初中数学奥林匹克训练题(四)及答案

初中数学奥林匹克竞赛题4套带详解

初中数学奥林匹克竞赛是挑战数学天赋和才能的绝佳场所。这种竞赛是为那些对数字和逻辑有天赋和兴趣的人所设计的。无论是追求数学事业，还是成为一名数学家，初中数学奥林匹克竞赛都是一个巨大的机会，可以开阔思维和向高级数学的道路迈进。本文所述的四套初中数学奥林匹克竞赛题带有详细解析，可供所有有兴趣的人参考学习。

第一套试题：平方和

试题：假设我们有两个正整数 a 和 b。如果我们写一个等式 a²

+ b² = 130, 请问这个方程有多少对正整数解？

解析：通过对题目的分析，我们发现 a 和 b 都是小于等于 11

的正整数，因为如果是大于 11，它们的平方数之和会大于 130。我们可以用双重循环解决这个问题：

```

ans = 0

for a in range(1, 12): for b in range(1, 12):

if a * a + b * b == 130:

ans += 1

print(ans)

```

第二套试题：比率

试题：如果 3 个大苹果的重量等于 4 个小苹果的重量，又知道

3 个小苹果重量等于 2 个中等苹果的重量，那么问：如果要将 20

个中等苹果与其中 $x$ 个大苹果混合，让它们的重量相等，求出

$x$ 的值。

解析：我们可以用比率法解决这个题目。首先，根据第一个给出的条件，我们有：

```

3a = 4b

```

其中，$a$ 是大苹果的重量，$b$ 是小苹果的重量。然后，根据第二个条件，我们可以得到：

```

3b = 2c

```

其中，$c$ 是中等苹果的重量。现在我们只需要将 $a$ 和

$c$ 的比率相等，即：

```

a / c = 20x / (20 - x)

```

通过简单的代数运算，我们可以得到：

```

60x = 80(20 - x) x = 16

```

因此，我们需要加入 $16$ 个大苹果。

- 1 - 数学奥林匹克高中训练题（32）

第一试

一、选择题（本题满分36分,每小题6分）

1．(训练题32)设k为整数,则22221997199719971997(1)(1)(1)(1)kkkkkkk的值为(B)．

(A) -4或-2 (B) -2或0 (C) 0或2 (D) 2或4

2．(训练题32)ABC的三边长,,abc满足2,2bcaacb. 则ba取值范围是(C)．

(A)(0,) (B)5151(,)22 (C)1(,2)2 (D)(0,2)

3．(训练题32)正方体八个顶点的两两连线中,异面直线共有(C)对．

(A)114 (B)138 (C)174 (D)228

4．(训练题32)以椭圆22221xyab的长轴为底的内接梯形最大面积是(A)．

(A)ab433 (B)ab23 (C)263a (D)283a

5．(训练题32)集合{1,2,3,,18}S的五元子集112345{,,,,}Saaaaa中,任何两元素之差不为1．这样子集1S的个数为(D)．

(A)417C (B)415C (C)513C (D)514C

6．(训练题32)如图,从A到B（方向只能从左右或从下上或从左下右上）,不同走法路线种数为(D)．

(A)16 (B)18 (C)20 (D)22

二、填空题（本题满分54分,每小题9分）

1．(训练题32)能被9整除且商恰是各位数字平方和的三位数是 315 ．

中等数学　

广“　“—　—　“１　ｉ课外训练ｌ　Ｌ，．，，，＿．＾，．．＾　．＿＾，－＿、．．＿．√　

蟹　蔻渤　删艨篷（１７２）　

中图分类号：Ｇ４２４．７９　文献标识码：Ａ　文章编号：１００５—６４１６（２０１４）１１—００４０—０３　

第一试　

一、选择题（每小题７分，共４２分）　

１．已　２　一３＝　ｘ一　ｙ　ｘ、ｙ鹊　有理数）．则　—Ｙ＝（　）．　

１　（Ａ）÷　（Ｂ）÷　（ｃ）ｌ　（Ｄ）２　二　二　２．用若干个２×３×５的小长方体按相同方向　

拼成一个棱长为９０的正方体．则该正方体的一条　

对角线穿过的小长方体有（　）个．　

（Ａ）６６　（Ｂ）２２　（Ｃ）６８　（Ｄ）２４　

３．已知０≤口、ｂ、ｃ≤１．则　

口　ｂ　Ｃ　＋　＋　

的最大值为（　）．　

２　（Ａ）１　（Ｂ）２　（ｃ）３　（Ｄ）÷　

４．方程３　＋４　＋５　＝６　的解有（　）个．　

（Ａ）３　（Ｂ）２　（Ｃ）１　（Ｄ）０　Ｓ．设　、Ｙ为实数．则代数式　２　。＋４　＋５ｙ　一４　＋２ｙ一５　

的最小值为（　）．　

（Ａ）一８　（Ｂ）８　（Ｃ）０　（Ｄ）一１０　６．在平面直角坐标系内，已知四个定点　

Ａ（－３，０），ＪＢ（１，一１），Ｃ（０，３），Ｄ（－１，３）及一个动　

点Ｐ．则Ｉ　Ｉ＋ｌ　Ｐ　ｌ＋Ｉ　ＰＣ　ｌ＋Ｉ　ＰＤ　Ｉ的最小值为　

（　）．　

（Ａ）４√２　（Ｂ）３　＋２４＇－５　

（ｃ）５　（Ｄ）２√２＋３　

二、填空题（每小题７分，共２８分）　

１．设７２　ｌ　ａ６７９ｂ．则ｎ＋ｂ＝　．　

２．若三个非零实数　、Ｙ、ｚ满足　（Ｙ—ｚ）、　

Ｙ（ｚ一　）、ｚ（Ｙ—　）成等比数列，则其公比为　３．不等式——　＝＝＿　（１一，／１＋２　）　

＿＿＿＿＿＿＿＿＿。＿。。＿，。＿＾●，＿一●　４．如图１，在平面直角　

坐标系中，矩形ＡＯＢＣ的　

顶点Ａ、　的坐标分别为　

Ａ（０，４），　（４　，０），作点　

Ａ关于直线Ｙ：ｋｘ（ｋ＞０）　

的对称点Ｐ．若△ＰＯＢ为　＜２ｘ＋９的解集为　

图１　

３８　中等数学　

数蟹奥滁　蔻渤　铷拣毽（１６１）　

中图分类号：Ｇ４２４．７９　文献标识码：Ａ　文章编号：１００５—６４１６（２０１３）Ｏｌ一００３８—０４　

第一试　

一、选择题（每小题７分，共４２分）　１．某计算机系统在同一时间只能执行一　

项任务，且完成该任务后才能执行下一项任　

务．现有三项任务　、　、　的时间分别为　１０　ｓ，１２０　ｓ和９００　ｓ，一项任务的相对等待时　

间为提交任务到完成该任务的时间与计算机　系统执行该任务的时间之比．则下面四种执　

行顺序中使三项任务相对等待时问之和最小　的执行是（　）．　

（Ａ）　、　、　（Ｂ）Ｖ、Ｗ、Ｕ　

（Ｃ）　、　、　（Ｄ）　、　、　２．如图１，Ｃ、Ｄ是线段ＡＢ上两点，已知　

图中所有线段的　长度都是正整数，　

且总和为２９．则　

ＡＢ：（　）．　Ｃ　Ｄ　

圈１　

（Ａ）７（Ｂ）９（Ｃ）１１（Ｄ）１３　３．如图２，在菱形纸片ＡＢＣＤ中，已知　

４　６Ｏ。，将纸片折　，Ｄ　叠让点Ａ、Ｄ分别落　，，，，　＼、　Ｆ　

Ｄ　处ＥＦ，　Ａ　ｃ　

经过点Ｂ，　为折　—　丫　

痕・当Ｄ　，上ＣＤ时，　图２　

ＣＦ＝（　）．　

（Ａ）‘－　２　（Ｂ）　（ｃ）　（Ｄ）　

４．如图３，以点　（一５，０）为圆心、４为半　

径的圆与　轴交于Ａ、　两点，Ｐ是。　上异　于　、　的一动点，直线　、朋分别与Ｙ轴交　

于点ｃ、Ｄ，以∞为直径的ｏⅣ与　轴交于点　Ｅ、Ｆ．则ＥＦ＝（　）．　

Ａ＼　层　Ｆ　＼＼＼　／／／　

Ｄ　

ｌ　ｊ　（Ａ）４　（Ｂ）４　（Ｃ）６　

（Ｄ）以上均不对　５．对任意两两不等的三个实数ｎ、ｂ、Ｃ，　

下列五个等式中，正确的有（　）个．　

①　＋　＋　

：０；　（Ｃ一６）（ａ—ｂ）　

②　＋　氯　＋　

：４；　（Ｃ一６）（ａ—ｂ）　。　

③　＋　茕　＋

　２０１３年第１期　３９　

（！±　！：　一１．　（ｃ一６）（口一ｂ）一　’　

④　＋　熹鸶＋　

（！±　＝　！：　一０．　（ｃ—ｂ）（０一ｂ）一　’　

⑤　＋　蓑％＋　

＋口＋　一１　（ｃ—ｂ）（口一ｂ）一　’