2019-2020学年湖南省长沙九年级上册期末数学试卷
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2019-2020学年湖南省长沙九年级上册期末数学试卷
题号
一
二
三 总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 一元二次方程𝑥2+4𝑥=2配方后化为( )
A. (𝑥+2)2=6 B. (𝑥−2)2=6 C. (𝑥+2)2=−6 D. (𝑥+2)2=−2
2. 如图所示，△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸//𝐵𝐶，𝐴𝐷=5，𝐴𝐵=10，𝐷𝐸=6，则BC的值为( )
A. 6
B. 12
C. 18
D. 24
3. 抛物线𝑦=2(𝑥−3)2的顶点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上
4. 如图，△𝐴𝐵𝐶是⊙𝑂的内接三角形，AC是⊙𝑂的直径，∠𝐶=50°，∠𝐴𝐵𝐶的平分线BD交⊙𝑂于点D，则∠𝐵𝐴𝐷的度数是( )
A. 45°
B. 85°
C. 90°
D. 95°
5. 如图，已知∠𝐴𝐶𝑃=∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐶=4，𝐴𝑃=2，则AB的长为( )
A. 8
B. 3√2
C. 16
D. 4
6. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，∠𝐵的平分线交AC于𝐷.则𝐴𝐵−𝐵𝐶𝐴𝐷=( ) 第2页，共25页 A. sinB
B. cosB
C. tanB
D. cotB
7. 若抛物线𝑦=𝑥2−3𝑥+𝑐与x轴的一个交点的坐标为(−1,0)，则该抛物线与x轴的另一个交点的坐标为( )
A. (−4,0) B. (−1,0) C. (1,0) D. (4,0)
8. 如图，在边长为1的小正方形网格中，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△𝐴𝐵𝐶内部的概率是( )
A.
12
B.
34
C. 38
D. 716
9. 已知函数𝑦=𝑘𝑥−𝑏的图象如图所示，则一元二次方程𝑥2+𝑥+𝑘−𝑏=0根的情况是( )
A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 不确定
10. 如图，某个反比例函数的图象经过点P，则它的解析式为( )
A. 𝑦=1𝑥(𝑥>0)
B. 𝑦=−1𝑥(𝑥>0)
C. 𝑦=1𝑥(𝑥<0)
D. 𝑦=−1𝑥(𝑥<0)
11. 如图，在矩形纸片ABCD中，𝐴𝐵=3，𝐵𝐶=2，沿对角线AC剪开(如图①)；固定△𝐴𝐷𝐶，把△𝐴𝐵𝐶沿AD方向平移(如图②)，当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离𝐴𝐴′为 第3页，共25页
① ②
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 0.8或1.2
12. 抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+3(𝑎≠0)过𝐴(4,4)，𝐵(2,𝑚)两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0<𝑑≤1，则实数m的取值范围是( )
A. 𝑚≤2或𝑚≥3 B. 𝑚≤3或𝑚≥4
C. 2<𝑚<3 D. 3<𝑚<4
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 等腰△𝐴𝐵𝐶两边的长分别是一元二次方程𝑥2−9𝑥+18=0的两个根，则这个等腰三角形的周长是___________．
14. 某火车站的显示屏，每隔4分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续一分钟，某人到达该车站时显示屏上正好显示火车班次信息的概率是______．
15. 如图，AB是⊙𝑂的直径，弦𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点E，若𝐴𝐵=10，𝐶𝐷=8，则𝐵𝐸=______．
16. 如图，在直角坐标系中有菱形OABC，A点的坐标为(10,0)，对角线OB、AC相交于点D，双曲线𝑦=𝑘𝑥(𝑥>0)经过点D，交BC的延长线于点E，且𝑂𝐵⋅𝐴𝐶=160，则点E的坐标为____．
17. 如图，点P、Q分别是正方形ABCD中边CD和AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿𝑃→𝐷→𝑄运动，点E、第4页，共25页 F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△𝐴𝐸𝐹的面积为y，y与x的大致函数图象如图所示，则△𝐴𝐸𝐹的最大面积为______．
三、解答题（本大题共8小题，共69.0分）
18. 计算：(13)−2−(𝜋−√7)0+|√3−2|+6𝑡𝑎𝑛30°．
19. 如图，正方形ABCD中，E为AD的中点，𝐹𝐺⊥𝐵𝐸于点E，交BC的延长线于点G．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐸∽△𝐷𝐸𝐹；
(2)若正方形的边长为4，求△𝐵𝐸𝐺的面积．
20. 一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字1，2，3，除所标数字不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀，再随机摸出一个第5页，共25页 小球．用画树状图(或列表)的方法，求两次摸出的小球所标数字之和大于4的概率；
21. 某商店将每件进价为80元的某种商品按每件110元出售，每天可售出100件．该商店想通过降低售价、增加销售量的方法来提高利润．经市场调查，发现这种商品每件每降价5元，每天的销售量可增加50件．设商品降价x元，每天销售该商品获得的利润为y元．
(1)求𝑦(元)关于𝑥(元)的函数关系式，并标出x的取值范围；
(2)求当x取何值时y有最大值？并求出y的最大值；
(3)若要使每天销售利润为3750元，且尽可能最大的向顾客让利，应将该商品降价多少元？
22. 如图，在一滑梯侧面示意图中，𝐵𝐷//𝐴𝐹，𝐵𝐶⊥𝐴𝐹于点C，𝐷𝐸⊥𝐴𝐹于点𝐸.𝐵𝐶=1.8𝑐𝑚，𝐵𝐷=0.5𝑚，∠𝐴=45°，∠𝐹=29°．
(1)求滑道DF的长(结果精确到0.1𝑚)． 第6页，共25页 (2)求踏梯AB底端A与滑道DF底端F的距离𝐴𝐹(结果精确到0.1𝑚)．
参考数据：𝑠𝑖𝑛29°=0.48，𝑐𝑜𝑠29°=0.87，𝑡𝑎𝑛29°=0.55．
23. 如图在平面直角坐标系中，直线𝑦=−1 2 𝑥+2分别与x，y轴交于点B、A两点，与反比例函数的图象分别交于点C、D两点，𝐶𝐸⊥𝑥轴于点E，点E坐标为(−2,0)。
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)连接OD，求△𝑂𝐵𝐷的面积。
24. 如图，在⊙0中，直径𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，垂足为E，点C在⊙0上，点M在OC上，AM的延长线交⊙0于点G，交过c的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N． 第7页，共25页
(1)求证：CF是⊙0的切线；
(2)求证：△𝐴𝐶𝑀∽△𝐷𝐶𝑁；
(3)若点M是CO的中点，⊙𝑂的半径为4，cos∠𝐵𝑂𝐶=14，求BN的长
25. 如图，已知抛物线𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与x轴的一个交点为𝐵(4,0)，另一个交点为A，且与y轴交于点𝐶(0,4)．
(1)求直线BC与抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作𝑀𝑁//𝑦轴交直线BC于点N，当MN的值最大时，求△𝐵𝑀𝑁的周长．
(3)在(2)的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为𝑆1，△𝐴𝐵𝑁的面积为𝑆2，且𝑆1=4𝑆2，求点P的坐标． 第8页，共25页
第9页，共25页 答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成(𝑥+𝑚)2=𝑛的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
先把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方式即可．
【解答】
解：∵𝑥2+4𝑥=2，
∴𝑥2+4𝑥+4=2+4，
∴(𝑥+2)2=6，
故选A．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理得到△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【解答】
解：∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，
∴𝐷𝐸𝐵𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐵，即6𝐵𝐶=55+10，
解得，𝐵𝐶=18，
故选：C．
3.【答案】C
第10页，共25页 【解析】解：∵函数𝑦=2(𝑥−3)2的顶点为(3,0)，
∴顶点在x轴上．
故选C．
二次函数的一般形式中的顶点式是：𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘(𝑎≠0，且a，h，k是常数)，它的对称轴是𝑥=ℎ，顶点坐标是(ℎ,𝑘)．
本题主要是考查二次函数的对称轴，顶点坐标的求法．
4.【答案】B
【解析】解：∵𝐴𝐶是⊙𝑂的直径，
∴∠𝐴𝐵𝐶=90°，
∵∠𝐶=50°，
∴∠𝐵𝐴𝐶=40°，
∵∠𝐴𝐵𝐶的平分线BD交⊙𝑂于点D，
∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐶=45°，
∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐷𝐵𝐶=45°，
∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐶𝐴𝐷=40°+45°=85°，
故选：B．
根据圆周角定理以及推论和角平分线的定义可分别求出∠𝐵𝐴𝐶和∠𝐶𝐴𝐷的度数，进而求出∠𝐵𝐴𝐷的度数．
本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的性质和判定，能根据相似三角形的判定定理推出△𝐴𝐶𝑃∽△𝐴𝐵𝐶是解此题的关键．
根据相似三角形的判定推出△𝐴𝐶𝑃∽△𝐴𝐵𝐶，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．
【解答】
解：∵∠𝐴𝐶𝑃=∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴=∠𝐴，
∴△𝐴𝐶𝑃∽△𝐴𝐵𝐶，
