题考查了方程的因式分解解法，解题的关键是得出当32x =-时，y 可以取任意实数，当23y =，时，x 可以取任意实数．19．解方程组224915235x y x y ì-=í-=î时，采用“_________”的方法，将二元二次方程224915x y -=化为_________方程，这是一种“__________”的策略．【答案】因式分解二元一次 消元降次【解析】观察方程组，由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，其中二元二次方程可以进行因式分解化为二元一次方程，这是采用了“消元降次”的策略.由题意，得该方程组可采用因式分解的方法，将二元二次方程224915x y -=化为二元一次方程，这是一种消元降次策略，故答案为：因式分解；二元一次；消元降次.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.20．如果222461461,461a a b c b b c a c c a b ì++=+ï++=+íï++=+î，那么a b c ++的值为_________________．【答案】32-【解析】方程组的三个方程轮循环对称，可把组中的三个方程相加，利用完全平方公式和非负数的和先求出a 、b 、c 的值，再计算a b c ++．解：222461461461a a b c b b a c c c a b ì++=+ï++=+íï++=+î①②③①+②+③，得222461461461a a b b c c b c a c a b ++++++++=+++++，整理，得2224414414410a ab bc c ++++++++=所以222(441)(441)(441)0a ab bc c ++++++++=即222(21)(21)(21)0a b c +++++=因为2(21)0a +…，2(21)0b +…，2(21)0c +…，所以210a +=，210b +=，210c +=所以12a =-，12b =-，12c =-，所以32a b c ++=-．故答案为：32-【点睛】本题考查了完全平方公式、非负数的和等知识点．观察题目，发现三个方程的特点是解决本题的关键．三、解答题21．解方程组：22449(1)6(2)x xy y x y ì++=í-=î．【答案】33x y =ìí=-î或51x y =ìí=-î【解析】先降次转化成两个一次方程组，解方程组即可求解．解：224496x xy y x y ì++=í-=î①②，由方程①可得x +2y ＝﹣3或x +2y ＝3，则方程组可变为236x y x y +=-ìí-=î或236x y x y +=ìí-=î，解得33x y =ìí=-î或51x y =ìí=-î．【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．22．解方程组：222220560x y x xy y ì+=í-+=î．【答案】1142x y =ìí=î，2242x y =-ìí=-î，33x y ì=ïí=ïî，44x y ì=ïí=ïî【解析】由22560x xy y -+=得()()230x y x y --=，从而得到20x y -=或30x y -=，即2x y =或3x y =；再将2x y =或3x y =分别代入到2220x y +=，通过求解即可得到答案．由22560x xy y -+=得：()()230x y x y --=∴20x y -=或30x y -=∴2x y =或3x y=将2x y =代入2220x y +=，得：22420y y +=∴2y =±∴1142x y =ìí=î，2242x y =-ìí=-î将3x y =代入2220x y +=，得：22920y y +=∴y =∴33x y ì=ïí=ïî，44x y ì=ïí=ïî∴方程组的解是：1142x y =ìí=î，2242x y =-ìí=-î，33x y ì=ïí=ïî，44x y ì=ïí=ïî．【点睛】本题考查了二元二次方程、因式分解、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握因式分解、二元二次方程的性质，从而完成求解．23．解方程组：2220326x xy x xy y ì+=í-+=î①②【答案】11x y ìïí=ïî22x y =ìïí=ïî，3311x y =-ìí=î，4411x y =ìí=-î【解析】解①，用含y 的代数式表示x ，然后代入②求出y ，再求出方程组的解．解：2220326x xy x xy y ì+=í-+=î①②，由①，得()0x x y +=，所以0x =或x y =-．把0x =代入②，得226y =，解得y =．把x y =-代入②，得222326y y y ++=，整理，得21y =，所以1y =±．所以1x =-或1．故原方程组的解为：11x y ìïí=ïî22x y =ìïí=ïî，3311x y =-ìí=î，4411x y =ìí=-î．【点睛】本题考查了高次方程组的解法．变形①用代入法把二元二次方程组转化为一元二次方程，是解决本题的关键．24．2222560112x xy y x x y y ì-+=í++-=î【答案】112515x y ì=-ïïíï=-ïî，2242x y =ìí=î，333515x y ì=-ïïíï=-ïî，4431x y =ìí=î【解析】根据二元二次方程组的解法进行求解即可．解：2222560112x xy y x x y y ì-+=í++-=î①②，由①得：23x y x y=ìí=î，当x=2y 时，代入②可得：25920y y --=，解得：121,25y y =-=，∴122,45x x =-=；当x=3y 时，代入②可得：210820y y --=，解得：341,15y y =-=，∴343,35x x =-=，综上所述：方程组的解为112515x y ì=-ïïíï=-ïî，2242x y =ìí=î，333515x y ì=-ïïíï=-ïî，4431x y =ìí=î．【点睛】本题主要考查二元二次方程方程组的解法，熟练掌握二元二次方程组的解法是解题的关键．25．解方程组：22312230x y x xy y +=ìí--=î【答案】1162x y =ìí=î；2266x y =-ìí=î【解析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程组成方程组，即可求解．解：22312230x y x xy y +=ìí--=î①②由②得()()30x y x y -+=30x y -=或0x y +=原方程组可化为31230x y x y +=ìí-=î；3120x y x y +=ìí+=î解得1162x y =ìí=î；2266x y =-ìí=î所以原方程组的解是1162x y =ìí=î；2266x y =-ìí=î【点睛】本题考查高次方程组的解法，解题的基本思想是降次，掌握降次的方法是解高次方程的关键．26．解下列方程（组）（1）33(2019)(2018)1x x -+-=；（2）22222293,19293,19293.192x y xy z yz x z ì=ï+ïï=í+ïï=ï+î【答案】（1）2019或2018；（2）111(,,)333或(0,0,0)【解析】（1）运用换元法的思想令2019,2018m x n x =-=-，联立方程组可得m 和n 的等式，再利用完全平方公式的变形即可得出答案；（2）根据条件易得x=0,y=0,z=0时方程成立，当,,x y z 不为0时，把三个方程相加222111(1)(1)(1)0333x y z-+-+-=，然后根据平方数的非负性可得三个式子分别为零，即可求出结果．解：（1）令2019,2018m x n x =-=-;则3311m n m n +=ìí+=î;∴222()31-+=+-=m mn n m n mn ;∴0mn =即0m =或n=0;∴2019x =或2018；（2）易知(,,)(0,0,0)x y z = 为一组解;若,,x y z 不为0;则222121,93121,93121.93x y yz zx ì+=ïïï+=íïï+=ïî相加得222111(1)(1)(1)0333x y z -+-+-=;∴111(,,)(,,333x y z =;综上：111(,,)(,,333x y z =或()0,0,0.【点睛】本题主要考查方程的解法，灵活利用换元法、乘法公式变形及分类讨论思想是解题的重要环节．27．解下列方程组：（1）222220560x y x xy y ì+=í-+=î（2）217,11 1.x y x y x y x yì-=ï+-ïíï+=-ï+-î 【答案】（1）3124123444,,22x x x x y y y y ìììì===-=-ïïïïíííí==-==ïïïïîîîî（2）112512x y ì=ïïíï=ïî【解析】（1）把原方程组化为：222020x y x y ì+=í-=î或222030x y x y ì+=í-=î再分别解这两个方程组可得答案．（2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13x y -=-，联立求解并检验可得答案．解：（1）因为222220560x y x xy y ì+=í-+=î把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，即20x y -=或30x y -=原方程组化为：222020x y x y ì+=í-=î或222030x y x y ì+=í-=î因为222020x y x y ì+=í-=î把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，得24y =，所以2y =± ，所以方程组的解是42x y =ìí=î 或42x y =-ìí=-î同理解222030x y x y ì+=í-=î得方程组的解是x y ì=ïí=ïî或x y ì=ïí=ïî所以原方程组的解是：3124123444,,22x x x x y y y y ìììì===-=-ïïïïíííí==-==ïïïïîîîî（2）因为217,111.x y x y x y x yì-=ï+-ïíï+=-ï+-î①②所以①＋②得：36x y=+，所以12x y +=，把12x y +=代入②得：13x y -=-，所以1213x y x y ì+=ïïíï-=-ïî，解得：112512x y ì=ïïíï=ïî 经检验112512x y ì=ïïíï=ïî是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ì=ïïíï=ïî【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．28．某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如下表：第一次第二次甲种货车（辆）25乙种货车（辆）36累计运货（吨）1328（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？（2）若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，则该货主有________种租车方案？（3）王先生要租用该公可的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？【答案】（1）甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物；（2）4种租车方案；（3）甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元【解析】（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，根据第一、二次两种货车运货情况表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用a辆甲种货车，b辆乙种货车，根据货物的总重量为20吨且每辆货车都满载，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为非负整数，即可得出各租车方案；（3）设甲种货车每辆需运费m元，租用甲种货车n辆，则乙种货车每辆需运费1.4m元，租用乙种货车(n)1-辆，根据总费用=每辆车所需费用´租用该种车的辆数，即可得出关于m，n的二元二次方程组，解之即可得出结论．解：（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，依题意，得：2313 5628 x yx y+=ìí+=î，解得：23 xy=ìí=î．答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物．（2）设租用a 辆甲种货车，b 辆乙种货车，依题意，得：2320a b +=，3102a b \=-．a Q ，b 均为非负整数，b \为偶数，\当0b =时，10a =；当2b =时，7a =；当4b =时，4a =；当6b =时，1a =．\共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车．（3）设甲种货车每辆需运费m 元，租用甲种货车n 辆，则乙种货车每辆需运费1.4m 元，租用乙种货车(n )1-辆，依题意，得：8001.4(1)980mn m n =ìí-=î，解得：1008m n =ìí=î，1.4140m \=．答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及二元二次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元二次方程组．。

第21章 代数方程 单元测试卷一．选择题（共6小题）1ABCD2ABCD3ABCD4AB CD5．一项工程由甲、乙两队合做共需4天完成，如果甲队单独做共需6天完成，那么由乙单ABCD6．为满足市场需求，产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新ABCD 二．填空题（共12小题）7的根是．8在实数范围内的解是．9的值为．1011的取值范围是．1213的解是．14的值是．15分解为两个一次方程的结果为．1617240多行驶20千米，结果甲车比乙车早到30意可列方程为．18．一辆货车与一辆客车都从甲地开往乙地，甲乙两地相距600千米，货车比客车早出发4小时，客车比货车早到1，则可列出方程．三．解答题（共7小题）1920212223．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次又用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？24．阅读与理解：检验所得到的两个根，只有是原无理方程的根．25．小丽、小明练习打字，已知小丽比小明每分钟多打80个字，小丽打3500个字的时间与小明打2500个字的时间相同．（1）小丽、小明每分钟分别可打多少字？（2）由小明继续完成，则小明还需要工作多少小时？参考答案一．选择题（共6小题）1ABCD2ABCD3ABCD4A BC D5．一项工程由甲、乙两队合做共需4天完成，如果甲队单独做共需6天完成，那么由乙单A B C D解：6．为满足市场需求，产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新A B C D解：二．填空题（共12小题）7解：8解：9解：由题意，得故答案为：0．10解：11∴107x k +=-，由关于x 的方程107x k ++=没有实根知70k -<， 则7k >，故答案为：7k >．12．已知12x y =-⎧⎨=⎩ 不是 （填“是”或“不是” )方程22220x xy y x y ++---=的解． 解：把12x y =-⎧⎨=⎩代入方程22220x xy y x y ++---=中得： 左边12(1)24(1)222=+⨯-⨯+----=-，右边0=，∴左边≠右边，∴12x y =-⎧⎨=⎩不是方程22220x xy y x y ++---=的解， 故答案为：不是．13．方程组2214x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是 31x y =⎧⎨=⎩或53x y =-⎧⎨=-⎩． 解：2214x y x y -=⎧⎨+=⎩①②， 由①得：12x y =+③，把③代入②得：2124y y ++=，2(1)4y +=，12y +=±，当12y +=时，1y =，3x =，当12y +=-时，3y =-，5x =-，∴原方程组的解为：31x y =⎧⎨=⎩或53x y =-⎧⎨=-⎩．14的值是9．故答案为：9．15．二元二次方解为两个一次方程的结果16解：故答案为：1117240多行驶20千米，结果甲车比乙车早到30解：18．一辆货车与一辆客车都从甲地开往乙地，甲乙两地相距600千米，货车比客车早出发4小时，客车比货车早到1解：三．解答题（共7小题）19+2x2021解：由（2另解：由（1（3）把（3）代入（2）分别代入（3）（1分）1分） 22由①由②23．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次又用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？解：答：第一次买了10本资料．24．阅读与理解：解：阅读材料：25．小丽、小明练习打字，已知小丽比小明每分钟多打80个字，小丽打3500个字的时间与小明打2500个字的时间相同．（1）小丽、小明每分钟分别可打多少字？（2）由小明继续完成，则小明还需要工作多少小时？解：（1答：小丽每分钟打280个字，小明每分钟打200个字；（2。

二元二次方程和方程组【教学目标】1．知道二元二次方程和二元二次方程组的概念，知道二元二次方程的一般形式，能识别二次项、一次项、常数项等；2．了解二元二次方程（组）的解的概念，能判别给定的数值是否是方程（组）的解；3．经历二元二次方程（组）的概念以及二元二次方程（组）的解的概念的形成过程，发展观察归纳能力，体会类比的思想方法。

【教学重难点】1．二元二次方程（组）及其解的概念和辨别。

2．二元二次方程（组）的辨别。

【教学过程】一、情景引入。

问题1：如图，有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边分别是多少？预设生答：根据题意（设2个未知数），设较短的直角边的长为x，较长的直角边的长为y。

由图及勾股定理得：（3）将这两个方程组成方程组，解这个方程组，就可以求出两条直角边的长。

问题2：某剧场管理人员为了让观众有更舒适的欣赏环境，对座位进行了调整。

已知剧场原有座位500个，每排的座位数一样多；现在每排减少了2个座位，并减少了5排，剧场座位数相应减少为345个。

问：剧场原有座位的排数是多少？每排有多少个座位？答：设剧场原有座位的排数为x排，每排座位数为y个，根据题意列出方程观察：在上述两个问题列出的方程中，方程（2）、（3）、（2）、（3）、（4）与方程（1）有什么异同？教师：方程（2）、（3）、（4）都是二元二次方程。

二、学习新课。

1．仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程。

2．关于x、y的二元二次方程的一般形式是：（a．b．c．d．e、f都是常数，且a．b．c中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a．b．c分别叫做二次项系数，dx，ey叫做这个方程的一次项，d．e分别叫做一次项系数，f叫做这个方程的常数项。

反馈练习：1．下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项。

21.5-21.6二元二次方程（组）及其解法（3种题型基础练+提升练）题型一：二元二次方程1．在方程①57x y +=；②240-+=x y ；③70+=xy ；④22191+=x y；⑤2253370+++=x xy y x 中，是二元二次方程的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】化简后看含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程有几个即可．【详解】解：①含有两个未知数但未知数最高次数是1，是二元一次方程；②含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；③含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；④未知数在分母中，是分式方程，不是二元二次方程；⑤含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程．综上所述，有3个二元二次方程．故选：C【点睛】本题考查了对二元二次方程的定义的应用，解题的关键是掌握二元二次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是二元二次方程.2．（2022秋·上海·八年级校考期中）二元二次方程2560x xy y --=可以化为两个一次方程，它们是______．【答案】x -6y =0或x +y =0【分析】把y 看成常量，方程就是关于x 的一元二次方程，利用因式分解法化为两个一次方程即可．【详解】解：x 2-5xy -6y 2=0，（x -6y ）（x +y ）=0，∴x -6y =0或x +y =0．故答案为：x -6y =0或x +y =0．【点睛】本题考查了二元二次方程，把y 看成常量，方程看成关于x 的一元二次方程是解决本题的关键．题型二：二元二次方程组1．下列方程组中，是二元二次方程组的是（ ）A ．51x y x y +=ìí-=îB ．210618x y x y ì+=ïïíï-=ïîC ．716xy x =ìí=îD ．312x y xy x yì+=í=+î【答案】C 【分析】根据二元二次方程组的定义进行解答即可．【详解】解：A 项为二元一次方程组，故本选项错误；B 项二元一次分式方程组，故本选项错误；C 项的第一个方程为二元二次方程，故为二元二次方程组，故本选项正确；D 中未知数的最高次数为3，故不是二元二次方程组，故本选项错误．故选：C【点睛】本题主要考查二元二次方程组的定义，解题的关键是根据二元二次方程组的定义逐个分析判断．2．（2023下·上海浦东新·八年级上海市进才中学北校校考阶段练习）方程组212x y x y k ì-=í-=î有实数解，则k 的取值范围是（ ）A ．2k ³B ．2k =C ．2k <D ．2k £【答案】D【分析】①-②得出221x x k -=-，求出2210x x k -+-=，根据方程组有实数解得出()()224110k D =--´´-³，再求出k 的取值范围即可．【详解】解：212x y x y k ì-=í-=î①②，①-②，得221x x k -=-，即2210x x k -+-=，∵方程组212x y x y k ì-=í-=î有实数解，∴一元二次方程2210x x k -+-=有实数根，∴()()224110k D =--´´-³，解得：2k £，故选：D ．【点睛】本题考查了解高次方程组和一元二次方程根的判别式，方程组消元转化成一元二次方程是解此题的关键．3．（2022春·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）写出一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组___________，使它的解是34x y =ìí=î和34x y =-ìí=-î．【答案】2277x y x y +=ìí-=î（答案不唯一）【分析】根据方程组的解可得71x y x y +=-=，，再由平方差公式得到227x y -=，则可写出满足条件的一个方程组为2277x y x y +=ìí-=î．【详解】解：Q 方程组的解为34x y =ìí=î和34x y =-ìí=-î，71x y x y \+=-=，，227x y x y x y \-=+-=（）（），\方程组可以是2277x y x y +=ìí-=î，故答案为：2277x y x y +=ìí-=î（答案不唯一）．【点睛】本题考查二元二次方程组，熟练掌握二元一次方程和二元一次方程的基本形式，根据所给的条件写出符合题意的方程组是解题的关键．4．（2022秋·上海浦东新·八年级校考期中）方程组()()210x y m y x ì-+=í=î的解只有一组，则m 的取值范围是______．【答案】0m >【分析】根据条件表示方程组的解，再求m 的范围．【详解】解：()()210x y m y x ì-+=í=î①②，由①，得10x -=或0y m +=，1x \=，y m =-．当1x =时，代入②得：1y =，\原方程组的一组解为：11x y =ìí=î，当y m =-时，代入②得：2m x -=，Q 原方程只有一组解，2m x \-=无解，0m \-<．0m \>．故答案为：0m >．【点睛】本题考查二元二次方程组的解，根据第一个方程，求得1x =，y m =-是解题的关键．题型三：二元二次方程组的解法5．（2023下·上海黄浦·八年级统考期末）解方程组：2226444y x x xy y -=ìí++=î①②【答案】1114x y =-ìí=î或2222x y =-ìí=î【分析】由②得22x y +=±从而将原方程组化成两个二元一次方程组，分别求二元一次方程组的解即可．【详解】解：由②得：()224x y +=，∴22x y +=±，即22x y +=或22x y +=-，∴原方程组可化为两个二元一次方程组()Ⅰ2622y x x y -=ìí+=î ，()Ⅱ2622y x x y -=ìí+=-î，解()Ⅰ得：1114x y =-ìí=î 解()Ⅱ得：2222x y =-ìí=î所以原方程组的解是1114x y =-ìí=î，2222x y =-ìí=î．【点睛】本题考查二元二次方程的解法，掌握二元二次方程的解法是解题的关键．6．（2023下·上海虹口·八年级上外附中校考期末）222209x y x xy y ì-=í--=î．【答案】1133x y =ìí=-î，2233x y =-ìí=î．【分析】①-②得9xy =-③，由①得0x y +=或0x y -=，和③组成方程组，再得出答案即可．一、填空题1．（2022春·上海·八年级专题练习）把二元二次方程22560x xy y --=化成两个一次方程，则这两个一次方程分别是：__________和__________．【答案】 60x y -= 0x y +=【分析】把方程则左边分解因式，根据两个式子的积是0，则至少有一个因式是0，即可转化成两个一次方程．【详解】解：x 2﹣2xy ﹣3y 2＝0即（x ﹣6y ）（x ＋y ）＝0，则这两个一次方程分别是：x ﹣6y ＝0和x ＋y ＝0．故答案是：x ﹣6y ＝0和x ＋y ＝0．【点睛】本题考查了高次方程通过分解因式的方法转化成两个一次方程，降次是高次方程的基本思想．2．（2022春·上海徐汇·八年级校考期中）一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是24x y =ìí=î和24x y =-ìí=-î，试写出符合要求的方程组________（只要填写一个即可）．【答案】28y x xy =ìí=î【分析】从方程组的两组解入手，找到两组解之间的乘积关系为二元二次方程，倍数关系为二元一次方程，联立方程组即可.【详解】解：根据方程组的解可看出：xy =8，y =2x ，∴符合要求的方程组为28y x xy =ìí=î.【点睛】根据未知数的解写方程组的题目通常是利用解之间的数量关系（和差关系或倍数关系等）来表示方程组的解.二、解答题3．（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期末）解方程组：22222241929x xy y x x xy y y ì+++=í++-=î5411222x y x y íï+=ï+-î5．（2022春·上海·八年级期中）解方程组：22220290x y x xy y --=ìí++-=．6．（2022春·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）解方程组：2232032x xy yx yì-+=í+=î7．（2022春·上海·八年级期中）解方程组：2222449560x xy yx xy yì++=í+-=î．8．（2022春·上海普陀·八年级校考期中）解方程组：22240 40x xyx yì-+=í-=î．【答案】1124x y =ìí=î或2224x y =-ìí=-î．【分析】把第二个方程通过因式分解化为2x+y ＝0或2x−y ＝0，与第一个方程组成方程组，解方程组即可．【详解】解：原方程组为：2224040x xy x y ì-+=í-=î①②由②得，(2x+y )(2x−y )＝0，则2x+y ＝0或2x−y ＝0，∴可得（1）24020x xy x y ì-+=í+=î，此方程组无解，（2）24020x xy x y ì-+=í-=î，解得，1124x y =ìí=î，2224x y =-ìí=-î，则原方程组的解为：1124x y =ìí=î或2224x y =-ìí=-î．【点睛】本题考查的是高次方程（组）的解法，解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．9．（2023春·八年级单元测试）k 为何值时，方程组242102y x y y kx ì--+=í=+î．（1）有两组相等的实数解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解．【答案】（1）k =1；（2）k <1且k ≠0；（3）k >1【分析】（1）将方程组转化为k 2x 2+（2k ﹣4）x +1＝0，用根的判别式，列出方程求解即可；（2）同（1）用根的判别式，列出不等式求解即可；（3）通过讨论k ＝0和k ≠0，根据方程无实根，确定k 的范围即可．10．解方程组：21238438 xy x yyz z yzx z x=+-ìï=+-íï=+-î11．（2022秋·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”：②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．(1)判断分式方程12111x x+=-+=“相似方程”，并说明理由；(2)已知关于x ，y 的方程：224928x y -=和234x y -=，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；(3)已知关于x ，y 的二元一次方程：()14y k x =+-和3y x k =-（其中k 为常数）是“相伴方程”，求k 的值.。

21.6二元二次方程组的解法教学目标：1、会用代入消元法解由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的二元二次方程组；2、通过解二元二次方程组的活动，体验化归思想及“消元”和“降次”的策略，提高灵活运用数学知识的能力；3、经历探索二元二次方程组解法的过程，体会数学知识的内在联系，养成善于观察、勤于思考、相互合作的良好习惯。

教学重点：会用代入消元法解由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的二元二次方程组，体验化归思想及“消元”的策略。

教学难点：通过利用“整体代入”的方法解特殊的二元二次方程组的过程，体会“降次”的策略。

教学过程：一、复习引入1、下列方程组分别叫什么方程组？49151235x y x y -=⎧⎨-=⎩（） 2、两个二元二次方程组有何共同特征？【设计意图】复习二元二次方程组的概念和二元一次方程组的解法，并通过学生观察明确本节课的主题，引导学生借鉴二元一次方程组的解法探究二元二次方程组的解法。

二、自主探究1、探究二元二次方程组的解法： 【设计意图】通过探索二元二次方程组解法的过程，体会“化归”思想和“消元”策略，初步掌握用代入消元法解由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的二元二次方程组的一般方法和步骤，感知新旧知识之间的内在联系，养成相互合作、勇于探究的学习习惯。

2、判断下列说法是否正确，为什么？（1）在上述解题过程中，可把③直接代入①后再解方程，这样计算更简单。

（2）他将 求出后，选择将y 的值代入方程②，得到： 12y x -=⎧⎨⎩22（）x +2y -1=012y x -=⎧⎨⎩22（）x +2y -1=012203y y ==，②得，2212()1033x +⨯-==±2x ， ②得，0101x +-==±2 x ，【设计意图】加深对代入消元法的理解，正确掌握回代方法。

三、巩固提高例题1 解方程组 【设计意图】巩固二元二次方程组的解法，会合理选择“用含有一个未知数的整式去表示另一个未知数”。