反比例函数专题复习

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反比例函数专题复习

【课标要点】

1．掌握反比例函数的图象及性质；

2．会求反比例函数的解析式；

3．会画反比例函数的图象．

【知识网络】

定义反比例函数的概念图象性质

第1讲反比例函数

【知识要点】

1、一般地，函数kyx或10ykxk叫做反比例函数．

2、反比例函数图象的特点：

⑴当0k时，图象位于一、三象限，在每一象限内，y随x增大而减小．

⑵当0k时，图象位于二、四象限，在每一象限内，y随x增大而增大．

【典型例题】

例1 已知2212,mmymmx

⑴如果y是x的正比例函数，求m的值；

⑵如果y是x的反比例函数，求m的值．

分析：根据正比例函数和反比例函数的概念，正比例函数要满足ykx中x的指数为1，又要满足系数0,k而反比例函数1ykx须满足x的指数为-1，且系数0.k

解：⑴若y是x的正比例函数，由题意知：

2211;20.mmmm 解得：2,10,2mmmm或且所以1.m 故若y是x的正比例函数，则1.m

⑵若y是x的反比例函数，由题意知：

2211;20.mmmm 解得：0,10,2mmmm或且所以1.m

故若y是x的反比例函数，则1.m

例2.的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：

x -2 -1 12 12 1

y 23 2 -1

⑴写出这个反比例函数的表达式；

⑵根据函数表达式完成上表.

分析：已知y是x的反比例函数，根据图表中给出的信息求出反比例函数0,kykx此问题的关键在于确定k的值.

解：⑴设反比例函数为0,kykx当1x时，2,y得122.kxy

所以反比例函数为2yx.

⑵利用函数表达式把已知的x或y的值代入表达式，即可解出未知x或y的值.从左到右依次填：23,1,4,4,2,2,.3

例3 如图19-1-1，

已知一次函数,0ykxbk的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数,0mymx的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若 1.OAOBOD

⑴求点,,ABC的坐标；

⑵求一次函数和反比例函数的解析式.

分析：⑴由1OAOBOD及点所在的坐标轴的特征，直接写出,,ABD三点坐标.

先由,AB点坐标确定一次函数的解析式，然后求出C点坐标，最后确定反比例函数的解析式.

解：⑴∵1OAOBOD，∴1,0,0,1,1,0ABC.

⑵∵1,0,0,1AB在一次函数0ykxbb的图象上，

∴01kbb 解得：11kb

∴一次函数解析式为：1.yx

∴C点在一次函数1yx的图象上，且CDx轴. ∴点C的坐标为（1，2）.

又∵C点在反比例函数myx0m的图象上，∴将C（1，2）点代入myx，得2.m

∴反比例函数的解析式为2.yx

【知识运用】

一、选择题

1.在下列函数中，反比例函数是（）

.A113yx .B3xy .C2yx .D2112yx

2.已知y与x成反比例，当x增加20%时，y将（）

.A减少20% .Bx增加20% .C减少80% .D约减少16.7%

3.点A为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，到x轴的距离为3，若点A在第二象限内，则这个反比例函数的解析式为（）

.A12yx .B12yx .C112yx .D112yx

4.反比例函数myx的图象的两个分支在第二、四象限，则点,2mm在（）

.A第一象限 .B第二象限 .C第三象限 .D第四象限

二、填空题 5.已知函数ykx的图象经过点2,6，则函数kyx的解析式为 .

6. 已知y与成反比例，并且当2x时，1,y则当12y时，x的值为

7.已知反比例函数21,ayx当a 时，其图象在一、三象限内，当a 时，其图象在第二、四象限内，y随x增大而增大.

三、解答题

8.已知反比例函数,0kykx与一次函数0ymxnm的图象都经过点3,1，并且在12x时，这两个函数的函数值相等，求出这两个函数的解析式.

9.如图，已知,AB两点是反比例函数2yx 0x的图象上任意两点，过,AB两点分别作y轴的垂线，垂足分别是,CD，连结,,.ABAOBO 求梯形ABDC的面积与AOB的面积是多少？

第2讲反比例函数的应用

【知识要点】

1.反比例函数的应用就是指运用反比例函数的概念、性质去解决实际问题，因此必须要通过对题目的阅读理解抽象出实际问题的函数关系，再利用反比例函数的思想去解决.

2.应注意以下几个问题：⑴在反比例函数关系中，xyk（定值）；⑵在实际问题中：0x.

【典型例题】

例1一定质量的氧气，它的密度3/kgm是它的体积3Vm的反比例函数，当310Vm时， 31.43/.kgm

⑴ 求与V的函数关系式；

⑵求当32Vm时，氧气的密度.

分析：由题意知：kV，把V、的已知数值代入即可求出常数k，再把32Vm代入即可求出.

解：⑴设kV，当310Vm时，31.43/.kgm

∴1.4310k， ∴14.3.k

∴与V的函数关系是14.3V.

⑵当32Vm时，314.37.15/2kgm，

当32Vm时，氧气的密度为37.15/.kgm

例2 已知：正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数kyx 0,0kx的图象上，点,Pmn是函数kyx 0,0kx的图象上的任意一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为,.EF并设矩形OABC不重合的部分的面积为,S如图19-2-1所示.

⑴求B点的坐标和k的值； ⑵当92S时，求P点的坐标；

⑶写出S与m之间的函数关系式.

分析：⑴先根据面积求出B点坐标，再根据函数图象过这点求出k的值；⑵由于图形不定应当讨论.

解：⑴根据题意得：93,BCAB∴B点的坐标为3,3.

把3,3xy代入kyx中，得9.k

⑵∵,Pmn在函数9yx上，∴9.OEPFSmn矩形

①当03n时，如图19-2-2所示，由已知得993,2Sn解得：3.2n

∴6,m即点1P的坐标为36,.2

②当3n时，如图19-2-2所示，由已知得993,2Sm解得：3.2m

∴6,n即点2P的坐标为3,6.2

⑶①如图19-2-3所示，当03m时，∵点P的坐标为,mn，且点P在9yx上，

∴9,mn由已知得：3,OEPFSm矩形∴9303.Smm

②如图19-2-4所示，当3m时，同理可得：9,mn∴2793.Smm 【知识运用】

一、选择题

1．若点3,4是反比例函数221mmyx图象上一点，则此函数图象必经过点（）

.A2,6 .B2,6 .C4,3 .D3,4

2．如图19-2-5，是一个反比例函数在第三象限的图象，若A是图象上任意一点，AMx

轴，垂足为M，O是原点，如果△AOM 的面积是8，那么这个反比例函数的关系式为（）

.A16yx .B8yx .C16yx .D8yx

3．如图，19-2-6，,AB是函数1yx的图象上关于原点O的任意一对对称点，AC平行于x

轴，BC平行于y轴，△ABC得面积是S，则（）

.A1S .B2S .C12S .D2S

4．如图19-2-7，某个反比例函数经过点P，则它的解析式是（）

.A10yxx .B10yxx .C10yxx .D10yxx

二、填空题

5．已知一次函数4yx和反比例函数2yx相交于,AB两点，则,AB两点的坐标分别是 .

6．若反比例函数3kyx和正比例函数21ykx的图象无交点，则k的取值范围是

7．如图19-2-8，点P是反比例函数kyx第二象限内的一点，过P点分别作x轴、y轴的垂线，垂足为,MN，若矩形OMPN的面积为5，则k

三、解答题

8．已知一次函数32yxk的图象与反比例函数3kyx的图象相交，其中一个交点的纵坐标为6，求一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标.

9．已知如图19-2-9，在Rt△ABO中，顶点A是双曲线kyx与直线1yxk在第二象限的交点，ABx轴于B，且3.2ABOS

⑴求这两个函数的解析式；

⑵求直线与双曲线的两个交点,AC的坐标和△AOC的面积.

反比例函数专题测试

一、填空题

1．写出一个图象经过点1,1的反比例函数解析式 .

2．若一次函数图象经过反比例函数4yx图象上两点1,m和,2n，则这个一次函数的解析式 .

3．有一面积为60的梯形，其上底是下底长的13，若下底的长为x，高为y，则y与x的函数关系式是 .

4．已知反比例函数kyx的图象与直线2yx和1yx的图象过同一点，则当0x时，这个反比例函数的函数值随x的增大而 .（增大或减小）

5．已知反比例函数231xymx的图象在二、四象限，则m的值为 .

6．反比例函数kyx的图象经过点,Pmn，其中,mn是一元二次方程240xkx的两个根，那么点P的坐标是 .

7．写出一个图象不经过第二、四象限的反比例函数的解析式 .

8．已知y与21x成反比例，且1x时，2y，那么当0x时，y .

二、选择题

9．已知一次函数ykxb的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数kbyx的图象在（）

.A第一、二象限 .B第三、四象限 .C第一、三象限 .D第二、四象限

10．反比例函数20kykx的图象的两个分支分别位于（）

.A第一、二象限 .B第一、三象限 .C第二、四象限 .D 第一、四象限

反比例函数(基础)知识讲解

反比例函数（基础）

【学习目标】

1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．

2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．

3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．

【要点梳理】

要点一、反比例函数的定义

如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xyk，或表示为kyx，其中k是不等于零的常数.

一般地，形如kyx (k为常数，0k)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，定义域是不等于零的一切实数.

要点诠释：（1）在kyx中，自变量x是分式kx的分母，当0x时，分式kx无意义，所以自变量x的取值范围是，函数y的取值范围是0y.故函数图象与x轴、y轴无交点；

（2）kyx ()可以写成()的形式，自变量x的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.

（3）kyx ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k，从而得到反比例函数的解析式.

要点二、确定反比例函数的关系式

确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数kyx中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对xy、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.

用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：

（1）设所求的反比例函数为：kyx (0k)；

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；

（3）解方程求出待定系数k的值；

（4）把求得的k值代回所设的函数关系式kyx 中.

要点三、反比例函数的图象和性质

1、反比例函数的图象特征：

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.

2019北京中考专题复习--反比例函数

你的态度决定你的能力

反比例函数·专题精讲 Page 1 of 6 知识梳理反比例函数的定义一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y＝ kx（k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数，自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数值的范围也是一切非零实数。 1．反比例函数y＝ kx 中的 kx 是一个分式，所以x≠0函数与x轴、y轴无交点． 2．反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k. 3. 反比例函数解析式还可以写成y=kx−1 (k≠0)的形式。反比例函数的图象和性质反比例函数y＝kx(k≠0)的图象总是关于y=±x成轴对称，关于原点成中心对称. 它的位置和性质受k的符号的影响． (1) k＞0⇔图象(双曲线)的两个分支分别在一、三象限，如图①所示．图象自左向右是下降的 ⇔ 当x＜0或x＞0时，y随x的增大而减小(或y随x的减小而增大)． (2) k＜0⇔图象(双曲线)的两个分支分别在二、四象限，如图②所示．图象自左向右是上升的 ⇔ 当x＜0或x＞0时，y随x的增大而增大(或y随x的减小而减小)． (3) k的绝对值越大，曲线弯曲度越小，离原点越远； k的绝对值越小，曲线弯曲度越大，离原点越近。反比例函数解析式的确定—待定系数法 a．设出含有待定系数的函数关系式； b．把已知点坐标代入解析式，得到关于待定系数的关系式； c．解方程求出待定系数． d．写出函数解析式。反比例函数你的态度决定你的能力

反比例函数·专题精讲 Page 2 of 6 反比例函数中比例系数K的几何意义反比例函数y＝kx(k≠0)中k的几何意义：双曲线y＝kx(k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为|k|. 理由：如图 ① 和② ，过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PA、PB所得的矩形PAOB的面积S＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|；∵ y＝kx，∴ xy＝k，∴ S＝|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形面积均为|k|，同理可得S△OPA＝S△AOB＝12 |xy|＝12 |k|. 典例精讲例、如图，已知反比例函数y＝kx与一次函数y＝x＋b的图象在第一象限相交于点A(1，－k＋4)． ①试确定这两个函数的表达式； ②求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．你的态度决定你的能力

反比例函数专题复习

反比例函数复习

1、反比例函数的定义

判断下列说法是否正确

2.求反比例函数的解析式

2.1 例2：已知变量y与x成反比例，且当x=2时y=9，写出y与x之间的函数解析式.

2.2已知y与z成正比例,z与x成反比例,当x=-4时,z=3,y=-4.求:

(1)Y关于x的函数解析式;

(2)当z=-1时,x,y的值.

3反比例函数的图像和性质

反比例函数xky(k≠0)的图象中，两支曲线都与x轴、y轴不相交；并且当0k时，图象在第一、第三象限内，函数值y随自变量x取值的增大而减小；当0k时，图象在第二、第四象限内，函数值y随自变量x取值的增大而增大。

反比例函数xky(k≠0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。

反比例函数xky与xky (k≠0)的图象关于直角坐标系的x轴成轴对称。

通过对反比例函数图像的分析，探究反比例函数的增减性。

教学难点：

由于受小学反比例关系增减性知识的负迁移，又由于反比例函数图像分成两条分支，给研究函数的增减性带来复杂性。

当时，在内，随的增大而．yx0kxyO0k0kxyO33()xy，AB11()xy，22()xy，CD44()xy，AB11()xy，22()xy，CD33()xy，44()xy，减少每个象限当时，在内，随的增大而．yx0k增大每个象限

.)3(.)2(.)()(,20)1(22的反比例函数是为常量时，，当，周长为，宽为矩形的长为成正比例与中，圆的面积公式的反比例函数是变量，变量和相邻的两条边长分别为一矩形的面积为baCCbarsrsxycmycmxcm

4反比例函数中的面积问题

利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题

设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|

反比例函数专题

专题复习：反比例函数

一、热身练习

1、如图，函数y＝k（x＋k）与xky在同一坐标系中，图象只能是下图中的（）

2、如右图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数221kkyx的图象上。若点A的坐标为（－2，－2），则k的值为（）

A．1 B．－3 C．4 D．1或－3

3、如右图，是反比例函数1=kyx和2=kyx（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB=2，则k2-k1的值是_________.

4、已知反比例函数xy2，下列结论正确．．的是 ①．y随x的增大而增大 ②．图象必经过点(-1,2) ③．图象在第二、四象限内 ④．若x＞1，则02y

5、过反比例函数y=xk(k≠0)图象上一点A，分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为B,C，如果⊿ABC的面积为3.则k的值为 .

6、已知函数ymmxmm()21222是一次函数，它的图象与反比例函数ykx的图象交于一点，交点的横坐标是13，则此反比例函数的解析式是

7、对于反比例函数4yx，当函数值y≥－2时，自变量x的取值范围是___________

8、如图，反比例函数y1=k1x和正比例函数y2=k2x 的图象交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，若k1x＞k2x，则x的取值范围是

9、如图，在直角坐标系中,直线xy6与双曲线xxy(4>0)的图象相交于点A,B,设点A的坐标为(1,1yx),那么长为1x，宽为1y的矩形面积和周长为．

小结：（方法、存在的问题等）

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