二次函数与几何综合压轴题题型归纳(完整资料).doc

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l a l
是直线同旁的两个定点，线段，在直线上确定两点
F AEFB
的左侧），使得四边形的周长最小。

8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法
(1)求该抛物线的解析式与△
求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？
当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标？
(4)在（5）的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。

当E点运动到什么位置时,以点
E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形？
(5)在（5）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？
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1
；二次函数y＝x
2
两点且D点坐标
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
轴交于点A（﹣4，0）和B．的坐标；若不存在，请说明理由．
F
E
O
x
B
A
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙。

一 基础构图：y=322--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个）★和最小，差最大 在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求出P 点坐标在对称轴上找一点P ，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标★求面积最大 连接AC,在第四象限找一点P ，使得ACP ∆面积最大，求出P 坐标★ 讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为直角三角形，求出P 坐标或者在抛物线上求点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．★ 讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为等腰三角形，求出P 坐标★ 讨论平行四边形 1、点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，A ，F ，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标二 综合题型 O xyA B C DO xyA B C DO xyA B C DO xyA B C D例1 (中考变式）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D 。

交Y 轴于C(1)求该抛物线的解析式与△ABC 的面积。

(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M ，使△MBC 是以∠BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点P 的坐标。

若没有，请说明理由(3)若E 为抛物线B 、C 两点间图象上的一个动点(不与A 、B 重合)，过E 作EF 与X 轴垂直，交BC 于F ，设E 点横坐标为x.EF 的长度为L ，求L 关于X 的函数关系式？关写出X 的取值范围？当E 点运动到什么位置时，线段EF 的值最大，并求此时E 点的坐标？(4)在（5）的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H 。

当E 点运动到什么位置时,以点E 、F 、H 、D 为顶点的四边形为平行四边形？(5)在（5）的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形BCE 的面积最大？例2 考点： 关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别为(－1，0)、(0，3－)，点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线x ＝1，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ． （1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P 的横坐标为m ，试用含m 的代数式表示线段PF 的长；（3）求△PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标．例3 考点：讨论等腰如图，已知抛物线y ＝21x 2＋bx ＋c 与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，－1）． （1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由．例4考点：讨论直角三角⑴ 如图，已知点A （一1，0）和点B （1，2），在坐标轴上 D B C O A yx E B C O A 备用图y xyxBA FPx ＝1CO确定点P ，使得△ABP 为直角三角形，则满足这样条件的点P 共有（ ）． (A ）2个 （B ）4个 （C ） 6个（D ）7个⑵ 已知：如图一次函数y ＝21x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝21x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝21x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．例5 考点：讨论四边形已知：如图所示，关于x 的抛物线y ＝ax 2＋x ＋c （a ≠0）与x 轴交于点A （－2，0），点B （6，0），与y 轴交于点C ．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；（3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是否存在以A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．综合练习：1、平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴的正半轴O A B yCxD E2 B A y O Cx交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB ＝OC ，抛物线的顶点为D 。

二次函数与几何图形综合题类型 1二次函数与相似三角形的存在性问题1． (2015 ·明西山区一模昆)如图，已知抛物线y＝ ax2＋bx＋ c(a≠0)经过 A(－ 1， 0)， B(4， 0)， C(0 ，2) 三点．(1)求这条抛物线的解析式；(2)P 为线段 BC 上的一个动点，过P 作 PE 垂直于 x 轴与抛物线交于点 E，设 P 点横坐标为 m， PE 长度为 y，请写出 y 与 m 的函数关系式，并求出PE 的最大值；(3)D 为抛物线上一动点，是否存在点 D 使以 A、B、D 为顶点的三角形与△ COB 相似？若存在，试求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．2． (2013 ·靖曲 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝ x＋ 4 与坐标轴分别交于A， B 两点，过A，B 两点的抛物线为y＝－ x2＋ bx＋ c.点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作 CD⊥ x 轴于点 C，交抛物线于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)当 DE＝ 4 时，求四边形CAEB 的面积；(3)连接 BE，是否存在点 D ，使得△ DBE 和△ DAC 相似？若存在，求出 D 点坐标；若不存在，说明理由．3．(2015 襄·阳 )边长为 2 的正方形O ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接 CD ，点 E 在第一象限，且DE⊥ DC ， DE ＝DC.以直线 AB 为对称轴的抛物线过C， E 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 从点 C 出发，沿射线 CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点 P 作 PF ⊥ CD 于点 F .当 t 为何值时，以点P， F ，D 为顶点的三角形与△COD 相似？(3)点 M 为直线 AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M， N，使得以点M，N， D， E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．类型 2二次函数与平行四边形的存在性问题1． (2014 ·靖曲 )如图，抛物线y＝ax2＋bx＋ c 与坐标轴分别交于A(－ 3， 0)， B(1， 0)， C(0， 3)三点， D 是抛物线顶点， E 是对称轴与 x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)F 是抛物线对称轴上一点，且1，求点 O 到直线 AF 的距离；tan∠ AFE ＝2(3)点 P 是 x 轴上的一个动点，过P 作 PQ∥ OF 交抛物线于点Q，是否存在以点O， F， P，Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．2． (2013 ·明昆 )如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上， OA＝ 4， OC＝3，若抛物线的顶点在 BC 边上，且抛物线经过 O，A 两点，直线 AC 交抛物线于点D .(1)求抛物线的解析式；(2)求点 D 的坐标；(3)若点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，是否存在以点A，D ，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3． (2015 昆·明西山区二模 )如图，抛物线 y＝ x2－ 2x－3 与 x 轴交于 A、B 两点 (A 点在 B 点左侧 ) ，直线l 与抛物线交于A、 C 两点，其中 C 点的横坐标为 2.(1)求 A、B、 C 三点的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找到点P，使得△ PBC 的周长最小，并求出点P 的坐标；(3)点 G 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F ，使 A、C、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由．类型 3二次函数与直角三角形的存在性问题1． (2015 ·南云 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c( a≠0)与 x 轴相交于A、 B 两点，与y 轴相交于点C，直线 y＝ kx＋n( k≠ 0)经过 B、 C 两点，已知 A(1， 0)， C(0， 3)，且 BC＝5.(1)分别求直线BC 和抛物线的解析式(关系式 )；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以 B、C、P 三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．2． (2015 ·贡自 )如图，已知抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0) 的对称轴为x＝－ 1，且抛物线经过A(1， 0)，C(0， 3)两点，与x 轴交于点 B.(1)若直线 y＝mx＋ n 经过 B、 C 两点，求线段BC 所在直线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－ 1 上找一点M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出此点M的坐标；(3)设点 P 为抛物线的对称轴x＝－ 1 上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．3． (2015 益·阳 )已知抛物线 E 1： y ＝ x 2 经过点 A(1， m)，以原点为顶点的抛物线E经过点 B(2， 2)，点2 A 、 B 关于 y 轴的对称点分别为点A ′，B ′.(1)求 m 的值及抛物线E 2 所表示的二次函数的表达式；(2)如图，在第一象限内，抛物线E 1 上是否存在点 Q ，使得以点 Q 、B 、 B ′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图， P 为第一象限内的抛物线E 1 上与点 A 不重合的一点，连接OP 并延长与抛物线E 2 相交于点P ′，求△ PAA ′与△ P ′BB ′的面积之比．类型 4二次函数与等腰三角形的存在性问题1． (2015 ·东南黔 )如图，已知二次函数y 1＝－ x2＋134x＋c 的图象与x 轴的一个交点为A(4，0) ，与 y 轴的交点为 B，过 A、 B 的直线为y2＝ kx＋b.(1)求二次函数y1的解析式及点 B 的坐标；(2)由图象写出满足y1<y2的自变量x 的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P，使得△ ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．- 10 -2．如图，抛物线与x 轴交于 A， B 两点，直线y＝kx－ 1 与抛物线交于A， C 两点，其中A(－ 1， 0)，B(3， 0)，点 C 的纵坐标为－ 3.(1)求 k 值；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线上是否存在点P，使得△ ACP 是以 AC 为底边的等腰三角形？如果存在，写出所有满足条件的点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．(2015 ·明官渡区二模昆)如图，已知抛物线y＝ax2＋ bx＋ c(a≠0)交于 x 轴于 A(－ 1，0) ，B(5，0)两点，与 y 轴交于点C(0， 2)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点 M 为抛物线的顶点，连接BC、 CM 、BM ，求△ BCM 的面积；(3)连接 AC，在 x 轴上是否存在点P，使△ ACP 为等腰三角形；若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．类型 5二次函数与图形面积问题1．(2014 ·明昆 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)与x轴交于点A(－ 2，0)，B(4，0)两点，与 y 轴交于点 C.(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 从 A 点出发，在线段AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△ PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？(3)当△ PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K，使 S△CBK∶ S△PBQ＝ 5∶ 2，求 K 点坐标．2．(2015 云·南二模 )如图所示，抛物线 y＝ ax2＋ bx(a＜ 0)与双曲线 y＝k相交于点 A、B，点 A 的坐标为x(－ 2， 2)，点 B 在第四象限内，过点 B 作直线 BC∥x 轴，直线 BC 与抛物线的另一交点为点C，已知直线BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴的距离的 4 倍，记抛物线的顶点为 E.(1)求双曲线和抛物线的解析式；(2)计算△ ABC 与△ ABE 的面积；(3)在抛物线上是否存在点 D ，使△ ABD 的面积等于△ABE 的面积的8 倍？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．类型 6 二次函数与最值问题1． (2015 ·明盘龙区一模昆)如图，对称轴为直线x＝ 2 的抛物线经过A(－1， 0)， C(0， 5)两点，与x 轴另一交点为B，已知 M(0， 1)， E(a， 0)，F(a＋ 1， 0)，点 P 是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当 a＝ 1 时，求四边形MEFP 的面积最大值，并求此时点P 的坐标；(3)若△ PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形，求 a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．2． (2013 ·溪玉 )如图，顶点为 A 的抛物线 y＝a(x＋ 2)2－4 交 x 轴于点 B(1， 0)，连接 AB，过原点 O 作射线OM ∥ AB ，过点 A 作 AD∥ x 轴交 OM 于点 D，点 C 为抛物线与 x 轴的另一个交点，连接 CD .(1)求抛物线的解析式(关系式 )；(2)求点 A，B 所在的直线的解析式(关系式 )；(3)若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着射线OM 运动，设点P 运动的时间为t 秒，问：当 t 为何值时，四边形ABOP 分别为平行四边形？(4)若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段OD 向点 D 运动，同时动点Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段CO 向点 O 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t 秒，连接PQ.问：当 t 为何值时，四边形CDPQ 的面积最小？并求此时PQ 的长．类型 7二次函数与根的判别式问题1． (2015 ·阳衡 )如图，顶点M 在 y 轴上的抛物线与直线y＝ x＋ 1 相交于 A、 B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为2，连接 AM 、 BM .(1)求抛物线的函数关系式；(2)判断△ ABM 的形状，并说明理由；(3)把抛物线与直线y＝x 的交点称为抛物线的不动点．若将(1)中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？类型 8二次函数与圆1．(2015 ·明盘龙区二模昆)如图，已知以E(3 ，0)为圆心，以 5 为半径的⊙ E 与 x 轴交于点A， B 两点，与 y 轴交于 C 点，抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c 经过 A， B， C 三点，顶点为 F .(1)求 A， B， C 三点的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点 F 的坐标；(3)已知 M 为抛物线上一动点(不与 C 点重合 )．试探究：①使得以A，B， M 为顶点的三角形面积与△ABC 的面积相等，求所有符合条件的点M 的坐标；②若探究①中的M 点位于第四象限，连接M 点与抛物线顶点 F ，试判断直线MF 与⊙ E 的位置关系，并说明理由．2． (2015 ·靖曲 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ⊥ y 轴于点 B(0，－ 2)， A 为 OB 的中点，以 A为顶点的抛物线 y＝ ax2＋ c(a≠0)与 x 轴分别交于 C、D 两点，且 CD＝ 4.点 P 为抛物线上的一个动点，以 P 为圆心， PO 为半径画圆．(1)求抛物线的解析式；(2)若⊙ P 与 y 轴的另一交点为E，且 OE＝ 2，求点 P 的坐标；(3)判断直线l 与⊙ P 的位置关系，并说明理由．。

周日解答题压轴题二次函数与几何图形综合一模块一2022中考真题集训类型一二次函数中的最值问题(1)自变量范围与最值问题1.(2022•绍兴)已知函数y =-x 2+bx +c (b ，c 为常数)的图象经过点(0，-3)，(-6，-3)．(1)求b ，c 的值．(2)当-4≤x ≤0时，求y 的最大值．(3)当m ≤x ≤0时，若y 的最大值与最小值之和为2，求m 的值．思路引领：(1)将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；(2)根据x 的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y 的最大值即可；(3)根据对称轴为x =-3，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m 的取值范围即可．解：(1)把(0，-3)，(-6，-3)代入y =-x 2+bx +c ，得b =-6，c =-3．(2)∵y =-x 2-6x -3=-(x +3)2+6，又∵-4≤x ≤0，∴当x =-3时，y 有最大值为6．(3)①当-3<m ≤0时，当x =0时，y 有最小值为-3，当x =m 时，y 有最大值为-m 2-6m -3，∴-m 2-6m -3+(-3)=2，∴m =-2或m =-4(舍去)．②当m ≤-3时，当x =-3时y 有最大值为6，∵y 的最大值与最小值之和为2，∴y 最小值为-4，∴-(m +3)2+6=-4，∴m =-3-10或m =-3+10(舍去)．综上所述，m =-2或-3-10．总结提升：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确分类讨论得出m 的取值范围是解题关键．2.(2022•安顺)在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如：点(1，1)，12，12 ，(-2，-2)，⋯⋯都是和谐点．(1)判断函数y =2x +1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；(2)若二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的图象上有且只有一个和谐点52，52．①求a ，c 的值；周日②若1≤x ≤m 时，函数y =ax 2+6x +c +14(a ≠0)的最小值为-1，最大值为3，求实数m 的取值范围．思路引领：(1)设函数y =2x +1的和谐点为(x ，x )，可得2x +1=x ，求解即可；(2)将点52，52代入y =ax 2+6x +c ，再由ax 2+6x +c =x 有且只有一个根，Δ=25-4ac =0，两个方程联立即可求a 、c 的值；②由①可知y =-x 2+6x -6=-(x -3)2+3，当x =1时，y =-1，当x =3时，y =3，当x =5时，y =-1，则3≤m ≤5时满足题意．解：(1)存在和谐点，理由如下，设函数y =2x +1的和谐点为(x ，x )，∴2x +1=x ，解得x =-1，∴和谐点为(-1，-1)；(2)①∵点52，52是二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的和谐点，∴52=254a +15+c ，∴c =-254a -252，∵二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的图象上有且只有一个和谐点，∴ax 2+6x +c =x 有且只有一个根，∴Δ=25-4ac =0，∴a =-1，c =-254；②由①可知y =-x 2+6x -6=-(x -3)2+3，∴抛物线的对称轴为直线x =3，当x =1时，y =-1，当x =3时，y =3，当x =5时，y =-1，∵函数的最大值为3，最小值为-1；当3≤m ≤5时，函数的最大值为3，最小值为-1．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合解题是关键．(2)胡不归问题3.(2022•淮安)如图(1)，二次函数y =-x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，3)，直线l 经过B 、C 两点．(1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；(2)点P 为直线l 上的一点，过点P 作x 轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M ，再过点M 作y 轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N ，当PM =12MN 时，求点P 的横坐标；(3)如图(2)，点C 关于x 轴的对称点为点D ，点P 为线段BC 上的一个动点，连接AP ，点Q 为线段AP 上一点，且AQ =3PQ ，连接DQ ，当3AP +4DQ 的值最小时，直接写出DQ 的长．周日思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可；(2)设P(t，-t+3)，则M(t，-t2+2t+3)，N(2-t，-t2+2t+3)，则PM=|t2-3t|，MN=|2-2t|，由题意可得方程|t2-3t|=12|2-2t|，求解方程即可；(3)由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QG∥BC，求出点G(2，0)，作A点关于GQ的对称点A'，连接A'D与AP交于点Q，则3AP+4DQ=4DQ+34AP=4 (DQ+AQ)≥4A'D，利用对称性和∠OBC=45°，求出A'(2，3)，求出直线DA'的解析式和直线QG的解析式，联立方程组y=-x+2y=3x-3，可求点Q54，34，再求DQ=5104．解：(1)将点B(3，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c，∴-9+3b+c=0c=3，解得b=2c=3，∴y=-x2+2x+3，∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴顶点坐标(1，4)；(2)设直线BC的解析式为y=kx+b，∴3k+b=0b=3，解得k=-1b=3，∴y=-x+3，设P(t，-t+3)，则M(t，-t2+2t+3)，N(2-t，-t2+2t+3)，∴PM=|t2-3t|，MN=|2-2t|，∵PM=12MN，∴|t2-3t|=12|2-2t|，解得t=1+2或t=1-2或t=2+3或t=2-3，∴P点横坐标为1+2或1-2或2+3或2-3；(3)∵C(0，3)，D点与C点关于x轴对称，∴D(0，-3)，令y=0，则-x2+2x+3=0，解得x=-1或x=3，周日∴A (-1，0)，∴AB =4，∵AQ =3PQ ，∴Q 点在平行于BC 的线段上，设此线段与x 轴的交点为G ，∴QG ∥BC ，∴AQ AP =AG BA ，∴34=AG 4，∴AG =3，∴G (2，0)，∵OB =OC ，∴∠OBC =45°，作A 点关于GQ 的对称点A '，连接A 'D 与AP 交于点Q ，∵AQ =A 'Q ，∴AQ +DQ =A 'Q +DQ ≥A 'D ，∴3AP +4DQ =4DQ +34AP =4(DQ +AQ )≥4A 'D ，∵∠QGA =∠CBO =45°，AA '⊥QG ，∴∠A 'AG =45°，∵AG =A 'G ，∴∠AA 'G =45°，∴∠AGA '=90°，∴A '(2，3)，设直线DA '的解析式为y =kx +b ，∴b =-32k +b =3，解得k =3b =-3 ，∴y =3x -3，同理可求直线QG 的解析式为y =-x +2，联立方程组y =-x +2y =3x -3 ，解得x =54y =34，∴Q 54，34 ，∴DQ =5104．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．4.(2022•梧州)如图，在平面直角坐标系中，直线y =-43x -4分别与x ，y 轴交于点A ，B ，抛物线y =518x 2+bx +c 恰好经过这两点．周日(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C 的坐标是(0，6)，将△ACO 绕着点C 逆时针旋转90°得到△ECF ，点A 的对应点是点E ．①写出点E 的坐标，并判断点E 是否在此抛物线上；②若点P 是y 轴上的任一点，求35BP +EP 取最小值时，点P 的坐标．思路引领：(1)根据直线解析式可得点A 、B 的坐标，代入二次函数解析式，解方程即可；(2)①由旋转的性质可得E (6，3)，当x =6时，y =518×62-12×6-4=3，可知点E 在抛物线上；②过点E 作EH ⊥AB ，交y 轴于P ，垂足为H ，sin ∠ABO =AO AB=HP BP =35，则HP =35BP ，得35BP +EP =HP +PE ，可知HP +PE 的最小值为EH 的长，从而解决问题．解：(1)∵直线y =-43x -4分别与x ，y 轴交于点A ，B ，∴当x =0时，y =-4；当y =0时，x =-3，∴A (-3，0)，B (0，-4)，∵抛物线y =518x 2+bx +c 恰好经过这两点．∴518×(-3)2-3b +c =0c =-4，解得b =-12c =-4，∴y =518x 2-12x -4；(2)①∵将△ACO 绕着点C 逆时针旋转90°得到△ECF ，∴∠OCF =90°，CF =CO =6，EF =AO =3，EF ∥y 轴，∴E (6，3)，当x =6时，y =518×62-12×6-4=3，∴点E 在抛物线上；②过点E 作EH ⊥AB ，交y 轴于P ，垂足为H ，周日∵A(-3，0)，B(0，-4)，∴OA=3，OB=4，∴AB=5，∵sin∠ABO=AOAB =HPBP=35，∴HP=35BP，∴35BP+EP=HP+PE，∴当E，P，H三点共线时，HP+PE有最小值，最小值为EH的长，作EG⊥y轴于G，∵∠GEP=∠ABO，∴tan∠GEP=tan∠ABO，∴PG EG =AO BO，∴PG6=34，∴PG=92，∴OP=92-3=32，∴P0，-32．总结提升：本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将35BP转化为HP的长是解题的关键．5.(2022•济南)抛物线y=ax2+114x-6与x轴交于A(t，0)，B(8，0)两点，与y轴交于点C，直线y=kx-6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式和t，k的值；(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+12PQ的最大值．思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可求解；周日(2)作PM ⊥x 轴交于M ，可求PM =14m 2-114m +6，AM =m -3，通过证明△COA ∽△AMP ，利用OA OC =PMAM，求m 的值即可求P 点坐标；(3)作PN ⊥x 轴交BC 于N ，过点N 作NE ⊥y 轴交于E ，通过证明△PQN ∽△BOC ，求出QN =35PN ，PQ =45PN ，再由△CNE ∽△CBO ，求出CN =54EN =54m ，则CQ +12PQ =CN +PN =-14m -132 2+16916，即可求解．解：(1)将B (8，0)代入y =ax 2+114x -6，∴64a +22-6=0，∴a =-14，∴y =-14x 2+114x -6，当y =0时，-14t 2+114t -6=0，解得t =3或t =8(舍)，∴t =3，∵B (8，0)在直线y =kx -6上，∴8k -6=0，解得k =34；(2)作PM ⊥x 轴交于M ，∵P 点横坐标为m ，∴P m ，-14m 2+114m -6 ，∴PM =14m 2-114m +6，AM =m -3，在Rt △COA 和Rt △AMP 中，∵∠OAC +∠PAM =90°，∠APM +∠PAM =90°，∴∠OAC =∠APM ，∴△COA ∽△AMP ，∴OA OC =PM AM，即OA •MA =CO •PM ，3(m -3)=614m 2-114m +6 ，解得m =3(舍)或m =10，∴P 10，-72；(3)作PN ⊥x 轴交BC 于N ，过点N 作NE ⊥y 轴交于E ，∴PN =-14m 2+114m -6-34m -6 =-14m 2+2m ，∵PN ⊥x 轴，∴PN ∥OC ，∴∠PNQ =∠OCB ，周日∴Rt△PQN∽Rt△BOC，∴PN BC =NQOC=PQOB，∵OB=8，OC=6，BC=10，∴QN=35PN，PQ=45PN，由△CNE∽△CBO，∴CN=54EN=54m，∴CQ+12PQ=CN+NQ+12PQ=CN+PN，∴CQ+12PQ=54m-14m2+2m=-14m2+134m=-14m-1322+16916，当m=132时，CQ+12PQ的最大值是16916．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．类型二二次函数中的面积问题1.(2022•内蒙古)如图，抛物线y=ax2+x+c经过B(3，0)，D-2，-52两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动(与点B，C不重合)，求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；(请在图1中探索)(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．(请在图2中探索)思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可；(2)作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，求出直线BC的解析式，设M m，-12m2+m+32，则N m，-12m+32，可得S△MBC=12•MN•OB=-34m-322+2716，再求解即可；(3)设Q(0，t)，P m，-12m2+m+32，分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；②当AQ为平行四边形的对角线时；③当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．解：(1)将B(3，0)，D-2，-5 2代入y=ax2+x+c，周日∴9a +3+c =04a -2+c =-52，解得a =-12c =32 ，∴y =-12x 2+x +32，令x =0，则y =32，∴C 0，32；(2)作直线BC ，过M 点作MN ∥y 轴交BC 于点N ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴3k +b =0b =32，解得k =-12b =32 ，∴y =-12x +32设M m ，-12m 2+m +32 ，则N m ，-12m +32 ，∴MN =-12m 2+32m ，∴S △MBC =12•MN •OB =-34m -32 2+2716，当m =32时，△MBC 的面积有最大值2716，此时M 32，158；(3)令y =0，则-12x 2+x +32=0，解得x =3或x =-1，∴A (-1，0)，设Q (0，t )，P m ，-12m 2+m +32，①当AB 为平行四边形的对角线时，m =3-1=2，∴P 2，32；②当AQ 为平行四边形的对角线时，3+m =-1，解得m =-4，∴P -4，-212；③当AP 为平行四边形的对角线时，m -1=3，解得m =4，Y our Text07周日∴P 4，-52；综上所述：P 点坐标为2，32 或-4，-212 或4，-52．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．2.(2022•淄博)如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴相交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，顶点D(1，4)在直线l ：y =43x +t 上，动点P (m ，n )在x 轴上方的抛物线上．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥l 于点N ，当1<m <3时，求PM +PN 的最大值；(3)设直线AP ，BP 与抛物线的对称轴分别相交于点E ，F ，请探索以A ，F ，B ，G (G 是点E 关于x 轴的对称点)为顶点的四边形面积是否随着P 点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．思路引领：(1)利用顶点式求解，可得结论；(2)如图，设直线l 交x 轴于点T ，连接PT ，BD ，BD 交PM 于点J ．设P (m ，-m 2+2m +3)．四边形DTBP 的面积=△PDT 的面积+△PBT 的面积=12×DT ×PN +12×TB ×PM =52(PM +PN )，推出四边形DTBP 的面积最大时，PM +PN 的值最大，求出四边形DTBP 的面积的最大值，可得结论；(3)四边形AFBG 的面积不变．如图，设P (m ，-m 2+2m +3)，求出直线AP ，BP 的解析式，可得点E ，F 的坐标，求出FG 的长，可得结论．解：(1)∵抛物线的顶点D (1，4)，∴可以假设抛物线的解析式为y =-(x -1)2+4=-x 2+2x +3；(2)如图，设直线l 交x 轴于点T ，连接PT ，BD ，BD 交PM 于点J ．设P (m ，-m 2+2m +3)．点D (1，4)在直线l ：y =43x +t 上，∴4=43+t ，∴t =83，周日∴直线DT 的解析式为y =43x +83，令y =0，得到x =-2，∴T (-2，0)，∴OT =2，∵B (3，0)，∴OB =3，∴BT =5，∵DT =32+42=5，∴TD =TB ，∵PM ⊥BT ，PN ⊥DT ，∴四边形DTBP 的面积=△PDT 的面积+△PBT 的面积=12×DT ×PN +12×TB ×PM =52(PM +PN )，∴四边形DTBP 的面积最大时，PM +PN 的值最大，∵D (1，4)，B (3，0)，∴直线BD 的解析式为y =-2x +6，∴J (m ，-2m +6)，∴PJ =-m 2+4m -3，∵四边形DTBP 的面积=△DTB 的面积+△BDP 的面积=12×5×4+12×(-m 2+4m -3)×2=-m 2+4m +7=-(m -2)2+11∵-1<0，∴m =2时，四边形DTBP 的面积最大，最大值为11，∴PM +PN 的最大值=25×11=225；解法二：延长MP 交直线l 与点H ，易得直线l ：y =43x +83，∴H m ，43m +83设直线l 交x 轴于点C ，交y 轴于点L ，∴C (-2，0)，L 0，83，∴CL =103，∴sin ∠CLO =35，由LO ∥HM ，∴∠NHM =∠CLO ，∴sin ∠NHM =35，∴PH =43m +83+m 2-2m -3=m 2-23m -13，∴PN =35PH ，周日∴PM +PN =-m 2+2m +3+35m 2-23m -13 =-25(m -2)2+225，∵-25<0，∴m =2时，PM +PN 的值最小，最小值为225；(3)四边形AFBG 的面积不变．理由：如图，设P (m ，-m 2+2m +3)，∵A (-1，0)，B (3，0)，∴直线AP 的解析式为y =-(m -3)x -m +3，∴E (1，-2m +6)，∵E ，G 关于x 轴对称，∴G (1，2m -6)，∴直线PB 的解析式y =-(m +1)x +3(m +1)，∴F (1，2m +2)，∴GF =2m +2-(2m -6)=8，∴四边形AFBG 的面积=12×AB ×FG =12×4×8=16．∴四边形AFBG 的面积是定值．总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．类型三二次函数与角度问题1.(2022•菏泽)如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于A (-2，0)、B (8，0)两点，与y 轴交于点C (0，4)，连接AC 、BC ．(1)求抛物线的表达式；(2)将△ABC 沿AC 所在直线折叠，得到△ADC ，点B 的对应点为D ，直接写出点D 的坐标，并求出四边形OADC 的面积；(3)点P 是抛物线上的一动点，当∠PCB =∠ABC 时，求点P 的坐标．思路引领：(1)利用待定系数法解答即可；(2)过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，利用轴对称的性质和三角形的中位线的性质定理求得线段OE ，DE ，则点D 坐标可得；利用四边形OADC 的面积=S △OAC +S △ACD ，S △ADC =S △ABC ，利用三角形的面积公式即可求得结论；周日(3)利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点P在BC上方时，利用平行线的判定与性质可得点C，P的纵坐标相等，利用抛物线的解析式即可求得结论；②当点P在BC下方时，设PC交x 轴于点H，设HB=HC=m，利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理求得m值，则点H坐标可求；利用待定系数法求得直线PC的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点P坐标；解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-2，0)、B(8，0)两点，与y轴交于点C(0，4)，∴4a-2b+c=064a+8b+c=0c=4，解得：a=-14b=32c=4．∴抛物线的表达式为y=-14x2+32x+4；(2)点D的坐标为(-8，8)，理由：将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，如图，过点D作DE⊥x轴于点E，∵A(-2，0)、B(8，0)，C(0，4)，∴OA=2，OB=8，OC=4．∵OA OC =12，OCOB=12，∴OA OC =OC OB．∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB，∴∠ACO=∠CBO．∵∠CBO+∠OCB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠ACB=90°，∵将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，∴点D，C，B三点在一条直线上．由轴对称的性质得：BC=CD，AB=AD．∵OC⊥AB，DE⊥AB，∴DE∥OC，∴OC为△BDE的中位线，∴OE=OB=8，DE=2OC=8，∴D(-8，8)；由题意得：S△ACD=S△ABC，∴四边形OADC的面积=S△OAC+S△ADC=S△OAC+S△ABC=12×OC•OA+12×AB•OC=12×4×2+12×10×4=4+20 =24；周日(3)①当点P在BC上方时，如图，∵∠PCB=∠ABC，∴PC∥AB，∴点C，P的纵坐标相等，∴点P的纵坐标为4，令y=4，则-14x2+32x+4=4，解得：x=0或x=6，∴P(6，4)；②当点P在BC下方时，如图，设PC交x轴于点H，∵∠PCB=∠ABC，∴HC=HB．设HB=HC=m，∴OH=OB-HB=8-m，在Rt△COH中，∵OC2+OH2=CH2，∴42+(8-m)2=m2，解得：m=5，∴OH=3，∴H(3，0)．设直线PC的解析式为y=kx+n，∴n=43k+n=0，解得：k=-43n=4．∴y=-43x+4．∴y=-43x+4y=-14x2+32x+4，解得：x1=0y1=4，x2=343y2=-1009．∴P343，-100 9．综上，点P的坐标为(6，4)或343，-1009．总结提升：本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．2.(2022•鞍山)如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，2)，连接BC．(1)求抛物线的解析式．(2)点P是第三象限抛物线上一点，直线PB与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．(3)在(2)的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB'，当直线周日EB'与直线BP相交所成锐角为45°，时，求点B'的坐标．思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可；(2)先由△BDC的面积求出OD的长，从而确定D点坐标为(0，-4)，再由待定系数法求出直线BD的解析式，直线BD与抛物线的交点即为所求；(3)当B'在第一象限时，由∠ODB=45°，可知EB'∥CD，求出直线BC的解析式，可设E t，-12t+2，在Rt△OHB'中，B'H=16-t2，则BE=16-t2+12t-2，在Rt△BHE中，由勾股定理得16-t2+12t-22=(4-t)2+-12t+22，求出t的值即可求B'坐标；当B'在第二象限时，B'G∥x轴，可得四边形B'OBE是平行四边形，则B't-4，-12t+2，由折叠的性质可判断平行四边形OBEB'是菱形，再由BE=OB，可得(4-t)2+-12t+22=4，求出t的值即可求B'坐标．解：(1)将A(-1，0)，C(0，2)代入y=-12x2+bx+c，∴c=2-12-b+c=0 ，解得b=32c=2 ，∴y=-12x2+32x+2；(2)令y=0，则-12x2+32x+2=0，解得x=-1或x=4，∴B(4，0)，∴OB=4，∴S△BCD=12×4×(2+OD)=12，∴OD=4，∴D(0，-4)，设直线BD的解析式为y=kx+b，∴b=-44k+b=0 ，周日解得k =1b =-4 ，∴y =x -4，联立方程组y =x -4y =-12x 2+32x +2，解得x =-3y =-7 或x =4y =0 ，∴P (-3，-7)；(3)如图1，当B '在第一象限时，设直线BC 的解析式为y =k 'x +b '，∴b '=24k '+b '=0，解得k '=-12b '=2，∴y =-12x +2，设E t ，-12t +2 ，∴OH =t ，EH =-12t +2，∵D (0，-4)，B (4，0)，∴OB =OD ，∴∠ODB =45°，∵直线EB '与直线BP 相交所成锐角为45°，∴EB '∥CD ，由折叠可知，OB '=BO =4，BE =B 'E ，在Rt △OHB '中，B 'H =16-t 2，∴B 'E =16-t 2--12t +2 =16-t 2+12t -2，∴BE =16-t 2+12t -2，在Rt △BHE 中，16-t 2+12t -2 2=(4-t )2+-12t +2 2，解得t =±455，∵0≤t ≤4，∴t =455，∴B '455，855 ；如图2，当B '在第二象限，∠BGB '=45°时，∵∠ABP =45°，∴B 'G ∥x 轴，周日∵将△OEB 沿直线OE 翻折得到△OEB '，∴BE =B 'E ，OB =OB '，∠BOE =∠B 'OE ，∴∠BOE =∠B 'EO ，∴B 'E ∥B 'O ，∵B 'E =BO ，∴四边形B 'OBE 是平行四边形，∴B 'E =4，∴B 't -4，-12t +2 ，由折叠可知OB =OB '=4，∴平行四边形OBEB '是菱形，∴BE =OB ，∴(4-t )2+-12t +2 2=4，解得t =4+855或t =4-855，∵0≤t ≤4，∴t =4-855，∴B '-855，455；综上所述：B '的坐标为455，855 或-855，455．方法2：在Rt △BCO 中，BC =25，CO ：OB ：BC =1：2：5，∵BP 与x 轴和y 轴的夹角都是45°，BP 与B 'E 的夹角为45°，∴B 'E ∥x 轴或B 'E ∥y 轴，当B 'E ∥y 轴时，延长B 'E 交x 轴于F ，∴B 'F ⊥OB ，∵∠CBA =∠OB 'E ，∴△OB 'F ∽△CBO ，∴OF ：FB '：B 'O =1：2：5，∵OB =OB '=4，∴FO =455，B 'F =855，∴B '455，855 ；当B 'E ∥x 轴时，过B '作B 'F ⊥x 中交于F ，∴B 'F ⊥OF ，B 'E ∥OB ，∵B 'E 和BE 关于OE 对称，OB 和OB '关于OE 对称，∴BE ∥OB '，∵∠FOB '=∠OBC ，∴△OB 'F ∽△BCO ，∴B 'F ：FO ：OB '=1：2：5，∵OB =OB '=4，周日∴B 'F =455，OF =855，∴B '-855，455；综上所述：B '坐标为455，855 或-855，455．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用是解题的关键．类型四二次函数与圆综合1.(2022•扬州)如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB 在x 轴上，且AB =8dm ，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y 轴，高度OC =8dm ．现计划将此余料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB 上且面积最大，求此正方形的面积；(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB 上且周长最大，求此矩形的周长；(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm 的圆，请说明理由．思路引领：(1)先根据题意求出抛物线的解析式，当正方形的两个顶点在抛物线上时正方形面积最大，先根据GH =2OG 计算H 的横坐标，再求出此时正方形的面积即可；(2)由(1)知：设H t ，-12t 2+8 (t >0)，表示矩形EFGH 的周长，再根据二次函数的性质求出最值即可；(3)解法一：设半径为3dm 的圆与AB 相切，并与抛物线相交，设交点为N ，求出点N 的坐标，并计算点N 是圆M 与抛物线在y 轴右侧的切点即可．解法二：计算MN 2，配方法可得结论．解法三：同解法二得MN 2，利用换元法可解答．解：(1)如图1，由题意得：A (-4，0)，B (4，0)，C (0，8)，设抛物线的解析式为：y =ax 2+8，把B (4，0)代入得：0=16a +8，∴a =-12，∴抛物线的解析式为：y =-12x 2+8，∵四边形EFGH 是正方形，∴GH =FG =2OG ，设H t ，-12t 2+8 (t >0)，周日∴-12t2+8=2t，解得：t1=-2+25，t2=-2-25(舍)，∴此正方形的面积=FG2=(2t)2=4t2=4(-2+25)2=(96-325)dm2；(2)如图2，由(1)知：设H t，-12t2+8(t>0)，∴矩形EFGH的周长=2FG+2GH=4t+2-12t2+8=-t2+4t+16=-(t-2)2+20，∵-1<0，∴当t=2时，矩形EFGH的周长最大，且最大值是20dm；(3)解法一：若切割成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：如图3，N为⊙M上一点，也是抛物线上一点，过N作⊙M的切线交y轴于Q，连接MN，过点N作NP⊥y轴于P，则MN=OM=3，NQ⊥MN，设N m，-12m2+8，由勾股定理得：PM2+PN2=MN2，∴m2+-12m2+8-32=32，解得：m1=22，m2=-22(舍)，∴N(22，4)，∴PM=4-3=1，∵cos∠NMP=PMMN =MNQM=13，∴MQ=3MN=9，∴Q(0，12)，设QN的解析式为：y=kx+b，∴b=1222k+b=4 ，∴k=-22 b=12，∴QN的解析式为：y=-22x+12，-1 2x2+8=-22x+12，12x2-22x+4=0，Δ=(-22)2-4×12×4=0，即此时N为圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，∴若切割成圆，能切得半径为3dm的圆．解法二：如图3，取点M(0，3)，在抛物线上取点N m，-12m2+8，且0<m<4，周日则MN 2=m 2+-12m 2+8-3 2=14(m 2-8)2+9，∴当m =22时，MN 有最小值为3，此时抛物线上除了点N ，N '(点N ，N '关于y 轴对称)外，其余各点均在以点M (0，3)为圆心，3dm 为半径的圆外(铁皮底部边缘中点O 也在该圆上)，∴若切割成圆，能切得半径为3dm 的圆．解法三：如图3，取点M (0，m )，在抛物线上取点N a ，-12a 2+8 ，且0<a <4，则MN 2=a 2+-12a 2+8-m 2，令y =a 2，则MN 2=y +-12y +8-m 2=14(y +2m -14)2+15-2m ，∴MN 2的最小值是15-2m ，当MN 的最小值=OM =m 时，⊙O 与抛物线相切，此时⊙M 最大，∴15-2m =m ，∴m =-5(舍)或3，∴若切割成圆，能切得半径为3dm 的圆．总结提升：本题是二次函数与圆，四边形的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，圆的切线的性质，矩形和正方形的性质，二次函数的最值问题，综合性较强，并与方程相结合解决问题是本题的关键．2.(2022•盐城)【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O 为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O 为原点，过点O 的横线所在直线为x 轴，过点O 且垂直于横线的直线为y 轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为(-3，4)或(3，4)．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P (0，m )，m 为正整数，以OP 为直径画⊙M ，是否存在所描的点在⊙M 上．若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．周日思路引领：【分析问题】根据题意可知：该点的纵坐标为4，利用勾股定理，即可求出该点的横坐标，进而可得出点的坐标；【解决问题】设所描的点在半径为n (n 为正整数)的同心圆上，则该点的纵坐标为(n -1)，利用勾股定理可得出该点的坐标为(-2n -1，n -1)或(2n -1，n -1)，结合点横、纵坐标间的关系，可得出该点在二次函数y =12x 2-12的图象上，进而可证出小明的猜想正确；【深度思考】设该点的坐标为(±2n -1，n -1)，结合⊙M 的圆心坐标，利用勾股定理，即可用含n 的代数式表示出m 的值，再结合m ，n 均为正整数，即可得出m ，n 的值．【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标y =5-1=4，∵横坐标x =±52-42=±3，∴点的坐标为(-3，4)或(3，4)．【解决问题】证明：设所描的点在半径为n (n 为正整数)的同心圆上，则该点的纵坐标为(n -1)，∴该点的横坐标为±n 2-(n -1)2=±2n -1，∴该点的坐标为(-2n -1，n -1)或(2n -1，n -1)．∵(±2n -1)2=2n -1，n -1=2n -1-12，∴该点在二次函数y =12(x 2-1)=12x 2-12的图象上，∴小明的猜想正确．【深度思考】解：设该点的坐标为(±2n -1，n -1)，⊙M 的圆心坐标为0，12m ，∴(±2n -1-0)2+n -1-12m 2=12m ，∴m =n 2n -1=(n -1+1)2n -1=(n -1)2+2(n -1)+1n -1=n -1+2+1n -1．又∵m ，n 均为正整数，∴n -1=1，∴m =1+2+1=4，∴存在所描的点在⊙M 上，m 的值为4．总结提升：本题考查了勾股定理、二次函数图象上点的坐标特征以及与圆有关的位置关系，解题的关键是：【分析问题】利用勾股定理，求出该点的横坐标；【解决问题】根据点的横、纵坐标间的关系，找出点在二次函数y =12x 2-12的图象上；【深度思考】利用勾股定理，用含n 的代数式表示出m 的值．周日类型五二次函数中的定值问题1.(2022•巴中)如图1，抛物线y =ax 2+2x +c ，交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，F 为抛物线顶点，直线EF 垂直于x 轴于点E ，当y ≥0时，-1≤x ≤3．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是线段BE 上的动点(除B 、E 外)，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点D ．①当点P 的横坐标为2时，求四边形ACFD 的面积；②如图2，直线AD ，BD 分别与抛物线对称轴交于M 、N 两点．试问，EM +EN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．思路引领：(1)由当y ≥0时，-1≤x ≤3，可知x 1=-1，x 2=3是ax 2+2x +c =0的两根，代入方程可得a ，c ，从而得解；(2)①把x =2代入抛物线解析式可得D 点坐标，再将x =0代入抛物线解析式可得C 点坐标，从而得知线段CD ∥x 轴，利用配方法可知点F 坐标，从而利用S 四边形ACFD =S △FCD +S △ACD =12CD (y F -y A )求面积；②设D (m ，-m 2+2m +3)(1<m <3)，用待定系数法求出直线AD 与直线BD 的解析式，再令x =1得y M ，y N ，从而得出ME ，NE 的长，从而得到NE +ME 是定值8．解：(1)∵当y ≥0时，-1≤x ≤3，∴x 1=-1，x 2=3是ax 2+2x +c =0的两根，A (-1，0)，B (3，0)，∴a -2+c =09a +6+c =0，解得：a =-1c =3 ，∴抛物线的表达式为：y =-x 2+2x +3；(2)①把x =2代入y =-x 2+2x +3得：y =3，∴D (2，3)．又当x =0，y =3，∴C (0，3)，∴线段CD ∥x 轴．∵y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4，∴F (1，4)，S 四边形ACFD =S △FCD +S △ACD =12CD (y F -y A )=4；②设D (m ，-m 2+2m +3)(1<m <3)，周日直线AD ：y =k 1x +b 1，BD ：y =k 2x +b 2，因此可得：0=-k 1+b 1-m 2+2m +3=k 1m +b 1或0=3k 2+b 2-m 2+2m +3=k 2m +b 2，解得：k 1=3-m b 1=3-m 或k 2=-1-mb 2=3m +3 ，∴直线AD ：y =(3-m )x +(3-m )，BD ：y =-(m +1)x +3(m +1)．令x =1得y M =6-2m ，y N =2m +2，∴ME =6-2m ，NE =2m +2，∴NE +ME =8．总结提升：本题考查二次函数与一次函数综合，涉及四边形的面积求法，待定系数法等知识，掌握待定系数法和面积求法是解题的关键．类型六二次函数中几何图形的存在性问题1.(2022•枣庄)如图①，已知抛物线L ：y =x 2+bx +c 经过点A (0，3)，B (1，0)，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的关系式；(2)若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当△OPE 面积最大时，求出P 点坐标；(3)将抛物线L 向上平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内(包括△OAE 的边界)，求h 的取值范围；(4)如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P ，使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．思路引领：(1)利用待定系数法可得抛物线的解析式；(2)过P 作PG ∥y 轴，交OE 于点G ，设P (m ，m 2-4m +3)，根据OE 的解析式表示点G 的坐标，表示PG 的长，根据面积和可得△OPE 的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；(3)求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE 的交点坐标、与AE 的交点坐标，用含h 的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h 的取值范围；(4)存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP ≌△PNF ，根据|OM |=|PN |，列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P 的坐标．解：(1)∵抛物线L ：y =x 2+bx +c 经过点A (0，3)，B (1，0)，∴1+b +c =0c =3，解得b =-4c =3 ，周日∴抛物线的解析式为：y =x 2-4x +3；(2)如图，过P 作PG ∥y 轴，交OE 于点G ，设P (m ，m 2-4m +3)，∵OE 平分∠AOB ，∠AOB =90°，∴∠AOE =45°，∴△AOE 是等腰直角三角形，∴AE =OA =3，∴E (3，3)，∴直线OE 的解析式为：y =x ，∴G (m ，m )，∴PG =m -(m 2-4m +3)=-m 2+5m -3，∴S △OPE =S △OPG +S △EPG=12PG •AE =12×3×(-m 2+5m -3)=-32(m 2-5m +3)=-32m -52 2+398，∵-32<0，∴当m =52时，△OPE 面积最大，此时，P 点坐标为52，-34；(3)由y =x 2-4x +3=(x -2)2-1，得抛物线l 的对称轴为直线x =2，顶点为(2，-1)，抛物线L 向上平移h 个单位长度后顶点为F (2，-1+h )．设直线x =2交OE 于点M ，交AE 于点N ，则E (3，3)，∵直线OE 的解析式为：y =x ，∴M (2，2)，∵点F 在△OAE 内(包括△OAE 的边界)，∴2≤-1+h ≤3，解得3≤h ≤4；(4)设P (m ，m 2-4m +3)，分四种情况：①当P 在对称轴的左边，且在x 轴下方时，如图，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∴∠OMP =∠PNF =90°，∵△OPF 是等腰直角三角形，∴OP =PF ，∠OPF =90°，周日∴∠OPM +∠NPF =∠PFN +∠NPF =90°，∴∠OPM =∠PFN ，∴△OMP ≌△PNF (AAS )，∴OM =PN ，∵P (m ，m 2-4m +3)，则-m 2+4m -3=2-m ，解得：m =5+52(舍)或5-52，∴P 的坐标为5-52，1-52 ；②当P 在对称轴的左边，且在x 轴上方时，同理得：2-m =m 2-4m +3，解得：m 1=3+52(舍)或m 2=3-52，∴P 的坐标为3-52，5+12 ；③当P 在对称轴的右边，且在x 轴下方时，如图，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP ≌△PMF ，∴PN =FM ，则-m 2+4m -3=m -2，解得：m 1=3+52或m 2=3-52(舍)；P 的坐标为3+52，1-52 ；④当P 在对称轴的右边，且在x 轴上方时，如图，同理得m 2-4m +3=m -2，解得：m =5+52或5-52(舍)，P 的坐标为：5+52，5+12；综上所述，点P 的坐标是：5-52，1-52或3-52，5+12或3+52，1-52 或5+52，5+12 ．方法二：作直线DE ：y =x -2，E (1，-1)是D 点(2，0)绕O 点顺时针旋转45°并且OD 缩小2倍得到，易知直线DE 即为对称轴上的点绕O 点顺时针旋转45°，且到O 点距离缩小2倍的轨迹，联立直线DE 和抛物线解析式得x 2-4x +3=x -2，周日解得x 1=5+52，x 2=5-52，同理可得x 3=3+52或x 4=3-52；综上所述，点P 的坐标是：5-52，1-52 或3-52，5+12 或3+52，1-52 或5+52，5+12 ．总结提升：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想解决问题的关键．2.(2022•攀枝花)如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于O (O 为坐标原点)，A 两点，且二次函数的最小值为-1，点M (1，m )是其对称轴上一点，y 轴上一点B (0，1)．(1)求二次函数的表达式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P ，连结PA ，PB ，设点P 的横坐标为t ，△PAB 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(3)在二次函数图象上是否存在点N ，使得以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N 的坐标，若不存在，请说明理由．思路引领：(1)根据题意知，二次函数顶点为(1，-1)，设二次函数解析式为y =a (x -1)2-1，将点B (0，0)代入得，a -1=0，即可得出答案；(2)连接OP ，根据题意得点A 的坐标，则S =S △AOB +S △OAP -S △OBP ，代入化简即可；(3)设N (n ，n 2-2n )，分AB 或AN 或AM 分别为对角线，利用平行四边形的性质和中点坐标公式，分别求出n =的值，进而得出答案．解：(1)∵二次函数的最小值为-1，点M (1，m )是其对称轴上一点，∴二次函数顶点为(1，-1)，设二次函数解析式为y =a (x -1)2-1，将点O (0，0)代入得，a -1=0，∴a =1，∴y =(x -1)2-1=x 2-2x ；(2)连接OP ，。

二次函数与几何综合题目背景07年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的代数几何综合题，计算量较大。

几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。

因此，课改之后，武汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。

要做好这最后一题，主要是要在有限的时间里面找到的简便的计算方法。

要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐心，做到计算又快又准。

题型分析题目分析及对考生要求（1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式，属于送分题。

（2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。

解题偏代数，要求学生能够熟练掌握函数的平移，左加右减，上加下减。

要求学生有较好的计算能力，能够把题目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。

（3）第三问为几何代数综合，题型不固定。

解题偏几何，要求学生能够对题目所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系，再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。

在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用，这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种常见的条件转化思想。

1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底，根据面积公式转化为线段条件。

2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。

二次函数与几何综合压轴题几乎所有的地方都把二次函数与几何综合压轴题作为中考压轴题。

1．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =−++的图象与x 轴相交于点A 和点()1,0C ，交y 轴于点()0,3B ．(1)求此二次函数的解析式；(2)设二次函数图象的顶点为P ，对称轴与x 轴交于点Q ，求四边形AOBP 的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M ，使得△AMB 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴的交点分别为A 和()10B ,（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点()0,3C ，点P 是直线AC 上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点P 作x 轴平行线交AC 于点E ，过点P 作y 轴平行线交x 轴于点D ，求PE PD +的最大值及点P 的坐标；(3)如图2，设点M 为抛物线对称轴上一动点，当点P ，点M 运动时，在坐标轴上确定点N ，使四边形PMCN 为矩形，求出所有符合条件的点N 的坐标．3．（2023·海南·中考真题）如图1，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A ，()3,0B 两点，交y 轴于点()0,3C −．点P 是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P 的坐标为()1,4−时，求四边形BACP 的面积；(3)当动点P 在直线BC 上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q ，使得以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图2，点D 是抛物线的顶点，过点D 作直线DH y ∥轴，交x 轴于点H ，当点P 在第二象限时，作直线PA ，PB 分别与直线DH 交于点G 和点I ，求证：点D 是线段IG 的中点．4．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于()30A −,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图甲，在y 轴上找一点D ，使ACD 为等腰三角形，请直接写出点D 的坐标；(3)如图乙，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在P 、Q 两点使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2023·四川甘孜·中考真题）已知抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于()10A −，，B 两点，与y 轴相交于点()03C −，．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，PBC 的面积与ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在（2）的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ′，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P ′恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P ′的坐标；如果不存在，请说明理由．6．（2023·四川达州·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c ++过点()()()1,0,3,,00,3A B C −．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a ++≠经过点(1,0)A −和(0,3)B ，其顶点的横坐标为1．(1)求抛物线的表达式．(2)若直线x m =与x 轴交于点N ，在第一象限内与抛物线交于点M ，当m 取何值时，使得AN MN +有最大值，并求出最大值．(3)若点P 为抛物线2(0)y ax bx c a ++≠的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M ，是否能与A 、P 、Q 构成平行四边形？若能构成，求出Q 点坐标；若不能构成，请说明理由．8．（2023·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于点()()3,0,1,0A B −两点，与y 轴交于点()0,3C ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PD DB的值最大时，求点P 的坐标及PD DB 的最大值； (3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将PCM △沿直线PC 翻折，当点M 的对应点'M 恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．9．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于()4,0B ，()2,0C −两点．与y 轴交于点()0,2A −．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK PD +的最大值及此时点P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得MAB △是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．10．（2023·湖北黄冈·中考真题）已知抛物线212y x bx c =−++与x 轴交于,(4,0)A B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ，点P 为第一象限抛物线上的点，连接,,,CA CB PB PC ．(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______；(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标； (3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=°，点E ，F 分别为BDQ △的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE QF +的最小值为m ． ①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =−，请直接写出k 的取值范围．11．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线21:28=−−C y x x 交x 轴于,A B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于点C ．(1)直接写出,,A B C 三点的坐标；(2)如图（1），作直线()04=<<x t t ，分别交x 轴，线段BC ，抛物线1C 于,,D E F 三点，连接CF ．若BDE 与CEF △相似，求t 的值；(3)如图（2），将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，其顶点为原点．直线2y x =与抛物线2C 交于,O G 两点，过OG 的中点H 作直线MN （异于直线OG ）交抛物线2C 于,M N 两点，直线MO 与直线GN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．12．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线24y ax bx ++与x 轴相交于点 1,0A ，()4,0B ，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，当PAC △的周长最小时，求PAPC的值； (3)如图2，取线段OC 的中点D ，在抛物线上是否存在点Q ，使1tan 2QDB ∠=若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．且与直线:1l y x =−−交于D E 、两点（点D 在点E 的右侧），点M 为直线l 上的一动点，设点M 的横坐标为t ．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M 作x 轴的垂线，与拋物线交于点N ．若04t <<，求NED 面积的最大值．(3)抛物线与y 轴交于点C ，点R 为平面直角坐标系上一点，若以B C M R 、、、为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R 的坐标．在此抛物线上，其横坐标分别为,2(0)m m m >，连接AP ，AQ ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值．(3)当PAQ ∠的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A 与点P 之间部分（包括点A 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标的差为1h ，在点A 与点Q 之间部分（包括点A 和点Q ）的最高点与最低点的纵坐标的差为2h ．当21h h m −=时，直接写出m 的值．15．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点()6,0A ，与y 轴交于点()0,6B −，抛物线经过点A ，B ，且对称轴是直线1x =．(1)求直线l 的解析式； (2)求抛物线的解析式；(3)点P 是直线l 下方抛物线上的一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，交直线l 于点D ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ．求PM 的最大值及此时P 点的坐标．16．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其中()10B ,，()0,3C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P ，使得PAC ABC S S =△△？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为a ，当QAC △是锐角三角形时，求a 的取值范围．17．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线()210y ax bx a +−≠与x 轴交于点 1,0A 和点B ，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点()3,0D ，过点B 作直线l x ⊥轴，过点D 作DE CD ⊥，交直线l 于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 为第三象限内抛物线上的点，连接CE 和BP 交于点Q ，当57BQ PQ =时．求点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，连接AC ，在直线BP 上是否存在点F ，使得DEF ACD BED ∠=∠+∠？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1），二次函数25y ax x c =−+的图像与x 轴交于()4,0A −，(),0B b 两点，与y 轴交于点()0,4C −．(1)求二次函数的解析式和b 的值．(2)在二次函数位于x 轴上方的图像上是否存在点M ，使13BOM ABC S S =△△？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图（2），作点A 关于原点O 的对称点E ，连接CE ，作以CE 为直径的圆．点E ′是圆在x 轴上方圆弧上的动点（点E ′不与圆弧的端点E 重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE ，使点E 移动到点E ′，线段AE 的对应线段为A E ′′，连接E C ′，A A ′，A A ′的延长线交直线E C ′于点N ，求AA CN′的值．19．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，抛物线23y ax bx ++与x 轴交于点()10A −，，()30B ，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点Q 是x 轴上方抛物线上一点，射线QM x ⊥轴于点N ，若QM BM =，且4tan 3MBN ∠=，请直接写出点Q 的坐标．(3)如图2，点E 是第一象限内一点，连接AE 交y 轴于点D ，AE 的延长线交抛物线于点P ，点F 在线段CD 上，且CF OD =，连接FA FE BE BP ，，，，若AFE ABE S S =△△，求PAB 面积．20．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx ++过点()1,3，且交x 轴于点()1,0A −，B 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求PDE △周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PDE △周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N ，使得以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．21．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x −，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2023·湖北十堰·中考真题）已知抛物线28y ax bx ++过点()4,8B 和点()8,4C ，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接,AB BC ，点D 在线段AB 上（与点,A B 不重合），点F 是OA 的中点，连接FD ，过点D 作DE FD ⊥交BC 于点E ，连接EF ，当DEF 面积是ADF △面积的3倍时，求点D 的坐标；(3)如图2，点P 是抛物线上对称轴右侧的点，(),0H m 是x 轴正半轴上的动点，若线段OB 上存在点G （与点,O B 不重合），使得GBP HGP BOH ∠=∠=∠，求m 的取值范围．23．（2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx ++的图象与x 轴交于点()2,0A −，()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=°，求出点F 的坐标； (3)如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接AP 交y 轴于点M ，连接BP 并延长交y 轴于点N ，在点P 运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．24．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线21y ax bx c =++的图象经过(6,0)A −，(2,0)B −，(0,6)C 三点，且一次函数6y kx =+的图象经过点B ．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．这样的E ，F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ，此抛物线的图象与x 轴交于M ，N 两点（M 点在N 点左侧）．点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方．已知点P 的横坐标为m ．过点P 作PD NC ⊥于点D ．求m 为何值时，12CD PD +有最大值，最大值是多少？25．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点(4,0)A −，(2,0)B ，与y 轴交于点(0,4)C −．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x 轴下方的部分沿x 轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线6y kx =+与新图象有三个公共点时，求k 的值； (3)如图2，如果把直线AB 沿y 轴向上平移至经过点D ，与抛物线的交点分别是E ，F ，直线BC 交EF 于点H ，过点F 作FG CH ⊥于点G ，若DF HG=F 的坐标．26．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，抛物线2y bx c ++交x 轴于点()1,0A −和B ，交y 轴于点(C ，顶点为D ．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为E 的坐标；(3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且60EFG ∠=°，如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．27．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图1，抛物线253y ax x c =++经过点()3,1，与y 轴交于点()0,5B ，点E 为第一象限内抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式．(2)直线243y x =−与x 轴交于点A ，与y 轴交于点D ，过点E 作直线EF x ⊥轴，交AD 于点F ，连接BE ．当BE DF =时，求点E 的横坐标．(3)如图2，点N 为x 轴正半轴上一点，OE 与BN 交于点M ．若OE BN =，3tan 4BME ∠=，求点E 的坐标．28．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线24y ax bx +−与x 轴交于点()4,0A −，()2,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，点D 是抛物线上的一个动点，设点D 的横坐标是()42m m −<<，过点D 作直线DE x ⊥轴，垂足为点E ，交直线AC 于点F ．当D ，E ，F 三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段DF 的长；(3)若点P 是抛物线上的一个动点（点P 不与顶点重合），点M 是抛物线对称轴上的一个点，点N 在坐标平面内，当四边形CMPN 是矩形邻边之比为1:2时，请直接写出点P 的横坐标．。

二次函数综合压轴题型归类教学目标：1、要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系 2、掌握特殊图形面积的各种求法 重点、难点：1、利用图形的性质找点 2、分解图形求面积一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：⎪⎭⎫⎝⎛++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠ （3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用∆和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。

例：关于x 的一元二次方程()01222＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。

4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。

（方法同上）例：若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。

举例如下：已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。

解：当0=m 时，1=x ；当0≠m 时，()032≥-=∆m ，()m m x 213∆±-=，mx 321-=、12=x ；综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

中考数学专项突破——二次函数综合压轴题类型一线段、周长最值问题1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－x－2的图象与x轴相交于点A、B，与y轴交于点C，过直线BC的下方抛物线上一动点P 作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过点P作PE⊥x轴于点E，交BC 于点D.（1）求直线AC的解析式；（2）求△PQD周长的最大值及此时点P的坐标；（3）如图②，当△PQD的周长最大值时，在y轴上有两个动点M、N(M在N的上方)，连接AM，PN，若MN＝1，求PN＋MN＋AM的最小值．第1题图解：（1）令y＝0，即x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，∴A(－1，0)，B(2，0)，令x＝0，则y＝－2，∴C(0，－2)，设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，∵直线过点A 、C ，∴⎩⎨⎧-=+-=2b bk 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝－2，∴直线AC 的解析式为y ＝－2x －2； （2）∵BO ＝CO ，∠BOC ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，∠ACO ＝∠EPQ ， ∴tan ∠EPQ ＝tan ∠ACO ＝12，如解图①，过点Q 作QH ⊥PE ，垂足为H .设QH ＝a ，则PH ＝2a ，DH ＝a ，PD =PH +DH =3a ，a ＝13PD ， ∵B （2,0），C （0，-2）， ∴直线BC 的解析式为y =x -2， 设P (m ，m 2－m －2)，D (m ，m －2)， ∴PD =m -2-（m 2-m -2）=-m 2+2m ，∴C △PQD ＝PQ ＋QD ＋PD ＝(5＋2＋3)a ＝5＋2＋33PD ， C △PQD ＝5＋2＋33PD ＝5＋2＋33(－m 2＋2m )＝－5＋2＋33(m －1)2＋5＋2＋33， ∴当m ＝1时，△PQD 的周长最大，且最大值为5＋2＋33，此时P (1，－2)；（3）把点A 向下平移1个单位到点A ′，则A ′(－1，－1)，如解图②，连接A ′P ，∴AM ＋MN ＋PN 的最小值＝A ′P ＋MN ＝5＋1.第1题解图① 第1题解图②2.在平面直角坐标系中，抛物线3221y 2++-=x x 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,连接BC . (1)求直线BC 的解析式；(2)如图①,点P 是抛物线上位于第一象限内的一点,连接PC ,PB ,当△PBC 面积最大时,一动点Q 从点P 出发,沿适当路径运动到y 轴上的某个点G 再沿适当路径运动到x 轴上的某个点H 处,最后到达线段BC 的中点F 处停止.求当△PBC 面积最大时,点P 的坐标及点Q 在整个运动过程中经过的最短路径的长；(3)如图②,在(2)的条件下,当△PBC 面积最大时,把抛物线 3221y 2++-=x x 向右平移使它的图象经过点P ,得到新抛物线y ',在新抛物线y '上是否存在点E ,使△ECB 的面积等于△PBC 的面积？若存在,请求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由.第2题图解:（1）∵抛物线3221y 2++-=x x 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,∴令x =0, 得y =3， ∴C （0,3）， 令y =0，得0=3221y 2++-=x x ， 解得x =-2或x =32， ∴B （32，0），设直线BC 的解析式为y =kx +b ， ∴⎩⎨⎧==+3b 0b k 23，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=3b 22k ，∴直线BC 的解析式为y =-22x +3； (2)如解图①,设P （m ，3m 2m 212++-） （0＜m ＜32）， 过点P 作PM ∥y 轴交BC 于点M ,第2题解图①∵直线BC 的解析式为y =-22x +3， ∴M （m ，-22m +3）， ∴PM =-21m 2+2m +3-（-22m +3）=-21m 2+223m =-21（m -223）2+49， ∴S △PBC =21PM·x B =21[-21（m -223）2+49]×32=-423（m -223）2+8227，∴当m =223时，S △PBC 最大，最大值为8227， ∴点P （223，415），M （223，23）， ∵ B （23，0），C （0,3）， ∴F （223，23）， ∴点M 和点F 重合, 作点P （223，415）关于y 轴的对称点P '（-223，415），再作点F （223，23）关于x 的对称点F '（223，-23）， 连接F P ''交y 轴于点G ,交x 轴于点H ,连接PG ,FH ，解得xx，过点E作EQ∥y轴交BC于点Q,x+3，∵△ECB的面积等于△PCB的面积,∴EQ =PM最大,∴E （42229211225+-+，）或（211225-，422189--） 或（227，47）.第2题解图②3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝21x 2-21x +m 的图象交x 轴于B 、C 两点，一次函数y =a x +b 的图象过点B ，与抛物线相交于另一点A （4，3）.（1）求m 的值及一次函数的解析式；（2）如图②，若点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，过P 作PQ ∥x 轴，且PQ ＝4（点Q 在点P 右侧）．以PQ 为一边作矩形PQEF ，且点E 在直线AB 上．点M 是抛物线上另一个动点，且4S △BCM = 5S 矩形PQEF ，当矩形PQEF 的周长最大时，求出此时点P 和点M 的坐标；（3）如图②，在（2）的结论下，连接AP 、BP ，设QE 交x 轴于点D ，现将矩形PQEF 沿射线DB 以每秒1个单位长度的速度平移，当点D 到达点D '时停止，记平移时间为t ，平移后的矩形PQEF 为P 'Q 'E 'F '，且Q 'E '分别交直线AB 、x 轴于点N 、D '，设矩形P'Q'E'F'与△ABP的重叠部分面积为S，当NA＝85ND'时，求S 的值．图①图②第3题图解：(1)∵点A（4，3）在二次函数y＝21x2-21x+m的图象上，∴21×16-21×4+m =3，解得m =-3，则二次函数的解析式为y=21x2-21x-3，令y=0，得21x2-21x-3=0，解得x1=-2，x2=3，则点B的坐标为（-2,0），点C的坐标为（3,0）. ∵A（4,3），B（-2,0）在一次函数y=ax+b的图象上，∴⎩⎨⎧=+-=+ba23ba4，解得⎪⎩⎪⎨⎧==1b21a，∴一次函数的解析式为y=21x+1；（2）∵矩形PQEF的周长=2（PQ+EQ）=8+2EQ，要使周长最大，EQ边长最大即可.设P（a，21a2﹣21a﹣3），-2＜a＜4，∴Q （a +4，21a 2﹣21a ﹣3），E （a +4，21a +3），∴EQ ＝21a +3﹣（21a 2﹣21a ﹣3）＝﹣21（a ﹣1）2+213，∴当a ＝1时，EQ 最大，且最大值为213，∴P （1，﹣3），此时矩形PQEF 的面积为4×213=26，设在△BCM 中，BC 边上对应的高为h ，由4S △BCM =5S 矩形PQEF ， 得4×21·BC ·h =5×26， ∵BC =5， ∴h =13.设M 点的横坐标为x ，依题意得3x 21x 212--=13， 解得x =21291±，则点M 的坐标为（21291-，13）或（21291+，13）； （3）①当点N 在线段AE 上时，如解图，有DD ′＝t ，OD ′＝5﹣t ，D ′（5﹣t ，0），N （5﹣t ，﹣21t +27），过点A 作AH ⊥ND ′，垂足为H ，第3题解图∴AH ∥x 轴，∴NH ＝﹣21t +27﹣3＝﹣21t +21，∴M （0，1）， ∴OM ＝1， ∴BM ＝5， ∴sin ∠MBO ＝51， ∵AH ∥x 轴， ∴∠NAH ＝∠MBO ， ∴sin ∠NAH ＝51， ∴NA NH51， ∴NA ＝5（﹣21t +21）， ∵NA ＝85ND ′， ∴5（﹣21t +21）＝85（﹣21t +27）， 解得t ＝71，∵BP 的解析式为y ＝﹣x ﹣2，∴x J ＝76，y J ＝﹣720，∴J （76，﹣720），∵M （76，-710），∴MJ ＝730，同理：IP ＝29，∴S ＝S 梯形+S △IP A ＝21（MJ +IP ）×|x P ﹣x M |+21IP ×|x A ﹣x M |＝21×（730+29）×（1﹣76）+21×29×（4﹣1）＝98723， ②当点N 在AB 上时，同理可得 S ＝21×（2+29）×35+21×（1+29）×（310﹣1）＝671． ∴综上所述，S 的值为98723或671.类型三 与特殊三角形有关的问题4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣22x 2+x +22与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C. （1）求线段AC 的长度；（2）P 为线段BC 上方抛物线上的任意一点，点E 为（0， ﹣1），一动点Q 从点P 出发运动到y 轴上的点G ，再沿y 轴运动到点E ．当四边形ABPC 的面积最大时，求PG +22GE 的最小值； （3）将线段AB 沿x 轴向右平移，设平移后的线段为A 'B '，直至A 'P 平行于y 轴（点P 为第（2）问中符合题意的P 点），连接直线CB '．将△AOC 绕着点O 顺时针旋转，设旋转后A 、C 的对应点分别为A ''、C '，在旋转过程中直线A ''C '与y 轴交于点M ，与线段CB '交于点N ．当△CMN 是以MN 为腰的等腰三角形时，求CM 的长度．图① 图② 第4题图解：（1）令y ＝0，得x ＝22或-2，令x ＝0，得y ＝22， ∴A （﹣2，0），B （22，0），C （0，22）， ∴AC ＝10，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +22；（2）如解图①，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，第4题解图①设点P 的横坐标为m ，则P （m ，﹣22m 2+m +22），H （m ，﹣m +22）， ∴PH =﹣22m 2+m +22-（﹣m +22）=﹣22m 2+2m . ∵S 四边形ABPC ＝S △ABC +S △PBC ，S △ABC 是个常量， ∴四边形ABPC 的面积最大时，只需S △PBC 最大即可，S △PBC ＝21PH •x B ＝-m 2+22m =-（m -2）2+2，当m ＝2时，S △PBC 取得最大值2，此时P （2，22）， 过点E 作RE ⊥GR ，使RE 与y 轴夹角为45°，则GR ＝22GE ， 则PG +22GE ＝PG +GR ， 当P 、G 、R 三点共线时，PG +22GE 有最小值， 易得直线ER 的方程为y ＝﹣x ﹣1， 则直线PR 的解析式为y ＝x +2， 联立⎩⎨⎧+=--=2x y 1x y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=212y 212x ， ∴R （﹣212+，212-），则PR ＝226+， 即PG +22GE 的最小值为226+；（3）①当MN ＝CM 时，如解图②，过点C 作CH ⊥MN 于点H ，第4题解图②设MN ＝CM ＝a ，CH ＝x ，tan ∠MCN ＝CA B A '''＝2， 由勾股定理得，a 2＝x 2+（a ﹣21x ）2，解得x ＝54a ，则tan ∠CMH ＝MH CH ＝34＝tan ∠A ''M A '，在△A ''M A '中，A 'M ＝CO ﹣CM ＝22﹣a ，A ''A '＝2， tan ∠A A C ''''＝2，过点O 作A 'K ⊥A ''C ′，则A 'K ＝A 'A ''· sin A ″＝5102，AM ＝5， 则CM ＝22﹣5；②当MN ＝CN 时，如解图③，过点N 作NS ⊥CM 于点S ，第4题解图③设点N 的横坐标为n ， ∵tan ∠MCN ＝C A B A '''=CS NS ＝2，∴CS ＝21n ，CM ＝n ， ∵∠M A A '''＝∠MCC ′＝∠CMC ′＝∠A 'MA ″，∴A A '''＝A 'M ＝22﹣n ＝2， ∴CM ＝n ＝2；综上所述，CM 的长度为22﹣5或2． 5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－93x 2＋9311x ＋3与y 轴交于点A ，点B 在第一象限抛物线上，直线y ＝－33x ＋b 与x 轴交于点C ，与y 轴交于点A ，点D 在x 轴上，BD ＝6，∠ODB ＝120°，连接OB 、CB .（1）求点A 、C 两点的坐标；（2）如图①，设点E 是第一象限OB 上方抛线线上一动点，过点E 作EF ∥y 轴交OB 于点F ，过点E 在EF 的右侧作∠FEG ＝∠BOD ，交OB 于点G ，求△EFG 周长的最大值；（3）如图②，将直线AC 沿x 轴向右平移，平移过程中直线AC 交直线BC 于点H ，交x 轴于点K ，在平移过程中，是否存在某一时刻，使△KDH 为等腰三角形？若存在，求出平移后点C 的对应点K 的坐标；若不存在，请说明理由．第5题图 备用图解：（1）当x ＝0时，y ＝3，∴A(0，3)，将A(0，3)代入y＝－33x＋b中，得b＝3，∴y＝－33x＋3，当y＝0时，x＝3，∴C(3，0)；（2）如解图①，延长EF交x轴于点M，过点B作BQ⊥x轴于点Q，第5题解图①∵∠ODB＝120°，∴∠BDQ＝60°，∵BD＝6，∴BQ＝33，DQ＝3，∴B点的纵坐标为33，代入抛物线解析式可求得B点的横坐标为9，∴B(9，33)，∴直线OB的解析式为y＝33x，∴∠BOD＝30°，∵EF∥y轴，∴EM⊥x轴，∵∠FEG ＝∠BOD ， ∴△EFG ∽△OFM ， ∴EG ＝32EF ，FG ＝12EF ，∴C △EFG ＝EF ＋EG ＋FG ＝3＋32EF ，设E (m ，－39m 2＋1139m ＋3)，F (m ，33m )，∴EF ＝y E －y F ＝－39m 2＋1139m ＋3－33m ＝－39(m －4)2＋2539， ∴当m ＝4时，C △EFG 最大＝2539×(3＋32)＝25（1＋3）6; （3）存在， 设DK ＝a ，∵AO ＝3，OC ＝3， ∴∠ACO ＝∠HKO ＝30°.①当DH ＝DK ＝a 时，如解图②，过点H 作HN ⊥CD 于点N ，第5题解图②∠DHK ＝∠DKH ＝30°， ∴∠HDN ＝60°，∴ND ＝12a ，HN ＝32a ，CN ＝3－12a ，∴CRHN＝32a 3－a 2＝336，解得a ＝2， ∴K (8，0)；②当KH ＝KD ＝a 时，如解图③，过点H 作HR ⊥DK 于点R ， 则HR ＝12a ，KR ＝32a ，DR ＝a －32a ，∴CRHN ＝12a3＋a －32a＝336，解得a ＝36＋30313，∴K (114＋30313，0)； 当点K 在点D 左边时，设DK ＝KH ＝a ，同理可得2a 3－a －3a ＝336，解得a ＝213－946，K (1053－4546，0)，第5题解图③③∵∠HDK ＞∠HKD ， ∴HD ＝HK 不存在．综上所述，满足要求的K 点坐标为(8，0)、(114＋30313，0)或（46453105 ，0）． 6. 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝63x 2﹣411x +33与x 轴交于点A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴，且交抛物线于点D ，连接AD ，交y 轴于点E ，连接AC ． （1）求S △ABD 的值；（2）如图②，若点P 是直线AD 下方抛物线上一动点，过点P 作PF ∥y 轴交直线AD 于点F ，作PG ∥AC 交直线AD 于点G ，当△PGF 的周长最大时，在线段DE 上取一点Q ，当PQ +53QE 的值最小时，求此时PQ +53QE 的值；（3）如图③，M 是BC 的中点，以CM 为斜边作直角△CMN ，使CN ∥x 轴，MN ∥y 轴，将△CMN 沿CB 平移，记平移后的三角形为△N M C '''，当点N ′落在x 轴上即停止运动，将此时的△N M C '''绕点C '逆时针旋转（旋转度数不超过180°），旋转过程中直线N M ''与直线CA 交于点S ，与y 轴交于点T ，与x 轴交于点W ，请问△CST 是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的W N '的长度；若不能，请说明理由．图① 图② 图③ 第6题图解：（1）令y ＝0，则23x 2﹣33x +363＝0，解得x ＝233或43． ∴A （233，0），B （43，0），C （0，33）， ∵CD ∥AB ，∴S △ABD ＝S △ABC ＝21•AB •OC ＝21×235×33＝445; （2）如解图①中，第6题解图①设P （m ，63m 2﹣411m +33）． ∵A （233，0），D （2311，33）， ∴直线AD 的解析式为y ＝43x ﹣839， ∵PF ∥y 轴， ∴F （m ，43m ﹣839）， ∵PG ∥AC ，∴△PGF 的形状不变，∴PF 的值最大时，△PFG 的周长最大，∵PF ＝43m ﹣839﹣（63m 2﹣411m +33）＝﹣63m 2+27m ﹣8333， ∴当m ＝﹣a 2b ＝273时，PF 的值最大，此时P （273，﹣213），作P 关于直线DE 的对称点P '，连接P 'Q ，PQ ，作EN ∥x 轴，QM ⊥EN 于M ，∵△QEM ∽△EAO ， ∴QE QM ＝AE OE ＝53， ∴QM ＝53QE ，∴PQ +53EQ ＝PQ +QM ＝Q P '+QM ，∴当P ′、Q 、M 共线时，PQ +53EQ 的值最小， 易知直线PP ′的解析式为y ＝﹣34x +6325， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=839x 43y 6325x 34y ，可得G （501273，50393）， ∵PG ＝GP ′，∴P ′（50793，501033）， ∴P ′M ＝501033+893＝2006373， ∴PQ +53EQ 的最小值为2006373． （3）①如解图②中，当CS ＝CT 时，作CK 平分∠OCA ，作KG ⊥AC 于G ．第6题解图②易知KO ＝KG ， ∵KA OK S S CAK COK =△△＝AC OC＝52， ∴OK ＝522+•233＝315﹣63， 易证∠BW N '＝∠OCK ， ∴tan ∠BW N '＝tan ∠OCK ＝N W N B ''＝3336153-， ∵B N '＝23， ∴W N '＝215+43．②如解图③中，当TC ＝TS 时，第6题解图③易证∠BW N '＝∠OAC ，∴tan ∠BWN ′＝tan ∠OAC ＝N W N B ''＝23333， ∴W N '＝3，③如解图④中，当TS ＝TC 时，延长N 'B 交直线AC 于Q ，作BG ⊥AQ 于G ，QR ⊥AB 于R ．第6题解图④∵TS ＝TC ，∴∠TSC ＝∠TCS ＝∠ACO ，∵∠TSC +∠SQ N '＝90°，∠ACO +∠OAC ＝90°， ∴∠BQA ＝∠OAC ＝∠BAQ ， ∴BA ＝BQ ，∴AG ＝GQ ，设AQ ＝a ，则易知BG ＝a ，BQ ＝AB ＝25a ， ∵21·AQ •BG ＝21•AB •QR ， ∴QR ＝552a ，BR ＝1053a ， ∴tan ∠WB N '＝tan ∠QBR ＝34＝NW N B ''， ∴W N '＝338．④如解图⑤中，当CS ＝CT 时，第6题解图⑤由①可知，在Rt △BN ′W 中，tan ∠N ′BW ＝N B W N ''＝3336153-， ∴W N '＝215﹣43．综上所述，满足条件的WN ′的长为215+43或3或338或215﹣43．7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝-33x 2+332x +3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ．（1）求直线BC 的解析式；（2）如图②，点P 为直线BC 上方抛物线上一点，连接PB 、PC ．当 △PBC 的面积最大时，在线段BC 上找一点E （不与B 、C 重合），使PE +21BE 的值最小，求点P 的坐标和PE +21BE 的最小值； （3）如图③，点G 是线段CB 的中点，将抛物线y ＝﹣33x 2+332x+3沿x轴正方向平移得到新抛物线y'，y'经过点D，y'的顶点为F．在抛物线y'的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图①图②图③第7题图解：（1）当x＝0时，y＝﹣33x2+332x+3＝3，∴点C的坐标为（0，3），当y＝0时，有﹣33x2+332x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴点B的坐标为（3，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y＝kx+b，得：⎩⎨⎧==+3bbk3，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=3b33k，∴直线BC的解析式为y＝﹣33x+3；（2）如解图①中，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线BC于点F．作EN ⊥x 轴，第7题解图①设P （a ，﹣33a 2+332a +3），则F （a ，﹣33a +3）， ∴PF ＝﹣33a 2+3a , ∴S △PBC ＝21×PF ×3＝﹣23a 2+233a , ∴当a ＝23时，S △PBC 最大 , ∴P （23，435）， ∵直线BC 的解析式为y ＝﹣33x +3． ∴∠CBO ＝30°，EN ⊥x 轴， ∴EN ＝21BE ， ∴PE +21BE ＝PE +EN ，∴根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当P ，E ，N 三点共线且垂直于x 轴时，PE +21BE 值最小． ∴PE +21BE ＝PE +EN ＝PM ＝435； （3）存在，点Q 坐标为(3,23),(3,-532),∵D 是对称轴x ＝1与x 轴的交点，G 是BC 的中点， ∴D （1，0），G （23，23）， ∴直线DG 解析式y ＝3x ﹣3， ∵抛物线y ＝﹣33x 2+332x +3＝﹣33（x ﹣1）2+334沿x 轴正方向平移得到新抛物线y '，y '经过点D , ∴y '=﹣33（x ﹣3）2+3343，∴F （3，334）， ∴对称轴为x ＝3, ∵△FGQ 为直角三角形,∴∠FGQ ＝90°或∠FQG ＝90°，∠GFQ ＝90°（不合题意，舍去） 当∠FQG ＝90°，则QG ∥x 轴； ∴Q （3，23）； 当∠FGQ ＝90°，设点Q 坐标（3，y ）, ∵FQ 2＝FG 2+GQ 2, ∴（334﹣y ）2＝（3﹣23）2+（334﹣23）2+（3﹣23）2+（23﹣y ）2．∴y ＝﹣532， ∴Q （3，﹣532），综上所述：Q 的坐标可能为（3，23）或（3，﹣532）. 8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝-32x 2+34x +22与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点D 抛物线的顶点．（1）求直线BD 的解析式；（2）抛物线对称轴交x 轴于点E ，P 为抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥BD 于点F ，当线段PF 的长最大时，连接PE ，过点E 作射线EM ，且EM ⊥EP ，点G 为射线EM 上一动点（点G 不与点E 重合），连接PG ，H 为PG 中点，连接AH ，求AH 的最小值； （3）如图②，平移抛物线，使抛物线的顶点D 在射线BD 上移动，点B ，D 平移后的对应点分别为点B '，D '，y 轴上有一动点M ，连接MB '，MD '，△MB 'D '是否能为等腰直角三角形？若能，请求出所有符合条件的M 点的坐标；若不能，请说明理由．图① 图 ② 图③第8题图解：（1）对于抛物线y ＝﹣32x 2+34x +22， 令y ＝0，得﹣32x 2+34x +22＝0，解得x ＝﹣2或32， ∴A （﹣2，0），B （32，0）， ∵y ＝﹣32x 2+34x +22＝﹣32（x ﹣2）2+328． ∴D （2，328）， 设直线BD 的解析式为y ＝kx +b (k ≠0)，则有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0b k 23328b k 2，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2434b k ， ∴直线BD 的解析式为y ＝﹣34x +42； （2）如解图①中，设P （m ，﹣32m 2+34m +22），连接PD 、PB ，作PQ ⊥OB 于Q ．第8题解图①要求PF 的最大值，易知当△PBD 面积最大时，PF 的值最大， S △PBD ＝S △PDE +S △PEB ﹣S △EDB ，＝21×328×（m ﹣2）+21×22×（﹣32m 2+34m +22）﹣21×22×328 ＝﹣32（m ﹣22）2+34，∵﹣32＜0，∴m ＝22时，△PBD 的面积最大，PF 的值最大， ∴此时P （22，22），易知点H 的运动轨迹是线段PE 的垂直平分线， ∴当AH 垂直PE 的垂直平分线时，AH 的值最小， 设AH 交EM 于K ，在Rt △EPQ 中，PE ＝22PQ EQ +＝()()22222+＝10，由△AKE ∽△EQP ， 得到PE AEEQ AK =， ∴AK ＝5102， 易知HK ＝NE ＝21PE ＝210， ∴AH ＝AK +KH ＝10109； （3）如解图②中，作MN ⊥BD 于N ．第8题解图②∵B （32，0），D （2，328）， ∴BD ＝()2232822⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+＝3210， 当MN ＝BD 时，存在△MB 'D '为等腰直角三角形（只要D ′或B ′与N 重合即可），∵直线BD 的解析式为y ＝﹣34x +42，直线BD 与y 轴的交点H （0，42），∵△HMN ∽△DBE ， ∴BE MN ＝BD HM， ∴223210＝3210HM ， ∴HM ＝9502，∴OM ＝HM ﹣OH ＝9502﹣42＝9142，∴M （0，﹣9142），点M 关于H 的对称点M ′也满足条件，此时M ′（0，9286），当M ″是HM 的中点时，M ″是等腰三角形△M ″B ′D ′的直角顶点， 此时M ″（0，9211）， 综上所述，满足条件的点M 的坐标为（0，﹣9142）或（0，9211）或（0，9286）． 类型四 与特殊四边形有关的问题9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝83x 2﹣43x ﹣3与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），过点A 的直线交y 轴于点D ，且tan ∠DAO ＝43． （1）求直线AD 的解析式；（2）如图①，若点P 是抛物线上第四象限的一个动点，过点P 作直线PF ⊥x 轴于点P ，直线PF 交AD 于E ；过点P 作PG ⊥AD 于G ，PG 交x 轴于点H ，当△PGE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标及四边形GEFH 的面积；（3）如图②，在（2）的条件下，当△PGE 的周长取得最大值时P 停止运动，连接P A 交直线CB 于Q ，将直线AD 绕点Q 旋转，旋转后的直线l 与直线AD 相交于点M ，与直线CB 相交于点N ，当四边形QDMN 为平行四边形时，求点M 的坐标．图①图②备用图第9题图解：（1）令y＝0，则83x2﹣43x﹣3＝0，解得x＝﹣2或4，∴A（﹣2，0），B（4，0），∴OA＝2，∵tan∠DAO＝43＝AODO，∴OD＝23，∴点D坐标（0，23），设直线AD解析式为y＝kx+b，代入A、D点坐标则有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=bk223b，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==23b43k，∴直线AD解析式为y＝43x+23；（2）如解图①中，第9题解图①∵在点P 移动过程中，∠PEG 的大小不变， ∴PE 最长时，△PEG 的周长最大，设P （m ，83m 2﹣43m ﹣3），则E （m ，43m +23），∴PE ＝43m +23-（83m 2﹣43m ﹣3）＝﹣83m 2+23m +29＝﹣83（m ﹣2）2+6， ∵﹣83＜0，∴m ＝2时，PE 最长，△PEG 的周长最长， 此时P （2，﹣3），E （2，3），F （2，0）， ∵OD ∥PE ， ∴∠ADO ＝∠PEG ， ∵∠AOD ＝∠PGE ， ∴△AOD ∽△PGE ，∴PEADEG DO PG AO ==， ∵OA ＝2，OD ＝23，AD ＝25，PE ＝6，∴PG ＝524，EG ＝518，∵∠HPF ＝∠EPG ，∠PFH ＝∠PGE ， ∴△PFH ∽△PGE ， ∴PE PH ＝PG PF ＝GEFH ，∴PF ＝3，FH ＝49，∴S 四边形GEFH＝S △PGE ﹣S △PFH ＝21×524×518﹣21×3×49＝2001053； （3）如解图②中，作QH ⊥AD 于H ，旋转后H 的对应点为H ′．设M 点坐标（m ，43m +23）．第9题解图②∵四边形QDMN 是平行四边形， ∴DQ ∥MN ，DM ∥QN ， ∴∠QDH ＝∠DMN ＝∠QN H '， ∵∠QHD ＝∠Q H 'N ＝90°，QH ＝Q H '， ∴△QHD ≌△Q H 'N ， ∴DQ ＝QN ，∴四边形QDMN 是菱形，∴DQ ＝DM ，∵直线AP 解析式为y ＝﹣43x ﹣23，直线CN 的解析式为y ＝43x ﹣3， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=3x 43y 23x 43y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==49y 1x ， ∴点Q 坐标（1，﹣49）， ∵DQ ＝DM ，∴12+（23+49）2＝m 2+（43m ）2， 解得m ＝±5241， ∴点M 的坐标为（5241，202413+23）或（﹣5241，﹣202413+23）． 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝-21x 2-x 27-3交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ． （1）求直线AC 的解析式；（2）①点P 是直线AC 上方抛物线上的一动点（不与点A ，点C 重合），过点P 作PD ⊥AC 于点D ，求PD 的最大值；②当线段PD 的长度最大时，点Q 从点P 出发，先以每秒一个单位的速度沿适当的路径运动到y 轴上的点M 处，再沿MC 以每秒10个单位的速度运动到点C 停止．当点Q 在整个运动中用时最少时，求点M 的坐标；（3）将△BOC 沿直线BC 平移，点B 平移后的对应点为点B '，点O 平移后的对应点为点O '，点C 平移后的对应点为点C '，点S 是坐标平面内一点，若以A 、C 、O '、S 为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点S 的坐标．图① 图② 备用图 第10题图解：（1）对于抛物线y ＝-21x 2-27x -3，令x ＝0，得y ＝﹣3， ∴C （0，﹣3），令y ＝0，得x 2+7x +6＝0，解得x ＝﹣6或﹣1， ∵点A 在点B 的左侧， ∴A （﹣6，0），B （﹣1，0）， 设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，则有⎩⎨⎧=+--=0b k 63b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3b 21k ，∴直线AC 的解析式为y ＝﹣21x ﹣3； （2）①如解图①中，设P （m ，-21m 2-27m -3），连接P A 、PC ，作PK ∥y 轴交AC 于K ，则K （m ，﹣21m ﹣3）．第10题解图①∵PD ⊥AC ，AC ＝35，∴PD 最大时，△P AC 的面积最大，∵S △P AC ＝21×（﹣21m 2﹣27m -3+21m +3）×6＝﹣23（m +3）2+227， 又∵﹣23＜0，∴m ＝﹣3时，△P AC 的面积最大，最大值为227，此时P （﹣3，3），21×AC ·PD ＝227， ∴PD ＝559； ②如解图②中，在x 轴上取一点N （1，0），作直线CN ，作PK ⊥直线CN 于K 交y 轴于M ．第10题解图②∵OC ＝3，ON ＝1， ∴CN ＝10， ∴sin ∠OCN ＝CN ON ＝CM MK＝101， ∴MK ＝10CM ， ∵点Q 在整个运动的时间＝PM +10CM＝PM +MK ＝PK ， 根据垂线段最短可知，点M 即为所求的点， ∵直线CN 的解析式为y ＝3x ﹣3，PK ⊥CN ， ∴直线PK 的解析式为y ＝﹣31x +2， ∴M （0，2）；（3）①如解图③和④中，当四边形ACSO'是菱形时，设AS交C O'于K，AC＝A O'＝35，第10题解图③第10 题解图④∵点O′在直线y＝﹣3x上，A（﹣6，0），设O′（m，﹣3m），∴26m）（++2m3）（-＝（35）2，解得m＝101436±-，∴O′（101436--，1014918+）或（101436+-，1014918-），又∵C（0，-3），根据中点坐标公式可得K（201436--，2014912+-）或（201436+-，2014912--），∵AK＝KS，∴S（1014354-，1014912+-）或（1014354+，1014912--）；②如解图⑤和⑥中，当四边形AC O'S是菱形时，设CS交A O'于K，AC＝C O'＝35，第10题解图⑤ 第10题解图⑥∵点O ′在直线y ＝﹣3x 上，C （0，﹣3），设O ′（m ，﹣3m ），∴m 2+（﹣3m +3）2＝253）（，解得m ＝3或﹣56，∴O '（3，﹣9）或（﹣56，518）， ∴K （﹣23，﹣29）或（﹣518，59），∵CK ＝KS ，∴S （﹣3，﹣6）或（﹣59 ，533）； ③如解图⑦中，当四边形ASC O '是菱形时，S O '垂直平分线段AC ，第10题解图⑦直线S O '的解析式为y ＝2x +29， 由⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x 3y 29x 2y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=1027y 109x ， ∴O '（﹣109，1027）， ∵KS ＝K O '，K (-3，-23）， ∴S （﹣1051，﹣1057）， 综上所述，满足条件的点S 坐标为S （1014354-，1014912+-）或（1014354+，1014912--）或（﹣3，﹣6）或（﹣59，533）或（﹣1051，﹣1057）；。

二次函数压轴题强化训练（带详细答案）一．解答题（共30 小题）1．（2016•深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x 轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA 对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点C．（1）直接写出点C 的坐标，并求过A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC 上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为T，Q 为线段BT 上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．2．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2 与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P 是线段AB 上异于A、B 的动点，过点P 作PC⊥x 轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．3．（2007•玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m 与该二次函数的图象交于A、B 两点，其中A 点的坐标为（3，4），B 点在y 轴上．（1）求m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE 的长为h，点P 的横坐标为x，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P，使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2013•凉ft州）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x 轴于A、B 两点，A 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C（0，4），以OC、OA 为边作矩形OADC 交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l 在边OA（不包括O、A 两点）上平行移动，分别交x 轴于点E，交CD 于点F，交AC 于点M，交抛物线于点P，若点M 的横坐标为m，请用含m 的代数式表示PM 的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F 为顶点的三角形和△AEM 相似？若存在，求出此时m 的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明理由．5．（2009•綦江县）如图，已知抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），抛物线的顶点为D，过O 作射线OM∥AD．过顶点平行于x 轴的直线交射线OM 于点C，B 在x 轴正半轴上，连接BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1 个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为t（s）．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？（3）若OC=OB，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1 个长度单位和2 个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．6．（2013•天水）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m 的值及点D 的坐标；（3）如图2，若点N 在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P 坐标（点P、O、D 分别与点N、O、B 对应）．7．（2014•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3 与y 轴交于点C，与x 轴交于点D．点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x 轴于点F，交直线CD 于点E．设点P 的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m 的值；（3）若点E′是点E 关于直线PC 的对称点，是否存在点P，使点E′落在y 轴上？若存在，请直接写出相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2013•德州）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O 为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E，连接PE，交CD 于F，求出当△CEF 与△COD 相似时，点P 的坐标；②是否存在一点P，使△PCD 的面积最大？若存在，求出△PCD 的面积的最大值；若不存在，请说明理由．9．（2013•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 与直线y=x+2 交于C、D 两点，其中点C 在y轴上，点D 的坐标为（3，）．点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE⊥x 轴于点E，交CD 于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 的横坐标为m，当m 为何值时，以O、C、P、F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P 的坐标．10．（2013•重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c 的图象与x 轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y 轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC 与抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点，过点M 作MN∥y 轴交直线BC 于点N，求MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点P 是抛物线在x 轴下方图象上任意一点，以BC 为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ 的面积为S1，△ABN 的面积为S2，且S1=6S2，求点P 的坐标．11．（2013•徐州）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x 轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x 轴上方作正方形ABCD，点P 是x 轴上一动点，连接DP，过点P 作DP 的垂线与y 轴交于点E．（1）请直接写出点D 的坐标：；（2）当点P 在线段AO（点P 不与A、O 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标及此时△PED 与正方形ABCD 重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．12．（2013•泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c 与y 轴交于点C（0，﹣4），与x 轴交于点A，B，且B 点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P 是AB 上的一动点，过点P 作PE∥AC，交BC 于E，连接CP，求△PCE 面积的最大值．（3）若点D 为OA 的中点，点M 是线段AC 上一点，且△OMD 为等腰三角形，求M 点的坐标．13．（2014•广元）如图甲，四边形OABC 的边OA、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A、D，交y 轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B 的坐标；（2）求证：CB 是△ABE 外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE 沿x 轴正方向平移t 个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE 与△ABE 重叠部分的面积为s，求s 与t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围．14．（2014•成都）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k 为常数，且k＞0）与x 轴从左至右依次交于A，B 两点，与y 轴交于点C，经过点B 的直线y=﹣x+b 与抛物线的另一交点为D．（1）若点D 的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值；（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1 个单位的速度运动到F，再沿线段FD 以每秒2 个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？15．（2014•南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k 与直线y=kx+1 交于A，B两点，点A 在点B 的左侧．（1）如图1，当k=1 时，直接写出A，B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x 轴交于点C、D 两点（点C 在点D 的左侧），在直线y=kx+1 上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．16．（2013•防城港）如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c 与x 轴交于A，B（A，B 分别在y 轴的左右两侧）两点，与y 轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C 的坐标；（2）判断△CDB 的形状并说明理由；（3）将△COB 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE 与△CDB 重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．17．（2014•重庆）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C，点D 为抛物线的顶点．（1）求A、B、C 的坐标；（2）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P 作PQ∥AB 交抛物线于点Q，过点Q 作QN⊥x 轴于点N．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求△AEM 的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G（点G 在点F 的上方）．若FG=2DQ，求点F 的坐标．18．（2014•钦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于A、D 两点，与y 轴交于点B，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE⊥x 轴交抛物线于点P，交BC 于点G，交BD 于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．19．（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x 轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y 轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3 个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1 个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K 点坐标．20．（2013•恩施州）如图所示，直线l：y=3x+3 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B．把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C，抛物线过点B、C 和D（3，0）．（1）求直线BD 和抛物线的解析式．（2）若BD 与抛物线的对称轴交于点M，点N 在坐标轴上，以点N、B、D 为顶点的三角形与△MCD 相似，求所有满足条件的点N 的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．21．（2013•毕节地区）如图，抛物线y=ax2+b 与x 轴交于点A、B，且A 点的坐标为（1，0），与y 轴交于点C（0，1）．（1）求抛物线的解析式，并求出点B 坐标；（2）过点B 作BD∥CA 交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD 的周长；（结果保留根号）（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P 作PE 垂直于x 轴，垂足为点E，使以B、P、E 为顶点的三角形与△CBD 相似？若存在请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2014•德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P 在过A，B，C 三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P 作PE 垂直于y 轴于点E，交直线AC 于点D，过点D 作x 轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．23．（2014•吉林）如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y 轴分别相交于A，B 两点，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D 的抛物线P 叫做l 的关联抛物线，而l 叫做P 的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P 表示的函数解析式为；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l 表示的函数解析式为．（2）求P 的对称轴（用含m，n 的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P 的对称轴与CD 相交于点E，点F 在l 上，点Q 在P 的对称轴上．当以点C，E，Q，F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时，求点Q 的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G 为AB 中点，H 为CD 中点，连接GH，M 为GH 中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P 表示的函数解析式．24．（2013•武汉）如图，点P 是直线l：y=﹣2x﹣2 上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线y=x2于A、B 两点．（1）若直线m 的解析式为y=﹣x+，求A，B 两点的坐标；（2）①若点P 的坐标为（﹣2，t）．当PA=AB 时，请直接写出点A 的坐标；②试证明：对于直线l 上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得PA=AB 成立．（3）设直线l 交y 轴于点C，若△AOB 的外心在边AB 上，且∠BPC=∠OCP，求点P 的坐标．25．（2013•遂宁）如图，抛物线y= x2+bx+c 与x 轴交于点A（2，0），交y 轴于点B（0，）．直线y=kx 过点A 与y 轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线y= x2+bx+c 与直线y=kx 的解析式；（2）设点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点（不与点A、D 重合），过点P 作y 轴的平行线，交直线AD 于点M，作DE⊥y 轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD 于点N，设△PMN 的周长为l，点P 的横坐标为x，求l与x 的函数关系式，并求出l 的最大值．26．（2013•舟ft）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m 的顶点为A，与y 轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y 轴于点C，延长CA 到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x 轴，DE∥y 轴．（1）当m=2 时，求点B 的坐标；（2）求DE 的长？（3）①设点D 的坐标为（x，y），求y 关于x 的函数关系式？②过点D 作AB 的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m 为何值时，以A，B，D，P 为顶点的四边形是平行四边形？27．（2006•重庆）已知：m、n 是方程x2﹣6x+5=0 的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D 的坐标和△BCD 的面积；（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3 的两部分，请求出P 点的坐标．28．（2015•阜新）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 交x 轴于点A（﹣3，0）和点B，交y 轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在抛物线上，且S△AOP=4S BOC，求点P 的坐标；（3）如图b，设点Q 是线段AC 上的一动点，作DQ⊥x 轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．29．（2014•白银）如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y 轴负半轴交于点A，点 B 在该抛物线上，且横坐标为3．（1）求点M、A、B 坐标；（2）连接AB、AM、BM，求∠ABM 的正切值；（3）点P 是顶点为M 的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO 与x 正半轴的夹角为α，当α=∠ABM 时，求P 点坐标．30．（2014•宿迁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x 轴于点A，B，交y 轴于点C，设过点A，B，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C 的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D 的坐标；②若点M 为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM 面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c 取何值，点D 均为定点，求出该定点坐标．二次函数压轴题强化答案一．解答题（共30 小题）1．（2016•深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x 轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA 对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点C．（1）直接写出点C 的坐标，并求过A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC 上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为T，Q 为线段BT 上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；开放型．【分析】（1）点A 的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A 的坐标为（8，0）；点B 的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B 的坐标为（0，6）；由题意得：BC 是∠ABO 的角平分线，所以OC=CH，BH=OB=6∵AB=10，∴AH=4，设OC=x，则AC=8﹣x由勾股定理得：x=3∴点C 的坐标为（3，0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线BC 的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；（3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA﹣QO|=|QA﹣QH|．当点Q 与点B 重合时，Q、H、A 三点共线，|QA﹣QO|取得最大值4（即为AH 的长）；设线段OA 的垂直平分线与直线BC 的交点为K，当点Q 与点K 重合时，|QA﹣QO|取得最小值0．【解答】解：（1）点C 的坐标为（3，0）．（1 分）∵点A、B 的坐标分别为A（8，0），B（0，6），∴可设过A、B、C 三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）．将x=0，y=6 代入抛物线的解析式，得．（2 分）∴过A、B、C 三点的抛物线的解析式为．（3 分）（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D 的坐标为，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G．直线BC 的解析式为y=﹣2x+6.4 分）设点P 的坐标为（x，﹣2x+6）．解法一：如图，作OP∥AD 交直线BC 于点P，连接AP，作PM⊥x 轴于点M．∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，即．解得．经检验是原方程的解．此时点P 的坐标为．（5 分）但此时，OM＜GA．∵，∴OP＜AD，即四边形的对边OP 与AD 平行但不相等，∴直线BC 上不存在符合条件的点P（6 分）解法二：如图，取OA 的中点E，作点D 关于点E 的对称点P，作PN⊥x 轴于点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE．可得△PEN≌△DEG．由，可得E 点的坐标为（4，0）．NE=EG= ，ON=OE﹣NE= ，NP=DG= ．∴点P 的坐标为．（5 分）∵x= 时，，∴点P 不在直线BC 上．∴直线BC 上不存在符合条件的点P．（6 分）（3）|QA﹣QO|的取值范围是．（8 分）当Q 在OA 的垂直平分线上与直线BC 的交点时，（如点K 处），此时OK=AK，则|QA﹣QO|=0，当Q 在AH 的延长线与直线BC 交点时，此时|QA﹣QO|最大，直线AH 的解析式为：y=﹣x+6，直线BC 的解析式为：y=﹣2x+6，联立可得：交点为（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，∴|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4．【点评】此题考查了二次函数与一次函数以及平行四边形的综合知识，解题的关键是认真识图，注意数形结合思想的应用．2．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2 与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P 是线段AB 上异于A、B 的动点，过点P 作PC⊥x 轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2 上，可求得m 的值，抛物线图象上的A、B 两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC 的长，实际是直线AB 与抛物线函数值的差．可设出P 点横坐标，根据直线AB 和抛物线的解析式表示出P、C 的纵坐标，进而得到关于PC 与P 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC 的最大值．（3）当△PAC 为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2 上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6 上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．（2）设动点P 的坐标为（n，n+2），则C 点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣）2+ ，∵PC＞0，∴当n=时，线段PC 最大且为．（3）∵△PAC 为直角三角形，i）若点P 为直角顶点，则∠APC=90°．由题意易知，PC∥y 轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A 为直角顶点，则∠PAC=90°．如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x 轴于点N，则ON=，AN= ．过点A 作AM⊥直线AB，交x 轴于点M，则由题意易知，△AMN 为等腰直角三角形，∴MN=AN= ，∴OM=ON+MN= +=3，∴M（3，0）．设直线AM 的解析式为：y=kx+b，则：，解得，∴直线AM 的解析式为：y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②联立①②式，解得：x=3 或x=（与点A 重合，舍去）∴C（3，0），即点C、M 点重合．当x=3 时，y=x+2=5，∴P1（3，5）；iii）若点C 为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x=2．如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2 的对称点C，则点C 在抛物线上，且C（，）．当x=时，y=x+2=．∴P2（，）．∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB 上，∴综上所述，△PAC 为直角三角形时，点P 的坐标为（3，5）或（，）．【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．3．（2007•玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m 与该二次函数的图象交于A、B 两点，其中A 点的坐标为（3，4），B 点在y 轴上．（1）求m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE 的长为h，点P 的横坐标为x，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P，使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）因为直线y=x+m 过点A，将A 点坐标直接代入解析式即可求得m 的值；设出二次函数的顶点式，将（3，4）代入即可；（2）由于P 和E 的横坐标相同，将P 点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h 即为二者之差；根据P、E 在二者之间，所以可知x 的取值范围是0＜x＜3；（3）先假设存在点P，根据四边形DCEP 是平行四形的条件进行推理，若能求出P 点坐标，则证明存在点P，否则P 点不存在．【解答】解：（1）∵点A（3，4）在直线y=x+m 上，∴4=3+m．∴m=1．设所求二次函数的关系式为y=a（x﹣1）2．∵点A（3，4）在二次函数y=a（x﹣1）2的图象上，∴4=a（3﹣1）2，∴a=1．∴所求二次函数的关系式为y=（x﹣1）2．即y=x2﹣2x+1．（2）设P、E 两点的纵坐标分别为y P 和y E．∴PE=h=y P﹣y E=（x+1）﹣（x2﹣2x+1）=﹣x2+3x．即h=﹣x2+3x（0＜x＜3）．（3）存在．解法1：要使四边形DCEP 是平行四边形，必需有PE=DC．∵点D 在直线y=x+1 上，∴点D 的坐标为（1，2），∴﹣x2+3x=2．即x2﹣3x+2=0．解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）∴当P 点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP 是平行四边形．解法2：要使四边形DCEP 是平行四边形，必需有BP∥CE．设直线CE 的函数关系式为y=x+b．∵直线CE 经过点C（1，0），∴0=1+b，∴b=﹣1．∴直线CE 的函数关系式为y=x﹣1．∴得x2﹣3x+2=0．解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）∴当P 点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP 是平行四边形．【点评】此题考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，结合图形有利于解答；（3）是一道存在性问题，有一定的开放性，需要先假设点P 存在，然后进行验证计算．4．（2013•凉ft州）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x 轴于A、B 两点，A 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C（0，4），以OC、OA 为边作矩形OADC 交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l 在边OA（不包括O、A 两点）上平行移动，分别交x 轴于点E，交CD 于点F，交AC 于点M，交抛物线于点P，若点M 的横坐标为m，请用含m 的代数式表示PM 的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F 为顶点的三角形和△AEM 相似？若存在，求出此时m 的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先根据A、C 的坐标，用待定系数法求出直线AC 的解析式，进而根据抛物线和直线AC 的解析式分别表示出点P、点M 的坐标，即可得到PM 的长；（3）由于∠PFC 和∠AEM 都是直角，F 和E 对应，则若以P、C、F 为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m 的代数式表示出AE、EM、CF、PF 的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM 的形状．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），∴ ，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+ x+4；（2）设直线AC 的解析式为y=kx+b，∵A（3，0），点C（0，4），∴ ，解得，∴直线AC 的解析式为y=﹣x+4．∵点M 的横坐标为m，点M 在AC 上，∴M 点的坐标为（m，﹣m+4），∵点P 的横坐标为m，点P 在抛物线y=﹣x2+ x+4 上，∴点P 的坐标为（m，﹣m2+ m+4），∴PM=PE﹣ME=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+4m，即PM=﹣m2+4m（0＜m＜3）；（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD 上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F 为顶点的三角形和△AEM 相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，若以P、C、F 为顶点的三角形和△AEM 相似，情况：①P 点在F 上，PF=﹣m2+m+4﹣4=﹣m2+m．若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（﹣m2+m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4），∵m≠0 且m≠3，∴m= ．∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．在直角△CMF 中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，∴△PCM 为直角三角形；②P 点在F 下，PF=4﹣（﹣m2+m+4）= m2﹣m若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（m2﹣m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4），∵m≠0 且m≠3，∴m=（不合题意舍去）．∵∠CFP=90°，∴∠CPM=∠CFP+FCM＞90°，∴△CPM 为钝角三角形；③若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3﹣m）=（﹣m2+m）：（﹣m+4），∵m≠0 且m≠3，∴m=1．∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM，∴△PCM 为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P 使△PFC 与△AEM 相似．此时m 的值为或1，△PCM 为直角三角形或等腰三角形．【点评】此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．5．（2009•綦江县）如图，已知抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），抛物线的顶点为D，过O 作射线OM∥AD．过顶点平行于x 轴的直线交射线OM 于点C，B 在x 轴正半轴上，连接BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1 个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为t（s）．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？（3）若OC=OB，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1 个长度单位和2 个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）将A 的坐标代入抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）可得a 的值，即可得到抛物线的解析式；（2）易得D 的坐标，过D 作DN⊥OB 于N；进而可得DN、AN、AD 的长，根据平行四边形，直角梯形，等腰梯形的性质，用t 将其中的关系表示出来，并求解可得答案；（3）根据（2）的结论，易得△OCB 是等边三角形，可得BQ、PE 关于t 的关系式，将四边形的面积用t 表示出来，进而分析可得最小值及此时t 的值，进而可求得PQ 的长．【解答】解：（1）∵抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），∴0=9a+3 ，∴a=﹣（1 分）∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+ x+；（3 分）（2）①∵D 为抛物线的顶点，∴D（1，3），过D 作DN⊥OB 于N，则DN=3，AN=3，∴AD= =6，∴∠DAO=60°．（4 分）∵OM∥AD，①当AD=OP 时，四边形DAOP 是平行四边形，∴OP=6，∴t=6（s）．（5 分）②当DP⊥OM 时，四边形DAOP 是直角梯形，过O 作OH⊥AD 于H，AO=2，则AH=1（如果没求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA（求AH=1）∴OP=DH=5，t=5（s）（6 分）③当PD=OA 时，四边形DAOP 是等腰梯形，易证：△AOH≌△DPP′，∴AH=CP，∴OP=AD﹣2AH=6﹣2=4，∴t=4（s）综上所述：当t=6、5、4 时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形；（7 分）（3）由（2）及已知，∠COB=60°，OC=OB，△OCB 是等边三角形则OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t，∴OQ=6﹣2t（0＜t＜3）过P 作PE⊥OQ 于E，则PE= t（8 分）。

压轴题01二次函数图象性质与几何问题目录题型一二次函数与最值问题：题型二二次函数与图形面积问题题型三二次函数与图形判定问题类型1：与特殊三角形相关类型2：与特殊四边形相关题型一二次函数与最值问题解题模板：【例1】（2023•枣庄节选）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；【变式1-1】（2023•内蒙古节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的交点分别为A 和B（1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），点P是直线AC上方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点P做x轴平行线交AC于点E，过点P做y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点P的坐标；【变式1-2】（2023•眉山）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P 的坐标及的最大值；【变式1-3】（2023•西宁）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，﹣6），抛物线经过点A，B，且对称轴是直线x＝1．（1）求直线l的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线1于点D，过点P 作PM⊥l，垂足为M．求PM的最大值及此时P点的坐标．题型二二次函数与图形面积问题解题模板：技巧精讲：表示图形面积的方法【例2】（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．（1）求b，c的值．（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC 面积的最大值；【变式2-1】（2023•怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接P A、PC，求△P AC面积的最大值及此时点P 的坐标；【变式2-2】（2023•安徽）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2．（1）求a，b的值；（2）已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．（i ）当0＜t ＜2时，求△OBD 与△ACE 的面积之和；（ii ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B ，使得以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点B 的横坐标t 的值；若不存在，请说明理由．【变式2-3】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =-+-的图象与x 轴交于点(3,0)A -和点(1,0)B ，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的表达式．(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线:3AC y x =+交于点D ，若点M 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求MCD △面积的最大值．【变式2-4】（2023·湖南·统考中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y轴交于C 点，其中()10B ,，()0,3C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P ，使得PAC ABC S S =△△若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；题型三二次函数与图形判定问题类型一与特殊三角形相关解题模板：技巧精讲：1：动点构成特殊三角形的作图方法2.动点构成特殊三角形的分类讨论方法（情景同上）【例3】（2023•随州节选）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；【变式3-1】（2023•恩施州节选）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c 与y轴交于点A，抛物线的对称轴与x轴交于点B．（1）如图，若A（0，），抛物线的对称轴为x＝3．求抛物线的解析式，并直接写出y≥时x的取值范围；（2）在（1）的条件下，若P为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当△PBC为等边三角形时，求点P，C的坐标；【变式3-2】（2023•益阳）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝a（x+2）（a＞0）与x轴交于点A，与抛物线E：y＝ax2交于B，C两点（B在C的左边）．（1）求A点的坐标；（2）如图1，若B点关于x轴的对称点为B′点，当以点A，B′，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值；类型二与特殊四边形相关2.动点构成特殊四边形的分类讨论方法（情境同上）【例4】（2023•自贡）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标；（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；【变式4-1】（2023•巴中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．（1）求抛物线的表达式．（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．（3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．【变式4-2】（2023•锦州）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和B，交y轴于点C（0，3），顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）若点E在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形ODEB的面积为7，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，若点F是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且∠EFG＝60°，如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式4-3】（2022•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B （0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．一、解答题点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)当△BEF的周长是线段PF长度的2倍时，求点P的坐标；(3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接BQ，过点B作直线l⊥BQ，连接QF并延长交直线l于点M．当BQ=BM时，请直接写出点的坐标．2．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(−2,0)和点B(6,0)两点，与y轴交于点C(0,6)．点D为线段BC上的一动点．(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求△AOD周长的最小值；(3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA,PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．3．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与x轴交于A(1,0)和B(−5,0)两点，与y轴交于点C．直线y=−3x+3过抛物线的顶点P．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线x=m(−5<m<0)与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；①当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．x2+bx+c与x轴交于点A，B，4．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14与y轴交于点C，其中B(3,0)，C(0,−3)．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．5．（山东东营·统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．6．（西藏·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．（辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A(−3,0)，B(1,0)，交y轴于点C．点P(m,0)是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图1．求线段MN的最大值；①若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：⎪⎭⎫⎝⎛++22B A B A y y x x ，直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠ （3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用∆和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。

例：关于x 的一元二次方程()01222＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。

4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。

（方法同上）例：若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。

举例如下：已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。

解：当0=m 时，1=x ；当0≠m 时，()032≥-=∆m ，()m m x 213∆±-=，mx 321-=、12=x ；综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122；∴ ⎩⎨⎧=-=+-01 02 2x x y ，解得：⎩⎨⎧=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。

课题函数的综合压轴题型归类教学目标1、要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系2、掌握特殊图形面积的各种求法重点、难点1、利用图形的性质找点2、分解图形求面积教学内容一、二次函数和特殊多边形形状二、二次函数和特殊多边形面积三、函数动点引起的最值问题四、常考点汇总4、二次函数与X轴的交点为整数点问题。

（方法同上）例：若抛物线y二mx2• 3m 1 x 3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。

举例如下：2已知关于x的方程mx -3（m-1）x • 2m-3 = 0（m为实数），求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。

解：当m = 0时，x =1；当m^O 时，A= （m—3f±0，x= _1）一中 '，捲=2—?、x? =1 ；2m m综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线y =x2-mx • m-2 （m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于m的方程y-x2，2=m1-x ；2y_x +2=0 的/曰7，解得：丿y = T；1 —x = 0.X =1学生：___________ 科目：数学教师:•••抛物线总经过一个固定的点（1, - 1 ）。

（题目要求等价于：关于m的方程y—x2二ml—x不论m为何值，方程恒成立）小结：关于x的方程ax = b有无数解u7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线h、丨2，点A在丨2上，分别在l i、丨2上确定两点M、N，使得AM MN之和最小。

（2）如图，直线、I2相交，两个固定点A、B，分别在h、J上确定两点M、N，使得BM MN AN之和最小。

（3）如图，A、B是直线l同旁的两个定点，线段a，在直线I上确定两点E、F （E在F的左侧），使得四边形AEFB的周长最小。

二次函数压轴题解题思路一、基本知识1会求解析式以及一些关键点的坐标（如函数图像与坐标轴的交点、两函数图像的交点等）。

2.会利用函数性质和图像3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。

图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。

一些方法：如相似、三角函数、解方程。

一些转换：如轴对称、平移、旋转。

二、典型例题：（一）、求解析式可参考一下部分试题的第一问。

（二）、二次函数的相关应用第一类：面积问题例题. （2012•莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．）（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；练习：1. （2014•兰州）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．第二类：.构造问题（1）构造线段（2014•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．（1）求∠OBC的度数；（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．（2）构造相似三角形（2013•莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）构造平行四边形（2014•莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D 两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．造等腰三角形（2013•泰安）如图，抛物线y=12x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），（4）构与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．（5）构造直角三角形（2014•四川内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．（6）构造角相等（2014•娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．（7）构造菱形（2013•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．（8）构造对称点（11莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM＋OM的最小值；(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．AOByx（9）构造平行线：（2014•山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，△ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED△AC的理由．（10）构造垂直：（2014宜宾市）如图，已知抛物线y= x2+bx+c的顶点坐标为M(0，–1)，与x轴交于A、B两点. (1)求抛物线的解析式；(2)判断△MAB的形状，并说明理由；(3)过原点的任意直线(不与y轴重合)交抛物线于C、D两点，连结MC、MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．（11）构造圆(2014年淄博)如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使△APB=30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且△APB=30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，△APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时△APB最大的理由；若没有，也请说明理由．参考答案：（一）、求解析式（二）、二次函数的相关应用第一类：面积问题（2012•莱芜）解：（1）y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．yxOMDCBA第24题图（2）S△ACD=AD•CD=××2=2．（3）（2+，1﹣）、（2﹣，1+）、（1，2）或（4，﹣1）．（2014兰州）解（1）y=﹣x2+x+2；（2）y=﹣（x﹣）2+，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）9．第二类：.构造问题（1）构造线段（2014枣庄）（1）△OBC为等腰直角三角形∠OBC=45°．（2）P（2，﹣3）．（3）线段PF长度=﹣x P2+3x P=﹣（x P﹣）2+，（1＜x P≤3），当x P=时，线段PF长度最大为．（2）构造相似三角形（2013•莱芜）（1）y=．（2）DF的最大值为．此时D的坐标为（）．（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，）．在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，故此时满足条件的点不存在．②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，P的坐标为（﹣8，﹣15）．③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，此时点P的坐标为（2，﹣）．若PN=3NA，此时点P的坐标为（10，﹣39）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．（3）构造平行四边形（2014•莱芜）解：（1）y=﹣x2+x．（2）存在．或或．（3）△S=S△OFQ﹣S△OEP=OF•FQ﹣OE•PG=（1+t）（+t）﹣•t•t=﹣（t﹣1）2+当t=1时，S有最大值为．△S的最大值为．（4）构造等腰三角形PBE ABCS S=PBE S 12==-13x 2-232（5）构造直角三角形（2014•四川内江） （1）y=﹣x 2+x+4．（2）当t=1时，PQ 取到最大值，最大值为． （3）①当∠BAM=90°时，MH=11．M （，﹣11）． ②当∠ABM=90°时，M （，9）．综上所述：符合要求的点M 的坐标为（，9）和（，﹣11）．（6）构造角相等（2014•娄底）解（1）依题意：x 1+x 2=﹣m ，x 1x 2=m ﹣1，∵x 1+x 2+x 1x 2=7，∴（x 1+x 2）2﹣x 1x 2=7，∴（﹣m ）2﹣（m ﹣1）=7，即m 2﹣m ﹣6=0，解得m 1=﹣2，m 2=3，∵c=m ﹣1＜0，∴m=3不合题意∴m=﹣2抛物线的解析式是y=x 2﹣2x ﹣3； （2）能如图，设p是抛物线上的一点，连接PO ，PC ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为D ．若∠POC=∠PCO 则PD 应是线段OC 的垂直平分线∵C 的坐标为（0，﹣3）∴D 的坐标为（0，﹣）∴P 的纵坐标应是﹣令x 2﹣2x ﹣3=，解得，x 1=，x 2=因此所求点P 的坐标是（，﹣），（，﹣）（7）构造菱形（2013•枣庄） 解：（1）.（2）此时P 点的坐标为（，）. （3） S 四边形ABPC =++==.易知，当x=时，四边形ABPC 的面积最大．此时P 点坐标为（，），四边形ABPC 的最大面积为.（8）构造对称点（11莱芜）（1）212y x x =-+。

二次函数与几何图形综合题类型一 线段数量关系/最值问题1. (2019滨州)如图①，抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D .(1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点． ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为524时，求sin ∠P AD 的值．第1题图2. 如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6相交于A (12，52)和B (4，c )．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 上的动点，设点P 的横坐标为n ，过点P 作PC ⊥x 轴，交抛物线于点C ，交x 轴于点M .①当点P 在线段AB 上运动时(点P 不与点A ，B 重合)，是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；②点P 在直线AB 上自由移动，当点C 、P 、M 中恰有一点是其他两点所连线段的中点时，请直接写出n 的值．第2题图类型二面积数量关系/最值问题1. (2019成华区一诊)如图，抛物线经过原点O，与x轴交于点A(－4，0)，且经过点B(4，8)．(1)求抛物线的解析式；(2)设直线y＝kx＋4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2(x1<x2)，当1x2－1x1＝22时，求k的值；(3)连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点C，连接OC、OP，当S△POC∶S△BOC＝1∶2时，求点P的坐标．第1题图2. (2019武侯区一诊)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx ＋3与抛物线交于点A (9，－6)，与y 轴交于点B ，抛物线的顶点C 的坐标是(4，－11)．(1)分别求该直线和抛物线的函数表达式；(2)D 是抛物线上位于对称轴左侧的点，若△ABD 的面积为812，求点D 的坐标；(3)在y 轴上是否存在一点P ，使∠APC ＝45°？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．类型三特殊三角形存在性问题1. (2019武侯区二诊)如图，抛物线y＝x2＋(m＋2)x＋4的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x＋2与抛物线交于A，B两点(点A在点B的左侧)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是抛物线上一点，若S△P AB＝2S△ABC，求点P的坐标；(3)将直线AB上下平移，平移后的直线y＝x＋t与抛物线交于A′、B′两点(A′在B′的左侧)，当以点A′、B′、(2)中第二象限的点P为顶点的三角形是直角三角形时，求t的值．类型四特殊四边形存在性问题1. (2019高新区二诊)如图，在同一直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2－2x－3与抛物线C2：y＝x2＋mx ＋n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧，交y轴于点D.(1)求A、B两点的坐标；(2)过抛物线C2：y＝x2＋mx＋n在第三象限上的一点P，作PF⊥x轴于点F，交AD于点E，若E关于PD的对称点E′恰好落在y轴上，求P点的坐标；(3)在抛物线C1上是否存在一点G，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以A、B、G、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出G、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．类型五相似三角形问题1.(2019金牛区一诊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点分别为A(－3，0)、B(1，0)，与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；(2)连接AD、CD，若点E为抛物线上一动点(点E与顶点C不重合)，当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；(3)若点P为抛物线上一动点(点P与顶点C不重合)，过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．第1题图备用图参考答案类型一 线段数量关系/最值问题1. 解：(1)抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4，令x ＝0，可得A 点的坐标为(0，4)，令y ＝0，可得B 点的坐标为(－4，0)，C 点的坐标为(8，0)． 易得直线AB 的函数解析式为y ＝x ＋4， ∵OA ＝OB ， ∴∠BAO ＝45°.又∵直线AD 由直线AB 逆时针旋转90°而来， ∴∠BAD ＝90°，∴∠OAD ＝45°，△OAD 为等腰直角三角形， ∴OD ＝OA ＝4，D (4，0)，易得直线AD 的函数解析式为y ＝－x ＋4；(2)①如解图①，过点P 作PE ⊥x 轴交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，第1题解图①易得△PEF 为等腰直角三角形， ∴PF ＝22PE ， ∴当PE 取得最大值时，PF 取得最大值， 设P (x ，－18x 2＋12x ＋4)，则E (x ，－x ＋4)，∴PE ＝－18x 2＋12x ＋4－(－x ＋4)＝－18x 2＋32x ＝－18(x －6)2＋92，∴当x ＝6时，PE 有最大值92，此时PF 有最大值924，∴当x ＝6时，－18x 2＋12x ＋4＝52，∴当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标为(6，52)，最大距离为924；②如解图②，连接AP ，过点P 作PE ⊥x 轴，交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，当点P 到AD 的距离为524时，PF ＝524，则此时PE ＝2PF ＝52，将PE ＝52代入PE ＝－18(x －6)2＋92中，解得x 1＝10，x 2＝2，∴此时点P 的坐标为(10，－72)或(2，92)，当点P 的坐标为(2，92)时，AP ＝22＋（92－4）2＝172，∴sin ∠P AD ＝524172＝53434；当点P 的坐标为(10，－72)时，AP ＝102＋（－72－4）2＝252，∴sin ∠P AD ＝PF AP ＝524252＝210.综上，sin ∠P AD 的值是53434或210.第1题解图②2. 解：(1)∵B (4，c )在直线y ＝x ＋2上， ∴c ＝6，则B (4，6)，∵A (12，52)，B (4，6)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6上，∴⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋12b ＋6＝5216a ＋4b ＋6＝6.， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－8，故抛物线的解析式为y ＝2x 2－8x ＋6； (2)①存在．设点P 的坐标为(n ，n ＋2)(12<n <4)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)，∴PC ＝(n ＋2)－(2n 2－8n ＋6)＝－2n 2＋9n －4＝－2(n －94)2＋498.∵－2<0，12<n <4，∴当n ＝94时，线段PC 的长取得最大值498.② n 的值为5±212或17±1298.【解法提示】设P 的坐标为(n ，n ＋2)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)，易知抛物线与x 轴交点坐标为(1，0)，(3，0)，直线与x 轴交点坐标为(－2，0)．(Ⅰ)若M 点为PC 的中点，此时n <－2或1<n <3，则PM ＝CM ，即n ＋2＝－(2n 2－8n ＋6)，整理得2n 2－7n ＋8＝0，此方程没有实数解；(Ⅱ)若P 点为CM 的中点，此时，n >4或－2<n <12，则PM ＝PC ，CM ＝2PM ，即2n 2－8n ＋6＝2(n ＋2)，整理得n 2－5n ＋1＝0，解得n 1＝5＋212，n 2＝5－212，n 1，n 2均满足条件；(Ⅲ)若C 点为PM 的中点，此时12<n <1或3<n <4，则PC＝CM ，PM ＝2CM ，即n ＋2＝2(2n 2－8n ＋6)，整理得4n 2－17n ＋10＝0，解得n 1＝17＋1298，n 2＝17－1298，n 1，n 2均满足条件．综上所述，n 的值为5±212或17±1298.类型二 面积数量关系/最值问题1. 解：(1)∵抛物线经过原点O ， ∴设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ，把点A (－4，0)，B (4，8)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＝016a ＋4b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝14x 2＋x ；(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2＋xy ＝kx ＋4，消去y ，得14x 2＋(1－k )x －4＝0，∴x 1＋x 2＝4(k －1)，x 1x 2＝－16，∵1x 2－1x 1＝22， ∴（x 1＋x 2）2－4x 1x 2（x 1x 2）2＝12， 即16（k －1）2＋64256＝12， 解得k ＝3或k ＝－1，经检验都符合题意，∴k 的值为3或－1；(3)∵OB ∥PC ，S △POC ∶S △BOC ＝1∶2，∴PC ∶OB ＝1∶2，∵B (4，8)，∴OB ＝45，直线OB 的解析式为y ＝2x ，∴PC ＝25，设点P 的坐标为(a ，14a 2＋a )(－4＜a ＜0)，直线PC 的解析式为y ＝2x ＋t ， 把P (a ，14a 2＋a )代入y ＝2x ＋t ，整理得t ＝14a 2－a ， ∴直线PC 的解析式为y ＝2x ＋14a 2－a ， 易得直线AB 的解析式为y ＝x ＋4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4y ＝2x ＋14a 2－a ， 解得x ＝4＋a －14a 2， ∴PC ＝5(x C －x P )＝5×(4＋a －14a 2－a )＝25， 解得a ＝22(舍去)或a ＝－22，将a ＝－22代入抛物线的解析式，得y ＝14×(－22)2－22＝2－22， ∴点P 的坐标为(－22，2－22)．2. 解：(1)把点A (9，－6)代入y ＝mx ＋3中，得m ＝－1，∴直线的函数表达式为y ＝－x ＋3；∵抛物线的顶点C 的坐标是(4，－11)且过点A (9，－6)，设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －4)2－11，∴a (9－4)2－11＝－6，解得a ＝15，∴抛物线的函数表达式为y ＝15(x －4)2－11＝15x 2－85x －395； (2)设点D 的横坐标为n .∵抛物线对称轴为直线x ＝4，∴分两种情况讨论①当0＜n ＜4时，如解图①，过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，则D (n ，15n 2－85n －395)，E (n ，－n ＋3)， ∴DE ＝－n ＋3－(15n 2－85n －395)＝－15n 2＋35n ＋545， ∴S △ABD ＝S △BDE ＋S △ADE ＝12DE ·(x E －x B )＋12DE ·(x A －x E ) ＝12DE ·(x A －x B )＝12(－15n 2＋35n ＋545)×9＝812， 解得n 1＝3－352(不合题意，舍去)，n 2＝3＋352(不合题意，舍去)；第2题解图①②当n ＜0时，如解图②，过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，S △ABD ＝S △ADE －S △BDE ＝12DE ·(x A －x E )－12DE ·(x B －x E )＝12DE ·(x A －x B )＝12(－15n 2＋35n ＋545)×9＝812， 解得n 1＝3－352，n 2＝3＋352(不合题意，舍去)． 当n ＝3－352时，y ＝15×(3－352)2－85×3－352－395＝35－152. ∴D (3－352，35－152)；第2题解图②(3)在y 轴上存在一点P ，使∠APC ＝45°，如解图③，分别过点C 、A 作y 轴、x 轴的平行线，两线交于点G ，则∠CGA ＝90°，∵A 、C 的坐标分别为(9，－6)，(4，－11)，∴点G 的坐标为(4，－6)．∴GA ＝GC ＝5.作以G 为圆心，GA 的长度为半径的圆，交y 轴于点P ，P ′，连接AP 、CP 、AP ′、P ′C ，此时∠APC ＝∠AP ′C ＝12∠CGA ＝45°， ∴GP ＝5.设点P 的坐标为(0，k )，过点G 作GH ⊥y 轴于点H ，则H (0，－6)．在Rt △PGH 中，PH 2＋HG 2＝PG 2，即(k ＋6)2＋42＝52，解得k 1＝－3，k 2＝－9，∴P (0，－3)，P ′(0，－9)．第2题解图③类型三 特殊三角形存在性问题1. 解：(1)∵抛物线的顶点C 在x 轴的正半轴上，∴4ac －b 24a ＝16－（m ＋2）24＝0， 解得m ＝2或－6，∵顶点在x 轴正半轴上，∴－m ＋22>0.解得m <－2， ∴m ＝－6，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋4；(2)如解图①，过点C 作抛物线的对称轴，交直线AB 于点D ，由y ＝x 2－4x ＋4得抛物线的对称轴是直线x ＝2，则D (2，4)，DC ＝4.在点D 上方的抛物线的对称轴上取一点E ，使DE ＝2DC ，则E (2，12)．连接AE ，BE ，则S △ABE ＝2S △ABC .过点E (2，12)作直线AB 的平行线交抛物线于点P 1，P 2，此时满足S △P AB ＝S △ABE ＝2S △ABC .设直线P 1P 2的函数表达式为y ＝x ＋k ，∵点E (2，12)在直线P 1P 2上，∴2＋k ＝12，∴k ＝10.∴直线P 1P 2的函数表达式为y ＝x ＋10.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋10y ＝x 2－4x ＋4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝9或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6y 2＝16， 综上所述，满足条件的点P 的坐标为(－1，9)，(6，16)；第1题解图①(3)设A ′(x 1，y 1)，B ′(x 2，y 2)，显然，∠P A ′B ′≠90°.①如解图②，当∠A ′B ′P ＝90°时，过点B ′作直线MN ∥y 轴，A ′M ⊥MN 于点M ，PN ⊥MN 于点N ， ∵直线A ′B ′的解析式是y ＝x ＋t ，∴∠B ′A ′M ＝45°，∴△A ′B ′M 和△PB ′N 都是等腰直角三角形，∴PN ＝NB ′，∴x 2＋1＝9－y 2，即x 2＋y 2＝8，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8y 2＝x 2＋t ， 解得⎩⎨⎧x 2＝4－12ty 2＝4＋12t ， 将点(4－12t ，4＋12t )代入抛物线的函数表达式，得4＋12t ＝(4－12t )2－4×(4－12t )＋4. 解得 t 1＝0，t 2＝10(此时点A ′与点P 重合，舍去)；第1题解图②如解图③，若∠A′PB′＝90°，过点P作EF∥y轴，A′E⊥EF于E，B′F⊥EF于点F，则△A′EP∽△PFB′，∴A′EPE＝PFB′F.∴x1＋19－y1＝y2－9x2＋1.∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝9(y1＋y2)－y1y2－81，令x2－4x＋4＝x＋t，即x2－5x＋4－t＝0，则x1＋x2＝5，x1x2＝4－t，y1＋y2＝(x1＋t)＋(x2＋t)＝x1＋x2＋2t＝5＋2t，y1y2＝(x1＋t)(x2＋t)＝x1x2＋t(x1＋x2)＋t2＝t2＋4t＋4，∴(4－t)＋5＋1＝9(5＋2t)－(t2＋4t＋4)－81，整理得t2－15t＋50＝0，解得t1＝5，t2＝10(此时A′与P重合，舍去)，综上，t的值为0或5.第1题解图③类型四特殊四边形存在性问题1. 解：(1)∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状，大小均相同，∴a＝1，n＝－3，∴C1的对称轴为直线x＝1，∴C2的对称轴为直线x＝－1，∴m＝2，∴C 1的函数表达式为y ＝x 2－2x －3，C 2的函数表达式为y ＝x 2＋2x －3＝0，在C 2的函数表达式y ＝x 2＋2x －3中，当y ＝0可得x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或x ＝1，∴A (－3，0)，B (1，0)；(2)根据题意可得点D 的坐标为(0，－3)，设直线AD 的表达式为y ＝kx ＋b .把(0，－3)和(－3，0)代入到y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3－3k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3k ＝－1， ∴直线AD 的表达式为y ＝－x －3，设P (a ，a 2＋2a －3)，则E (a ，－a －3)，则PE ＝－a －3－(a 2＋2a －3)＝－a 2－3a ，根据对称可得四边形PEDE ′是菱形，则DE ′＝PE ＝－a 2－3a ， 如解图，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ，∵ED ∥PE ′，ED 所在直线斜率k ＝－1∴∠E ′＝∠AEF ＝45°，GE ′＝－a ，PG ＝GE ′.在Rt △PGE ′中，根据勾股定理得：PE ′＝－2a ，根据菱形性质可得：PE ′＝DE ′， ∴－2a ＝－a 2－3a ，解得a ＝2－3，∴P (2－3，2－42)；第1题解图(3)存在．∵AB 的中点为(－1，0)，且点G 在抛物线C 1上，点Q 在抛物线C 2上，∴AB 只能为平行四边形的一边，∴GQ ∥AB 且GQ ＝AB ，由(1)可知AB ＝1－(－3)＝4，∴GQ ＝4，设G (t ，t 2－2t －3)，则Q (t ＋4，t 2－2t －3)或(t －4，t 2－2t －3)，①当Q (t ＋4，t 2－2t －3)时，则t 2－2t －3＝(t ＋4)2＋2(t ＋4)－3，解得t ＝－2，∴t 2－2t －3＝4＋4－3＝5，∴G (－2，5)，Q (2，5)；②当Q (t －4，t 2－2t －3)时，则t 2－2t －3＝(t －4)2＋2(t －4)－3，解得t ＝2，∴t 2－2t －3＝4－4－3＝－3，∴G (2，－3)，Q (－2，－3)，综上可知，存在满足条件的点G 、Q ，其坐标为G (－2，5)，Q (2，5)或G (2，－3)，Q (－2，－3)．类型五 相似三角形问题1. 解：(1)把点A 、B 、D 的坐标分别代入抛物线的解析式中得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝09a －3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a＝－1， ∴点C 的坐标为(－1，4)；(2)如解图①，过点C 作CE ∥AD 交抛物线于点E ，交y 轴于点T ，则△ADE 与△ACD 面积相等，直线AD 过点D ，设其解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得：0＝－3m ＋3，解得m ＝1，则直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∵CE ∥AD ，设直线CE 的解析式为y ＝x ＋n ，将点C 的坐标代入上式得：4＝－1＋n ，解得n ＝5，则直线CE 的解析式为y ＝x ＋5，则点T 的坐标为(0，5)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋5， 解得x ＝－1或x ＝－2(x ＝－1为点C 的横坐标)，即点E 的坐标为(－2，3)；在y 轴取一点H ′，使DT ＝DH ′＝2，过点H ′作直线E ′E ″∥AD ，则△ADE ′和△ADE ″都与△ACD 面积相等，同理可得直线E ′E ″的解析式为y ＝x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋1， 解得x ＝－3±172， ∴点E ″、E ′的坐标分别为(－3＋172，－1＋172)、(－3－172，－1－172)， 综上，满足要求的点E 的坐标为(－2，3)或(－3＋172，－1＋172)或(－3－172，－1－172)；第1题解图①(3)如解图②，设点P 的坐标为(m ，n )，则n ＝－m 2－2m ＋3，把点C 、D 的坐标代入一次函数的解析式y ＝kx ＋b 得：⎩⎪⎨⎪⎧4＝－k ＋b b ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝3， 即直线CD 的解析式为y ＝－x ＋3，由(1)得，直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∴AD ⊥CD ，而直线PQ ⊥CD ，故直线PQ 的解析式中的k 值与直线AD 的解析式中的k 值相同， 同理可得直线PQ 的解析式为y ＝x ＋(n －m )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3y ＝x ＋（n －m ）， 解得x ＝3＋m －n 2， 即点Q 的坐标为(3＋m －n 2，3－m ＋n 2)， 则PQ 2＝(m －3＋m －n 2)2＋(n －3－m ＋n 2)2＝（m ＋n －3）22＝12(m ＋1)2·m 2， 同理可得：PC 2＝(m ＋1)2[1＋(m ＋1)2]，AH ＝2，CH ＝4，则AC ＝25， 当△ACH ∽△CPQ 时，PC PQ ＝AC CH ＝52，即4PC 2＝5PQ 2，整理得3m 2＋16m ＋16＝0，解得m ＝－4或m ＝－43， ∴点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)； 当△ACH ∽△PCQ 时，同理可得，点P 的坐标为(－23，359)或(2，－5)， 综上所述，点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)或(－23，359)或(2，－5)．。

二次函数压轴题命题规律总结：二次函数压轴题是近10年必考题型，考查题位均在第23题，分值均为11分：其中7次是二次函数与一次函数、几何图形的综合题，3次是二次函数单独与几何图形的综合题，且涉及的图形多为三角形和特殊四边形，未涉及到圆；考查类型有：线段问题、面积问题，等腰三角形问题，直角三角形问题，平行四边形问题，三角形相似问题和角度问题，除2017、2012、2011和2009年是两问，且第二问里有两小问，其他年份均为3问；第一小问多以待定系数法求二次函数解析式；线段问题包括线段的数量关系，线段长的关系式及最值和周长的关系式及最值；面积问题包括三角形面积的关系式及最值；此类题题目多涉及数形结合和分类讨论思想。

类型一 线 段 问 题●典例精析◇例题1◇.如图，抛物线y=21x 2－bx ＋c 与直线l ：y=43x －1交与A （4， 2）、B （0，-1）。

（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为直线l 下方的抛物线上的动点，过点D 作DE ∥y 轴交l于点E，作DF⊥l于点F，设点D的横坐标为t。

①用含t的代数式表示DE的长②求DE的最大值，DF的最大值③设RT△DEF的周长为p，求p与t的函数关系式，并求出p的最大值及此时点D的坐标。

总结：1.用点坐标表示线段长度：先在图中找到对应线段，分清已知点和未知点，再联系二次函数和一次函数，设出未知点坐标，使其只含有一个未知数；继而表示出线段长度，如果该线段与坐标轴平行则利用横纵坐标相加减确定，如果与坐标轴不平行的话，先转化到有边与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或者三角形相似确定。

2.一条线段的最值问题，根据前面所得的点坐标表示线段长度，通过运用配方法或运用二次函数的性质求最值，从而得到线段的最值。

3.线段数量关系问题：根据前面所得的用点坐标表示线段长度，结合题干列出满足线段数量关系的方程，解方程即可。

4.两条线段和的最小值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，最常见的图形就是“将军饮马模型”。