多元函数微积分复习试题

第七、八、九章 多元函数微积分 复习测试题一、单项选择题（每题2分）1、在空间直角坐标系中，1=y 表示（ ）。

A 、垂直于x 轴的平面B 、垂直于y 轴的平面C 、垂直于z 轴的平面D 、直线 2、用平面1=z 截曲面22y x z +=，所得截线是（ ）。

A 、圆B 、直线C 、抛物线D 、双曲线 3、下列关于二元函数的说法正确的是（ ）。

A 、可偏导一定连续B 、可微一定可偏导C 、连续一定可偏导D 、连续一定可微4、设32y xy x z +-=，则=∂∂∂yx z2（ ）。

A 、y 612+- B 、x - C 、y - D 、1- 5．若函数),(y x z z =的全微分y y x x y z d sin d cos d -=，则二阶偏导数y x z∂∂∂2=（ ）A ．y sin -B ．x sinC ．x cosD ． y cos 6、函数x x y y x f 2),(22+-=在驻点（1，0）处（ ）A ．取极大值B ．取极小值C ．无极值D ．无法判断是否取极值 7．若函数),(y x f z =的一阶偏导存在，且y y f xy xz==∂∂),0(,2，则=),(y x f （ ）A ．y x 2B ．2xy C ．y y x +2D ．y xy +28、设20,10:x y x D ≤≤≤≤；则下列与⎰⎰Ddxdy 的值不相等的是（ ）。

A 、⎰12dx xB 、⎰1dy y C 、⎰-1)1(dy y D 、⎰⎰12x dy dx9、二次积分dy y x x dx x ⎰⎰-+2402220转化为极坐标下的二次积分为（ ）A 、dr r d ⎰⎰2032cos θθπ B 、dr r d ⎰⎰222cos θθπC 、dr r d ⎰⎰2030cos θθπD 、dr r d ⎰⎰220cos θθπ10、x y x D ≤≤≤||,10:，则二重积分=⎰⎰Ddxdy （ ）。

多元函数微积分复习题一、单项选择题1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ).A. 若0lim x xy y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=22zy ∂∂.5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ).A. 可微(指全微分存在)⇔可导(指偏导数存在)⇒连续;B. 可微⇒可导⇒连续;C. 可微⇒可导, 或可微⇒连续, 但可导不一定连续;D. 可导⇒连续, 但可导不一定可微.6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 25．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2） ，则→→•AB MA = （ C ） (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3） ，则||→→+AB MA =（ B ）(A);2-(B) (C)2; (D)-2;7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)DF x y d σ⎰⎰为二次积分的正确方法是_____D____.A. 20(,)aa adx f x y dy -⎰⎰B. 202(,)adx f x y dy ⎰C. 2cos 0(cos ,sin )a a ad f d θθρθρθρρ-⎰⎰D. 2cos 202(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰8．设3ln 1(,)x Idx f x y dy =⎰⎰, 改变积分次序, 则______.I= BA. ln30(,)y e dy f x y dx ⎰⎰B. ln330(,)y edy f x y dx ⎰⎰C. ln33(,)dy f x y dx ⎰⎰ D. 3ln 1(,)x dy f x y dx ⎰⎰9． 二次积分cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰可以写成___________. DA. 1(,)dy f x y dx ⎰⎰B. 100(,)dy f x y dx ⎰C. 11(,)dx f x y dy ⎰⎰ D. 10(,)dx f x y dy ⎰10． 设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分(,,)I f x y z dx dy dz Ω=⎰⎰⎰表示为三次积分，________.I = CA ． 22120(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ⎰⎰⎰B. 22220(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ⎰⎰⎰C ． 22222(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ⎰⎰⎰D ． 222(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ⎰⎰⎰11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:，则()=⎰Ldx y x P , （ C ）（A ） a （B ） c（C ） 0 （D ） d12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=⎰Ldy y x P , （ C ）（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d13．设有级数∑∞=1n n u ,则0lim =∞→n n u 是级数收敛的 （ D ）(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;14．幂级数∑∞=1n n nx 的收径半径R = （ D ）(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 115．幂级数∑∞=11n n x n的收敛半径=R （ A ）(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 316．若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R ，则∑∞=+02n n n x a 的收敛半径为 （ A ）(A) R (B) 2R(C) R (D) 无法求得17. 若lim 0n n u →∞=, 则级数1n n u ∞=∑( ) DA. 收敛且和为B. 收敛但和不一定为C. 发散D. 可能收敛也可能发散18. 若1n n u ∞=∑为正项级数, 则( B )A. 若lim 0n n u →∞=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛, 则21n n u ∞=∑收敛C. 若21n n u ∞=∑, 则1n n u ∞=∑也收敛 D. 若1n n u ∞=∑发散, 则lim 0n n u →∞≠19. 设幂级数1n n n C x ∞=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( A )A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定 20. 级数1sin (0)!n nx x n ∞=≠∑, 则该级数( B )A. 是发散级数B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数D. 可能收敛也可能发散二、填空题1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则)1,0('x f =____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρsin ,cos ,4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f ϕρρϕρϕρ,sin ,cos ,,5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9Ddxdy π=⎰⎰, 则a = 3 。

0809 B一、填空题（每小题3分，共18分）2、设)ln(xy z =，则其全微分dz = ． 11dx dy x y+ 3、函数xy x y u 2222-+=的所有间断点是 .2{(,)|2,,}x y y x x R y R =∈∈二、选择题（每小题3分，共15分）1、22),(y x xyy x f +=，则极限=→→),(lim 00y x f y x （ Ａ ）（A ）不存在 （B ）1 （C ）2 （D ）0A当点(,)P x y 沿曲线y kx =趋向(0,0)时，222200lim (,)lim x x y kxk x f x y x k x →→==+21kk =+显然，当k 取值不同是，极限也不相同。

所以22(,)(0,0)limx y xyx y →+不存在．2、在曲线32,,t z t y t x =-==所有切线中，与平面433=++z y x 平行的切线（ Ａ ）（A ）只有一条； （B ） 只有两条； （C ）至少有3条； （D ） 不存在曲线的切向量2((),(),())=(12,3)T t t t t t ϕψω'''=-，,平面的法向量(1,3,3)n = 22(12,3)(1,3,3)1690t t t t -⋅=-+=，,2(31)0t -=,1.3t =得所以只有一条切线满足条件.3、点()0,0是函数xy z =的（ Ｂ ）（A ）极值点；（B ）.驻点但不是极值点；（C ）是极值点但不是驻点；（D ）以上都不对 分析: 令0,0x y z y z x ====,得(0,0)是驻点,但点(0,0)是xy z =的鞍点,不是极值点.四、计算题（每小题8分，共32分）1、设, , ,sin y x v xy u v e z u+===求xz∂∂和y z ∂∂ 解z f f u f vx x u x v x∂∂∂∂∂∂=+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂e sin e cos e [sin()cos()]u u x y v y v y x y x y =⋅+=⋅+++e sin e cos u u zf f u f v v x v y y u y v y∂∂∂∂∂∂=+⋅+⋅=⋅+∂∂∂∂∂∂e [sin()cos()]x y x x y x y =⋅+++ 五、解答题（每小题分10，共20分）1、要造一个容积为定数a 的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才能使它的表面积最小？此时最小表面积为多少？解：设长方体的长宽高分别为,,,z y x 则问题就是在条件(,,)0x y z xyz a ϕ=-=下求函数 22S xy xz yz =++ )0,0,0(>>>z y x的最小值. 作拉格朗日函数(,,)22(),L x y z xy xz yz xyz a λ=++++-求其对,,,x y z λ的偏导数，并使之为零，得到 20,20,2()0,0.y z yz x z xz x y xy xyz a λλλ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪-=⎩因为z y x ,,都不等于零， 得 11,22z x y ==代入0xyz a -=,得x y z ===这是唯一可能的极值点. 由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.时, 最小表面积S =0910B一、填空题（每小题2分，共10分）2、设函数),(y x f z =是由方程z z y x 4222=++给出，则全微分=dz ．2d 224x x ydy zdz dz ++=,2xdx ydydz z+=-.3、曲面14222=++z y x 在点)3,2,1(P 处的切平面方程为 .切平面得法向量(1,2,3)(1,2,3)(2,2,2)n x y z =(2,4,6),=切平面方程为2(1)+4(2)6(3)0,23140.x y z x y z --+-=++-=或 二、选择题（每小题2分，共10分）1、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处可微是两个偏导数),(',),('0000y x f y x f y x 都存在的 （ Ａ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件.四、计算题（每小题10分，共40分） 1、设v u z ln 2=，而y x u =、y x v 23-=，求:xz∂∂、y z ∂∂． 解：()()22223323ln 2y y x x y x y x x z -+-=∂∂，()()223223223ln 2y y x x y x yx y z ----=∂∂1011B一、填空题（每小题3分，共15分）(1) 设二元函数)1ln()1(y x xez yx +++=+，则=)0,1(|dz .(1,0)(1,0)(1,0)1|(ln(1))|()|1x y x y x y x dz e xe y dx xe dy y++++=++++++ (1,0)d 2ed (e 2)d zx y ∴=++(2) 旋转抛物面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的法线方程是 . 法线的方向向量(2,1,4)(2,1,4)(2,2,1)s x y =-(4,2,1),=-法线方程是214421x y z ---==-. 二、单项选择题（每小题3分，共15分）(4) 设),(y x f z =的全微分为ydy xdx dz += 则点 )0,0( ( C ) .A 不是),(y x f 的连续点；.B 不是),(y x f 的极值点；.C 是),(y x f 的极小值点；.D 是),(y x f 的极大值点.分析:z ,x y x z y ==,得z 1,1,0xx yy xy z z ===,由210,10AC B A -=>=>,则点 )0,0(是),(y x f 的极小值点.三、求偏导数（每小题10分，共20分）（1）设),(3xyxy f x z =，其中f 具有二阶连续偏导数.求 y z ∂∂；22y z ∂∂；y x z ∂∂∂2.解:231223(())z yx f x yf f x x∂''=++-∂23123x f x yf xyf ''=+-3121(())z x xf f y x∂''=+∂ 4212x f x f ''=+ 242122()z x f x f y y ∂∂''=+∂∂421112212211(())(())x f x f x f x f x x ''''''''=⋅++⋅+ 531112222x f x x f xf ''''''=⋅++ y x z ∂∂∂22z y x ∂=∂∂4212()x f x f x∂''=+∂ 3421111222122224(())2(())y y x f x f y f xf x f y f x x ''''''=+⋅+⋅-+++- 3412112242.x f xf x yf yf ''''=++- (2)设),(y x z z =是方程)arc tan(z y x xyz ++=在)1,1,0(-点确定的隐函数，求xz∂∂及)1,1,0(-∂∂yz解:令)arctan(),,(z y x xyz z y x F ++-= …1分则 2)(11z y x xy F z +++-= 2)(11z y x yz F x +++-=2)(11z y x xz F y+++-= …6分 1])(1[1])(1[22-+++-+++-=-=∂∂z y x xy z y x yz F F x z z x ； …8分 11])(1[1])(1[22)1,1,0(-=-+++-+++-=-=∂∂-z y x xy z y x xz F F yz z y…10分六、应用题（本题满分10分）从斜边长为l 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形，并求出最大周长.解：设另两边长分别为y x ,，则 222l y x =+，周长 l y x C ++= …2分 设拉格朗日函数 )(),,(222l y x l y x y x F -++++=λλ …4分令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=0021021222l y x F y F x F y x λλλ …6分解方程组得l y x 22==为唯一驻点，且最大周长一定存在 …8分 故当l y x 22==时，最大周长为l C )21(+= …10分1112B一、填空题（每小题2分，共10分）1. y x z 2=在点)1,1(处的._______________=dz22,dz xydx x dy =+112.x y dzdx dy ===+2. 设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-取得极值，则常数_____=a .211(1,1)(4)0x x y f x a y ==--=++=,11(1,1)220y x y f xy ==--=+=,所以 5.a =-例36 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值，试求常数a ，并确定极值的类型．分析 这是二元函数求极值的反问题， 即知道(,)f x y 取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题．解 因为(,)f x y 在(,)x y 处的偏导数均存在，因此点(1,1)-必为驻点， 则有 2(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)40220fx a y x f xy y ----⎧∂=++=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎩，因此有410a ++=，即5a =-． 因为22(1,1)4f A x-∂==∂，2(1,1)(1,1)22fB y x y--∂===-∂∂， 22(1,1)(1,1)22fC x y--∂===∂，2242(2)40AC B ∆=-=⨯--=>，40A =>，所以，函数(,)f x y 在(1,1)-处取得极小值．二、选择题（每小题2分，共10分）3. 在点P 处函数),(y x f 的全微分df 存在的充分条件为 （ Ｃ ） (A) y x f f ,均存在 (B) f 连续(C) f 的全部一阶偏导数均连续 (D) f 连续且y x f f ,均存在三、计算题（每小题8分，共40分）1. 设),(y x z z =是由方程z z y x 2222=++所确定的隐函数，计算22,x z x z ∂∂∂∂的值. 解:设 222(,,)2F x y z x y z z =++-，则2x F x =，2y F y = ，22,z F z '=-2,221z x x x z z ∂=-=∂--22()1z xx x z∂∂=∂∂-21(1)x z xz z -+=-22231(1)1(1)(1)xz xz x z z z -+-+-==-- 4. 求函数zx yz xy u ++=在点)3,1,2(沿着从该点到点)15,5,5(的方向导数.解 方向(3,4,12)l = 03412{,,}.13133l =1312cos ,134cos ,133cos ===γβα3)3,1,2(,5)3,1,2(,4)3,1,2(===z y x u u u ,1368cos cos cos =++=∂∂γβαz y x u u u l z . 五、证明题（每小题7分，共7分）证明(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩在)0,0(点偏导数存在，但不可微.证: (,0)0,(0,)0f x f y ==,0(0,0)(0,0)(0,0)limlim00.x x x f x f f x∆→→+∆-===∆ 00(0,0)(0,0)(0,0)limlim 00.y y y f y f f y∆→∆→+∆-===∆ (,)(0,0)f x y 所以函数在处可导....................3分2202200lim ),(lim )0,0()0,0(limy x y x yx y x f y f x f z y x ∆∆∆∆∆∆∆∆ρ∆∆∆ρρρ+=+=--→→→当点(,)P x y ∆∆沿曲线y kx =趋向(0,0)时，22222222000()lim lim lim ()()()()x x y k xx y x y k x x y x y x k x ρ→∆→→∆=∆∆∆∆∆∆==∆+∆∆+∆∆+∆21kk =+. 显然，当k 取值不同是，极限也不相同。

多元函数微分学补充题1.已知函数(,)z z x y =满足222z z x y z x y ∂∂+=∂∂，设1111u x v y x z x ϕ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，对函数(,)u v ϕϕ=，求证0uϕ∂=∂。

2.设(,,)u f x y z =，f 是可微函数，若y x z f f f xyz'''==，证明u 仅为r 的函数，其中r =3.设)(22y x u u +=具有二阶连续偏导数，且满足2222221y x u xu x yu xu +=+∂∂-∂∂+∂∂，试求函数u 的表达式。

4.设一元函数()u f r =当0r <<+∞时有连续的二阶导数，且0)1(=f ，(1)1f '=，又u f =满足0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu yu xu ，试求)(r f 的表达式。

5.函数),(y x f 具有二阶连续偏导数,满足02=∂∂∂yx f ，且在极坐标系下可表成(,)()f x y h r =，其中r =),(y x f 。

6.若1)1(,0)0(),(='==f f xyz f u 且)(2223xyz f z y x zy x u '''=∂∂∂∂，求u .7.设函数)(ln 22y x f u +=满足23222222)(y x yu xu +=∂∂+∂∂，试求函数f 的表达式.8.设二元函数(,)||(,)f x y x y x y ϕ=-，其中(,)x y ϕ在点(0,0)的一个邻域内连续。

试证明函数(,)f x y 在(0,0)点处可微的充要条件是(0,0)0ϕ=。

7.已知点)2,1,Q(3),1,0,1(与-P ,在平面122=+-z y x 上求一点M ,使得||||PQ PM +最小.8.过椭圆132322=++y xy x 上任意点作椭圆的切线, 试求诸切线与坐标轴所围三角形面积的最小值.9.从已知ABC ∆的内部的点P 向三边作三条垂线,求使此三条垂线长的乘积为最大的点P 的位置. 10.设函数)(x f 在),1[+∞内有二阶连续导数,1)1(,0)1(='=f f 且)()(2222y x f y x z ++=满足02222=∂∂+∂∂yz xz ,求)(x f 在),1[+∞上的最大值.11.在椭球面122222=++z y x 求一点，使函数222),,(z y x z y x f ++=在该点沿方向j i l-=的方向导数最大.12.设),,(z y x f u =,f 是可微函数,若zf yf xf z y x '='=',证明u 仅为r 的函数, 其中.222z y x r ++=. 13.设向量j i v j i u34,43+=-=,且二元可微函数在点P 处有6-=∂∂puf ,17=∂∂pvf,求pdf.14.设函数),(y x z z =由方程)(2z xyf z y x =++所确定,其中f 可微,试计算yz y xz x ∂∂+∂∂并化简.15.已知函数),(y x z z =满足222z yz yxz x=∂∂+∂∂, 设),(,11,11,v u xzxyv x u ϕϕϕ=-=-==. 求证0=∂∂uϕ.16.设函数),(y x f z =具有二阶连续偏导数,且0≠∂∂yf ,证明对任意常数C ,C y x f =),(为一直线的充分必要条件是0222='''+''''-'''x xy xy y x xxy f f f f f f f . 17.已知锐角ABC ∆,若取点),(y x P ,令||||||),(CP BP AP y x f ++=.证明:在),(y x f 取极值的点0P 处矢量,0A P ,0B P ,0C P 所夹的角相等.18.若可微函数),(y x f 对任意t y x ,,满足),(),(2y x f t ty tx f =,)2,2,1(0-P 是曲面),(y x f z =上的一点,且4)2,1(=-'x f ,求曲面在0P 处的切平面方程.19.可微函数),(y x f 满足),(),(y x tf ty tx f =,)2,2,1(0-P 是曲面),(y x f z =上的一点,且4)2,1(=-'x f ,求曲面z 在0P 处的切平面方程.20.若)(x f ''不变号，且曲线)(x f y =在点)1,1(处的曲率圆为222=+yx 则函数)(x f 在区间)2,1(内(A)有极值点，无零点. (B)无极值点，有零点. (C)有极值点，有零点. (D)无极值点，无零点.21.求两直线⎩⎨⎧=+=⎩⎨⎧+==x z x y L x z x y L 3:,12:21之间的最短距离.22..轴旋转的旋转曲面方程绕111101线z z y x -=-=-求直23.证明:旋转曲面()22yx fz += (f 可微且0≠'f )的法线与旋转轴的相交.24.设直线⎩⎨⎧=--+=++030:z ay x b y x l 在平面π上,而平面π与曲面22y x z +=相切于点)5,2,1(-,求b a ,的值.25设锥面顶点在原点,准线为⎩⎨⎧==+1422x z y ,求锥面方程.26.求直线11111:--==-z y x l 在平面12:=+-z y x π上的投影直线0l 的方程,确定0l 绕Oy 轴旋转一周所成的曲面方程.27.求曲线⎩⎨⎧<==++)|(|:2222a C C y a z y x c 关于平面0:=++z y x π的投影柱面及投影曲线方程.28.求过两球面的交线⎩⎨⎧=-++-=++1)1()1(5:222222z y x z y x L 的正圆柱面方程. 29.由椭球面1222222=++cz by ax 的中心)0,0,0(O 引三条相互垂直的射线,分别交曲面于321,,M M M 三点,设11||r OM=,22||r OM=,33||r OM=. 证明:232221111rrr++222111cba++=.30.已知某柱面的准线为抛物线⎩⎨⎧==,02z x y 且母线的方向数为p n m ,,. 求此柱面方程. 31.求球心在直线124824-=-+=-z y x 上且过点)6,3,2(-与)2,3,6(-的球面方程.-------------------------------------B1设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数，且满足等式2222241250u u u xx yy∂∂∂++=∂∂∂∂.确定a ，b 的值，使等式在变换x a y ξ=+，x b y η=+下简化为20u ξη∂=∂∂。

多元函数微分学单元测试题A一、选择题1. 极限24200limy x y x yy x x +→→= （ ）A.等于0；B.不存在；C.等于 12；D.存在且不等于0或12. 2.设),(b a f y '存在，则yy b a f y b a f y ),(),(lim 0--+→= （ ）A.),(b a f y '；B. 0； C . 2),(b a f y '； D.21),(b a f y '. 3. 若函数) ,(y x f 在点) ,(00y x 处不连续，则 ( ) A.) ,(lim 00y x f y y x x →→必不存在； B.) ,(00y x f 必不存在；C. ) ,(y x f 在点) ,(00y x 必不可微；D.) ,(), ,(0000y x f y x f y x 必不存在.4.函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( ) A. 充分而不必要条件; B. 必要而不充分条件; C. 必要而且充分条件; D. 既不必要也不充分条件.5.函数xy xyz +=arcsin的定义域是 （ ） A.{}0,|),(≠≤x y x y x ； B.{}0,|),(≠≥x y x y x ；C.{}0,0|),(≠≥≥x y x y x {}0,0|),(≠≤≤⋃x y x y x ；D.{}{}0,0|),(0,0|),(<<⋃>>y x y x y x y x .6、函数22(,)ln()f x y x y =-的定义域是（ ）(A) 220x y +>； （B ）220x y ->； （C ）220x y +<； （D ）220x y -<.7、二元函数333()z x y x y =+--的极值点是 （ D ） A 、（1，2） B 、（1，-2） C 、（-1，2） D 、（-1，-1） 二、判断题1. 点集E 的内点必属于E. （ ）2. 设y x z ln 2+=，则yx x z 12+=∂∂. （ ） 3. 若函数),(y x f z =在),(00y x P 处的两个偏导数),(00y x f x 与),(00y x f y 均存在，则该函数在P 点处未必连续 （ ）4.二阶混合偏导数与求偏导的次序无关 （ ）5.具有偏导数的函数的驻点必定是极值点. （ ） 6、若(,)(,)xy yx f x y f x y 和都在点00(,)x y 连续，则0000(,)(,)xy yx f x y f x y =。

复习题2一、填空题（每小题4分，共20分） 1. 设曲线L :422=+y x ，则曲线积分=++-⎰Lds y x y x 22)1(π8．2．若在全平面上曲线积分dy y x dx x axy L)cos ()sin 2-++⎰（与路径无关，则常数=a 2 .3．向量场{}zxy y e y e F x x ln ,cos ,sin =的散度 =F divzxy ．4．设球面∑：2222R z y x =++的质量面密度222),,(z y x z y x ++=ρ，则球面构件的质量为34R π．5. 幂级数∑∞=+014n n nx 在收敛区间）（4,4-上的和函数=)(x s x-41 ．二、单项选择题（每小题3分，共18分）1．设有向曲线L 为xy =，从点)1,1(到点)0,0(，则⎰=L dx y x f ),(（ B ）.A . dx x x f ⎰10),(; B. dx x x f ⎰01),(; C. dy y y f ⎰012),(; D. dy y y f y ⎰102),(2.2．设曲面∑质量分布均匀，且曲面∑的面积3=A ，曲面∑的质心是)0,1,2(-，则=⎰⎰∑dS y （ A ）．A . 3-; B. 2-; C. 0;D. 1.3．设曲面∑为1-=z （10,10≤≤≤≤y x ）的上侧，则（ D ）. A . ⎰⎰∑=1zdxdy ; B. ⎰⎰∑=1zdydz ;C. ⎰⎰∑-=1zdzdx ; D. ⎰⎰∑-=1zdxdy .4. 下列正项级数中收敛的是（ B ）.A. ∑∞=-1435n nnn ; B. ∑∞=02n n n;C. ∑∞=11n n; D. ∑∞=+121n nn . 5. 幂级数nn n x n∑∞=-1)1(（ C ）. A. 在1-=x ，1=x 处均发散; B. 在1-=x 处收敛，在1=x 处发散;C. 在1-=x 处发散，在1=x 处收敛;D. 在1-=x ，1=x 处均收敛.6． 设()f x 是以2π为周期的函数，在一个周期内⎩⎨⎧<<+≤≤--=ππx x x x x f 0,10,1)( ，则()f x 的傅里叶级数在点0=x 处收敛于（ B ）.A. 2;B. 1;C. 0;D. 1-.三、（6分）设曲线L :12+=x y （10≤≤x ）上任意一点处的质量密度为xy y x =),(ρ，求该曲线构件的质量M . 解： 2='y ，dx ds 5=， （1分）⎰=Lds xy M（3分）⎰+=105)12(dx x x（5分）657=（6分）四、（6分）求质点在平面力场j x i y y x F2),(+=作用下沿抛物线L ：21x y -=从点)0,1(移动到点()1,0所做的功W 的值.解： ⎰+=L dy x dx y W 2 （2分）[]⎰-+-=012)2(21dx x x x（4分）⎰-=012)51dx x （（5分）32=（6分）五、（7分）利用格林公式计算曲线积分⎰++++Ldy x x y dx y x y )13sin 2()cos (2，其中曲线L 为122=+y x 的右半部分，从)1,0(-A 到)1,0(B .解： 0:1=x L ，y 从1到1-， （1分）,1cos 2,cos 2+=∂∂+=x y y P y x y P ,3cos 2,13sin 2+=∂∂++=x y xQ x x y Q （2分）π==∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰⎰⎰+dxdy dxdy y Px Q Qdy Pdx DDL L 2)1（， （5分）又 ⎰⎰--==+1121dy Qdy Pdx L（6分）所以2)13sin 2()cos (2+=++++⎰πL dy x x y dx y x y （7分）六、 （6分）利用对面积的曲面积分计算旋转抛物面∑：221y x z --=在xoy 面上方部分的面积．解： 221y x z --=，,2,2y z x z y x-='-='dxdy y x dS 22441++=， （1分）⎰⎰∑=dS A（2分）dxdy y x D⎰⎰++=22441（4分）ρρρθπd d ⎰⎰+=1022041 （5分） π6155-=（6分）七、（6分）利用高斯公式计算曲面积分yzdxdy dzdx yz dydz xy -+⎰⎰∑,∑其中为圆锥面22y x z +=及平面0=z ，1=z 所围成的圆锥体Ω的整个边界曲面的外侧．解： yz R yz Q xy P -===,,，dv z R y Q x P yzdxdy dzdx yz dydz xy )(∂∂+∂∂+∂∂=-+⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑dv z ⎰⎰⎰Ω= （3分）dz z d d ⎰⎰⎰=11020ρπρρθ （5分）4π=（6分）八、（6分）求幂级数∑∞=⋅+-05)1()3(n nnn x 的收敛区间.解： nn n a 5)1(1⋅+=，51)2(51lim lim1=++==∞→+∞→n n a a n n n n ρ， （2分）51==ρR（4分）收敛区间为53<-x ，即（2-,8）（6分）九、（7分）判别交错级数∑∞=-11sin )1(n n n是否收敛? 如果收敛，通过推导，指出是绝对收敛还是条件收敛. 解： 01sin>=nu n，0lim =∞→n n u ，n u 单调递减，由莱布尼茨申敛法知，交错级数∑∞=-11sin )1(n n n收敛。

第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答一、选择题1. 极限lim x y x yx y→→+00242= （提示：令22y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或12 2、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪1100，则极限lim (,)x y f x y →→0= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于23、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）(A)xx y 22+(B) -+y x y 22 (C) yx y 22+(D)-+xx y 226、设f x y yx(,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-14（B ）14 （C ）-12 （D ）127、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32(B) x -32(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则()(,)∂∂∂∂z x zy+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 110、设z xye xy =-，则z x x x'(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()12211、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202π处的法平面方程是 （C ）(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42y z -=π12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是 （A ）(A)842204x z y --=-= (B)x y z +==+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=351413、曲面x z y x z cos cos +-=ππ22在点ππ2120,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪处的切平面方程为 （D ）（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=π2 （D ）x z -=π214、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为 （A ） （A ）x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=--3823118（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的 （ B ） （A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点 （C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点P 0是函数z 的极大值点 （B ）点P 0是函数z 的极小值点 （C ）点P 0非函数z 的极值点 （D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是 （ C ）(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限limsin()x y xy x→→0π= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：π 2、极限limln()x y x y e x y→→++01222=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：ln23、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：k f x y 2⋅(,)6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ）7、设f x y x y x y A x y (,)ln()//=-⋅+<+≥⎧⎨⎩11212222222，要使f x y (,)处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-ln28、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=⎧⎨⎪⎩⎪22220000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：1 9、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数f x y x y yx (,)cos =-122的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线y x =±及x =011、设z x y y =-+sin()3，则∂∂z xx y ===21_________ .答：3cos512、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：113、设u x y z x y z(,,)=⎛⎝ ⎫⎭⎪，则)3,2,1(d u =_________ .答：38316182d d ln d x y z --14、设u x x y =+22，则在极坐标系下，∂∂ur= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则∂∂22u x = _________.答：23yx16、设u x xy =ln ，则∂∂∂2u x y = ___________ .答：1y17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则d d y x = ___________ .答：22xye xy - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy= _______ .答：2112xyz xy --19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）处的全微分d z = _________ .答：d d x y -220、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________.答：x y z -=-=-12221321、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e ey z x ++=+223321在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e ze y x 22212=-+=- 23、曲面arctan y xz 14+=π在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：y z +=2124、设函数z z x y =(,)由方程123552422x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常数a =_________， b =_________.答：a =0，b =426、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42、求极限limsin x y y xxy →→+-0211.解：lim sin x y y xxy →→+-0211=⋅++→→lim sin ()x y y x xy xy 00211= 43、求极限lim sin()x y x y x yxy →→-+0023211. 解：原式=lim ()sin()x y x y x y x y xy →→-++0232211=-++⋅→→limsin()x y x y xy xy 002111=-124、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 . 解：lim x y xxye xy→→-+00416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00416= -85、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,. 解：u y y x x =-sin sinu x y x y =+cos cos6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--z xe e y y x =+-7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得yz x x zxz y ∂∂∂∂+++=0，则∂∂z x z y y x =-++同理可得：∂∂z y z x y x =-++ 解二：xy xz F F y z xy y z F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.解：由z x y z x y x y=-+==-+-=⎧⎨⎩43403430，得驻点(,)-10074334>=--==yy yxxy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求d d z t. 解：d d (sin )()zte t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y10、设z y xy x =ln()，求∂∂∂∂z x z y,. 解：z y y xy xy x x x =⋅+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：∂∂u x a a ax x yz =-+-ln 1，∂∂u y a z a x yz =⋅+ln ，∂∂u zya a x yz =+ln d (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+112、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.解：∂∂∂∂z x x ye x y e z y y xe x y e xyxyxyxy=+++=+++222222,[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？ 解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.水池底部的单位造价为a .则水池造价()S xy xz yz a =++44 且 xyz =128令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得 x y z ===82由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明： 因为2)11(1x e xzy x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以 z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xyk t kn sin 2222--=∂∂,所以22x y k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。

多元函数微积分期末练习题及答案(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--多元函数微积分期末练习题及答案一．填空：1．空间直角坐标系中，点P（2，3，4）Q（2，4，-1）距离∣PQ∣=2．过点P（1，2，3）且与xoy平面平行的平面方程为3．函数z =x2-y2 + 2x - 4y的驻点为4．已知z =f（x,y）的二阶偏导数连续且fxy (x,y) = 4xy+ x 则fyx(x,y)=5．已知在平面区域D内f (x,y)>O,则由D为底 z = f (x,y)为顶的曲顶柱体体积可表示为二．单项选择填空1．点P(0,2,-1)在A 第V卦限B 第 VIII 卦限C x轴上D yoz平面2．方程x2+y2=1在空间直角坐标系中表示A 单位圆B 单位圆包围的平面区域C 圆柱面D 平面3．z =f (x,y) 在(x0, y)点偏导数存在,则在该点A 全微存在B 偏导数连续C 函数连续D A,B,C均不对4．z = f（x,y）在驻点(x0, y)处存在二阶偏导数，且fxy(x。

,y。

) 2-f xx (x。

,y。

)-fyy(x。

,y。

)>O fxx(x。

,y。

) >O 则 (x。

,y。

) 点为函数z = f（x,y）的A 极大值点B 极小值点C 不是极值点D 不能确定25．则等式成立的是A =B =C =D =三．计算题1．求2．z=求全微分dz3．设cos（x+y）+y=0，求4．设x+y2+z2=xy+2z，求5．求 z=2x-4y-x2-y2+5的极值6．改变二次积分积分次序7． D y=x2 y=x围成答案：一、填空：1 2 3 （-1，-2） 435二、单项选择：D C D C A三、计算题：12 34 56 74。

多元函数积分学100题（附答案）一．计算下列二重积分1.(1)Dx y d σ--⎰⎰，其中:0,0,1D x y x y ≥≥+≤；2.22Dy d x y σ+⎰⎰，其中2:,1D y x y y ≤≤≤≤ 3. xyDxe d σ⎰⎰ ，其中1:2,12D y x x≤≤≤≤； 4. x y De d σ+⎰⎰，其中:1D x y +≤； 5. Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由1y x =-及226y x =+所围成的闭区域； 6. (2)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由22y x =及21y x =+所围成的闭区域； 7. 2sin Dy d σ⎰⎰，其中D 是由0,1x y ==及y x =所围成的闭区域；8．2(3)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由22,4y x y x ==及1y =所围成的闭区域； 9.Dσ⎰⎰，其中2:D x y ≤≤ 10. 1Dxd y σ+⎰⎰，其中D 是由21,2y x y x =+=及0x =所围成的闭区域； 11. 2Dy x d σ-⎰⎰，其中:01,01D x y ≤≤≤≤； 12. D xy d σ⎰⎰，其中222:D x y a +≤；13. 22x y Ded σ+⎰⎰，其中22:4D x y +≤；14.22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥； 15.arctan Dyd x σ⎰⎰，其中D 是由22224,1,x y x y +=+=及0,y y x ==围成的第一象限内的闭区域；16.Dσ，其中22:D x y Rx +≤；17.2214Dx y d σ+-⎰⎰，其中22:1D x y +≤；18.Dσ，其中22:D x y x +≤；19. Dσ⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥； 20.22Dx y d σ⎰⎰，其中D 是由两条双曲线1,2,xy xy ==及,4y x y x ==围成的第一象限内的闭区域； 21. 2222()Dx y d a b σ+⎰⎰，其中2222:1x y D a b +≤；22.222y xdx edy -⎰⎰； 23. 66cos yxdy dx xππ⎰⎰； 24. 设D 是以点(0,0),(1,2),(2,1)O A B 为顶点的三角形区域，求Dxdxdy ⎰⎰；25. 设212,0(,)0x y x y x f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩，其他.，求(,)Df x y dxdy ⎰⎰，其中22:2D x y x +≥；26.Dσ，其中D是由0)y a a =-+>及y x =-所围成的闭区域； 27. 221()2[1]x y D y xedxdy ++⎰⎰，其中D 是直线,1y x y ==-及1x =围成的闭区域；28. 22()22sin()x y De x y dxdy π-+-+⎰⎰，其中22:D x y π+≤；29. )Dy d σ⎰⎰，其中D 是由圆224x y +=及22(1)1x y ++=所围成的平面区域；30. Dydxdy ⎰⎰，其中D是由曲线x =及2,0,2x y y =-==所围成的平面区域；二． 计算下列三重积分31. 2(1)d x y z υΩ+++⎰⎰⎰，其中Ω是由1x y z ++=和三个坐标平面所围成的空间闭区域； 32. xyzd υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由1,,,0x y x z y z ====所围成的空间闭区域；33. 23xy z d υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由,1,,0z xy y y x z ====所围成的空间闭区域；34.||z e d υΩ⎰⎰⎰，其中Ω：2221x y z ++≤； 35. 222222ln(1)1z x y z d x y z υΩ++++++⎰⎰⎰，其中Ω：2221x y z ++≤；36. ()x z d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω是由z z == 37. 22xy e d υ--Ω⎰⎰⎰，其中Ω：221,01x y z +≤≤≤；38.zd υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由22,z x y z =+=39. Ω，其中Ω是由2221x y z ++≤所围成的第一象限内的闭区域； 40. 22()x y d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω：22212,0,0x y z x y ≤++≤≥≥；41. υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由0,3,0y z z y ====所围成的空间闭区域；42. zd υΩ⎰⎰⎰，其中Ω：2222222(),x y z a a x y z ++-≤+≤；43. υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成的空间闭区域；44. 22()xy d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22225()4x y z +=及平面5z =所围成的空间闭区域；45. 22()xy d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω：0,0a b z <≤≤≥；三．重积分的应用46. 求球面2222x y z ++=与抛物面22z x y =+所围立体的体积； 47. 求球面2222x y z a ++=被柱面22x y ax +=所截那部分面积；48. 平面薄片所占的区域D 由抛物线2y x =及直线y x =围成，面密度2(,)x y x y μ=，求质心坐标；49. 设球体Ω：2222x y z Rz ++≤各点处的密度等于该点到原点的距离的平方，求该球体的质心； 50. 设均匀平面薄片所占区域D 由抛物线29,22y x x ==围成，求转动惯量,x y I I .参考答案： 1. 16， 2. 1ln 2122-， 3. 421(2)2e e e --， 4. 1e e -，5. 36， 6.3215， 7. 1cos12-， 8. 25， 9. 655， 10. 91ln 3ln 282--， 11. 1130， 12. 42a ， 13. 4(1)e π-，14. (2ln 21)4π-，15. 2364π，16. 34()33R π- ，17. 516π，18. 815 ，19. 284ππ-，20. 7ln 23 ，21. 2ab π ，22. 41(1)2e --，23. 12，24. 32，25. 4920，26. 221()162a π-，27. 23-， 28. (1)2e ππ+，29.16(32)9π-，30. 42π-， 31. 3ln 24-， 32. 148， 33. 1312， 34. 2π，35. 0， 36. 8π，37. 1(1)e π--，38. 712π， 39. 1cos12π-， 40. 21)15π， 41. 8， 42. 476a π， 43. 10π，44. 8π，45.554()15b a π-， 46. ，47. 22(2)a π-，48. 3535(,)4854 ，49. 5(0,0,)4R ，50. 7296,57.四、计算下列曲线积分51. Lxyds ⎰，其中L 是22y x =从原点到点(2,2)A 的一段弧；52. Lyds ⎰，其中L 是y x =-上从1x =-到1x =的一段弧；53. Lxds ⎰，其中L 是直线y x =及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界；54. 22()Lx y ds +⎰，其中L 是摆线(cos sin ),(sin cos ),02x a t t t y a t t t t π=+=-≤≤； 55.2Ly ds ⎰，其中L 为摆线的一拱：(sin ),(1cos ),02x a t t y a t t π=-=-≤≤；56.2221ds x y z Γ++⎰，其中Γ是曲线cos ,sin ,t t tx e t y e t z e ===上从0t =到2t =的一段弧； 57. 2x yzds Γ⎰，其中Γ是折线ABCD ,其中(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)A B C D ；58. 22()Lxy dx -⎰, 其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；59.Lxydx ⎰，其中L 是圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）； 60.Lydx xdy +⎰，其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应于0t =到2t π=的一段弧； 61.22()()Lx y dx x y dyx y+--+⎰，其中L 为圆周222(0)x y a a +=>（按逆时针方向绕行）； 62. 2x dx zdy ydz Γ+-⎰， Γ是曲线,cos ,sin x k y a z a θθθ===上对应于0θ=到θπ=的一段弧； 63. (1)xdx ydy x y dz Γ+++-⎰，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；64. dx dy ydz Γ-+⎰，其中Γ是有向闭折线段ABCA ，其中(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C ；65. ()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； 66. (24)(536)Lx y dx y x dy -+++-⎰，其中L 为三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界；67. 222(cos 2sin )(sin 2)x xLx y x xy x y e dx x x ye dy +-+-⎰，L 为正向星形线222333(0)x y a a +=>；68.22()(sin )Lxy dx x y dy --+⎰，其中L 为圆周y =上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；69.222()L ydx xdy x y -+⎰，其中L 是圆周22(1)2x y -+=，方向为逆时针方向；70. 证明(2,1)423(1,0)(23)(4)xy y dx x xy dy -++-⎰与路径无关，并计算其值；71. 验证22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++-是某个函数(,)u x y 的全微分，并求(,)u x y ； 72. 解全微分方程(2)0y y e dx xe y dy +-=； 73. 设曲线积分2()Lxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ具有连续导数，且(0)0ϕ=，试计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值；74. 设Γ是曲线23,,x t y t z t ===上从0t =到1t =的一段弧，把对坐标的第二型曲线积分Pdx Qdy Rdz Γ++⎰化为对弧长的第一型曲线积分；75. 把对坐标的第二型曲线积分LPdx Qdy +⎰化为对弧长的第一型曲线积分，其中L 为圆周y =(0,0)到点(1,1)的一段弧；五、计算下列曲面积分76. 4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分；77. 2(22)z xy x x dS ∑+--⎰⎰，其中∑为平面226x y z ++=在第一卦限中的部分； 78.()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z a ++=上(0)z h h a ≥<<的部分；79.()xy yz zx dS ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =被柱面222x y ax +=所截得的部分；80.22()xy dS ∑+⎰⎰，其中∑为锥面z =及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面；81.()x y dydz ∑+⎰⎰，∑是以原点为中心，边长为2a 的正方体,,x a y a z a ≤≤≤的整个表面的外侧；82.2z dxdy ∑⎰⎰，其中∑是上半球面z =22(0)x y ax a +=>之外部分的外侧；83. 2()z x dydz xdxdy ∑+-⎰⎰，∑是旋转抛物面221()2z x y =+介于平面0z =及2z =之间部分的下侧； 84.[(,,)][2(,,)][(,,)]f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy ∑+++++⎰⎰，其中∑是平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧；85.22()x y dzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =被平面1z =所截下在第一卦限部分的下侧； 86. 化第二型曲面积分(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑++⎰⎰为第一型曲面积分，其中∑是平面平面326x y ++=在第一卦限部分的上侧；六、高斯公式和斯托克斯公式87.222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为平面0,,0,,0,x x a y y a z z a ======所围立体表面的外侧； 88. 333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z a ++=的外侧；89.2232()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰，其中∑为上半球体0z ≤≤的外侧； 90. xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰， ∑是介于平面0,3z z ==之间的圆柱体229x y +≤的表面的外侧； 91.24xzdydz y dzdx yzdxdy ∑-+⎰⎰，其中∑为平面0,1,0,1,0,1x x y y z z ======所围立体表面的外侧；92. 求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k 穿过球面∑：222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量；93.323232()()()x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰，其中∑为上半球面z =侧； 94.ydx zdy xdz Γ++⎰，其中Γ为圆周2222,x y z a ++=0x y z ++=，若从x 轴的正向看去，取逆时针方向； 95.()()()y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰，其中Γ为椭圆222x y a +=，1(0,0)x z a b a b+=>>，若从x 轴的正向看去，取逆时针方向； 96.ABCAzdx xdy ydz ++⎰，其中ABCA 是以(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C 为顶点的三角形边界曲线，它的正向与这个三角形所在平面上侧的法向量之间符合右手法则； 97. 223ydx xdy z dz Γ+-⎰，其中Γ为圆周2229x y z ++=，0z =，若从z 轴的正向看去，取逆时针98.()()()z y dx x z dy x y dz Γ-+-+-⎰，其中Γ是曲线221,x y +=2x y z -+=，若从z 轴的正向看去，取顺时针方向；99. 求向量场32()()3x z x yz xy =-++-A i j k 沿闭曲线Γ（从z 轴的正向看取逆时针方向）的环流量，其中Γ为圆周20z z ==；100. 求向量场(23)(3)(2)x y x z y x =-+-+-A i j k 的旋度.参考答案： 115+， 52. ， 53. 11)12， 54. 2322(21)a ππ+，55. 325615a ，2)e --, 57. 9, 58.5615-, 59. 312a π-, 60. 0, 61. 2π-， 62. 33213k a ππ-， 63. 13， 64.92， 65. 323，66. 12, 67. 0, 68. 17sin 246-, 69. π-, 70. 5, 71. 22cos sin x y y x C ++，72. 2yxe y C -=， 73.12， 74. ⎰，75.(1)]Lx Q ds +-⎰，76. , 77. 274-, 78. 22()a a h π-, 79.4,80.,81. 38a ， 82. 41132a π， 83. 4π， 84. 12，85. 146π-，86. 32()55P Q R dS ∑++⎰⎰,87. 43a , 88.5125a π, 89. 525a π, 90. 81π, 91. 32， 92. 108π， 93. 52920a π， 94. 2a ，95. 2()a ab π-+ ，96. 32, 97. 9π, 98. 2π-, 99. 12π, 100. 246=++rotA i j k .。

多元函数微分习题-（1）多元函数微分法及其应⽤同步测试（2009年4⽉）注:红⾊的题⽬超出范围,不做.测试1⼀、填空题（3分×4=12分）1、设22,y x x y y x f -=??? ?+，则=),(y x f 。

2、=+→222)0,0(),(sin lim y x yx y x 。

3、设xyze z y xf =),,(，则=zy x f 3 。

4、曲线==zx x y 22在点)1,1,1(0P 处的切线⽅程为。

⼆、选择题（4分×3=12分）1、设有⼆元函数=≠+=),0,0(),(,0),0,0(),(,),(242y x y x y x yx y x f 则 [ ]。

A 、),(lim)0,0(),(y x f y x →存在， ),(y x f 在(0,0)处不连续； B 、),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在， ),(y x f 在(0,0)处不连续； C 、),(lim )0,0(),(y x f y x →存在， ),(y x f 在(0,0)处连续；D 、),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在， ),(y x f 在(0,0)处连续。

2、函数),(y x f 在),(000y x P 连续是),(y x f 在),(000y x P 各⼀阶偏导数存在的[ ]。

A 、必要条件；B 、充分条件；C 、充要条件；D 、既⾮必要也⾮充分条件。

3、点)0,0(O 的函数xyz=的[ ]。

A 、极⼩值点；B 、驻点但⾮极值点；C 、极⼤值点；D 、最⼤值点。

三、计算题（6分×5=30分）1、设=+≠++=.00,0),ln(),(222222y x y x y x x y x f 求),(y x f 各⼀阶偏导数。

2、设+=y x x y x f ln ),(，求此函数在点)1,1(0P 处的全微分。

3、设),(y x f z =由⽅程0=-++++y x z e y x z 所确定，求dz 。

练习题一 多元函数微分学部分练习题 1 求函数yx yx z -++=11的定义域.2已知xy y x xy y x f 5),(22-+=-，求),(y x f . 3计算下列极限 （1）22)0,1(),()ln(limy x e x y y x ++→ （2） 4422),(),(lim y x y x y x ++∞∞→（3）243lim)0,0(),(-+→xy xy y x （4）xy x xy 1)1,0(),()1(lim +→（5）2222)1,2(),(2lim y x y x xy y x ++→ （6）2222)0,0(),()(2sin lim yx y x y x ++→ 4 证明极限yx yx y x +-→)0,0(),(lim不存在.5 指出函数22),(y x yx y x f -+=的间断点.6计算下列函数的偏导数（1）)ln(2y x z = （2）x xy z )1(-= （3）),(2y x f x z = （4）)(xy xz ϕ=（5）y xy y x z 2344+-+= （6）)ln(22y x z += （7）)3cos(22y x e z y x += （8）y xy z )1(+= （9）2221zy x u ++=（10）⎰=220sin y x dt t z7 计算下列函数的二阶偏导数（1）243y xy x z -+= （2）)ln(xy y z =（3）y e z xy sin = （4）),(2y x f x z = （5）2(,)z f xy x = 8求下列函数的全微分（1）xy xe z = （2）221yx z +=（3）xy z arcsin = （4）),(y x yf xy z += 9 设⎰=xydt t y x f 12sin ),(，求df .10 （1）22uv v u z -=，其中y x u cos =，x y v sin =,求xz ∂∂，yz ∂∂（2）)arctan(),,(z y x z y x f u ++==，其中)cos(xy z =,求xz ∂∂，yz ∂∂（3）v u e z -=， t u sin =，2t v =,dz dt（4）),(22y x yx f z -=,求xz ∂∂，yz ∂∂（5）设),()2(xy x g y x f z +-=，求xz ∂∂，yz ∂∂；11 （1）设0)ln(22=+-+y x xy x ，求dxdy . （2）设xyz e z =，求yz x z ∂∂∂∂,. （3）已知⎩⎨⎧=++=++1022z y x z y x ，求dz dx ，dz dy. 12 求曲线⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=211t z t t y t t x 在点1=t 的切线及法平面方程.13求曲线⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(0-M 处的切线与法平面方程.14求曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(M 处的切平面和法线方程. 15求函数22)1(-+=y x z 的极值.16求函数32z xy u =在条件a z y x =++)0,,,(>a z y x 下的极值.17求函数32z xy u =在曲面03222=-++xyz z y x 上点)1,1,1(P 处，沿曲面在该点朝上的法线方向的方向导数.18 设222(,,)3f x y z x y z xy x y z =+++-++，求(1,2,3)gradf . 二 多元函数积分学部分练习题 1、改变下列二次积分的积分次序（1）⎰⎰1102),(x dy y x f dx （2）⎰⎰--yy dx y x f dy 21110),(（3）⎰⎰⎰⎰+2242220),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy2、计算下列二重积分（1）⎰⎰Dxyd σ，其中区域D 是曲线xy 1=，2=x 及x y =所围成的区域. （2）⎰⎰+Dd y x σ)(，其中区域D 是曲线x y 42=及x y =所围成的区域.（3）⎰⎰+Dd y x σ)(，其中区域D ：1≤+y x .（4）⎰⎰+Dd y x σ)cos(，其中区域D 是曲线x y =，0=y 及2π=x 所围成的区域.（5）⎰⎰--Dy xd e σ22，其中积分区域D 为中心在原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.（6）⎰⎰+Dd y x σ22，其中积分区域为D ：122≥+y x ，x y x 222≤+，0≥y .3、设函数),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddxdy y x f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2x y =和1=x 所围成的区域.4、设函数)(u f 具有连续导数，且0)0(=f ，3)0(='f ，求3220222)(limtd y x f t y x t πσ⎰⎰≤+→+.5 计算下列三重积分（1）⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x )sin(,其中Ω是由三个坐标面与平面2π=++z y x 所围成的立体；（2）计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ,其中Ω是由曲面222y x z --= 以及22y x z +=所围成的空间形体.（3）计算积分⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ，其中Ω是球面4222≤++z y x 在第一卦限的部分.6 试计算立体Ω由曲面228y x z --=及22y x z +=所围成的体积. 7计算⎰⎰⎰Ωdxdydz e z ，其中Ω是球面1222≤++z y x .8 计算下列曲线积分（1）LxydS ⎰，其中L 为圆222a y x =+在第一象限内的部分；（2）222()x y z dS Γ++⎰，其中Γ是球面9222=++z y x 与平面0=++z y x 的交线.（3）⎰+-+L dy y x dx y )2()1(3，其中L 是曲线23x y =上从点)0,0(O 到点)1,1(A 的一段弧；（4）计算⎰+Lxdy ydx ，其中L 为圆周θcos r x =，θsin r y =上由0=θ到πθ2=的一段弧.（5）在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中求一条直线L ，使沿该曲线到点O 到点A 的积分⎰+++Ldy y x dx y )2()1(3的值最小.（6）计算⎰⎰∑dS z1，其中∑为球面4222=++z y x 被平面1=z 截出的上半部分.（7）计算⎰⎰∑++dS z y x )(222，其中∑为锥面222y x z +=介于平面0=z 与1=z 之间的部分. （8）计算⎰⎰∑+dxdy y x e z 22，其中∑是锥面22y x z +=夹在平面1=z 和2=z 之间部分的外侧.（9）计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 333，其中∑为以点)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)1,0,0(C 为顶点的三角形的上侧.9求曲线Γ：a x =，at y =，221at z =（10≤≤t ，0>a ）的质量，设其线密度为az2=ρ. 10 （1） 设L 为取正向的圆周922=+y x ，计算曲线积分⎰-+-Ldy x x dx y xy )4()22(2的值.（2）利用Stokes 公式计算曲线积分⎰++=L xdz zdy ydx I ，其中L 是球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线，由z 轴的正向看去，圆周沿逆时针方向.（3）计算对坐标的曲线积分⎰++L dy x dx x xy 2)(2，其中L 为222R y x =+的第一象限由),0(R 到)0,(R 的一段弧.（4）已知1)(=πϕ，试确定)(x ϕ，使曲线积分⎰+-BAdy x dx xyx x )()]([sin ϕϕ 与路径无关，并求当A ，B 分别为)0,1(，),(ππ时线积分的值（5）计算⎰⎰∑++=yzdxdy xydzdx xzdydz I ，其中∑是圆柱面222R y x =+与平面0=x ，0=y ，0=z 及h z =)0(>h 所围成的在第一卦限中的立体的表面外侧.11（1）设k z j y i x r ϖϖϖϖ++=，计算r rot ϖ.（2）设()A xyz xi yj zk =++r r r r，计算divA r希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。

多元函数 重积分复习一、客观题： 1．判断1）．已知),(2),(),(lim ),(0b a f xb x a f b x a f b a x f x x '=--+∂∂→存在，则 （ √ ）2）．若二元函数),().(),(),(0000y x P y x f z y x P y x f z 在点的两个偏导数存在，则在点==可微。

( × ）3）．若二元函数的两个偏导在点不可微，则在点),().(),(),(0000y x P y x f z y x P y x f z ==不存在。

数yzx z ∂∂∂∂, （ × ） 4）．若二元函数.),(),(),().(0000不可微在点则的两个偏导数不连续，在点y x P y x f z y x P y x f z ==不存在。

数yzx z ∂∂∂∂, （ × ） 2.选择题1）. 函数),(y x f 在),(00y x 处可微分,是),(y x f 在),(00y x 处连续的_________条件.A ． 充分条件 B. 既充分又必要条件 C ． 必要条件 D. 既非充分又非必要条件 答案：A2）．''x 00y0000f(x ,y )=0,f(x ,y )=0是函数f(x,y)在点(x ,y ) 取得极值的________. A. 必要条件 B. 充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件 答案：D3）．设函数),(y x f z =在（0，0）处存在偏导数，且,0)0,0(,0)0,0(,0)0,0(===f f f y x 那么 。

A. ),(lim 0y x f y x '→→ 必定存在 B ．),(y x f 在（0，0）处必连续C. 0=dz D ．0,0),(lim 220==+→→dz yx y x f y x 则若答案：D4）．设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（ ）。

第八章 多元函数微积分试题三一、填空题(2⨯10=20分)1. 母线平行于Y 轴，且通过曲线⎩⎨⎧2x 2+y 2+z 2=16x 2-y 2+z 2=0的柱面方程是 。

[解析]：方程不含y 时，表示母线平行于Y 轴的柱面。

消去y 2得到3x 2+2z 2=16，为所求的柱面方程 2. 设(x,y)≠(0,0)时，f(x,y)=(x 2-y 2)-sin2xyx 2+y2, 则 f(x+y,x-y)= 。

[解析]：f(x+y ,x-y)= ((x+y)2-(x-y)2)-sin 2(x+y)(x-y) (x+y)2+(x-y)2 = 4xy-sin 2(x 2-y 2)(x 2+y 2)3. 设f(x,y)= ⎩⎪⎨⎪⎧xy x 2+y 2 当x 2+y 2≠00 当x 2+y 2=0，则 f x '(0,0)= 。

[解析]： f 'x (x 0,y 0)= lim ∆x →0f(∆x+x 0,y 0)-f(x 0,y 0)∆x , f x '(0,0)= lim ∆x →0f(∆x,0)-f(0,0)∆x = lim ∆x →00-0∆x =0 4. 设z=f[x,g(x,y)], y=φ(x)，f, g, φ 均为可微函数，则dzdx = 。

[解析]：根据复合函数求导数规则，dzdx = f '1 +f '2 (g 'x +g 'y •φ')5. 已知 xlny+ylnz+zlnx = 1，则∂z ∂x •∂x ∂y •∂y∂z= 。

[解析]：根据隐函数求导数规则，∂z ∂x •∂x ∂y •∂y ∂z = (- F 'x F 'z )•(- F 'y F 'x )•(- F 'zF 'y ) = -16. 设z=f (arctan y x )，f 为可微函数，且f '(x)=x 2, 则 ∂z∂x |(1,1) = 。

可编辑修改精选全文完整版第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答一、选择题 1. 极限= （提示：令22y k x =） （ B ）(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于(D) 存在且不等于0或2、设函数，则极限= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设，则= （ B ）(A)(B)(C)(D)6、设，则 （ A ）（A ） （B ） （C ） （D ）7、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ） （A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若，则= （ D ） (A) (B)(C)(D)9、设，则（ A ）(A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 1 10、设，则 （ D ）(A) (B)(C) (D)11、曲线在点处的法平面方程是 （C ） (A) (B)(C)(D)12、曲线在点处的切线方程是 （A ）(A) 842204x z y --=-=(B) (C) (D)13、曲面在点处的切平面方程为 （D ）（A ） （B ）（C ）（D ）14、曲面在点处的法线方程为 （A ）（A ） （B ） （C ） （D ）15、设函数，则点是函数 的 （ B ）（A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 16、设函数具有二阶连续偏导数，在处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点是函数的极大值点 （B ）点是函数的极小值点（C ）点非函数的极值点 （D ）条件不够，无法判定17、函数在222421x y z ++=条件下的极大值是 （ C ）(A) (B) (C) (D)二、填空题 1、极限= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：2、极限=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：3、函数的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：4、函数的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：，5、设函数，则= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：6、设函数，则= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-）7、设，要使处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：8、设，要使在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：19、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线及11、设，则_________ .答：3cos5 12、设，则= _________ .答：1 13、设，则=_________ .答：14、设，则在极坐标系下，= _________ .答：015、设，则= _________.答：16、设，则= ___________ .答：17、函数由所确定，则= ___________ .答：18、设函数由方程所确定，则= _______ .答：19、由方程所确定的函数在点（1，0，－1）处的全微分= _________ .答：20、曲线在点处的切线方程是_________.答：21、曲线在对应于点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x22、曲面在点处的法线方程为_________ .答：eze y x 22212=-+=- 23、曲面在点处的切平面方程是_________.答：24、设函数由方程确定，则函数的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数在点处取得极值，则常数_________，_________.答：0，426、函数在条件下的极大值是_______答：三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.4 2、求极限 .解：= 43、求极限 .解：原式=4、求极限 .解：= -85、设，求.解：6、设，求.解：7、设函数由所确定，试求（其中）.解一：原式两边对求导得，则同理可得：解二：xy xz F F y z xy yz F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数的极值.解：由，得驻点074334>=--==yyyxxy xx z z z z D，函数在点处取极小值.9、设，而，求.解：=-++(sin )3432t t e x y10、设，求.解：11、设，求.解：，，12、求函数的全微分.解：四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？ 解：设水池的长、宽、高分别为米.水池底部的单位造价为. 则水池造价 且令由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明： 因为2)11(1x e x z y x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+- 2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx ekn xy k tkn sin 2222--=∂∂, 所以22xy k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。

多元函数微积分复习题一、单项选择题1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ).A. 若0lim x xy y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=22zy ∂∂.5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ).A. 可微(指全微分存在)⇔可导(指偏导数存在)⇒连续;B. 可微⇒可导⇒连续;C. 可微⇒可导, 或可微⇒连续, 但可导不一定连续;D. 可导⇒连续, 但可导不一定可微.6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 25．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2） ，则→→•AB MA = （ C ） (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3） ，则||→→+AB MA =（ B ）(A);2-(B)(C)2; (D)-2;7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)DF x y d σ⎰⎰为二次积分的正确方法是_____D____.A. 20(,)aa adx f x y dy -⎰⎰B. 202(,)adx f x y dy ⎰C. 2cos 0(cos ,sin )a a ad f d θθρθρθρρ-⎰⎰D. 2cos 202(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰8．设3ln 1(,)x Idx f x y dy =⎰⎰, 改变积分次序, 则______.I= BA. ln30(,)y e dy f x y dx ⎰⎰B. ln330(,)y edy f x y dx ⎰⎰C. ln33(,)dy f x y dx ⎰⎰ D. 3ln 1(,)x dy f x y dx ⎰⎰9． 二次积分cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰可以写成___________. DA. 1(,)dy f x y dx ⎰⎰B. 100(,)dy f x y dx ⎰C. 11(,)dx f x y dy ⎰⎰ D. 10(,)dx f x y dy ⎰10． 设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分(,,)I f x y z dx dy dz Ω=⎰⎰⎰表示为三次积分，________.I = CA ． 22120(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ⎰⎰⎰B. 22220(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ⎰⎰⎰C ． 22222(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ⎰⎰⎰D ． 222(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ⎰⎰⎰11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:，则()=⎰Ldx y x P , （ C ）（A ） a （B ） c（C ） 0 （D ） d12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=⎰Ldy y x P , （ C ）（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d13．设有级数∑∞=1n n u ,则0lim =∞→n n u 是级数收敛的 （ D ）(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;14．幂级数∑∞=1n n nx 的收径半径R = （ D ）(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 115．幂级数∑∞=11n n x n的收敛半径=R （ A ）(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 316．若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R ，则∑∞=+02n n n x a 的收敛半径为 （ A ）(A) R (B) 2R(C) R (D) 无法求得17. 若lim 0n n u →∞=, 则级数1n n u ∞=∑( ) DA. 收敛且和为B. 收敛但和不一定为C. 发散D. 可能收敛也可能发散18. 若1n n u ∞=∑为正项级数, 则( B )A. 若lim 0n n u →∞=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛, 则21n n u ∞=∑收敛C. 若21n n u ∞=∑, 则1n n u ∞=∑也收敛 D. 若1n n u ∞=∑发散, 则lim 0n n u →∞≠19. 设幂级数1n n n C x ∞=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( A )A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定 20. 级数1sin (0)!n nx x n ∞=≠∑, 则该级数( B )A. 是发散级数B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数D. 可能收敛也可能发散二、填空题1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则)1,0('x f =____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρsin ,cos ,4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f ϕρρϕρϕρ,sin ,cos ,,5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9Ddxdy π=⎰⎰, 则a = 3 。