根轨迹举例
- 格式:ppt
- 大小:232.50 KB
- 文档页数:24
根轨迹的概念特征方程(见传递函数)的根随某个参数由零变到无穷大时在复数平面上形成的轨迹,称为根轨迹。
我们先看下面的例子。
设单位反馈系统的开环传递函数为:当开环放大系数K从零到无穷大变化时,系统的特征根在s平面上怎样分布?解系统有两个开环极点系统的闭环传递函数为系统的特征方程为特征方程的根可见特征根在s平面的位置与K有关。
K=0时,,与开环极点的位置相同。
0<K<1/4时,,均为负实数,分布在0到-1之间,随K从零开始逐渐增大,和也从开环极点的位置开始逐渐接近。
K=1/4时,==-0.5,两个闭环极点重合。
K>1/4时,和都成为共轭复数。
具有相同的负实部,且为常数,而虚部则随K的增加其绝对值也增加。
图3.28给出了系统的特征根在K从零变化到无穷大时,相应位置的变化情况。
这种放大系数K从零到无穷大变化时,特征方程的根在s平面上相应变化的轨迹,称为根轨迹。
根轨迹完整地反映了特征根随参数变化的情况。
根据图3.28的根轨迹图,我们可以知道,在K<1/4时,系统的单位阶跃响应中含有两个指数项函数。
在K=1/4时,两个指数项函数合二为一。
在K1/4时,根轨迹进入复平面,说明系统的单位阶跃响应由单调变化转变为振荡。
从图还可以看出,不论K怎样变化,系统始终是稳定的。
因为全部根轨迹都分布在s平面左半边。
图3.28 特征根随K的变化情况根轨迹的基本条件控制系统的特征方程为(3.145)式中为系统前向通道传递函数,H(s)为系统反馈通道传递函数。
上式可改写为(3.146)将系统的开环传递函数写成零极点形式(3.147)式中K称为根轨迹放大系数或根轨迹增益。
称为开环零点,称为开环极点。
将(3.147)式代入(3.146)式得(3.148)式(3.148)是一个复数方程,可以用复数的幅值和幅角分别表示为(3.149), (3.150)式中是矢量与实轴正方向的夹角,是矢量与实轴正方向的夹角。
我们称式(3.149)为根轨迹的幅值条件,式(3.150)为根轨迹的幅角条件。