薄板的振动固有频率的求解

振动频率计算公式振动频率是指物体在单位时间内完成的振动周期个数，通常用赫兹（Hz）来表示。

振动频率是描述振动特性的重要参数，它与物体的质量、弹性系数以及外界施加力的特性密切相关。

为了计算振动频率，我们可以运用以下公式：振动频率（f）= 1 / 振动周期（T）其中，振动周期是指振动一次所需的时间。

在许多情况下，物体的振动周期可以根据其特性来确定。

当物体以简谐振动进行时，其振动周期可以通过以下公式计算：振动周期（T）= 2π√(m/k)其中，m代表物体的质量，k代表物体的弹性系数。

在实际应用中，我们经常会遇到需要计算振动频率的情况。

例如，在建筑工程中，为了保证建筑物的安全性，需要计算地震时建筑物的振动频率。

在机械振动领域，计算机械设备的振动频率可以帮助我们判断其是否处于正常工作状态，以及是否需要进行维护和修理。

此外，振动频率的计算还在科学研究中具有重要意义。

在物理学中，我们常常要研究各种物体的振动特性，例如声音的传播速度和频率，光的波长和频率等。

通过计算振动频率，我们能够更好地了解物体的振动特性，并通过对振动频率的调整来达到特定的目的。

在实际操作中，我们可以通过一些测量工具来计算振动频率，例如振动计、光谱仪和声谱仪等。

这些工具可以记录物体振动的周期和幅度，进而计算出振动频率。

总结起来，振动频率是描述物体振动特性的重要参数，它与物体的质量、弹性系数和外界施加力的特性密切相关。

通过计算振动频率，我们能够更好地了解物体振动的本质，从而在工程、科学研究和实际应用中做出准确的判断和决策。

多种方法计算水中薄板的固有振动频率水中薄板的固有振动频率是指薄板在水中自然振动的频率，它是一个极为重要的参数，在工程设计和科学研究中有着广泛的应用。

下面，将介绍多种方法计算水中薄板的固有振动频率。

方法一：理论计算法理论计算法是一种基于物理原理、数学公式和动力学方程的计算方法。

该方法通常需要建立薄板的数学模型，包括弹性模量、材料密度和板厚等参数，然后根据振动方程推导出薄板在水中的固有振动频率。

这种方法通常适用于理论研究和数值模拟，计算精度较高，但需要大量的计算工作。

方法二：实验测量法实验测量法是通过实验手段直接测量水中薄板的振动频率，包括自由振动法和迫振法两种。

自由振动法是指将薄板挂在两个支点上，将薄板振动后测量振动频率；迫振法是指向薄板施加外力，使其振动，并测量振动频率。

这种方法的优点是测量精度高、适用范围广，但需要专业的实验设备和技术。

方法三：有限元法有限元法是一种基于数值计算的方法，它将薄板分解成许多小单元，然后计算每一个小单元的振动状态和响应，最终得到整个薄板的振动频率。

这种方法通常需要借助计算机完成大量的计算工作，计算结果与实验结果比较相近，但需要大量的计算工作。

方法四：解析法解析法是一种基于数学理论的计算方法，它通过对薄板的动力学方程进行解析，得到薄板振动的解析表达式，从而计算出薄板的固有振动频率。

这种方法通常对薄板的几何形状和材料参数有一定的限制，但是具有计算精度高、计算速度快等优点。

总之，计算水中薄板的固有振动频率的方法有很多种，每种方法都有其特点和适用范围。

在实际应用中，可以根据需要和情况选择不同的方法，以获得最好的计算结果。

数据分析是数据科学和统计学领域中的重要组成部分，可以为我们提供有关各种情况或事件的信息和见解。

在进行数据分析时，需要将数据收集、整理和归纳总结，然后进行分析并得出结论。

本文将选取某一组数据进行分析。

首先，需要明确分析的对象是什么，比如是一组公司的销售数据、学生的考试成绩等等。

2 r2

1 r
r

1 r2
2
2

2
W


0
得常微分方程
d2 F d r2
或

2 r2

1 r
r

1 r2
2
2

2
W


0
取振形函数为如下的形式：
W F(r) cosn
其中n=0，1，2，…。相应于n＝0，振形是轴对 称的。相应于n＝1, 2；圆板的环向围线将分别 具有一个及两个波，板的中面将分别具有一根 或两根径向节线，余类推。将上式代入式
(1)试求薄板振动的频率，特别是最低频 率。
(2)设已知薄板的初始条件，即已知初挠 度及初速度，试求薄板在任一瞬时的挠度。
当然，如果求得薄板在任一瞬时的挠度， 就易求得薄板在该瞬时的内力。
设薄板在平衡位置的挠度为we＝we(x，y)，这
时，薄板所受的横向静荷为q＝q(x，y)。按照薄板 的弹性曲面微分方程，我们有：
kx ny
Dkn sin a sin b
Ckn

4 ab
a 0
b
kx ny
0 w0 sin a sin b d x d y
Dkn

4 ab
a 0
b 0
v0
sin
kx
a
sin
ny
b
d
x
d
y
根据初始条件为
(w)t0 w0( x, y)
可得

w t
t0
薄板在平行于中面方向的所谓纵向振动，由 于它在工程实际中无关重要，而且在数学上也难 以处理，所以不加讨论。首先来讨论薄板的自由 振动。

固有频率的计算方法
那什么是固有频率呢？简单说呀，就像是一个物体它自己天生就有的一种振动频率。

比如说，你拿个小弹簧，它在那晃悠的时候，就有个它自己特有的频率，这就是固有频率啦。

对于一些简单的系统，像单自由度弹簧 - 质量系统，计算固有频率就不是特别难哦。

这个系统里呀，固有频率和弹簧的劲度系数k还有质量m有关。

它的计算公式是ω = √(k / m)，这里的ω就是固有角频率啦。

你可以想象一下，弹簧硬邦邦的（k 大），质量又小，那它晃悠起来就会快快的，固有频率就高。

要是弹簧软软的，质量又很大，那晃悠起来就慢悠悠的，固有频率就低。

再说说弦振动的固有频率计算呢。

这就和弦的长度L、张力T还有线密度ρ有关啦。

它的频率公式是f = (n / 2L)×√(T / ρ)，这里的n是正整数，代表着振动的模式。

就好像弦在那弹奏的时候，不同的振动模式就有不同的固有频率，就像吉他弦，你按不同的地方，它发出的音高就不一样，这就是因为改变了弦的有效长度之类的，导致固有频率变了。

对于一些复杂的结构呢，计算就比较麻烦啦。

有时候得用到有限元分析这种高大上的方法。

不过原理也还是和那些简单系统有点联系的。

比如说一个复杂的机械结构，它可以看成是好多小的部分组成的，每个小部分都有点像咱们前面说的弹簧 - 质量系统。

然后通过一些复杂的数学计算和模拟，就能算出这个复杂结构的固有频率啦。

固有频率计算公式在我们的物理世界中，固有频率可是一个相当重要的概念，而与之紧密相连的就是固有频率的计算公式啦。

先来说说啥是固有频率。

想象一下，你有一个秋千，你轻轻推它一下，它就会按照一定的节奏来回摆动，这个节奏就是秋千的固有频率。

再比如一把吉他的弦，当你拨动它，它也会以一种特定的频率振动发声，这也是它的固有频率。

固有频率的计算公式呢，对于不同的物理系统会有所不同。

咱们先从最简单的弹簧振子说起。

弹簧振子的固有频率公式是f = 1 / (2π) ×√(k / m) ，这里的 f 就是固有频率，k 是弹簧的劲度系数，m 是振子的质量。

我给你讲讲我之前的一个经历。

有一次我在课堂上给学生们讲解这个公式，有个特别调皮的学生就问我：“老师，这公式有啥用啊？难道我以后去荡秋千还得算一算它的固有频率？”当时全班都哄堂大笑。

我笑着回答他：“你可别小瞧这个公式，虽然咱们平常荡秋千可能用不上，但在很多工程领域，比如桥梁设计、机械制造，那可是非常关键的。

”我接着给他举了个例子，“假如一座桥的固有频率和经过车辆产生的振动频率接近，那就可能发生共振，桥就有可能出危险啦。

”咱们再来说说单摆的固有频率。

单摆的固有频率公式是f = 1 / (2π)× √(g / l) ，这里的 g 是重力加速度，l 是单摆的摆长。

我记得有一次带着学生们去实验室做单摆实验。

大家都兴致勃勃地摆弄着器材，测量摆长，记录时间。

有个小组的同学怎么都测不准数据，急得满头大汗。

我走过去一看，原来是他们的摆长测量有误差，绳子没有拉直。

我帮他们纠正了错误，最后他们成功算出了单摆的固有频率，那种兴奋劲儿，别提多有成就感了。

在实际生活中，固有频率的应用可多了去了。

比如建筑物要避免与地震波的频率接近，不然在地震时就容易遭到严重破坏。

还有各种乐器的设计，通过调整琴弦的长度、粗细和张力，来改变固有频率，从而发出美妙的音乐。

总之，固有频率的计算公式虽然看起来有点复杂，但它在我们理解和解释物理现象，以及在实际的工程和技术应用中，都发挥着极其重要的作用。

其中， 为抗弯刚度 ； ｏ 为 固有频率 。 由上 式计算 固有 频率 ｇ
从上式可 以看 出， 邓柯 莱公式 是在 左端 略去 高频项 得 到的 ，
因而它给 出的基频将低于实际值 。
． ３ 文献 ［ ４ ］ 计算方法 时， 仅涉及到积分 和求和 ， 所 以 比直 接求解 自由振动 微分方 程 方 １
Ｉ Ｅ ｌ ［ （ ） ］ ｄ ｘ ，
甜 ＝＿————————— ——一 — — — — — — — — 一 （ Ｌ １ Ｊ ）
去
＋ Ａ ｍ ） 击 ＋ Ａ ｍ （ ３ ）
Ｊ ｍ （ ） （ ） ｏ ｋ ＋ ∑ （ ）
［ ６ ］ “ 西气东输”中天然气合理 应用方式研 究［ Ｍ］ ． 北京 ： 中国建
筑 工 业 出版 社 ． ２ ０ ０ ８ ．
Ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ｏ ｎ Ｌｉ ｎ ｆ ｅ ｎ ｕ ｒ ｂ ａ ｎ － ｒ ｕ ｒ ａ ｌ ｇ ａ ｓ ｐ ｌ ａ ｎ ｎ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｄ ｅ ｖ ｅ ｌ ｏ ｐ ｍｅ ｎ ｔ
有一定优越性 的计算公式 ， 对实际工程 中振动体系 固有频率 的计算有重要 的意义 。
关键词 ： 振动体 系 ， 固有频率 ， 计算公式
中 图分 类 号 ： Ｔ Ｕ ３ １ １ ． １ 文献标识码 ： Ａ
０ 引言
便得多 。用瑞利法求固有频率 ， 必需 知道振型 函数 Ｕ（ ） ， 而精确
（ ｘ ） 事先往 往 不知 道 ， 所 以必 须先 假定 一个 Ｕ（ ） 来 进行 计 在结构振动体 系问题 的研究 中， 计算 系统 的各 阶 固有频 率 ， 的Ｖ 算 ， 由此得 到的结 果就 有一 定的近似 性 。一般 来说 ， 很 难精 确地 尤其是基本 固有频率 ， 是十分重要 的。相应 的计算 多 自由度振动 故利用 假设高 阶振型 的方法用上式求得 的 系统 的固有频率方法有很 多种 ， 主要 有矩阵迭 代法 、 瑞利法 、 邓柯 假设 出高 阶振型 函数 ， 往往误差较大 ， 因此瑞利法通常 只计算基本频 率。通 常 莱法 、 传递矩阵法 、 变换 法（ Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 法、 Ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ｓ 法、 Ｑ Ｒ法 ） 、 子空 间迭 高阶频率 ， 弹性 曲线 ） 作为 代法 、 模态综合法 等… 。 由于 计算机 和有 限元 软件 的快速 发展 ， 情况下可以取结构在某种静荷载作用下 的挠 曲线 （ 振型 曲线。 虽然 目 前 我们 可以借助于它们计算很 复杂的结构 ， 但 是在某些 场

第二章 薄板的振动问题
§2-1 薄板的自由振动
等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为
4w
m D
2w t 2
px, y,t
D
（1）
其中 m 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。
首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题
4w m 2w 0 D t 2
（2）
令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得
wt
ab 00
mx ny
0 sin a sin b
w sin mx st t0a来自dxdy cosmnt
in
ny
b
dxdy
sinmnt
s
in
mx
asinny
b
讨论 运用分离变量法解偏微分方程，必然导致固有值问题：
•分离变量法要求分离变量后每个函数有非零解，因此要求固有 值存在；
•方程和定解条件要求固有函数具有正交性和完备性； •非齐次初值条件或自由项（受迫振动时）或方程的解等，应能 用固有函数展开成平均收敛的级数。
2
2
dW dr
d2W dr 2
dr
对于夹支圆形薄板，可简化为
（7）
UW
Dr
d2W dr 2
2
1 r
dW dr
2
dr
（8）
设薄板振形泛函为
4W 2 m W 0
D
U
W
2
1 2
m
W
2dxdy
（9）
其中W为可能的振形函数。可以证明由泛函的驻值条件可以 导出方程（4）。
为了求固有频率或固有函数的近似解，设
32D
3a2
2m

固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型1、 问题矩形薄板的参数如下33150,100,5,210,0.3,7.9310/a mm b mm h mm E GPa v kg m ρ======⨯求矩形薄板在（1） 四边简支（2）四边固支 条件下的固有频率和振型2、薄板振动微分方程薄板是满足一定假设的理想力学模型，一般根据实际的尺寸和受力特点来将某个实际问题简化为薄板模型，如厚度要比长、宽的尺寸小得的结构就可以采用薄板模型。

薄板在上下表面之间存在一个对称平面，此平面称为中面，且假定：（1）板的材料由各向同性弹性材料组成； （2）振动时薄板的挠度要比它的厚度要小； （3）自由面上的应力为零；（4）原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交，即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线。

为了建立应力、应变和位移之间的关系，取空间直角坐标Oxyz ，且坐标原点及xOy 坐标面皆放在板变形前的中面位置上，如图 1所示。

设板上任意一点a 的位置，将由变形前的坐标x 、y 、z 来确定。

图 1 薄板模型根据假定（2），板的横向变形和面内变形u 、v 是相互独立的。

为此，其弯曲变形可由中面上各点的横向位移(,,)w x y t 所决定。

根据假定（4），剪切应变分量为零。

由薄板经典理论，可以求得板上任意一点(,,)a x y z 沿,,x y z 三个方向的位移分量,,a a a u v w 的表达式分别为()a a a w u zx wv zy w w ∂=-∂∂=-∂=+高阶小量 (1.1)根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为222222a x a y a a xyu w z x x v w z y yu v w z y x x yεεγ∂∂==-∂∂∂∂==-∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂ (1.2)胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为：2222222222222()()11()()111x x y y y x xy xyE Ez w wx yE Ez w w y xEz wG x yσεμεμμμσεμεμμμτγμ∂∂=+=-+--∂∂∂∂=+=-+--∂∂∂==-+∂∂ (1.3)现画薄板微元的受力图如图 2所示。

网格划分越密，高阶频率的计算结果与理论解越接近； 同类型单元，同等网格密度，频率越高，与理论解和经验公式
的误差越大。
2 薄壁圆筒固有频率
尺寸：R=100mm,L=500mm,t=2mm 材料参数： 杨氏模量：E=2E5（MPa） 泊松比：μ=0.3 密度：ρ=7.8×E-9（103kg/mm3） 边界条件：
2.3.3 薄壁圆筒固有频率——数据对比
表2.3、数据对比
m
n
6
7
8
9
10
11
12
实验
525
592*
720
885
1095 1310 1560
1
ANSYS 531
588
711
875
1070
1290
1534
误差（%） 1.14
0.68
1.25
1.13
2.28
1.53
1.67
实验
980
856*
900
995 1140* 1365 1578*
4.96
1.72
0.15
0.41
1.30
表中带有*号者表示为实验的平均值。
参考文献
1.《机械振动手册（第2版）》屈维德、唐恒 龄主编
2. 《振动力学》倪振华编著 3. 《板壳理论》吴连元编著
2.1 薄壁圆筒固有频率——两端自由
表2.1 不同单元两端自由边界条件结果对比
序号
ansys Shell63（40*50） Shell93（40*50）
Abaqus （1mm*1mm）
1-6
0
0
0
7
131
131
131
8
131

四边支承矩形薄板自振频率计算1.基本假定及振动微分方程弹性板是假定其厚度远小于其他两尺寸的板，且材料假设为各向同性。

板的振动理论是以以下几个假定为基础的:1)板中原来在中面法线上的各点，在板弯曲变形后仍在中面的法线上。

这个假设称为直法线假设，表示横向剪切变形忽略不计。

2)板的挠度比板厚小很多，板弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面。

3)板的横向正应力与其他两个方向正应力相比较，可以忽略不计。

在此基础上，若假定板的挠度不从平面位置算起.而从平衡位置算起.对板内平行六面体进行微元分析，由平衡条件、变形协调条件和物理方程得板的弯曲平衡方程式，然后分析板在振动过程中的动力平衡，可得板的自由振动微分方程⑴：D —— + D —— + 2Z) ——— + in ——— 0 (1)a? a/ar〉厂drEh' —等式中D = ----------- ,式中：加为板的单位面积的质董；D为板的弯曲刚度分别为板的弹性12(1")模量和泊松比，h为板的厚度。

微分方程⑴的解答形式为薄板上毎一点(x, V)的挠度W =工｛A in CQSCD m t + B m sin co m t)W m(x, y)o被表示成无数多个简谐扳动下的挠度相査加，而每一个简谐振动的圆频率是另一方面，薄板在每一瞬时/的挠度, 则表示成为无数多种扳形下的挠度相叠加，而毎一种振形下的挠度是由振形函数W IH(x,y)表示的，为求出各•种振形下的振形函数叱以及与之相应的圆频率，我们取w = (4cos6X + 3sinef)W(x,y)代入方程(1)消2.边界条件扳形函数需要满足冬边界条件，板的边界一般有固支边，简支边，自由边三种情况，这里以x=0的边为例,其相应的边界条件为：ow固定边：沿固定边的位移和转角为0,即(W)一0=0, (―)vU) = 0 :简支边：沿简支边的位移和弯矩为0, 即叫“，(話)y自由边：沿自由边的弯矩和剪■力为0,对于四边支承板有如下6中不同边界条件:一般而言，假定合适的位移函数，利用边界条件可以求解上述微分方程。

四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析四边固支矩形薄板是一种典型的结构，其固有振动特性的计算对于结构的稳定性以及对外载荷的响应有着重要的影响。

本文将从理论计算和有限元分析两个方面来探讨四边固支矩形薄板的固有振动特性。

一、理论计算在理论计算中，四边固支矩形薄板的固有振动频率可以通过以下公式进行计算：f_n = (C_n^2 + D_n^2)^0.5 / (2πt)^0.5 * (EH^3/12ρ(1-μ^2))，其中，f_n为第n阶固有频率；C_n和D_n分别为第n阶水平和竖直模态振型的振幅比；t为薄板厚度；E为材料的弹性模量；H为矩形薄板的一侧长度；ρ为材料的密度；μ为材料的泊松比。

根据上述公式，我们可以对四边固支矩形薄板进行理论计算，得出其固有振动频率，并根据振动模型分析结构的稳定性以及响应能力。

二、有限元分析在有限元分析中，我们可以通过建立合适的有限元模型，利用求解振型特征值和振型模态来得出四边固支矩形薄板的固有振动特性。

有限元分析的主要步骤包括：1.建立有限元模型：根据实际结构情况，选择合适的有限元支撑和单元类型，对结构进行离散化网格化处理，建立结构有限元模型。

2.确定边界条件：对于固支矩形薄板，边界条件为四边界固定支撑。

3.求解特征值和振型：对于固有振动频率，我们可以通过求解振型特征值和振型模态来得出。

4.分析特征值和振型：得出固有振动频率，我们可以进一步分析与理论计算结果的一致性，同时还可以分析振型特征值与振型模态，进一步了解结构的稳定性和响应能力。

通过有限元分析，我们可以更加精确地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，为结构设计和应用提供更加实际的参考依据。

总之，四边固支矩形薄板的固有振动特性对于结构稳定性和响应能力有着重要的影响。

通过理论计算和有限元分析两个方面的探讨，我们可以更好地理解并应用这一结构特性。

为了更加深入地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，我们可以从以下几个方面进行数据的收集和分析：1. 材料弹性模量与密度：材料的弹性模量和密度直接影响到四边固支矩形薄板的固有振动频率。

x
sin
n b
x
cos mnt
将上述结果用 MATLAB 求出：
(1.33)
频率 计算结果 仿真结果
D11 11100 13951
表格 1 简支的固有频率计算结果
D12
D21
D22
21347 23135
34155 33610
44401 45169.
D13 38424 39451
图 3 简支的模态 Abaqus 的计算结果：
dxdy)
M xdy
(M
yx dx
M yx y
dxdy)
M
yx dx
(Qxdy
Qx x
dxdy)
1 2
dx
Qxdy
1 2
dx
0
整理得到
M xy x
M x y
Qy
M y x
M yx y
Qx
由弯矩的计算公式
h
M x
2 h
x
zdz
2
h
M y
2 h
y
zdz
2
h
M xy M yx
2 h
xy
D4w
m
2w t 2
0
设解的形式是时间变量和坐标变量可以分离的形式：
w(x, y,t) W(x, y)cost
(1.12) (1.13)
将式(1.13)代入式(1.12)）可得
4W k4W 0
(1.14)
k4 h2 D
(1.15)
再根据板的边界条件来求解 固有频率，式(1.14)可用分离变 量法来求解。假定解具有 如
0
(
4Y (x) y4
k

固有频率的计算公式
1. 弹簧振子系统。

- 对于水平放置的弹簧振子（忽略摩擦力等阻力），其固有频率f的计算公式为f = (1)/(2π)√(frac{k){m}}，其中k是弹簧的劲度系数，单位是N/m；m是振子的质量，单位是kg。

- 推导过程：根据胡克定律F=-kx（F是弹簧的弹力，x是振子偏离平衡位置的位移），结合牛顿第二定律F = ma（a是加速度），可得ma=-kx，即a =-(k)/(m)x。

对于简谐振动，其加速度a = - ω^2x（ω是角频率），所以ω=√(frac{k){m}}。

又因为f=(ω)/(2π)，所以f = (1)/(2π)√(frac{k){m}}。

2. 单摆系统（小角度摆动情况，摆角θ<5^∘近似认为是简谐运动）
- 固有频率f=(1)/(2π)√(frac{g){l}}，其中g是重力加速度，g = 9.8m/s^2（在地球表面附近），l是单摆的摆长，单位是m。

- 推导过程：单摆的回复力F = -mgsinθ，当θ<5^∘时，sinθ≈θ（θ用弧度制表示），设摆长为l，x = lθ（x是偏离平衡位置的位移），则F=-(mg)/(l)x。

根据牛顿第二定律F = ma，可得a =-(g)/(l)x，对比简谐运动的加速度公式a = - ω^2x，可得
ω=√(frac{g){l}}，再由f=(ω)/(2π)，得到f=(1)/(2π)√(frac{g){l}}。

d 4 Yk 2k 2 2 d 2 Yk k 4 4 2 Yk 0 4 2 2 4 dy a dy a
它的特征方程是
2 2 4 4 2 k k 4 2 2 r r 0 2 4 a a
m D
振型函数应满足边界条件。
不论在哪一种情况下，都可由y＝0及y＝b处 的四个边界条件得出Cl至C4的一组四个齐次线性 方程。 相应于薄板的任何振动，振形函数W必须具 有某一个非零解，因而系数Cl至C4不能都等零。 于是可以命上述齐次线性方程组的系数行列式等 于零，从而得到一个计算自然频率的方程。
例如，设y＝0的一边为简支边，而y＝b的一边为 固支边，则有如下的四个边界条件：
k 1 k 1
就有可能利用初始条件求得该表达式中的系数Am 及Bm 。 ( w)t 0 w0 ( x, y ) 设初始条件为 w
v0 ( x, y ) t t 0
k 0
则由上式得
A W ( x, y ) w ( x, y )
k 1 k

上述四个根成为±α及±iβ，而微分方程的解 可写为
Yk C1 chy C2 sh y C3 cosy C4 sin y
从而得振形函数的表达式
W (C1 ch y C2 sh y C3 cos y C4 sin y ) sin
kx a
在少数的情况下，γ2<k2π2/a2，而上面所示 的四个根都是实根，取正实数
第二节 四边简支的矩形薄板的 自由振动 当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简 单地得出自由振动的完整解答。取振形函数为 kx ny
W sin a sin b
其中 k及 n为整数，可以满足边界条件。代入振形 微分方程

m W D W
求得相应的固有频率。
§3.1 薄板的自由振动

引入符号：

4
mp D
2
关于振型函数的微分方程变为：
W W 0
4


利用边界条件，并求解上式，就可以得到W 。 利用初始条件，求解 w Ai cos pi t Bi sin pi t Wi 中的 i 1 待定系数 A和 Bi 。 i 设初始条件为：
3333coshsinhcossinsin组齐次代数方程这个代数方程有非零解的条件是系数行列式等于零从而得到计算固有频率的频率方程特征方把振型函数的表达式代入上式边界条件方程3333coshsinhcossinsin由非零解条件得方程组的系数行列式等于零即
第三章 薄板振动问题
第三章 薄板振动问题

薄板的自由振动


四边简支矩形薄板的自由振动
两对边简支矩形薄板的自由振动 用能量法求固有频率及举例 薄板的强迫振动
§3.1 薄板的自由振动
板的横向振动：垂直于中面方向的振动。 自由振动：

– 求固有频率和振型函数。 – 求对初始条件的扰动。

在重力（静力）载荷作用下，在 静平衡位置的挠度为 we x, y 由薄板弯曲基本微分方程有
tanh b
b



tan b
b

0
由：

p m D
m
2
2
得
tanh pb
2
a
2
p
m D

m
2
2
a
2
m D

m b
2
2 2

固有频率固有频率（Natural Frequency）是指系统在没有外界干扰的情况下，由其自身固有属性决定的频率。

在物理学和工程学中，固有频率是研究振动和波动现象的关键参数之一。

固有频率的研究对于许多应用领域都具有重要意义，如建筑工程、机械工程、声学工程等。

1. 概述固有频率是指一个系统在没有外界作用力的情况下，由其自身的质量、刚度和阻尼等因素所决定的振动频率。

在自然界中，许多物体都具有自身的固有频率，比如钟摆、弹簧等。

固有频率可以用来描述物体在受到外力激励后的振动情况。

2. 计算方法计算固有频率的方法根据系统的不同而有所区别。

下面介绍几种常见的计算方法：2.1. 简谐振动系统对于一个简谐振动系统，其固有频率可以通过以下公式计算：f = 1 / (2π) * √(k / m)其中，f是固有频率，k是系统的刚度，m是系统的质量。

2.2. 悬挂系统对于一个悬挂系统，比如钟摆，其固有频率可以通过以下公式计算：f = 1 / (2π) * √(g / L)其中，f是固有频率，g是重力加速度，L是悬挂线的长度。

2.3. 杆系系统对于一个杆系系统，其固有频率可以通过以下公式计算：f = 1 / (2π) * √(T / (m * L))其中，f是固有频率，T是杆系的张力，m是杆系的质量线密度，L是杆系的长度。

3. 应用领域固有频率在许多应用领域都具有重要意义。

以下是几个典型的应用领域：3.1. 建筑工程在建筑工程中，研究建筑结构的固有频率可以帮助工程师确定结构的稳定性和抗震能力。

通过计算建筑物的固有频率，可以预测建筑物在地震等自然灾害中的响应情况，从而采取相应的措施。

3.2. 机械工程在机械工程中，研究机械系统的固有频率可以帮助工程师设计出更稳定和高效的机械结构。

通过优化机械系统的固有频率，可以减少机械结构的振动和噪声，提高机械系统的工作效率和寿命。

3.3. 声学工程在声学工程中，研究声学系统的固有频率可以帮助工程师设计出更好的音响设备和音频系统。

第二章 薄板的振动问题
§2-1 薄板的自由振动
等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为
m 2 w px, y, t w 2 D t D
4
（1）
其中 m 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。 首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题
m 2w w 0 2 D t
4
（2）
令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得
m2 n 2 2 D Cmn 4 t cost sin mx a sin ny b 0 a 2 b2 m wmn t wmn m m 1 n 1

w 0 sinmx a sinny b 0
m 1 n 1

Cmn
4 a b mx ny P x , y sin sin dxdy 0 0 ab a b
其中w已经满足边界条件，wmn(t)为待定函数。
D 4 2 w px, y, t w 2 m t m
将级数表达式代入方程（1）和齐次初始条件，可得
2 mn
D 4 m
m2 n2 a2 b2
2
由此可写出挠度函数的形式解
w Amn cos mn t Bmn sin mn t sin mx a sin ny b
m 1 n 1
其中待定系数由挠度函数的非齐次初始条件决定。
的初值问题，方程的解等于齐次通解加特解
wmn t Amn cos mn t Bmn sin mn t Cmn cost 2 2 m mn


由初值条件可确定通解中的两个系数，最后得
w wmn t sin mx a sin ny b