2020届四省八校高三上学期第一次教学质量检测数学(理)试卷及答案

江西省新八校2020-2021学年高三上学期第一次联考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{|A y y ==，{}|2,x B y y x A ==∈，则A B 等于（ ） A ．[1,)+∞ B ．R C ．[1,2] D ．[0,4] 2．已知i 为虚数单位2020202111i z i +=-，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -3．α、β为不重合的平面，a 、b 为两条直线，下列命题正确的为（ ） A ．若a α⊂，b β⊂，//αβ，则//a bB ．若//a b ，b β⊂，则//a βC ．若αβ⊥，a α⊂，则a β⊥D ．若a α⊥，b β⊥，a b ⊥，则αβ⊥4．若实数x ，y 满足约束条件2302302250x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≥⎩，则32z x y =+的最小值（ ）A ．5B ．112C ．7D ．1325．若曲线x y e m =-的一条切线为1y x n e =+（e 为自然对数的底数），其中m ，n 为正实数，则m n +的值是（ ）A ．eB ．1eC ．2eD ．2e 6．设函数tan (),,00,22x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 是（ ） A ．奇函数，且存在0x 使得()01f x ≤ B ．奇函数，且对任意0x ≠都有|()|1f x >C ．偶函数，且存在0x 使得()01f x ≤D ．偶函数，且对任意0x ≠都有|()|1f x >7．设双曲线221x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作x 轴的垂线与双曲线的渐近线在第一象限交于点B ，连接1BF 交双曲线的左支于A 点，则2ABF 的周长为（ ）A．2++B2 C．2+D2 8．已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4b =，点O 为其外接圆的圆心．已知6CO BA ⋅=，则角A 的最大值为（ ）A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π 9．十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于89，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）参考数据：（lg 20.3010,lg30.4771==）A ．4B ．5C ．6D ．710．已知抛物线24y x =上有两点()11,A x y 、()22,B x y ，焦点为F ，则111FA FB +=是“直线AB 经过焦点F ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 11．设函数,(),x x x a f x e x x a⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若函数存在最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．1a <C ．1a e ≤D ．1a e< 12．若等差数列{}n a 满足22132a a +=，且11a ≥，求2312a a a a ++的取值范围（ ） A ．(1,1)-B ．[1,1]-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞二、填空题13．已知向量,a b 满足||3b =，||4a b +=，||5a b -=，则向量a 在向量b 上的投影为______．14．()321212x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是_______．15．已知D ABC -是球O 的内接三棱锥，2,4AB BC CA BD DA =====．二面角D AB C --为120，则球O 的半径为________．16．已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)102x a x b x ⎛⎫---⋅-≥ ⎪⎝⎭恒成立，则3b a +的最小值是_____．三、解答题17．如图，在ABC 中，2AB =，3B π∠=，点D 在线段BC 上．（1）若4BAD π∠=，求AD 的长；（2）若3BD DC =，且ABC S =sin sin BAD CAD ∠∠的值． 18．如图，AB 是O 的直径，动点P 在O 所在平面上的射影恰是O 上的动点C ，2PC AB ==，D 是PA 的中点，PO 与BD 交于点E ，F 是PC 上的一个动点．（1）若//CO 平面BEF ，求PC FC的值； （2）若F 为PC 的中点，BC AC =，求直线CD 与平面BEF 所成角的余弦值． 19．李雷、韩梅梅两人进行象棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止．设李雷在每局中获胜的概率为12P P ⎛⎫> ⎪⎝⎭，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为58． （1）求P 的值； （2）设ξ表示比赛停止时李雷的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ．20．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，上、下顶点分别为C ，D ，右焦点为F ，离心率为12，其中24||||||FA FB CD =⋅． （1）求椭圆的标准方程．（2）过椭圆的左焦点F '的直线l 与椭圆M 交于E ，H 两点，记ABE △与ABH 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．21．已知函数2(),()2ln x f x x e g x x -=⋅=-．（1）求函数()y f x =的单调区间．（2）()()()h x xf x g x =+，若0x 为2()y x h x '=极值点，其中()h x '为函数()h x 的导函数．证明：()042ln292ln2h x -<<-．22．平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1121t x t t y t -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数，且1t ≠-）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=． （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点A 的极坐标为（1,0），直线:()l R θαρ=∈与1C 交于点B ，其中(0,)2πα∈过点A 的直线n 与2C 交于M ，N 两点，若n l ⊥，且2||||16,||AM AN OB ⋅=，求α的取值 23．已知函数()|1||21|f x x x =+--．（1）求()3f x ≥-的解集． （2）若存在a ，b ，关于x 的不等式|||2|||(|1||2|)(0)b a b a a x x m a +--≥++-≠有解，求实数m 的取值范围．参考答案1．C【分析】化简集合,A B ，根据交集运算的概念可求得结果.【详解】由2044x ≤-≤可得02≤≤，所以[0,2]A =，因为指数函数2x y =在[0,2]上为增函数，所以14y ≤≤，所以[1,4]B =，∴[1,2]A B =．故选：C2．B【分析】先由i 的n 次幂的性质化简，然后由复数除法法则计算出z ，再得其共轭复数后可得结论．【详解】∵20200202111,i i i i i ====，∴22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴1z i =-，虚部为1-． 故选：B3．D【分析】根据选项直接判断直线a 、b 的位置关系，可判断A 选项的正误；根据已知条件判断a 与β的位置关系，可判断BC 选项的正误；利用空间向量法可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，若a α⊂，b β⊂，//αβ，则a 与b 平行或异面，A 选项错误；对于B 选项，若//a b ，b β⊂，则a β⊂或//a β，B 选项错误；对于C 选项，若αβ⊥，a α⊂，则//a β、a β⊂、a β⊥或a 与β斜交，C 选项错误；对于D 选项，设直线a 、b 的方向向量分别为m 、n ，由于a α⊥，则平面α的一个法向量为m ，b β⊥，则平面β的一个法向量为n ，因为a b ⊥，则m n ⊥，因此，αβ⊥，D 选项正确.故选：D.4．B【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线32z x y =+后可得z 的最小值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：由2250230x y x y +-≥⎧⎨+-≥⎩可得122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故1,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合可行域，平移动直线32z x y =+至A 时，z 取最小值为11132222⨯+⨯=. 故选：B.5．C【分析】设切点坐标()00,x y ，则根据导数的几何意义可求0x 的值，从而可求,m n 的关系.【详解】 e x y '=，设切点坐标为()00,x y ，∴001,1x e x e ==-，∴11m n e e-=-+，∴2m n e+=， 故选：C.6．D【分析】 先判断函数的奇偶性，可排除A ，B ，构造函数()tan h x x x =-可得()h x 的单调递性可得答案.【详解】 因为tan (),,00,22x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以tan ()()x f x f x x --==-， 所以()f x 是偶函数，故AB 错误；令()tan h x x x =-， 则22sin sin cos sin ()cos 1cos c 111os cos x x x x x x x x h x '==-'''-⎛⎫- ⎪⎝⎭=-， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 20cos 1x <<，211cos x>， 所以()0h x '>，()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调递增函数， ()(0)tan 0h x h x x >=-=，即tan x x >，有tan 1x x >， 由偶函数的对称性可得,00,22x ππ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，tan 1x x >. 故选：D.【点睛】 本题考查函数的奇偶性和单调性，解题关键点是构造函数利用导数研究函数的单调性，属于中档题.7．A【分析】根据双曲线方程求出,,a b c ，利用双曲线的定义将2AF 化为12a AF +，可求出2ABF 的周长.【详解】由221x y -=得1,1a b ==，所以c ===2F ，双曲线经过点B 的渐近线为y x =，所以B ，所以2BF =122F F c ==所以1BF ===，所以221212222AB AF BF AB a AF BF BF BF ++=+++=++=，所以2ABF 的周长为2+故选：A【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义将2AF 化为12a AF +是解题关键. 8．A【分析】取AB 的中点D ，则CO BA ⋅1()()2CA CB CA CB =+⋅-可得a ，由余弦定理和基本不等式可得答案.【详解】取AB 的中点D ，则()CO BA CD DO BA CD BA ⋅=+⋅=⋅， ()211()()16622CA CB CA CB a =+⋅-=-=，∴2a =，又∵222cos 2c b a A bc212112882c c c c +⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当c =时等号成立，∴06A π<≤.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 9．C 【分析】归纳出第n 次去掉的线段的长度n a ，然后求得和n S ，解不等式89n S ≥可得． 【详解】记n a 为第n 次去掉的长度，113a =，剩下两条长度为13的线段，第二次去掉的线段长为22212233a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭， 第1n -次操作后有12n -条线段，每条线段长度为113n -，因此第n 次去掉的线段长度为1111122333n n n n n a ---=⨯⨯=， 所以2281391133213n nn S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎦⎛⎫=-≥ -⎪⎥⎭⎭⎢⎣=⎝，2139n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，(lg 2lg3)2lg3n -≤-，2lg 35.42lg 3lg 2n ≥≈-．n 的最小值为6．故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查归纳照理，考查对数的运算．解题关键是归纳出第n 次所去掉的线段长度，计算时要先得出第n 次去掉的线段条数，即第1n -次剩下的线段条数，同时得出此时每条线段长度，从而可得第n 次所去掉的线段总长度，求和后列不等式求解． 10．B 【分析】设出直线方程与抛物线方程联解，利用焦半径公式得解. 【详解】设直线AB 为24,y x x my n x my n⎧==+⎨=+⎩消x 得方程2440y my n --=，∴12124,4y y m y y n +=⋅=-．当111FA FB+=时，则1211111x x +=++，∴121x x ⋅= ∵()221212116y y x x n ⋅⋅===，∴1n =±，显然当直线过焦点时有111FA FB+= 故选：B【点睛】利用焦半径及根与系数关系是解题关键. 11．C 【分析】x a <时，()f x a <无最大值，因此x a ≥时，()x x f x e=有最大值，利用导数求解．【详解】显然x a <时，()f x a <无最大值，x a ≥时，()x x f x e =存在最大值，1()xx f x e -'=，当1x <时，()0f x '>，()f x 递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 递减， 所以1x =时，()f x 取得极大值也是最大值．1(1)f e=，因此()f x 要有最大值，必须满足11a a e ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，所以1a e ≤．故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的最大值问题．解题时要注意()f x 的最大值是在定义域内的最大值，对分段函数来讲，每一段的函数值都不能比最大值大．因此本题在x a ≥时求得最大值1(1)f e =，除这个最大值取得到，即1a ≥以外还有必须满足1a e≤，否则函数无最大值． 12．B 【分析】设13a a θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，[,)θππ∈-，根据11a ≥求出θ的范围，利用等差中项的性质得到2a ，再利用同角公式可求得结果. 【详解】设13a a θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，[,)θππ∈-， 又∵11a ≥，1θ≥，即cos ,1]2θ∈，∴,44ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴1322a a a θθ+==+，∴2312cos sin 3sin cos 3tan 183sin 3cos tan 3tan 3a a a a θθθθθθθθθθ++++====-++++，又∵,44ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以tan [1,1]θ∈-，所以83[1,1]tan 3θ-∈-+， ∴2312[1,1]a a a a +∈-+． 故选：B【点睛】关键点点睛：利用三角换元化为三角函数求解是解题关键. 13．34-【分析】把模用数量积表示后求得a b ⋅，再根据投影的定义计算． 【详解】∵||4a b +=，∴22216a b a b ++⋅=，||4a b -=，∴22225a b a b +-⋅=， ∴94a b ⋅=-，则向量a 在向量b 的投影为34||a b b ⋅=- 故答案为：34-． 14．-26 【分析】首先原式展开，再按照生成法求展开式中的常数项. 【详解】原式33321112222x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，展开式中的常数项是： 2121122333112(2)2(1)226x C x C x x ⎛⎫⎛⎫⋅+-⋅⋅+-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：-2615 【分析】取AB 的中点E ，设ABC 的外心1O 和DAB 的外心2O ，求出121O E O E ==，连OE ，1OO ，2OO ，则12120O EO ∠=，求出OE ，再根据勾股定理可求出OA ，即为球O 的半径.【详解】2112O E BD == 【点睛】关键点点睛：利用ABC 的外心和DAB 的外心以及球的性质求解是解题关键.163 【分析】根据题中条件，先讨论10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦，根据不等式恒成立求出114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦；再讨论1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭，求出114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦得到b ，再由基本不等式即可求出结果.【详解】当10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦时，(1)10a x --<，即2402x b x--≤恒成立， 24222x x y x x-==-是10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦， 当1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭时，(1)10a x -->，即2402x b x--≥恒成立， 24222x x y x x-==-是1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦，∴114(1)21b a a ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，∴13(1)332(1)b a a a +=+-+≥-，当12a =+时等号成立．3. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 17．（1）AD =；（2）sin sin BADCAD∠∠=【分析】（1）利用正弦定理求解即可.（2）用余弦定理求出AC =sin 3sin 2BAD ACCAD ∠=∠，代入AC 值求解即可. 【详解】解：（1）∵sin sin AD AB B ADB=∠，且75ADB ︒∠==，∴AD = （2）∵1sin 23ABCA SB BC π==⋅⋅， 故算得4,3,1BC BD DC ===，在ABD △中，利用正弦定理有32sin sin BAD ADB=∠∠，在ADC 中，有1sin sin ACDAC ADC=∠∠ ∴sin 3sin 2BAD ACCAD ∠=∠，∵21416224122AC =+-⨯⨯⨯=，∴AC =∴sin sin BADCAD∠∠=18．（1）31PC FC =；（2）3. 【分析】（1）由线面平行得出线线平行，从而将PC FC转化为POEO ，再借助三角形的重心即可求解；（2）建立空间直角坐标系，分别求得11,,122CD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭和平面BEF 的法向量，结合夹角公式即可求解． 【详解】解：（1）因为//CO 平面BEF ，所以//EF OC ， 所以PC POFC EO=．因为D ，O 分别为,PA AB 的中点， 所以点E 为PAB △的重心，所以31PO EO =，即31PC FC = （2）如图所示建立空间直角坐标系．∴(1,0,0),(1,0,2),(0,1,0),(0,0,0),(0,1,0)C P A O B -． ∵1211(1,0,1),,0,,,,13322F E D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴112112,,1,,0,,,1,223333CD EF BE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =00EF n BE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴2103312033x z x y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩令1x =，∴(1,1,2)n =-1111(1)(2)22cos ,3||||1CD n CD n CD n ⎛⎫⨯+-⨯+-⨯- ⎪⋅〈〉===⋅直线CD 与平面BEF 【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． （2）、用空间向量坐标公式求解. 19．（1）34p =；（2）分布列见解析，3316. 【分析】（1）第二局比赛结束时比赛停止等价于李雷连胜2局或韩梅梅连胜2局，由此列式可解得结果；（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，求出ξ的每个取值的概率可得分布列，根据期望公式可得所求期望值. 【详解】（1）依题意，当李雷连胜2局或韩梅梅连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束， ∴有225(1)8p p +-=，解得34p =或14p =，∵12p >，∴34p =（2）依题意知，ξ的所有可能值为0，1，2，3， ∴111(0)4416P ξ==⨯= ∴1213116(1)4444256P C ξ==⨯⨯⨯⨯= ∴112233131345(2)44444464P C C ξ==⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=∴12133354(3)4444256P C ξ==⨯⨯⨯⨯=∴随机变量ξ的分布列为：故6455433232566425616E ξ=+⨯+⨯=． 【点睛】关键点点睛：求出随机变量ξ的所有可能取值的概率是解题关键.20．（1）22143x y +=；（2【分析】（1）把已知离心率为12，其中24||||||FA FB CD =⋅用,,a b c 表示后可解得,a b ，得椭圆方程；（2）当直线l 无斜率时，120S S -=，当直线l 斜率存在时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠，设()11,E x y ，()22,H x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，1221212||||2S S y y y y -=-=+‖，代入12x x +转化为k 的函数，由基本不等式可得最大值． 【详解】（1）有条件可知24()()(2)a c a c b +=-，∴2131a c e b a c e++===--，又12c a =，22134a a -=，∴24a =，∴椭圆方程为22143x y +=．（2）当直线l 无斜率时，直线方程为1x =-，此时12331,,1,,022D C S S ⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当直线l 斜率存在时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠，设()11,E x y ，()22,H x y联立得22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y 得()22223484120k x k x k +++-=， 显然0∆>，方程有根，221212228412,3434k k x x x x k k-+=-=++． 此时()()1221212112212||2||||22112(2)34k S S y y y y k x k x k x x k-=-=+=+++=++=+‖． 因为0k ≠，所以121234||||S S k k -=≤==+，（k =±时等号成立），所以12S S -【点睛】方法点睛：本题考查由离心率求椭圆方程，考查椭圆中面积问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程，设交点坐标，直线方程与椭圆方程联立消元应用韦达定理，把此结果代入题中其他条件，其他量得与参数有关的式子，然后求解．21．（1）单调增区间为(,0)-∞和(2,)+∞；函数的单调减区间(0,2)；（2）证明见解析. 【分析】（1）先求出函数()f x 的定义域，求出()'f x ，令()0f x '>和()0f x '<可得答案.(2)设2()()x x h x ϕ'=，求出其导函数，得出其单调区间，得出极值点0x 满足的条件002x x e =，利用对数可得00ln ln 2x x +=，再代入可得到()0020222ln 2h x x x =+-，然后由导数得到单调性，从而证明结论. 【详解】（1）2()xe f x x=，∵()f x 的定义域为{|0}x x ≠．∴3(2)()x e x f x x'-=，由()0f x '>可得2x >或0x <，由()0f x '<可得02x << 所以函数()f x 的单调增区间为(,0)-∞和(2,)+∞．单调减区间为(0,2)（2）∵()()2ln 0x e h x x x x=->，∴22()x x xe e xh x x --='， 令2()()2xxx x h x xe e x ϕ=-'=-,，则()2x x xe ϕ=-'又()10()xx x e ϕ'=+>' 在0x >时恒成立，所以()x ϕ'在()0+∞，是单调增函数 又∵10,(1)02ϕϕ⎛⎫<''>⎪⎝⎭，则存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()0x ϕ=， 所以在()00,x 上()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减，在()0,x +∞上()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增.所以0x 为()ϕx 的极值点，则002x x e =两边取对数可得()00ln ln 2x x e=，即00ln ln 2xx +=∴()()0000022000222ln 2ln 222ln 2x e h x x x x x x x =-=--=+- 令22()22ln 2x x x φ=+-，∴333424()20x x x xφ-=-='+<在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立 ∴()x φ在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()()0142ln 2192ln 22h h x h ⎛⎫-=<<=- ⎪⎝⎭∴()042ln292ln2h x -<<- 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数求函数的单调区间和讨论函数的极值以及证明不等式，解答本题的关键是分析出极值点0x 满足的条件01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和002xx e =，以及由此得到00ln ln 2x x +=，对隐零点的整体代换，由此得出()0020222ln 2h x x x =+-，属于中档题. 22．（1）1(sin cos ρρθθ=≠+，24y x =；（2）4πα=.【分析】（1）1C 参数方程化为211221x t y t ⎧=-+⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，消去参数可得普通方程，再化为极坐标方程即可，2C 的极坐标方程化为22sin 4cos ρθρθ=，再利用转换公式求解即可.（2）根据极径的几何性质求得1||sin cos OB αα=+，求出直线n 的参数方程，再根据参数的几何意义，结合韦达定理可得24||||cos AM AN α⋅=，进而解方程可得答案.【详解】（1）1121t x t t y t -⎧=⎪⎪+⇒⎨⎪=⎪+⎩211221x t y t ⎧=-+⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， ∴1(1)x y x +=≠-．∴1(sin cos ρρθθ=≠+，∵22224cos sin 4cos sin 4cos sin θρρθθρθρθθ=⇒=⇒=， ∴24y x =（2）直线:()l R θαρ=∈与1C：1(sin cos ρρθθ=≠+交于点B ，所以1||sin cos OB αα=+，点A 的极坐标为（1,0），则直角坐标也是（1,0）， 因为n l ⊥，所以直线n 的倾斜角2πα+，其参数方程可以设为1cos 2sin 2x t y t παπα⎧⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，化为1sin cos x t y t αα=-⎧⎨=⎩，代入抛物线方程有22cos 4sin 40t t αα⋅+⋅-=， ∴1224cos t t α⋅=-，可得24||||cos AM AN α⋅=，则2224||||cos 16||1sin cos AM AN OB ααα⋅==⎛⎫⎪+⎝⎭∴tan 1,tan 3αα==-（舍去）， ∴4πα=【点睛】方法点睛：消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成x 和y 即可. 23．（1）{|15}x x -≤≤；（2）5144m -≤≤. 【分析】（1）利用零点分段法，分1x ≤-，112x -<≤，12x >三段去绝对值解不等式；（2）不等式转化为121|1||2|b bx x m a a+--≥++-，将不等式能成立转化为()min max12121b b x x m a a ⎛⎫++-≤+-- ⎪⎝⎭，分别求不等式两边的最值，求得m 的取值范围. 【详解】（1）当1x ≤-时，()2f x x =-，∴23,1x x -≥-≥-，∴1x =-． 当112x -<≤时，()3f x x =，∴33,1x x ≥-≥-，∴112x -<≤．当12x >时，2()f x x =-+，∴23,5x x -+≥-≤，∴152x <≤． 综上所述：解集为{|15}x x -≤≤（2）|||2||1||2|||||b a b a x x m a a +--≥++- ∴121|1||2|b bx x m a a+--≥++-若存在a ，b ，关于x 的不等式有解， 则()minmax12121b b x x ma a ⎛⎫++-≤+-- ⎪⎝⎭()()121221x x m x x m m ++-≥+--=+，设b t a =，则()1113121112222t t t t t t t ⎛⎫+--=+----≤+--= ⎪⎝⎭，∴3|21|2m ≥+，∴5144m -≤≤ 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．。

绝密★启用前云贵川等四省名校2020届高三年级上学期第一次大联考数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集为R ,集合{}2|log 1A x x =<，{|B x y ==，则()R A B =ð A ．{}02x x << B ．{}|01x x << C ．{}|11x x -<< D ． {}|12x x -<<2．若()(1i)2z i --=，则z =A. 12i -+B. 12i --C. 12i -D. 12i +3．已知数列{a n }各项都是正数，且满足221()n n n a a a n N *++=∈，516a =，764a =，则数列{a n }的前3项的和等于A ．7B ．15C ．31D ．634．古希腊数学家希波克拉底研究过这样一个几何图形(如图)：分别以等腰直角三角形ABC 的三边为直径作半圆.则在整个图形内任意取一点,该点落在阴影部分的概率为A ．2ππ- B ．2+2ππ- C ．2+2π D ．+2ππ 5. ()()421+21x x x -+的展开式中含3x 的项的系数为A. -8B. -6C. 8D. 66．已知函数()e ln ln x x f x x e a x =-+的图象在点()()1,1T f 处的切线经过坐标原点,则a =A. e -B. eC. 1e e ---D. 1e -7．函数()2(x)0622x x f x -=<≤-的图象大致形状为８．如图,几何体111A B C ABC -是一个三棱台,在111,,,,,A B C A B C 6个顶点中取3个点确定平面α,111A B C m α=平面,且//m AB ,则所取的这3个点可以是A ．1,,ABC B ．11,,A B C C ．1,,A B CD ．11,,A B C9.某程序框图如图所示,其中21()g n n n =+,若输出的20192020S =,则判断框内可以填入的条件为A ．n ＜2020？B ．n ≤2020？C ．n ＞2020？D ．n ≥2020？10. 双曲线C ：224x y -=的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若=PO PF ,则△PFO 的外接圆方程是A. 220x y +-=B. 220x y ++=C. 220x y +-=D. 220x y +--=。

S←S+i End For Print S
1 to 4
答案：11
4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了 n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频
率分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为 100，则 n 的值为
．
答案：1000
5．某校有 A，B 两个学生食堂，若 a，b，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个
．
答案： a 0 或 a 1
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤．）
15．（本小题满分 14 分）
已知集合 A＝ x y log2 (4x2 15x 9)，x R ，B＝ x x m 1，x R ．
．
4
3
4
4
答案： 6 3
11．直角△ABC 中，点 D 为斜边 BC 中点，AB＝ 6
3
，AC＝6，
uuur AE
1
uuur ED ，则
uuur AE
uuur EB
＝
．
2
B
D
E
A
C
答案：14
12．已知奇函数 f (x) 满足 f (1 x) f (1 x) ，若当 x(﹣1，1)时， f (x) lg 1 x 且 f (2019 a) 1 (0
食堂用餐的概率为
．
答案： 1 4
6．已知 是第二象限角，其终边上一点 P(x， 5 )，且 cos 2 ，则 x 的值为
．
3
答案：﹣2
7．将函数 y sin(x ) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左 3

2020届“四省八校”高三第一次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．若集合{}2|log (1)1M x x =-…，则下列结论正确的是（） A.(,3]M =-∞MC.M ∈D.M ⊆【答案】D【解析】化简集合{}13M x x =<≤，判断选项即可. 【详解】化简集合{}{}2|log (1)113M x x x x =-=<≤…，判断选项得M ⊆. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式的解法、元素与集合的关系、集合与集合的关系，属于基础题．2．设函数2,1()(2),1x x f x f x x ⎧=⎨+<⎩…，则(3)f -的值为（）A.12B.2C.18D.8【答案】B【解析】根据分段函数，得(3)=(3+2)=(1)=(1+2)=(1)=2f f f f f ----. 【详解】∵函数2,1()(2),1x x f x f x x ⎧=⎨+<⎩…，∴1(3)=(3+2)=(1)=(1+2)=(1)=2=2f f f f f ----. 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数解析式求值的问题，关键在于正确理解，属于基础题． 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1111S =，则（） A.1a = B.1a =C.a a >D.a a >【解析】利用等差数列的通项公式与前n 项和公式即可求出． 【详解】由等差数列的性质与前n 项和公式可得：1111S =＝()111611112a a a +=，解得61a =．故选：B ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用，属于基础题． 4．已知3log 2a =，4log 5b =，ln 2c =，则,,a b c 的大小关系为（） A.a c b << B.c a b << C.a b c << D.c b a <<【答案】A【解析】利用对数函数的单调性直接求解. 【详解】利用对数函数的单调性可得:44log 541log b =>=，且2231log ln 2log log e e e c a =>==>=，∴a c b <<．故选：A ． 【点睛】本题考查三个数大小的比较，考查对数函数的单调性等基础知识，属于基础题． 5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点(1,3)P -，则2cos2cos ()4πθθ++=（）A.0B.25C.35D.45【答案】A【解析】根据三角函数的定义，求出cos ,sin θθ，进而求出cos 2,sin 2θθ，化简21sin 2cos 2cos ()cos 2422πθθθθ++=+-代入计算即可.【详解】角θ终边上一点(1,3)P -，根据三角函数的定义，得OP ==∴cos θ＝x OP10=，进而得sin 10θ==-， ∴224cos 2cos sin θθθ=-=-，3sin 22sin cos θθθ==-，化简21cos(2)1sin 22cos2cos ()cos2cos24222πθπθθθθθ++++=+=+- 341413505225210-=-+-=-++=. 故选：A ． 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，正余弦二倍角的化简求值，考查计算能力，属于基础题． 6．若13a t =-，23b t =+（t R ∈且2133t -<<），则11a b+的最小值为（） A.1 B.2C.3D.4【答案】D【解析】由,a b 的式子得0,0,1a b a b >>+=，展开()121a b a b b a a b ⎛⎫+=+⎝+⎪+ ⎭，利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出. 【详解】13a t =-，23b t =+（t R ∈且2133t -<<），∴0,0a b >>，且1a b +=， 所以()1111422a b a b a b a a b b +=+⎛⎫+=+ ⎪⎝+≥+=⎭， 当且仅当12a b ==取等号. 故选：D 【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，考查了变形能力与计算能力，属于基础题． 7．已知函数()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()f x 单调递减，若(2)(1)f a f a >-，则a 的取值范围是（ ）A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】结合题意,大致绘制函数图像,利用数形结合思想,建立不等式,计算范围,即可.结合题意,()f x 为偶函数,则该函数关于y 轴对称，当0x ≥时，()f x 单调递减，根据大致绘制函数图像,要满足()()21f a f a >-,则要求121a a a -+<<-,解得11,3a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,故选C. 【点睛】考查了偶函数的性质,考查了函数单调性,考查了数形结合思想,难度中等. 8．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-，则OC =（） A.1233AB AC -+ B.2133AB AO - C.1233AB AC -D.2133AB AC -+【答案】A【解析】根据已知关系式及向量的加减法运算计算即可． 【详解】ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-，如图所示：由22AO DO OD =-=，且D 为BC 的中点，所以O 为AD 的三等分点靠近点D ，且2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，∴()2133AO AD AB AC ==+，又2133BO BD BA =+， 从而2OD OB OC =+，即AO OB OC =+， 所以()1AB AC ++21BD BA +=()()111123333333BC AC AB AC ABAB AC BA AB AC AB --+++=++-=. 故选：A 【点睛】本题考查向量的加减法运算，三角形中线的性质应用，平面向量基本定理的应用，属于中档题．9．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知cos )0b c A A +-=，b =，2c =，则A =（） A.12πB.512π C.4π D.3π 【答案】A【解析】由已知条件和正弦定理得sin cos sin sin 03A C A C +=，进而得tan C =C，再由正弦定理得sin B =B ，即可求出角A . 【详解】由cos )0b c A A +-=及正弦定理得：sin sin cos )0B C A A +-=， 且A B C π++=，所以sin()sin cos sin 0A C A C A C ++-=，即sin cos sin 0A C A C +=，因为sin 0A >，tan C =23C π∴=，由3sin sin sin b c B C B =⇒=，sin 2412B B A BC πππ⇒=⇒=⇒=--=． 故选：A 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，三角形内角和的性质，考查了计算能力，属于基础题. 10．定义在R 上的奇函数()f x 满足：函数(1)f x +的图象关于y 轴对称，当[0,1]x ∈时，A.()f x 的图象关于y 轴对称B.()f x 的最小正周期为2C.当[2,3]x ∈时，2()(2)f x x =-D.()f x 在[2,1]--上是减函数【答案】C【解析】由已知条件得()f x 的图象关于1x =对称，且()f x 为奇函数，得周期为4，又[0,1]x ∈时，2()f x x =-，对选项判断即可.【详解】函数(1)f x +的图象关于y 轴对称，所以()f x 的图象关于1x =对称，故A 错误；(1)(1)f x f x ∴+=-，进而得(2)()f x f x +=-.又()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-， (2)()f x f x ∴+=-，进而得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以周期为4，故B 错误；当[0,1]x ∈时，2()f x x =-，所以当[2,3]x ∈时，则2[0,1]x -∈，()2(2)2()f x x f x -=--=-，所以()2()2f x x =-，故C 正确；当[0,1]x ∈时，2()f x x =-，所以当[2,1]x ∈--时，则2[0,1]x +∈，()2(2)2()f x x f x +=-+=-，所以()2()2f x x =+在[2,1]--上是增函数，故D 错误. 故选：C 【点睛】本题考查了函数的基本性质：奇函数和对称性，函数解析式的综合应用，属于中档题. 11．已知下列四个命题，其中正确的个数有（）①'1(2)2x x x -=⋅，②'(sin 2)cos 2x x =，③'(log )ln xa x a a =（0a >，且1a ≠），④'1(ln 2)2= A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】A【解析】由指数，对数，三角函数的求导公式一一判断即可. 【详解】①'(2)2ln x x x =⋅，所以①错误； ②'(sin 2)2cos 2x x =，所以②错误； 1④'(ln 2)0=，所以④错误. 故选：A 【点睛】本题考查了指数，对数，三角复合函数的求导公式，熟练掌握公式是关键，属于基础题. 12．将函数2()2sin(0)4x f x ϕϕπ+=<<的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()(2)2g x g x π=--+，则ϕ的值为（）A.23πB.3π C.6π D.2π 【答案】B【解析】化简2()2sin1cos()422x x f x ϕϕ+==-+，利用三角函数图象平移规律得()1cos()262x g x πϕ=--+，由()(2)2g x g x π=--+，得()g x 关于(,1)π对称，进而求出ϕ. 【详解】化简2()2sin1cos()422x x f x ϕϕ+==-+，函数()f x 的图象向右平移3π个单位，得()1cos()262x g x πϕ=--+，由()(2)2g x g x π=--+，得()(2)2g x g x π+-=，所以()g x 关于(,1)π对称，进而2622k ππϕππ-+=+，k Z ∈.2()3k k Z πϕπ∴=+∈，又(0,)3πϕπϕ∈⇒=．故选：B 【点睛】本题考查了三角函数图象平移规律的应用，余弦函数图象和对称中心的应用，属于基础题.二、填空题13．已知向量(sin ,cos )a θθ=，()R θ∈，且()a b a +⊥，则b 在a 的方向上的投影为_______． 【答案】1-【解析】由已知条件得1a =，且()0a b a +⋅=，得1a b ⋅=-，再由投影公式a ba⋅r r r 计【详解】已知向量(sin ,cos )a θθ=，()R θ∈，得2sin 1a θ==，且()a b a +⊥，所以2()0a b a a a b +⋅=+⋅=，得1a b ⋅=-， 则b 在a 的方向上的投影为111a b a⋅-==-. 故答案为：-1 【点睛】本题考查了平面向量数量积和模长的的运算，向量的投影公式的应用，属于基础题.14．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是____【答案】10【解析】作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z 的最大值． 【详解】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线0l ：20xy +=在可行域内平移当过点A 时，2z x y =+取得最大值.由34100280x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得：()2,4A ，max 10z ∴=. 故答案为：10 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基15．在数列{}n a 中，12a =，当2n …时，1lg 1n n na a n -=+-，则10a =_____． 【答案】3【解析】由1lg1n n na a n -=+-，2n …，用累加法求出2lg n a n =+()2n …，当1n =时，12a =符合，即可求出10a .【详解】在数列{}n a 中，当2n …时，1lg 1n n n a a n --=-，∴121lg 2n n n a a n ----=-，212lg 1a a -=，以上1n -个累加，得()112lg()lg 2121n n n a a n n n n --==--…， 即：2lg n a n =+()2n …，验：当1n =时，12a =符合. 所以：2lg n a n =+，即102lg103a =+= 故答案为：3 【点睛】本题考查了数列的递推式，累加法求数列的通项公式，注意检验，属于基础题. 16．定义在R 上的函数()f x 的导数为()f x '，若'()2()f x f x <，则不等式48()(32)x e f x e f x -->+的解集是_______．【答案】12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭【解析】由已知条件得函数2()()exf xg x =在R 上单调递减，由不等式48e ()e (32)x f x f x -->+，得264()(32)e ex x f x f x -+-+>，从而32x x -<+成立，解出x 的范围即可. 【详解】由于'()2()f x f x <，且20x e >，即2'2()2()0xx ef x e f x -<．令2()()ex f x g x =，则'22'22()e 2e ())()0e (x x x f x f x g x -=<，所以()g x 在R 上单调递减， 由不等式48e ()e(32)xf x f x -->+，得264()(32)e ex x f x f x -+-+>成立，即()(32)g x g x ->+．由于()g x 在R 上单调递减，所以32x x -<+，解得12x >-． 故答案为：12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了构造函数，利用导数研究函数的单调性，也考查了不等式的计算，属于中档题.三、解答题17．已知在ABC ∆中，222a c b +=． （1）求角B 的大小；（2）b =BD 为AC 边上的高，求BD 的取值范围．【答案】（1）4B π=；（2）(0,1+【解析】（1）由已知条件和余弦定理得cos 2B =，即可求出角B ；（2）由11sin 22S ac B b BD ==⋅，得12BD ac =，由222a c +=和基本不等式得2ac +…BD 的取值范围. 【详解】（1）在ABC ∆中，且222a c b +-，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-===， 0B π<<，∴4B π=（2）1111sin 22222S ac B b BD ac BD ac ==⋅⇒=⇒=，由余弦定理：222222222a c ac a c ac =+-⋅⇒+=+…，当且仅当a c =取等号，2ac ⇒=+…1(0,1BD ac =∈+.本题考查了正余弦定理的应用，也考查了基本不等式求最值，考查了计算能力，属于基础题.18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12(1)(2)n n S S n -=+…． （1）求n S ；（2）求数列{}n S 的前n 项和n T ．【答案】（1）122n n S +=-；（2）2242n n T n +--=【解析】（1）由12(1)(2)n n S S n -=+…①，得122(1)(3)n n S S n --=+…②，①-②得，12(3)n n a a n -=…，把12a =，代入①得24a =，满足212a a =，得{}n a 是等比数列，即可得n S ；（2）由（1）得122n n S +=-，利用分组求和即可求得n T .【详解】（1）由12(1)(2)n n S S n -=+…①，∴122(1)(3)n n S S n --=+…②， 由①-②得，12(3)n n a a n -=…，∴数列234,,,a a a 为等比数列，在①中，令2n =，有212(1)S S =+，即1212(1)a a a +=+，又12a =， ∴24a =，满足212a a =，∴{}n a 是以12a =为首项，公比为2q =的等比数列，其前n 项和12(12)2212n n n S +-==--.（2）因为n T 为数列{}n S 的前n 项和，所以23112222222n n n T S S S +=+++=-+-++-2314(12)2222212n n n n +-=+++-=--2242n n +=--．【点睛】本题考查了由数列的递推式证明数列是等比数列，注意n 的取值范围，也考查了数列的分组求和，属于中档题.19．设(2,c o s ())4412xx a tan π=+，2(cos ,2cos())4412x x b π=-+，函数()1f x a b =⋅-．（1）求()f x 的定义域及单调增区间； （2）若将图象上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当[0,]x π∈时，求函数()g x 的值域．【答案】（1）定义域为{|24,}x x k k Z ππ≠+∈，增区间为410(4,24),(24,4),33k k k k k Z ππππππππ++++∈；（2）[2【解析】（1）由正切函数的定义得函数()f x 的定义域，由平面向量数量积的坐标运算和正余弦的倍角公式化简得()f x sin()26x π=-，再由正弦函数的单调性得()f x 的单调增区间；（2）由()sin y A ωx φ=+的伸缩变化规律得())6g x x π=-，当[0,]x π∈，进而得5[,]666x πππ-∈-，即可求函数()g x 的值域. 【详解】（1）已知(2,cos())4412x x a tanπ=+，2(cos ,2cos())4412x x b π=-+，且()1f x a b =⋅-，由42x k ππ≠+，得函数()f x 的定义域为：{|24,}x x k k Z ππ≠+∈， 所以22()12cos 2cos ()144412x x x f x a b tan π=⋅-=-++- 2sin cos 1cos()14426x x x π=-+++-13sinsin sin 2222222x x x x x =-+-=-+1cos )sin()222226x x x π=-=- 由3(2,2),2622x k k k Z πππππ-∈++∈，得()f x 的增区间为410(4,4),33k k k Z ππππ++∈， 综合()f x 的定义域，得到()f x 的增区间为410(4,24),(24,4),33k k k k k Z ππππππππ++++∈.（2）函数()f x sin()26x π=-图象上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得())6g x x π=-，当[0,]x π∈，5[,]666x πππ-∈-，得1s i n ()[,1]62x π-∈-所以()g x的值域为[． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算和正余弦倍角公式的应用，正切函数的定义，也考查了()sin y A ωx φ=+的伸缩变化规律及正弦函数的值域等问题，属于中档题. 20．已知函数321()313f x x ax x =+++ （1）若()f x 有2个极值点，求a 的取值范围；（2）若2a =，且42m -≤≤-，求()f x 在区间[,1]m m +内的最大值()g m ．【答案】（1）a >a <（2）321,43()1231,323m g m m m m m --⎧⎪=⎨+++-<-⎪⎩剟… 【解析】（1）先求导'2()23f x x ax =++，根据题意得'()0f x =有两个不同的解，则24120a ∆=->，解出a 的范围即可；（2）当2a =时，'2()43(3)(1)f x x x x x =++=++，得()f x 在区间(,3),(1,)-∞--+∞上单调递增，区间(3,1)--上单调递减，按3113m m -+-⎧⎨-⎩剟…或31131m m -+-⎧⎨-<-⎩剟…分类讨论求出()max f x 即可. 【详解】（1）已知函数321()313f x x ax x =+++，则'2()23f x x ax =++， 要使()f x 有2个极值点，即'()0f x =有两个不同的解，则24120a ∆=->，解得a >a <（2）当2a =时，函数321()2313f x x x x =+++，则'2()43(3)(1)f x x x x x =++=++，所以()f x 在区间(,3),(1,)-∞--+∞上单调递增，区间(3,1)--上单调递减，①若3113m m -+-⎧⎨-⎩剟…，解得43m --剟，()f x 在[,3)m -上单调递增，(3,1]m -+单调递减，所以max ()(3)1f x f =-=； ②若31131m m -+-⎧⎨-<-⎩剟…，解得32m -<-…，()f x 在[,1]m m +上单调递减，所以32max 1()()2313f x f m m m m ==+++； 综上：321,43()()1231,323maxm f x g m m m m m --⎧⎪==⎨+++-<-⎪⎩剟…. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，以及函数在某个区间上的最大值等问题，也考查了分类讨论思想，属于中档题.21．已知函数22()ln f x x ax a x =--． （1）求()f x 的单调性；（2）若对定义域内任意的x ，()0f x …都恒成立，求a 的取值范围； （3）记()()h x f x ax =+，若()h x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有2个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）34[2e ,1]a ∈-；（3）[e,(2e,e]a ∈-【解析】（1）先求导得'(2)()()x a x a f x x+-=，按0a =，0a >，0a <分类讨论即可；（2）由（1）得函数()f x 的最小值，只要最小值不小于0即可解出a 的范围；（3）化简得22()ln h x x a x =-，求导得22'2()x a h x x-=，按0a =，0a >，0a <分类讨论得()h x 的单调性，根据题意即可求出a 的范围. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，222'2(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x--+-=--==当0a =时，'()20f x x =>恒成立，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，(,)a +∞上单调递增； 当0a <时，()f x 在(0,)2a -上单调递减，(,)2a-+∞上单调递增. （2）由（1）知：当0a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以2()0f x x =…恒成立；当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，(,)a +∞上单调递增，所以2min ()()ln 0f x f a a a ==-…，解得01a <…； 当0a <时，()f x 在(0,)2a -上单调递减，(,)2a-+∞上单调递增， 所以222min()()ln()02422a a a a f x f a =-=+--…，解得342e 0a -<…综上：34[2e ,1]a ∈-（3）记()()h x f x ax =+，化简得22()ln h x x a x =-，1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以222'2()2a x a h x x x x-=-=； 当0a =时，'()20h x x =>，所以()h x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，不符合题意，舍去；当0a >时，()h x在上单调递减，)+∞上单调递增，要使()h x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有2个零点，1,01()0()0e e h h e h e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎪<⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩……，解得a ∈； 当0a <时，()h x在(0,上单调递减，()+∞上单调递增，要使()h x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有2个零点，1,e e (01()0e (e)0h h h ⎧⎡⎤⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪<⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩……，解得[e,a ∈-；综上：[e,(2e,e]a ∈-．【点睛】本题考查了利用导数研究含参函数的单调性，以及由函数的最小值和零点等问题求参数的范围，利用了分类讨论思想，属于中档题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与曲线C 分别交于A ，B 两个不同的点． （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）若点P 坐标为(1,0)，求11||||PA PB +的取值范围． 【答案】（1）曲线22:40C x y x +-=，直线l ：若2πα=，1x =；若2πα≠，tan (1)y x α=-；（2）4]3【解析】（1）由4c o s ρθ=，得24c o s ρρθ=，化简得2240x y x +-=，直线l ：按2πα=和2πα≠分别求出直线l 即可；（2）设A ，B 参数分别为12,t t ，把将直线l 参数方程代入曲线C 得22cos 30t t α--=，得12122cos ,3t t t t α+==-，化简121211||||t t t PA PB t -+=代入即可. 【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，得24c o s ρρθ=，所以22:40C x y x +-=，直线l ：若2πα=，1x =，若2πα≠，tan (1)y x α=-.（2）点P 坐标为(1,0)，∴点P 在直线l 上，设A ，B 参数分别为12,t t ，将直线l ：1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），代入曲线22:40C x y x +-=，得22cos 30t t α--=，所以12122cos ,3t t t t α+==-，∴1212114[]||||333t t PA PB t t -+==． 【点睛】本题考查了极坐标，参数方程和直角坐标方程的转化，也考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题.23．已知函数()|2||1|,R f x x a x a =-+-∈． （1）当1a =时，求满足()1f x …的x 的取值范围；（2）若不等式()4|1|f x x --…有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1[,1]3；（2）26a -剟 【解析】（1）当1a =时，按1x …，112x <<，12x …分类讨论求满足()1f x …的x 的范围；（2）由题意得|1|22a x x -+-…有解，又|1|122a a x x -+--…，所以122a-…成立解出a 的范围即可. 【详解】（1）当1a =时，函数()|21||1|f x x x =-+-当1x …时，321,1x x -≤≤，即1x =； 当112x <<时，1x …，即112x <<； 当12x …时，231x -…，13x …，即1132x 剟. 综上：1[,1]3（2）若不等式()4|1|f x x --…有解，则|2||1|4|1||1|22ax a x x x x -+---⇔-+-剟， 又|1|122a a x x -+--…，∴|1|22a x x -+-…有解122a⇔-…， ∴26a -剟． 【点睛】本题考查了含绝对值的几何意义，绝对值不等式的解法，函数的有解问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．。