数学奥林匹克高中训练题(4)
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２０ 中等数学
数学奥林匹克高中训练题（４）
第一试
一、选择题（每小题６分，共３６分） ｌ－如果一个ｎ面体中ｍ个面是直角三
角形，就说这个ｎ面体的直度为 ．如果一 ，‘ 个ｎ（ｎ≥４）面体的直度为ｌ，棱数为ｋ，那么，
ｎ与ｋ应满足（ ）．
（Ａ）ｋ＝３ｎ
（Ｃ） ： ４ ｎ ｊ （Ｂ） ： ｎ
（Ｄ）ｋ＝２ｎ
２．如图１，Ｐ为△ＡＢＣ 内一点，且满足ＡＰ＝
了２仙＋ＩＡＣ．则△
的面积与△ＡＢＣ的面积 Ｂ Ｃ
之比为（ ）． Ｉ Ｉ
（Ａ） （Ｂ）吾 （ｃ）寻 （Ｄ）詈
３．设函数
… ｓｉｎ（ ＋；） ＋ Ｊｒ（ ）
＝—
的最大值为Ｍ，最小值为ｍ．则Ｍ与ｍ满足
（ ）．
（Ａ） ＋ｍ＝２ （Ｃ）Ｍ—ｍ＝２ ４．如图２，过双曲
线 一Ｙ ２＝ｌ（０＞０，ｂ “ ｔ， ＞０）的左焦点Ｆ作圆
＋Ｙ ＝ａ 的切线，切 点为７’，延长刀交双
曲线右支于点Ｐ．若线 （Ｂ） ＋ｍ＝４ （Ｄ）Ｍ—ｍ＝４
Ｊ ‘
Ｆ 。
闭２ 段ＰＦ的中点为Ｍ，０为坐标原点，则Ｉ ＯＭ ｓ满足ｓ： 二 ，且／ｃ既不是
｛ ：
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个半平面相切．另有一个更大的球Ｄ和该二
面角的两个半平面也都相切，同时与球Ｏ。
和球Ｄ 相外切．那么，球Ｏ的半径Ｒ＝
４．若 、ｙ∈［一２ ００６，２ ００６］，且满足 ｌ＋ｃｏｓ２（２ ＋３ｙ—１） ＋ｙ２＋２（１＋ ）（１一Ｙ） 一一一— —Ｙ＋ｌ 一一’
则 的最小值是——．
５．在平面直角坐标系中，圆Ｃ。与圆Ｃ
相交于点Ｐ、Ｑ，其中点Ｊｐ的坐标为（３，２），两
圆半径的乘积为 ．若直线ｙ： （ｋ＞０）和
轴均与圆Ｃ。和圆Ｃ 相切，则ｋ＝——．
６．已知函数 （ ）＝志．定义函数
（ ）＝ （Ｊｒ（厂“ （ ）．）…）， ■＿＿＿＿‘，， －－・一 （ｘ）的反函数为 ‘（ｘ）．则
（ ）＿
三、（２０分）一个袋子中装有ｍ个红球和
／＇ｔ个白球（ｍ＞／＇ｔｔ＞４），它们除颜色不同外，其 余都相同．现从中任取两个球．
（１）若取出两个红球的概率等于取出一 红一白两个球的概率的整数倍，求证：ｍ必 为奇数；
（２）若取出两个球颜色相同的概率等于
取出两个球颜色不同的概率，求满足ｍ＋／＇ｔ
≤４０的所有数组（ｍ，／＇ｔ）．
四、（２０分）如
图３，Ａ。、Ａ 是椭 ２ ２ 圆 ＋ ＝ｌ（口 “ ＞ｂ＞０）的左、右 顶点， （ｍ，０）（ｍ
＞ｔ／．）为 轴上一
定点．过点Ｍ的 Ｉ ／
尸 ： ｉ ——一 ，
【刳３
直线交椭圆于不同的两点Ａ、Ｂ，直线 Ａ和 ２ Ａ．Ｂ与定直线１： ＝ 交于Ｐ、Ｑ两点．设 。 ｍ Ａ（ ｌ，ＹＩ）、Ｂ（ ２，Ｙ２）、Ｐ（Ｘ３，Ｙ３）、Ｑ（Ｎ４，Ｙ４）．
求证： ＋ ：一１＋１． ）Ｉ Ｙ２ Ｙ３ Ｙ４ 五、（２０分）设２ ００６个实数０。，ｔ／． ，…，
ａ＇２ ｏｌ｝６满足
ｔ／．Ｉ＋了ａ２＋…＋ ｔ／＇２丽００６＝ ４，
了ｔ／．Ｉ＋百ａ２＋…＋ ｔ／．２ ￣６＝了４，
寻＋了ａ２＋…＋ ｔ／＇２ ００６ ＝ ４，
ｔ／．Ｉ ｔ／．２ ｔ／．２ｔｘＪ６ ４ ＋——＋…＋８－—— ４—０—１３２ ００７ ２ ００８ ４ ０１２ ４ ０１’● ● ● ’
求代数式
号＋ ＋雩＋…＋
的值．
第二试
一、（５０－分）如图４．Ｇ、 是△ＡＢＣ内两
点，且满足／ＡＣＧ＝
（ ， Ｇ ＝ ／ＢＡＨ．过点Ｇ分别作 ＧＤ上ＢＣ，ＧＥ上ＣＡ，ＧＦ
上ＡＢ，垂足分别为Ｄ、
、 ．若 ＤＥＦ＝９０￣， 求证： 为△ＢＤＦ的
垂心． 图４
二、（５０分）求证：存在唯一的正整数数
列ｔ／．１，ｔ／．２，…，使得
ｔ／．１＝１，ｔ／．２＞１，
。 ＋ｔ（ｎｎ＋ｔ—１） ２一ｌ Ｖ“ｎ“ｎ＋ 一Ｉ １－Ｉ （／＇ｔ＝ｌ，２，…）．
三、（５０分）对由／＇ｔ个Ｐ、／＇ｔ个Ｑ和／＇ｔ个Ｒ 排成的行，在其下面重新定义一行（比上面一
行少一个字母）．若其头上的两个字母不同， 则在该位置写上第三个字母；若其头上的两 个字母相同，则在该位置写上该字母．对新得
到的行重复上面的操作，直到变为一个字母 维普资讯 http://www.cqvip.com ２２ 中等数学
为止．图５给出了Ｐ Ｒ Ｑ Ｒ Ｑ Ｐ
ｎ：２的一个例子． Ｑ Ｐ Ｐ Ｐ Ｒ 求所有的正整 Ｒ Ｐ Ｐ Ｑ 数ｎ，使得对任意 Ｑ Ｐ Ｒ 的初始排列，经上 Ｒ Ｑ
述操作后，所得到 图５ 的三角形的三个顶
点上的字母要么全相同，要么两两不同．
参考答案
第一试
一 １．Ｂ． 因为ｎ面体的直度为１，所以，它的ｎ个面都是 直角三角形．又因为 面体的每个面含有三条棱，
且每条棱属于两个面，故２ｋ：３ｎ，即．Ｉ｝：要ｎ．
２．ｎ
如图６，设ＡＭ：÷仙， Ｊ １ ＡＮ： １ ＡＣ，贝０ ＡＰ：ＡＭ＋ Ｊ ＡＮ．由平行四边形法则知 ＭＰ ＡＣ ＮＰ ｆＡＢ． 过点Ｐ作ＢＣ的平行 线，分别交ＡＢ、ＡＣ于点 、 Ｉ冬Ｉ ６
ｃ ．￣Ｉ，ＩＡ船ｃ与△Ａ船边 上的高之比为 （或
ＡＣ、＂，设 ＜１）．故
由相似三角形的性质得 ： ＭＰ，即
仙一Ａ 一日 日ＡⅣ 一ＡＣ—ＡⅣ一Ｃ Ｃ’ ３
： Ｃ＇Ｃ． 专仙 Ａｃ一
所以， ３— ５ ：一４ ５＿．
解得 ：ｌ（舍去）， ：吾．
小 等 ：
因为ｇ（ ）： 为奇函数，Ｈｆ（ ）存在 最大值和最小值，所以， ）也存在最大值 和最 小值ｍ ，且 ＋ｍ ：０． 故肘＋ｍ：（＾ ＋１）＋（ｍ ＋１）：２． ４．Ｃ． 设双曲线的右焦点为 ，则 Ｉ ＰＦＩ：Ｉ Ｐ Ｉ＋２口． 因为Ｉ ＰＦＩ：２Ｉ ＭＦＩ，Ｉ ＰＦ＇Ｉ：２Ｉ ＯＭＩ，所以， Ｉ ＭＦＩ：Ｉ ＯＭＩ＋口． 在Ｒｔ Ａ ＯＴＦ中，因为
Ｉ Ｉ：￣／Ｉ Ｄ，Ｉ 一Ｉ ＯＴＩ ：ｂ． 所以．Ｉ ＭＦＩ：Ｉ ＭＴＩ＋Ｉ ＴＦＩ：Ｉ ＭＴＩ＋ｂ． 于是，Ｉ ＭＴＩ＋ｂ：Ｉ ＯＭＩ＋口，即 Ｉ ＯＭＩ—Ｉ ＭＴＩ：ｂ—ｏ． ５．Ｂ．
不妨设０＜ＺＡ≤ ｃ≤ 日＜ ，则
＜ Ａ＋ ｃ≤２ ｃ≤ Ｃ＋ Ｂ＜ ．
从而，号＜ ｃ＜号．
～丛 ：
： ：４ｔａｎ Ｃ
÷ ｎ Ｃ
在（号，号）上是增函数，所以，
４ｔａｎ詈＜ｋ＜４ｔａｎ号．
故４（√２一１）＜．Ｉ｝＜４．
６．Ｃ． 设有三个正数口ｌ、口２、 （口Ｉ＜ａ，ｚ＜ｎ３）．
若口。＋口 ≤ｎ３，则这三个数不能构成三角形的 三边．为使 最小，取口。＋口２：ｎ３． 令口Ｉ：４，口２：５，口３：口Ｉ＋ａ，ｚ：９，…，
口 ：口 一Ｉ＋口 一２，…（ｉ≥３）， 可得一个非三角数集 Ａ：｛口 Ｉ ：ｌ，２，…｝． 显然，Ａ的任一子集均不是三角数集．Ａ中最小 的ｌ０个元素组成的子集为
Ａ０：｛４，５，９，１４，２３，３７，６０，９７，１５７，２５４｝． 所以．ｍ＜２５４． 若将Ａ。中的任一元素换成４到２５３中的非Ａ。 的任一其他正整数，由此得到的新的ｌ０元子集都是 三角数集．
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故ｍ的最大可能值为２５３．
二 １．１ｌ１． 由题设得ｎ６ｃ： ，且ｂ ＝ｎｃ．所以，ｂ：３６． 又６一。为一完全平方数，所以，ｎ可取值为 ＩＩ，２０，２７，３２． 经检验，只有ｏ＝２７符合题意．此时，ｃ：４８． 故ｎ＋６＋ｃ＝２７＋３６＋４８：ＩＩＩ． ２．１０，／５．
注意到直线ｚ ：ｘ一 Ｙ＝０也过点Ａ，所以，Ａ 为直线Ｚ与ｚ 的交点． 可行域如图７中 △ＡＯＢ阴影部分（含边 界）所示． 设直线ｉ的倾斜角为 口，贝Ｕ ＡＢＯ：Ⅱ一口．在 △ＡＯＢ中，１ ０４Ｉ：１０． 由正弦定理得 网７
１０＝２０测ａ＝詈．
所以， ：ｔａｎ ，得ｍ：一 ． ｍ Ｏ 。 又直线１过点ａ（５，／３，５）．所以，
５，／３＝一，／５×５＋ｎ．解得ｎ：１０，／５．
３．丁５＋，／５５． 如图８．易知 三个球的球心Ｏ、 Ｏ．、Ｏ 均在二面角 ａ—Ｚ— 的平分面 上．设球Ｏ．与面ａ、 分别切于点Ａ、Ｂ， 球Ｏ与面ａ、 分别 切于点Ｄ、 ．作ＡＣ 图８
．１＿Ｚ于点Ｃ，ＤＦ．１＿，于点，．则
ＢＣ上ｊ．ＥＦ．１＿２， ０．ＣＡ＝ ＯＦＤ＝３０￣． 从而，０．Ｃ＝２，ＯＦ：２Ｒ．
联结０．０２交ＯＦ于点 ，则 为球０．与球０２
的切点，且
ＯＨ上０１０２，ＯＨ：２Ｒ一２，０ＩＨ：Ｉ，
Ｏ０Ｉ：Ｒ＋Ｉ． 在Ｒｌ△ＯＨＯＩ中．ＯＨ＂＋０．Ｈ２：Ｏ０ ，即
（２Ｒ一２）。＋ｌ：（Ｒ＋１） ．
解得Ｒ： ． 因为Ｒ＞ｌ，所以，Ｒ： ．
４．去．
因为ｌ＋ｃ （２ｘ＋３ｙ—１）＞０，所以， ：± ：± （！± ２（！二 ２ —ｙ＋Ｉ
一（ 二 ±１ ２：±！ 一 —ｙ＋Ｉ
： —ｙ＋ｌ＋ Ｉ＞０． 一’，＋
故 一 ’＋ ＞１２．
又ｌ≤ｌ＋ｃ０ｓ２（２ｘ＋３ｙ—１）≤２。所以， Ｉ＋（３０６２（２ｘ＋３ｙ—Ｉ）＝２，且 一ｙ＋Ｉ：Ｉ． 于是，２ｘ＋３ｙ—Ｉ＝｜Ｉ｝丁【，且 ：ｙ．
ｇ，Ｎ， ：ｙ： （ｋＥＺ）．
故 ：（ ） ≥（｛） ：击．
当且仅当 ＝ｙ＝｛时，上式等号成立．
５．２ ． 设两圆圆心的坐标为Ｇ（ ，Ｙｉ）（ｉ＝Ｉ．２）．则
Ｉ Ｉ： ，即 ＝ｙｊ，亦即
一６ｘ 一４ｙｉ＋１３：０（ｉ：Ｉ，２）． ① 又两圆的连心线Ｃ．ｃ１过坐标原点Ｏ．且是直 线ｙ： 与 轴所成角的平分线，设其方程为），＝ ，破．则 ｙｌ：舭 （ｉ＝Ｉ，２）． ② 将式②代人式①得 ：一（６＋４ｍ）ｘｉ＋１３：０． ③ 所以， Ｉ ２＝１３． 又由题设知），．），２＝ １３，即ｍ２ ． ２＝ １３．
故ｍ ：吉．即ｍ： （因③无解，则一譬舍去）．
由二倍角的正切公式得｜Ｉ｝＝ ：２ ． Ｉ一，ｎ－ ６．百Ｉ．
（小 小 ｉ，
（ ）＝ＡＡ ））
、
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