圆周角与圆心角关系(2)

第三章圆《圆心角和圆周角的关系（第2课时）》教学设计学生起点分析学生的知识技能基础：学生在本节的第一课时，通过探索，已经学习了圆心角和圆周角的关系，并对定理进行了严密的证明，通过一系列简单的练习对这个关系熟悉，具备了灵活应用本关系解决问题的基本能力.学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了化归和分类讨论的数学方法，获得了得到数学结论的过程中，可以采用的数学方法解决的经验，同时在学习过程中也经历了合作学习的过程，具有了一定的合作学习的能力，具备了一定的合作和交流的能力.一．教学任务分析本节共分2个课时，这是第2课时，主要研究圆周角定理的2个推论，并利用这些解决一些简单问题.具体地说，本节课的教学目标为：知识与技能：1．掌握圆周角定理的2个推论的内容.2．会熟练运用推论解决问题.过程与方法1．培养学生观察、分析及理解问题的能力.2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确学习方式.情感态度与价值观：培养学生的探索精神和解决问题的能力.教学重点：圆周角定理的几个推论的应用.教学难点：理解几个推论的“题设”和“结论”二．教学设计分析本节课设计了七个教学环节：课前复习——新课学习（一）——推论的应用（一）——新课学习（二）——推论的应用（二）——方法小结——作业布置.第一环节课前复习活动内容：1.求图中角X的度数：x= x=2.求图中角X的度数：∠ABF=20°，∠FDE=30°x= x=活动目的：通过两个简单的练习，复习第一课时学习的圆周角和圆心角的关系.练习1是复习定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半；练习2是复习定理：同弧或等弧所对的圆周角相等.活动的注意事项：两个题目相对比较简单，关键在于引导学生学会看图，从图中看出圆心角和圆周角的一些关系.第2题的第2个图难度稍大，学生不易一眼看出个中关系，需要借助辅助线，连接CF ，把x 分解为2个角，使得问题简单解决，本题需要重点讲解，体现读图和应用的灵活性.第二环节 新课学习（一）活动内容：（1）观察图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？首先，让学生明确，“它所对的圆周角”指的是哪个角？（∠BAC ）然后，让学生猜想，这个角的特点，并拿量角器实际测量，看看猜测是否准确.（∠BAC 是一个直角）最后，让学生自行考虑进行证明的方法.引导应用圆周角和圆心角关系定理进行证明.解：直径BC 所对的圆周角∠BAC =90°证明：∵BC 为直径∴∠BOC =180° ∴BOC BAC ∠=∠21（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半） （2）观察图，圆周角∠BAC =90°，弦BC 是直径吗？为什么？首先，让学生猜想结果；然后，再让学生尝试进行证明.解：弦BC 是直径.连接OC 、OB∵∠BAC =90°∴∠BOC=2∠BAC =180°（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）∴B、O、C三点在同一直线上∴BC是⊙O的一条直径（3）从上面的两个议一议，得出推论：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.几何表达为：直径所对的圆周角是直角；∵BC为直径∴∠BAC=90°90°的圆周角所对的弦是直径.∵∠BAC=90°∴BC为直径活动目的：本环节的设置，需要学生经历猜想——实验验证——严密证明，这三个基本的环节，从而推导出从圆心角和圆周角关系定理推导出的两个推论.活动的注意事项：在（2）证明弦BC是直径的问题中，学生往往容易进入误区，直接连接BC，认为BC过点O，则直接说BC是直径，这样的说理是错误的，应该是连接OB和OC，再证明三点共线.在此需要特别指出注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线.对于三点共线，学生也可能忘记，需要老师从旁提醒.第三环节推论的应用（一）活动内容：（1）小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？（2）如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，求AC 的长.解∵AB 为直径∴∠BCA=90°在Rt △ABC 中，∠ABC =30°，AB =10 ∴521==AB AC 活动目的：在学习了推论“直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.”立刻安排两个简单练习让学生进行实际应用，目的的增加学生对这两个推论的熟练程度，并学习灵活应用这两个推论解决问题.第1题是实际问题，具有现实生活的实际意义，用利于提高学生应用数学解决实际问题的能力.活动的注意事项：第2题练习中，涉及“在直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半”这个定理的使用，估计学生不容易想到应用这个定理，从而无法解决这个问题，让学生思考后，发现无法联系到本定理，则需要老师从旁适时提醒.第四环节 新课学习（二）活动内容：（一）如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，请问∠BAD 与∠BCD 之间有什么关系？为什么？首先：引导学生进行猜想；然后：让学生进行证明.解：∠BAD 与∠BCD 互补∵AC 为直径∴∠ABC =90°,∠ABC =90°∵∠ABC +∠BCD +∠ABC +∠BAD =360°∴∠BAD +∠BCD =180°∴∠BAD 与∠BCD 互补（二）如图，C 点的位置发生了变化，∠BAD 与∠BCD 之间有的关系还成立吗？为什么？首先：让学生猜想结论；然后：让学生拿出量角器进行度量，实验验证猜想结果；最后：让学生利用所学知识进行严密证明.解：∠BAD 与∠BCD 的关系仍然成立连接OB ，OD ∵221∠=∠BAD ,121∠=∠BCD （圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半） ∵∠1+∠2=360°∴∠BAD +∠BCD =180°∴∠BAD 与∠BCD 互补（三）圆内接四边形概念与性质探索如图，两个四边形ABCD 有什么共同的特点？得出定义：四边形ABCD 的的四个顶点都在⊙O 上，这样的四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆.通过议一议环节，我们我们发现∠BAD 与∠BCD 之间有什么关系？推论：圆内接四边形的对角互补.几何语言：∵四边形ABCD 为圆内接四边形∴∠BAD +∠BCD =180°（圆内接四边形的对角互补）活动目的：本活动环节，目的是通过对特殊图形的研究，探索出一个特殊的关系，然后进行一般图形的变换，让学生再次经历猜想，实验，证明这三个探索问题的基本环节，得到一般的规律.规律探索后，再引入相关概念，得出相关推论.活动的注意事项：在（二）的探索中，学生会陷入∠BAD 和∠BCD 所对圆心12角混淆的误区，以及不会对这两个圆心角的角度进行表达.其次，在两个图形中四边形ABCD的共同特征探索方面，学生可能会简单问题复杂化，想到其他比较复习的特征，该给予肯定，但要引导学生不要把问题向复杂方向思考.第五环节推论的应用（二）活动内容：如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？让学生自主经历猜想，实验验证，严密证明三个环节解：∠A=∠CDE∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠A+∠BCD=180°（圆内角四边形的对角互补）∵∠BCD+∠DCE=180°∴∠A=∠DCE活动目的：通过一个练习，让学生自主经历解决问题的三个基本环节，从而巩固本节课学习方法的应用.活动的注意事项：个别学习能力低下的学生会不懂得思考问题的方式和方法，让学生做的时候，适当关注这部分学生，作出及时引导.第六环节方法小结活动内容：议一议：在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？请举例说明，并与同伴进行交流.让学生自主总结交流，最后老师再作方法归纳总结.方法1：解决问题应该经历“猜想——实验验证——严密证明”三个基本环节.方法2：从特殊到一般的研究方法，对特殊图形进行研究，从而改变特殊性，得出一般图形，总结一般规律.活动目的：通过小结，让学生回顾本节课的学习内容，尤其是知识内容和方法内容都应该进行总结，让学生懂得，我们学习不但是学习了知识，更重要的是要学会进行方法的总结.活动的注意事项：这里体现学生的总结和交流能力，只要学生是自己总结的，都应该给与鼓励和肯定，最后老师再作总结性的发言.第七环节 作业布置随堂练习3.在圆内接四边形ABCD 中，∠A 与∠C 的度数之比为4:5，求∠C 的度数.解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形∴∠A+∠C=180°（圆内角四边形的对角互补）∵∠A:∠C =4:5 ∴︒=︒⨯=∠10018095C 即∠C 的度数为100°.习题3.51.如图，在⊙O 中，∠BOD =80°，求∠A 和∠C 的度数.解：∵∠BOD =80°∴︒=∠=∠4021BOD DAB （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）∵四边形ABCD 是圆内接四边形∴∠DAB +∠BCD =180°∴∠BCD =180°-40°=140°（圆内接四边形的对角互补）2.如图，AB 是⊙O 的直径，∠C =15°，求∠BAD 的度数.（方法一）解：连接BC∵AB为直径∴∠BCA=90°（直径所对的圆周角为直角）∴∠BCD+∠DCA=90°，∠ACD=15°∴∠BCD=90°-15°=75°∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相等）（方法二）解：连接OD∵∠ACD=15°∴∠AOD=2∠ACD=30°（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）∵OA=OD∴∠OAD=∠ODA又∵∠AOD+∠OAD+∠ODA=180°∴∠BAD=75°3.如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边相交于点E，F，若∠E=40°，∠F=60°,求∠A的度数.解：∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠ADC+∠CBA=180°（圆内接四边形的对角互补）∵∠EDC+∠ADC=180°，∠EBF+∠ABE=180°∴∠EDC+ ∠EBF=180°∵∠EDC=∠F+∠A,∠EBF=∠E+∠A∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°∴∠A=40°4.如图，⊙O1与⊙O2都经过A，B两点，且点O2在⊙O1上，点C是弧AO2B上的一点（点C不与A，B重合），AC的延长线交⊙O2于点P，连接AB，BC，BP. （1）根据题意将图形补充完整；（2）当点C在弧AO2B上运动时，图中大小不变的角有哪些？（将符合要求的角都写出来）解：大小不变的角有：∠ACB∠APB∠BCP。