21.5-21.6二元二次方程和方程组及其解法知识梳理+九大例题分析+经典同步练习知识梳理一、二元二次方程1. 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.要点：（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a 、b 、c 分别叫做二次项系数，叫做这个方程的一次项，d 、e 分别叫做一次项系数，f 叫做这个方程的常数项.2.二元二次方程的解能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.要点：二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况.二、二元二次方程组1.概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.要点：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.2. 二元二次方程组的解:方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.22ax bxy cy dx ey f o +++++=22,,ax bxy cy ,dx ey三、二元二次方程组的解法1.代入消元法代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； ②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； ③解这个一元二次方程，求得未知数的值； ④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值； ⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解；⑥写出原方程组的解.要点：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组；（2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.2、因式分解法 (1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解. (2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.典型例题例题1．在方程①57x y +=；②240-+=x y ；③70+=xy ；④22191+=x y ；⑤2253370+++=x xy y x 中，是二元二次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】化简后看含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程有几个即可．解：①含有两个未知数但未知数最高次数是1，是二元一次方程；②含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；③含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；④未知数在分母中，是分式方程，不是二元二次方程；⑤含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程．综上所述，有3个二元二次方程．故选：C例题2．下列方程组中，属于二元二次方程组的为（ ）A．2x yx y+=ìí-=îB．123234x yx yì+=ïïíï-=-ïîC．11xx yì+=ïí+=ïîD．324xxy=ìí=î【答案】D【解析】根据一元一次方程组的定义对A进行判断；根据整式方程组的定义对B、C进行判断；根据二元二次方程组的定义对D进行判断．解：A、两个方程都是二元一次方程，所组成的方程组为二元一次方程组，所以A 选项不正确；B、两个方程都是分式方程，所组成的方程组为分式方程组，所以B选项不正确；C、有一个方程是无理方程，所组成的方程组不是二元二次方程组，所以C选项不正确；D、有一个方程是二元二次方程，另一个是一元一次方程，所组成的方程组为二元二次方程组，所以D选项正确．例题3．已知：方程组îíì-==+)2(1)1(122x y y x ，把（2）代入（1），得到正确的方程是（ ）x 2+2（1﹣x ）=1B ．x 2+2（x ﹣1）=1C ．x 2+（1﹣x ）2=0D ．x 2+（1﹣x ）2=1【答案】D【解析】运用代入消元法解方程组即可．解：把（2）代入（1）得x 2+（1﹣x ）2=1四个答案中只有D 合题意．故选D ．例题4．二元二次方程组îíì=-=+1522y x y x 的一个解是（ ）îíì-=-=21y xB ．îíì=-=21y xC ．îíì-==21y xD ．îíì==21y x 【答案】A【解析】用代入法即可解答，把②化为x=1+y ，代入①得（1+y ）2+y 2=求解即可．解：把②化为x=1+y ，代入①得（1+y ）2+y 2=5，整理得，2y 2+2y ﹣4=0解得y 1=﹣2，y 2=1，分别代入②得当y 1=﹣2时，x 1=﹣1，当，y 2=1时，x 2=2，故原方程组的解为îíì-=-=2111y x ，îíì==1222y x ．故选A ．例题5．方程组 îíì-=--=-12122x y x y x 的实数解个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】把方程①变形成x=y+1，代入②即可求得y 的值，进而求得方程组的解，从而判断．解：îíì-=--=-）（）（2121122x y x y x 由①得：x=y+1代入方程②得：2（y+1）2﹣y 2﹣（y+1）=﹣1即：y 2+3y+2=0解得：y 1=﹣1，y 2=﹣2把y=﹣1代入①得：x=0把y=﹣2代入①得：x=﹣1则方程组的解是：îíì-==10y x ，和îíì-=-=21y x 只两个解．故选C ．例题6．方程组îíì==+022xy y x 的解是（ ）îíì==0011y x ，ïîïíì==12122y x B ．îíì==2011y x ，îíì==0122y x C ．îíì==2011y x ，îíì=-=0122y x D ．îíì-==2011y x ，îíì==0122y x 【答案】B 【解析】由①得出y=2﹣2x ③，把③代入②得出x （2﹣2x ）=0，求出x ，把x 的值分别代入③求出y 即可．解：îíì==+）（20)1(22xy y x ，由①得：y=2﹣2x ③，把③代入②得：x （2﹣2x ）=0，x=0，2﹣2x=0，解得：x 1=0，x 2=1，把x 1=0，x 2=1分别代入③得：y 1=2，y 2=0，即原方程组的解为：îíì==2011y x ，îíì==0122y x ．故选B ．例题7．方程ïîïíì+-=-++=+yx a y x y x a y x 2)(2)(22有解但无不同的解时，a=（ ）A ．1 B ．0 C ．﹣21 D ．﹣1【答案】D【解析】由题意知，原方程组有解，并且有相同的解，由一元二次方程根的判别式可以知道△=0，将原方程组转化成一元二次方程就利用△=0就可以求出a=的值．解：ïîïíì+-=-++=+)2(2)()1(2)(22y x a y x y x a y x 由①﹣②，得4xy=2x4xy ﹣2x=02x （2y ﹣1）=0∴x=0或y=21（与条件不符合，∵y=21时方程①、②不相等）∴当x=0时y 2=a+2y∴y 2﹣2y ﹣a=0∴△=（﹣2）2﹣4（﹣a ）=0∴4+4a=0∴a=﹣1．故D 答案正确．故选D ．例题8．方程组ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x 在实数范围内（ ）1.有1组解B ．有2组解C ．有4组解D ．有多于4组的解【答案】D【解析】根据题意，分析分别就a 、当x≥0、y≥0时；b 、当x≥0、y≤0时；c 、当x≤0、y≥0时；当x≤0、y≤0时四种情况，去掉决定值符号，分解因式联立方程，利用根据与系数的关系即是否符号题意，来判断方程组的解．解：a 、当x≥0、y≥0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=+-=+-)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2﹣5（x+y ）=0⇒（x+y ）（x ﹣y ﹣5）=0，即x=﹣y 或 x=y+5 ③当x=﹣y 时，解得x=0，y=0，当x=y+5时，②③联立得y 2﹣3y+5=0∵△=9﹣20=﹣11＜0，∴无解．b 、当x≥0、y≤0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=++=--)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2﹣5（x+y ）=0⇒（x+y ）（x ﹣y ﹣5）=0，即x=﹣y 或x=y+5 ③当x=﹣y 时，②③联立得 y 2+3y=0解得 îíì==00y x 或îíì-==33y x 当x=y+5时，②③联立得 y 2﹣3y+5=0∵△=9﹣20=﹣11＜0，∴无解．c 、当x≤0、y≥0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=--=++)2(04)1(0422x y y y x x ïîïíì=--=++)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2+5（x+y ）=0⇒（x+y ）（x ﹣y+5）=0，即x=﹣y 或x=y ﹣5 ③当x=﹣y 时，②③联立得 y 2﹣3y=0解得 îíì==00y x 或îíì=-=33y x ，当x=y ﹣5时，②③联立得 y 2﹣5y+5=0∵△=25﹣20=5＞0，∴方程有两解．d 、当x≤0、y≤0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=-+=-+)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2+5（x ﹣y ）=0⇒（x ﹣y ）（x+y ﹣5）=0，即x=y 或x=﹣y+5③当x=y 时，②③联立得 y 2+3y=0解得 îíì==00y x 或îíì-==33y x （不合题意，舍去）当x=﹣y+5时，②③联立得 y 2+5y ﹣5=0∵△=25+20=45＞0，∴方程有两解．综上所述，方程有7个解．故选D ．例题9．已知，实数x ，y ，z 满足，则x 4+y 4+z 4=（ ）A ．4B ．C ．D ．以上都不对【答案】C【解析】根据已知条件先求出xy+xz+yz=，再求出xyz=，根据完全平方公式即可求解．解：∵，∴由（1）代入上式得：xy+xz+yz=（4），而x 3+y 3+z 3﹣3xyz=（x+y+z ）（x 2+y 2+z 2﹣xy ﹣xz ﹣yz ），把（3）（4）代入上式得：xyz=（5），由（4）平方得：；把（5）代入上式得：，∴．故选C ．一、单选题1．下列方程中，判断中错误的是（）A ．方程20316x x x +-=+是分式方程B ．方程3210xy x ++=是二元二次方程C 20+=是无理方程D ．方程()()226x x +-=-是一元二次方程【答案】C逐一进行判断即可．A. 方程20316x x x +-=+是分式方程，正确，故该选项不符合题意； B. 方程3210xy x ++=是二元二次方程，正确，故该选项不符合题意；C.20+=是一元二次方程，错误，故该选项符合题意；D. 方程()()226x x +-=-是一元二次方程，正确，故该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查方程的概念，掌握一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程的概念是解题的关键．2．下列方程组中，是二元二次方程组的是（ ）A ．12x y x y +=ìí-=îB ．22231310x y x y ì-=ïïíï+=ïîC ．21x y xy -=ìí=îD ．313x y xy y xì+=í=-î【答案】C【解析】根据二元二次方程组的定义依次判断即可.A 、是二元一次方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意；B 、是分式方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意；C 、是二元二次方程组，故本选项符合题意；D 、是二元三次方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意；故选：C.此题考查二元二次方程组的定义，熟记定义是解题的关键.3．在方程①57x y +=；②240-+=x y ；③70+=xy ；④22191+=x y ；⑤2253370+++=x xy y x 中，是二元二次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】化简后看含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程有几个即可．解：①含有两个未知数但未知数最高次数是1，是二元一次方程；②含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；③含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；④未知数在分母中，是分式方程，不是二元二次方程；⑤含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程．综上所述，有3个二元二次方程．故选：C【点睛】本题考查了对二元二次方程的定义的应用，解题的关键是掌握二元二次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是二元二次方程.4．解方程组2222129x y x xy y ì-=í++=î①②的可行方法是（ ）A ．将①式分解因式B ．将②式分解因式C ．将①②式分解因式D ．加减消元【答案】C【解析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先因式分解组中的两个二元二次方程，再解答即可．解：∵因式分解①得： ()()1x y x y +-=，因式分解②得：()29x y +=∴3x y +=或3x y +=-，将3x y +=或3x y +=-代入()()1x y x y +-=中得到13x y -=或13x y -=-，得到方程组313x y x y +=ìïí-=ïî或313x y x y +=-ìïí-=-ïî，解得：115343x y ì=ïïíï=ïî，225343x y ì=-ïïíï=-ïî故答案为：C ．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是根据二元二次方程组的特点，进行因式分解．5．方程组2y x y x mì=í=+î有两组不同的实数解，则（ ）A ．m ≥14-B ．m ＞14-C ．14-＜m ＜14D ．以上答案都不对【答案】B【解析】将y=x²与y=x+m 函数联立，根据解的个数求解即可．方程组2y x y x mì=í=+î有两组不同的实数解，两个方程消去y 得，20x x m --=，需要△＞0，即1+4m ＞0，所以m ＞14-,故选B.【点睛】本题考查了二元二次方程，用到的知识点是加减消元法解方程组，根的判别式、解一元二次方程等知识，关键是根据根的判别式求出m 的值．6．方程组2211x y ì=í=î的实数解的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】根据平方根的性质，正数的平方根有两个，互为相反数即可求解.解：解21x =得1x =±，解21y =得1y =±，∴方程组的解为：11111111x x x x y y y y ===-=-ììììíííí==-==-îîîî，，，，故选D.【点睛】本题考查解二元二次方程组，二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二•一”型和“二•二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型．“二•一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二•二”型是由两个二元二次方程组成的方程．7．二元二次方程组的解是A．B．C．D．【答案】C本题可将选项中的四组答案代入检验看是否符合二元二次方程组．也可根据第一个式子，得出与的关系，代入第二个式子求解依题意得=3-∴y=（3-）=-10-2+3+10=02-3-10=0（-5）（+2）=0=5，2=-21∴方程的解为：，故选C8．已知下列四对数值不是方程的解是（）：A．B．C．D．【答案】A【解析】将各选项代入方程进行验证即可．解：A、当x=-5，y=-2时，左边=(-5)²+(-2)² =29≠13，左边≠右边，故A错误；B、当x=-2，y=3时，左边=(-2)²+3² =13，左边=右边，故B正确；C、当x=2，y=3时，左边=2²+3² =13，左边=右边，故C正确；D、当x=-3，y=2时，左边=(-3)²+2² =13，左边=右边，故D正确；【点睛】本题考查了二元二次方程的解的定义，掌握二元二次方程的解得定义是解题的关键．9．方程组20230x y x x y +=ìí++-=î的解的情况是（ ）A ．有两组相同的实数解B ．有两组不同的实数解C ．没有实数解D ．不能确定【答案】B【解析】首先运用代入法，将方程组进行变形，然后利用根的判别式即可判定.20230x y x x y +=ìí++-=î①②将①代入②，得2230x -=240423240b ac =-=+´´=△＞故方程有两组不同的实数解，故选：B.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.10．如果14x y =ìí=î 是方程组x y a xy b +=ìí=î的一组解，那么这个方程组的另一组解是（ ）A ．41x y =ìí=îB ．14x y =-ìí=-îC ．41x y =-ìí=-îD ．41x y =ìí=-î【答案】A将14x y =ìí=î代入方程组x y a xy b +=ìí=î求得54a b =ìí=î，再解方程组54x y xy +=ìí=î即可得解.将14x y =ìí=î代入方程组x y a xy b +=ìí=î中得：1414a b +=ìí´=î，解得：54a b =ìí=î，则方程组变形为：54x y xy +=ìí=î，由x+y=5得：x=5-y ，将x=5-y 代入方程xy=4中可得：y 2-5y+4=0，解得y=4或y=1，将y=1代入xy=4中可得：x=4，所以方程的另一组解为：41x y =ìí=î．故选A ．【点睛】本题考查了高次方程，二元一次方程组的解法，熟记解二元一次方程的解法是解题的关键．11．方程组2220x y m y x ì-=í-=î有四组不同的实数解，则m 的取值范围是（ ）A ．14m <-B ．14m >-C ．104m -<>D ．14m >-，且0m ¹【答案】D首先运用代入法将方程组变形，然后利用根的判别式即可得解.2220x y m y x ì-=í-=î①②由②，得2x y =③将③代入①，得420y y m --=∵方程组有四组不同的实数解，∴()()224141140b ac m m =-=--´´-=+△＞且0m ¹∴14m >-，且0m ¹故选：D.【点睛】此题主要考查根据二元二次方程组的解求参数的取值范围，解题关键的利用根的判别式.12．二元二次方程组22220,4 2.x xy y x y ì+-=í+=-î的解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由①得x-y=0或x+2y=0，原方程组可变为：2042x y x y -=ìí+=-î③④或22042x y x y +=ìí+=-î⑤⑥，然后用代入消元法求解即可．2222042x xy y x y ì+-=í+=-î①②，由①得(x-y)(x+2y)=0，∴x-y=0或x+2y=0，∴原方程组可变为：2042x y x y -=ìí+=-î③④或22042x y x y +=ìí+=-î⑤⑥，由③得x=y ，把x=y 代入④得y 2+4y=-2，解得，∴1122x y ì=-ïí=-ïî2222x y ì=-+ïí=-ïî；由⑤得x=-2y ，把x=-2y 代入⑥得4y 2+4y+2=0，即2y 2+2y+1=0，∆=4-8=-4＜0，∴此时方程无实数根，综上可知，方程组有两组解：1122x y ì=--ïí=-ïî，2222x y ì=-+ïí=-ïî．故选B ．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握代入消元法是解答本题的关键．二、填空题13．12x y =ìí=-î_______方程组22245x y x y -=ìí-=î的解（填“是”或“不是”）．【答案】不是【解析】把12x y =ìí=-î代入原方程组的两个方程即可得到答案．解：把12x y =ìí=-î代入原方程组22245x y x y -=ìí-=î中的225x y -=中，方程左边＝221(2)143--=-=-¹右边，所以12x y =ìí=-î不是原方程组的解．故答案为：不是．【点睛】本题考查的是方程组的解的含义，掌握方程组的解满足方程组的每一个方程是解题的关键．14．像22121x y x y ì+=-í+=î这样的二元二次方程组，是由一个________方程和一个_________方程组成，可以用________法解这个方程．【答案】二元二次二元一次 代入 【解析】观察方程组，由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，可以用代入法求解.由题意，得该方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，可以用代入法求解，故答案为：二元二次；二元一次；代入.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.15．已知12x y =ìí=-î是方程组x y m x y n +=ìí×=î的一个解，那么这个方程组的另一个解是__________.【答案】21x y =-ìí=î.【解析】将12x y =ìí=-î代入原方程组求得12m n =-ìí=-î，所以原方程组是12x y xy +=-ìí=-î，再解此方程组即可.解：将12x y =ìí=-î代入原方程组求得12m n =-ìí=-î，∴原方程组是12x y xy +=-ìí=-î①②，由①，得x=-y-1③，把③代入②式，化简得y 2+y-2=0，解之，得y 1= -2，y 2= 1．把y 1=-2代入x=-y-1，得x 1=1，把y 2=1代入x=-y-1，得x 2=-2．∴原方程组的解为：121212,21x x y y ==-ììíí=-=îî.故答案为：21x y =-ìí=î.【点睛】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．解方程组24221x y xy +=ìí=-î①② 的解为_______________【答案】121237,7322x x y y =-=ììïïíí==-ïïîî【解析】由①得出x=4-2y ③，把③代入②得：2（4-2y ）y=-21，求出y 1 = 72 ，y 2 = - 32，分别代入③，求出x 即可．解： 24221x y xy +=ìí=-î①②由①得：x=4-2y ③，把③代入②得：2（4-2y ）y=-21，解得：y 1 =72 ，y 2 = - 32 ， 把y 1 = 72代入③得：x 1 =-3， 把y 2 =- 32代入③得：x 2 =7， 即原方程组的解是 121237,7322x x y y =-=ììïïíí==-ïïîî .【点睛】本题考查了解高次方程组的应用，解此题的关键是能正确消元，即把二元变成一元．17．解方程组224422032110x xy y x y x y ì-++--=í+-=î的解为_______________【答案】21129341178x x y y ìì=ïï=ïïíí=ïï=ïïîî【解析】首先把方程②变形为y=1132x -，然后利用代入法消去y ，得到关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，然后就可以求出y ，从而求解．解：224422032110x xy y x y x y ì-++--=í+-=î①②，由②得:y=1132x -③ 把③代入①得:x 2-4(113)2x x -+4(1132x -)2+x-2(113)2x --2=0. 整理得:4x 2-21x+27=0∴x 1=3 x 2=94. 把x=3代入③ 得:y=1把x=94代入④ 得:y=178. ∴原方程组的解为: 21129341178x x y y ìì=ïï=ïïíí=ïï=ïïîî【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．18．二元二次方程()()23320x y +-=有__________个解．【答案】无数【解析】根据()()23320x y +-=可得230x +=或320y -=，从而得出当32x =-时，y 可以取任意实数，当23y =，时，x 可以取任意实数，确定方程有无数个解．解：∵()()23320x y +-=∴230x +=或320y -=∴32x =-或23y =，当32x =-时，y 可以取任意实数，当23y =，时，x 可以取任意实数，∴方程有无数个解，故答案为：无数．【点睛】本题考查了方程的因式分解解法，解题的关键是得出当32x =-时，y 可以取任意实数，当23y =，时，x 可以取任意实数．19．解方程组224915235x y x y ì-=í-=î时，采用“_________”的方法，将二元二次方程224915x y -=化为_________方程，这是一种“__________”的策略．【答案】因式分解二元一次 消元降次【解析】观察方程组，由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，其中二元二次方程可以进行因式分解化为二元一次方程，这是采用了“消元降次”的策略.由题意，得该方程组可采用因式分解的方法，将二元二次方程224915x y -=化为二元一次方程，这是一种消元降次策略，故答案为：因式分解；二元一次；消元降次.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.20．如果222461461,461a a b c b b c a c c a b ì++=+ï++=+íï++=+î，那么a b c ++的值为_________________．【答案】32-【解析】方程组的三个方程轮循环对称，可把组中的三个方程相加，利用完全平方公式和非负数的和先求出a 、b 、c 的值，再计算a b c ++．解：222461461461a a b c b b a c c c a b ì++=+ï++=+íï++=+î①②③①+②+③，得222461461461a a b b c c b c a c a b ++++++++=+++++，整理，得2224414414410a ab bc c ++++++++=所以222(441)(441)(441)0a ab bc c ++++++++=即222(21)(21)(21)0a b c +++++=因为2(21)0a +…，2(21)0b +…，2(21)0c +…，所以210a +=，210b +=，210c +=所以12a =-，12b =-，12c =-，所以32a b c ++=-．故答案为：32-【点睛】本题考查了完全平方公式、非负数的和等知识点．观察题目，发现三个方程的特点是解决本题的关键．三、解答题21．解方程组：22449(1)6(2)x xy y x y ì++=í-=î．【答案】33x y =ìí=-î或51x y =ìí=-î【解析】先降次转化成两个一次方程组，解方程组即可求解．解：224496x xy y x y ì++=í-=î①②，由方程①可得x +2y ＝﹣3或x +2y ＝3，则方程组可变为236x y x y +=-ìí-=î或236x y x y +=ìí-=î，解得33x y =ìí=-î或51x y =ìí=-î．【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．22．解方程组：222220560x y x xy y ì+=í-+=î．【答案】1142x y =ìí=î，2242x y =-ìí=-î，33x y ì=ïí=ïî，44x y ì=ïí=ïî【解析】由22560x xy y -+=得()()230x y x y --=，从而得到20x y -=或30x y -=，即2x y =或3x y =；再将2x y =或3x y =分别代入到2220x y +=，通过求解即可得到答案．由22560x xy y -+=得：()()230x y x y --=∴20x y -=或30x y -=∴2x y =或3x y=将2x y =代入2220x y +=，得：22420y y +=∴2y =±∴1142x y =ìí=î，2242x y =-ìí=-î将3x y =代入2220x y +=，得：22920y y +=∴y =∴33x y ì=ïí=ïî，44x y ì=ïí=ïî∴方程组的解是：1142x y =ìí=î，2242x y =-ìí=-î，33x y ì=ïí=ïî，44x y ì=ïí=ïî．【点睛】本题考查了二元二次方程、因式分解、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握因式分解、二元二次方程的性质，从而完成求解．23．解方程组：2220326x xy x xy y ì+=í-+=î①②【答案】11x y ìïí=ïî22x y =ìïí=ïî，3311x y =-ìí=î，4411x y =ìí=-î【解析】解①，用含y 的代数式表示x ，然后代入②求出y ，再求出方程组的解．解：2220326x xy x xy y ì+=í-+=î①②，由①，得()0x x y +=，所以0x =或x y =-．把0x =代入②，得226y =，解得y =．把x y =-代入②，得222326y y y ++=，整理，得21y =，所以1y =±．所以1x =-或1．故原方程组的解为：11x y ìïí=ïî22x y =ìïí=ïî，3311x y =-ìí=î，4411x y =ìí=-î．【点睛】本题考查了高次方程组的解法．变形①用代入法把二元二次方程组转化为一元二次方程，是解决本题的关键．24．2222560112x xy y x x y y ì-+=í++-=î【答案】112515x y ì=-ïïíï=-ïî，2242x y =ìí=î，333515x y ì=-ïïíï=-ïî，4431x y =ìí=î【解析】根据二元二次方程组的解法进行求解即可．解：2222560112x xy y x x y y ì-+=í++-=î①②，由①得：23x y x y=ìí=î，当x=2y 时，代入②可得：25920y y --=，解得：121,25y y =-=，∴122,45x x =-=；当x=3y 时，代入②可得：210820y y --=，解得：341,15y y =-=，∴343,35x x =-=，综上所述：方程组的解为112515x y ì=-ïïíï=-ïî，2242x y =ìí=î，333515x y ì=-ïïíï=-ïî，4431x y =ìí=î．【点睛】本题主要考查二元二次方程方程组的解法，熟练掌握二元二次方程组的解法是解题的关键．25．解方程组：22312230x y x xy y +=ìí--=î【答案】1162x y =ìí=î；2266x y =-ìí=î【解析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程组成方程组，即可求解．解：22312230x y x xy y +=ìí--=î①②由②得()()30x y x y -+=30x y -=或0x y +=原方程组可化为31230x y x y +=ìí-=î；3120x y x y +=ìí+=î解得1162x y =ìí=î；2266x y =-ìí=î所以原方程组的解是1162x y =ìí=î；2266x y =-ìí=î【点睛】本题考查高次方程组的解法，解题的基本思想是降次，掌握降次的方法是解高次方程的关键．26．解下列方程（组）（1）33(2019)(2018)1x x -+-=；（2）22222293,19293,19293.192x y xy z yz x z ì=ï+ïï=í+ïï=ï+î【答案】（1）2019或2018；（2）111(,,)333或(0,0,0)【解析】（1）运用换元法的思想令2019,2018m x n x =-=-，联立方程组可得m 和n 的等式，再利用完全平方公式的变形即可得出答案；（2）根据条件易得x=0,y=0,z=0时方程成立，当,,x y z 不为0时，把三个方程相加222111(1)(1)(1)0333x y z-+-+-=，然后根据平方数的非负性可得三个式子分别为零，即可求出结果．解：（1）令2019,2018m x n x =-=-;则3311m n m n +=ìí+=î;∴222()31-+=+-=m mn n m n mn ;∴0mn =即0m =或n=0;∴2019x =或2018；（2）易知(,,)(0,0,0)x y z = 为一组解;若,,x y z 不为0;则222121,93121,93121.93x y yz zx ì+=ïïï+=íïï+=ïî相加得222111(1)(1)(1)0333x y z -+-+-=;∴111(,,)(,,333x y z =;综上：111(,,)(,,333x y z =或()0,0,0.【点睛】本题主要考查方程的解法，灵活利用换元法、乘法公式变形及分类讨论思想是解题的重要环节．27．解下列方程组：（1）222220560x y x xy y ì+=í-+=î（2）217,11 1.x y x y x y x yì-=ï+-ïíï+=-ï+-î 【答案】（1）3124123444,,22x x x x y y y y ìììì===-=-ïïïïíííí==-==ïïïïîîîî（2）112512x y ì=ïïíï=ïî【解析】（1）把原方程组化为：222020x y x y ì+=í-=î或222030x y x y ì+=í-=î再分别解这两个方程组可得答案．（2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13x y -=-，联立求解并检验可得答案．解：（1）因为222220560x y x xy y ì+=í-+=î把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，即20x y -=或30x y -=原方程组化为：222020x y x y ì+=í-=î或222030x y x y ì+=í-=î因为222020x y x y ì+=í-=î把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，得24y =，所以2y =± ，所以方程组的解是42x y =ìí=î 或42x y =-ìí=-î同理解222030x y x y ì+=í-=î得方程组的解是x y ì=ïí=ïî或x y ì=ïí=ïî所以原方程组的解是：3124123444,,22x x x x y y y y ìììì===-=-ïïïïíííí==-==ïïïïîîîî（2）因为217,111.x y x y x y x yì-=ï+-ïíï+=-ï+-î①②所以①＋②得：36x y=+，所以12x y +=，把12x y +=代入②得：13x y -=-，所以1213x y x y ì+=ïïíï-=-ïî，解得：112512x y ì=ïïíï=ïî 经检验112512x y ì=ïïíï=ïî是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ì=ïïíï=ïî【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．28．某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如下表：第一次第二次甲种货车（辆）25乙种货车（辆）36累计运货（吨）1328（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？（2）若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，则该货主有________种租车方案？（3）王先生要租用该公可的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？【答案】（1）甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物；（2）4种租车方案；（3）甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元【解析】（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，根据第一、二次两种货车运货情况表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用a辆甲种货车，b辆乙种货车，根据货物的总重量为20吨且每辆货车都满载，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为非负整数，即可得出各租车方案；（3）设甲种货车每辆需运费m元，租用甲种货车n辆，则乙种货车每辆需运费1.4m元，租用乙种货车(n)1-辆，根据总费用=每辆车所需费用´租用该种车的辆数，即可得出关于m，n的二元二次方程组，解之即可得出结论．解：（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，依题意，得：2313 5628 x yx y+=ìí+=î，解得：23 xy=ìí=î．答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物．（2）设租用a 辆甲种货车，b 辆乙种货车，依题意，得：2320a b +=，3102a b \=-．a Q ，b 均为非负整数，b \为偶数，\当0b =时，10a =；当2b =时，7a =；当4b =时，4a =；当6b =时，1a =．\共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车．（3）设甲种货车每辆需运费m 元，租用甲种货车n 辆，则乙种货车每辆需运费1.4m 元，租用乙种货车(n )1-辆，依题意，得：8001.4(1)980mn m n =ìí-=î，解得：1008m n =ìí=î，1.4140m \=．答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及二元二次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元二次方程组．。
