根轨迹举例
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根轨迹的概念特征方程(见传递函数)的根随某个参数由零变到无穷大时在复数平面上形成的轨迹,称为根轨迹。
我们先看下面的例子。
设单位反馈系统的开环传递函数为:当开环放大系数K从零到无穷大变化时,系统的特征根在s平面上怎样分布?解系统有两个开环极点系统的闭环传递函数为系统的特征方程为特征方程的根可见特征根在s平面的位置与K有关。
K=0时,,与开环极点的位置相同。
0<K<1/4时,,均为负实数,分布在0到-1之间,随K从零开始逐渐增大,和也从开环极点的位置开始逐渐接近。
K=1/4时,==-0.5,两个闭环极点重合。
K>1/4时,和都成为共轭复数。
具有相同的负实部,且为常数,而虚部则随K的增加其绝对值也增加。
图3.28给出了系统的特征根在K从零变化到无穷大时,相应位置的变化情况。
这种放大系数K从零到无穷大变化时,特征方程的根在s平面上相应变化的轨迹,称为根轨迹。
根轨迹完整地反映了特征根随参数变化的情况。
根据图3.28的根轨迹图,我们可以知道,在K<1/4时,系统的单位阶跃响应中含有两个指数项函数。
在K=1/4时,两个指数项函数合二为一。
在K1/4时,根轨迹进入复平面,说明系统的单位阶跃响应由单调变化转变为振荡。
从图还可以看出,不论K怎样变化,系统始终是稳定的。
因为全部根轨迹都分布在s平面左半边。
图3.28 特征根随K的变化情况根轨迹的基本条件控制系统的特征方程为(3.145)式中为系统前向通道传递函数,H(s)为系统反馈通道传递函数。
上式可改写为(3.146)将系统的开环传递函数写成零极点形式(3.147)式中K称为根轨迹放大系数或根轨迹增益。
称为开环零点,称为开环极点。
将(3.147)式代入(3.146)式得(3.148)式(3.148)是一个复数方程,可以用复数的幅值和幅角分别表示为(3.149), (3.150)式中是矢量与实轴正方向的夹角,是矢量与实轴正方向的夹角。
我们称式(3.149)为根轨迹的幅值条件,式(3.150)为根轨迹的幅角条件。
第四章根轨迹法4-1根轨迹的基本概念一. 根轨迹概念:闭环系统的动态性能与闭环极点在s 平面上的位置密切相关,系统的闭环极点也就是特征方程式的根。
当系统的某一个或某些参量变化时,特征方程的根在s 平面上运动的轨迹称为根轨迹。
根轨迹法:直接由开环传递函数求取闭环特征根的方法。
例:设控制系统如图4—1所示()()15.0+=s s K s G ()()2220+=+=s s K s s K ,开环极点:01=p ,22-=p()()()0202K s s K s R s C s ++==Φ;式中K K 20= K此系统的特征方程式可写为:()02,1121102K s K s s s -±-=⇒=++=∆讨论:200210-===s s K ,时,111210-=-==s s K ,时,j s j s K --=+-==112210,时,∞--=∞+-=∞=j s j s K 11210,时,令k 为0∞。
可以用解析的方法求出闭环极点的全部数值,将这些数值标住在S 平面上,并连成光滑的粗实线,如图4-2所示。
图上,粗实线就称为系统的根轨迹。
分析:1.0K 变化时,根轨迹均位于左半s 平面,系统恒稳定。
2。
根轨迹有两条,两个起点2,021-==s s3.100<<K 时,闭环特征根为负实根,呈过阻尼状态。
4.10=K 时,闭环特征根为一对重根,响应为单调上升的指数曲线.5。
10>K 时,闭环特征根为共轭复根,响应为衰减振荡。
6.开环增益K 可有根轨迹上对应的0K 值求得.0K 为可变参量绘制的根轨迹,称为常规根轨迹。
设单闭环控制系统框图如图:通常有两种表示形式:A .时间常数形式:∏∏==++=ni imj j s T s K s H s G 11)1()1()()(τ二、根轨迹的幅值条件和相角条件图4-3控制系统的结构图R (s ) C (s )H(S)G(S)B .零、极点形式:∏∏==--=ni imj j p s z s K s H s G 110)()()()(则,系统特征方程:1+G (s)H(s )=0⇒G(s)H (s)=—1⇒ 幅值条件:|G(s )H (s )|=1相角条件:∠G(s)H (s )=±(2k+1)π,k=0,1,2,…考虑开环传递函数一般形式:∏∏==--=ni imj j p s z s K s H s G 110)()()()(,因此幅值条件:1||||110=--∏∏==ni imj j ps z s K 或∏∏==--=mj jni izs p s K 110||||相角条件:)()(11∑∑==-∠--∠mj ni j j p s z s =±(2q+1)π,q=0,1,2,…说明:幅值条件与K 0有关,而相角条件与K 0无关.因此,凡能满足相角条件的点必然满足幅值条件;而满足幅值条件的点不一定满足相角条件!因此,绘制根轨迹的一般步骤是:先找出S 平面上满足相角条件的点,并把它们连成曲线;然后根据实际需要,用幅值条件确定相关点对应的K 值.例子:P107,例4-1。