2017-2018学年安徽省蚌埠一中高二(上)数学期中试卷带解析答案(理科)

2017-2018学年安徽省蚌埠一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1．（5分）下列命题中正确的是（）（1）在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；（3）在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；（4）圆柱的任意两条母线相互平行．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（2）（4）2．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．8﹣2πD．3．（5分）如图，用斜二测画法作△ABC水平放置的直观图形得△A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在△ABC中，下列四个结论中正确的是（）A．AB=BC=AC B．AD⊥BC C．AC＞AD＞AB D．AC＞AD＞AB=BC4．（5分）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25πB．50πC．125πD．都不对5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛6．（5分）已知P，Q，R，S分别是所在正方体或四面体的棱的中点，这四个点不共面的一个图是（）A．B．C．D．7．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（）A．B．C．D．8．（5分）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④9．（5分）空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有（）A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC10．（5分）以下命题正确的有（）①⇒b⊥α；②⇒a∥b；③⇒b∥α；④⇒b⊥α．A．①②B．①②③C．②③④D．①②④11．（5分）过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有（）A．4条 B．6条 C．8条 D．12条12．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹为（）A．线段B1CB．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13．（5分）已知正方形ABCD的边长是1，对角线AC与BD交于O，将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，并给出下面结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC=，则其中的真命题的序号是．14．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=1，∠BAC=90°，则PA与底面ABC所成角的大小为．15．（5分）已知=（x，2，﹣1），=（x，x，﹣1）分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，则x的值是．16．（5分）在平行四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD．将△ABD 沿BD折起，使得平ABD⊥面平面BCD，如图所示．若M为AD中点，则二面角M﹣BC﹣D的余弦值为．三、解答题（第17题14分，第18题14分，第19题14分，第20题14分，第21题14分，共5小题70分）17．（14分）如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的AB，BC，CD，DA边的中点，求证：（1）四点E，F，G，H共面；（2）BD∥平面EFGH．18．（14分）如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD 的重心，已知BD=6．（1）判断MN与BD的位置关系；（2）求MN的长．19．（14分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．20．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D 是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．21．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O 是对角线AC与BD的交点．M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．2017-2018学年安徽省蚌埠一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1．（5分）下列命题中正确的是（）（1）在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；（3）在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；（4）圆柱的任意两条母线相互平行．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（2）（4）【解答】解：在（1）中，由于圆柱的母线相互平行且与轴平行，故上、下底面中任两点的连线不一定是母线，故（1）错误；在（2）中，由圆锥母线的定义可知圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线，故（2）是正确；在（3）中，圆台侧面上各个位置的直角梯形的腰称为圆台的母线，故上、下底面中任两点的连线不一定是母线，故（3）错误；在（4）中，由于圆柱的母线相互平行且与轴平行，故④正确．故选：D．2．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．8﹣2πD．【解答】解：三视图复原的几何体是棱长为：2的正方体，除去一个倒放的圆锥，圆锥的高为：2，底面半径为：1；所以几何体的体积是：8﹣=故选：A．3．（5分）如图，用斜二测画法作△ABC水平放置的直观图形得△A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在△ABC中，下列四个结论中正确的是（）A．AB=BC=AC B．AD⊥BC C．AC＞AD＞AB D．AC＞AD＞AB=BC【解答】解：根据斜二测画法，把直观图形中的△A1B1C1，还原成原图形，如图所示；AB=2A1B1=B1C1=BC，∴AC＞AD＞AB．故选：C．4．（5分）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25πB．50πC．125πD．都不对【解答】解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：，所以这个球的表面积是：=50π．故选：B．5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r=8，解得r=，故米堆的体积为××π×（）2×5≈，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴÷1.62≈22，故选：B．6．（5分）已知P，Q，R，S分别是所在正方体或四面体的棱的中点，这四个点不共面的一个图是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中，∵P，Q，R，S分别是所在正方体或四面体的棱的中点，∴PS∥QR，∴P，Q，R，S共面，故A错误；在B中，过P，Q，R，S可作一正六边形，如图，故P，Q，R，S四点共面，故B错误；在C中，分别连接PQ，RS，则PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面，故C错误；在D中，PS与RQ为异面直线，∴P，Q，R，S四点不共面，故D正确．故选：D．7．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：连结BC1，∵AC∥A1C1，∴∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角（或所成角的补角），∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，∴AB=，，BC 1==，A1C1=1，∴cos∠C1A1B===，∴异面直线A1B与AC所成角的余弦值为．故选：D．8．（5分）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：对图①，构造AB所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面MNP，由线面平行的定义可得AB∥平面MNP．对图④，通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP；对于②、③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行；故选：B．9．（5分）空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有（）A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC【解答】解∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD=B∴AD⊥平面BDC又∵AD在平面ADC内，∴平面ADC⊥平面DBC故选：D．10．（5分）以下命题正确的有（）①⇒b⊥α；②⇒a∥b；③⇒b∥α；④⇒b⊥α．A．①②B．①②③C．②③④D．①②④【解答】解：根据线面垂直的性质可知①正确；根据线面垂直的性质定理可知②正确；对于③，b可能在α内；对于④，b可能平行平面α，故选：A．11．（5分）过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有（）A．4条 B．6条 C．8条 D．12条【解答】解：作出如图的图形，H，G，F，I是相应直线的中点，故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，由此四点可以组成C42=6条直线，故选：B．12．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹为（）A．线段B1CB．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段【解答】解：如图，连接AC，AB1，B1C，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有BD1⊥面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，∴故点P的轨迹为面ACB1与面BCC1B1的交线段CB1．故选：A．二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13．（5分）已知正方形ABCD的边长是1，对角线AC与BD交于O，将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，并给出下面结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC=，则其中的真命题的序号是①③④．【解答】解：由题意，可作出如图的图象，在下图中，由正方形的性质知，CO ⊥BD，AO⊥BD，故可得BD⊥面AOC由此可得出BD⊥AC，∠AOC=60°，故①正确，又由题设条件O是正方形对角线的交点，可得出AO=CO，于是有③△AOC为正三角形，可得③正确；由上证知，CO与面ABD不垂直且CO⊥BD，故AD与CO不垂直，由此知②不正确；由上证知，△AOC是等边三角形，故AC=AO=CO=2，AD=CD=4，所以cos∠ADC==，故④正确由上判断知①③④故答案为：①③④14．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=1，∠BAC=90°，则PA与底面ABC所成角的大小为45°．【解答】解：∵AB=AC=1，∠BAC=90°，∴BC=，∵PB=PC=1，∴∠BPC=90°，取BC的中点E，则PE=AE=，∵PA=1，∴∠PEA=90°，则∠PAE=45°，∵E是BC的中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC，∴BC⊥平面ABC，则∠PAE是PA与底面ABC所成的角，即PA与底面ABC所成角的大小为45°．故答案为：45°15．（5分）已知=（x，2，﹣1），=（x，x，﹣1）分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，则x的值是﹣1．【解答】解：∵=（x，2，﹣1），=（x，x，﹣1）分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，∴=x2+2x+1=0，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．16．（5分）在平行四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD．将△ABD 沿BD折起，使得平ABD⊥面平面BCD，如图所示．若M为AD中点，则二面角M﹣BC﹣D的余弦值为．【解答】解：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．过M作MH⊥BD于H，则H为DB中点，MH⊥面BCD，过H作HN⊥BC于N，连接MN，则∠MNH为二面角M﹣BC﹣D的平面角．在Rt△BCD中，BD=CD=1，CD⊥BD，∴∠DBC=45°，∴又MH=，∴∴故答案为：．三、解答题（第17题14分，第18题14分，第19题14分，第20题14分，第21题14分，共5小题70分）17．（14分）如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的AB，BC，CD，DA边的中点，求证：（1）四点E，F，G，H共面；（2）BD∥平面EFGH．【解答】证明：（1）∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的AB，BC，CD，DA 边的中点，∴GH∥AC，EF∥AC，∴GH∥EF，∴四点E，F，G，H共面．（2）∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的AB，BC，CD，DA边的中点，∴EH∥BD，∵EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH．∴BD∥平面EFGH．18．（14分）如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD 的重心，已知BD=6．（1）判断MN与BD的位置关系；（2）求MN的长．【解答】解：（1）MN与BD平行．证明如下：如图连结AM、AN分别与BC、CD交于点E、F，由重心定义知E、F分别为中点连结EF．∵E、F分别为BC、CD的中点∴EF∥BD且EF=BD．又M为△ABC重心N为△ACD重心∴AM：ME=AN：NF=2：1．∴MN∥EF且MN=EF．∴MN∥BD（公理4）．（2）∵EF=BD．MN=EF，∴MN=EF=BD=2．19．（14分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．【解答】解：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥面SBD，所以AC⊥SD．（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则SD⊥OP，设正方形ABCD的边长为a，则SD=，OD=，则OD2=PD•SD，可得PD==，故可在SP上取一点N，使PN=PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连BN．在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，故平面BEN∥面PAC，得BE∥面PAC，由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1．20．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D 是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点，又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，所以A1B∥OD，因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…（6分）（2）解：由ABC﹣A 1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB1两两垂直．以BA为x轴，以BC为y轴，以BB1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=BC=2AA 1，∠ABC=90°，D是BC的中点，∴可设AA1=1，AB=BC=2，BD=DC=1，∴A（2，0，0），D（0，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，1），∴=（﹣2，2，1），，设平面ADC 1的法向量为，则，，∴，∴=（1，2，﹣2），∵平面ADC的法向量，所以二面角C1﹣AD﹣C的余弦值为|cos＜＞|=||=．21．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O 是对角线AC与BD的交点．M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．【解答】（1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB．∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB．∴OM∥平面PAB．（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．（3）解：∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴菱形ABCD的面积为S ABCD=AB=2，∵四棱锥P﹣ABCD的高为PA，∴⇒PA=，∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，在Rt△PAB中，PB=．。

2017-2018学年安徽省蚌埠铁中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（60分）1．（5分）点P在直线m上，m在平面a内可表示为（）A．P∈m，m∈a B．P∈m，m⊂a C．P⊂m，m∈a D．P⊂m，m⊂a 2．（5分）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（）A．2 B．C．D．3．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交4．（5分）下列命题中，真命题的个数为（）①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l．A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是（）A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α6．（5分）如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A．一条直线不相交 B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交7．（5分）设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β（）A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对8．（5分）直线xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）若直线l：y=kx+1（k＜0）与圆C：x2+4x+y2﹣2y+3=0相切，则直线l 与圆D：（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定10．（5分）直线x﹣2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[﹣2，0）∪（0，2] D．（﹣∞，+∞）11．（5分）已知直线l过点（1，0），且倾斜角为直线l0：x﹣2y﹣2=0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（）A．4x﹣3y﹣3=0 B．3x﹣4y﹣3=0 C．3x﹣4y﹣4=0 D．4x﹣3y﹣4=012．（5分）已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为（）A．4 B．4 C．5 D．5二．填空题（20分）13．（5分）若正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为．14．（5分）如图，直三棱柱ABC一A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为．15．（5分）经过两点A（﹣m，6）、B（1，3m）的直线的斜率是12，则m的值为．16．（5分）已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积，则直线y=（k ﹣1）x+2的倾斜角α=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E 是PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．18．（12分）如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA=SB=SC．D为斜边AC 的中点．（1）求证：SD⊥平面ABC；（2）若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC．19．（12分）如图，在三棱锥ABCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求三棱锥DABC的体积．20．（12分）已知M（m，n）为圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0上任意一点．（1）求m+2n的最大值；（2）求的最大值和最小值．21．（12分）已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a），（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；（2）若，过点M的圆的两条弦AC．BD互相垂直，求AC+BD的最大值．22．（10分）已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2017-2018学年安徽省蚌埠铁中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（60分）1．（5分）点P在直线m上，m在平面a内可表示为（）A．P∈m，m∈a B．P∈m，m⊂a C．P⊂m，m∈a D．P⊂m，m⊂a 【解答】解：∵点P在直线m上，m在平面a内，∴P∈m，m⊂a，故选：B．2．（5分）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（）A．2 B．C．D．【解答】解：将该几何体放入边长为2的正方体中，由三视图可知该四面体为D ﹣BD1C1，由直观图可知，最大的面为BDC1．在正三角形BDC1中，BD=，所以面积S=．故选：D．3．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选：D．4．（5分）下列命题中，真命题的个数为（）①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①对：如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；因为不在同一条直线上的3点，确定唯一平面，所以①正确；②对于：两条直线可以确定一个平面；必须是平行或相交直线，异面直线不能确定平面，所以②不正确；③对于：空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；反例：正方体的一个顶点出发的三条侧棱，不满足③，所以③不正确；④对于：若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l．满足平面相交的基本性质，正确；故选：B．5．（5分）若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是（）A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α【解答】解：若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是：通过观察正方体，可知b与α相交或b⊂α或b∥α6．（5分）如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A．一条直线不相交 B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交【解答】解：根据线面平行的定义可知直线与平面无交点∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α没有公共点从而直线a与平面α内任意一直线都没有公共点，则不相交故选：D．7．（5分）设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β（）A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对【解答】解：任意做过a的平面α，可以作无数个．在b上任取一点M，过M作α的垂线，b与垂线确定的平面β垂直与α．故选：D．8．（5分）直线xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：直线xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率k==﹣=．故选：A．9．（5分）若直线l：y=kx+1（k＜0）与圆C：x2+4x+y2﹣2y+3=0相切，则直线l 与圆D：（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【解答】解：圆C：x2+4x+y2﹣2y+3=0，可化为：（x+2）2+（y﹣1）2=2，∵直线l：y=kx+1（k＜0）与圆C：x2+4x+y2﹣2y+3=0相切，∴=（k＜0），∴k=﹣1，∴圆心D（2，0）到直线的距离d==，∴直线l与圆D：（x﹣2）2+y2=3相交，故选：A．10．（5分）直线x﹣2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[﹣2，0）∪（0，2] D．（﹣∞，+∞）【解答】解：令x=0，可得y=；令y=0，可得x=﹣b，∴，b≠0，解得﹣2≤b≤2，且b≠0．故选：C．11．（5分）已知直线l过点（1，0），且倾斜角为直线l0：x﹣2y﹣2=0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（）A．4x﹣3y﹣3=0 B．3x﹣4y﹣3=0 C．3x﹣4y﹣4=0 D．4x﹣3y﹣4=0【解答】解：由题意，直线x﹣2y﹣2=0的斜率为k=0.5，倾斜角为α，所以tanα=0.5，过点（1，0）的倾斜角为2α，其斜率为tan2α==，故所求直线方程为：y=（x﹣1），即4x﹣3y﹣4=0．故选：D．12．（5分）已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为（）A．4 B．4 C．5 D．5【解答】解：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12+d22=OM2=3．四边形ABCD的面积为：S=AC•BD=•2•2=2•≤4﹣+4﹣=5，当且仅当d12 =d22时取等号，故选：C．二．填空题（20分）13．（5分）若正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为1．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC 中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故答案为：1．14．（5分）如图，直三棱柱ABC一A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为．【解答】解：以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，由题意A1（1，0，0），B1（0，1，0），D（，0），C1（0，0，0），A（1，0，2），设F（0，1，t），0≤t≤2，=（，0），=（﹣1，1，﹣2），=（0，1，t），∵AB1⊥平面C1DF，∴，∴1﹣2t=0，解得t=．∴线段B1F的长为．故答案为：．15．（5分）经过两点A（﹣m，6）、B（1，3m）的直线的斜率是12，则m的值为﹣2．【解答】解：∵A（﹣m，6）、B（1，3m）的直线的斜率是12，∴k AB==12，∴m=﹣2．故答案为：﹣2．16．（5分）已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积，则直线y=（k﹣1）x+2的倾斜角α=．【解答】解：，当有最大半径时有最大面积，此时k=0，r=1，∴直线方程为y=﹣x+2，设倾斜角为α，则由tanα=﹣1且α∈[0，π）得．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E 是PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．【解答】解：（1）证明：连接BD，设BD与AC的交点为O，连接EO．因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB．因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC．（2）PC的中点G即为所求的点．证明如下：连接GE，FG，∵E为PD的中点，∴GE CD．又F为AB的中点，且四边形ABCD为矩形，∴FA CD．∴FA GE．∴四边形AFGE为平行四边形，∴FG∥AE．又FG⊄平面AEC，AE⊂平面AEC，∴FG∥平面AEC．18．（12分）如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA=SB=SC．D为斜边AC 的中点．（1）求证：SD⊥平面ABC；（2）若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC．【解答】证明：（1）如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA=SB，∴SE⊥AB．又SE∩DE=E，∴AB⊥平面SDE．又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD．在△SAC中，SA=SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC．又AC∩AB=A，∴SD⊥平面ABC．（2）由于AB=BC，则BD⊥AC，由（1）可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC=D，∴BD⊥平面SAC．19．（12分）如图，在三棱锥ABCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求三棱锥DABC的体积．【解答】解：（1）证明：设BD的中点为O，连接AO，EO，∵AB=AD，∴AO⊥BD．又E为BC的中点，∴EO∥CD．∵CD⊥BD，∴EO⊥BD．又OA∩OE=O，∴BD⊥平面AOE．又AE⊂平面AOE，∴AE⊥BD．（2）由已知得三棱锥DABC与CABD的体积相等．∵CD⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，BD==2．=×BD×=．由已知得S△ABD∴三棱锥CABD的体积V CABD=×CD×S△ABD=．∴三棱锥DABC的体积为．20．（12分）已知M（m，n）为圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0上任意一点．（1）求m+2n的最大值；（2）求的最大值和最小值．【解答】解：（1）因为x2+y2﹣4x﹣14y+45=0的圆心C（2，7），半径r=2，设m+2n=t，将m+2n=t看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d=≤2，解上式得，16﹣2≤t≤16+2，所以所求的最大值为16+2．（2）记点Q（﹣2，3），因为表示直线MQ的斜率k，所以直线MQ的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0．由直线MQ与圆C有公共点，得≤2．可得2﹣≤k≤2+，所以的最大值为2+，最小值为2﹣．21．（12分）已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a），（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；（2）若，过点M的圆的两条弦AC．BD互相垂直，求AC+BD的最大值．【解答】解：（1）由条件知点M在圆O上，∴1+a2=4∴a=±当a=时，点M为（1，），k OM=，此时切线方程为：y﹣=﹣（x﹣1）即：x+y﹣4=0当a=﹣时，点M为（1，﹣），k OM=﹣，此时切线方程为：y+=（x﹣1）即：x﹣y﹣4=0∴所求的切线方程为：x+y﹣4=0或即：x﹣y﹣4=0（2）当AC的斜率为0或不存在时，可求得AC+BD=2（+）当AC的斜率存在且不为0时，设直线AC的方程为y﹣=k（x﹣1），直线BD的方程为y﹣=（x﹣1），由弦长公式l=2可得：AC=2BD=2∵AC2+BD2=4（+）=20∴（AC+BD）2=AC2+BD2+2AC×BD≤2（AC2+BD2）=40故AC+BD≤2即AC+BD的最大值为222．（10分）已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x 轴上且在直线l的右上方．设圆心C（a，0），则，解得a=0或a=﹣5（舍）．所以圆C：x2+y2=4．（2）如图，当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得到：（k2+1）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，所以x1+x2=，x1x2=．②若x轴平分∠ANB，k AN=﹣k BN，所以：，整理得：2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，解得：t=4．所以当点N为（4，0）时，能使得∠ANM=∠BNM总成立．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2018-2019学年安徽省蚌埠一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下面四个条件中，能确定一个平面的条件是（）A. 空间中任意三点B. 空间中两条直线C. 一条直线和一个点D. 两条平行直线2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD成异面直线的棱共有（）A. 4条B. 5条C. 6条D. 7条3.在直角坐标系xOy中，在y轴上截距为-1且倾斜角为的直线方程为（）A. B. C. D.4.圆x2+y2+ax=0的圆心横坐标为1，则a等于（）A. 1B. 2C.D.5.下面命题中正确的是（）①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行．A. ①③B. ②④C. ②③④D. ③④6.如图，如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形OAB，斜边长OB=1，那么原平面图形的面积是（）A. 2B.C.D.7.过点P（2，1）且被圆C：x2+y2-2x+4y=0 截得弦长最长的直线l的方程是（）A. B. C. D.8.已知直线ax+y+2=0及两点P（-2，1）、Q（3，2），若直线与线段PQ相交，则a的取值范围是（）A. 或B. 或C.D.9.直线绕原点逆时针方向旋转30°后所得直线与圆（x-2）2+y2=3的位置关系是（）A. 直线过圆心B. 直线与圆相交，但不过圆心C. 直线与圆相切D. 直线与圆无公共点10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是AD的中点，则异面直线A1B与C1E所成角的大小是（）A.B.C.D.11.某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A. B. C. D.12.已知k∈R，点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-2k+3的公共点，则ab的最大值为（）A. 15B. 9C. 1D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是______．14.过点A（1，2）且与两定点（2，3）、（4，-5）等距离的直线方程为______．15.如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P为SB的中点．异面直线SA与PD所成角的正切值为______．16.己知圆x2-2ax+y2=0与圆x2+y2=4交于A，B两点．O是坐标原点，且∠AOB≥120°，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知△ABC三个顶点是A（0，5），B（1，-2），C（-3，-4）．（1）求BC边高线AD所在直线方程．（2）求△ABC外接圆方程．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AB=1，（1）求证：GA∥面PCE．（2）求证：面PCD⊥面PAD．19.已知圆C：（x-a）2+（y-2）2=4（a＞0）及直线l：x-y+3=0．直线l被圆C截得的弦长为．（1）求a的值；（2）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．20.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）求证：直线AB1∥平面BC1D；21.圆C的半径为3，圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为．若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．22.已知：直线l：3x+4y+1=0，一个圆与x，y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3．（1）求圆的方程．（2）P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点．求四边形PECF的面积的最小值．（3）圆与x轴交点记作A，过A作一直线l1与圆交于A，B两点，AB中点为M，求|OM|最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：对于答案A：当这三个点共线时经过这三点的平面有无数个故A答案错．对于答案B：当这两条直线是异面直线时则根据异面直线的定义可得这对异面直线不同在任何一个平面内故B答案错．对于答案C：当此点在此直线上时有无数个平面经过这条直线和这个点故C答案错．对于答案D：根据确定平面的公理的推论可知两条平行线可唯一确定一个平面故D答案对故选：D．根据确定平面的公理和推论逐一判断即可得解．本题主要考察确定平面的公理及推论．解题的关键是要对确定平面的公理及推论理解透彻！2.【答案】A【解析】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD成异面直线的棱有：BB1，CC1，A1B1，C1D1，共4条．故选：A．利用列举法能求出在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD成异面直线的棱的条数．本题考查与正方体中一条棱是异面直线的棱的条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由题意可得，直线的斜率k=-1根据直线方程的截距式可知所求的直线方程为y=-x-1即x+y+1=0故选：A．由直线的倾斜角可求直线的斜率，根据直线方程的斜截式可求直线方程本题主要考查了直线方程的斜截式的简单应用，属于基础试题4.【答案】D【解析】解：圆x2+y2+ax=0，即圆（x+）2+y2=，它的圆心横坐标为-=1，a=-2，故选：D．把圆的方程化为标准形式，可得圆心坐标，再根据圆心横坐标为1，求得a的值．本题主要考查圆的标准方程，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：①根据面面平行的判定定理可知，平面内的两条直线必须是相交直线，否则面面不平行．②根据面面平行的定义可知，必须是平面内的所有直线都与另外一个平面平行，否则面面不平行．③根据面面平行的定义可知，一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，正确．④根据面面平行的判定定理可知，一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行，正确．故选：D．分别根据面面平行的定义和面面平行的判定定理进行判定．本题主要考查了面面平行的定义和面面平行的判定定理的应用，要求熟练掌握相应的定义和定理，注意定理成立的条件．6.【答案】B【解析】解：∵OB=1，△OAB为等腰直角三角形，∴OA=，据斜二测画法可知，在原系中点A′在y′轴上，且OA′=，故原三角形OA′B的面积为．故选：B．利用斜二测画法法则可知点A在原系中的位置，进而得解．此题考查了斜二测画法，属容易题．7.【答案】A【解析】解：依题意可知过点P和圆心的直线被圆截得的弦长最长，整理圆方程得（x-1）2+（y+2）2=5，圆心为（1，-2）．又P（2，1）和圆心（1，-2），可求出过点P和圆心的直线的斜率为k==3 ∴过点P和圆心的直线方程为y-1=3（x-2），整理得3x-y-5=0当过点P的直线过圆心时，截得的弦长正是圆的直径，为弦长最长的情况，进而根据圆的方程求得圆心坐标，根据圆心和点P的坐标求得所求直线的方程．本题主要考查了直线与圆的位置关系．考查了学生分析问题和解决问题的能力．8.【答案】A【解析】解：因为直线ax+y+2=0恒过（0，-2）点，由题意如图，可知直线ax+y+2=0及两点P（-2，1）、Q（3，2），直线与线段PQ相交，K AP==-，K AQ==，所以-a≤-或-a≥，所以a≤-，或a≥，故选：A．确定直线系恒过的定点，画出图形，即可利用直线的斜率求出a的范围．本题考查恒过定点的直线系方程的应用，直线与直线的位置关系，考查数形结合与计算能力．9.【答案】C【解析】解：因为直线的方程为y=x，所以直线的斜率k=tanα=，得到直线的倾斜角α=30°，将直线绕原点逆时针方向旋转30°后所得直线的倾斜角为60°，所以所得直线的方程为y=x，由圆的方程（x-2）2+y2=3，得到圆心坐标为（2，0），半径r=所以圆心到直线y=x的距离d===r，则该直线与圆的位置关系是相切．求出已知直线的倾斜角，然后求出绕原点逆时针方向旋转30°后所得直线的倾斜角，即可得到所得直线的斜率，写出所得直线的方程，然后由圆的方程找出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到所得直线的距离d与半径r比较大小即可得到直线与圆的位置关系．此题考查学生掌握直线的倾斜角与斜率的关系以及掌握直线与圆位置关系的判别方法，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．10.【答案】D【解析】【分析】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．先将异面直线C1E放在一个面AC1内，再证明另一直线A1B与该平面垂直，即可证得两异面直线A1B与C1E垂直，从而两异面直线所成角为90°．【解答】解：如图，连接AB 1，DC1，则A1B AB1,又因为AD⊥平面A1B1BA，则AD⊥A1B,所以A1B⊥面AB1C1D，而C1E⊂面AB1C1D，∴A1B⊥C1E，故选D．11.【答案】C【解析】解：由三视图可知原几何体为三棱锥，其中底面△ABC为俯视图中的钝角三角形，∠BCA为钝角，其中BC=2，BC边上的高为2，PC⊥底面由以上条件可知，∠PCA为直角，最长的棱为PA或AB，在直角三角形PAC中，由勾股定理得，PA===2，又在钝角三角形ABC中，AB==．故选：C．本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案．本题为几何体的还原，与垂直关系的确定，属基础题．12.【答案】B【解析】解：由题意，圆心（0.0）到直线的距离d=≤解得-3≤k≤1，又∵k2-2k+3＞0恒成立∴k的取值范围为-3≤k≤1，由点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-2k+3的公共点，得（a+b）2-a2-b2=2ab=3k2+2k-3=3（k+）2-，∴k=-3时，ab的最大值为9．故选：B．先根据直线与圆相交，圆心到直线的距离小于等于半径，以及圆半径为正数，求出k的范围，再根据P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-2k+3的公共点，满足直线与圆方程，代入直线与圆方程，化简，求出用k表示的ab的式子，根据k的范围求ab的最大值．本题主要考查了直线与圆相交位置关系的判断，做题时考虑要全面，不要丢情况．13.【答案】2π【解析】解：由题意：圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，∴对于轴截面有：，∴a2=4，∴a=2，所以圆锥的侧面积为：π•1•2=2π．故答案为：2π．本题考查的是圆锥的侧面积求解问题．在解答的时候，应先结合：圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，分析圆锥的母线长和底面半径长，结合圆锥的侧面积公式即可获得问题的解答．本题考查的是圆锥的侧面积求解问题．在解答的过程当中充分体现了三角形面积公式的应用、圆锥侧面积公式的应用以及转化思想的应用．值得同学们体会反思．14.【答案】3x+2y-7=0，4x+y-6=0【解析】解：①过两定点（2，3）、（4，-5）的直线方程为：y-3=（x-2），化为：4x+y-11=0，过点A（1，2）的直线与直线：4x+y-11=0平行时满足条件：y-2=-4（x-1），化为：4x+y-6=0．②两定点（2，3）、（4，-5）所在线段的中点为（3，-1）．则经过点A（1，2）与中点的直线满足条件：y-2=（x-1），化为：3x+2y-7=0．综上可得：满足条件的直线方程为：3x+2y-7=0，4x+y-6=0．故答案为：3x+2y-7=0，4x+y-6=0．①过两定点（2，3）、（4，-5）的直线方程为：y-3=（x-2），过点A（1，2）的直线与直线平行时满足条件．②两定点（2，3）、（4，-5）所在线段的中点为（3，-1）．经过点A（1，2）与中点的直线满足条件．本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：连接OP则OP SA，故∠OPD即为SA与PD的夹角．∵SO=OB=2∴SA=∴OP=又在△PCD中PO⊥CD∴在Rt△POD中OD=2，OP=∴tan＜SA，PD＞==故答案为：由于SA与PD是异面直线，所以需要平移为相交直线才可以找到异面直线SA与PD所成角，因此连接OP在利用中位线可达到这一目的．此题关键是构造出△PCD并且利用圆锥的对称性得到△PCD为直角三角形进而求解．16.【答案】-≤a＜-1或1＜a≤【解析】解：圆x2-2ax+y2=0的圆心C（a，0），半径为|a|（a≠0），∴直线AB的方程为：x2-2ax+y2-x2-y2-4=0，即x=，因为两圆相交，所以＜2，∴|a|＞1，①∵∠AOB≥120°，∴sin∠AOX=≥，∴|a|≤，②由①②得1＜|a|，故答案为：-≤a＜-1或1＜a≤两圆方程相减得公共弦所在直线方程为：x=，根据两圆相交得＜2，∴|a|＞1①，根据∠AOB≥120°，∴sin∠AOX=≥，∴|a|≤．②，①②联立可得．本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，属中档题．17.【答案】解：（1）∵B（1，-2），C（-3，-4），∴ ，∴k AD=-2，∴AD所在直线方程为y=-2x+5．（2）设△ABC外接圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，将A（0，5），B（1，-2），C（-3，-4）代入圆的方程得：，解得a=-3，b=1，r=5，故△ABC外接圆的方程为（x+3）2+（y-1）2=25．【解析】（1）先求BC的斜率，根据垂直得AD的斜率，由点斜式得AD的方程；（2）待定系数法设出圆的标准方程，再代入三个点的坐标，解方程组可得．本题考查了圆的标准方程．属基础题．18.【答案】证明：（1）设PC的中点为H，连接GH，EH，∵在△PCD中，G是PD中点，H是PC的中点，∴GH∥CD且，又∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵E是AB中点，∴AE∥CD且，∴AE∥GH且AE=GH，∴四边形AEHG是平行四边形，∴AG∥EH，又∵AG⊄平面PCE，EH⊂平面PCE，∴AG∥平面PCE．（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，∵PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD．【解析】（1）设PC的中点为H，连接GH，EH，推导出ABCD是正方形，从而AB∥CD，推导出四边形AEHG是平行四边形，从而AG∥EH，由此能证明AG∥平面PCE．（2）推导出PA⊥CD，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，由此能证明平面PCD⊥平面PAD．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）∵圆C：（x-a）2+（y-2）2=4的圆心为C（a，2），半径r=2，而圆心C到直线l：x-y+3=0的距离，依题，∴，解得a=-3或a=1，∵a＞0，∴所求a=1．（2）∵切线过点（3，5），设所求切线方程为y-5=k（x-3），即kx-y+5-3k=0，该直线与（x-1）2+（y-2）2=4相切，∴，解得，又∵（3-1）2+（5-2）2＞4，∴点（3，5）在圆C外，切线应有两条，斜率不存在时x=3是另一条切线．∴所求切线方程为x=3或5x-12y+45=0．【解析】（1）圆C的圆心为C（a，2），半径r=2，圆心C到直线l：x-y+3=0的距离，由直线l被圆C截得的弦长为，得，从而，由此能求出a．（2）由切线过点（3，5），设所求切线方程为kx-y+5-3k=0，由该直线与（x-1）2+（y-2）2=4相切，求出，由点（3，5）在圆C外，切线应有两条，斜率不存在时x=3是另一条切线．由此能求出所求切线方程．本题考查实数值的求法，考查切线方程的求法，考查圆、直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．20.【答案】证明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点，∴BD⊥AC，AA1⊥BD，∵AC∩AA1=A，∴BD⊥平面ACC1A1．（Ⅱ）连结B1C，交BC1于O，连结OD，∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，∴O是B1C的中点，∵D为线段AC的中点，∴OD∥AB1，∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D．【解析】（Ⅰ）推导出BD⊥AC，AA1⊥BD，由此能证明BD⊥平面ACC1A1．（Ⅱ）连结B1C，交BC1于O，连结OD，则OD∥AB1，由此能证明直线AB1∥平面BC1D．本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：（1）如图由圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为可得圆心到x轴的距离为2∴C（1，-2）∴圆C的方程是（x-1）2+（y+2）2=9--（4分）（2）设L的方程y=x+b，以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0 ①---------------（6分）由得2x2+（2b+2）x+（b2+4b-4）=0----------（8分）要使方程有两个相异实根，则△=（2+2b）2-4×2（b2+4b-4）＞0 即＜b＜---------（9分），---------------------------（10分）由y1=x1+b，y2=x2+b，代入x1x2+y1y2=0，得2x1x2+（x1+x2）b+b2=0-------（12分）即有b2+3b-4=0，b=-4，b=1---------------------------------（13分）故存在直线L满足条件，且方程为y=x-4或y=x+1----------------------（14分）【解析】（1）由圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为可得圆心到x轴的距离为1，则可知C（1，-2），从而可得圆C的方程（2）设L的方程y=x+b，以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，联立直线方程与圆的方程，由△=（2+2b）2-4×2（b2+4b-4）＞0可得＜b＜，由方程的根与系数的关系代入x1x2+y1y2=0，可求b，从而可求直线方程本题主要考查了直线与圆相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于基本知识的综合应用．22.【答案】解：（1）设圆的方程为（x-a）2+（y-a）2=a2．∵圆心到直线l的距离为3，∴ ，解得（舍）或a=2，∴圆的方程为（x-2）2+（y-2）2=4．．（2）四边形∵PC最小值=3，∴S四边形PECF的最小值=．（3）设M点坐标为（x，y），则A（2，0），B（2x-2，2y）．∵点B在圆（x-2）2+（y-2）2=4，∴将B点坐标代入圆的方程得：（2x-4）2+（2y-2）2=4，即（x-2）2+（y-1）2=1，∴点M在以（2，1）为圆心，1为半径的圆上，．∴最大值【解析】（1）根据条件设出圆的标准方程，再根据点到直线的距离列式可求出；（2）根据面积公式得，|PC|最小时，面积才最小．而|PC|的最小值就是圆心到直线l的距离；（3）先求出动点M的轨迹方程，是一个圆N．然后|OM|的最大值是|ON|+半径R．本题考查了直线与圆的位置关系．属中档题．。

安徽省蚌埠市高二上学期期中数学试题姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知全集 U={1，2，3，4，5，6}，集合 P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则 A . {1}=（ ）B . {3，5}C . {1，2，4，6}D . {1，2，3，4，5}2. （2 分） 设 M、N、P 为三个集合，则 M∩P=N∩P 是“M=N”的（ ）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分又非必要条件3. （2 分） 已知等差数列 前 n 项和为 ， 且， 则 的值为（ ）A . 13B . 26C.8D . 1624. （2 分） 已知向量 =(2,1)， =(1,k)，且 与 的夹角为锐角，则 k 的取值范围是（ ） A.B.第 1 页 共 13 页C. D . (-2,2) 5. （2 分） (2020·阜阳模拟) 一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为 ， 大圆柱底面半径为 ，如图 1 放置容器时，液面以上空余部分的高为 ，如图 2 放置容器时，液面以上空余部分的高为 ，则（）A. B. C. D. 6. （2 分） (2016 高二上·绥化期中) 设 m，n 是不同的直线，α，β，γ 是不同的平面，有以下四个命题：①② ③ ④ 其中，真命题是（ ）第 2 页 共 13 页A . ①④ B . ②③ C . ①③ D . ②④7. （2 分） 椭圆 E 以抛物线 C：y2=﹣4x 的焦点为焦点，它们的交点的横坐标为﹣ （），则椭圆的标准方程为A.B.C.D. 8. （2 分） 由一组样本数据（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn），得到回归直线方程 =bx+a，那么 下面说法不正确的是（ ） A . 直线 =bx+a 至少经过（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn）中的一个点 B . 直线 =bx+a 必经过（ ）C . 直线 =bx+a 的斜率为D . 直线 =bx+a 的纵截距为 ﹣b9. （2 分） (2017 高二下·南昌期末) 已知函数 f（x）=2x2﹣ax+5 在区间[1，+∞）上是单调递增函数，则 实数 a 的取值范围是（ ）A . （﹣∞，4]B . （﹣∞，4）C . [4，+∞）第 3 页 共 13 页D . （4，+∞）10. （2 分） 在平面斜坐标系 中,点 的斜坐标定义为:“若与斜坐标系的 轴, 轴同方向的单位向量),则点 的坐标为”.若,则点 在斜坐标系中的轨迹方程为（ ）(其中 分别为且动点满足A.B.C.D.11. （2 分） (2012·天津理) 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c．已知 8b=5c，C=2B，则 cosC= （）A.B.C.D.12. （2 分） 已知椭圆 围为（ ）与双曲线有相同的焦点，则椭圆 的离心率 的取值范A.B. C.D.第 4 页 共 13 页二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高一上·喀什月考)，=________14. （1 分） (2016 高一下·辽宁期末) 已知 tanα=2，tanβ=3，且 α、β 都是锐角，则 tan 15. （1 分） (2016 高二上·灌云期中) 已知 lgx+lgy=1，则 2x+5y 的最小值为________．=________．16. （1 分） (2016 高二上·宜昌期中) 设数列{an}是首项为 0 的递增数列，fn（x）=|sin （x﹣an）|， x∈[an ， an+1]，n∈N* ， 满足：对于任意的 b∈[0，1），fn（x）=b 总有两个不同的根，则{an}的通项公式为 ________三、 解答题 (共 6 题；共 75 分)17. （10 分） (2016 高一下·安徽期中) 已知数列{an}满足 a1=9，an+1=an+2n+5；数列{bn}满足 b1= ，bn+1=bn（n≥1）．（1） 求 an，bn；（2） 记数列{}的前 n 项和为 Sn，证明： ≤Sn＜ ．18. （15 分） (2017·海淀模拟) 已知一个由 11 人组成的评审委员会以投票方式从符合要求的甲，乙两名候 选人中选出一人参加一次活动．投票要求委员会每人只能选一人且不能弃选，每位委员投票不受他人影响．投票结 果由一人唱票，一人统计投票结果．（Ⅰ）设：在唱到第 k 张票时，甲，乙两人的得票数分别为 xk ， yk ， N（k）=xk﹣yk ， k=1，2，…，11．若 下图为根据一次唱票过程绘制的 N（k）图，第 5 页 共 13 页则根据所给图表，在这次选举中获胜方是谁？y7 的值为多少？图中点 P 提供了什么投票信息？（Ⅱ）设事件 A 为“候选人甲比乙恰多 3 票胜出”，假定每人选甲或乙的概率皆为 为多少？，则事件 A 发生的概率（Ⅲ）若在不了解唱票过程的情况下已知候选人甲比乙 3 票胜出．则在唱票过程中出现甲乙两人得票数相同情 况的概率是多少？19. （10 分） (2018 高一下·江津期末) 如图，在中，已知，D 是 BC 边上的一点，（1） 求的面积；（2） 求边 的长.20. （15 分） 如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，G 为△ABC 的重心，．（1） 求证：GE∥平面 ABB1A1；（2） 若侧面 ABB1A1⊥底面 ABC，∠A1AB=∠BAC=60°，AA1=AB=AC=2，求直线 A1B 与平面 B1GE 所成角 θ 的正 弦值．21.（10 分）(2018 高一下·宜昌期末) 已知各项均不相等的等差数列 的前五项和，且成等比数列；第 6 页 共 13 页（1） 求数列 的通项公式；（2） 若 为数列的前 项和，且存在，使得成立，求实数 的取值范围。

2017-2018学年安徽省蚌埠一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，每小题只有一个正确答案，请将答案填写至答题卷的相应位置）1．（5分）已知集合M={x|x2≥x}，N={y|y=3x+1，x∈R}，则M∩N=（）A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x|x≤0或x＞1}D．{x|0≤x≤1}2．（5分）计算：=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i3．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时为减函数，且f（2）=0，则{x|f（x﹣2）＜0}=（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|0＜x＜2或x＞2} D．{x|0＜x＜2或x＞4}4．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，2a7﹣a8=5，则S11为（）A．110 B．55 C．50 D．不能确定5．（5分）已知p：幂函数y=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递增；q：|m ﹣2|＜1，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不要条件6．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．（5分）设点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上，则z=x2+y2﹣2x+1的最小值为（）A．1 B．C．4 D．8．（5分）函数f（x）=（x﹣1）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．+1 B．+3 C．+1 D．+310．（5分）设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点F1，F2，若P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x11．（5分）已知函数f′（x）是函数f（x）的导函数，f（1）=，对任意实数都有f（x）﹣f′（x）＞0，则不等式f（x）＜e x﹣2的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，e）C．（1，e） D．（e，+∞）12．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，请将答案直接填写至答题卷的相应位置）13．（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX=．14．（5分）设，则（x﹣）6的展开式中的常数项为．15．（5分）已知函数，若正实数a，b满足f（4a）+f（b﹣9）=0，则的最小值为．16．（5分）给出下列命题中①非零向量，满足||=||=||，则与的夹角为30°；②＞0是，的夹角为锐角的充要条件；③若2=则△ABC必定是直角三角形；④△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若=2，且||=||，则向量在向量方向上的投影为．以上命题正确的是（注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知p：（x+1）（x﹣5）≤0，q：1﹣m≤x≤1+m（m＞0）（1）若p是q的充分条件，求m范围．（2）若m=5，“p∨q”为真，“p∧q”为假，求x范围．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PA⊥平面CDM；（Ⅱ）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．19．（12分）某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试．已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响．（Ⅰ）求甲通过自主招生初试的概率；（Ⅱ）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；（Ⅲ）记甲答对试题的个数为X，求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．21．（12分）已知椭圆C：的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M、N两点，△MNF2的面积为，椭圆C 的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P（P不与原点O重合），与椭圆C交于A，B两个不同的点，使得，求m的取值范围．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．2017-2018学年安徽省蚌埠一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，每小题只有一个正确答案，请将答案填写至答题卷的相应位置）1．（5分）已知集合M={x|x2≥x}，N={y|y=3x+1，x∈R}，则M∩N=（）A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x|x≤0或x＞1}D．{x|0≤x≤1}【解答】解：由M中不等式变形得：x（x﹣1）≥0，解得：x≤0或x≥1，即M={x|x≤0或x≥1}，由N中y=3x+1＞1，得到N={x|x＞1}，则M∩N={x|x＞1}，故选：A．2．（5分）计算：=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【解答】解：===2，故选：A．3．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时为减函数，且f（2）=0，则{x|f（x﹣2）＜0}=（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|0＜x＜2或x＞2} D．{x|0＜x＜2或x＞4}【解答】解：∵f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（2）=0，∴当0＜x＜2时，f（x）＞0，当x＞2时，f（x）＜0，又f（x）是奇函数，∴当x＜﹣2时，f（x）＞0，当﹣2＜x＜0时，f（x）＜0，∵f（x﹣2）＜0，∴x﹣2＞2或﹣2＜x﹣2＜0，解得0＜x＜2或x＞4．故选：D．4．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，2a7﹣a8=5，则S11为（）A．110 B．55 C．50 D．不能确定【解答】解：2a7﹣a8=2（a1+6d）﹣（a1+7d）=a1+5d=a6=5，∴．故选：B．5．（5分）已知p：幂函数y=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递增；q：|m ﹣2|＜1，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不要条件【解答】解：p：幂函数y=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递增；∴m2﹣m﹣1=1，m＞0，解得m=2．q：|m﹣2|＜1，解得1＜m＜3．则p是q的充分不必要条件．故选：A．6．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：=，故把的图象向左平移个单位，即得函数的图象，即得到函数的图象．故选：C．7．（5分）设点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上，则z=x2+y2﹣2x+1的最小值为（）A．1 B．C．4 D．【解答】解：作出不等式组表对应的平面区域，z=x2+y2﹣2x+1=（x﹣1）2+y2，则z的几何意义是区域内的点到点D（1，0）的距离的平方，由图象知D到直线2x﹣y=0的距离最小，此时d==，故选：D．8．（5分）函数f（x）=（x﹣1）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：当x＞1时，f（x）=（x﹣1）lnx＞0，故排除C，D，当0＜x＜1时，x﹣1＜0，lnx＜0，∴f（x）=（x﹣1）lnx＞0，故排除B故选：A．9．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．+1 B．+3 C．+1 D．+3【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为××π×12×3+××××3=+1，故选：A．10．（5分）设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点F1，F2，若P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，∵F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，∴=2c，∴c2+4b2=4c2，∴c2+4（c2﹣a2）=4c2，∴c2=4a2，即c=2a，b==a，∴双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．11．（5分）已知函数f′（x）是函数f（x）的导函数，f（1）=，对任意实数都有f（x）﹣f′（x）＞0，则不等式f（x）＜e x﹣2的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，e）C．（1，e） D．（e，+∞）【解答】解：根据题意，设g（x）=，其导数g′（x）==，又由f（x）对任意实数都满足f（x）﹣f′（x）＞0，则g′（x）＜0，则函数g（x）在R上为减函数，又由f（1）=，则g（1）==，f（x）＜e x﹣2⇒＜⇒g（x）＜g（1），又由函数g（x）在R上为减函数，则g（x）＜g（1）⇒x＞1，即不等式的解集为（1，+∞）；故选：A．12．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，请将答案直接填写至答题卷的相应位置）13．（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX= 1.96．【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．故答案为：1.96．14．（5分）设，则（x﹣）6的展开式中的常数项为﹣160．【解答】解：∵=（x3﹣cosx）=（1﹣cos1）﹣（﹣1﹣cos（﹣1））=2，∴（x﹣）6即，∴=（﹣2）r x6﹣2r，令6﹣2r=0，得r=3，∴（x﹣）6的展开式中的常数项为：=﹣160．故答案为：﹣160．15．（5分）已知函数，若正实数a，b满足f（4a）+f（b﹣9）=0，则的最小值为1．【解答】解：根据题意，对于函数，则有=﹣=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，y=x+sinx的导数为y′=1+cosx≥0，函数y单调递增，又=1﹣在R上递增，则f（x）在R上递增，若正实数a，b满足f（4a）+f（b﹣9）=0，必有4a+b=9，则=（4a+b）（）=（5++）≥（5+4）=1；即的最小值为1；故答案为：1．16．（5分）给出下列命题中①非零向量，满足||=||=||，则与的夹角为30°；②＞0是，的夹角为锐角的充要条件；③若2=则△ABC必定是直角三角形；④△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若=2，且||=||，则向量在向量方向上的投影为．以上命题正确的是①③④（注：把你认为正确的命题的序号都填上）【解答】解：对于①，非零向量，满足||=||=||，则以、为邻边的平行四边形，是夹角为60°的菱形，∴与+的夹角为30°，①正确；对于②，＞0时，，的夹角为锐角，或、同向共线，∴是必要不充分条件，②错误；对于③，2==•﹣•+•=•（﹣）+•=•（﹣）+•=+•∴•=0∴⊥，△ABC是直角三角形，③正确；对于④，如图，取BC边的中点D，连接AD，则：+=2=2，∴O和D重合，O是△ABC外接圆圆心，∴||=；∴∠BAC=90°，∠BOA=120°，∠ABO=30°；又|OA|=|OB|=1，∴||=；∴向量在向量方向上的投影为||cos∠ABO=×cos30°=，④正确；综上，正确的命题是①③④．故答案为：①③④．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知p：（x+1）（x﹣5）≤0，q：1﹣m≤x≤1+m（m＞0）（1）若p是q的充分条件，求m范围．（2）若m=5，“p∨q”为真，“p∧q”为假，求x范围．【解答】解：p：（x+1）（x﹣5）≤0，化为：﹣1≤x≤5．q：1﹣m≤x≤1+m（m＞0）．（1）p是q的充分条件，则，等号不同时成立，解得m≥4．（2）m=5，q：﹣4≤x≤6．“由p∨q”为真，“p∧q”为假，可得p与q必然一真一假．∴，或．解得∅或﹣4≤x≤﹣1或5＜x≤6．∴x的取值范围是[﹣4，﹣1]∪（5，6]．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PA⊥平面CDM；（Ⅱ）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取DC的中点O，由△PDC是正三角形，有PO⊥DC，又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC建立空间直角坐标系如图，则A（，0，0），P（0，0，），D（0，1，0），B（，2，0），C（0，1，0），∵M为PB中点，∴M（，1，），∴=（，2，），=（），=（0，2，0），∴==0，=0，∴PA⊥DM，PA⊥DC∵DM∩DC=D，∴PA⊥平面DMC．解：（Ⅱ）=（），=（），令平面BMC的法向量=（x，y，z），则，取x=﹣1，得=（﹣1，），由（Ⅰ）知平面CDM的法向量可取，∴cos＜＞===﹣．∴所求二面角D﹣MC﹣B的余弦值为﹣．19．（12分）某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试．已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响．（Ⅰ）求甲通过自主招生初试的概率；（Ⅱ）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；（Ⅲ）记甲答对试题的个数为X，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，在这8个试题中甲能答对6个，∴甲通过自主招生初试的概率．…（3分）（Ⅱ）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试．在这8个试题中乙能答对每个试题的概率为，∴乙通过自主招生初试的概率；∵，∴甲通过自主招生初试的可能性更大．…（7分）（Ⅲ）依题意，X的可能取值为2，3，4，，，，∴X的概率分布列为：∴．…（12分）20．（12分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，{b n}的通项公式为．（Ⅱ）解：设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，有，，上述两式相减，得=．得．所以，数列{a2n b n}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．21．（12分）已知椭圆C：的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M、N两点，△MNF2的面积为，椭圆C 的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P（P不与原点O重合），与椭圆C交于A，B两个不同的点，使得，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据已知椭圆C的焦距为2c，当y=c时，，由题意△MNF2的面积为，由已知得，∴b2=1，∴a2=4，∴椭圆C的标准方程为=1．﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，∴，，﹣﹣﹣（6分）由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0，由，得﹣x1=3x2，即x1=﹣3x2，∴，﹣﹣﹣（8分）∴，即m2k2+m2﹣k2﹣4=0．当m2=1时，m2k2+m2﹣k2﹣4=0不成立，∴，﹣﹣﹣（10分）∵k2﹣m2+4＞0，∴＞0，即，∴1＜m2＜4，解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．综上所述，m的取值范围为{m|﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2}．﹣﹣﹣（12分）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去t得，即4x+3y﹣2=0．曲线C：，即ρ=2cosθ+2sinθ，又，ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．故曲线C：x2+y2﹣2x﹣2y=0．（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数）⇒直线l的参数方程为（t′为参数），代入曲线C：x2+y2﹣2x﹣2y=0，消去x，y得t/2+4t′+3=0，由参数t′的几何意义知，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2．证明： （1）（a +b ）（a 5+b 5）≥4； （2）a +b ≤2．【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a +b ）（a 5+b 5）≥（a•a 5+b•b 5）2=（a 3+b 3）2=4，当且仅当ab 5=ba 5，即a=b=1时取等号； （2）∵a 3+b 3=2，∴（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）=2， ∴（a +b ）[（a +b ）2﹣3ab ]=2， ∴（a +b ）3﹣3ab （a +b ）=2， ∴=ab ，由均值不等式可得：=ab ≤（）2，∴（a +b ）3﹣2≤，∴（a +b ）3≤2，∴a +b ≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx x(q)0x则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

2017—2018学年度高二第一学期期中考试数学（理科）试题（试卷分值：150分 考试时间：120分钟 ）注意事项：第Ⅰ卷所有选择题的答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置，第Ⅱ卷的答案必须用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡的相应位置上，否则不予计分。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.判断圆1:221=+y x C 与圆9)2()2(:222=-+-y x C 的位置关系是A ．相离 B.外切 C. 相交 D. 内切2.若直线l 经过点)3,2(P ，且在x 轴上的截距的取值范围是)3,1(-，则其斜率的取值范围是 A ． 1k 3>-<或k B. 311<<-k C. 13<<-k D. 311>-<k k 或 3.以下结论正确的是A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线4.一条光线从点)4,2(A 射出，倾斜角为60角，遇x 轴后反射，则反射光线的直线方程为 A ．03243=-+-y x B. 03423=---y x C. 03243=-++y x D. 03423=---+y y x5.已知n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．若,//,//ααn m 则n m // B. 若γβγα⊥⊥,则βα//C. 若,//,//βαm m 则βα//D. 若,,αα⊥⊥n m 则n m //6. 若圆03222=+-+by ax y x 的圆心位于第三象限，那么直线0=++b ay x 一定不经过 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7. 已知点)3,1(P 与直线01:=++y x l ，则点P 关于直线l 的对称点坐标为 A.1,3(--） B. )4,2( C. )2,4(-- D. )3,5(--8. 如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则下列命题中，错误的为A ．BD AC ⊥B ．BD AC =C. PQMN //截面ACD. 异面直线BD 与PM 所成的角为 459. 已知棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -的一个面1111D C B A 在半球底面上，四个顶点D C B A ,,,都在半球面上，则半球体积为A.π34B.π32 C. π3 D.33π 10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱椎的三视图，则该三棱锥的体积为 A ．32 B. 34 C. 38D. 4第10题图11. 在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为棱11,CC AA 的中点，则在空间中与三条直线CD EF D A ,,11都相交的直线有A ．无数条B ． ３条 Ｃ．１条 Ｄ． 0条12.设点)1,(a P ，若在圆1:22=+y x O 上存在点Q ，使得60=∠OPQ ，则a 的取值范围是 A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.母线长为1的圆锥体，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为______________ 14.一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为cm 1的正方形，则原图形的周长为________________cm15.已知P 点是圆0364x C 22=--++y x y ：上的一点，直线05-4y -3x :l =。

2017-2018学年安徽省蚌埠市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）充满气的车轮内胎（不考虑胎壁厚度）可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是（）A．B．C． D．2．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A．B．C．D．3．（5分）下列命题中正确的是（）A．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直B．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行C．经过平面外一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．经过平面外一点有且只有一平面与已知平面垂直4．（5分）圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是5，则它的侧面积是（）A．πB．5πC．10πD．20π5．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的体积为（）A．24 B．16 C．12 D．86．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7．（5分）以下四个命题中，正确命题的个数是（）①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个结论中正确的是（）A．直线MN与DC1互相垂直B．直线AM与BN互相平行C．直线MN与BC1所成角为90°D．直线MN垂直于平面A1BCD19．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α10．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．（5分）已知直线a，b，c及平面α，β，下列条件中，能使a∥b成立的是（）A．a∥α，b⊆α B．a∥α，b∥α C．a∥c，b∥c D．a∥α，α∩β=b12．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若长方体的长、宽、高分别为3，4，5，则这个长方体的对角线长为．14．（5分）点P（1，1，﹣2）关于xoy平面的对称点的坐标是．15．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为．16．（5分）下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是三、解答题（共5小题，满分70分）17．（12分）已知=（1，5，﹣1），=（﹣2，3，5）．（1）若（k）∥（﹣3），求k；（2）若（k）⊥（﹣3），求k．18．（14分）已知四棱锥P﹣ABCD如图1所示，其三视图如图2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形．（1）若E是PD的中点，求证：AE⊥平面PCD；（2）求此四棱锥的表面积．19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB 中点，过A、N、D三点的平面交PC于M．求证：（1）PD∥平面ANC；（2）M是PC中点．20．（15分）已知四棱锥S﹣ABCD，底面为正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，M，N分别为AB，AS中点．（1）求证：BC⊥平面SAB；（2）求证：MN∥平面SAD；（3）求四棱锥S﹣ABCD的表面积．21．（15分）如图，在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱VA⊥底面ABCD，E、F、G分别为VA、VB、BC的中点．（1）求证：平面EFG∥平面VCD；（2）当二面角V﹣BC﹣A、V﹣DC﹣A分别为45°、30°时，VA=1，求直线VB与平面EFG所成的角．2017-2018学年安徽省蚌埠市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）充满气的车轮内胎（不考虑胎壁厚度）可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是（）A．B．C． D．【解答】解：根据题意，可得A、D项中的图形，在旋转一周后构成的图形是球，不符合题意．当B、C项中的图象围绕圆外的一条铅垂线旋转时，可以构成环柱面，即车轮胎的形状，但是由于题中不考虑胎壁厚度，所以B项不符合题意，因此可得只有C项是正确的．故选：C．2．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：根据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变，平行于y的线段变为原来的，∵O′C′=1，O′A′=，∴OC=O′C′=1，OA=2O′A′=2；由此得出原来的图形是A．故选：A．3．（5分）下列命题中正确的是（）A．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直B．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行C．经过平面外一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．经过平面外一点有且只有一平面与已知平面垂直【解答】解：对于A，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线平行，与两直线交于一点矛盾，故正确；对于B，经过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，它们在该平面的一个平行平面内，故错；对于C，经过平面外一点有无数条直线与已知直线垂直，它们在该直线的一个垂面内，故错；对于D，经过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直，故错；故选：A．4．（5分）圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是5，则它的侧面积是（）A．πB．5πC．10πD．20π【解答】解：∵圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是5，∴圆柱的母线长为，底面圆的直径为，∴圆柱的侧面积S=π××=5π．故选：B．5．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的体积为（）A．24 B．16 C．12 D．8【解答】解：由题意可知几何体为如图所示的四棱锥：棱锥的底面是边长为：2，3的矩形，棱锥的高为4，四棱锥的体积为：=8．故选：D．6．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C 正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选：C．7．（5分）以下四个命题中，正确命题的个数是（）①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性，若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c可能异面④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上，空间四边形的四个定点就不共面．故选：B．8．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个结论中正确的是（）A．直线MN与DC 1互相垂直B．直线AM与BN互相平行C．直线MN与BC1所成角为90°D．直线MN垂直于平面A1BCD1【解答】解：在A中：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C 的中点，∴MN∥D1C，在B中：∵D1C⊥DC1，∴直线MN与DC1互相垂直，故A正确；取DD1中点E，连结AE，则BN∥AE，由AE∩AM=A，得直线AM与BN相交，故B错误；在C中：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则M（0，1，2），N（0，2，1），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（0，1，﹣1），=（﹣2，0，2），cos＜＞===﹣，∴直线MN与BC1所成角为60°，故C错误；在D中：∵=（0，1，﹣1），A1（2，0，2），=（0，2，﹣2），∴∥，∵MN⊄平面A1BCD1，A1B⊂平面A1BCD1，∴MN∥平面A1BCD1，故D错误．故选：A．9．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【解答】解：对于A，由n∥α可知存在直线m⊂α，故当m为α内与n垂直的直线时，显然m⊥n，m⊂α，故A错误；对于B，设α∩β=a，则当m为α内与a平行的直线时，m∥β，m⊂α，故B错误；对于C，m⊥β，n⊥β，得到m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故C正确；对于D，设α∩β=a，则当m为β内与a平行的直线时，m∥α，故D错误．故选：C．10．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A1（2，0，2），M（0，1，0），D（0，0，0），N（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2），=（0，2，1），设异面直线A1M与DN所成角为θ，则cosθ==0，∴θ=90°．∴异面直线A1M与DN所成角的大小为90°．故选：D．11．（5分）已知直线a，b，c及平面α，β，下列条件中，能使a∥b成立的是（）A．a∥α，b⊆α B．a∥α，b∥α C．a∥c，b∥c D．a∥α，α∩β=b【解答】解：由直线a，b，c及平面α，β，知：在A中，a∥α，b⊆α，则a与b平行或异面，故A错误；在B中，a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故B错误；在C中，a∥c，b∥c，由平行公理得a∥b，故C正确；在D中，a∥α，α∩β=b，则a与b平行或异面，故D错误．故选：C．12．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π【解答】解：球的截面圆的半径为：π=πr2，r=1球的半径为：R=所以球的表面积：4πR2=4π×=8π故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若长方体的长、宽、高分别为3，4，5，则这个长方体的对角线长为．【解答】解：∵长方体的长、宽、高分别为3，4，5，∴长方体的对角线长为=故答案为：14．（5分）点P（1，1，﹣2）关于xoy平面的对称点的坐标是（1，1，2）．【解答】解：点P（1，1，﹣2）关于xoy平面的对称点，纵横坐标不变，竖坐标变为相反数，即所求的坐标（1，1，2），故答案为：（1，1，2）．15．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为90°．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），设异面直线A1E与GF所成角为θ，cosθ=|cos＜＞|==0，∴异面直线A1E与GF所成角为90°．故答案为：90°．16．（5分）下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是①④【解答】解：①连结BC，则平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP．所以①正确．②取底面正方形对角线的中点O，则ON∥AB，所以AB与面PMN相交，不平行，所以②不合适．③AB与面PMN相交，不平行，所以③不合适．④因为AB∥NP，所以AB∥平面MNP．所以④正确．故答案为：①④．三、解答题（共5小题，满分70分）17．（12分）已知=（1，5，﹣1），=（﹣2，3，5）．（1）若（k）∥（﹣3），求k；（2）若（k）⊥（﹣3），求k．【解答】解：因为=（1，5，﹣1），=（﹣2，3，5）．∴（1）k=（k﹣2，5k+3，﹣k+5），﹣3=（7，﹣4，﹣16），由（k）∥（﹣3），得到，解得k=；（2）若（k）⊥（﹣3），则7（k﹣2）﹣4（5k+3）﹣16（5﹣k）=0，解得k=．18．（14分）已知四棱锥P﹣ABCD如图1所示，其三视图如图2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形．（1）若E是PD的中点，求证：AE⊥平面PCD；（2）求此四棱锥的表面积．【解答】解：（1）证明：由三视图可知，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又PA∩AD=A，PA⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PAD，∵AE⊂平面PAD，∴AE⊥CD，又△PAD是等腰直角三角形，E为PD的中点，∴AE⊥PD，又PD∩CD=D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD．…（7分）（2）解：由题意可知，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，其面积S ABCD=2×2=4，高h=2，∴四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2×2+×2×2+×2×2+×2×2+×2×2=8+4．…（13分）19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB 中点，过A、N、D三点的平面交PC于M．求证：（1）PD∥平面ANC；（2）M是PC中点．【解答】证明：（1）连结BD，AC，设AC∩BD=O，连结NO，∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，在△PBD中，N是PB的中点，∴PD∥NO，又NO⊂平面ANC，PD⊄平面ANC，∴PD∥平面ANC．（2）∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊄平面ADMN，AD⊂平面ADMN，∴BC∥平面ADMN．∵平面PBC∩平面ADMN=MN，∴BC∥MN，又N是PB的中点，∴M是PC的中点．20．（15分）已知四棱锥S﹣ABCD，底面为正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，M，N分别为AB，AS中点．（1）求证：BC⊥平面SAB；（2）求证：MN∥平面SAD；（3）求四棱锥S﹣ABCD的表面积．【解答】解：（1）证明：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥BC，又∵BC⊥AB，SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB；（2）证明：取SD中点P，连接MN、NP、PA，则NP=CD，且NP∥CD，又∵AM=CD，且AM∥CD，∴NP=AM，NP∥AM，∴AMNP是平行四边形，∴MN∥AP，∵AP⊂平面SAD，MN⊄平面SAD∴MN∥平面SAD；（3）解：∵BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，同理，CD⊥SD，∴△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD，又∵SB=a，∴S表面积=2S△SAB+2S△SBC+S ABCD=2×a2+2×a•a+a2=（2+）a2．21．（15分）如图，在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱VA⊥底面ABCD，E、F、G分别为VA、VB、BC的中点．（1）求证：平面EFG∥平面VCD；（2）当二面角V﹣BC﹣A、V﹣DC﹣A分别为45°、30°时，VA=1，求直线VB与平面EFG所成的角．【解答】解：（1）∵E、F、G分别为VA、VB、BC的中点，∴EF∥AB，FG∥VC，又ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴EF∥CD，又∵EF⊄平面VCD，FG⊄平面VCD∴EF∥平面VCD，FG∥平面VCD，又EF∩FG=F，∴平面EFG∥平面VCD．…（4分）（2）∵VA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥VD．则∠VDA为二面角V﹣DC﹣A的平面角，∠VDA=30°．同理∠VBA=45°．…（7分）作AH⊥VD，垂足为H，由上可知CD⊥平面VAD，则AH⊥平面VCD．∵AB∥平面VCD，∴AH即为B到平面VCD的距离．由（1）知，平面EFG∥平面VCD，则直线VB与平面EFG所成的角等于直线VB与平面VCD所成的角，记这个角为θ．∵AH=VA•sin60°=VAVB=VA∴sinθ==…（11分）故直线VB 与平面EFG 所成的角arcsin …（12分）赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

蚌埠二中2017—2018学年度高二第一学期期中考试数学（理科）试题（试卷分值：150分 考试时间：120分钟 ）注意事项：第Ⅰ卷所有选择题的答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置，第Ⅱ卷的答案必须用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡的相应位置上，否则不予计分。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.判断圆1:221=+y x C 与圆9)2()2(:222=-+-y x C 的位置关系是A ．相离 B.外切 C. 相交 D. 内切2.若直线l 经过点)3,2(P ，且在x 轴上的截距的取值范围是)3,1(-，则其斜率的取值范围是 A ． 1k 3>-<或k B. 311<<-k C. 13<<-k D. 311>-<k k 或 3.以下结论正确的是A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线4.一条光线从点)4,2(A 射出，倾斜角为60角，遇x 轴后反射，则反射光线的直线方程为 A ．03243=-+-y x B. 03423=---y x C. 03243=-++y x D. 03423=---+y y x5.已知n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．若,//,//ααn m 则n m // B. 若γβγα⊥⊥,则βα// C. 若,//,//βαm m 则βα// D. 若,,αα⊥⊥n m 则n m //6. 若圆03222=+-+by ax y x 的圆心位于第三象限，那么直线0=++b ay x 一定不经过A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7. 已知点)3,1(P 与直线01:=++y x l ，则点P 关于直线l 的对称点坐标为 A.1,3(--） B. )4,2( C. )2,4(-- D. )3,5(--8. 如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则下列命题中，错误的为A ．BD AC ⊥B ．BD AC =C. PQMN //截面ACD. 异面直线BD 与PM 所成的角为 459. 已知棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -的一个面1111D C B A 在半球底面上，四个顶点D C B A ,,,都在半球面上，则半球体积为A.π34B.π32 C. π3 D.33π 10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱椎的三视图，则该三棱锥的体积为 A ．32 B. 34C. 38D. 4第10题图11. 在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为棱11,CC AA 的中点，则在空间中与三条直线CD EF D A ,,11都相交的直线有A ．无数条B ． ３条 Ｃ．１条 Ｄ． 0条12.设点)1,(a P ，若在圆1:22=+y x O 上存在点Q ，使得60=∠OPQ ，则a 的取值范围是 A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.母线长为1的圆锥体，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为______________ 14.一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为cm 1的正方形，则原图形的周长为________________cm15.已知P 点是圆0364x C 22=--++y x y ：上的一点，直线05-4y -3x :l =。

蚌埠二中2017—2018学年度高二第一学期期中考试数学（理科）试题（试卷分值：150分 考试时间：120分钟 ）注意事项：第Ⅰ卷所有选择题的答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置，第Ⅱ卷的答案必须用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡的相应位置上，否则不予计分。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.判断圆1:221=+y x C 与圆9)2()2(:222=-+-y x C 的位置关系是A ．相离 B.外切 C. 相交 D. 内切2.若直线l 经过点)3,2(P ，且在x 轴上的截距的取值范围是)3,1(-，则其斜率的取值范围是 A ． 1k 3>-<或k B. 311<<-k C. 13<<-k D. 311>-<k k 或 3.以下结论正确的是A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线4.一条光线从点)4,2(A 射出，倾斜角为60角，遇x 轴后反射，则反射光线的直线方程为 A ．03243=-+-y x B. 03423=---y x C. 03243=-++y x D. 03423=---+y y x5.已知n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．若,//,//ααn m 则n m // B. 若γβγα⊥⊥,则βα// C. 若,//,//βαm m 则βα// D. 若,,αα⊥⊥n m 则n m //6. 若圆03222=+-+by ax y x 的圆心位于第三象限，那么直线0=++b ay x 一定不经过A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7. 已知点)3,1(P 与直线01:=++y x l ，则点P 关于直线l 的对称点坐标为 A.1,3(--） B. )4,2( C. )2,4(-- D. )3,5(--8. 如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则下列命题中，错误的为A ．BD AC ⊥B ．BD AC =C. PQMN //截面ACD. 异面直线BD 与PM 所成的角为459. 已知棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -的一个面1111D C B A 在半球底面上，四个顶点D C B A ,,,都在半球面上，则半球体积为A.π34B.π32 C. π3 D.33π 10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱椎的三视图，则该三棱锥的体积为 A ．32 B. 34 C. 38D. 4第10题图11. 在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为棱11,CC AA 的中点，则在空间中与三条直线CD EF D A ,,11都相交的直线有A ．无数条B ． ３条 Ｃ．１条 Ｄ． 0条12.设点)1,(a P ，若在圆1:22=+y x O 上存在点Q ，使得 60=∠OPQ ，则a 的取值范围是 A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.母线长为1的圆锥体，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为______________ 14.一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为cm 1的正方形，则原图形的周长为________________cm15.已知P 点是圆0364x C 22=--++y x y ：上的一点，直线05-4y -3x :l =。

2017-2018学年安徽省蚌埠一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．（5分）直线x+2y+6=0在y 轴上的截距是（）A．6B．﹣6C．3D．﹣32．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，直线AC与直线BC′所成的角为（）A．30°B．60°C．90°D．45°3．（5分）已知两点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB 有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）4．（5分）已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）A．B．C．D．5．（5分）光线从点A（﹣2，）射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C（1，2），则光线BC所在直线的倾斜角为（）A．B．C．D．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C．D．7．（5分）已知直线l过点P（3，4）且与点A（﹣2，2），B（4，﹣2）等距离，则直线l的方程为（）A．2x+3y﹣18=0B．2x﹣y﹣2=0C．3x﹣2y+18=0或x+2y+2=0D．2x+3y﹣18=0或2x﹣y﹣2=0 8．（5分）圆柱的轴截面（经过圆柱的轴所作的截面）是边长为5cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短距离为（）A．10cm B．cm C．5cm D．5cm 9．（5分）设直线x﹣y﹣a=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则实数a的值为（）A．B．C．±3D．±910．（5分）已知直线a，b和平面α，下列四个说法①a∥α，b⊂α，则a∥b；②a∩α=P，b⊂α，则a与b不平行；③若a∥b，b⊥α，则a⊥α；④a∥α，b∥α，则a∥b．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④11．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，PA=1，PB=PC=2，若三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于（）A．9πB．16πC．25πD．36π12．（5分）由直线y=x+1上一点向圆（x﹣3）2+y2=1 引切线，则该点到切点的最小距离为（）A．1B．C．2D．3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（5分）如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是．14．（5分）直线y=kx与圆（x﹣2）2+（y+1）2=4相交于A，B两点，若|AB|≥2，则k的取值范围是．15．（5分）已知圆C：x2+y2+Dx﹣6y+1=0的周长被直线x﹣y+4=0平分，且圆C 上恰有1个点到直线l：3x+4y+c=0的距离等于1，则c=．16．（5分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体A﹣OEF中，下列说法不正确的序号是．①AO⊥平面EOF②AH⊥平面EOF③AO⊥EF④AF⊥OE⑤平面AOE⊥平面AOF．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17．（14分）已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，求：（1）若l1⊥l2，求m的值；（2）若l1∥l2，求m的值．18．（14分）直线l经过两点（2，1），（6，3）．（1）求直线l的方程；（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程．19．（14分）如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点．（1）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（2）若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B1﹣AEF的体积．20．（14分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+9=0及直线l：2mx﹣3my+x﹣y﹣1=0（m ∈R）（1）证明：不论m取何值，直线l与圆C恒相交；（2）求直线l被圆C截得的弦长最短时的直线方程．21．（14分）底面半径为3，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．（1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数；（2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．2017-2018学年安徽省蚌埠一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．（5分）直线x+2y+6=0在y 轴上的截距是（）A．6B．﹣6C．3D．﹣3【分析】对于直线x+2y+6=0，令x=0，解得y，即可得出．【解答】解：对于直线x+2y+6=0，令x=0，解得y=﹣3，∴在y 轴上的截距为﹣3．故选：D．【点评】本题考查了直线的截距，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，直线AC与直线BC′所成的角为（）A．30°B．60°C．90°D．45°【分析】连接AD′，CD′．由正方体可得：BC′=AD′=CD′，BC′∥AD′．可得∠D′AC 是异面直线AC与直线BC′所成的角．求出即可．【解答】解：如图所示，连接AD′，CD′．由正方体可得：BC′=AD′=CD′，BC′∥AD′．∴∠D′AC是异面直线AC与直线BC′所成的角．由BC′=AD′=CD′，∴△AD′C是等边三角形．∴∠D′AC=60°．故选：B．【点评】本题考查了正方体的性质、异面直线所成的角、等边三角形的性质，属于基础题．3．（5分）已知两点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB 有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．【解答】解：∵点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线L与线段AB 有公共点，∴直线l的斜率k≥k PB或k≤k PA，∵PA的斜率为=﹣1，PB的斜率为=1，∴直线l的斜率k≥1或k≤﹣1，故选：D．【点评】本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）A．B．C．D．【分析】通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面母线，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解答】解：圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，所以圆锥的底面周长为：2π，圆锥的母线长为：2，圆锥的高为：；圆锥的体积为：π×12×=．故选：A．【点评】本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型．5．（5分）光线从点A（﹣2，）射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C（1，2），则光线BC所在直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【分析】求出点A关于x轴的对称点为A′（﹣2，﹣），A′在直线BC上，由此得出BC的斜率，从而求出倾斜角．【解答】解：点A关于x轴的对称点为A′（﹣2，﹣），A′在直线BC上，∴直线BC的斜率是k BC===；∴直线BC的倾斜角是．故选：B．【点评】本题考查了轴对称问题，也考查了直线的倾斜角与斜率的应用问题，是基础题．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C．D．【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出高h即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h，所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选：B．【点评】本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力．7．（5分）已知直线l过点P（3，4）且与点A（﹣2，2），B（4，﹣2）等距离，则直线l的方程为（）A．2x+3y﹣18=0B．2x﹣y﹣2=0C．3x﹣2y+18=0或x+2y+2=0D．2x+3y﹣18=0或2x﹣y﹣2=0【分析】设所求的直线方程为y﹣4=k（x﹣3）即kx﹣y+4﹣3k=0，由已知及点到直线的距离公式可建立关于k的方程，求解即可【解答】解：设所求的直线方程为y﹣4=k（x﹣3）即kx﹣y+4﹣3k=0由已知及点到直线的距离公式可得，∴|5k﹣2|=|k+6|∴5k﹣2=k+6或5k﹣2=﹣k﹣6∴k=2或k=﹣∴所求的直线方程为2x﹣y﹣2=0或2x+3y﹣18=0故选：D．【点评】考查学生掌握点到直线的距离公式，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程．8．（5分）圆柱的轴截面（经过圆柱的轴所作的截面）是边长为5cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短距离为（）A．10cm B．cm C．5cm D．5cm 【分析】把圆柱沿着一条母线剪开后展开，然后利用直角三角形中的勾股定理求解从A到C的最短距离．【解答】解：如图，∵圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形，展开后为矩形ABA′B′，BC为圆柱底面圆的周长的一半，等于，AB=5，∴圆柱侧面上从A到C的最短距离为==（cm）．故选：B．【点评】本题考查旋转体中的最短距离问题，关键在于对旋转体的剪展，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．（5分）设直线x﹣y﹣a=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则实数a的值为（）A．B．C．±3D．±9【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标与半径r，利用△AOB为等边三角形，点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，由△AOB为等边三角形，得圆心到直线x﹣y﹣a=0的距离d==，解得：a=±．故选：B．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，其中由△AOB为等边三角形，得圆心到直线x﹣y﹣a=0的距离d==是解本题的关键．10．（5分）已知直线a，b和平面α，下列四个说法①a∥α，b⊂α，则a∥b；②a∩α=P，b⊂α，则a与b不平行；③若a∥b，b⊥α，则a⊥α；④a∥α，b∥α，则a∥b．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【分析】本题中的四个说法是三个涉及线线之间的平行关系，一个涉及到线面之间的垂直关系，故可以用相关的定理与性质逐一判断其正误．【解答】解：对于①，a∥α，b⊂α，a，b之间的位置关系可以是平行与异面，故本说法不对；对于②，a∩α=P，b⊂α，则a，b之间的位置关系可以是相交与异面，一定不平行，故本说法正确；对于③，若a∥b，b⊥α，可以得出a⊥α，故本说法正确；对于④，由a∥α，b∥α，则a，b之间的位置关系可以是相交，平行，异面，不一定平行，故本说法不正确．综上②③正确故选：B．【点评】本题考点是平面的基本性质及推论，考查综合利用平面的定理与性质判断平面中线线之间的位置关系与线面之间的位置关系，属于知识的灵活运用题．11．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，PA=1，PB=PC=2，若三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于（）A．9πB．16πC．25πD．36π【分析】以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积【解答】解：由题意，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为=3，∴球直径为3，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×（）2=9π故选：A．【点评】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．12．（5分）由直线y=x+1上一点向圆（x﹣3）2+y2=1 引切线，则该点到切点的最小距离为（）A．1B．C．2D．3【分析】从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．【解答】解：从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．圆心到直线的距离为：=2．切线长的最小值为：=，故选：B．【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，圆的切线方程，考查转化的数学思想，是基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（5分）如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是8cm．【分析】如图，由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形边长，进而可得原图形的周长．【解答】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB=cm，对应原图形平行四边形的高为：2cm，所以原图形中，OA=BC=1cm，AB=OC==3cm，故原图形的周长为：2×（1+3）=8cm，故答案为：8cm【点评】本题考查斜二测直观图，熟练掌握斜二测画不中原图与直观图对应边长之间的关系，是解答的关键．14．（5分）直线y=kx与圆（x﹣2）2+（y+1）2=4相交于A，B两点，若|AB|≥2，则k的取值范围是．【分析】由题意求出圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求出圆心直线y=kx 的距离，由直线与圆相交的条件列出不等式求出k的范围，结合条件和弦长公式列出不等式求出k的取值范围．【解答】解：由题意得，圆心坐标（2，﹣1）、半径r=2，则圆心到直线y=kx的距离d=＜2，解得k＜，∵所截得的弦|AB|≥2，∴2=2，化简得，3k2+4k≤0，解得，综上可得，k的取值范围是，故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，弦长公式，以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题．15．（5分）已知圆C：x2+y2+Dx﹣6y+1=0的周长被直线x﹣y+4=0平分，且圆C 上恰有1个点到直线l：3x+4y+c=0的距离等于1，则c=11或﹣29．【分析】圆的周长被直线平分，则直线过圆心，求出D的值，利用直线和圆的位置关系建立条件关系即可得到结论．【解答】解：∵圆C：x2+y2+Dx﹣6y+1=0的周长被直线x﹣y+4=0平分，∴圆心C（﹣，3）在直线x﹣y+4=0上，即﹣﹣3+4=0，解得D=2，则圆C：x2+y2+2x﹣6y+1=0，即圆C：（x+1）2+（y﹣3）2=9，圆心（﹣1，3），半径r=3，若圆C上恰有1个点到直线l：3x+4y+c=0的距离等于1，则圆心C到直线3x+4y+c=0的距离d=1+3=4，即，即|9+c|=20，解得c=11或c=﹣29．故答案为：11或﹣29【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用点到直线的距离公式是解决本题的关键．16．（5分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体A﹣OEF中，下列说法不正确的序号是②．①AO⊥平面EOF②AH⊥平面EOF③AO⊥EF④AF⊥OE⑤平面AOE⊥平面AOF．【分析】根据OA，OE，OF两两垂直即可判断得出结论．【解答】解：∵OA⊥OE，OA⊥OF，OE∩OF=O，∴OA⊥平面EOF，故①正确，②错误；∵EF⊂平面EOF，∴AO⊥EF，故③正确；同理可得：OE⊥平面AOF，∴OE⊥AF，故④正确；又OE⊂平面AOE，∴平面AOE⊥平面AOF，故⑤正确；故答案为：②．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17．（14分）已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，求：（1）若l1⊥l2，求m的值；（2）若l1∥l2，求m的值．【分析】（1）对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．（2）由m（m﹣2）﹣3=0，解得：m=3或﹣1．经过验证m=3时两条直线重合，舍去．【解答】解：（1）m=0时，两条直线不垂直，舍去．m≠0时，∵l1⊥l2，∴﹣×=﹣1，解得m=．综上可得：m=．（2）由m（m﹣2）﹣3=0，解得：m=3或﹣1．经过验证m=3时两条直线重合，舍去．∴m=﹣1时，l1∥l2．【点评】本题考查了直线平行与垂直的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．（14分）直线l经过两点（2，1），（6，3）．（1）求直线l的方程；（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程．【分析】（1）直接利用两点的坐标求出直线的斜率，进一步利用点斜式求出直线的方程．（2）利用圆的标准式，根据已知条件建立等量关系，求出圆心坐标和半径，进一步求出圆的方程．【解答】解：（1）直线l经过两点（2，1），（6，3）．则直线的斜率k=，所以直线方程为：，整理得：y=x．（2）设圆的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，则：a=2b，a=2，解得：b=1．r=1．所以圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，圆的方程的求法．19．（14分）如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点．（1）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（2）若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B1﹣AEF的体积．【分析】（1）推导出AE⊥BB1，AE⊥BC，从而AE⊥平面B1BCC1，由此能证明平面AEF⊥平面B1BCC1．（2）三棱锥B 1﹣AEF的体积，由此能求出结果．【解答】证明：（1）∵BB1⊥面ABC，AE⊂平面ABC，∴AE⊥BB1，∵E是正三角形ABC的边BC的中点．∴AE⊥BC，…（2分）又∵BC⊂平面B1BCC1，B1B⊂平面B1BCC1，BC∩BB1=B，…（3分）∴AE⊥平面B1BCC1，…（5分）∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1．…（6分）解：（2）∵三棱柱所有的棱长均为2，∴AE=，…（8分）∴=，…（10分）由（1）知AE⊥平面B1BCC1，∴三棱锥B 1﹣AEF的体积==．…（12分）【点评】本题考查面央垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想是，是中档题．20．（14分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+9=0及直线l：2mx﹣3my+x﹣y﹣1=0（m ∈R）（1）证明：不论m取何值，直线l与圆C恒相交；（2）求直线l被圆C截得的弦长最短时的直线方程．【分析】（1）由l：2mx﹣3my+x﹣y﹣1=0得m（2x﹣3y）+x﹣y﹣1=0，所以直线l总过定点P（3，2），判断点P（3，23）在圆内，即可证明结论；（2）当直线l过定点P（3，2）且垂直于过点P的圆C的半径时，l被截得的弦长|AB|最短．【解答】解：由x2+y2﹣4x﹣6y+9=0得（x﹣2）2+（y﹣3）2=4∴圆C的圆心为（2，3），半径为2…（2分）（1）证明：由l：2mx﹣3my+x﹣y﹣1=0得m（2x﹣3y）+x﹣y﹣1=0．由得，∴不论m取何值，直线l恒过点P（3，2）…．（4分）∵32+22﹣12﹣12+9=﹣2＜0，∴点P（3，2）在圆C内所以不论m取何值，直线l与圆C恒相交…．（6分）（2）当直线l垂直CP时，直线l被圆C截得的弦长最短，∵k CP=﹣1，所以所求的直线方程为y=x﹣1…．（12分）【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）底面半径为3，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．（1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数；（2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．【分析】（1）根据相似性可得将棱柱的高h表示成x的函数；（2）利用配方法，即可求出当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．【解答】解：（1）根据相似性可得：，…（3分）解得：h=6﹣2x（0＜x＜3）…（6分）（2）解：设该正四棱柱的表面积为y．则有关系式y=2x2+4xh=2x2+4x（6﹣2x）=﹣6（x﹣2）2+48…（9分）因为0＜x＜3，所以当x=2时，y max=48…（11分）故当正四棱柱的底面边长为2时，正四棱柱的表面积最大值为48…（12分）【点评】本题考查圆锥有一个内接的正四棱柱问题，考查正四棱柱的表面积最大值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。