微课完全平方公式的几何证明

完全平方公式的证明推导过程完全平方公式也是一个常用的简便计算公式。

(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²我们来证明一下完全平方公式，便于理解记忆。

先用代数方法证明，a²+2ab+b²=axa+axb+axb+bxb=ax(a+b)+bx(a+b) （乘法分配律）=(a+b)x(a+b)=(a+b)²同理，a²-2ab+b²=axa-axb-axb+bxb=ax(a-b)-bx(a-b) （乘法分配律）=(a-b)x(a-b)=(a-b)²完全平方公式的几何证明方法与平方差公式证明十分类似，一起来看看完全平方式的几何证明吧。

如下图所示，两个正方形组合在一起，小正方形边长为a，大正方形边长比小正方形多b，求大正方形面积。

显然，大正方形的面积为(a+b)²。

它也等于①②③④四部分的面积和。

分别计算四部分的面积，如下图：那么，大正方形的面积=a²+ab+ab+b²(a+b)²=a²+2ab+b²同样，我们再来证明(a-b)²=a²-2ab+b²。

如下图，大正方形边长为a，两个正方形组合在一起，大正方形边长比小正方形边长多b，求小正方形①面积。

小正方①的面积为(a-b)²。

同样，①的面积也可以由大正方形面积减去②③④得到。

和G老师一起分别计算下②③④的面积吧大正方形的面积为a²，小正方形①的面积=a²-(a-b)xb-b²-(a-b)xb 即，(a-b)²=a²-(a-b)xb-b²-(a-b)xb展开后，得(a-b)²=a²-2ab+b²完全平方式又常常写成：(a±b)²=a²±2ab+b²小学阶段对于完全平方式并不要求，但是某些小升初试题中会考到简单的计算，知道该怎么简便计算即可。

初中数学完全平方公式知识点归纳完全平方公式是指二元二次方程的解可以通过将方程化为完全平方形式来求解的方法。

下面是初中数学中关于完全平方公式的归纳知识点：1.完全平方公式的形式：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果其中a ≠ 0，那么它的解可以通过将方程化为完全平方形式来求解。

完全平方形式是指将二次项和一次项的系数合并为一个完全平方的形式。

2.完全平方公式的表达式：设一元二次方程为ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0，则它的解可以表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)3.完全平方公式的推导：在推导完全平方公式时，首先将方程右侧移到左侧，得到一个平方的形式，然后通过配方完成平方形式的提取。

4.完全平方公式的用途：完全平方公式可以用于求解一元二次方程的根，特别对于不能直观看出解的二次方程来说，可以通过完全平方公式直接求解。

5.完全平方公式的例题：例如，对于方程2x^2+5x-3=0，可以应用完全平方公式计算出其解为：x=(-5±√(5^2-4(2)(-3)))/(2(2))6.完全平方公式的注意事项：在应用完全平方公式时，需要注意判别式的值。

判别式为b^2 - 4ac，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于0时，方程没有实数根。

7.完全平方公式与图像的关系：完全平方公式也可以用来解释二次函数的图像特征。

例如，当b=0时，方程的解为x=±√(-c/a)，可以看出二次函数的图像与x轴交于两点；当判别式大于0时，二次函数的图像与x轴有两个不相等的交点；当判别式等于0时，二次函数的图像与x轴有一个重复的交点；当判别式小于0时，二次函数的图像与x轴没有交点。

8.完全平方公式的应用：完全平方公式不仅可以用于求解一元二次方程的根，还可以应用于其他数学问题中。

例如，可以用完全平方公式证明两条直线之间的距离公式、证明两个平面之间的夹角余弦公式等。

完全平方公式讲解完全平方公式是一种求解二次方程的方法，通常用于解决含有未知数的平方项和一次项的方程。

这个公式的公式表达形式为：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$完全平方公式在数学中具有广泛的应用，可以用来解决一元二次方程、分解因式、证明等问题。

首先，我们可以考虑一个特殊的二次多项式：$$(x+a)^2$$这里，a 是一个常数。

根据分配律，我们可以展开该二次多项式：$$(x+a)(x+a)=x^2+ax+ax+a^2$$合并相同项得到：$$x^2+2ax+a^2$$我们可以观察到，这个二次多项式中的平方项（$x^2$）和常数项（$a^2$）是完全平方的结构。

而一次项的系数项（$2ax$）是两个a的乘积的两倍。

这就是所谓的完全平方。

根据以上的推导，我们得出了完全平方的一般形式。

接下来，我们将利用完全平方公式来解决一元二次方程的问题。

对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0$$其中a、b、c是已知实数常数。

我们将该方程两边移项，并利用一种变形技巧，将方程转化为完全平方的形式。

具体步骤如下：1. 将方程两边移项，使等式右边等于0，得到$$ax^2+bx=-c$$2.对于方程的左边，我们将其利用完全平方公式进行变形。

如果我们能找到一个常数k，使得左边可以变为$(x+k)^2$的形式，那么我们就可以利用完全平方公式直接求解。

3. 考虑到$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$，我们可以发现，当$b=2k$时，方程的左边可以写成完全平方形式。

4. 所以，我们可以得到方程$$ax^2+2kx+k^2=-c$$5.然而，我们不能直接将方程的右边变为k的平方形式，因为我们无法确切地知道k的值。

所以，我们需要做一个额外的变形。

6. 我们可以再次考虑方程的两边，得到$$ax^2+2kx+k^2+c=0$$7.现在，我们成功地将方程转化为一个完全平方的形式。

进一步观察，我们可以发现，左边的二次项是$x^2$的系数与$a$的乘积，一次项是$x$的系数与$2k$的乘积，常数项则是$k^2+c$。

完全平方公式讲解完全平方（perfectsquare）公式是数学中最重要的公式之一，它可以用于快速解决许多数学问题的解法。

它的用处非常广泛，由于它的实用性，它被广泛应用于学校，大学，实验室和工作岗位中。

完全平方公式有三种基本形式：一是把一个根号中的式子化简为一个完全平方；二是将一个简单的数学表达式转换为另一个完全平方；三是将一个复杂的数学表达式化简为一个完全平方。

首先，要讲解完全平方公式，先来讲解求根数的完全平方形式。

这种情况下，要求根数是将一个数x开方，例如求根162，就是求x=162的根号，其公式的形式为：y=a^2+bx+c由此可得：y=(a-b)^2 + 2ab + c，a,b,c是常数。

若要求根数，要满足 y=a^2+bx+c=0，那么可以得到x=(-b+(b^2-4ac))/2a，此就可以得到x的值，也就是我们要求的根数。

其次，要解释完全平方公式，要讲解如何将一个简单的数学表达式转换成另一个完全平方的形式。

以熟悉的表达式y= ax^2+ bx+ c为例，如果要将它化简成完全平方的形式，可以这样做：令y=(ax+b)^2+c，y=a^2x^2+2axb+b^2+ c，令a^2=d，d减去b^2就是c的值，最后可以得到y=(ax+b)^2+d-b^2，也就是常见的完全平方形式。

最后，要讲解完全平方公式，要讲解如何将一个复杂的数学表达式化简为完全平方。

在这种情况下，我们通常会使用一些数学方法，根据原数学表达式的结构，把它分解分解成多个部分，每一部分作为一个完全平方求解，最后把这些部分综合起来，就可以得到一个完全平方的表达式。

总之，完全平方公式是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们快速解决许多数学问题。

通过对它的正确使用，我们可以提高我们的解题能力，从而获得更好的成绩。

八上完全平方公式完全平方公式是在数学中非常有用的公式之一，主要用于求解几个数的平方和。

下面将详细介绍完全平方公式的概念、应用和示例。

一、完全平方公式的基本概念完全平方公式是指：如果有一个数x，那么(a ± b)² = a²± 2ab + b²其中，a和b是两个数，表示它们之间的差或和。

这个公式可以用来求解a、b的平方和。

二、完全平方公式的应用完全平方公式在数学中有很多应用，比如求多项式的平方和、解方程组等等。

其中最常见的是求解一元二次方程的根。

例如，对于方程x² + 2x + 3 = 0，可以通过求二次项系数a²和常数项b²的和的平方减去4倍的二次项系数a²来求解这个方程。

三、完全平方公式的示例以下是一些完全平方公式的示例：1. 求两个数的平方和：(3 + 4)² = 3² + 4² + 2 × 3 ×4 = 53 2. 求三个数的平方和：(1 - 2)² + (2 - 3)² + (4 -5)² = 2 - 2 × (2 × 2 +3 × 4 + 5 × 5) = -14以上这些示例说明完全平方公式不仅在求解两个数的平方和非常有用，而且也可以解决三个数的平方和的问题。

当然，当数字超过三个时，可以考虑其他数学方法。

四、总结通过上述介绍，我们了解了完全平方公式的基本概念、应用以及一些示例。

完全平方公式是数学中的一个重要工具，它能够解决许多数学问题，特别是求几个数的平方和的问题。

通过灵活运用完全平方公式，可以提高解题效率和准确性。

完全平方公式讲解完全平方公式是高中数学中最重要的公式之一，它能够帮助学生解决复杂的问题，因而被广泛使用。

完全平方公式的基本内容是一个多项式，它的一般形式如下：ax2 + bx + c = 0。

完全平方公式的原理很简单，它是分解多项式的系统方法，即先将多项式分解为完全平方公式的形式，然后从中求出解。

完全平方公式的分解如下：a(x + b/2a)2 = ax2 + bx + c，其中a为多项式中的系数，b为多项式中的系数，c为多项式中的常数。

现在我们来看看如何使用完全平方公式来求解多项式。

假设有一个如下形式的多项式：x2 + 6x + 9 = 0，即ax2 + bx + c = 0，其中a=1，b=6，c=9。

首先，将多项式分解为完全平方公式：(x + 3)2 = x2 + 6x + 9，即a(x + b/2a)2 = ax2 + bx + c，其中a=1，b=6，c=9。

继而，从多项式一般形式中求出解：x = -3，即x + 3 = 0，所以x = -3。

完全平方公式的应用广泛，它可以用于求解一元二次方程、求取多次方程的解等。

然而，使用完全平方公式需要注意一些重要问题，例如是否能够简化为完全平方公式形式，这得根据实际情况而定。

此外，完全平方公式也可以用于计算各种数学结果，例如计算角的正弦值、余弦值、正切值等。

一般而言，利用完全平方公式就可以快速求出解，从而节省计算时间。

最后，当我们碰到一些复杂的数学问题时，完全平方公式可以提供非常有用的帮助。

它可以帮助我们提高解决数学问题的速度，同时避免出现错误，从而减少计算错误的机会。

综上所述，完全平方公式是高中数学中最重要的公式之一，它能够帮助我们快速准确地解决复杂的数学问题，节省计算时间，减少出错的机会。

完全平方公式详解首先，我们从一个二次方程ax^2 + bx + c = 0（其中a≠0）开始推导完全平方公式：1. 将二次方程移到等号的右边，得到ax^2 + bx = -c。

2. 将二次方程左边的项进行配方，即将x^2和x项分别平方，得到(a/2*x + b/2)^2 = b^2/4 - ac。

现在我们求解完全平方公式的步骤如下：1.检查二次方程是否为完全平方。

即检查a、b和c的值是否满足公式。

若满足，则进一步求解；否则，无实数解。

2. 根据完全平方公式，我们可以得到两个根的表达式：x1 = (-b +√(b^2-4ac))/(2a)和x2 = (-b - √(b^2-4ac))/(2a)。

3. 计算√(b^2-4ac)的值。

a. 首先，计算判别式D = b^2-4ac。

b.如果D>0，即判别式大于零，说明二次方程有两个不相等的实数根。

c.如果D=0，即判别式等于零，说明二次方程有两个相等的实数根。

d.如果D<0，即判别式小于零，说明二次方程没有实数根，但有两个共轭复数根。

接下来，我们举例说明完全平方公式的使用。

例1：求解二次方程2x^2-5x+3=0的根。

首先，将方程的系数代入完全平方公式中：a=2,b=-5,c=3根据公式 x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)，我们可以得到：x1=(-(-5)+√((-5)^2-4*2*3))/(2*2)=(5+√(25-24))/4=(5+√1)/4=(5+1)/4=6/4=3/2x2=(-(-5)-√((-5)^2-4*2*3))/(2*2)=(5-√(25-24))/4=(5-√1)/4=(5-1)/4=4/4=1因此，二次方程2x^2-5x+3=0的根为x1=3/2和x2=1例2：求解二次方程x^2+4x+4=0的根。

首先，将方程的系数代入完全平方公式中：a=1,b=4,c=4根据公式 x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)，我们可以得到：x1=(-4+√(4^2-4*1*4))/(2*1)=(-4+√(16-16))/2=(-4+0)/2=-4/2=-2x2=(-4-√(4^2-4*1*4))/(2*1)=(-4-√(16-16))/2=(-4-0)/2=-4/2=-2因此，二次方程x^2+4x+4=0的根为x1=-2和x2=-2通过以上的例子，我们可以看出，完全平方公式可以用于求解二次方程的根。

3项完全平方公式完全平方公式是初中数学的重要知识点之一，它可以用来求解一元二次方程的根。

在解题中，我们经常会遇到需要使用完全平方公式来求解方程根的情况。

本文将详细介绍完全平方公式的概念、推导过程以及应用实例。

一、什么是完全平方公式完全平方公式是指在一元二次方程(ax^2 + bx + c = 0)中，当其判别式b^2 - 4ac大于等于0时，可以通过求根公式(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解方程的根。

其中，完全平方公式的关键在于利用判别式的平方根来得到方程的两个根。

二、完全平方公式的推导过程完全平方公式的推导过程可以通过配方法来实现。

具体推导步骤如下：1. 对一元二次方程ax^2 + bx + c = 0进行配方法，即将其写成(a(x^2 + (b/a)x) + c = 0)的形式。

2. 将配方法后的方程进行平方，即(a(x^2 + (b/a)x)^2 + 2a(x^2 + (b/a)x)(c/a) + (c/a)^2 = 0)。

3. 化简方程，得到(ax^2 + 2bx + c + (b^2/a^2)x^2 +2(b^2/a^2)x + b^2/a^2 - b^2/a^2 + (c/a)^2 = 0)。

4. 合并同类项，得到[(a + b^2/a^2)x^2 + (2b + 2(c/a))x + (c + b^2/a^2)] = 0)。

5. 化简方程，得到[(a^2 + b^2)x^2 + 2abx + ac + b^2 = 0]。

6. 利用完全平方公式求解方程的根，即x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

通过以上推导过程，我们可以得到完全平方公式的最终形式。

三、完全平方公式的应用实例下面通过一些具体的应用实例来进一步说明完全平方公式的使用方法。

例1：求解方程x^2 + 6x + 5 = 0的根。

解：根据完全平方公式，我们可以得到a=1，b=6，c=5。

完全平方公式讲解完全平方公式是数学中的一种重要概念，作为学习数学的基本概念，它在帮助我们掌握数学的过程中发挥了重要作用。

完全平方公式是一种表明数学关系的工具，有助于理解数学中的概念和现象。

下面将对完全平方公式做一个详细的说明。

完全平方公式可以表达多项式中数学性质的关系，对于指定的数学现象能够有效地剖析。

完全平方公式的形式一般为$ax^2 +bx+c=0$，其中a，b，c是实数，a≠0。

完全平方公式可以解释如下：$ax^2+bx+c$表示等式左侧，等式右侧也可以写成一个完全平方形式：$(x+α)^2+β=0$。

α和β是两个实数，α=－b/2a，β=c/a。

完全平方公式可以用来解决多项式的根，即求出多项式的原根，也可以直接得出结果。

下面用完全平方公式来解决求解多项式根的问题，$ax^2 +bx+c=0$，求解x的值：$(x+α)^2+β=0$将其化为一元二次方程，有：$x^2+2αx+α^2+β=0$根据二次公式：$x_1,x_2=-αpm sqrt{α^2-4(1)β}$将α和β的值代入，可得：$x_1,x_2=frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$将该公式带入到多项式中，就能得出多项式的根：$x_1=frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a}，x_2=frac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a}$完全平方公式还可以用来解决含有绝对值的一元二次不等式，新的形式如下：$|ax^2 +bx+c|=0$。

可以看出，此类不等式左侧的绝对值变成了括号，这就使其转换成普通的一元二次不等式，此时就可以使用完全平方公式来解决了。

完全平方公式的用途还不止如此，它还可以用来处理有理函数，特别是能够使有理函数形式更清楚、更简便，更具有可读性。

因此，完全平方公式也被广泛应用于高等数学中。

完全平方公式也可以解决三次方程，其具体步骤如下：首先，将三次方程转化为一次二次mixed型方程，即有如下形式：$ax^3+bx^2+cx+d=0$，然后，利用完全平方公式将其中的二次项处理，将它变成完全平方的形式，有：$(x^2+2αx+α^2)+β=0$，将α和β的值代入，即可得出解，最后，将解代入原方程中，检查解的有效性。

完全平方公式的推理完全平方公式，这可是数学学习中的一个重要“小伙伴”呀！咱们先来说说啥是完全平方公式。

它有两个，一个是（a + b）² = a²+ 2ab + b²，另一个是（a - b）² = a² - 2ab + b²。

这两个公式看起来好像有点复杂，但是只要咱们好好琢磨琢磨，就能发现其中的妙处。

我记得有一次给学生们讲这部分内容的时候，有个小同学一脸迷茫地看着我，就好像面前是一团怎么也解不开的毛线球。

我就想着得用个特别的办法让他们搞明白。

我拿出了一堆小方块，摆成一个边长为 a 的正方形，然后在旁边又加了一个宽为b 的长条。

这时候整个图形就变成了一个边长为（a + b）的大正方形。

我让同学们自己数数增加的面积，然后再和（a + b）²展开后的结果对比。

嘿，不少同学一下子就“开窍”啦，眼睛都亮了起来。

咱们来仔细推理一下这两个公式。

先看（a + b）²，把它展开就是（a + b）×（a + b），用乘法分配律，就得到 a×（a + b） + b×（a + b），进一步计算就是 a² + ab + ab + b²，整理一下就是 a² + 2ab + b²。

再看（a - b）²，其实道理是一样的。

把它看成（a + (-b)）²，按照前面的方法展开，就得到 a² + 2a×(-b) + (-b)²，也就是 a² - 2ab + b²。

完全平方公式在解决数学问题的时候可太有用啦！比如说，要计算（3 + 2）²，咱们不用一个一个去乘，直接套用公式，a = 3，b = 2，那就是 3² + 2×3×2 + 2² = 9 + 12 + 4 = 25，是不是很快？还有在代数式的化简中，要是碰到像 x² + 6x + 9 这样的式子，咱们一眼就能看出这是（x + 3）²，多方便！在实际生活中，完全平方公式也有它的用武之地呢。

2015 完全平方公式的推导兴平市庄头中学南娇艳（一）教材内容的分析完全平方公式是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，而且公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过对公式的学习来简化某些整式的运算，且在以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理及图形面积计算都有举足轻重的作用。

本节内容共安排两个课时，本节课是其中第一个课时。

（二）教学目标的分析1、知识与技能：理解公式的推导过程，了解公式的几何背景。

2、过程与方法：通过让学生经历完全平方公式的探求过程，使学生体会数、形结合的优势，熟悉完全平方公式的特征，培养学生的发现能力、求简意识、应用意识、解决问题的能力和创新能力。

3、情感价值观目标：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习自信心。

（三）教学问题诊断分析初一学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学化能力有限，理解完全平方公式的几何解释、推导过程、结构特点有一定困难。

所以教学中应尽可能多地让学生动手操作，突出完全平方公式的探索过程。

因此设计了检测预习部分，通过学生的小组讨论总结，让学生自主探索出完全平方公式的基本形式，并用语言表述其结构特征，一方面体现出了学生是课堂的主人教学理念。

另一方面进一步发展了学生的合情推理能力、合作交流能力和数学化能力。

重点：体会完全平方公式的发现和推导过程，理解公式的本质。

难点：判别要计算的代数式是哪两个数的和(或差)的平方。

（四）教学支持条件分析：我将本节课定位为探究式教学活动，通过对教材进行适当的整合，采用多媒体教学。

在整个教学过程中充分运用探究学习与合作学习。

有学生之间的交流，也有师生之间的交流，在课堂中构建和谐，民主的气氛。

（五）教学过程一导课解标(1) 经历探索完全平方公式的过程，并会推导完全平方公式.(3) 了解公式的几何背景。

二检测预习1、创设情景，导入新知创设情境：一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加b 米。