03反比例函数全章复习

北师大版初三数学上册《反比例函数》全章复习与巩固(知识讲解及例题演练)

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第 4 页 由于反比例函数kyx中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对xy、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.

要点三、反比例函数的图象和性质

1.反比例函数的图象

反比例函数0kykx的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．

要点诠释：

观察反比例函数的图象可得：x和y的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．

①)0(kxky的图象是轴对称图形，对称轴为xyxy和两条直线；

②)0(kxky的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；

第 5 页 ③xkyxky和(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x轴对称，也关于y轴对称.

注：正比例函数xky1与反比例函数xky2，

当021kk时，两图象没有交点；当021kk时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.

2.反比例函数的性质

（1）图象位置与反比例函数性质

当0k时，xy、同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小；当0k时，xy、异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大.

（2）若点(ab，)在反比例函数kyx的图象上，则点（ab，）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.

（3）正比例函数与反比例函数的性质比较

正比例函数 反比例函数

解析式

图

像 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线）

位 0k，一、三象限； 0k，一、三象限

第 6 页 置 0k，二、四象限 0k，二、四象限

1 学习课题：17．1．1反比例函数的意义 学生：

学习内容：教材P39－40

学习目标：1、理解并掌握反比例函数的概念。

2、能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式。

3、能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想。

学习重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式

学习难点：理解反比例函数的概念。

学习准备：1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？

2、体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？

学习过程：

一、探索研讨

【活动1】

问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？

(1)京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t（单位:h）随该列车平均速度v（单位:km/h）的变化而变化；_________________

（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长为y随宽x的变化；_________________

（3）已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有的土地面积S(平方千米/人)随全市总人口数n（单位：人）的变化而变化。_________________

上面的函数关系式，都具有_____________的形式，其中_________是常数。

【活动2】

下列问题中，变量间的对应关系可用这样的函数式表示吗？

（1）一个游泳池的容积为2000m3,注满游泳池所用的时间随注水速度u的变化而变化；_________________

（2）某立方体的体积为1000cm3，立方体的高h随底面积S的变化而变化；

_________________

（3）一个物体重100牛顿，物体对地面的压力p随物体与地面的接触面积S的变化而变化。_________________

反比例函数

知识整理

1、反比例函数的概念

一般地，函数xky（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1kxy的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质

当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。

当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，随x 的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定

确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数xky中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义

如下图，过反比例函数)0(kxky图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PM•PN=xyxy•。

kSkxyxky,,。

考点一、反比例函数的性质

【例1】已知反比例函数10yx，当1

（A）010

【举一反三】

1、已知y是x的反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式

2、已知一次函数y1=kx+b（ky2时，实数x的取值范围是( )

A．x<－l或O3 D．O

A B C D

考点典例二、反比例函数图象上点的坐标特征

【例2】（2015自贡）若点（1x，1y），（2x，2y），（3x，3y），都是反比例函数xy1图象上的点，并且1230yyy，则下列各式中正确的是（ ）

1 9（上）第五章 反比例函数复习（一）

一、 反比例函数的定义

例1 下列函数中是反比例函数的是（ ）

A y=x+1, B y=x8, C y= —2x, D y=2x2

【说明】本题的四个选项呈现了一次函数、反比例函数、正比例函数（也是一次函数）、二次函数的表达形式，应让学生会识别、区分它们。

本题答案：B

例2 已知函数12yyy，1y与x成正比例，2y与x成反比例，且当1x时，1y；当3x

时，5y．求y关于x的函数关系式．

【说明】由于正比例函数定义式是y=kx,反比例函数定义式是y=xk,两式都使用了字母k,受此影响，学生解答此题时易犯的错误是：设y1=kx、设y2=xk，而本题中的正比例和成反比例的比例系数未必相同，因此应设y1=k1x、设y2=xk2，以示两个比例系数的不同。尽管本题最后结论y关于x的函数关系式是复合函数的形式，但这类型的题目还是比较常见的，有时也会考到这种题型，还是建议在复习中作补充训练。

本题答案：y=2x-x3

二、 反比例函数的图像和性质

例3（1）图象经过点（2，-3）的反比例函数是（ ）

A y= -x6 B y=x6 C y= x23 D y=-x23

(2) 已知反比例函数y=xk的图象经过点（2，3），那么下列在函数的图象上的点是（ ）

A (4,1) B (21,-1) C (-23，-11) D (-3 ,-21)

【说明】本例是已知图像上一点的坐标，用待定系数法确定反比例函数解析式。

例4（1）已知反比例函数21myx的图象在一，三象限，那么m的

取值范围是______________．

（2）已知反比例函数xm21－＝y的图像上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜0＜x2是，有y1＜y2．则m的取值范围是（ ）．Ａ．m＜0， B．m＞0，Ｃ．ｍ＜21，Ｄ．ｍ＞21