河北省衡水市第二中学2020-2021学年第一学期新高考数学助力卷

2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷（八）数学（理科）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）1.已知集合(){}12A x x x =+≤，{}11B x x =->，则A B =（ ）A. [)1,0-B. [)2,0-C. (]0,1D. (]0,2【答案】B 【解析】 【分析】计算[]2,1A =-，()(),02,B =-∞+∞，再计算交集得到答案.【详解】(){}[]122,1A x x x =+≤=-，{}()()11,02,B x x =->=-∞⋃+∞， 所以[)2,0AB =-.故选：B.【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力. 2.i?是虚数单位，若2i2im ++是纯虚数，则实数m = （ ） A. 1 B. 1-C. 4D. 4-【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则得到复数的化简式子，再由实部为0得到结果.【详解】若2i2i m ++是纯虚数，化简虚数得到()()()()()2i 2i 2242i 2i 2i 2i 5m m m i m +-++-+==++-， 纯虚数即22040m m +=⎧⎨-≠⎩解得m=-1. 故答案为B.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，以及实部和虚部的概念，题型较为基础. 3.函数sin cos y x x =-在[],ππ-上的图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据函数为奇函数排除AD ，计算4x π=时，0y <，排除C ，得到答案.【详解】函数sin cos y x x =-是奇函数，排除A ，D ；当4x π=时，0y <，排除C.故选：B.【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数的奇偶性是解题的关键. 4.在如图所示的算法框图中，若输入的45x =，则输出结果为（ ）A.15B.25C.35D.45【答案】B 【解析】 【分析】根据算法框图依次计算得到答案.【详解】45x =，1n =；35x =，2n =；15x =，3n =；25x =，4n =；45x =，5n =； 故呈现以4为周期的特点，当2020n =时，输出结果与4n =时结果相同，为25x =.故选：B.【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力，确定周期是解题的关键.5.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若1718S S =，则在18a ，35S ，1719a a -，1916S S -这四个值中，恒等于0的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据题意计算得到()18n a n d =-，()352n n n S d -=，依次验证每个选项得到答案. 【详解】设n a 的首项为1a ，公差为d ，由1718S S =， 即1117161817171822a d a d ⨯⨯+=+，得117a d =-，所以()18n a n d =-，()()()1351722n n n n n S n d d d --=-+=， 所以180a =，350S =，17192a a d d d -=--=-，()()191619161619022S S d d ⨯-⨯--=-=. 故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力. 6.为了得到正弦函数sin y x =的图象，可将函数sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移m 个单位长度，或向左平移n 个单位长度（0m >，0n >），则m n -的最小值是（ ） A.3πB.23π C.43π D.53π 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意得到123m k ππ=+，2523n k ππ=+，故()12423m n k k ππ-=-+-，计算得到答案. 【详解】sin sin 3x m x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故123m k ππ=+，1k N ∈； sin sin 3x n x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故2523n k ππ=+，2k N ∈，所以()()12125422333m n k k k k πππππ-=-+-=-+-， 故当121k k -=时，m n -最小为23π. 故选：B .【点睛】本题考查了三角函数平移，意在考查学生对于三角函数平移法则的灵活运用.7.如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A.32B. 2C. 3D.92【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，该几何体是四棱锥P ABCD -，计算得到答案. 【详解】该几何体是四棱锥P ABCD -，其中3PA =，底面是直角梯形，2AB AD ==，1BC =，90ABC BAD ∠=∠=︒. 体积()111223332V ⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦. 故选：C .【点睛】本题考查了根据三视图求体积，画出几何体是解题的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8.设126log a =，14log 12b =，15log 15c =，则（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】化简得到21log 3a =--，41log 3b =--，51log 3c =--，得到答案. 【详解】122log 61log 3a ==--，144log 121log 3b ==--，155log 151log 3c ==--，由于245log 3log 3log 3>>，故a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 9.有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报，则4位同学所报选项各不相同的概率等于（ ）A.118B.332C.29D.89【答案】C 【解析】 【分析】计算得到()314434A P B =，()4444A P AB =，根据条件概率公式计算得到答案.【详解】记事件A =“4名同学所报选项各不相同”， 事件B =“已知甲同学报的项目其他同学不报”，()314434A P B =，()4444A P AB =，()()()29P AB P A B P B ==. 故选：C.【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生的计算能力和应用能力.10.在平行四边形ABCD 中，2AB AD ==172AE BF ⋅=-，E 是BC 的中点，F 点在边CD 上，且2CF FD =，若172AE BF ⋅=-，则DAB ∠=（ ） A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】C 【解析】 【分析】记AB a =，AD b =，12AE a b =+，23BF a b =-+，根据172AE BF ⋅=-得到1cos 2DAB ∠=-，计算得到答案.【详解】记AB a =，AD b =，则23a =，3b =，12AE a b =+，23BF a b =-+， 所以2212221384cos 233322AE BF a b a b a a b b DAB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+⋅+=-+∠+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭134cos 2DAB =-+∠. 因为172AE BF ⋅=-，所以13174cos 22DAB -+∠=-，得1cos 2DAB ∠=-，所以120DAB ∠=︒. 故选：C.【点睛】本题考查了根据向量数量积求夹角，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.双曲线C ：221916x y -=的右支上一点P 在第一象限，1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，I 为12PF F △的内心，若内切圆I 的半径为1，直线1IF ，2IF 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +的值等于（ ） A.38B. 38-C. 58-D.58【答案】B 【解析】 【分析】如图，设圆I 与12PF F △三边的切点分别为A ，B ，C ，得到18AF =，故3,1I ，计算得到答案. 【详解】如图，设圆I 与12PF F △三边的切点分别为A ，B ，C ， 根据圆切线的性质和双曲线的定义，有12121226AF AF CF BF PF PF a .又12210AF AF c ，所以18AF =，所以11853OA AF OF =-=-=，即点A 的横坐标为3，所以3,1I . 因为()15,0F -，()25,0F ，所以12113828k k +=-=-. 故选：B.【点睛】本题考查了双曲线中的斜率问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 12.定义在R 上函数q 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--.则使得()116f x ≤在[),m +∞上恒成立的m 的最小值是（ ）A.72B.92C.134D.154【答案】D 【解析】 【分析】计算()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，画出图像，计算()116f x =，解得154x =，得到答案. 【详解】根据题设可知，当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，故()()()11112322f x f x x =-=--，同理可得：在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦， 所以当4n ≥时，()116f x ≤. 作函数()y f x =的图象，如图所示. 在7,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭上，由()11127816f x x =⎡--⎤=⎣⎦，得154x =. 由图象可知当154x ≥时，()116f x ≤. 故选：D .【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，画出图像是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，将每题的正确答案填在题中的横线上）13.已知公比不为1的等比数列{}n a ，且237645,23a a a a a =+=，则数列的通项公式n a =______.【答案】12n + 【解析】 【分析】利用等比数列公式计算得到答案. 【详解】设公比为q ，则()22611a q a q =，所以21a q =，53411123a q a q a q +=，故1q =（舍）或2q，所以14a =，故12n n a +=.故答案为：12n +.【点睛】本题考查了等比数列通项公式，意在考查学生的计算能力.14.在()()51a x x ++展开式中，x 的偶数次幂项的系数之和为8，则a =______. 【答案】12- 【解析】 【分析】设x 的偶数次幂项的系数之和为A ，奇数次幂项的系数之和为B ，则()()11A B f A B f ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，解得()161A a =+，得到答案.【详解】设()()()51f x a x x =++展开式x 的偶数次幂项的系数之和为A ，奇数次幂项的系数之和为B ，则()()11A B f A B f ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，得()()()1111612A f f a =+-=+⎡⎤⎣⎦，由8A =得12a =-. 故答案为：12-. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.15.过抛物线24y x =焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交准线于点P ，交y 轴于点Q ，若PQ FB =，则弦长AB =______.【答案】92【解析】 【分析】设点B 、F 在准线上的射影分别是点G 、K ，计算得到23KF PF GB PB ==，得到B 的坐标为(2,，A 的横坐标为12，计算得到答案. 【详解】设点B 、F 在准线上的射影分别是点G 、K ，根据抛物线的定义可知原点O 是线段KF 的中点，所以Q 是线段PF 的中点，PQ QF =，又PQ FB =，可得23PF PB =，所以23KF PF GB PB ==.因为2KF =，所以3GB =，所以可得点B 的坐标为()2,22（点B 只能在第一象限），所以直线AB 的方程为()221y x =-，代入24y x =，可求得点A 的横坐标为12， 所以13122AF =+=，39322AB AF BF =+=+=. 故答案为：92.【点睛】本题考查了抛物线的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.16.《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马S ABCD -，SA ⊥平面ABCD ，1AB =，3AD =，3SA =.BC 上有一点E ，使截面SDE 的周长最短，则SE 与CD 所成角的余弦值等于______.【答案】24【解析】 【分析】要使截面SDE 的周长最短，则SE ED +最短，连接SD '，交BC 于E ，作//EF CD 交AD 于F ，连接SF ，则SE 与CD 所成角为SEF ∠，计算得到答案.【详解】要使截面SDE 的周长最短，则SE ED +最短，将底面ABCD 沿BC 展开成平面图形D A BC ''（如图），连接SD '，交BC 于E ， 则'SE ED SE ED SD '+=+≥，当'SED 共线时等号成立，此时，由1AB =，3SA =，则2SB =，故3SA '=，3A D AD ''==，故2BE =， 作//EF CD 交AD 于F ，连接SF ，则SE 与CD 所成角为SEF ∠， 易得SF EF ⊥，由于22SE =，1EF =，2cos 422EF SEF SE ∠===. 故答案为：24.【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，三内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若B 为锐角，且sin 2sin 3A B A +=. （1）求C ；（2）已知2a =，8AB BC ⋅=-，求ABC 的面积. 【答案】（1）23C π=；（2）3【解析】 【分析】（1）计算得到sin sin 3B A π⎛⎫=-⎪⎝⎭，故3B A π=-，或3B A ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，计算得到答案.（2）根据题意得到cos 4c B =31cos sin 32B c B -=sin 3c B =到面积. 【详解】（1）由sin 2sin 3A B A +=，得31sin sin 2B A A =-，故sin sin 3B A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以3B A π=-，或3B A ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即23B A π=+.因为B 为锐角，所以3B A π=-，即3B A π+=，故23C π=. （2）由8AB BC ⋅=-，得()cos 8ca B π-=-，故cos 8ca B =. 因为2a =，所以cos 4c B =①. 根据正弦定理，sin sin a c A C =，及3A B π=-，23C π=，2a =，得23sin 32B π=⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以sin 33c B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故31cos sin 322c B c B -=②. ①代入②，得123sin 32c B -=，所以sin 23c B =. 所以ABC 的面积等于11sin 2232322ac B =⨯⨯=.【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，190ACB C CB ∠=∠=︒，160A AC ∠=︒，D ，E 分别为1A A 和11B C 的中点，且1AA AC BC ==.（1）求证：1//A E 平面1BC D ；（2）求平面1BC D 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（210. 【解析】 【分析】（1）取线段1BC 的中点F ，连接EF 、DF ，证明四边形1A DFE 是平行四边形，得到证明.（2）以O 为原点，射线OA 、1OA 分别为x 轴和z 轴的正半轴，以平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，平面1BC D 一个法向量为()3,23,5m =，平面ABC 的一个法向量为()13OA a =，计算向量夹角得到答案.【详解】（1）如图1，取线段1BC 的中点F ，连接EF 、DF ，因为E 为11B C 的中点，所以1//EF BB ，且112EF BB =. 又D 为1A A 的中点，所以11//A D BB ，且1112A D BB =，所以1//EF A D ，且1EF A D =，所以四边形1A DFE 是平行四边形，所以1//A E DF .又DF ⊂平面1BC D ，1A E ⊄平面1BC D ，所以1//A E 平面1BC D .（2）作1A O AC ⊥于点O ，因为160A AC ∠=︒，所以130AAO ∠=︒， 所以11122AO A A AC ==，即O 为AC 的中点. 因为190ACB C CB ∠=∠=︒，所以BC ⊥平面11A ACC ，所以1BC A O ⊥， 所以1A O ⊥平面ABC .故以O 为原点，射线OA 、1OA 分别为x 轴和z 轴的正半轴，以平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图2.令12AA AC BC a ===，则(),0,0A a ，(),2,0B a a -，()1A，()12C a -，12D a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以3,22BD a a ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，15,0,2C D a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面1BC D 一个法向量为(),,m x y z =，则()()3,,,2025,,,0,022x y z a a x y z a a ⎧⎛⎫⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，得320,2502x y z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，取x =y =5z =，所以()3,m =.又平面ABC 的一个法向量为()1OA =，设平面1BC D 与平面ABC 所成锐二面角为θ，则115310cos 4403m OA a am OA θ⋅===⋅⋅.所以平面1BC D 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为10.【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>2，原点到直线1x y a b +=23又知点()0,3Q .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上总存在两个点A 、B 关于直线y x m =+对称，且328QA QB ⋅<，求实数m 的取值范围.【答案】（1）22142x y +=；（2）613⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据离心率定义和点到直线的距离公式计算得到答案.（2）设直线AB 的方程为y x n =-+，联立方程得到1243n x x +=，()212223n x x -=，根据中点得到3n m =-，得到66m <<，根据328QA QB ⋅<，计算得到113m -<<，得到答案. 【详解】（1）由2222222311a b a a b-=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪+⎪⎩，得24a =，22b =，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.（2）根据题意可设直线AB 的方程为y x n =-+，联立22,142y x n x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234220x nx n -+-=，由()()22443220n n ∆=--⨯⨯->，得26n <.设()11,A x x n -+，()22,B x x n -+，则1243n x x +=，()212223n x x -=. 又设AB 的中点为()00,M x x n -+，则120223x x n x +==，03nx n -+=. 由于点M 在直线y x m =+上，所以233n nm =+，得3n m =-，代入26n <， 得296m <，所以66m -<<①.因为()11,3QA x x n =-+-，()22,3QB x x n =-+-， 所以()()()21212233QA QB x x n x x n ⋅=--++-()()()224243333n n n n --=-+- 236193n n -+=. 由328QA QB ⋅<，得2361928n n -+<，解得13n -<<，所以133m -<-<， 即113m -<<②. 又由①②得613m -<<，故实数m 的取值范围为61,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆方程，根据对称和向量数量积求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 20.为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如下茎叶图：（Ⅰ）（1）设所采集的40个连续正常运行时间的中位数m ，并将连续正常运行时间超过m 和不超过m 的次数填入下面的列联表：试写出a ，b ，c ，d 的值；（2）根据（1）中的列联表，能否有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（Ⅱ）工厂的生产线的运行需要进行维护.工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种对生产线设定维护周期为T 天（即从开工运行到第kT 天（*N k ∈）进行维护.生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费.经测算，正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元.现制定生产线一个生产周期（以120天计）内的维护方案：30T =，1k =，2，3，4.以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及期望值.【答案】（Ⅰ）（1）5a =，15b =，15c =，5d =，（2）有99%的把握认为连续正常运行时间有差异；（Ⅱ）分布列见解析，2.275万元. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据茎叶图得到5a =，15b =，15c =，5d =，计算210 6.635K =>，得到答案. （Ⅱ）计算得到1~44B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得到分布列，计算数学期望得到答案. 【详解】（Ⅰ）（1）由茎叶图知2931302m +==，根据茎叶图可得：5a =，15b =，15c =，5d =. （2）由于()224055151510 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为连续正常运行时间有差异.（Ⅱ）生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为14p =. 设一个生产周期内需保障维护的次数为ξ次，则正常维护费为0.542⨯=万元，保障维护费为()20.210.10.12ξξξξ⨯+=+万元.故一个生产周期内需保障维护ξ次时的生产维护费为20.10.12ξξ++万元. 由于1~44B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设一个生产周期内的生产维护费为X 万元，则分布列为则()812727312 2.2 2.6 3.242566412864256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯162237.6140.438.44582.4 2.275256256++++===万元.故一个生产周期内生产维护费的期望值为2.275万元.【点睛】本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21.已知函数()2112xf x e x ax =-++，a R ∈.（1）若()f x 为R 上的增函数，求a 的取值范围；（2）若0a >，12x x ≠，且()()124f x f x +=，证明：()122f x x +<. 【答案】（1）1a ≥-；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得到()xf x e x a '=-+，得到x e x a -≥-，设()xF x e x =-，求导得到单调区间得到最值，得到答案.（2）()f x 为R 上的增函数，()02f =，设120x x <<，设()()()h x f x f x =+-，证明()h x 为(),0-∞上的减函数，得到()()()2114f x f x f x =-<-，得到答案.【详解】（1）()xf x e x a '=-+，若()f x 为R 上的增函数，则()0xf x e x a '=-+≥恒成立，即x e x a -≥-恒成立，设()xF x e x =-，则()1xF x e '=-，当(),0x ∈-∞时，()0F x '<，当()0,x ∈+∞时，()0F x '>， 所以()F x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 所以()()01F x F ≥=，故1a -≤，所以1a ≥-. （2）若0a >，由（Ⅰ）知()f x 为R 上的增函数.由于()02f =，已知12x x ≠，且()()124f x f x +=，不妨设120x x <<. 设函数()()()h x f x f x =+-，(),0x ∈-∞， 则()2221111222xx x x h x e x ax e x ax e e x --⎛⎫=-+++--+=+-+ ⎪⎝⎭， 则()2xxh x e ex -'=--，设()()x h x ϕ='，则()20x x x e e ϕ-'=+-≥，由于(),0x ∈-∞，所以()h x '为(),0-∞上的增函数，所以()()00h x h ''<=， 所以()h x 为(),0-∞上的减函数，所以()()()()11104h x f x f x h =+->=， 所以()()()2114f x f x f x =-<-，而()f x 为R 上的增函数，所以21x x <-，故120x x +<.从而()()1202f x x f +<=. 故()122f x x +<.【点睛】本题考查了根据函数单调性求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号. 选修4—4坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为33cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（其中α为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 0ρθ+=. （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点A ，B 分别是曲线1C ，2C 上两动点且2AOB π∠=，求AOB 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）()2239x y -+=，2240x y x ++=；（Ⅱ）6 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意，消参化简得曲线1C 的普通方程，对2C 的极坐标方程，两边同乘ρ，利用及坐标公式化简可得曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）根据题意，设极坐标()1,02A πρθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，则2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，分别代入极坐标方程中，求得12ρρ，的值，1212AOB S ρρ=△，根据三角函数有界性，即可求解最值. 【详解】（Ⅰ）由条件知消去参数α得到曲线1C 的普通方程为()2239x y -+=.因4cos 0ρθ+=可化为24cos 0ρρθ+=，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，代入得2240x y x ++=，于是曲线2C 的直角坐标方程为2240x y x ++=.（Ⅱ）由条件知曲线1C ，2C 均关于x 轴对称，而且外切于原点O ， 不妨设()1,02A πρθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，则2,2B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 因曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=， 所以16cos ρθ=，24cos 4sin 2πρθθ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭， 于是12116cos 4sin 6sin 2622AOB S ρρθθθ==⨯⨯=≤△， 所以当4πθ=时，AOB 面积的最大值为6.【点睛】本题考查参数方程化成普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查极坐标系下极径的几何意义的应用，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中等题型.选修4—5不等式选讲23.已知函数()11f x x m x m =-+++（其中实数0m >）. （Ⅰ）当1m =，解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）求证：()()121f x m m +≥+.【答案】（Ⅰ）57,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；证明见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意，代入1m =，化简绝对值不等式，化成分段函数，分类讨论不等式的解集，取并集即可求解；（Ⅱ）根据题意，运用绝对值三角不等式，化简式子，结合0m >，再利用基本不等式即可证明.【详解】（Ⅰ）由条件知1m =时，()12,121311,1222112,22x x f x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=-++=-≤<⎨⎪⎪-+<-⎪⎩于是原不等式可化为①11232x x ≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩；②112332x ⎧-≤<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩；③121232x x ⎧<-⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩ 解①得714x ≤≤；解②得112x -≤<；解③得5142x -≤<-， 所以不等式()3f x ≤的解集为57,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）由已知得()()()111111f x x m x m m m m m +=-++++++()()11111111x m x m m m m m m m ⎛⎫≥--++=++ ⎪++++⎝⎭ 1111211m m m m m m=++-=+≥++ 当且仅当1m =时，等号成立，于是原不等式得证.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式的应用证明，考查基本不等式，考查转化与化归思想，属于中等题型.。

2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷（二十）数学（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{}(4)(1)0A x x x =-+≥，则UA（ ）A. (1,4]-B. [1,4)-C. (1,4)-D. [1,4]-【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式求解可得集合A,求其补集即可. 【详解】因为(4)(1)0x x -+≥， 所以1x ≤-或4x ≥， 即{|1A x x =≤-或4}x ≥，所以(1,4)UA =-，故选：C【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的补集运算，属于容易题.2.复数1z 在复平面内对应的点为(2,3)，22z i =-+（i 为虚数单位），则复数12z z 的虚部为（ ）A.85B. 85-C.85i D. 85i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数对应的点知123z i =+，利用复数的除法法则计算12z z ，即可求解. 【详解】因为复数1z 在复平面内对应的点为(2,3)， 所以123z i =+，则122+3(23)(2)18182(2)(2)555z i i i i i z i i i +----====---+-+--， 所以复数的虚部为85-. 故选：B【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，复数的除法运算，复数的虚部，属于容易题. 3.在ABC 中，AB c =，AC b =，若点D 满足12BD DC =，则AD =（ ） A.1233+b c B.2133b c + C. 4133b c - D. 1122b c +【答案】A 【解析】 【分析】由条件即得()11123333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+. 【详解】12BD DC =，13BD BC ∴=，故有()11123333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+. 故选：A【点睛】本题主要考查了向量的线性表示，向量的加减运算，是基础题.4.南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为1V ，2V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为1S 、2S ，则“1S 、2S 不总相等”是“1V ，2V 不相等”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先得到命题：如果“1S 、2S 不总相等”，那么“1V ，2V 不相等”的等价命题：命题：如果“1V ，2V 相等”，那么“1S 、2S 总相等”，然后根据祖暅原理结合充分，必要条件的定义判断.【详解】命题：如果“1S 、2S 不总相等”，那么“1V ，2V 不相等”的等价命题是： 命题：如果“1V ，2V 相等”，那么“1S 、2S 总相等”，根据祖暅原理，当两个截面的面积1S 、2S 总相等时，这两个几何体的体积1V ，2V 相等， 所以逆命题为真，则是必要条件，当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，故不充分， 所以“1S 、2S 不总相等”是“1V ，2V 不相等”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断以及等价命题，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 5.鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作. 下图是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的体积为A. 334000mmB. 333000mmC. 332000mmD. 330000mm【答案】C 【解析】 【分析】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，由此能求出该零件的体积． 【详解】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V ＝100×20×20﹣40×20×10＝32000（mm 3）．故选C ．【点睛】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．6.在正项等比数列{}n a 中，2224159002a a a a +=-，649a a =，则2020a 的个位数字是（ ）A. 1B. 7C. 3D. 9【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得1524a a a a =，根据条件求得2430a a +=，又由539a a =，利用等比数列的通项公式求出基本量1a 和q ，即可求出n a ，再对等比数列各项个位数进行分析推理，从而得出2020a 的个位数字. 【详解】解：根据题意，由等比数列的性质可得1524a a a a =，因为2224159002a a a a +=-，所以2224249002a a a a +=-， 所以2222424242()900a a a a a a ++=+=，又因为{}n a 为正项等比数列，则0n a >，0q >， 所以2430a a +=，又由于649a a =，则3115311309a q a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，即()2121309a q q q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得：11,3==a q ， 故13-=n n a ，可知234123451,3,39,327,381a a a a a ========可得n a 的个位数以4为周期不断循环，所以20192019450434504202013(3)3(3)27a a q===⨯=⨯， 所以2020a 的个位数字是7. 故选：B .【点睛】本题考查等比数列的性质和等比数列的通项公式，考查推理与运算能力，属于基础题.7.关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰试验.受其启发,我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值,试验步骤如下：①先请高三年级1000名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(,)(01,01)x y x y <<<<； ②若卡片上的x ,y 能与1构成锐角三角形,则将此卡片上交；③统计上交的卡片数,记为m；④根据统计数m估计π的值.假如本次试验的统计结果是218m=,那么可以估计π的值约为（）A. 389124B.391124C.389125D.391125【答案】D【解析】【分析】根据x,y能与1构成锐角三角形可求得,x y满足的不等式,进而利用几何概型的方法列式求解π即可. 【详解】因为实数对(,)(01,01)x y x y<<<<与1构成锐角三角形,设边长为1的边对应的角度为θ,则2221cos02x yxyθ+-=>,即221x y+>.根据几何概型的方法可知22112184110001π⨯=-,故218782411003025091125π⎛⎫=⨯-==⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题主要考查了随机模拟法与几何概型求解圆周率值的问题,需要根据题意确定,x y满足的不等式,再根据面积的比列式化简求解.属于中档题.8.已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线过点(3,2)，且双曲线的一个焦点在抛物线27y x=的准线上，则双曲线的方程为（）A.2212128x y-= B.2212821x y-= C.22134x y-= D.22143x y-=【答案】C【解析】【分析】由题意可得渐近线的斜率，即为,a b的关系式，再根据抛物线的准线方程解得c，由a b c，，的关系，解方程可得,a b 进而得到所求双曲线的方程．【详解】解：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(2)，可得渐近线的斜率为b k a =-=双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线x =可得c =即227a b +=，解得2b =，a =则双曲线的方程为：22134x y -=． 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，以及抛物线的方程和性质，运用渐近线方程和斜率公式是解题的关键，属于基础题．9.已知三棱锥A-BCD 的四个顶点都在球O 的表面上，且AB BC ⊥，AB CD ⊥，2BCD 3π∠=，若2BC CD ==，AB =O 的表面积为（ ）A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π【答案】C 【解析】 【分析】先确定三角形BCD 外接圆半径，再解方程得外接球半径，最后根据球表面积公式得结果. 【详解】因为AB BC ⊥，AB CD ⊥，所以AB ⊥面BCD 因为2BC CD ==，2BCD 3π∠=所以22212cos 44222122BD BC CD BC CD BCD ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,即BD =因此三角形BCD 外接圆半径为122sin BDBCD=∠,设外接球半径R ，则222224374282AB R S R ππ⎛⎫=+=+=∴== ⎪⎝⎭.【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 10.将函数4sin()(0)3y x πωω=->的图像分别向左、向右各平移6π个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为（ ） A. 3 B. 2C. 4D. 6【答案】A 【解析】 【分析】根据平移后的两个图象对称轴重合，求得ω的表达式，进而求得ω的最小值. 【详解】由于函数4sin()(0)3y x πωω=->的图象分别向左、向右各平移6π个单位长度后分别得到4sin 63x ππω⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦和4sin 63x ππω⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即4sin 63x ππωω⎛⎫+- ⎪⎝⎭和4sin 63x ππωω⎛⎫-- ⎪⎝⎭.依题意平移后两个图象对称轴重合，所以()26k k Z πωπ⨯=∈，即3k ω=，由于0,k Z ω>∈，所以当1k =时ω取得最小值为3. 故选：A【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查三角函数的图象与性质，属于基础题.11.已知函数()y f x =满足(1)(1)f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，则方程()lg f x x =实根共有（ ） A. 10个B. 9个C. 18个D. 20个【解析】 【分析】由题意，()y f x =为周期2的偶函数，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图的交点的个数，得到答案．【详解】函数()()y f x x R =∈满足：()()f x 2f x +=，()f x ∴是周期为2的周期函数， 当[]x 1,1∈-时，()2f x x =，∴作出()y f x =和()lg f x x =两个函数的图象，lg101=,lg91,lg111∴<>，11x ≥时，无交点.如图所示，结合图象，得方程()lg f x x =的解的个数为20个． 故选D ．【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中得到函数()y f x =是周期为2的函数，在同一个坐标系中作出两个函数的图象，把方程解得个数转化为图象的交点的个数是解答的关键，着重考查了数形结合思想的应用．12.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与圆22223:4b x y C +=，若在椭圆1C 上不存在点P ，使得由点P所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A. 3(0,3B. 2(0,2C. 22D. 3[,1)3【答案】A 【解析】画出图象，根据图像判断出2232b a >，由此求得离心率的取值范围，进而求得离心率的最小值.【详解】由题意，如图，若在椭圆1C 上不存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直， ，则只需090APB ∠>，即045APO α=∠>，0322sin sin 452ba α=>=，即2232b a >，因为222a b c =+解得：223a c >.∴213e <，即33e <，而01e <<，∴303e <<，即30,3e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∈. 故选：A【点睛】本小题主要考查椭圆离心率最值的求法，考查圆的切线的几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13.已知函数3()1f x ax x =++的图像在点(1, (1))f 处的切线过点（2，11），则a =____． 【答案】2 【解析】 【分析】求出函数的导数2()31f x ax '=+，(1)31f a '=+，而(1)2f a =+,根据点斜式得到直线方程，利用切线的方程经过的点求解即可．【详解】函数3()1f x ax x =++的导数为：2()31f x ax '=+，(1)31f a '=+，而(1)2f a =+，切线方程为：()()2311y a a x --=+-，因为切线方程经过（2，11），所以()()1123121a a --=+-解得2a =．故答案为：2.【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.14.若实数x ，y 满足约束条件1330y xx y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则5z x y =+的最小值为______．【答案】3【解析】【分析】先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．【详解】作出约束条件1330.y xx y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由10y x x y =⎧⎨+-=⎩得A （12,12），由5z x y =+得5y x z =-+，平移5y x =-，易知过点A 时直线在y 上截距最小，此时，产生5Min y x z =-+所以5Min z x y =+的最小值为115322Min z =⨯+=． 故答案为：3【点睛】本题考查了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义．15.设函数22()4x x f x e e x -=--，则不等式2()(56)f x f x +--<0的解集是_______．（用区间表示）【答案】(1,6)-【解析】【分析】可判断出函数()f x 为奇函数，且函数()f x 为增函数，从而可解不等式.【详解】函数22()4x x f x e e x -=--，()2222()4=4()x x x x f x e e x e e x f x ---=-+---=- 所以函数()f x 为奇函数.又()()22222()224=22=20x x x x x x f x e e e e e e ---'=+-+--≥ 所以()0f x '≥在R 上恒成立，所以函数()f x 在R 上是增函数.不等式2()(56)f x f x +--<0即2()(56)f x f x <+所以256x x <+，解得16x -<<所以不等式的解集是(1,6)-.故答案为：(1,6)-【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.16.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且BC 边上的高为4a ，则cb bc +的最大值是______．【答案】【解析】【分析】由面积公式可得2sin a A =，再用余弦定理可得22sin 2cos b c A bc A +=+，即)c b A b cϕ+=+≤.【详解】由题，三角形的面积：2211sin sin 242S a bc A a A =⋅=∴= . 由余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=，可得：2222cos sin 2cos b c a bc A A bc A +=+=+ .所以222cos )c b b c A A A b c bc ϕ++==+=+≤tan =2ϕ. 所以b c c b+的最大值为故答案为：【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，将边的关系转化为三角函数是解题的关键，属于较难题.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.已知数列{}n a 满足：212231n a a a n n n ++⋅⋅⋅+=++()n N +∈． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1n n b a =，若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足1940n S >的最小正整数n ． 【答案】（Ⅰ）2(1)n a n n =+（Ⅱ）20【解析】 【分析】（Ⅰ）因为212231n a a a n n n ++⋯+=++，所以2112(1)123n a a a n n n -++⋯+=-+-，两式作差，并进行整理即可得解；（Ⅱ）求出数列{}n b 的通项公式，通过裂项相消法进行求和，解不等式即可得到答案. 【详解】（Ⅰ）212231n a a a n n n ++⋯+=++① ∴当1n =时，可得14a =，当2n ≥时，2112(1)123n a a a n n n-++⋯+=-+-，②①-②可得：(21)121n a n n n =-+=+， 2(1)n a n n ∴=+，1n =时也满足，2(1)n a n n ∴=+. （Ⅱ）111112(1)21n n b a n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭1111111111122223121n S n n n ⎛⎛⎫∴=-++-+⋯+-=- ⎪ ++⎝⎭⎝， 又1940n S >，111912140n ⎛⎫-> ⎪+⎝⎭，解得19n >， 所以满足1940n S >的最小正整数n 为20. 【点睛】本题主要考查通项公式的求法及裂项相消法求和的应用，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.当数列出现前后项差的时候，可考虑裂项相消求和法.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点. 18.在直角梯形ABCD 中（如图1），//AB DC ，90BAD ∠=︒，5AB =，2AD =，3CD =，点E 在CD 上，且2DE =，将ADE 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE （如图2），G 为AE 中点．（Ⅰ）求四棱锥D ABCE -的体积；（Ⅱ）在线段BD 上是否存在点P ，使得//CP 平面ADE ？若存在，求BP BD 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）2245【解析】【分析】（Ⅰ）根据平面与平面垂直的性质定理得到DG ⊥平面ABCE ，再根据椎体的体积公式计算可得结果； （Ⅱ）过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ，可证得平面//CFP平面ADE ，再根据平面与平面平行的性质可得//CP 平面ADE ，最后根据平面几何知识可求得比值.【详解】（Ⅰ）证明：因为G 为AE 中点，2AD DE ==，所以DG AE ⊥．因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE 平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ，所以DG ⊥平面ABCE ．在直角三角形ADE 中，易求22AE =， 则2AD DE DG AE⋅==， 所以四棱锥D ABCE -的体积1(15)222232D ABCE V -+⨯=⨯⨯=． （Ⅱ）在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE 且45BP BD =， 过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ，如图所示：因为//CF AE ，AE ⊂平面ADE ．CF ⊄平面ADE ，所以//CF 平面ADE ，同理//FP 平面ADE ，又因为CF PF F ⋂=，所以平面//CFP 平面ADE ．因为CP ⊂平面CFP ，所以//CP 平面ADE ．所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE ．因为四边形AECF 为平行四边形．所以1AF CE ==，即4BF =，故45BP BF BD AB ==. 所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE 且45BD =. 【点睛】本题考查了平面与平面垂直的性质定理、平面与平面平行的判定与性质，考查了椎体的体积公式，属于中档题.19.某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递骑手每完成一单业务提成3元：方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快递公司记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]25,35,35,45,45,55,55,65,65,75,75,85,85,95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）随机选取一天，估计这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（Ⅱ）若骑手甲、乙、丙选择了日工资方案（1），丁、戊选择了日工资方案（2）．现从上述5名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案（2）的概率；（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）【答案】（Ⅰ）0.4；（II ）710（Ⅲ）选择方案（1），理由见解析 【解析】【分析】 （Ⅰ）将[)[)[]65,75,75,85,85,95这三组的频率求出，再相加即可得到答案；（Ⅱ）利用列举法和古典概型的概率公式计算可得结果；（Ⅲ）利用频率分布直方图计算出快递公司人均日快递量的平均数，根据平均数计算出两种方案下骑手的人均日收入，比较可得结果.【详解】（Ⅰ）设事件A 为“随机选取一天．这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单” 依题意，快递公司的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.2、0.15、0.05，因为0.20.150.050.4++=，所以()P A 估计为0.4．（Ⅱ）设事件B 为“从五名骑手中随机选取2人．至少有1名骑手选择方案（2）”从五名骑手中随机选取2名骑手，有10种情况，即{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{甲，戊}，{乙，丙}，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁}，{丙，戊}，{丁，戊}其中至少有1名骑手选择方案（2）的情况为{甲，丁}，{甲，戊}，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁}，{丙，戊}，{丁，戊}共7种情况，所以7()10P B =． （Ⅲ）快递公司人均日快递量的平均数是：300.05400.05500.2600.3700.2800.15900.0562⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因此，方案（1）日工资约为50623236+⨯=元，方案（2）日工资约为()10062445190+-⨯=元236<元，故骑手应选择方案（1）.【点睛】本题考查了利用频率分布直方图计算频率、平均数，考查了古典概型的概率公式，属于基础题. 20.设函数2()ln f x x ax x =-+．（Ⅰ）若当1x =时()f x 取得极值，求a 的值及()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：2121()()42f x f x a x x a ---＞． 【答案】（Ⅰ）3a =．单调增区间为1(0,),(1,)2+∞，单调减区间为1(,1)2．（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（1）求导数'()f x ，由题意可知1x =为方程()0f x '=的根，求解a 值，再令导数()0f x '>，()0f x '<，分别求解单调增区间与单调减区间，即可.（2）函数()f x 存在两个极值点，等价于方程()0f x '=即2210x ax -+=在(0,)+∞上有两个不等实根，则>0∆，即可，再将()()2121f x f x x x --变形整理为2121ln ln 2x x a x x --+-；若证明不等式()()212142f x f x a x x a >---，则需证明2121ln ln 4x x x x a ->-，由1202a x x +=>变形为212121ln ln 2x x x x x x ->-+，不妨设210x x >>，即证2212111ln 21x x x x x x ->+，令211x t x =>，则()()21ln 1t h t t t -=-+，求函数()h t 的取值范围，即可证明.【详解】（Ⅰ）2121()2,(0)x ax f x x a x x x-+'=-+=> ∵1x =时，()f x 取得极值，∴()10f '=，3a =． ∴2231(21)(1)()x x x x f x x x-+--'== 由()0f x '>得102x <<或1x >， 由()0f x '<得112x << ∴()f x 的单调增区间为1(0,)2和(1,)+∞，单调减区间为1(,1)2． （Ⅱ）221(),(0)x ax f x x x-+'=> ∵()f x 存在两个极值点，∴方程()f x '即2210x ax -+=在(0,)+∞上有两个不等实根∴280a ∆=->且1212a x x +=>， ()()22212221112121ln ln f x f x x ax x x ax x x x x x --+-+-=-- 2121212121ln ln ln ln 2x x x x a x x a x x x x --=+-+=-+-- ∴所证不等式2121()()42f x f x a x x a ->--等价于2121ln ln 4x x x x a ->- 即变形为212121ln ln 2x x x x x x ->-+ 不妨设210x x >>，即变形为2212111ln 21x x x x x x ->+令211x t x =>，2212111ln 21x x x x x x ->+变形为2(1)ln 01t t t -->+， 令2(1)()ln 1t h t t t -=-+ 则22214(1)'()0(1)(1)t h t t t t t -=-=>++， ∴()h t 在(1,)+∞上递增．∴()()10h t h >=， ∴2212111ln 21x x x x x x ->+成立， ∴2121()()42f x f x a x x a ->--成立． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及根据极值求参数取值范围，证明不等式.属于难题. 21.已知圆22(2):4F x y -+=，动点()(),0Q x y x ≥，线段QF 与圆F 相交于点P ，线段PQ 的长度与点Q 到y 轴的距离相等．（Ⅰ）求动点Q 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点()2,4A 作两条互相垂直的直线与W 的交点分别是M 和N （M 在N 的上方，A ，M ，N 为不同的三点），求向量NM 在y 轴正方向上的投影的取值范围．【答案】（Ⅰ）28y x =（Ⅱ）(16,)+∞【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得点Q 的轨迹满足抛物线的定义，确定定点及定直线即可求得轨迹方程；（Ⅱ）设出直线AM 的方程，与抛物线方程联立得关于y 的一元二次方程，利用韦达定理可得184y m =-，由AM AN ⊥可得284y m =--，利用对勾函数的单调性可求得向量NM 在y 轴正方向上的投影1218()y y m m-=+的范围.【详解】（Ⅰ）由题知点Q 到F 的距离QF 等于Q 到y 轴的距离加2 所以QF 等于Q 到直线2x =-的距离，由抛物线的定义可知：点Q 的轨迹W 是以(2,0)F 为焦点，2x =-为准线的抛物线，所以动点Q 的轨迹W 的方程为28y x =．（Ⅱ）设直线AM 的方程为()()420x m y m =-+>，与28y x =联立，得 2832160y my m -+-=，则2644(3216)0m m ∆=-⨯->，即2210m m -+>，∵0m >，∴01m <<或1m ，设()()1122,,,M x y N x y ，则148y m +=，即184y m =-，AM AN ⊥，∴直线AN 的方程为()()1420x y m m =--+>，则284y m=--， 则向量NM 在y 轴正方向上的投影为1218()y y m m-=+ 因为函数1()8()f m m m=+在()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以()()116f m f >=，即1218()(16,)y y m m -=+∈+∞， 向量NM 在y 轴正方向上的投影的取值范围为(16,)+∞.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求动点的轨迹、直线与抛物线的综合应用、韦达定理，涉及向量的投影、对勾函数的单调性，属于中档题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22312sin ρθ. （1）求曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设A 、B 为曲线2C 上位于第一，二象限的两个动点，且2AOB π∠=，射线OA ，OB 交曲线1C 分别于点D ，C .求AOB 面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积. 【答案】（1）1C ：sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2C ：2213x y +=.（2）AOB 面积的最小值：34，四边形ABCD 的面积为：294. 【解析】【分析】（1）将曲线1C 消去参数即可得到1C 的普通方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线2C 的极坐标方程即可；（2）由（1）得曲线1C 的极坐标方程，设1,()A ρθ，2(,)2B πρθ+，3(,)D ρθ，4(,)2C πρθ+利用方程可得22121143p ρ+=，再利用基本不等式得121324AOB S ρρ=≥△，根据题意知ABCD COD AOB S S S =-△△，进而可得四边形ABCD 的面积.【详解】（1）由曲线1C的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去参数得40x +-=即曲线1C的极坐标方程为：cos sin 40ρθθ+-=，化简为：sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 2C 的极坐标方程为22312sin ρθ 可得22(12sin )3ρθ+=，根据极坐标与直角坐标的互化公式：222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩故：2233x y +=， 曲线2C 的直角坐标方程：2213x y +=.（2）设()()1231,,,,,,,22A B D C ππρθρθρθρθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2C ：2213x y += ∴222211cos sin 13ρθρθ+=，222222sin cos 13ρθρθ+=， 故22121143p ρ+= 根据均值不等式可得：22121221143ρρρρ≤+=， 当且仅当12ρρ=（即4πθ=）时取“=”.121324AOB S ρρ=≥△， 此时3411224822cos sin cos 34646COD S ρρπππππ==⋅⋅==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故所求四边形的面积为329844ABCD COD AOB S S S =--==△△. 【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.已知a ，b ，c 均为正实数，函数222111()4f x x x a b c=+-++的最小值为1.证明： （1）22249a b c ++≥；（2）111122ab bc ac++≤. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）先分析得到22211114a b c ++=，再利用柯西不等式证明22249a b c ++≥；（2）将三个不等式22221121114a b ab b c bc +≥+≥，，221114a cac +≥相加即得证.【详解】证明（1）∵,,0a b c >， ∴222111()||||4x x x a f c b=+++- 222222111111|()|44x x c b a a b c≥+--+=++ ∴22211114a b c ++=. 由柯西不等式得2222222111(4)()(111)94a b c a b c++++≥++=当且仅当2a b c ===时取“=”∴22249a b c ++≥.（2）∵22221121114a b ab b c bc +≥+≥，，221114a c ac+≥，（以上三式当且仅当2a b c ===时同时取“=”） 将以上三式相加得2222111112()24ab bc ac a b c++≤++=. 所以111122ab bc ac ++≤. 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，考查基本不等式和柯西不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

河北省衡水中学2020-2021高考数学模拟试卷数学试题考试时间120分钟 总分160分参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.） 1.已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则A B =_________． 2.复数()()12a i i ++纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =_____________3.某算法的伪代码如图所示，如果输入的x 值为32，则输出的y 值为__________．(第11题)4.现有三张识字卡片，分别写有“抗”、“疫”、“情”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“抗疫情”的概率是_____________5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率2e =，则其渐近线的方程为 _________6.已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是_______．7.公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2a 、5a 、14a 成等比数列，253S a =，则10a =______________8.将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为_____________ 9.若函数π()2sin(2)(0)2f x x ϕϕ=+<<图象过点，则函数()f x 在[0,]π上的单调减区间是__．10.若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为______．11.如图，在由5个边长为1，一个顶角为60°的菱形组成的图形中，AB CD ⋅=_____________12.若对于任意的-15x ∈∞⋃+∞（，）（，），都有22(2)0,x a x a --+>则实数a 的取值范围是______．13.在平面直角坐标系xOy 中，圆()()22:23C x y m ++-=，若圆C上存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围为_________． 14.在ABC ∆中，若120C =，tan 3tan A B =，sin sin A B λ=，则实数λ=__________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分..）15.如图，ABC ∆中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =．（1）求cos B 的值； （2）求CD 的长.16.如图，在四棱锥P ABCD⊥，过CD-中，PC⊥平面ABCD，AB//CD，CD ACPA PB交于点,E F．的平面分别与,（1）求证：CD⊥平面PAC；AB EF（2）求证：//17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)．（1）若2QF FP =，求直线l 的方程；（2）设直线AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ．是否存在常数λ，使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．18.某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（为上切点），与左右两边相交（，为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1，且，设，透光区域的面积为.（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边的长度.19.已知函数()()22ln f x x x ax a R =-+∈.（1）当2a =时，求()f x 的图象在 1x =处的切线方程；（2）若函数()()g x f x ax m =-+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围；（3）若对区间()1,2内任意两个不等的实数1x ，2x ，不等式()()12122f x f x x x -<-恒成立，求实数a 的取值范围.20.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-；数列{}n b 的前n 项和为nT ，且满足11b =，22b =，12n nn n T bT b ++=.（1）求数列{}n a 、{}n b 通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得11n n n n a b a b +++-恰为数列{}n b 中的一项？若存在，求所有满足要求的n b ；若不存在，说明理由.河北省衡水中学2020-2021高考数学模拟试卷（参考答案）考试时间120分钟 总分160分一、填空题：1.【答案】{}1,1-．详解】2{|,3}B x x R x =∈<＝{x|x 又{}1,1,2,3,A =-则A ∩B ＝{＝1＝1}＝【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用集合交集的定义是解决本题的关键． 2.【答案】2【详解】因为复数()()12a i i ++是纯虚数，化简，()()()12221a i i a a i ++=-++，则20210a a -=⎧⎨+≠⎩，则实数2a = 【点睛】本题考查复数的概念，属于简单题 3.【答案】5【详解】由伪代码可得22,5log ,5x x y x x ⎧≤=⎨>⎩，当32x =时，2log 325y ==．【点睛】本题主要考查条件语句及分段函数，属于基础题． 4.【答案】16【详解】由题得“抗”、“疫”、“情”这三个字的排列有：抗疫情，抗情疫，疫抗情，疫情抗，情抗疫，情疫抗，共有6种，其中，组成“抗疫情”的只有1种. 故能组成“抗疫情”的概率是16P =.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 5.【答案】y =【【详解】双曲线的方程是()222210,0x y a b a b-=>>，∴双曲线渐近线为b y x a =±，又离心率为2c e a==，可得2c a =，224c a ∴=，即2224a b a +=，可得b =，由此可得双曲线渐近线为y =，故答案为y =. 6.【答案】265【详解】平均值为3698465++++=， 所以方差为()()()()()22222136669686465⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦99442655+++==. 【点睛】本小题主要考查样本方差的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 7.【答案】19【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，可得出0d ≠，由题意得25214253a a a S a ⎧=⎨=⎩，即()()()()211121141351020a d a d a d a d a d d ⎧+=++⎪⎪+=+⎨⎪≠⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， 因此，101919219a a d =+=+⨯=.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，解答的关键就是得出关于首项和公差的方程组，考查计算能力， 属于中等题. 8.【答案】【详解】半径为1的小铁球的体积为43π，底面周长为2π，高为4的铁制圆柱的底面半径为1，体积为4π，锻造成的大铁球的体积为341644333R ππππ+==，可得R =，所以该大铁球的表面积为2244R ππ==，故答案为：.【点睛】本题主要考查球的体积与表面积公式，考查了柱体的体积公式，属于基础题. 9.【答案】π7π(,)1212【详解】函数()()π2sin 2(0)2f x x ϕϕ=+<<的图象过点(＝则2sin ϕ=，sin ϕ=，0,23ππϕϕ<<∴=，()2sin(2)3f x x π∴=+.0x π≤≤,022x π∴≤≤,72333x πππ≤+≤,有于sin y x =在3[,]22ππ为减函数，所以32232x πππ≤+≤，解得71212x ππ≤≤. 【点睛】根据函数图象过已知点，求出sin ϕ ，借助ϕ的范围求出ϕ的值.求三角函数在某一区间上的最值及单调区间时，务必要注意“范围优先原则”，根据x 的范围研究x ωϕ+的范围，有时还要关注A 的符号，因此当自变量有范围限制时，解题更要小心失误. 10.【详解】令2x y k +=＝则2y k x =-＝()22210x x k x ∴+--=＝即23210x kx -+-=＝24120k ∴∆=-≥＝且0k >＝k ∴≥，即2x y +＝点睛：基本不等式的考察的一个主要考察方法就是判别式法，可以应用判别式法的题型基本特点：（1）题干条件是二次式；（2）问题是一次式（或可以化简为一次式）．熟悉判别式法的应用，可以提升考试中碰到不等式题型的准确率． 11.【答案】4-【详解】如图，由已知可得1,3,,60AF AF FB FB ===所以()()C AB A D FB E F CE D ⋅=+⋅+()133F F B AF A B F ⎛⎫=+⋅-+ ⎪⎝⎭2218333FB FB AF AF =-+-⋅18139134332=-+⨯-⨯⨯⨯=-故答案为：4-.【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 12.【答案】(1,5] 【详解】利用一元二次方程根的分布去解决，设2()2(2)f x x a x a =--+ ＝ 当24(2)40a a ∆=--<时，即14a << 时，()0f x > 对x ∈R 恒成立； 当1a =时，(1)0f -= ，不合题意； 当4a =时，(2)0f = 符合题意；当∆<0 时，0125(1)0(5)0a f f ∆<<-<≥≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 即：45a <≤综上所述：实数a 的取值范围是(1,5].【点睛】有关一元二次方程的根的分布问题，要结合一元二次方程和二次函数的图象去作，要求函数值在某区间为正，需要分别对判别式大于零、等于零和小于零进行分类研究，注意控制判别式、对称轴及特殊点的函数值的大小，列不等式组解题.13.在平面直角坐标系xOy 中，圆()()22:23C x y m ++-=，若圆C上存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围为_________． 【答案】[由于圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，所以OA OB ⊥,如图，过点O 作圆C 的两条切线，切点分别为B D 、，圆上要存在满足题意的点A ，只需090BOD ∠≥，即045COB ∠≥，连接CB ，CB OB⊥，由于(2,)C m -，CO =CB =，sin sin 45CB COB CO∠==≥=，解得m ≤≤14.【答案】12+ 【详解】在ABC ∆中，120C =，由余弦定理得222c a b ab =++，① 因为tan 3tan A B =，即sin sin 3cos cos A BA B =⋅，所以sin cos 3sin cos A B B A =，由正弦定理得cos 3cos a B b A =，所以222222322a c b b c a a b ac bc+-+-⋅=⋅，整理得22222c a b =-，②由①②可得2230a ab b --=，所以230a bb a⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得a b =，所以sin sin A B =，又sin sin A B λ=，所以sin sin =A λB =．故答案为：12二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.试题解析：（1）在ABC 中，4cos 5A =，()0,πA ∈，所以3sin 5A ===．…………………………2分 同理可得，12sin 13ACB ∠=． ……………………………………… 4分 所以()()cos cos πcos B A ACB A ACB ⎡⎤=-+∠=-+∠⎣⎦sin sin cos cos A ACB A ACB =∠-∠312451651351365=⨯-⨯=． ……………………………………………7分（2）在ABC 中，由正弦定理得，1312sin 203sin 135BC AB ACB A=∠=⨯=． …………9分 又3AD DB =，所以154BD AB ==． ……………………………………………………11分 在BCD中，由余弦定理得，CD ===．………………………………………………………14分【点睛】凑角求值是高考常见题型，凑角求知要“先备料”后代入求值，第二步利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，要灵活使用正、余弦定理，有时还要用到面积公式，注意边角互化.16.详解：（1）证明:∵在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， (3)分∴CD PC ⊥，∵CD AC ⊥，PCAC C =，∴CD ⊥平面PAC .………………………………6分（2）∵//AB CD ，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ，故平面CDEF 平面PAB EF =…………………9分 又CD ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，………………………………………………………… 11分∴//CD 平面PAB ，而CD ⊂平面CDEF ， ∴//CD EF ∴//AB EF ……………………………………………………………………………………………14分点睛： （1）线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.（2）线线平行的判定可以由线面平行得到，注意其中一条线是过另一条线的平面与已知平面的交线，也可以由面面平行得到，注意两条线是第三个平面与已知的两个平行平面的交线.17.试题解析：（1）因为24a =，23b =，所以1c ==，所以F 的坐标为()1,0……2分设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线l 的方程为1x my =+， 代入椭圆方程，得()2243690m ymy ++-=，…………………………………………………5分则12343m y m -+=+，22343m y m--=+．若2QF PF =，则2233204343m m m m---++⨯=++，………………………………6分解得m =l 的方程为20y -=． (8)分（2）由（1）知，122643m y y m -+=+，122943y y m -=+，…………………………………10分所以()1212293432mmy y y y m -==++， 所以()()12112212211223y my k y x k x y y my --=⋅=++ ………………………………………………………12分()()1211223123332y y y y y y +-==++， 故存在常数13λ=，使得1213k k =．……………………………………………………………14分【点睛】求直线方程首先要设出方程，根据题目所提供的坐标关系，求出直线方程中的待定系数，得出直线方程；第二步存在性问题解题思路是首先假设λ存在，利用所求的12y y +，12y y ，结合已知条件12k k λ=，得出坐标关系，再把12y y +，12y y 代入求出λ符合题意，则λ存在，否则不存在.18.试题分析： 解:(1) 过点作于点，则，所以，……………………………………………………………………2分．所以…………………………………………………………………………4分，…………………………………………………………………………………6分因为，所以，所以定义域为．…………………………………………7分（2）矩形窗面的面积为．……………………………………9分则透光区域与矩形窗面的面积比值为．设，．………………………………………………………………11分则，……………………………………………………………………………………13分因为，所以，所以，故，所以函数在上单调减．所以当时，有最大值，此时………………………………16分答：（1）关于的函数关系式为，定义域为；（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，的长度为1．19.【详解】（1）当时，，，切点坐标为………1分切线的斜率，则切线方程为，即.…………………… …………3分（2），则，…………………………………4分，故时，.当时，； 当时，. 故在处取得极大值.……………………………………………………………6分又，，，则， 在上的最小值是.……………………………… ……………………………………8分在上有两个零点的条件是2a =()22ln 2f x x x x =-+()222f x x x'=-+()1,1()12k f ==()121y x -=-21y x =-()22ln g x x x m =-+()()()21122x x g x x x x-+-'=-=1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()0g x '=1x =11x e <<()0g x '>1x e <<()0g x '<()g x 1x =()11g m =-2112g m e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()22g e m e =+-()2221140g e g e e e ⎛⎫-=-+<⎪⎝⎭()1g e g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭()g x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g e ()110g m =->()g x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()21101120g m g m e e ⎧=->⎪⎨⎛⎫=--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩解得 实数m 的取值范围是…………………………………………………………………………10分（3）不妨设，恒成立等价于，即.………………………………………………………………………………12分令，由，具有任意性知，区间内单调递减，恒成立，即恒成立，，在上恒成立. 令，则……………………………………………………………14分 在上单调递增，则，实数a 的取值范围是 (16)分【点睛】本题主要考查导数的几何意义和函数的极值和最值、以及考查函数的恒成立问题和转化思想，属于难题20.【详解】解：（1）因为，所以当时，， 两式相减得，即，又，则，………………………………2分所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故 (3)分2112m e <≤+211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦1212x x <<<()()12122f x f x x x -<-()()()21212f x f x x x -<-()211222f x x f x x ->-（）()()2u x f x x =-1x 2x ()u x ()1,2()()20u x f x '=-<()2f x <222x a x -+<222a x x<-+()1,2()222h x x x=-+()2220h x x'=+>()222h x x x=-+()1,2()()12h x h >=(],2-∞22n n S a =-2n ≥1122n n S a --=-122n n n a a a -=-12n n a a -=1122S a =-12a ={}n a 12a =2n n a =由得，，，…，，以上个式子相乘得，即①，当时，②，………………5分两式相减得，即（），所以数列的奇数项、偶数项分别成等差数列， ,,因此数列的通项公式为.…………………………………………………………………………………………………………6分 （2）当时，无意义，………………………………………………………………………7分设（，），显然.则，即………………………9分…………………………………………………………………………………………………11分显然，所以，所以存在，使得，，……………………………………………………………………………………………………13分下面证明不存在，否则，即， 此式右边为3的倍数，而不可能是3的倍数，故该式不成立. 综上，满足要求的为，.……………………………………………………………………………16分12n nn n T b T b ++=1123T b T b=2234T b T b=3345T b T b=111n n n n T b T b --+=n 1121n n n T b b T b b +=12n n n T b b +=2n ≥112n n n T b b --=()112n n n n b b b b +-=-112n n b b +--=2n ≥{}n b 2121k b k -=-22k b k ={}n b n b n =1n =11n n n n a b a b +++-()112121n n n n n n n a b n c a b n +++++==--+2n ≥*N n ∈1n c >()()11122212221n n n n n n n n c c n n +++++++-=--+-+()()11202221n n nn n n ++-⋅=<⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦11n n c c +>>()2121n nn n ++>-+234731c c c =>=>>>2n =72b c =33b c =2n c =()21221n n nn c n ++==-+()231n n =+2n n b 3b 7b点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.n S n a n a 1,2n n n a S S n -=-≥n a n S n S n n a 11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩1,2n n =≥。

河北省衡水市2021届新高考数学考前模拟卷（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设a r ，b r ，c r 是非零向量.若1()2a cbc a b c ⋅=⋅=+⋅r r r r r r r，则（ ）A ．()0a b c ⋅+=rrrB ．()0a b c ⋅-=rrrC ．()0a b c +⋅=rrrD ．()0a b c -⋅=rrr【答案】D 【解析】试题分析：由题意得：若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则()0a b c -⋅=r r r ；若a c b c ⋅=-⋅r r r r ，则由1()2a c b c a b c⋅=⋅=+⋅r r r r r r r 可知，0a c b c ⋅=⋅=r r r r ，故()0a b c -⋅=r r r 也成立，故选D.考点：平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.2．已知平面向量,,a b c r r r ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+r r r r r r 且21λμ+=，若对每一个确定的向量a r，记||c r 的最小值为m ，则当a r变化时，m 的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,建立平面直角坐标系.令,OP a OB b ==u u u r r u u u r r OC c =u u u r r.E 为OB 中点.由1a b +=r r 即可求得P 点的轨迹方程.将c a b λμ=+r r r变形,结合21λμ+=及平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线.由圆切线的性质可知||c r的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值,且当PE 与圆M 相切时,m 有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为m 的最大值. 【详解】根据题意,||2,b =r设()(),,2,0OP a x y OB b ====u u u r r u u u r r ,(),1,0OC c E =u u u r r由1ab +=r r代入可得()2221x y ++=即P 点的轨迹方程为()2221x y ++=又因为c a b λμ=+r r r ,变形可得22b c a λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭rr r ,即2OC OP OE λμ=+uuur uuu r uuu r ,且21λμ+=所以由平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线,如下图所示:所以||c r的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值 根据圆的切线性质可知,当PE 与圆M 相切时,m 有最大值 设切线PE 的方程为()1y k x =-,化简可得kx y k 0--=由切线性质及点M 2211k k k --=+,化简可得281k =即24k =±所以切线方程为22044x y --=或22044x y +-= 所以当a r变化时, O 到直线PE 的最大值为()222413214m -==⎛⎫+± ⎪⎝⎭即m 的最大值为13故选:B 【点睛】本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线A ．－2B ．－4C ．3D ．－3【答案】D 【解析】 【分析】设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，设AB ：1x my =+，联立方程得到124y y =-，计算 22121216y y OA OB y y ⋅=+u u u r u u u r 得到答案.【详解】设211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，故22121216y y OA OB y y ⋅=+u u u r u u u r . 易知直线斜率不为0，设AB ：1x my =+，联立方程214x my y x =+⎧⎨=⎩，得到2440y my --=，故124y y =-，故221212316y y OA OB y y ⋅=+=-u u u r u u u r .故选：D . 【点睛】本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为1x my =+可以简化运算，是解题的关键 . 4．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]e B ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-【答案】D 【解析】 【分析】将原题等价转化为方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2()ln 1F x x x ax =-++，求导得221()x ax F x x'--=-，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()0,x x ∈时0F x '>，F x 在0,x 上是增函数；当,x x e ∈时0F x '<，()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；【详解】函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，等价于方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.设2()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x'--=-+=-，若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数； 当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.因为0(0,]x e ∀∈，方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e≤-. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2111ln 0x x ax -+>.因为211210x ax --=，所以1112a x x =-，代入2111ln 0x x ax -+>，得211ln 10x x +->. 设()2ln 1m x x x =+-，()120m x x x'=+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由211ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.由1112a x x =-在()1,e 上是增函数，得112a e e<<-. 综上所述21a e e<≤-， 故选：D. 【点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题5．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ）A ．2014年我国入境游客万人次最少B ．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C ．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D ．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差 【答案】D 【解析】 【分析】ABD 可通过统计图直接分析得出结论，C 可通过计算中位数判断选项是否正确. 【详解】A ．由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确；B ．由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确；C ．入境游客万人次的中位数应为13340.13与13604.33的平均数，大于13340万次，故正确；D ．由统计图可知：前3年的入境游客万人次相比于后3年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误. 故选：D. 【点睛】本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求.6．已知数列{}n a 满足11a =,1n n a a n --=(2n ≥),则数列{}n a 的通项公式n a =( ) A ．()112n n + B ．()1312n n - C ．2n n 1-+ D ．222n n -+【答案】A 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可． 【详解】可得11a =212a a -= 323a a -= 434a a -=⋯1n n a a n --=以上各式相加可得：1123(1)2n a n n n =+++⋯+=+， 故选：A ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力．7．已知函数()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则||a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得01m <<，(1)0f =，则()f x 为减函数，从而得出函数|()|f x 的单调性，可比较a 和b ，而|(0)|1c f m ==-，比较()()0,2f f ，即可比较,,a b c . 【详解】因为()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限， 所以01m <<，(1)0f =，所以函数()f x 为减函数，函数|()|f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 又因为31382412422<=<=<，所以a b <，则|2|(2)||(0)|10f f m -=-<， 即|(2)||(0)|f f <， 所以a b c <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想. 8．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A ．4B C ．2D ．5【答案】D 【解析】 【分析】 先化简得31i,55z =+再求||z 得解. 【详解】2i 2i(13i)31i,13i 1055z -===++所以||5z =. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9．()()()()()*121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ）A ．3n C B ．21n C +C ．1n n C -D ．3112n C + 【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论． 【详解】由题意展开式中x 的一次项系数为21(1)122n n n n C +++++==L ．本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式． 10．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 【答案】D 【解析】 【分析】由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于ϕ的方程，对k 赋值即可求解. 【详解】由题意知，函数()sin(2)f x x ϕ=-的最小正周期为22T ππ==,即88T π=, 由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式可得， 将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后的解析式为 ()sin 2sin 284g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为函数()g x 的图象关于y 轴对称， 所以,42k k z ππϕπ--=+∈，即3,4k k z πϕπ=-+∈， 所以当1k =时，ϕ有最小正值为4π. 故选：D 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.11．设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]5,3-B ．[]2,3C ．[)2,+∞D ．(],3-∞【答案】C首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中z 的取值范围. 【详解】由题知x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，可行域如下图所示，可知目标函数在点()2,0A 处取得最小值， 故目标函数的最小值为2z x y =+=， 故z x y =+的取值范围是[)2,+∞. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题. 12．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求x π=时的函数值，再排除一个，得正确选项． 【详解】 分析知，函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ，当x π=时，sin 0xx=，排除D ， 故选：A ． 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。