微专题突破
４１
概念理解
江苏省吴江盛泽中学
徐建东
如果问你
：在自然数集内解方程
狓＋２＝０，方程的解是什么？
或许你会毫不犹豫地说
，方程的解为
狓＝－２．
请同学们再仔细看清题目的条件
，你会发现
－２不是自然数
，也就是在自然数集范围
内
，方程是无解的
．
要回答在自然数集内解方程
狓＋２＝０到底有没有解
，我们只需回到问题本身
．我们是如
何解这个方程的
，为了得到
狓的值
，我们通常是这样做的
：
首先我们在等式
狓＋２＝０的两边同时减去
２，得到
狓＝０－２；我们发现
，在自然数范围
内
，
０－２是没有意义的
，所以我们得出的结论是
，在自然数集内方程
狓＋２＝０无解
．
在自然范围内
，任意两个自然数相加所得的和是自然数
，即加法在自然数范围内是永远
可行的
，数学上称之为自然数集对加法具有封闭性
．
同样的任意两个自然数相乘所得的积也一定是自然数
，即自然数集对乘法具有封闭性
．
而任意两个自然数相减所得的差就不一定都是自然数
，只有大数减去一个不大于本身
的自然数其差才是自然数
，对于小数减大数就无法实施
，如上例中点的
狓＝０－２，即自然数
集对减法不是永远可行的
（自然数集对减法不具有封闭性
）．
图
１为了能让小数减大数的问题得到圆满解决
（减法也具有封闭性
），
数学家们引入了一类叫负整数的新数
．引入负整数后原来的自然数的
集合就被扩大了
，扩大后的数集我们称之为整数集
（如图
１）
．
引入新数后
，原本在自然数集中具有封闭性的加法和乘法
，在新
的数集内仍然保持其封闭性
，原本在自然数集中不具有封闭性的减法
运算
，在新的整数集中
，满足了封闭性
．
所以
，方程
狓＋２＝０在自然数集中是无解的
，在整数集中是有解
的
，且其解为
狓＝－２．
那么问题又来了：在整数集内解方程
３狓－２＝０，方程的解为
狓＝２
３吗？
聪明的你会发现不对
，２
３不是整数
，所以方程在整数集内还是无解
．
仿照前面的分析
，为了要解方程
３狓－２＝０，我们通常是这样做的
：
首先我们在等式
３狓－２＝０的两边同时加上
２，得到方程
３狓＝２；然后我们在等式
《数系的扩充和复数的概念》教材分析
选自《高中数学选修2—2》（人教A版）
第三章第一节第一小节
提 纲
一、内容结构
二、教学目标
三、教学重、难点
四、地位与作用
五、学情分析
六、教法分析
七、教学建议
《数系的扩充和复数的概念》教材分析
一、内容结构
1、针对数系的扩充，教材未一条一条地将数系的扩充过程所遵循的原则介绍给学生，而是通过回顾自然数系扩充到实数系的过程，总结出之前熟悉的每次数系扩充都是实际所需求，教材选取210x这一在实数范围内无解的方程引发学生的认知冲突，激发学生们把实数系进一步扩充的欲望，同时使学生初步认识学习复数的意义，类比自然数系扩充到实数系的过程，引入虚数单位i ，将实数系扩充，从而进入复数的学习中；
2、章节开始时的火箭升空的画面形象地表示出认识复数将会对数的认识实现一次飞跃，在复数的概念教学中，教材通过介绍希望引进的虚数和实数之间仍能像实数系那样进行加、减法运算的设想，进而得到复数的代数形式、实部、虚部的概念，顺着也规定了两个复数相等的充要条件，教材中未针对复数比较大小这一点做精述；
3、认识了复数集，就该将复数集与实数集作比较了，其间教材又为大家引入了虚数、纯虚数的概念，它们分别与复数的实部、虚部是否为零有关系，同时揭示了复数集与实数集的关系、复数的分类；
4、教材的例题及习题部分针对复数的相关概念，复数相等的充要条件及复数的分类提出了较基础的题，主要检验学生对基本概念的掌握程度如何，也符合了《新课标》中“不偏不怪”的原则。
二、教学目标
知识与技能目标：
1、了解数系的扩充过程，感受理性思维的作用以及数与现实世界的联系；
2、理解虚数单位、复数的概念，掌握复数的代数形式及复数相等的充要条件；
3、把握复数集和实数集的关系，清楚虚数、纯虚数的概念及复数的分类。
・ ３０ ・ 中学数学月刊 ２０１１年第１０期
《数系的扩充》教学实录与反思
李广修（江苏省无锡市第一中学２１４０３１）
总体来看，《普通高中数学课程标准（实验）》
（以下简称《课标》）对复数的教学要求，相对于原
教学大纲而言有所降低．《课标》不要求用多种形
式表征复数，不要求系统地掌握复数运算，如复数
三角形式运算，对复数的几何意义也只要求了解
其表示、代数形式的加减运算．但《课标》对于扩充
数系意义的认识要求却是前所未有的，这表明了
课程改革对复数知识意义建构的重视．本文以笔
者对苏教版数学选修２—２的《数系的扩充》进行的
授课展示了如何在有限的教学时间内让学生经历
历史上较长的数学发展过程．
１课前分析
１．１教学对象简介
笔者教授的是理科班，该班学生数学基础较
好，有较高的参与课堂教学的热情与积极性，大部
分同学不仅善于发现问题、提出问题，而且认识问
题有一定深度，能够灵活、迅速地解决问题，但也
有少部分同学解答问题的正确性不够高．
１．２学生学情分析
学生对实数耳熟能详，这在一定程度上反而
给他们理解复数概念带来困难．此外，学生的形式
化水平有一定的局限性，普遍没有思考过数系为
什么要扩充，扩充要遵循怎样的原则等，所以对于
复数概念的学习有一定困难．
１．３教学目标、教学重点、教学难点设置
教学目标：①知识与技能：理解虚数的概念，
掌握复数相等的充要条件；②过程与方法：由经历
解方程过程领悟引入复数的必要性，在探索复数
有关概念中提升合作、交流水平，在定义复数相等
的探讨中增强数学转化意识；③情感、态度、价值
观：通过参与数系扩充建构活动，增强主体性，沐
浴理性思维，认识数与现实世界的联系．
教学重点：复数概念，复数相等的充要条件．
教学难点：对虚数概念的理解．
２教学过程
师：数是我们生活和科学研究时刻不离的语
言和工具．迄今为止，我们一直在实数集海洋遨
游．实数似乎能够包打天下，是不是真的这样呢？
新教材下《数系的扩充》教学设计意图说明
作者：黄艳
来源：《科学导报·学术》2020年第39期
教学设计的主要思路和意图：
一、对复数部分作章节整体教学设计，将学法指导渗透在整体教学设计中;
二、引导学生经历数系扩充的发生、发展和应用的全过程;
通过对数系扩充的再探究、再发现和再创造，让学生感悟：
（1）为什么要建立相关数学知识？（为什么要引入复数？）
（2）数学知识是怎样建立的？（数系扩充的发生、发展过程）
（1）为什么要建立相关数学知识？
数学知识的引入必定有它存在的价值，复数的出现亦是如此。虽然印象中，没有哪个阶段给过“数”的概念是什么，但是我们在小学入校之前就已经接触到“数”，可想而知，这是一个如影随形的概念。数是相当神秘的，人类最初对数并没有概念，只是出于生活方面的需要让人们脑海中有了数的影子。那么，我们是否有过数学哲学角度的原点思考：任何事物的出现必定有它存在的正面价值，“数”的出现也不例外，为什么要出现正整数、0、分数、复数、无理数、虚数？
（2）数学知识是怎么建立的？
数是如何发展成为今天这个模样呢？
远古时期的人类在生活中遇到了许多无法解决的难题，比如想表示一棵树，两头野兽等等，在当时并没有符号表示具体的数量，所以当时人们主要以结绳记事或在树木石头上刻痕迹的方法计数。后来引进罗马数字（现在常在钟表中出现），但是罗马数字中是没有0的，在公元5世纪，罗马有一位学者从印度计数法里发现了“0”这个符号，并把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍。但是罗马教皇凶残且守旧，他非常恼怒的说：“神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物，谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！“0”被那个愚昧残忍的罗马教皇命令禁止了。我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹算。筹算是用竹制的或骨制的小棍，按规定的横竖长短顺序摆好，用来记数和进行运算。随着筹算的普及，筹算的摆法也就成为记数的符号了，筹算摆法有横纵两式，都能表示同样的数字，从筹算数码中没有10这个数可以清楚的看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制，这样的计算法在当时是很先进的。阿拉伯数字是印度人创造的，之后流传到阿拉伯，后人误认为是阿拉伯人发明，故称之为阿拉伯数字，由于他们便于书写，被沿用至今。发展到阿拉伯数字为止，我们发现这些数字都是自然数，出现分数之后，又解决了人们许多难题，但是在生活中我们还见到过不少具有相反意义的量：前进和后退，向上和向下，于是人们又将这些具有相反意义的数称为负数。后来，又有学者发现了一些无法用自然数和负数表示的数，有这样一个故事：一个叫希帕索斯的学生画了一个边上为1的正方形，设对角线为x，根据勾股定理，，他发现，这一长度，既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。他的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生，小小的的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，实际上这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念都是一个极大的冲击。这一个结论的悖论性表现在它与常识的冲突：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正
