第二章 薄板振动

弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。

设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。

解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。

设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。

解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-=、 所以：9.87(/)0.2n g rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x =-⎧⎨=⎩ （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=-弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===- 因此：振幅为、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。

重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。

<解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+ 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++= 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k "一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。

薄板振动分析的辛空间波传播方法张亚辉;马永彬【摘要】基于弹性力学问题求解的辛方法,结合波传播理论,提出一个薄板结构稳态动力响应分析的新思路.首先,将薄板振动的控制方程导入辛对偶体系,应用分离变量法得到薄板波传播问题的本征值方程,求解得到本征值(波传播参数)与本征向量(波形);然后将物理空间求解体系转换到波空间,进而结合波传播以及波反射关系求解薄板结构的受迫振动问题.算例给出了矩形薄板在四边简支(SSSS)和一对边固支、另一对边简支(CCSS)两种边界条件下的输入点导纳以及动能和应变能;四边简支的结果与模态叠加法给出的解析解以及波有限元法的结果做了对比,对边固支一对边简支边界下的结果与有限元程序系统ABAQUS的参考解以及波有限元法结果做了对比,对比结果验证了该方法的精确性与有效性.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2014(033)012【总页数】7页(P1-6,14)【关键词】辛对偶体系;波导;波有限元;波传播【作者】张亚辉;马永彬【作者单位】大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室,大连116023;大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室,大连116023【正文语种】中文【中图分类】O326基于模态思想的有限元方法在进行结构振动分析时，在结构一个振动波长内需要划分6至15甚至更多单元才能准确地模拟结构的振动,而在高频振动下，结构振动波长非常小，应用有限元方法不得不采用大量的自由度来分析结构的振动,因此，高频振动问题需要寻求更为有效的分析方法。

统计能量分析(SEA)作为高频振动分析的典型方法[1]，自上世纪60年代提出以来，已经推广到多个领域并得到成功的应用。

采用SEA方法进行高频振动分析的计算成本极小，不过只适用于初步验证阶段。

因为SEA按振动模式将结构分为若干子系统，分析结果只能给出各子系统能量均方值，随着对结果的需求更加精细化，还需要借助别的方法进行辅助分析。

从另一个角度来看，结构的振动可以用波的传播、反射以及传递的形式来表述[2]。

毕业设计（论文）任务书摘要随着科技水平的发展，随着振动理论以及结构学的发展，越来越多的结构，开始使用薄板，薄板，即为厚度小于长度方向的1/6。

由于薄板，重量轻，体积小，节省材料。

在一定程度上，尤其是对以工业生产，可以降低成本。

但是，由于薄板的厚度比较薄，在实际情况中的振动，尤其是长期的振动条件下，损坏可能会较严重。

为了解决薄板的耐震寿命，以及了解在振动环境中，薄板结构的振动特点，做了实验研究。

首先，薄板的理论研究，已经趋于成熟。

无论是从基本的薄板的振动理论，还是发展到今天的各种薄板振动精确解的求解方法。

所以，对于理论的学习，是做薄板振动实验的基础。

从理论的角度，了解了薄板结构在边界条件下的振动特点，包括振动阻尼、频率以及振型函数的特点。

其次，是对于实验仪器的选择。

包括，激振方式的选择，传感器的选择，以及后续处理实验设备的选择和选择的注意事项。

再次，在实验模拟条件下，进行薄板的振动研究。

通过力锤进行敲击，通过传感器采集信号，以及后续的处理系统，得到薄板振动的振型函数、振动频率、以及直观的了解薄板结构在试验状态下的振动特点，分析了自由振动条件下和强迫振动条件下，薄板结构的振动特点，而且还分析了，不同的试验条件下，不同的输入条件下得到不同的输出响应，以及各自的特点。

本文对薄板结构的振动特性做了实验研究。

重点探讨了，在不同的激振条件下，薄板结构所表现出来的振动特性。

即在三种不同情况下，包括单输入单输出（SISO）、单输入多输出（SIMO）和多输入多输出（MIMO）情况下，薄板结构表现出来的各自的振动特点，以及不同点。

从而验证了理论研究中，所得到的结果。

而且，还可以通过比较，确定在实际的情况中，根据不同的需要，使用不同的约束条件、可以避免减少对薄板结构的损害，延长耐振寿命。

关键词：薄板结构；振动特性；实验研究AbstractWith the development of scientific and technological level, with the development of the vibration theory and the structure of science, more and more of the structure, start using the thin plate, that is, the length of the direction of thickness of less than 1 / 6. As the thin, light weight, small size, material savings. To some extent, especially in industrial production, to reduce costs. However, due to the thickness of thin sheet metal, the vibration in the actual case, especially in long-term vibration conditions, the damage may be more serious. In order to solve the seismic plate life, and to understand the vibration environment, the vibration characteristics of thin plate and do experiments.Fristly，the thin plate theoryhas been maturing. Either from the basic theory of thin plate, or developed to a variety of thin plate solution of the exact solutions. Therefore, study of the theory is the basis for doing sheet metal vibration test. From a theoretical point of view, understanding of the thin structure in the vibration characteristics of the boundary conditions, including vibration damping, frequency and vibration mode function features.Secondly, the choice of the experimental apparatus. Include the choice of excitation methods, sensor selection, and subsequent processing laboratory equipment selection and choice of notes.Thirdly, the experiment simulated conditions, to the vibration of sheet metal. Carried out by hammer tapping, collecting signals through sensors, and follow-up treatment systems, are rectangular plate vibration mode function, vibration frequency, and the intuitive understanding of thin plate vibration in the experimental conditions to the characteristics of the free vibration conditions and under forced vibration, the vibration characteristics of thin plate structures, but also analyzes the different experimental conditions, different input conditions are different output response, and their respective characteristics. In this paper, thin structure of the vibration characteristics is studied. Focus on, and at different excitation conditions, plate structure shown by vibration. That is, in three different cases, including single-input single-output (SISO), single-input multiple-output (SIMO) and multiple-input multiple-output (MIMO) case, the thin plate shown their vibration characteristics, and different points. To verify the theoretical study, the results obtained. Moreover, it can be compared to determine the actual situation, according to the different needs of different constraints, can be avoided to reduce the damage to the sheet structure, vibration-resistant to extend life span.Keywords: thin plate; vibration characteristics; experimental study目录摘要 (I)ABSTRACT (II)第1章绪论 (1)1.1课题研究的意义及现状 (1)1.2薄板理论的发展简况 (1)1.3振动实验研究的发展简况 (2)1.4论文主要研究内容 (3)第2章薄板振动的基本原理 (4)2.1振动的基本概念以及特点 (4)2.1.1 振动的基本概念 (4)2.1.2 振动的基本特征量 (4)2.1.3 振动的基本形式 (4)2.2薄板的横向振动的微分方程 (4)2.2.1 弹性薄板横向振动的基本假设 (5)2.2.2 弹性薄板横向振动的几何方程与物理方程 (5)2.2.3 弹性薄板的内力分析 (8)2.2.4 弹性薄板自由振动的微分方程和边界条件 (10)2.3矩形板的固有振动 (11)2.3.1 四边简支矩形板 (12)2.3.2 一对边简支一对边任意的矩形板 (14)2.4薄板的强迫振动 (16)第3章薄板振动的实验研究 (18)3.1研究振动的意义 (18)3.2研究薄板振动的意义 (19)3.3工程测振的一般方法 (19)3.4实验仪器的选择 (20)3.4.1 激振方式的选择 (20)3.4.2 激振试验设备的选择 (22)3.4.3 传感器的选择 (23)3.5不同试验条件下，薄板振动特性的研究 (28)3.5.1 自由振动下，薄板振动特性的研究 (30)3.5.2 谐振激励下，薄板振动特性的研究 (30)3.5.3 三种不同的激励方式下的，薄板振动特性的研究 (30)致谢 (31)附件1 ........................................................................... 错误！未定义书签。

2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。

设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。

解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。

设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。

解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-= 所以：9.87(/)0.2n g rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x =-⎧⎨=⎩ （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=-弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===-因此：振幅为0.2m 、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。

2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。

解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+ 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++= 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。

浅析电磁弹性薄板振动力学研究进展引言电磁效应是变形场同电磁场、温度场在弹性固体内外产生相互作用的一种效应。

在线性状态的范围内，此效应无论是对电介质，还是对导电物体均具各式各样的数学模型。

最近几年，把研究此效应的新兴学科称为耦合场理论。

其中，磁弹性理论将专门研究电磁场同变形场的耦合，即研究在弹性固态物体中电磁场同变形场的相互作用。

这个理论基本是线弹性理论和在自由运动介质中线性电动力学理论的耦合。

如果所研究的弹性体位于初始强大的磁场中，机械荷载、热荷载在引起变形场的同时，将要产生电磁场。

两个场将发生相互作用和相互影响，出现耦合机制。

电磁场对变形场的作用是由运动方程中的洛仑兹力引起。

变形场会影响磁场的强度、磁弹性波和电磁波的传播速度与位相，具体表现在欧姆定律中多了电流密度增长项，而且该项取决于变形物体在磁场中的位移速度。

电磁结构的磁弹性非线性问题理论的广泛研究对于处在高温、高压和强电磁场作用下的结构元件的设计、制造及可靠性分析都具有非常重要的意义。

当电磁结构处在外加电磁场环境中时，一方面电磁结构受到电磁力作用而变形; 另一方面结构的变形又导致电磁场发生改变进而使电磁力的分布发生变化。

对于载流导电体，其电磁力为Lorentz 力; 对于可极化或可磁化的电磁介质材料，电磁力是通过电极化或磁化与外界电磁场相互作用而产生的。

这种电磁场与力学场相互耦合的一个基本特征就是非线性，即使将电磁场与力学场分别处理为线性的，经耦合后的电磁弹性力学边值方程仍呈非线性，这无疑给磁弹性理论的力学行为的定量分析带来难度，使它成为近代力学研究中的一个极富挑战性的课题。

1 薄板磁弹性振动问题的研究国内外学者对电磁弹性振动问题已经做了大量的研究，取得了很多成果。

Pan E 等研究了支持多层板的电磁弹性振动解。

C. L. Zhang 等研究了多铁叠层板壳的电磁影响。

Yang Gao 等总结了研究磁弹性板壳结构的精细理论。

A. Dorfmann 和R. W. Ogden 等学者对非线性磁弹性体的变形作了大量的研究工作，得到一些有益的结论。