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平方差公式口诀
平方差公式口诀：两数和乘两数差，等于两数平方差。
积化和差变两项，完全平方不是它。
1
平方差指一个平方数或正方形，减去另一个平方数或正方形得来的乘法公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）。
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍即完全平方公式：
（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2
2
平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差。
用字母表示为（a+b）（a-b）=a2-b2。
公式中字母的不仅可代表具体的数字、字母、单项式或多项式等代数式。
公式特征：左边为两个数的和乘以这两个数的差，即右边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项(a)完全相同，另一项(b与-b)互为相反数；右边为这两个数的平方差即右边是完全相同的项的平方减去符号相反项的平方。
3
（1）公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。
（2）右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。
（3）公式中的a，b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
4
Sin2A-sin2B=cos2B-cos2A=sin(A+B)sin(A-B)
cos2A-sin2B=cos2B-sin2A=cos(A+B)cos(A-B)。
1、化简：（a+b﹣c）（a+b+c）﹣[（a﹣b）2+4ab]考点：平方差公式；完全平方公式。
分析：把（a+b）看成一个整体，利用平方差公式展开，然后再利用完全平方公式计算后化简即可．解答：解：（a+b﹣c）（a+b+c）﹣[（a﹣b）2+4ab]，=（a+b）2﹣c2﹣（a﹣b）2﹣4ab，=（a+b）2﹣（a﹣b）2﹣4ab﹣c2，=a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2﹣c2，=﹣c2．点评：本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解答此题关键，要把（a+b）看成一个整体，计算时要注意运算符号的处理．2、（1）阅读以下材料：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1．根据上面的规律，得（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x+1）=（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+229+230的值．考点：平方差公式。
专题：阅读型；规律型。
分析：仔细观察上式就可以发现得数中x的指数是式子中x的最高指数加1，根据此规律就可求出本题．解答：解：（1）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x+1）=x n﹣1；（2）1+2+22+23+24+…+229+230=（2﹣1）（1+2+22+23+24++229+230）=231﹣1．点评：本题主要锻炼学生从已知的题中找规律．所以学生平时要注意培养自己的总结概括能力．3、计算：（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）=考点：平方差公式。
分析：利用平方差公式对各项分解因式，前一项与后一项出现倒数，然后再根据有理数的乘法计算即可．解答：解：（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣），=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）•…•（1﹣）（1+）（1﹣）（1+），=××××××…××××，=×，=．点评：本题考查了平方差公式的逆运用，利用公式分解成两数的积，并且出现倒数相乘是解题的关键，求解方法灵活巧妙．4、计算：（1）﹣3m（2m+n﹣1）；（2）（3x﹣2）（x+4）；（3）（x+y﹣2）（x+y+2）．考点：平方差公式；单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式。
平方差的公式
平方差是一种用来衡量数据波动程度的测量方法，也称为方差。
它可以用来识别数据之间的差异和波动。
平方差的公式如下：
σ²=Σ(xi-μ)²/n
其中，σ² 是方差
xi 是所有数据的样本值
μ 是样本的平均值
n 是样本的数量
平方差是用来统计数据分布情况的测量方法，其值提供了以下信息：
1、原始数据之间的差异和波动大小。
2、数据越集中，方差值越小；比如，在相同数量的样本中，
两个组中的样本值均分布在比较宽散的范围内，那么它们的方差值比较大。
3、方差的值有助于我们分析数据的变化规律，可以帮助我们
了解数据的分布特点，即距离数据量中心点的距离越远，所谓的数据越分散。
4、通过方差值可以比较不同样本（或数据集）之间的差异。
5、方差值也可以应用于统计学检验，为统计分析提供理论支持。
总之，平方差是一种测量波动度和分布样本的数据统计方法，它有助于我们分析数据变化规律，当然也可以为统计分析提供理论依据。
【知识要点】◆要点(1) 平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即 (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2. 其结构特征是：①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。
【例1】计算下列各题：（1）()()y x y x 5454-+；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+a b b a 51313151；（3）()()2222--+-n m n m【例2】利用平方差公式计算下列各题：（1）1.509.49⨯；（2）2201320142012-⨯【例3】计算：()()()1)1(1110042+∙∙+++a a a a .【例4】已知正方形的边长是a cm ，若将一边增加3cm ，另一边减小3cm ，那么改变后的面积与原正方形的面积哪个大 ?A 【夯实基础】一、填空题1、，则2、．3、（1）如图（1），可以求出阴影部分的面积是_________．（写成两数平方差的形式）4、如图（2），若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是________，长是________，面积是___________．（写成多项式乘法的形式）5、比较两个图阴影部分的面积，可以得到乘法公式__________．（用式子表达）二、选择题6、下列各式能用平方差公式计算的是：（）A． B．C． D．7、下列式子中，不成立的是：（）A．B．C．D．8、，括号内应填入下式中的（）．A． B． C． D．9、对于任意整数n，能整除代数式的整数是（）．A ．4B ．3C ．5D ．210、在 的计算中，第一步正确的是（ ）．A ．B ．C ．D ．三、计算题11、用平方差公式计算： (1) ()()()()n m n m n m n m 232-3-3-232++ （2）()()()()2222----a a b a b a ∙+（3）9288⨯ （4）76247125⨯12、计算：（1） ； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-542516542x x x ；（3）； （4） ；。
平方差平方和立方差立方和公式
平方差平方和立方差立方和是描述数据分布情况的统计量，也可称为分阶混合中心距。
它们是一组表示数据分布的定量特征，可以更直观地看出一组数据的离散程度和分散程度。
平方差平方和是描述一组数据离散程度的统计量，是用于衡量数据平均值与样本值之间差异的量度。
简言之，它表达了“x-x(平均值)”的均方差，公式为：
S=∑(x-x)^2 /母体n-1
即，平方差平方和= (x1-x )^2 + (x2-x )^2 +(xn-x )^2/ n-1
立方差立方和是立方差的一种应用，是衡量一组数据的样本分散程度的统计量，反映出数据的平均值与样本值之间的离散幅度。
可以用来度量一组数据的每个值与平均数之间的离散程度，即立方差的平方和，公式为：
S=∑(x-x)^3 /母体n-1
即，立方差立方和= (x1-x )^3 + (x2-x )^3 +(xn-x )^3 / n-1
平方差平方和与立方差立方和的比较，可以反映一组数据的分散状态，综合该值，可以构建回归模型，对数据进行建模，对下一步的预测、分析预先做出准备，是比较关键的一步，也是一些测量分析中最重要的步骤。
总结而言，平方差平方和与立方差立方和作为衡量一组数据离散程度、分布状况的量化统计量，其考察结果十分重要，由此能洞察数据分布的隐晦规律，为研究建立分析模型，提供可靠依据。
第三讲 平方差公式和完全平方公式【名言警句】细节决定成败！【知识点归纳讲解】（一）平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 特征：①左边：二项式乘以二项式，两数（a 与b ）的和与它们差的乘积. ②右边：这两数的平方差. 平方差公式的常见变形：①位置变化：如()()()()22a b b a b a b a b a +-=+-=-②符号变化：如()()()()()2222a b a b b a b a b a b a ---=---+=--=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或()()()()()2222a b a b a b a b a b a b ---=-+-=--=-+ ③系数变化：如()()()()()22ma mb a b m a b a b m a b +-=+-=-（二）完全平方公式()()22222222a b a ab b a b a ab b+=++-=-+ 完全平方公式常见变形：① 符号变化：如()()22222a b a b a ab b --=+=++ ()()22222a b a b a ab b -+=-=-+②移项变化：()()22222222a b a ab b a b a ab b +=++-=-+⇒()()22222222a b a b ab a b a b ab+=+-+=-+⇒()()224a b a b ab +--=【经典例题讲解】（一）平方差公式例1：计算：()()()()2244a b b a b a b a ---+-例2：计算：①（2x+y ）(2x-y) ②(y x 3121+)(y x 3121-)③(-x+3y)(-x-3y) ④(2a+b)(2a-b)(4)22b a +.【同步演练】应用平方差公式计算（1）()()a a 2121+- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121312122x x （3）()()y x y x 3232+---例3：某初级中学得到政府投资，进行了校园改造建设，他们的操场原来是长方形，改建后变为正方形，正方形的边长比原来的长方形少6米，比原来的长方形的宽多了6米，问操场的面积比原来大了还是小了？相差多少平方米？（二）完全平方公式例1：已知2291822a b ab a b +==+，，求的值例2：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972【同步演练】利用完全平方公式计算：（1）982 （2）2032例3：计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x【同步演练】)3)(3(+---b a b a例4：若22)2(4+=++x k x x ，则k =若k x x ++22是完全平方式，则k =例:5：完全平方公式的推广()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++()222222222a b c d a b c d ab bc cd ad +++=+++++++附加题：若实数222,,9,a b c a b c ++=满足()()()222a b b c c a -+-+-则代数式的最大值是多少？【课堂检测】 （一）平方差公式 一、填空题1、=--+-)2)(2(y y _______.2、=-+)2)(2(y x y x ______.3、=-+)3121)(3121(b a b a ______. 4、=---))((22x a x a _______. 5、=++-))()((22b a b a b a _______. 6、=-+-))((y x y x _______. 7、=+-----+))(())((y x y x y x y x _______. 8、+xy (_______）-xy (_______）81122-=y x . 二、选择题9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（ ） （A ）)22)(2(b a b a +--; （B ）)2)(2(a b b a +-; （C ）)2)(2(b a b a +--; （D ）)2)(2(b a a b ++-.10、下列各式中，运算结果是223625y x -的是（ ） （A ）)56)(56(x y x y --+- ; （B ）)56)(65(x y y x +-; （C ）)56)(56(x y x y ++- ; （D ）)65)(65(y x y x +--. 三、解答题11.计算)2)(2())((n m n m n m n m -+-+-.12.先化简后求值2),2)(2()2)(2(22-=-+--+x x x x x .13.解方程4)2()1)(1(2=---+x x x x .（二）完全平方公式 一、填空题1、=-+)2)(2(b a b a _______.2、)5(x +-_______225x -=. 用平方差公式计算并填空3、)218(5.75.8+=⨯__ ___4363=. 4、=⨯95105_______.5、=-+22)2()2(y x y x （_______）2. 二、选择题6、=+----))((y x y x _______.（ ）（A ）22y x +-;（B ）22y x -;（C ）22y x --;（D ）22y x +.7、如果16)(2-=+a m a p ，则（ ）（A ）4),4(=+=m a p ; （B ）4),4(-=-=m a p （C ）4),4(-=+=m a p ; （D ）4,4=+-=m a p . 三、解答题8、解不等式x x x x x 3)6()3)(3(>+-+-.9、解方程)1)(1(2)3)(12(+-=+-x x x x .10、先化简后求值)5)(5(2)4)(3(-+-+-x x x x ，其中10-=x11、一个梯形上底是)(b a +㎝，下底是)(b a -㎝，高为)2(b a +㎝，求梯形的面积，若2,215==b a ，求这个梯形的面积.【课后作业】一、填空题（每题2分，共28分）1．(34=⋅a a ____()⨯____34)+=a ; 2．=-⋅-54)()(x y y x _________; 3．()(23=m _____)(_____23)⨯=m ; 4．=-⋅--535)(])([a a _________; 5．=⨯3)87(_________3387⨯=; 6．(8164=y x ______2); 7．已知长方形的长是m 4，它的面积是nm 20，则它的宽是_________;8．=⋅+-222483)41(6y x x y x xy _________;9．=⋅+n m 2)7(_________;10．=+--)()(b a a a b b _________; 11．=++))((t z y x _________; 12．=+++-))()()((4422b a b a b a b a _________; 13．=++-+-))((c b a c b a _________; 14．=--+22)()(b a b a _________. 二、选择题（每题3分，共12分）15．下列各式中正确的是（ ）（A ）222)(b a b a -=-; （B ）2222)2(b ab a b a ++=+; （C ）222)(b a b a +=+; （D ）2222)(b ab a b a +-=+-.16．计算)102.2()105.3(53⨯⨯⨯的结果并用科学记数法表示，正确的结果是（ ） （A ）770000000;（B ）71077⨯;（C ）8107.7⨯;（D ）7107.7⨯.17．20072006)32()23(⋅-的计算结果是（ ）（A ）23-;（B ）32-;（C ）32;（D ）23.18．下列计算正确的是（ ）（A ）1262432a a a a a =⋅+⋅; （B ）252212)2(3bc a c a ab =⋅;（C ）322322+=⋅⋅+⋅n n a a a a a a ; （D ）432222)21()2(y x y x xy -=-⋅-.三、简答题：（每题6分，共30分）19．计算：4453)()(a a a a -+-20．结果用)(y x -的幂的形式表示62323)(2])[(])[(y x x y y x -+-+-.21．用简便方法计算63720052006)2()81()125.0()8(⨯+-⨯-22．计算453210)2()(b a ab b a +⋅- .23．计算)1()1(22++-++x x x x x . 24．计算))()((22b a b a b a -+-.四、解答题（每题5分，共20分）25．解方程)2(2)2()1(-=++-x x x x x x26．化简并求值31,3),3)(3(==--b a a b b a 其中.27．化简并求值2,)1()12(22-=-++x x x 其中.28.计算2)(c b a --29.综合题（10分，每小题5分）（1）已知一个圆的半径若增加2厘米，则它的面积就增加39平方厘米，求这个圆的直径.（用π的代数式表示这个圆的直径）（2）阅读：若一家商店的销售额10月比9月份增长（减少）10%，则设这家商店9月10月份销售额的增长率为0.1（-0.1）；理解：甲、乙两店9月份的销售额均为a万元，在10月到11月这两个月中，甲，问到商店的销售额的平均每月增长率为x，乙商店的销售额平均每月的增长率为x11月底时，甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元（用a和x的代数式表示结果）.【课后作业】家长意见及建议：家长签字：日期：年月日。
幂的运算法则公式14个
幂运算法则公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m×a n=a（m+n）；同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a m÷a n=a （m-n）。
幂的运算法则公式
（1）同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
a m×a n=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
（2）同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
a m÷a n=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
（3）幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(a^m)^n=a^(mn)，(m,n都为正整数)
（4）积的乘方：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
(ab)^n=a^nb^n，（n为正整数）
（5）零指数：
a0=1 (a≠0)
（6）负整数指数幂
a-p=1/a p(a≠0, p是正整数）
（7）负实数指数幂
a^(-p)=1/(a)^p或（1/a）^p(a≠0，p为正实数）
（8）正整数指数幂
①a m a n=a m+n
②（a m）n=a mn
③a m/a n=a m-n (m大于n,a≠0)
④(ab)n=a n b n
（9）分式的乘方：把分式的分子、分母分别乘方即为乘方结果
(a/b)^n=(a^n)/(b^n)，（n为正整数）。
一、基础代数公式1. 平方差公式：（a＋b）×（a－b）＝a2－b22. 完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2完全立方公式：（a±b）3=（a±b）(a2 ab+b2)3. 同底数幂相乘: am×an＝am＋n（m、n为正整数，a≠0）同底数幂相除：am÷an＝am－n（m、n为正整数，a≠0）a0＝1（a≠0）a-p＝（a≠0，p为正整数）4. 等差数列：（1）sn ＝＝na1+ n(n-1)d；（2）an＝a1＋（n－1）d；（3）n ＝＋1；（4）若a,A,b成等差数列，则：2A＝a+b；（5）若m+n=k+i，则：am+an=ak+ai ；（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，sn为等差数列前n项的和）5. 等比数列：（1）an＝a1q－1；（2）sn ＝（q 1）（3）若a,G,b成等比数列，则：G2＝ab；（4）若m+n=k+i，则：am•an=ak•ai ；（5）am-an=(m-n)d（6）＝q(m-n)（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，sn为等比数列前n项的和）6.一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)其中：x1= ；x2= （b2-4ac 0）根与系数的关系：x1+x2=- ，x1•x2=二、基础几何公式1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两边之和大于第三边、任两边之差小于第三边；（1）角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。
（2）三角形的中线：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
（3）三角形的高：三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。
（4）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
常用数学公式汇总一、基础代数公式1. 平方差公式：（a＋b）×（a－b）＝a2－b22. 完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2完全立方公式：（a±b）3=（a±b）(a2 ab+b2)3. 同底数幂相乘: am×an＝am＋n（m、n为正整数，a≠0）同底数幂相除：am÷an＝am－n（m、n为正整数，a≠0）a0＝1（a≠0）a-p＝（a≠0，p为正整数）4. 等差数列：（1）sn ＝＝na1+ n(n-1)d；（2）an＝a1＋（n－1）d；（3）n ＝＋1；（4）若a,A,b成等差数列，则：2A＝a+b；（5）若m+n=k+i，则：am+an=ak+ai ；（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，sn为等差数列前n项的和）5. 等比数列：（1）an＝a1q－1；（2）sn ＝（q 1）（3）若a,G,b成等比数列，则：G2＝ab；（4）若m+n=k+i，则：am•an=ak•ai ；（5）am-an=(m-n)d（6）＝q(m-n)（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，sn为等比数列前n项的和）6.一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)其中：x1= ；x2= （b2-4ac 0）根与系数的关系：x1+x2=- ，x1•x2=二、基础几何公式1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两边之和大于第三边、任两边之差小于第三边；（1）角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。
（2）三角形的中线：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
（3）三角形的高：三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。
（4）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1)；(2) ．【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：．类型二、幂的乘方法则2、计算：（1）； （2）；（3）； （4）．3、（2015春•南长区期中）已知2x =8y+2，9y =3x ﹣9，求x+2y 的值．举一反三：35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+23(2)(2)x y y x -⋅-()()(),n n n a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数()()()()()n n n b a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数23[()]a b --32235()()2y y y y +-22412()()m m xx -+⋅3234()()x x ⋅【变式】已知，则＝ ．类型三、积的乘方法则4、计算：（1） （2）举一反三：【变式1】下列等式正确的个数是( )．① ② ③ ④ ⑤A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【变式2】（2015春•泗阳县校级月考）计算：（1）a 4•（3a 3）2＋（﹣4a 5）2（2）（2）20•（）21．5、（2016秋•济源校级期中）已知x 2m =2，求（2x 3m ）2﹣（3x m ）2的值．【要点梳理】【高清课堂 乘法公式 知识要点】要点一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 322,3m m ab ==()()()36322mm m m a b a b b +-⋅24(2)xy -24333[()]a a b -⋅-()3236926x y x y -=-()326m m a a -=()36933a a =()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯22()()a b a b a b +-=-b a ,()()a b b a +-+（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如要点二、完全平方公式完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式；； ；.【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、计算(2＋1)()( )()()()＋1．举一反三：【变式1】计算：(1)(2)(＋)( －)( )( ) (35)(35)x y x y +-3232()()m n m n +-()()a b a b ---()()m n p m n p ++-+2244()()()()a b a b a b a b -+++()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+2()()()x p x q x p q x pq ++=+++2233()()a b a ab b a b ±+=±33223()33a b a a b ab b ±=±+±2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++221+421+821+1621+3221+2(3)(9)(3)x x x -++a b a b 22a b +44a b +【变式2】（2015•内江）（1）填空：（a ﹣b ）（a+b ）= ；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）= ；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）= ．（2）猜想：（a ﹣b ）（a n ﹣1+a n ﹣2b+…+ab n ﹣2+b n ﹣1）= （其中n 为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．2、先化简，再求值．已知|m ﹣1|+（n +）2=0，求（﹣m 2n +1）（﹣1﹣m 2n ）的值．举一反三：【变式】解不等式组：类型二、完全平方公式的应用3、运用乘法公式计算：（1）；（2）．举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)； (2)；(3)； (4)．4、已知△ABC 的三边长、、满足，试判断△ABC 的形状．举一反三：(3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩2(23)a b +-(23)(23)a b c a b c +--+()()a b c a b c -++-()()2112x y y x -+-+()2x y z -+()()231123a b a b +---a b c 2220a b c ab bc ac ++---=。
第四讲 平方差公式【新知讲解】1.基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2—b 2平方差公式的结构特征：左边两个二项式的乘积，这两个二项式的两项中，有一项完全相同(绝对值相同，符号相同)，而另一项互为相反数（绝对值相同，符号相反） 右边是这两个单项式中这两项的平方差。
这里a,b 可表示一个数、一个单项式或一个多项式。
2.平方差公式的推广： （1）()()2233a b a ab b a b -++=-（2）()()322344a b a a b ab bab -+++=-（3）()()123221n n n n n n n a b aa b a b ab b a b ------+++++=-3．思想方法：① a 、b 可以是数，可以是某个式子；② 要有整体观念，即把某一个式子看成a 或b ，再用公式； ③ 注意倒着用公式； ④ 2a ≥0；⑤ 用公式的变形形式。
【探索新知】问题导入：()()22b a b a b a -=-+成立吗？1.运算推导：2.图形理解：3.平方差公式：()()=-+b a b aA 组 基础知识【例题精讲】例1.利用平方差公式计算：（1）()()x x 6565-+ （2）()()y x y x 22+- （3）()()n m n m --+-例2.计算下列各题：（1）()()20012001-+ （2）()()3232x y x y -+（3）22112222x x ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()()x y z x y z +-++（5）59.860.2⨯ （6）2200620052007-⨯例3.用平方差公式进行计算：（1）204×197 （2）108×112例4.化简求值： ()()1212-++-b a b a 其中598,987a b ==。
例5.计算下列各题：（顺用公式） （1）()()()()()224488a b a b a bab a b -++++（2）3(22+1)(24+1)(28+1)(162+1)+1 （3）2999例6. 计算下列各题：（逆用公式）①1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655 （希望杯）②已知 19221 可以被60至70之间的两个整数整除，这两个整数是多少？B 组 能力提升1.计算： （1）(-65x-0.7y)( 65x-0.7y) （2）(a+2)(a 4+16)(a 2+4)(a-2)（3）(3x m +2y n +4)(3x m +2y n-4) （4）(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c)（5）(a+b-c-d)(a-b+c+d)2.用平方差公式进行计算：（1）804×796 （2）10007×99933.计算（顺用公式）：6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1变式训练1：（2211-）（2311-）（2411-）…（2911-）（21011-） ：4.计算（逆用公式）：(x 3+x 2+x+1)(x 3-x 2+x-1)-(x 3+x 2+x+2)(x 3-x 2+x-2)C 组 拓展训练1.1949²-1950²+1951²-1952²+……+1999²-2000²2.求证：1999×2000×2001×2002+1是一个整数的平方。
诚美教育一对一个性化指导专家一、同步知识梳理知识点1：平方差公式是指(a b)(a b) a2b2就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
【注意】a,b不过是一个符号，它们能够表示数，也能够表示式子（单项式、多项式等），不过它们的和与差的积，必定等于它们的平方差。
知识点 2：完整平方公式： (a b)2a22ab b2(a b)2a22ab b2两数和 ( 或差 ) 的平方，等于它们的平方和，加( 或减 ) 它们的积的2倍 . 这两个公式叫做 ( 乘法的 ) 完整平方公式。
二、同步题型剖析题型 1：平方差公式例 1、以下能够用平方差公式计算的是()A、 ( x－y) ( x + y)B、 ( x－y) ( y－x)C 、 ( x－y)( －y + x)D、 ( x－y)( －x + y)例 2、以下各式中，运算结果是9a 216b2的是()A、( 3a4b)(3a 4b)B、 (4b3a)( 4b3a)C、( 4b3a)(4b3a)D、 (3a2b)(3a8b)例3、若(7 x25y)(________) 49x425 y 2，括号内应填代数式( )A、7x25y B 、7x25y C、 7x25y D、 7x2 5 y （5）例 4、计算⑴(3 5 )(53)⑵m n n m(0.2x 2 y)(2 y 0.2x)诚美教育一对一个性化指导专家(3)( 2a b) 2(b 2a)2（ 4）(3a 2b)(3a 2b)(9a24b 2 )（ 5） (2 x－ 1) (2 x + 1)－2(x－2) (x+ 2)例 5、用简易方法计算（1）60015992（ 2）(2 1)(221)(241)(281)(2161) 33题型 2：完整平方公式例 1、( m2n) 2的运算结果是()A、m24mn4n 2B、m 24mn4n2B、 C 、m24mn4n2D、 m22mn 4n2例 2、运算结果为(1)9a26ab b2的是()A、( 1 x2)2B、 (1x 2 )2 C 、(1x 2 ) 2 D 、(1 x)2例 3、已知a2Nab 64b 2是一个完整平方式，则N等于 ()A、 8B、± 8C、± 16 D 、±32诚美教育一对一个性化指导专家例 4、填空⑴ (x + y)2=_________________ ， (x －y) 2=______________________ ；⑵(3)2___________________,( 2)2______________________a b a b解： (1)x 22xy y2x 2 2xy y2（2）4a24ab b2例 5、用简易方法计算⑴ 98 2⑵ 20032⑶ 13.42－2×13.4 +3.4 2例 6、已知x(x1) (x2y)3，求 x 2y2xy 的值2三、讲堂达标检测1．计算题：（y＋ x）（ x－ y）＝ ______；（ x＋ y）（－ y＋ x）＝ ______；（－ x－ y）（－ x＋ y）＝ ______；（－ y＋ x）（－ x－ y）＝ ______；2．直接写出结果：（ 1）（2x＋ 5y）（ 2x－ 5y）＝ ________；（2）（x－ab）（x＋ab）＝______；（ 3）（3m＋ 2n） 2＝________；（4）（）２＝m2＋8m＋16；3．在括号中填上适合的整式：（ 1）（ m－n）（）＝n2－m2；（2）（－1－3x）（）＝1－9x2．诚美教育一对一个性化指导专家4．多项式 x2－8x ＋ k 是一个完整平方式，则 k ＝ ______．5． x 21( x 1 )2 ______＝ (x1) 2 ＋ ______．x 2xx6．以下各多项式相乘，能够用平方差公式的有（ ）①（－ 2ab ＋ 5x ）（ 5x ＋ 2ab ） ②（ ax － y ）（－ ax － y ） ③（－ ab － c ）（ ab －c ）④（ m ＋ n ）（－ m － n ）A ．4个B ．3 个C ．2 个D ．1 个7．以下计算正确的选项是（ ）A ．（ 5－ m ）（ 5＋ m ）＝ m2－ 25B ．（ 1－ 3m ）（ 1＋ 3m ）＝ 1－ 3m2C ．（－ 4－ 3n ）（－ 4＋ 3n ）＝－ 9n2＋ 16D ．（ 2ab － n ）（ 2ab ＋ n ）＝ 2a2b2－ n2 8．以下等式能够建立的是（ ）A ．（ a － b ） 2＝（－ a －b ） 2B ．（ x － y ） 2＝ x2－ y2C ．（m － n ） 2＝（ n － m ） 2D ．（ x －y ）（ x ＋ y ）＝（－ x － y ）（x － y ）9．若 9x2＋ 4y2＝（ 3x ＋2y ） 2＋M ，则 M 为（ ） A ． 6xy B ．－ 6xy C ．12xyD ．－ 12xy10．如图 2－ 1 所示的图形面积由以下哪个公式表示（ ）A ． a2－ b2＝a （ a － b ）＋ b （ a － b ）B ．（a － b ） 2＝ a2－ 2ab ＋b2C ．（a ＋ b ） 2＝ a2＋ 2ab ＋b2D ． a2－ b2＝a （ a ＋ b ）－ b （ a ＋ b ）图 2－111．（ xn － 2）（xn ＋ 2）12．（ 3x ＋ 0.5）（ 0.5－3x ）13．用适合的方法计算．（ 1） 1.02 × 0.982 11（2） 113131 2＋ 20062（3） (40 )（4） 20052－ 4010×2006 214．当 a ＝ 1， b ＝－ 2 时，求 [( a1 b)2 ( a 1b) 2 ]( 2a 21b 2 ) 的值．22 2一、能力培育综合题 1、已知m2n26m 10n 34 0 ，求m+n的值综合题 2、若 a＋ b＝17， ab＝60，求（ a－ b）2和 a2＋ b2的值．综合题 3、已知 x≠1，计算（1+x）（ 1－ x） =1－x2，（1－ x）（ 1+x+ x2） =1－x3，（1－ x）（ ?1+x+ x2 + x3） =1－x4，（1）察看以上各式并猜想：（ 1－ x）（ 1+x+ x2 + +x n） =______．（n 为正整数）（2）依据你的猜想计算：①（ 1－ 2）（ 1+2+22 + 23 + 24 + 25）=______．②2+ 22 + 23 + +2n =______（ n 为正整数）．③（ x－ 1）（x9989 x79x 2 ...x x +1）=_______．（3）经过以上规律请你进行下边的探究：①（ a－ b）（ a+b） =_______．②(a b)(a2 a b b2 ) =______．③ (a b)(a3a2 b a b2b3 ) =______．二、能力评论例题中波及到了完整平方公式的变形，要注意总结与运用，还有规律商讨题的方法。
平方差公式——————来源于多项式符号语言：公式：()()22b a b a b a -=-+ ⇒ ()()b a b a +-22b a -= 拓展公式：()()22b a b a b a n n n -=-+ ()()()1112--+a a a文字语言：两个数的和与两个数的差的积等于这两个数的平方差。
注意：a 、b 可以代表数字，也可以代表单项式。
公式的几何图形：一个正方形的边长为：a ；现在剪掉一个边长为b 的正方形，同时增长正方形的边长长度为b 。
求剩下正方形的面积公式。
显然就得出：平方差公式。
⑴、左边是两个二项式相乘，并且有一项完全相同，另一项互为相反数。
⑵、右边乘式中两项的平方差。
2、符号特点左右两边都有求差运算（要分清谁是被减数，是用公式的关健）3、字母a、b的三个表示：⑴、表示一个具体的数；⑵、表示一个单项式；⑶、表示一个多项式。
例1、()()yxyx3232+-解：原式=229664yxyxyx--+=2294yx-例2、()()yxyx312312++-+（多项式） b注意，必须符合平方差公式特径的代数式才能用平方差公式。
(一） 、乘式必须具备公式左边的结构特点，即形如“两数和×两数差。
注意：这句话有两层意思⑴、 只要是形如“两数和×两数差“就可以直接用平方差公式。
⑵对于并不直接具备符合“两数和×两数差”的，要想办法变形， 构造能用平方差公式的条件。
计算例3、799×801解：原式=（800-1）×（800+） =640000-1=639999例4、2001199920002⨯- 解：原式=()()[]120001200020002+⨯-- =()222120002000-- 12000200022+-=1 练习题：计算1、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛1110491115022、1.1001.991002⨯-（二）、要确定乘式中，与公式中a 、b 对应的项，示能盲目套用公式（即一定要找准哪个数或式相当于公式中的a ，哪个数相当于公式中的b ）。
