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初中数学奥林匹克训练题4(试卷)

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1、 初中数学奥林匹克训练题（4）

第一试

一、填空题

1、一个直角三角形的两条直角边长为ba,满足不等式

31634192622bbaa，

则这个直角三角形的斜边长为

2、数812934756是一个包含1至9每个数字恰好一次的九位数，它具有如下性质：数字1至6在其中是从小到大排列的，但是数字1至7不是从小到大排列的．这样的九位数共有

______________个．

3、对每一个正整数k，设kak1211，则

49493212500)99753(aaaaa

等于______________

4、集合7,6,5,4,3,2,1S的五元子集共有21个，每个子集的数从小到大排好后，取出中间的数，则所有这些数之和是（ ）

4、函数32)(2xxxf，若axf)(＜2恒成立的充分条件是21x，则实数a的取值范围是

．

5、在直角坐标平面上，正方形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（12，19）、（3，22），则顶点B、D的坐标分别为 ．（A、B、C、D依逆时针顺序排列）

6、方程10033100yx的正整数解),(yx有 组．

7、正整数集合kA的最小元素为1，最大元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k的等差数列，则并集1759AA中的元素个数为

8、若实数,xy满足：1031031031031,125263536xyxy，则xy .

9、把一个长方体切割成k个四面体，则k的最小值是 .

2、 10、将各位数码不大于3的全体正整数m按自小到大的顺序排成一个数列na，则2007a ．

二、解答题

1、已知二次函数cbxaxxf2)(和一次函数bxxg)(，其中cba,,满足cba，0cba，),,(Rcba．

（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A、B；

（2）求线段AB在x轴上的射影11BA的范围。

2、设有n个银圈，大小不同，从大到小排列在三根金棒中的一根。这些银圈要搬到另一根金棒上，每次搬一个。第三根金棒作为银圈暂时摆放用。在搬动过程中，仍要保持大圈在下，小圈在上，问要搬动多少次，才能将所有银圈从一根棒搬到另一根，且搬完后银圈相对位置不变？

3、 3、一个多面体共有偶数条棱，试证：可以在它的每条棱上标上一个箭头，使得对每个顶点，指向它的箭头数目是偶数。

4、设凸四边形ABCD的面积为1，求证在它的边上（包括顶点）或内部可以找到四个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积均大于41。

4、 初中数学奥林匹克训练题（4）

第二试

1、对每个正整数n，定义函数

.]}{1[,0)(不为平方数当为平方数当nnnnf

（其中[x]表示不超过x的最大整数，])[}{xxx。试求：2401)(kkf的值。

2、在世界杯足球赛前，F国的教练员为了考察A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7这七名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场比赛90分钟)中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且A1、A2、A3、A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，A5、A6、A7每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除．如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？

5、

3、对正整数n，记()fn为数231nn的十进制表示的数码和．

(1) 求()fn的最小值；

(2) 是否存在一个正整数n，使得()fn=100？

4、求满足如下条件的最小正整数n，在圆O的圆周上任取n个点12,,,nAAA，则在2nC个角(1)ijAOAijn中，至少有2011个不超过120．

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数学奥林匹克初中训练题(172)

数学奥林匹克初中训练题(172)

中等数学　

广“　“—　—　“１　ｉ课外训练ｌ　Ｌ，．，，，＿．＾，．．＾　．＿＾，－＿、．．＿．√　

蟹　蔻渤　删艨篷（１７２）　

中图分类号：Ｇ４２４．７９　文献标识码：Ａ　文章编号：１００５—６４１６（２０１４）１１—００４０—０３　

第一试　

一、选择题（每小题７分，共４２分）　

１．已　２　一３＝　ｘ一　ｙ　ｘ、ｙ鹊　有理数）．则　—Ｙ＝（　）．　

１　（Ａ）÷　（Ｂ）÷　（ｃ）ｌ　（Ｄ）２　二　二　２．用若干个２×３×５的小长方体按相同方向　

拼成一个棱长为９０的正方体．则该正方体的一条　

对角线穿过的小长方体有（　）个．　

（Ａ）６６　（Ｂ）２２　（Ｃ）６８　（Ｄ）２４　

３．已知０≤口、ｂ、ｃ≤１．则　

口　ｂ　Ｃ　＋　＋　

的最大值为（　）．　

２　（Ａ）１　（Ｂ）２　（ｃ）３　（Ｄ）÷　

４．方程３　＋４　＋５　＝６　的解有（　）个．　

（Ａ）３　（Ｂ）２　（Ｃ）１　（Ｄ）０　Ｓ．设　、Ｙ为实数．则代数式　２　。＋４　＋５ｙ　一４　＋２ｙ一５　

的最小值为（　）．　

（Ａ）一８　（Ｂ）８　（Ｃ）０　（Ｄ）一１０　６．在平面直角坐标系内，已知四个定点　

Ａ（－３，０），ＪＢ（１，一１），Ｃ（０，３），Ｄ（－１，３）及一个动　

点Ｐ．则Ｉ　Ｉ＋ｌ　Ｐ　ｌ＋Ｉ　ＰＣ　ｌ＋Ｉ　ＰＤ　Ｉ的最小值为　

（　）．　

（Ａ）４√２　（Ｂ）３　＋２４＇－５　

（ｃ）５　（Ｄ）２√２＋３　

二、填空题（每小题７分，共２８分）　

１．设７２　ｌ　ａ６７９ｂ．则ｎ＋ｂ＝　．　

２．若三个非零实数　、Ｙ、ｚ满足　（Ｙ—ｚ）、　

Ｙ（ｚ一　）、ｚ（Ｙ—　）成等比数列，则其公比为　３．不等式——　＝＝＿　（１一，／１＋２　）　

＿＿＿＿＿＿＿＿＿。＿。。＿，。＿＾●，＿一●　４．如图１，在平面直角　

坐标系中，矩形ＡＯＢＣ的　

顶点Ａ、　的坐标分别为　

Ａ（０，４），　（４　，０），作点　

Ａ关于直线Ｙ：ｋｘ（ｋ＞０）　

的对称点Ｐ．若△ＰＯＢ为　＜２ｘ＋９的解集为　

图１　

数学奥林匹克初中训练题(161)

数学奥林匹克初中训练题(161)

３８　中等数学　

数蟹奥滁　蔻渤　铷拣毽（１６１）　

中图分类号：Ｇ４２４．７９　文献标识码：Ａ　文章编号：１００５—６４１６（２０１３）Ｏｌ一００３８—０４　

第一试　

一、选择题（每小题７分，共４２分）　１．某计算机系统在同一时间只能执行一　

项任务，且完成该任务后才能执行下一项任　

务．现有三项任务　、　、　的时间分别为　１０　ｓ，１２０　ｓ和９００　ｓ，一项任务的相对等待时　

间为提交任务到完成该任务的时间与计算机　系统执行该任务的时间之比．则下面四种执　

行顺序中使三项任务相对等待时问之和最小　的执行是（　）．　

（Ａ）　、　、　（Ｂ）Ｖ、Ｗ、Ｕ　

（Ｃ）　、　、　（Ｄ）　、　、　２．如图１，Ｃ、Ｄ是线段ＡＢ上两点，已知　

图中所有线段的　长度都是正整数，　

且总和为２９．则　

ＡＢ：（　）．　Ｃ　Ｄ　

圈１　

（Ａ）７（Ｂ）９（Ｃ）１１（Ｄ）１３　３．如图２，在菱形纸片ＡＢＣＤ中，已知　

４　６Ｏ。，将纸片折　，Ｄ　叠让点Ａ、Ｄ分别落　，，，，　＼、　Ｆ　

Ｄ　处ＥＦ，　Ａ　ｃ　

经过点Ｂ，　为折　—　丫　

痕・当Ｄ　，上ＣＤ时，　图２　

ＣＦ＝（　）．　

（Ａ）‘－　２　（Ｂ）　（ｃ）　（Ｄ）　

４．如图３，以点　（一５，０）为圆心、４为半　

径的圆与　轴交于Ａ、　两点，Ｐ是。　上异　于　、　的一动点，直线　、朋分别与Ｙ轴交　

于点ｃ、Ｄ，以∞为直径的ｏⅣ与　轴交于点　Ｅ、Ｆ．则ＥＦ＝（　）．　

Ａ＼　层　Ｆ　＼＼＼　／／／　

Ｄ　

ｌ　ｊ　（Ａ）４　（Ｂ）４　（Ｃ）６　

（Ｄ）以上均不对　５．对任意两两不等的三个实数ｎ、ｂ、Ｃ，　

下列五个等式中，正确的有（　）个．　

①　＋　＋　

：０；　（Ｃ一６）（ａ—ｂ）　

②　＋　氯　＋　

：４；　（Ｃ一６）（ａ—ｂ）　。　

③　＋　茕　＋

　２０１３年第１期　３９　

（！±　！：　一１．　（ｃ一６）（口一ｂ）一　’　

④　＋　熹鸶＋　

（！±　＝　！：　一０．　（ｃ—ｂ）（０一ｂ）一　’　

⑤　＋　蓑％＋　

＋口＋　一１　（ｃ—ｂ）（口一ｂ）一　’　

数学奥林匹克初中训练题(170)

数学奥林匹克初中训练题(170)

４０　

数蟹　滁　删稼篷（１７０）　

中图分类号：Ｇ４２４．７９　文献标识码：Ａ　文章编号：１００５—６４１６（２０１３）１０—００４０—０７　

第一试　

一、填空题（每小题８分，共６４分）　

１．已知　

Ａ＝｛　ｌ　一４ｘ＋３＜０，　∈Ｒ｝，　

Ｂ＝｛　Ｉ２　一　＋口≤０，　一２（ａ＋７）　＋５≤　

０，　∈Ｒ｝．　

若Ａ　Ｂ，则实数ａ的取值范围是　

２．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐　

标轴上，点Ｐ（一２，０）到其渐近线的距离为　

．触Ｐ作斜率为譬的直线与双曲线交　中等数学　

于　、　两点，与Ｙ轴交于点肘．若Ｐ　是　

与ＰＢ的等比中项，则双曲线的半焦距为　

３．在棱长为１的正方体ＡＢＣＤ—　

Ａ　Ｂ。Ｃ　Ｄ　中，已知０　是底面Ａ　Ｂ。Ｃ，　的中　

心，Ｍ是棱ＢＢ１上的点，且Ｓ△朋Ｍ：Ｓ△ｏ　Ｍ＝　

２：３．则四面体０　ＡＤＭ的体积为——．　

４．已知．厂（　）满足　

，　１、　）＋　ｌ：ｌ＋　（　≠０，１）．　Ｉ　巾　Ｉ　则ｇ（　）＝Ｘ一　）的值域是——．　

５．已知正数ａ、ｂ、ｃ满足　

ａ≤ｂ＋ｃ≤３口。３ｂ　≤ａ（ａ＋Ｃ）≤５６　．　

８　

由ＣＧ上ＡＢ　ＥＣ上ＣＧ　

ＥＭ＝ＥＧ＝２　．　

由　ＥＡＰ＝６０。ｊ　ＥＰ＝√３，ＡＰ＝１．　

散ｐＭ＝√Ｅ　一Ｅ　＝　

ＡＭ＝ＰＭ—ＡＰ＝　一１　

＝　ＢＭ＝ＡＢ—ＡＭ＝２一（√Ｓ一１）＝３一√５　

易知，点　、Ⅳ关于直线ＢＥ对称．　

于是，ＢＮ＝ＢＭ＝３一　，且ＭＮｆｆＡＣ．　

则△ＢＭＮ为等边三角形．　

故ｒ＝　ａｎ３０ｏ＿　．　三、因为方程①的判别式为　

△　＝（一８ｎ）　一４×４（一３ｎ一２）　

＝（８ｎ＋３）　＋２３＞０，　

所以，方程①有两个不同的实根Ｏ／。、　卜　

由韦达定理得　

（　１一卢１）　＝（　１＋／３１）　一４ａ１卢１　

＝４ｎ　＋３ｎ＋２．　

由方程②得　

［　一（２ｎ＋２）］［　＋（ｎ一１）］＝０．　①　

若４ｎ　＋３ｎ＋２是方程①的整数根，代入得　

（４ｎ　＋　）（４ｎ　＋４ｎ＋１）＝０　

ｎ＝０，一　１，一　１．　

数学奥林匹克初中训练题(90)

数学奥林匹克初中训练题(90)

２００６年第８期　３７　

●课外训拣●　

数学奥林匹克初中训练题（９ｏ）　

第一试　

一、选择题（每小题７分，共４２分）　

１．已知Ａ＝一　

Ｂ＝——　

Ｃ＝一　２　０ｏｌ×２　０ｏ２×２　０ｏ３　２　０Ｏ４×２　０ｏ５×２　００６’　

２　０ｏｌ×２　００３×２　０ｏ５　２　０ｏ２×２　０Ｏ４×２　ｏｏ６’　

２　０ｏｌ×２　００３×２　００６　２　０ｏ２×２　０Ｏ４×２　０ｏ５　

则　、　、Ｇ的大小关系是（　）．　

（Ａ）Ａ＞Ｂ＞Ｃ　（Ｂ）Ｃ＞Ｂ＞Ａ　

（Ｃ）Ｂ＞Ａ＞Ｃ　（Ｄ）Ｂ＞Ｃ＞Ａ　

２．已知￣／　。＋２　００８＋￣／　一２　００６＝　

２　００７．则　

３　０１３、／／Ｘ２—２　００６—３　００５、／／Ｘ２＋２　００８　

的值为（　）．　

（Ａ）２　００８（Ｂ）２　ＯＯ９（Ｃ）２　０１０（Ｄ）２　０１ｌ　

３．如图ｌ，点Ｄ、Ｅ分　

别在△ＡＢＣ的边ＡＣ、ＡＢ　

上，ＢＤ、ＣＥ相交于点Ｄ，　

△０ＢＥ、△０ＢＣ、△ＯＣＤ　

的面积分别为ｌ５、３０、２４．　

则ＡＥ：ＢＥ＝（　）．　图１　

（Ａ）５：２　（Ｂ）２：ｌ　（ｃ）５：４　（Ｄ）９：５　

４．已知Ｏｔ、口是方程　一　一２　００６＝０的　

两根．则代数式　

２　００６　，　、　＋■—下ｚ．￣　ｖｖｖ　Ｌ　。　

译　

（Ａ）一ｌ　（Ｂ）０　（Ｃ）ｌ　（Ｄ）２　００６　

５．已知在平面直角坐标系ｘｏｙ中的两　

点　（３，１），Ｂ（一３，一５），在　轴上找一点Ｐ，　使ｌ　ＰＡ—ＰＢ　ｌ的值最大．则ｌ　ＰＡ—ＰＢ　ｌ的最大　

值为（　）．　

（Ａ）４　（Ｂ）５　（Ｃ）２　（Ｄ）５　

６．点Ｐ在平面直角坐标系中的坐标为　

（ａ，ｂ），ａ、ｂ满足　

ｆ（ａ＋ｂ）　。（ｂ＋ａ）　＝（ａ＋ｂ）　，　①　

【（ａ—ｂ）　。　（ａ—ｂ　６－２ｂ＝（ｎ—ｂ）　．②　

则点Ｐ在平面直角坐标系中的位置有　

（　）个．　

（Ａ）ｌ一４　（Ｂ）５或６　

（Ｃ）７或８　（Ｄ）９—１２　

二、填空题（每小题７分，共２８分）　

１．已知ｋ为无理数，６　‘＞０，