2017-2018广东省揭阳市高三第一次模拟考试理科数学(word版附答案))

【关键字】数学揭东一中2017届高三级第二学期第一次月考理科数学试题第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）命题“”的否定是（）A.“”B.“”C.“”D.“”（2）（）A．1 B．．-1 D．2（3）设集合，，则等于（）A．B．C．D．（4）函数() 的值域是（）A. B. C. D.（5）设，函数，则使的的取值范围是（）A．B．C．D．（6）已知，则（）A. B. C. D.（7）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）（8）已知函数（其中）的图像与直线的2个相邻公共点之间的距离等于，则的单调递减区间是（）A. B.C. D.（9）中，角所对的边分别为，若，则的值为（）A. B. C. D.（10）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A.[0,)B.C.D.（11）已知函数，，则以下结论正确的是（）A. B.f(b)<f(a)<0C. D.（12）设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ． 第Ⅱ卷（非选择题，共90 分）二、（本题共4小题，每小题5分,共20分，把答案写在题中横线上）13、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c, 若 ，则△ABC 的形状为________。

14、在等比数列中，若，则 .15 已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上一点P 满足，求=________。

16、如图三棱锥A-BCD ，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则异面直线AN 、CM 所成角的余弦值是 ； 三、解答题（本题共6道题，共70分）17．(本题共10分)已知的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是，向量， ，且。

2017年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R，集合M={﹣1，0，1，3}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}，则M∩∁R N=（）A．{﹣1，0，1，3} B．{0，1，3}C．{﹣1，0，1}D．{0，1}2．设i是虚数单位，若（2a+i）（1﹣2i）是纯虚数，则实数a=（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣43．已知一组数据a、b、9、10、11的平均数为10，方差为2，则|a﹣b|=（）A．2 B．4 C．8 D．124．ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为2的正方体，AC1、BD1相交于O，在正方体内（含正方体表面）随机取一点M，OM≤1的概率p=（）A．B．C．D．5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图，则它的表面积为（）A．2 B．4+2C．4+4D．6+46．等差数列中{a n}，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a5成等比数列”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件7．F是抛物线y2=4x的焦点，P、Q是抛物线上两点，|PF|=2，|QF|=5，则|PQ|=（）A．3 B．4 C．3或D．3或48．若的（x2+a）（x﹣）10展开式中x6的系数为﹣30，则常数a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．39．四面体ABCD中∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°，AB=2，AC=3，AD=4，则四面体ABCD的体积V=（）A．2 B．2 C．4 D．410．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线11．函数f（x）=sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）（ω＞0）在区间[，]的值域是[﹣，]，则常数ω所有可能的值的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．412．已知函数f（x）的图象与函数y=x3﹣3x2+2的图象关于点（，0）对称，过点（1，t）仅能作曲线y=f（x）的一条切线，则实数t的取值范围是（）A．（﹣3，﹣2）B．[﹣3，﹣2]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪[﹣2，+∞）二、填空题已知=（1，﹣2），+=（0，2），则||=．14．已知函数f（x）是周期为2的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）=lg（x+1），f（）+lg18=．15．某组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．16．已知△ABC中，角A、、C成等差数列，且△ABC的面积为，则AC边的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n=n﹣n2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（k∈N*），求数列{b n}的前2n项和T2n．18．某公司做了用户对其产品満意度的问卷调查，随机抽取了20名用户的评分，得到图所示茎叶图，对不低于75的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意（1）根据以上资料完成下面的2×2列联表，若据此数据算得K2=3.7781，则在犯错的概率不超过5%的前提下，你是否认为“満意”与“否”与性别有有关？附：不满意满意合计男 4 7女合计P（K2≥k）0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.635（2）以此“满意”的频率作为概率，求在3人中恰有2人满意的概率；（3）从以上男性用户中抽取2人，女性用户中抽取1人，其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD中，∠A=90°，AB∥CD，AB=1，AD=CD=2．（Ⅰ）若二面角P﹣CD﹣B为45°，求证：平面BPC⊥平面DPC；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点A到平面PBC的距离．20．已知p，m＞0，抛物线E：x2=2py上一点M（m，2）到抛物线焦点F的距离为．（Ⅰ）求p和m的值；（Ⅱ）如图所示，过F作抛物线E的两条弦AC和BD（点A、B在第一象限），若k AB+4k CD=0，求证：直线AB经过一个定点．21．设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R．（I）若x=e是y=f（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣4e2只有一个零点，求实数a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知参数方程为（t为参数）的直线l经过椭圆的左焦点F1，且交y 轴正半轴于点C，与椭圆交于两点A、B（点A位于点C上方）．（I）求点C对应的参数t C（用θ表示）；（Ⅱ）若|F1B|=|AC|，求直线l的倾斜角θ的值．选修4-5：不等式选讲23．设a∈R，f（x）=|x﹣a|+（1﹣a）x．（I）解关于a的不等式f（2）＜0；（Ⅱ）如果f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．2017年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R，集合M={﹣1，0，1，3}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}，则M∩∁R N=（）A．{﹣1，0，1，3} B．{0，1，3}C．{﹣1，0，1}D．{0，1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出N，从而得到C R N，由此能求出M∩∁R N．【解答】解：∵全集为R，集合M={﹣1，0，1，3}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}={x|x≤﹣1或x≥2}，∴C R N={x|﹣1＜x＜2}，∴M∩∁R N={0，1}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．2．设i是虚数单位，若（2a+i）（1﹣2i）是纯虚数，则实数a=（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．【解答】解：∵（2a+i）（1﹣2i）=2a+2+（1﹣4a）i是纯虚数，∴，解得a=﹣1．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知一组数据a、b、9、10、11的平均数为10，方差为2，则|a﹣b|=（）A．2 B．4 C．8 D．12【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】根据题意，可得a+b=20，①以及（a﹣10）2+（b﹣10）2=8，②；解可得a、b的值，计算可得|a﹣b|的值，即可得答案．【解答】解：一组数据a、b、9、10、11的平均数为10，方差为2，则有a+b+9+10+11=50，即a+b=20，①[（a﹣10）2+（b﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2]=2，即（a﹣10）2+（b﹣10）2=8，②联立①、②可得：或，则|a﹣b|=4；故选：B．【点评】本题考查数据方差、平均数的计算，关键是求出a、b的值．4．ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为2的正方体，AC1、BD1相交于O，在正方体内（含正方体表面）随机取一点M，OM≤1的概率p=（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意可得概率为体积之比，分别求正方体的体积和球的体积可得．【解答】解：由题意可知总的基本事件为正方体内的点，可用其体积23=8，满足OM≤1的基本事件为O为球心1为半径的球内部在正方体中的部分，其体积为V=π×13=π，故概率P==．故选：A．【点评】本题考查几何概型，涉及正方体和球的体积公式，属基础题．5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图，则它的表面积为（）A．2 B．4+2C．4+4D．6+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积S==6+4，故选：D．【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．6．等差数列中{a n}，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a5成等比数列”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由a1，a2，a5成等比数列，可得：=a1•a5，（2+d）2=2×（2+4d），解得d，即可判断出结论．【解答】解：由a1，a2，a5成等比数列，可得：=a1•a5，∴（2+d）2=2×（2+4d），解得d=0或4．∴“d=4”是“a1，a2，a5成等比数列”的充分不必要条件．故选：B．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．F是抛物线y2=4x的焦点，P、Q是抛物线上两点，|PF|=2，|QF|=5，则|PQ|=（）A．3 B．4 C．3或D．3或4【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质将|PF|，|QF|转化为到准线的距离，求出P，Q的坐标，得出答案．【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣1，∴|PF|=x1+1=2，|QF|=x2+1=5．∴x1=1，x2=4．∴P（1，±2），Q（4，±4），∴|PQ|==或=3故选：C．【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．8．若的（x2+a）（x﹣）10展开式中x6的系数为﹣30，则常数a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．3【考点】二项式系数的性质．【分析】根据题意求出（x﹣）10展开式中含x4项、x6项的系数，得出（x2+a）（x﹣）10的展开式中x6的系数，列出方程求出a的值．【解答】解：（x﹣）10展开式的通项公式为：=•x10﹣r•=（﹣1）r••x10﹣2r；T r+1令10﹣2r=4，解得r=3，所以x4项的系数为﹣=﹣120；令10﹣2r=6，解得r=2，所以x6项的系数为=45；所以（x2+a）（x﹣）10的展开式中x6的系数为：﹣120+45a=﹣30，解得a=2．故选：C．【点评】本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题问题，是基础题．9．四面体ABCD中∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°，AB=2，AC=3，AD=4，则四面体ABCD的体积V=（）A．2 B．2 C．4 D．4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，通过分割补形，求出B到底面ACD的距离，代入体积公式求解．【解答】解：如图，在AC上取E，使AE=2，在AD上取F，使AF=2，连接BE、BF、EF，则四面体B﹣AEF为正四面体，过B作BO⊥平面AEF，垂足为O，连接AO并延长，交EF于G，则AG=，AO=，∴BO=．=．∴．故选：A．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力和逻辑思维能力，是中档题．10．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线【考点】抛物线的定义；双曲线的标准方程．【分析】先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）根据它到两条异面直线的距离相等，求得z的表达式，把z=0和z=a代入即可求得x和y的关系，根据其方程判断轨迹．【解答】解：先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程就分别是y=0，z=0 和x=0，z=a（a是两异面直线公垂线长度，是个常数）空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）那么由已知，它到两条异面直线的距离相等，即=两边平方，化简可得z=（y2﹣x2+a2）过一条直线且平行于另一条直线的平面是z=0和z=a分别代入所得式子z=0时代入可以得到y2﹣x2=﹣a2，图形是个双曲线z=a时代入可以得到y2﹣x2=a2，图形也是个双曲线故选D【点评】本题主要考查了双曲线的方程．考查了学生分析归纳和推理的能力．11．函数f（x）=sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）（ω＞0）在区间[，]的值域是[﹣，]，则常数ω所有可能的值的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，求出其范围，根据值域是[﹣，]，建立关系，讨论常数ω所有可能的值．【解答】解：函数f（x）=sinωxcosωx+cos2ωx，化简可得：f（x）==sin（2ωx+），∵x∈[，]，f（x）∈[，]，∴﹣1≤sin（2ωx+）≤0，则，而T=，那么：，即．sin（2ωx+）=0的结果必然是或．当时，解得ω=满足题意．当x=时，解得ω=满足题意．∴常数ω所有可能的值的个数为2．故选C：【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．12．已知函数f（x）的图象与函数y=x3﹣3x2+2的图象关于点（，0）对称，过点（1，t）仅能作曲线y=f（x）的一条切线，则实数t的取值范围是（）A．（﹣3，﹣2）B．[﹣3，﹣2]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪[﹣2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由对称性可得（x，y）为y=f（x）图象上的点，其对称点为（1﹣x，﹣y），且在函数y=x3﹣3x2+2的图象上，代入可得f（x）的解析式，设出切点（m，n），求出f （x）的导数，可得切线的斜率和方程，代入点（1，t），化简整理可得t+3=3m2﹣2m3，由g（m）=3m2﹣2m3，求出导数和单调区间、极值，由题意可得t+3=3m2﹣2m3只有一解，则t+3＞1或t+3＜0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）的图象与函数y=x3﹣3x2+2的图象关于点（，0）对称，设（x，y）为y=f（x）图象上的点，其对称点为（1﹣x，﹣y），且在函数y=x3﹣3x2+2的图象上，可得﹣y=（1﹣x）3﹣3（1﹣x）2+2，即为y=f（x）=（x﹣1）3+3（1﹣x）2﹣2，设切点为（m，n），则n=（m﹣1）3+3（1﹣m）2﹣2，f（x）的导数为f′（x）=3（x﹣1）2+6（x﹣1）=3（x2﹣1），可得切线的方程为y﹣n=3（m2﹣1）（x﹣m），代入点（1，t），可得t﹣n=3（m2﹣1）（1﹣m），化简可得t+3=3m2﹣2m3，由g（m）=3m2﹣2m3，g′（m）=6m﹣6m2=6m（1﹣m），当0＜m＜1时，g′（m）＞0，g（m）递增；当m＜0或m＞1时，g′（m）＜0，g（m）递减．则g（m）在m=0处取得极小值0，在m=1处取得极大值1，由过点（1，t）仅能作曲线y=f（x）的一条切线，可得t+3=3m2﹣2m3只有一解，则t+3＞1或t+3＜0，解得t＞﹣2或t＜﹣3．故选：C．【点评】本题主要考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查转化思想的运用，以及化简整理能力，属于中档题．二、填空题已知=（1，﹣2），+=（0，2），则||=．【考点】向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】首先利用向量的减法运算得到向量的坐标，然后求模．【解答】解：因为=（1，﹣2），+=（0，2），所以=（﹣1，4），所以；故答案为：【点评】本题考查了向量加减法的坐标运算以及有向量坐标求模；属于基础题．14．已知函数f（x）是周期为2的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）=lg（x+1），f（）+lg18= 1．【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意化简f（）+lg18=f（﹣）+lg18=﹣lg（+1）+lg18=lg10．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，∴f（）+lg18=f（404﹣）+lg18=f（﹣）+lg18=﹣f（）+lg18=﹣lg（+1）+lg18=lg（18×）=lg10=1，故答案为：1．【点评】本题考查了函数的性质的应用及对数运算的应用．15．某组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为32+8π．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】整体思想；数形结合法；立体几何．【分析】由三视图可知，该几何体是上面长与宽均为4，高为2长方体下接半径为2的半圆柱的组合体，于是可求其体积．【解答】解：依题意知，该几何体是上面长与宽均为4，高为2长方体下接半径为2的半圆柱的组合体，故其体积为：V=．故答案为：32+8π．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，分析出该几何体是上面长与宽均为4，高为2长方体下接半径为2的半圆柱的组合体是关键，考查识图与运算能力，属于中档题．16．已知△ABC中，角A、、C成等差数列，且△ABC的面积为，则AC边的最小值是2．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列；解三角形．【分析】由已知及等差数列的性质可得A+C=3B，结合三角形内角和定理可求B的值，利用三角形面积公式可得，利用余弦定理及基本不等式即可解得AC边的最小值．【解答】解：∵A、B、C成等差数列，∴A+C=3B，又∵A+B+C=π，∴，∴由得，∵b2=a2+c2﹣2accosB=，及a2+c2≥2ac，∴，解得：b≥2，∴b的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了等差数列的性质，三角形内角和定理，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n=n﹣n2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（k∈N*），求数列{b n}的前2n项和T2n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．可得）a n=1﹣n（n≥2），再检验n=1时，是【分析】（Ⅰ）依题意，当n≥2时，由2a n=2S n﹣2S n﹣1否适合，以确定是分是合，从而可得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由可得T2n=（b1+b3+…+b2n）+﹣1（b2+b4+…+b2n），分组求和即可．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即：a n=1﹣n（n≥2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当n=1时，由得a1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣显然当n=1时上式也适合，∴a n=1﹣n．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∵，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴T2n=（b1+b3+…+b2n）+（b2+b4+…+b2n）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推式的应用，考查裂项法、公式法与分组求和法的综合应用，属于中档题．18．某公司做了用户对其产品満意度的问卷调查，随机抽取了20名用户的评分，得到图所示茎叶图，对不低于75的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意（1）根据以上资料完成下面的2×2列联表，若据此数据算得K2=3.7781，则在犯错的概率不超过5%的前提下，你是否认为“満意”与“否”与性别有有关？附：不满意满意合计男 4 7女合计P（K2≥k）0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.635（2）以此“满意”的频率作为概率，求在3人中恰有2人满意的概率；（3）从以上男性用户中抽取2人，女性用户中抽取1人，其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）完成2×2列联表，求出K2≈3.7781＜3.841，从而得到在犯错的概率不超过5%的前提下，不能认为“満意”与“否”与性别有有关．（2）由频率估计“满意”的概率为=0.3，由此能求出在3人中恰有2人满意的概率．（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）根据已知资料完成2×2列联表：不满意满意合计男 3 4 7女11 2 13合计14 6 20P（K2≥k）0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.635∵K2≈3.7781＜3.841，∴在犯错的概率不超过5%的前提下，不能认为“満意”与“否”与性别有有关．（2）由频率估计“满意”的概率为=0.3，∴在3人中恰有2人满意的概率为．（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）+=，P（ξ=1）=+=，P（ξ=3）==，P（ξ=2）=1﹣=．ξ的分布列为：ξ0 1 2 3PEξ==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD中，∠A=90°，AB∥CD，AB=1，AD=CD=2．（Ⅰ）若二面角P﹣CD﹣B为45°，求证：平面BPC⊥平面DPC；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点A到平面PBC的距离．【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】数形结合；等体积法；空间位置关系与距离．【分析】（I）取PD中点M，PC中点N，连结MN，AM，BN，则可证四边形ABNM是矩形，于是BN⊥MN，利用勾股定理的逆定理可得PB=BC，故BN⊥PC，于是BN⊥平面PCD，故平面BPC⊥平面DPC．（2）求出棱锥P﹣ABC的体积，将平面PBC作底面即可求出点A到平面PBC的距离．【解答】解：（I）取PD中点M，PC中点N，连结MN，AM，BN，则MN∥CD，MN=．∵AB∥CD，AB=，∴AB∥MN，AB=MN，∴四边形ABNM是平行四边形．∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PA，又AB⊥AD，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∵AM⊂平面PAD，∴AB⊥AM，∴平行四边形ABNM是矩形．∴BN⊥MN．∵AB∥CD，AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CD⊥PD，CD⊥AD，∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，即∠PDA=45°，∴PA=AD=2，∴PB==．取CD中点E，连结BE，则BE=AD=2，CE=CD=1，∠BEC=90°，∴BC=．∴PB=BC，∴BN⊥PC．∵PC⊂平面PCD，MN⊂平面PCD，PC∩MN=N，∴BN⊥平面PCD，∵BN⊂平面PBC，∴平面BPC⊥平面DPC．（II）连结AC，则AC=．PD=．∴PC=．BN=AM=2．∴S△PBC==．S△ABC=．设A到平面PBC的距离为h，=S△ABC×PA=．则V棱锥P﹣ABC∴h=．【点评】本题考查了线面垂直的性质，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20．已知p，m＞0，抛物线E：x2=2py上一点M（m，2）到抛物线焦点F的距离为．（Ⅰ）求p和m的值；（Ⅱ）如图所示，过F作抛物线E的两条弦AC和BD（点A、B在第一象限），若k AB+4k CD=0，求证：直线AB经过一个定点．【考点】直线与抛物线的位置关系．【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用抛物线的定义列出关于p的方程，求出p，得到抛物线的方程，把点M（m，2）的坐标代入，解得m．（Ⅱ）解法1：设AB、AC的方程为y=k1x+b，与抛物线方程联立，设A（x1，y1），B （x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），利用韦达定理，结合k AB+4k CD=0，求解即可．解法2：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），设AC的方程为，，与抛物线方程联立，得x2﹣2kx﹣1=0，推出x1x3=﹣1，同理，x2x4=﹣1，求出直线AB的方程为化简得直线AB恒经过点（0，﹣2）．【解答】解：（Ⅰ）由点M（m，2）到抛物线焦点F的距离为，结合抛物线的定义得，，即p=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣抛物线的方程为x2=2y，把点M（m，2）的坐标代入，可解得m=2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解法1：显然直线AB、AC的斜率都存在，分别设AB、AC的方程为y=k1x+b，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣联立，得x2﹣2k1x﹣2b=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣联立，得x2﹣2k2x﹣1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则x1x2=﹣2b，x1x3=﹣1，同理，x2x4=﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣注意到点A、B在第一象限，x1+x2≠0，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故得x1x2=4，﹣2b=4，∴b=﹣2，即直线恒经过点（0，﹣2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法2：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），显然直线AC的斜率都存在，设AC的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣联立，得x2﹣2kx﹣1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴x1x3=﹣1，同理，x2x4=﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣注意到点A、B在第一象限，x1+x2≠0，∴，故得x1x2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣直线AB的方程为化简得即直线AB恒经过点（0，﹣2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21．设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R．（I）若x=e是y=f（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣4e2只有一个零点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；规律型；分类讨论；方程思想；转化思想；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出导函数，另一回事的极值为0，求解a，然后验证即可．（Ⅱ）解法1：方程f（x）=4e2只有一个根，转化为曲线f（x）与直线y=4e2只有一个公共点．设，通过①当a≤0时，②当0＜a≤1时，③当a＞1时，判断函数的单调性，求出极大值，转化为，即，所以，然后推出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R．，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由x=e是f（x）的极值点，得，解得a=e或a=3e，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣经检验，符合题意，所以a=e或a=3e；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由已知得方程f（x）=4e2只有一个根，即曲线f（x）与直线y=4e2只有一个公共点．易知f（x）∈（﹣∞，+∞），设，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①当a≤0时，易知函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，满足题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当0＜a≤1时，易知h（x）是单调递增的，又h（a）=2lna＜0，h（1）=1﹣a≥0，∴∃x0∈（a，1），h（x0）=0，当0＜x＜a时，＞0，∴f（x）在（0，a）上单调递增，同理f（x）在（a，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又极大值f（a）=0，所以曲线f（x）满足题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③当a＞1时，h（1）=1﹣a＜0，h（a）=2lna＞0，∴∃x0∈（1，a），h（x0）=0，即，得a﹣x0=2x0lnx0，可得f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，又f（a）=0，若要曲线f（x）满足题意，只需，即，所以，由x0＞1知g（x）=x2ln3x＞0，且在[1，+∞）上单调递增，由g（e）=e2，得1＜x0＜e，因为a=x0+2x0lnx0在[1，+∞）上单调递增，所以1＜a＜3e；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上知，a∈（﹣∞，3e）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性，构造法的应用，转化思想以及分类讨论思想的应用，难度比较大．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知参数方程为（t为参数）的直线l经过椭圆的左焦点F1，且交y 轴正半轴于点C，与椭圆交于两点A、B（点A位于点C上方）．（I）求点C对应的参数t C（用θ表示）；（Ⅱ）若|F1B|=|AC|，求直线l的倾斜角θ的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆方程，求出焦点坐标，利用，在直线l的参数方程中，令x=0，求解即可．（Ⅱ）解法1：把代入椭圆方程，设点A、B对应的参数为t A、t B，由|F1B|=|AC|结合参数t的几何意义得：t A+t B=t C，求解即可．解法2：设A、B两点的横坐标分别为x A、x B，将直线l的普通方程代入椭圆方程利用韦达定理，以及|F1B|=|AC|，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）在椭圆中，∵a2=3，b2=1，∴，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故，在直线l的参数方程中，令x=0，解得；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解法1：把代入椭圆方程，并整理得：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设点A、B对应的参数为t A、t B，由|F1B|=|AC|结合参数t的几何意义得：t A+t B=t C，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得，依题意知，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法2：设A、B两点的横坐标分别为x A、x B，将直线l的普通方程代入椭圆方程并整理得：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，解得，依题意知，得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，参数方程的应用，考查转化思想以及计算能力．选修4-5：不等式选讲23．设a∈R，f（x）=|x﹣a|+（1﹣a）x．（I）解关于a的不等式f（2）＜0；（Ⅱ）如果f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数恒成立问题．【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（I）解法1：通过分类讨论，将f（2）=|2﹣a|+2（1﹣a）中的绝对值符号去掉，再分段解f（2）＜0，最后取并即可；解法2：由f（2）＜0，得|2﹣a|+2（1﹣a）＜0，即|a﹣2|＜2（a﹣1），利用绝对值的几何意义，可得﹣2（a﹣1）＜a﹣2＜2（a﹣1），解之即可；（Ⅱ）依题意，f（x）≥0恒成立⇒，解之即可．【解答】解：（I）解法1：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣不等式f（2）＜0等价于或者，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得a＞2或，即，∴所求不等式的解集为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法2：由f（2）＜0，得|2﹣a|+2（1﹣a）＜0，即|a﹣2|＜2（a﹣1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2（a﹣1）＜a﹣2＜2（a﹣1），解得，解集为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为f（x）≥0恒成立，故有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得0≤a≤1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查分段函数的应用，考查等价转化思想与函数恒成立问题，突出考查运算求解能力，属于中档题．。

2017年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只用一项符合题目要求）1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝2x﹣3，x∈A}，则A∩B ＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，1，2}D．{0，1，2} 2．（5分）已知复数z 1＝3+4i，z2＝t﹣i，且z1•是实数，则实数t＝（）A．B．C．﹣D．﹣3．（5分）若＝（cos20°，sin20°），＝（cos10°，sin190°），则•＝（）A．B．C．cos10°D．4．（5分）已知命题p：存在向量，，使得•＝||•||，命题q：对任意的向量，，，若•＝•，则＝．则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题5．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（）A．66B．33C．16D．86．（5分）如果实数x、y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（）A．2B．1C．﹣2D．﹣37．（5分）在同一坐标系中，曲线y＝（）x与抛物线y2＝x的交点横坐标所在区间为（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）8．（5分）在（﹣1）4•（x﹣1）2的展开式中，x项的系数为（）A．﹣4B．﹣2C．2D．49．（5分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的体积为（）A．B．1C．2D．10．（5分）已知正数a，b满足a+b＝4，则曲线f（x）＝lnx+在点（a，f（a））处的切线的倾斜角的取值范围为（）A．[，+∞）B．[，）C．[，）D．[，）11．（5分）已知曲线﹣＝1右焦点为F，P为双曲线左支点上一点，点A （0，），则△APF周长的最小值为（）A．4（1+）B．4+C．2（+）D．+3 12．（5分）已知函数f（x）＝|sin x|（x∈[﹣π，π]），g（x）＝x﹣2sin x（x∈[﹣π，π]），设方程f（f（x））＝0，f（g（x））＝0，g（g（x））＝0的实根的个数分别为m，n，t，则m+n+t＝（）A．9B．13C．17D．21二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bx+1，若f（a）＝8，则f（﹣a）＝．14．（5分）连续掷两次骰子，以先后看到的点数m，n作为点P的坐标（m，n），那么点P在圆x2+y2＝17内部（不包括边界）的概率是．15．（5分）已知△ABC的顶点都在球O的球面上，AB＝6，BC＝8，AC＝10，三棱锥O﹣ABC的体积为40，则该球的表面积等于．16．（5分）在△ABC中，∠B＝，AC＝1，点D在边AB上，且DA＝DC，BD＝1，则∠DCA＝．三、解答题（共5小题，满分60分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n+1﹣3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝3﹣，求{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD．（1）求证：BD⊥平面A1ACC1；（2）若AB＝1，且AC•AD＝1，求二面角B﹣A1D﹣B1的余弦值．19．（12分）某地政府在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电，如图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知X∈[0，120]，历年中日泄流量在区间[30，60）的年平均天数为156天，一年按364天计．（1）请把频率直方图补充完整；（2）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才能够运行一台发电机，如60≤X＜90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据．问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？20．（12分）如图，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的上顶点为A，左右顶点为B，C，右焦点为F，|AF|＝3，且△ABC的周长为14．（1）求椭圆的离心率；（2）过点M（4，0）的直线l与椭圆相交于不同两点P，Q，点N在线段PQ上，设λ＝＝，试判断点N是否在一条定直线上，并求实数λ的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+ax（a∈R）（1）试确定函数f（x）的零点个数；（2）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，当x1+x2≤2时，求a的取值范围．选做题（请在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标方程．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若直线l：θ＝α（α∈[0，π），ρ∈R）与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|OM|的最大值．[不等式选讲]23．设函数f（x）＝a（x﹣1）．（Ⅰ）当a＝1时，解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1时，求证：．2017年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只用一项符合题目要求）1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝2x﹣3，x∈A}，则A∩B ＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，1，2}D．{0，1，2}【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝2x﹣3，x∈A}＝{﹣5，﹣3，﹣1，1}，则A∩B＝{﹣1，1}．故选：B．2．（5分）已知复数z 1＝3+4i，z2＝t﹣i，且z1•是实数，则实数t＝（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵复数z 1＝3+4i，z2＝t﹣i，∴．z 1•＝（3+4i）•（t+i）＝3t﹣4+（4t+3）i是实数，∴4t+3＝0，即t＝．故选：D．3．（5分）若＝（cos20°，sin20°），＝（cos10°，sin190°），则•＝（）A．B．C．cos10°D．【解答】解：＝cos20°cos10°﹣sin20°sin10°＝cos（20°+10°）＝．故选：B．4．（5分）已知命题p：存在向量，，使得•＝||•||，命题q：对任意的向量，，，若•＝•，则＝．则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题【解答】解：命题p：存在同方向向量，，使得•＝||•||，真命题．命题q：取向量＝（1，0），＝（0，1），＝（0，2），则•＝•，≠，因此是假命题．则下列判断正确的是：p∧（￢q）是真命题．故选：D．5．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（）A．66B．33C．16D．8【解答】解：初始值n＝4，x＝2，程序运行过程如下表所示：v＝2，i＝4，v＝，2×2+3＝7，i＝2，v＝14+2＝16，i＝1，v＝16×2+1＝33，i＝0，v＝33×2+0＝66，i＝﹣1 跳出循环，输出v的值为66，故选：A．6．（5分）如果实数x、y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（）A．2B．1C．﹣2D．﹣3【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线2x﹣y＝t过点A（0，﹣1）时，t最大是1，故选：B．7．（5分）在同一坐标系中，曲线y＝（）x与抛物线y2＝x的交点横坐标所在区间为（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）【解答】解：由题意，构造函数f（x）＝（）x﹣，∵f（）＜0，f（）＞0，∴曲线y＝（）x与抛物线y2＝x的交点横坐标所在区间为（，），故选：B．8．（5分）在（﹣1）4•（x﹣1）2的展开式中，x项的系数为（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【解答】解：∵（﹣1）4•（x﹣1）2＝（•x2﹣•+•x﹣•+）•（x2﹣2x+1），∴（﹣1）4•（x﹣1）2的展开式中，x项的系数﹣2＝4，故选：D．9．（5分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的体积为（）A．B．1C．2D．【解答】解：依题意知该工件为圆锥，底面半径为，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x，则有，解得x＝，故2x＝1，故新工件的体积为1．故选：B．10．（5分）已知正数a，b满足a+b＝4，则曲线f（x）＝lnx+在点（a，f（a））处的切线的倾斜角的取值范围为（）A．[，+∞）B．[，）C．[，）D．[，）【解答】解：∵f（x）＝lnx+，∴f′（x）＝+，∴f′（a）＝+＝（+）（a+b）＝（2++）≥（2+2）＝1，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴曲线f（x）＝lnx+在点（a，f（a））处的切线的倾斜角的取值范围为[，），故选：C．11．（5分）已知曲线﹣＝1右焦点为F，P为双曲线左支点上一点，点A（0，），则△APF周长的最小值为（）A．4（1+）B．4+C．2（+）D．+3【解答】解：曲线﹣＝1右焦点为F（，0），△APF的周长l＝|AF|+|AP|+|PF|＝|AF|+2a+|PF′|+|AP|，要△APF的周长最小，只需|PF′|+|AP|，最小，如图，当A、P、F三点共线时取到，故l＝2|AF|+2a＝4（1+）．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝|sin x|（x∈[﹣π，π]），g（x）＝x﹣2sin x（x∈[﹣π，π]），设方程f（f（x））＝0，f（g（x））＝0，g（g（x））＝0的实根的个数分别为m，n，t，则m+n+t＝（）A．9B．13C．17D．21【解答】解：（1）令f（x）＝|sin x|＝0得x＝kπ，k∈{﹣1，0，1}，又f（x）＝|sin x|的值域为[0，1]，f（f（x））＝0，∴f （x ）＝0，∴x ＝k π，k ∈{﹣1，0，1}． ∴f （f （x ））＝0有3个根，即m ＝3． （2）∵f （g （x ））＝0，∴g （x ）＝k π，k ∈{﹣1，0，1}，①若g （x ）＝0，则x ＝sin x ，作出y ＝x 和y ＝sin x 的函数图象如图所示：由图象可知g （x ）＝0在[﹣π，π]上有3个解，②若g （x ）＝π，则x ＝sin x +，作出y ＝x 和y ＝sin x +的函数图象如图所示：由图象可知g （x ）＝0在[﹣π，π]上只有1个解， ③同理可得：当g （x ）＝﹣π在[﹣π，π]上只有1个解， ∴f （g （x ））＝0的根的个数为5，即n ＝5．（3）由（2）中的第①种情况可知g （x ）＝0有3解，不妨设为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3， 则x 1+x 3＝0，x 2＝0，且＜x 3＜π，∵g （g （x ））＝0，∴g （x ）＝x i ，i ＝1，2，3． ①若g （x ）＝x 2＝0，则g （x ）＝0有3解，②若g（x）＝x3，则＝sin x+，设y＝sin x+b（b＞0）与直线y＝x相切，切点为（x0，y0），则，解得b＝﹣，∵＞＞b，∴g（x）＝x3只有1解，③同理可得：g（x）＝x1只有1解；∴g（g（x））＝0共有5个解，即t＝5．∴m+n+t＝13．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bx+1，若f（a）＝8，则f（﹣a）＝﹣6．【解答】解：∵函数f（x）＝ax3+bx+1，∴f（﹣x）＝a（﹣x）3+b（﹣x）+1＝﹣ax3﹣bx+1，∴f（﹣x）+f（x）＝2，∴f（﹣a）+f（a）＝2．∵f（a）＝8，∴f（a）＝﹣6．故答案为﹣6．14．（5分）连续掷两次骰子，以先后看到的点数m，n作为点P的坐标（m，n），那么点P在圆x2+y2＝17内部（不包括边界）的概率是．【解答】解：连续掷两次骰子，以先后看到的点数m，n作为点P的坐标（m，n），基本事件总数n＝6×6＝36，点P在圆x2+y2＝17内部（不包括边界）包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8个，故点P在圆x2+y2＝17内部（不包括边界）的概率p＝＝．故答案为：．15．（5分）已知△ABC的顶点都在球O的球面上，AB＝6，BC＝8，AC＝10，三棱锥O﹣ABC的体积为40，则该球的表面积等于400π．【解答】解：依题意知△ABC为直角三角形，其所在圆面的半径为，设三棱锥O﹣ABC的高为h，则由得h＝5，设球O的半径为R，则由h2+52＝R2，得R＝10，故该球的表面积为400π．故答案为400π．16．（5分）在△ABC中，∠B＝，AC＝1，点D在边AB上，且DA＝DC，BD＝1，则∠DCA＝或．【解答】（本题满分为10分）解：设∠A＝∠ACD＝θ，0，则∠ADC＝π﹣2θ，又AC＝1，由正弦定理得：，可得：CD＝，在△BDC中由正弦定理得：，可得：，可得：cosθ＝sin（﹣2θ），可得：sin（﹣θ）＝sin（﹣2θ），由0，可得：0＜﹣θ＜，﹣＜﹣2θ＜，得﹣θ＝﹣2θ，或﹣θ+﹣2θ＝π，解得：θ＝或．故答案为：或．[注：该题若考生漏掉一解扣（2分）]三、解答题（共5小题，满分60分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n+1﹣3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝3﹣，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，则有，解得a1＝1，d＝2，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1，（2）由a1b1+a2b2+…+a n b n＝3﹣，①当n＝1时，a1b1＝，∴b1＝当n≥2时，a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1＝3﹣，②①式减去②式得，求得b n＝，易知n＝1也成立，∴数列{b n}为等比数列，其前n项和T n＝＝1﹣18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD．（1）求证：BD⊥平面A1ACC1；（2）若AB＝1，且AC•AD＝1，求二面角B﹣A1D﹣B1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结ED，（1分）∵平面AB1C∩平面A1BD＝ED，B1C∥平面A1BD，∴B1C∥ED，（2分）∵E为AB1中点，∴D为AC中点，∵AB＝BC，∴BD⊥AC①，（3分）法一：由A1A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，得A1A⊥BD，②，由①②及A1A、AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，得BD⊥平面A1ACC1．（5分）法二：由A1A⊥平面ABC，A1A⊂平面A1ACC1，∴平面A1ACC1⊥平面ABC，又平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，得BD⊥平面A1ACC1．解：（Ⅱ）由AB＝1，得BC＝BB1＝1，由（Ⅰ）知DA＝AC，又AC•DA＝1，得AC2＝2，（6分）∵AC2＝2＝AB2+BC2，∴AB⊥BC，（7分）如图以B为原点，建立空间直角坐标系B﹣xyz，如图示，则A1（1，0，1），B1（0，0，1），D（），得＝（1，0，0），＝（），设＝（x，y，z）是平面A1B1D的一个法向量，则，令z＝1，得＝（0，2，1），（9分）设＝（a，b，c）为平面A1BD的一个法向量，则，令c＝1，得＝（﹣1，1，1），（10分）依题意知二面角B﹣A1D﹣B1为锐二面角，设其大小为θ，则cosθ＝|cos＜＞|＝＝＝，即二面角B﹣A1D﹣B1的余弦值为．（12分）其它解法请参照给分．19．（12分）某地政府在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电，如图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知X∈[0，120]，历年中日泄流量在区间[30，60）的年平均天数为156天，一年按364天计．（1）请把频率直方图补充完整；（2）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才能够运行一台发电机，如60≤X＜90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据．问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？【解答】解：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为，（1分）＝＝，（2分）设在区间[0，30）上，＝a，则（a+）×30＝1，解得a＝，（3分）补充频率分布直方图如右图所示．（6分）（Ⅱ）记水电站日利润为Y元．由（Ⅰ）知：不能运行发电机的概率为，恰好运行一台发电机的概率为，恰好运行二台发电机的概率为，恰好运行三台发电机的概率为，①若安装1台发电机，则Y的值为﹣500，4000，其分布列为：E（Y）＝﹣500×+4000×＝．（8分）zu②若安装2台发电机，则Y的值为﹣1000，3500，8000，其分布列为：E（Y）＝﹣1000×+3500×+8000×＝．（10分）③若安装3台发电机，则Y的值为﹣1500，3000，7500，12000，其分布列为E（Y）＝﹣1500×+3000×+7500×+12000×＝，∵，∴要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．（12分）20．（12分）如图，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的上顶点为A，左右顶点为B，C，右焦点为F，|AF|＝3，且△ABC的周长为14．（1）求椭圆的离心率；（2）过点M（4，0）的直线l与椭圆相交于不同两点P，Q，点N在线段PQ上，设λ＝＝，试判断点N是否在一条定直线上，并求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由丨AF丨2＝b2+c2＝a2，则a＝3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）△ABC的周长为2（丨AC丨+a）＝14，即+a＝7，得b2＝7，则c＝＝，椭圆的离心率为e＝＝；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）方法一：显然直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k（x﹣4），设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），由＝，得＝，化简得2y1y2＝y0（y1+y2）①，﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由消去x，得（9k2+7）y2+56ky+49k2＝0，得y1+y2＝﹣，y1y2＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）代入①式得y0＝﹣k，由y0＝k（x0﹣4），得x0＝，λ＝＝＝﹣1+＝﹣1+，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由＜x1≤3，得0＜x1﹣≤，则λ≥﹣1+＝，因此，N在一条直线x＝上，实数λ∈[，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【法二：显然直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k（x﹣4），不妨设k＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），y2＜y1，由λ＝＝，得λ＝＝，化简得2y1y2＝y0（y1+y2）①，（6分）由y1＝λ（y0﹣y1），y2＝λ（y2﹣y0），得y1+y2＝λ（y2﹣y1），②，由消去x，得（9k2+7）y2+56ky+49k2＝0，可知△＝（56k）2﹣4×（9k2+7）×49k2＝49k2﹣36（1﹣k2）＞0，得y1+y2＝﹣，y1y2＝，y1，2＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）代入①式得y0＝﹣k，由y0＝k（x0﹣4），得x0＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）由②式得﹣＝λ•，得λ＝＝≥，因此，N在一条直线x＝上，实数λ∈[，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【法三：设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），x2＜x1，由λ＝＝，得＝λ，＝﹣λ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴，将P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）上面两式相减化简得x0＝，λ＝＝＝﹣1+＝﹣1+，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由＜x1≤3，得0＜x1﹣≤，则λ≥﹣1+＝，因此，N在一条直线x＝上，实数λ∈[，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+ax（a∈R）（1）试确定函数f（x）的零点个数；（2）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，当x1+x2≤2时，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＝（x﹣2）e x+ax＝0得ax＝（2﹣x）e x，令g（x）＝（2﹣x）e x，则g′（x）＝﹣e x+（2﹣x）e x＝（1﹣x）e x，∴当x＞1时，g′（x）＜0，当x＜1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴当x＝1时，函数g（x）有最大值g（1）＝e，又当x＜1时，g（x）＝（2﹣x）e x＞0，g（2）＝0；作出y＝g（x）与y＝ax的函数图象如图所示：∴当a≥0时，y＝ax与g（x）只有一个公共点，从而函数f（x）有一个零点；当a＜0时，y＝ax与g（x）有两个公共点，从而函数f（x）有两个零点．（II）设x1＜x2，由（I）知a＜0且x1＜0，x2＞2，由f（x1）＝（x1﹣2）e+ax1＝0，得a＝（x1＜0），由f（x2）＝（x2﹣2）e+ax2＝0，得a＝（x2＞2）．∴a2＝，∵x1+x2≤2，∴4﹣2（x1+x2）≥0，0＜e≤e2，（当且仅当x1+x2＝2时取等号）∴4﹣2（x1+x2）+x1x2≥x1x2，又x1x2＜0，∴≤1，∴a2≤e≤e2，又a＜0，∴﹣e≤a＜0．选做题（请在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标方程．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若直线l：θ＝α（α∈[0，π），ρ∈R）与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|OM|的最大值．【解答】解：（I）曲线C的普通方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝4，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2＝0．（II）联立θ＝α和ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2＝0，得ρ2+2ρ（cosα﹣sinα）﹣2＝0，设A（ρ1，α），B（ρ2，α），则ρ1+ρ2＝2（cosα﹣sinα）＝2，由|OM|＝，得|OM|＝，当α＝时，|OM|取最大值．[不等式选讲]23．设函数f（x）＝a（x﹣1）．（Ⅰ）当a＝1时，解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1时，求证：．【解答】解：（I）当a＝1时，不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x即|x﹣1|+|x+1|≥3x 当x≤﹣1时，得1﹣x﹣x﹣1≥3x⇒x≤0，∴x≤﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）当﹣1＜x＜1时，得1﹣x+x+1≥3x，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）当x≥1时，得x﹣1+x+1≥3x⇒x≤0，与x≥1矛盾，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）综上得原不等式的解集为＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）证明：|f（x2）+x|＝|a（x2﹣1）+x|≤|a（x2﹣1）|+|x|﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∵|a|≤1，|x|≤1∴|f（x2）+x|≤|a|（1﹣x2）+|x|≤1﹣x2+|x|﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）当时取“＝”，得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）。

2017年5月广东省揭阳市高考模拟考试数 学一、选择题（本大题10小题，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设i 为虚数单位，则复数43ii+的虚部为（ ） A ．－4B ．4i －C ．4D ．4i2．设集合{}{}21,,1,A x y x x R B y y x x R ==+∈==+∈，则A B ＝（ ）A ．()(){}0,1,1,2B ．{}1x x ≥C ．(){}1,2D ．R3．设向量()1,0a =，()1,1b =，则下列结论中正确的是（ ）A ．a b =B ．2a b =C ．a b -与a 垂直D ．a ∥b4．下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是（ ） A ．1y x=-B ．()2lg 4y x =-C ．||e x y =D ．cos y x =5．对于函数()3sin cos f x x x =+，下列命题中正确的是 （ ） A ．(),2x f x ∀∈=R B ．(),2x f x ∃∈=RC ．(),2x f x ∀∈>RD ．(),2x f x ∃∈>R6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2-D ．07．设函数()34,02f x x x a a =-+<<．若()f x 的三个零点为123,,x x x ，且123x x x <<，则（ ） A ．11x >-B ．20x <C ．20x >D ．32x >8．如图，函数()y f x =的图象为折线ABC ，设()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，则函数()y g x =的图象为 A ．B ．C ．D ．9．已知点(),x y 满足1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则a 的范围为（ ）A ．()1,2-B ．()4,2-C ．()2,1-D ．()2,4-10．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时不等式()()'0f x xf x +<成立，若()0.30.333a f =，()ππlog 3log 3b f =，则 , , a b c 大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡对应题号后的横线上）ABCOxy 11 －1－1 (第8题图)O xy11 －1－1 O xy11－1－1 O xy11－1－1O xy 11－1－111．函数1ln x y x+=的定义域为_____________． 12．已知单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则122e e -=_____________．13．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是_________________．14．设()f x =()()0e 0ln x x x x ≤⎧⎨>⎩，则12f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦_____________. 15．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个等式．．．．．为_____________. 三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．（本小题满分12分）已知函数()22cos 3sin 2xf x x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若α为第二象限角，且π133f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos21tan αα-的值．17．（本小题满分12分）已知函数()1 3.f t t t =+-- （I ）求()2f t >的解集；（II ）设()20,25a g x ax x >=-+, 若对任意实数,x t ，均有()()g x f t ≥恒成立，求a 的取值范围。

是输入x x=|x|-2x ＝2x -1否|x|>1？结束开始输出x 图1揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合}2,1,0,1{-=A ，集合={|23,}B y y x x A =-∈，则A B I 中元素的个数为（A ）1 （B ）2（C ）3（D ）4（2）已知点(01)A ，，(3,2)B ，向量(7,4)BC =--u u u r ，则向量AC =u u u r（A ）(10,7) （B ）(10,5) （C ）(4,3)-- （D ）(4,1)-- （3）若直线20mx y m ++=与直线3(1)70mx m y +-+=平行，则m 的值为（A ）7（B ）0或7 （C ）0（D ）4（4）已知命题:,,sin()sin sin p x y R x y x y ∃∈+=+，命题1cos 2:[0,cos 2xq x x π+∀∈=，则下列判断正确的是（A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题（C ）命题()p q ∨⌝是假命题 （D ）命题()p q ∧⌝是真命题（5）曲线xy )31(=与12y x =的交点横坐标所在区间为（A ）)31,0( （B ）)21,31( （C ）)32,21( （D ）)1,32(（6）阅读图1的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为36-时，输出x 的值为（A ）0 （B ）1 （C ）3 (D ）15（7）如果实数x y 、满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ， 那么2x y -的最大值为（A ）2 （B ）1 （C ）2- （D ）3-（8）清代著名数学家梅彀成在他的《增删算法统宗》中有这样一歌谣：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增,共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”其译文为：“远远望见7层高的古塔，每层塔点着的灯数，下层比上层成倍地增加，一共有381盏，请问塔尖几盏灯？”则按此塔各层灯盏的设置规律，从上往下数第4层的灯盏数应为（A ）3 （B ）12 （C ）24 （D ）36（9）连续掷两次骰子，以先后得到的点数m , n 为点P 的坐标(,)m n ，那么点P 在圆2217x y +=内部（不包括边界）的概率是（A ）14 （B ）16 （C ）518（D ）29（10）某工件的三视图如图2所示，现将该工件通过 切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则 新工件的棱长为 （A ）12（B ）1 （C ） 2 （D ）22（11）已知抛物线221y ax x a =+--()a R ∈，恒过第三象限上一定点A ，且点A 在直线310mx ny ++=(0,0m n >>）上，则11m n+的最小值为 (A)4 (B) 12(C) 24 (D) 36(12)已知函数()=|sin |([,])f x x x ππ∈-，()g x 为]4,4[-上的奇函数，且⎩⎨⎧≤<-≤<-=)42(124)20(2)(x x x x x g ，设方程(())0f f x =，(())0f g x =，(())0g g x =的实根的个数分别为m 、n 、t ，则m n t ++=俯视图22222222图2A CBA 1C 1B 1DE图31105(日泄流量）x1210901206030频率组距图4（A ）9 (B)13 (C)17 (D) 21第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知函数3()1f x ax bx =++，若()8f a =，则()f a -=_________.（14）已知数列{}n a 对任意的n N *∈都有112n n n n a a a a ++=-，若112a =，则8a = .（15）已知△ABC 的顶点都在球O 的球面上，AB=6，BC=8，AC=10，三棱锥O-ABC 的体积为403，则该球的表面积等于 .（16）已知双曲线22142x y -=右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点2)A ,则△APF 周长的最小值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知：复数12sin sin ()z A C a c i =++,212cos cos 4 z A C i =++,且12z z =，其中A 、B 、C为△ABC 的内角，a 、b 、c 为角A 、B 、C 所对的边． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ） 若22b =ABC 的面积． （18）（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BC=BB 1，11AB A B E =I ，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD ；（Ⅰ）求证：BD ⊥平面11ACC A ；（Ⅱ）若1,AB =且1AC AD =⋅，求三棱锥A-BCB 1的体积． （19）（本小题满分12分）某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水 量发电．图4是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的 日泄流量X （单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整）， 已知)120,0[∈X ，历年中日泄流量在区间[30，60）的年平 均天数为156，一年按364天计．（Ⅰ）请把频率分布直方图补充完整；（Ⅱ）已知一台小型发电机，需30万立方米以上的日泄流 量才能运行，运行一天可获利润为4000元，若不运行，则每天亏损500元；一台中型发电机，需60万立方米以上的日泄流量才能运行，运行一天可获利10000元，若不运行，则每天亏损800元；根据历年日泄流量的水文资料，水电站决定安装一台发电机，为使一年的日均利润值最大，应安装哪种发电机？ （20）（本小题满分12分）已知椭圆222:1(2)2x y C a a +=>的离心率为22，点,M N 是椭圆C 上的点，且直线OM 与ON 的斜率之积为12-.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动点()00,P x y 满足2OP OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ，是否存在常数λ，使得P 是椭圆2222x y a λ+=上的点.（21）（本小题满分12分）已知函数x e ax f x ln )(+=．()a R ∈ （Ⅰ）若函数在区间],1[e e上单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）试讨论函数()f x 在区间(0,)+∞内极值点的个数．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l ：αθ=)),,0[(R ∈∈ρπα与曲线C 相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M ，求||OM 的最大值．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数)1()(-=x a x f ．（Ⅰ）当1a =时，解不等式|()||()|3f x f x x +-≥； （Ⅱ）设1||≤a ，当1||≤x 时，求证：45|)(|2≤+x x f ．揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCBDBABCDBBD部分题目解析：（8）依题意知，此塔各层的灯盏数构成公比2q =的等比数列，且前7项和7381S =，由 71(12)381,12a -=-解得13a =，故34124a a q ==．（102，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x 22222x x-=，解得12x =，故2x=1，即新工件棱长为1．（11）易得(1,3)A --,则13m n +=，又11m n+n n m m n m )(3)(3+++=)(36n mm n ++= 1266=⋅+≥nm m n ，当且仅当m n =时等号成立．(或111122122m n m n m nmn+≥⋅=≥=+．) （12）因[,]x ππ∈-，所以函数()f x 的值域为[0,1]，函数()g x 的 图象如图示，由图象知，其值域为[4,4]-，注意到方程()0f x =的 根为0，π-，π，所以方程(())0f f x =的根为方程()0f x =或(),f x π=-()f x π=的根，显然方程()0f x =有3个实根，因 ,[0,1]ππ-∉，所以(),f x π=-与()f x π=均无实根；所以方程(())0f f x =的实根的个数为3，即3m =；方程(())0f g x =的实根为方程()0g x =或(),()g x g x ππ=-=的根，方程(),()g x g x ππ=-=各有3个根，同时方程()0g x =也有3个根，从而方程(())0f g x =根的个数为9，即9n =；方程()0g x =有三个实根-3、0、3，方程(())0g g x =的实根为方程3)(-=x g 或()0g x =或3)(=x g 的根，方程3)(-=x g 或3)(=x g 各有3个根，同时方程()0g x =也有3个根，从而方程(())0g g x =根的个数为9，即9t =，故m n t ++=21. （12）二、填空题：题号 1314 1516答案6-400π 4(12)+部分题目解析：(14) 由112n n n n a a a a ++=-得1112n n a a +-=，故数列1{}na 是112a =，公差2d =的等差数列122(1)2n n n a =+-=，故8116a =. （15）依题意知△ABC 为直角三角形，其所在圆面的半径为152AC =，设三棱锥O-ABC 的高为h ，则由116840332h ⨯⨯⨯=得53h =，设球O 的半径为R ，则由2225h R +=得10R =， 故该球的表面积为400π.（16）易得点(6,0)F ,△APF 的周长l =||||||AF AP PF ++||2|'|||AF a PF AP =+++，要△APF 的周长最小，只需 |||'|AP PF +最小，如图，当A 、P 、F 三点共线时取到，故l 2||24(12)AF a =+=+. 三、解答题：(17)解：（Ⅰ）∵12z z =∴2sin sin 12cos cos A C A C =+----①,4a c +=----② --------------------------------2分由①得2(cos cos sin sin )1A C A C -=- 即1cos()cos()cos 2A CB B π+=-=-=-----------③ -----------------------------------4分∴1cos 2B =,∵0B π<< ∴EDB 1C 1A 1BCA3B π=-------------------------------------------------------------6分(Ⅱ) ∵22b =,由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-⇒228a c ac +-=,--④-------------------------------------------------------------------------------8分由②得22216a c ac ++=------------⑤ 由④⑤得83ac =， -------------------------------------------------------------------------------------10分∴1sin 2ABC S ac B ∆==1832323⨯⨯=.-------------------------------------------------------12分 （18）解：（Ⅰ）连结ED ，----------------------------------------------------------------------------------1分∵平面AB 1C ∩平面A 1BD=ED ，B 1C ∥平面A 1BD ， ∴B 1C ∥ED，----------------------------------------------------------------------------------------------3分 ∵E 为AB 1中点，∴D 为AC 中点，∵AB=BC ， ∴BD ⊥AC ①， -------------------------------4分 法一：由A 1A ⊥平面ABC ，⊂BD 平面ABC ，得A 1A ⊥BD ②， 由①②及A 1A 、AC 是平面11ACC A 内的两条相交直线，得BD ⊥平面11ACC A .-------------------------------------------6分 【法二:由A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ⊂平面11ACC A∴平面11ACC A ⊥平面ABC ，又平面11ACC A I 平面ABC=AC ，得BD ⊥平面11ACC A .】 （Ⅱ）由1AB =得BC=BB 1=1，由（Ⅰ）知AC DA 21=，又1=⋅DA AC 得22AC =,----------------------------------------8分∵2222BC AB AC +==，∴BC AB ⊥，---------------------------------------------------10分 ∴1122ABC S AB BC ∆=⋅= ∴11111113326A BCB ABC V S BB -∆=⋅=⨯⨯=.---------------------------------------------------------12分其它解法请参照给分．1701105(日泄流量）x1210901206030频率组距（19）解：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为73364156=------------------------------------------------1分 31==73070⨯频率组距，-------------------------2分 设在区间[0，30）上，a =频率组距， 则130)21011051701(=⨯+++a ， 解得2101=a ，----------------------------------------3分 补充频率分布直方图如右；--------------------------5分（Ⅱ）当日泄流量X ≥30（万立方米）时，小型发电机可以运行，则一年中一台小型发电机可运 行的天数为：136430364312210-⨯⨯=（天）；-----------------------------------------------------7分当日泄流量X ≥60（万立方米）时，中型发电机可以运行，则一年中一台中型发电机可运行 的天数为：11()30364156105210+⨯⨯=（天）；------------------------------------------------------9分①若运行一台小型发电机，则一年的日均利润值为：11(312400052500)33573647⨯⨯-⨯=（或723500）（元）------------------------------10分②若运行一台中型发电机，则一年的日均利润值为：14(15610000208800)38283647⨯⨯-⨯=（或726800）（元）----------------------------11分 因为413828335777>，故为使水电站一年的日均利润值最大，应安装中型发电机．----12分 （20）解：（Ⅰ）由22=a c 得22222a c a b =-=，又22=b ，解得2=a ，故椭圆的标准方程为22142x y +=.--------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）设()()1122,,,M x y N x y ,则由2OP OM ON =+u u u r u u u u r u u u r，得0120122,2x x x y y y =+=+----------------------------------------------------------------------6分又点,M N 在椭圆22142x y +=上，∴2222112224,24x y x y +=+=设,OM ON k k 分别为直线,OM ON 的斜率，由题意知，212121-==⋅x x y y k k ON OM ，∴12122=0x x y y +，---------------------------------------------------8分222222000012122(2)2(2)4244x y x y x x y y ++++∴+=== 222211221212(2)4(2)4(2)20544x y x y x x y y ++++⋅+⋅==--------------------------------------11分 因此，存在常数5,λ=使得P点在椭圆22542x y +=上． ------------------------------------------12分 （21）解：（Ⅰ）由题意知：对∈∀x ],1[e e ，01)('≤+-=x e a x f x， 即xe a x ≥，对∈∀x ],1[e e恒成立，-----------------------------------------------------------------1分令2(1)(),()x xe x e g x g x x x -'==，当01x <<时，()0,g x '<当1x >时，()0,g x '>所以函数()g x 在)1,1[e上单调递减，在],1(e 上单调递增，----------3分由e e eg 11)1(+=，1)(-=e e e g ，ee e e 111+->，得区间],1[e e 上1max )(-=e e x g ， 所以1-≥e e a ． ------------------------------------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）解法1：1().xx x x xe a a e ax xf x e x xe e --'=-+==Q ----------------------------------------------6分 令2(1)(),()x xe x e g x g x x x -'==-------------------------------------------------------------------------7分且当01x <<时，()0,g x '<当1x >时，()0,g x '>所以函数()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，-----------------------------------------8分min ()(1)g x g e ∴==，当a e ≤时，()g x a ≥恒成立，()0.f x '∴≥函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增，()f x 无极值点----------------------------------------------9分当a e >时，min ()(1)g x g e a ==<，故存在1(0,1)x ∈和2(1,)x ∈+∞，使得12()()g x g x a == 当10x x <<时，()0,f x '>当12x x x <<时，()0,f x '<当2x x >时，()0,f x '>所以函数()f x 在12(,)x x 单调递减，在1(0,)x 和2(,)x +∞单调递增，所以1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点.--------------------------------11分综上可知：当a e ≤时，函数()f x 无极值点当a e >时，函数()f x 有两个极值点----------------------------------------------------------------12分【解法二：x x xe ax e x f -=)(')0(>x ，---------------------------------------------------------------------6分设ax e x h x -=)()0(>x ，则a e x h x -=)('，由0>x 得1>x e ，(1)当1≤a 时，0)('>x h ，)(x h 递增，1)0()(=>h x h ，得0)('>x f ，)(x f 递增，()f x 在区间(0,)+∞内无极值点；--------------------------------7分(2)当1>a 时，由0)('>-=a e x h x得a x ln >，可知)(x h 在)ln ,0(a 内递减，在),(ln ∞+a 内递增，所以)ln 1()(ln )(min a a a h x h -==， ①当e a ≤<1时，0)()(min ≥≥x h x h ，得0)('>x f ，)(x f 递增，()f x 在区间(0,)+∞内无极值点；--------------------------------9分②当e a >时，0)(min <x h ，又0)0(>h ，x 很大时0)(>x h ，所以存在∈1x )ln ,0(a ，),(ln 2∞+∈a x ，使得0)(1=x h ，0)(2=x h ，即0)('1=x f ，0)('2=x f ，可知在21,x x 两边)('x f 的符号相反，所以函数()f x 有两个极值点21,x x ，--------------------------------------------------------------11分综上可知：当a e ≤时，函数()f x 无极值点当a e >时，函数()f x 有两个极值点--------------------------------------------------------------12分】选做题：（22）解：（I ）曲线C 的普通方程为222(1)(1)2x y ++-=，--------------------------------------2分由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，得22cos 2sin 20ρρθρθ+--=；---------------------------------------5分（II ）解法1：联立αθ=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=，得22(cos sin )20ρραα+--=，------------------------------------------------------------------6分设),(1αρA 、),(2αρB ，则)4sin(22)cos (sin 221παααρρ-=-=+--------------8分由|2|||21ρρ+=OM ， 得2|)4sin(|2||≤-=παOM ，---------------------------------9分当34πα=时，|OM |取最大值2．----------------------------------------------------------------10分【解法2：由（I ）知曲线C 是以点P (1,1)-为圆心，以2为半径的圆，在直角坐标系中，直线l 的方程为x y ⋅=αtan ，则||PM =，---------------------------------------------------6分 ∵2222||||||2OM OP PM =-=-22tan 11tan αα=-+，-----------------------------8分 当(,)2παπ∈时，tan 0α<，21tan 2|tan |αα+≥，222|tan |||121tan OM αα=+≤+，当且仅当tan 1α=-，即34πα=时取等号，∴||OM ≤,即||OM 的最大值为2．-----------------------------------------------------------10分】（23）解：（I ）当1a =时，不等式|()||()|3f x f x x +-≥即|1||1|3x x x -++≥当1x ≤-时，得113x x x ---≥0x ⇒≤，∴1x ≤------------------------------------------1分当11x -<<时，得113x x x -++≥23x ⇒≤，∴213x -<≤ -----------------------------2分当1x ≥时，得113x x x -++≥0x ⇒≤，与1x ≥矛盾，-------------------------------------3分综上得原不等式的解集为2{|1}{|1}3x x x x ≤--<≤U =2{|}3x x ≤------------------------5分 （II ）|)1(||)(|22x x a x x f +-=+|||)1(|2x x a +-≤-----------------------------------------------6分∵1||≤a ，1||≤x∴2|()|f x x +||)1(||2x x a +-≤||12x x +-≤-------------------------------------------------7分4545)21|(|1||||22≤+--=++-=x x x ， ----------------------------------------------------9分 当21||=x 时取“=”，得证． -----------------------------------------------------------------------10分。

2016-2017学年度（95届）揭阳一中阶段一考试 理科数学试卷命题人：杨朝霞 孙伟东一、选择题（本大题共12小题, 每小题5分，共60分） 1、已知复数ibiz -+=14（R b ∈）的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2、已知条件p ：|4|6x -≤ ；条件q ：22(1)0(0)x m m --≤> ，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ）A.),19[+∞B.),19(+∞C.),9[+∞D.),9(+∞3、 要得到函数)32cos()(π+=x x f 的图象，只需将函数)32sin()(π+=x x g 的图象（ ） A.向左平移2π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向右平移4π个单位长度 4、等差数列{}n a 中的4a ，2016a 是函数146)(23-+-=x x x x f 的极值点，则=101041log a （ ）A.21 B.2 C.2- D.21- 5、函数2ln xy x=的图象大致为（ ）6、已知双曲线22221x y a b-=（0>a ，0>b ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，以21F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为)4,3(，则此双曲线的方程为（ ）A.221169x y -= B. 22134x y -= C. 221916x y -= D. 22143x y -= 7、若⎰=2121dx x S ，⎰=2121dx xS ，⎰=213dx e S x ，则1S ，2S ，3S 的大小关系为（ ）A ．321S S S <<B ．312S S S <<C ．231S S S <<D ．213S S S <<8、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体， 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积 为π2016+，则=r （ ）A.1B.2C.4D.89、若n xx )319(-（*N n ∈）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为（ ）A ．252B ．252-C ．84D ．84-10、已知()y f x =是可导函数，如图，直线2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，'()g x 是()g x 的导函数，则'(3)=g （ ）A.－1B. 0C.2D.411、设)('x f 为定义在R 上的可导函数)(x f 的导函数，满足)()('x f x f <，且)2(+x f 为偶函数，1)4(=f ，则不等式xe xf <)(的解集为（ ）A.),2(+∞-B.),0(+∞C.),1(+∞D.),4(+∞ 12、已知函数)6(sin 2)(2πω+=x x f （0>ω）在区间]32,6[ππ内单调递增，则ω的最大值为（ ）A.21 B.53 C.43 D.41二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、若tan 2tan 18πα=，则4cos()9sin()18παπα--的值为 ．14、如果实数x 、y 满足关系⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≤-+044004y x y x y x ，则22(2)x y -+的最小值是 ．15、已知向量，AC 的夹角为︒120，5=，2=，AC AB AP λ+=，若BC AP ⊥，则=λ ．16、若函数ax e x x f x--=4)(2在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出适当的文字说明、证明过程和演算步骤）17、（本小题满分10分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11a b =，22=b ，d q =，且1d >，10010=S ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18、（本小题满分10分）已知函数1)(-+-=x a x x f ，R a ∈.（1）当3=a 时，解不等式4)(≤x f ；（2）当)1,2(-∈x 时，12)(-->a x x f ，求a 的取值范围.19、（本小题满分12分）已知()f x a b =⋅，其中(2cos ,2)a x x =，(cos ,1)b x =，x R ∈. （1）求()x f 的单调递减区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()1f A =-，a =，且向量(3,sin )m B =与(2,sin )n C =共线，求边长b 和c 的值.20、（本小题满分12分）设函数)ln 2()(2x xk x e x f x +-=（k 为常数，e 为自然对数的底数）.（1）当0=k 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）若函数)(x f 在)2,0(內存在两个极值点，求k 的取值范围.21、（本小题满分12分）已知直线1y x =-+与椭圆12222=+by a x ()0a b >>相交于A 、B 两点．（1）若椭圆的离心率为33，焦距为2，求椭圆的方程；（2）若向量OA 与向量OB 互相垂直（其中O 为坐标原点），当椭圆的离心率]22,21[∈e 时，求椭圆长轴长的最大值．2016-2017学年度（95届）揭阳一中阶段一考试 理科数学试卷参考答案一、选择题 B C C D D C B B C B B A二、填空题 13、 3 14、2 15、31016、)2ln 22,(---∞三、解答题17、（1）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩，解得2=d 或92=d （舍去），得11a =，故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩（*N n ∈） ………5分 （2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=， ………6分 于是2341357921122222n n n T --=++++++， ① 2345113579212222222n nn T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n n nn n T --+=++++-=-， 故nT 12362n n -+=-.（*N n ∈） ………10分 18、解：（1）当3a =时，42,1()2,1x 324,3x x f x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，当1x <时，由()4f x ≤得424x -≤，解得01;x ≤< 当13x ≤≤时，()4f x ≤恒成立；当3x >时，由()4f x ≤得244x -≤，解得34x <≤．所以不等式()4f x ≤的解集为{}04x x ≤≤． ………5分（2）因为(x)1121f x a x x a x x a =-+-≥-+-=--， ………6分当()()10x x a --≥时，()21f x x a =--；当()()10x x a --<时，()21f x x a >--.…8分记不等式()()10x x a --<的解集为,A 则()2,1A -⊆，故2a ≤-， 所以a的取值范围是(],2-∞-． ………10分19、（1）由题意知()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-+=-=32cos 212sin 32cos 12sin 3cos 22πx x x x x x f . ………2分x y cos = 在[]()Z k k k ∈+πππ2,2上单调递减，∴令ππππ+≤+≤k x k 2322，得36ππππ+≤≤-k x k()x f ∴的单调递减区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-3,6ππππ ………5分（2）()132cos 21-=⎪⎭⎫⎝⎛++=πA A f ，132cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πA ，又37323πππ<+<A ， ,32ππ=+∴A 即3π=A ………7分 7a =，由余弦定理得()73c o s 22222=-+=-+=bc c b A bc c b a .① ………8分因为向量(3,sin )m B =与(2,sin )n C =共线，所以2sin 3sin B C =，由正弦定理得23b c =. ②………10分 由 ①②解得3,2b c ==. ………12分20、解：函数)(x f y =的定义域为),0(+∞，3232422))(2()2(2)12(2)('x kx e x x x k x e xe x x k x xe e x x f x x x x --=---=+---=………2分（1）由0=k 可得3)2()('xe x xf x-=， 所以当)2,0(∈x 时，0)('<x f ，函数)(x f y =单调递减；),2(+∞∈x 时，0)('>x f ，函数)(x f y =单调递增．所以)(x f y =的单调递减区间为)2,0(，单调递增区间为),2(+∞． ………6分（2）解法一：)(x f 在)2,0(内存在两个极值点，0))(2()('3=--=∴xkx e x x f x 有两个实数根，故0=-kx e x即x e k x =在)2,0(有两个实数根.设xe x h x=)(，)2,0(∈x ，则2)1()('x e x x h x-=，令0)('=x h ，解得1=x ；令0)('>x h ，解得21<<x ；令0)('<x h ，解得10<<x .∴函数)(x h 在)1,0(上单调递减，在)2,1(上单调递增.∴当1=x 时，函数)(x h 取得极小值即最小值，e h =)1(. ………10分而2)2(2e h =，当+→0x 时+∞→)(x h ，22e k e <<∴. ………12分解法二： 当0≤k 时，函数)(x f 在)2,0(内单调递减，故)(x f 在)2,0(内不存在极值点；当0>k 时，设函数kx e x g x -=)(，),0(+∞∈x ．此时kx x ee k e x g ln )('-=-=.当10≤<k 时，当)2,0(∈x 时，0)('>-=k e x g x，)(x g y =单调递增，故)(x f 在)2,0( 内不存在两个极值点．当1>k 时，得)ln ,0(k x ∈时，0)('<x g ，函数)(x g y =单调递减；),(ln +∞∈k x 时，0)('>x g ，函数)(x g y =单调递增.所以函数)(x g y =的最小值为)ln 1()(ln k k k g -=． 函数)(x f 在)2,0(内存在两个极值点，当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<><>2ln 00)2(0)(ln 0)0(k g k g g ，解得22e k e <<. ………12分21、解：（1）33=e ，即33=a c ，又22=c ，∴3=a ，则222=-=c a b ，∴椭圆的方程为12322=+y x ………4分（2）设),(),,(2211y x B y x A ，0=⋅∴⊥ ，即02121=+y y x xy 得：0)1(2)(222222=-+-+b a x a x b a由0)1)((4)2(222222>-+--=∆b b a a a ，整理得：122>+b a （*） 又222212b a a x x +=+，222221)1(ba b a x x +-= 1)()1)(1(21212121++-=+-+-=∴x x x x x x y y 由02121=+y y x x ，得：01)(22121=++-x x x x012)1(22222222=++-+-∴b a a b a b a ，整理得：022222=-+b a b a ………9分 222222b a c a a e =-=-代入上式得：221112e a -+=，)111(2122e a -+=∴ 43121,2141,222122≤-≤∴≤≤∴≤≤e e e2367,311137,21134222≤≤∴≤-+≤∴≤-≤∴a ee ，条件适合122>+b a 由此得：62342,26642≤≤∴≤≤a a ，故长轴长的最大值为6． ………12分。