二元二次方程组的解法课件
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七年级数学下册7.1二元二次方程组和它的解课件2华东师大版
04 练习与巩固
基础练习题
1、求方程 组的解集
2x + y = 5
2、求方程 组的整数解
3x + 2y = 10
x-y=2
x + 3y = 16
提升练习题
1、解方程组
01
02
3x - 4y = 10
x + 2y = -5
03
04
2、求方程组的正整数解
2x + y = 6
05
06
x + 2y = 5
综合练习题
1、解方程组
2x - y = 3
x+y=3
x + 2y = -1
2、求方程组的非负整数解
x - y = -1
05 总结与回顾
本节课的重点回顾
二元二次方程组的定义
01
由两个未知数和两个或两个以上的方程组成的方程组。
二元二次方程组的解法
02
通过消元法或代入法求解。
二元二次方程组的解的性质
数学中的二元二次方程组问题
几何问题
在平面几何或立体几何中，求解 某些图形的面积、体积或解决与 图形相关的最值问题，往往需要
使用二元二次方程组。
代数问题
在解决某些复杂的代数问题时，如 因式分解、解方程等，可能需要使 用到二元二次方程组。
解析几何问题
在解析几何中，研究平面曲线的性 质和特征时，经常需要用到二元二 次方程组。
对于方程组$begin{cases}x^{2} + y^{2} = 1 x + y = 1 end{cases}$，我 们可以将第一个方程变形为$y^{2} = 1 - x^{2}$，然后将这个结果代入第二个 方程，得到一个关于x的一元一次方程， 求解这个一元一次方程得到x的值，最后 代入得到y的值。
21.5 二元二次方程和方程组 课件(12张ppt)
仅含有两个未知数 含有未知数的项的最高次数是2 整式方程
二元二次方程
关于x、y的二元二次方程的一般形式是：
ax2 bxy cy2 dx ey f 0
条件：
二次项
一次项 常数项
a、b、c、d、e、f都是常数
a、b、c中至少有一个不为零
当b=0时，a与d不全为0、c与e不全为0
说 一 说： 下列关于x,y方程中，哪些是二元二次方程？是二 元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项.
Company Logo
想一想：
下列方程组中，哪些是二元二次方程组？
1、 3y 2
√
x2 xy x 2
xy x 20
2、 xy y 18 √
3、 x2 5 y √
3x y 1
3y2 x 1
4、
×
x 3y 5
思考与归纳 已知下列四对数值：
x
y
3 ;
2
x
y
2 ;
3
x
使该方程组有一个解是
x 2
y
1
3、判断下列二元二次方程解的情况
⑴ x2 y2 4y 0
x2 ( y 2)2 4 有无数个解
⑵ x2 y 2 4x 6 y 13 0
(x 2)2 ( y 3)2 0
只有一个解xy
2 3
⑶ x2 y 2 2x 4 y 10 0
21.5 二元二次方程和方程组
思考1： 如图，有一个大正方形，是由四个全等的直角三角 形与中间的小正方形拼成的.如果大正方形的面积是13， 小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长 分别是多少？
设较短的直角边为x，较长的直角边为y.
y
y x 1
可列出方程组：
二元二次方程
关于x、y的二元二次方程的一般形式是：
ax2 bxy cy2 dx ey f 0
条件：
二次项
一次项 常数项
a、b、c、d、e、f都是常数
a、b、c中至少有一个不为零
当b=0时，a与d不全为0、c与e不全为0
说 一 说： 下列关于x,y方程中，哪些是二元二次方程？是二 元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项.
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想一想：
下列方程组中，哪些是二元二次方程组？
1、 3y 2
√
x2 xy x 2
xy x 20
2、 xy y 18 √
3、 x2 5 y √
3x y 1
3y2 x 1
4、
×
x 3y 5
思考与归纳 已知下列四对数值：
x
y
3 ;
2
x
y
2 ;
3
x
使该方程组有一个解是
x 2
y
1
3、判断下列二元二次方程解的情况
⑴ x2 y2 4y 0
x2 ( y 2)2 4 有无数个解
⑵ x2 y 2 4x 6 y 13 0
(x 2)2 ( y 3)2 0
只有一个解xy
2 3
⑶ x2 y 2 2x 4 y 10 0
21.5 二元二次方程和方程组
思考1： 如图，有一个大正方形，是由四个全等的直角三角 形与中间的小正方形拼成的.如果大正方形的面积是13， 小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长 分别是多少？
设较短的直角边为x，较长的直角边为y.
y
y x 1
可列出方程组：
第七讲_二元二次方程组的解法
第七讲：二元二次方程组的解法【例1】解方程组221 (1)13 (2)y x x y =+⎧⎨+=⎩ 引导性提示：解二元二次方程组的基本思想和解二元一次方程组类似，都是通过“消元”，化二元为一元.。
以上方法同样叫做代入消元法。
解：将（1）代入（2），得 ()22113x x ++=.整理，得260x x +-=,解得123, 2x x =-=.把13x =-代入（1），得 12;y =-把22x =代入（1），得2 3.y =所以原方程组的解是 1212322; 3.x x y y =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩【例2】 解方程组： 224915 (1)23 5 (2)x y x y ⎧-=⎨-=⎩解： 方程（1）可变形为 ()()232315 (3)x y x y -+= 把（2）代入（3）中，得 ()52315x y +=即233x y +=于是，原方程组化为 233235x y x y +=⎧⎨-=⎩解这个二元一次方程组，得213x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以原方程组的解是 213x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩.【例3】解下列方程组：1、⎩⎨=+--011022x y x ；2、⎩⎨⎧==+67xy y x ；3、⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+023102222y xy x y x 答案：（1）⎩⎨⎧-==1011y x ，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=22122y x ； （2）⎩⎨⎧==1611y x ，⎩⎨⎧==6122y x （3）⎪⎩⎪⎨⎧==5511y x ，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=5522y x ，⎪⎩⎪⎨⎧==22233y x ，⎩⎨⎧-=-=22244y x 【例4】已知方程组⎩⎨⎧+==+--201242kx y y x y 有两个不相等的实数解，求k 的取值范围。
分析：由②代入①得到关于x 的一元二次方程，当△＞0且二次项系数不为零时，此方程有两个不相等的实数根，从而原方程组有两个不相等的实数解。
略解：由②代入①并整理得：01)42(22=+-+x k x k⎪⎩⎪⎨⎧>+-=--=∆≠016164)42(0222k k k k 即⎩⎨⎧<≠10k k ∴当k ＜1且k ≠0时，原方程组有两个不相等的实数解。
二元二次方程组的解法(第2课时)(课件)八年级数学下册(沪教版)
分别解这4个方程组，得原方程组的解是
x1 2,
x2
5 2
,
解：将方程①变形为 (x y)2 9.
y1 1;
y2
1; 2
两边开平方，得 x y 3 或 x y 3.
方程②左边分解因式，可变形为
(x y 1)(x y 2) 0. 得 x y 1 0 或 x y 2 0.
x3 1, y3 2;
x4
1, 2
y4
5 2
.
即 x ∴y原方1 或程组x 的y解是2. 5
1
原方程组x化1 为24,个二元x2一次2方, 程组x3： 1, x4 2 ,
y1 1;
y2
1; 2
y3 2;
y4
5. 2
课堂小结:
解二元二次方程组的基本思想是“消元”、“降次”. 代 入“消元”,因式分解“降次”. 由一个二元一次方程和一 个二元二次方程组成的方程组,一般采用代入消元法解. 由 两个都是二元二次方程(其中至少有一个可采用因式分解 法转化为两个二元一次方程)组成的方程组,采用因式分解 法解.
x
y
. 2
分别解这四个方程组，得原方程组的解是
x1 y1
3 2
1 2
;
x2
y2
1 2
3 2
;
x3 y3
3 ;
1
x4 y4
3 .
1
适时小结
二元二次方程 二元二次方程
两个方程组
二元一次方程 二元二次方程
四个方程组
二元一次方程 二元一次方程
解二元二次方程组的基本思路是
“消元”、“降次”.
y1
1 2
10 ;
10
x2
二元二次方程组的解法PPT教学课件
y
2
10 2
x2+y2=5 x-y=0
x2+y 2=5 x-3y =0
3 2
32
x3 2 x4 2
y
3
2 2
y
4
2 2
小结
一般步骤： 1、把能分解的方程转化为两个
二元一次方程； 2、把这两个二元一次方程分别与另一个方
程组成两个由一个二元一次方程和一个二 元二次方程组成的方程组； 3、解这两个方程组，得原方程组的解。
然后用__代__入__消__元____法来解。
(4)方
程组
x x
2 2
y2 20 6xy 9 y 2
可转化为 16
x2+y2=20
x2+y2=20
方程组____x-_3_y=_4_____ 和方程组__x-_3_y_=_-4______
然后用__代__入__消__元__法来解。
尝试题一
x2
2x
A.1/3
B. 3 C.1/2
3
D.
3 1
3
➢ 课前热身
8.(2004·西宁市)若分式 x2 2x 的3 值为0，则x＝
x1
-3。
9. (2004年·呼和浩特)已知 x 1 , xy 1
2 3
则
x2y xy2
x2 y2 =
1/4 .
10.化简：(
x
1
1
1
1 x
2
)
3x x1
1 3(x 1)
x3 y3
4 2
x4 y4
4 2
尝试题二
解下列方程组：
解：由①得
(1)x 2 3x
3xy 2 2 2xy
沪教版(上海)数学八年级第二学期21.6二元二次方程组解法(2)课件
,
x 5y 0 x 3y 0
达标练习
【A组】2、解下列方程组：
课堂小结
二元二次方程 二元二次方程
两个方程组
二元一次方程 二元二次方程
四个方程组
二元一次方程 二元一次方程
(x 3y)(x 3y) 0. 得 x 3y 0 或 x 3y 0.
方程②也可以分解因式. 方程②可变形为:
(x y)2 4.
方程②两边开平方，得：
x y 2 或 x y 2.
实践体验
得 x 3y 0 或 x 3y 0.
x2 9 y2 0,
①
x2 2xy y2 4. ②
y2, 2ຫໍສະໝຸດ xyy22
x x
2 2
y y
0 , 3
xx22yy03,
x x
3y 2y
0 , 3
x 3y 0 x 2y 3
x y 5 0 x y 5 0 x y 2 0 x y 2 0
x4y 5
,
x
4
y
5
,
x4y 5
,
x
4
y
5
x2 y2 25 x2 y2 25
（Ⅰ）x1
x 3 3y21, 0. x27 xy y2
x23.或（73Ⅱ）21,
x y 0. x2 x3xy1,y2
3x.4
1,
y1
1 7
21;
y2
1 7
21;
y3 1;
y4 1.
实践体验
x2 9 y2 0,
①
x2 2xy y2 4. ②
方程①的左边可以分解因式. 方程①可变形为:
可变形为 (x 3y)(x y) 0.
解方程组（Ⅰ），得
二元二次方程组的解法
二元二次方程组的解法二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。
解决这种方程组的关键是找到方程组的解。
一、一般形式的二元二次方程组一般情况下，二元二次方程组的一般形式如下：1. 假设方程组为：a₁x² + b₁xy + c₁y² + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂x² + b₂xy + c₂y² + d₂x + e₂y + f₂ = 02. 设变量：X = x²， Y = y²， XY = xy3. 将方程组转化为四元二次方程组：a₁X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂X + b₂XY + c₂Y + d₂x + e₂y + f₂ = 04. 用消元法将X、Y消去：例：通过第一个方程将X消去令 A = a₁/a₂则 a₁X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0变为： Aa₂X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0再通过第二个方程将X消去，得到一个只包含Y、x、y的方程。
5. 解出Y，并将其代入剩下的方程中，解出x和y，即得到方程组的解。
二、例题解析以一道例题来说明解决二元二次方程组的方法。
例题：解方程组：x² + y² - 4 = 02x² + 3y² - 13 = 0解答：1. 设 X = x²， Y = y²则方程组可化为：X + Y - 4 = 02X + 3Y - 13 = 02. 通过第一个方程将 X 消去：2(X + Y - 4) + 3Y - 13 = 0简化后得到：2X + 5Y - 21 = 03. 解得：Y = (21 - 2X)/54. 将 Y 代入第一个方程：X + (21 - 2X)/5 - 4 = 0简化后得到：3X - 19/5 = 05. 解得：X = 19/156. 将 X 代入 Y 的表达式：Y = (21 - 2*(19/15))/5简化后得到：Y = 16/157. 根据 X 和 Y 的值，可以求出 x 和 y 的值：对 X 和 Y 开平方根即可得到 x 和 y。
二元二次方程的解法
x2+y2=20 x-2y=0
x2+y2=20 x-3y=0
解这两个方程组，得原方程 组的解为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1
3
2
x
2
3
2
y1 2 y2 2
x3 y3
4 2
x4 y4
4 2
尝试题二
解下列方程组：
解：由①得
(1)x 2 3x
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设 ， 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国。邮联大会
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 架台设湾第一条电报线，成为中国自 办电报的开端。
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
研制 。
(2)发展水：上1飞918机年，北洋政府在交通部下设“
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
代入消元基法本思
2.把下列各式因式分解
(1)x2-3xy+2y2 =(x-2y)(x(2)4x2-4xy+4y2y-)25 =(2x-y+5)(2x-y-5)
(3)(x+y)2-3(x+y)-4 =(x+y• (4) 4x2-9y2 =(2x-3y4)()2(xx++y3+y1) )
二元二次方程的解法标准文档ppt
归纳总结
例题分析
重点讲解新1~课2 讲解
1、其中有一个方程可以分解成一次方程
2 2 A2x2+B2xy+C2y2+D2x+E2y+F2=0
三、二元二次方程组的一般形式是
2
2
2
2
x xy 2 y 2 x xy 2 y 2 x xy 2 y 2 二元一次方程组，则一般有一个解，有时没有解，有时有无数个解。
原方程组可化为
x y 7 xy 12
,
x y xy 12
7
重点讲解新7 课讲解
7、可以用除法降低次数
2 2 A1x2+B1xy+C1y2+D1x+E1y+F1=0
x y 3 (x y)(x y) 3 ① A2x2+B2xy+C2y2+D2x+E2y+F2=0
由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择 较恰当的方法。
二元二次方程组即：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程组 A2x2+B2xy+C2y2+D2x+E2y+F2=0
44、 、二方方程程、组组 定义的的解解与是是 一般形式
二元二次方程组即：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最A1高次数是2的整式方程组
A1x2+B1xy+二C1元y2二+D次1x+方E1程y+组F1=即0 ：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方 由较于恰这 当类的程方方组程法组。形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择
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解方程组：
x2 3xy2y2 0
x2 y2 5
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5
例题2
解方程组：
x2 9y2 0 x2 2xy y2 4
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6
练习1 解下列方程组：
x 2 2 xy 3 y 2 0
(1)
x 2 xy y 2 3
x 2 4 xy 4 y 2 9
(2)
x 2 xy 0
x 2 2 xy y 2 9
(3) (x
y)2
3(x
y)
2
0
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7
作业布置
习题21.6（2）
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8
小结
➢通过本节课的学习你有什么收获？ ➢学习本节课你有什么感受？请同学们畅所欲言.
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9
反思
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10
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2
教材分析
本节课先设计两道题目主要是为了检测同学们用“代入消 元法”解二元二次方程组的学习情况和对于“整体代入”思想 方法的理解情况；同时也是为了为本节课要学习的对于特殊的 二元二次方程组用“因式分解法”做好准备.如果二元二次方 程组中有一个方程可变形为两个一次因式的乘积等于零的形式， 那么解这个方程组的问题可转化为解由一个二元一次方程和一 个二元二次方程所组成的方程组.这种解特殊的二元二次方程 组的方法是“因式分解法”.
学情分析
学生已经会用代入消元法和加减消元法解二元一次方 程组，这将对学习二元二次方程组的解法很有帮助. 因此 在教学时应主要让学生类比发现解方程组的一般步骤.
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x3y 4
(1
)
x
2
2
y2
1
4x2 y2 4 (2)
2x y 1
学习交流PPT
4
例题1
21.6（2） 二元二次方程组的
解法
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1
教学目标：
1、掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程 组；
2、在学习过程中体会解此类特殊二元二次方程组的基本思路 是“降次”；
3、通过对二元二次方程组解法的剖析，领悟事物间可以相互 转化的数学思想.
教学重点、难点：
会用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方 程组；正确分析方程组的特点，从而找到合理的解 法．