数系的扩充讲义

　微专题突破

４１

　概念理解　󰀡󰀢󰀣󰀤󰀥

江苏省吴江盛泽中学

　徐建东

如果问你

：在自然数集内解方程

狓＋２＝０，方程的解是什么？

或许你会毫不犹豫地说

，方程的解为

狓＝－２．

请同学们再仔细看清题目的条件

，你会发现

－２不是自然数

，也就是在自然数集范围

内

，方程是无解的

．

要回答在自然数集内解方程

狓＋２＝０到底有没有解

，我们只需回到问题本身

．我们是如

何解这个方程的

，为了得到

狓的值

，我们通常是这样做的

：

首先我们在等式

狓＋２＝０的两边同时减去

２，得到

狓＝０－２；我们发现

，在自然数范围

内

，

０－２是没有意义的

，所以我们得出的结论是

，在自然数集内方程

狓＋２＝０无解

．

在自然范围内

，任意两个自然数相加所得的和是自然数

，即加法在自然数范围内是永远

可行的

，数学上称之为自然数集对加法具有封闭性

．

同样的任意两个自然数相乘所得的积也一定是自然数

，即自然数集对乘法具有封闭性

．

而任意两个自然数相减所得的差就不一定都是自然数

，只有大数减去一个不大于本身

的自然数其差才是自然数

，对于小数减大数就无法实施

，如上例中点的

狓＝０－２，即自然数

集对减法不是永远可行的

（自然数集对减法不具有封闭性

）．

图

１为了能让小数减大数的问题得到圆满解决

（减法也具有封闭性

），

数学家们引入了一类叫负整数的新数

．引入负整数后原来的自然数的

集合就被扩大了

，扩大后的数集我们称之为整数集

（如图

１）

．

引入新数后

，原本在自然数集中具有封闭性的加法和乘法

，在新

的数集内仍然保持其封闭性

，原本在自然数集中不具有封闭性的减法

运算

，在新的整数集中

，满足了封闭性

．

所以

，方程

狓＋２＝０在自然数集中是无解的

，在整数集中是有解

的

，且其解为

狓＝－２．

那么问题又来了：在整数集内解方程

３狓－２＝０，方程的解为

狓＝２

３吗？

聪明的你会发现不对

，２

３不是整数

，所以方程在整数集内还是无解

．

仿照前面的分析

，为了要解方程

３狓－２＝０，我们通常是这样做的

：

首先我们在等式

３狓－２＝０的两边同时加上

２，得到方程

３狓＝２；然后我们在等式

２００６年第３期　中学数学教学　

，　。　。　。　。、　ｊ走　进：　

｛新课程；ｔ　ｋ－＋．＋一＋－＋－　数　系的　扩充与复数的引入　

安徽师范大学刘克和　（邮编：２４１０００）　

中小学数学教材，数系一般是按以下顺序扩充：　

坌　非　正整数　非负整数（自然数）　非　

负有理数　墨塑塑　兰　有理数　生里　实数　

旦坚复数．　在科学发展史上，数的概念经历了漫长的演变和　

发展过程．数系扩充的动力来自两个方面．一是来自社　

会实践及科学技术发展的客观需要，这是外部动力：一　

是来自数学科学自身发展的需要，这是内在动力．在数　

系扩充的教学中，应了解数系扩充的过程，体会实际需　

求与数学内部矛盾在数系扩充中的作用，感受数与现　

实世界的联系，让学生体会知识的自然发展，是水到渠　

成的，而不是强加于人的．这样才能使教学亲切自然．　

１　自然数集Ｎ　

正整数是“数”（ｓｈ０数数）出来的．人类的祖先大多以　

游牧为生，为了统计每日猎获的野生动物，曾用多种方　

法一手指计数、石子计数、结绳计数。长年累月，人们发　

现了“石子”、“手指头”、“绳结”的共同属性：都是与实物　

建立对应关系．以后，撇开这些具体的石子、手指头、绳结，　

用抽象形式的符号，例如刻划符号“／／”，把它表示出来，用　

实物，或者划痕，与实物进行“一对一”地对应．　

自然数是数的理论构建的出发点．在集合论的基　

础上，用自然数公理来进行描述．　

１．１基数理论　两个集合，如果能在它们的元素之间建立“一一对　

应”，就说这两个集合是等价的，或“等势”的．所有等势　

的非空集合的共同特征叫基数．空集合的基数是数　

…０’，有限集合的基数是正整数．由０和全体正整数组　

成的集合叫自然数集．　

基数，就是通常所说的某个集合元素（事物）的个　

数．既然如此，为何又要引进基数新概念呢？这是因为　

用“一一对应”定义的等势性，可以从有限集推广到无　

限集．例如：　

Ｎ：｛０，１，２，…，ｎ，…｝　

ｌ　ｌ　ｌ　ｌ　Ａ＝｛２，４，６，…，２ｎ，…｝　因此，这两个集合是等势的，即偶数集合与整个自然数　

数系的构造与逐步扩充：自然数系——整数系和分数系——实数系——复数系

从自然数到有理数，两个方向的需求：

（1）作为度量工具的有理数，度量时间、长度、面积、体积等能任意细分的量：度量单位——分数单位——分数。

问题1：为什么把叫做“有理数”？“有理”在哪里？——因为它的加法和乘法与自然数的加法和乘法有同样的规律！只要我们按照如下定义行事

bdbcaddcba，bdacdcba，1aa，babcac。

在此定义下，就可以证明：自然数的算术基本规律，即交换律、结合律、分配律等，在有理数范围内仍然成立。

问题2：为什么不把加法定义为dbcadcba？

逻辑上允许，但从创造一个恰当的度量工具的角度看，没有意义。例如，422121，从度量的角度看是不合适的。

（2）数学内部的需求：自然数集中，加法和乘法的“逆运算”不能通行。为此，需要引进符号0以及―1，―2，―3，„„，并定义a＜b时，a－b＝－(b－a)，以及在“使算术运算的运算律保持不变”的原则下，定义(－1)×(－1)＝1。

问题3：为什么不是(－1)×(－1)＝－1？

与引入0和负整数的数学需求类似，分数的引进使得除法消除了障碍：定义符号ba，称为分数，它服从b×ba=a（b≠0）。

这样，全体有理数——整数和分数、正数和负数——的纯算术意义就清楚了。在这一扩展了的数的范围内，不仅形式上的运算律成立，而且保证加、减、乘、除的封闭性——这个封闭的数的范围叫做域。

上述数的范围的扩充过程，反映了数学推广过程的一个重要特性——使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。非常幸运，从自然数到有理数的这一推广，完全满足了用数来表示度量结果的实际需要。

从有理数到无理数，也可以看成是两个方面需求的结果：

（1）度量线段中发现的存在着不可公度线段——每一条这样的线段都对应着借助于单位长度而给出的一个数，这样的数就是无理数。“这是科学史上极其重要的事件，它很可能标志着数学上严格推理的起源。肯定地说，从希腊人的时代直到今天，它一直深刻地影响着数学和哲学。”（柯朗，什么是数学，72）

数系的扩充

江苏省新海高级中学 潘彩

教学目标：

知识与技能：（1）了解引进复数的必要性,了解数系发展的过程,了解数的分类;

（2）理解复数的基本概念,掌握复数的代数表示；

（3）理解复数biaz是纯虚数的充要条件,掌握复数相等的充要条件.

过程与方法：（1）经历数系扩充的过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用;

（2）感知引进虚数单位i、虚数单位i与实数进行四则运算的合理性;

（3）分析复数的代数形式，渗透分类讨论、化归等数学思想方法.

情感、态度与价值观：

（1）在经历数的概念的发展和数系扩充的过程中,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，体会数学发现和创造的过程以及数学发生发展的客观需求;

（2）通过教学方式的改变,营造和谐的课堂氛围,培养学生勇于知疑问难,善于探索的学习习惯和良好的思维品质.

教学重点： （1）了解引进复数的必要性,了解数系发展的过程；

（2）理解复数的基本概念,掌握复数的代数表示；

（3）理解复数biaz是纯虚数的充要条件,掌握复数相等的充要条件.

教学难点：复数概念的引入，虚数单位的理解.

教学方法与教学手段：

1．在轻松的游戏情境中，让学生感受实数不够用了,数的概念需要进一步发展,实数需要扩充;

2．借助方程求解，通过前车之鉴，寻找数系扩充的一般规律;

3．在教学过程中，利用问题使学生处于愤悱的状态，激起他们求知的欲望，通过自由讨论与交流使他们能够在合作中解决问题.

教学过程

一、 问题情境

数学游戏

①将5分成两部分，使两者乘积为6；

②将6分成两部分，使两者乘积为8；

③将8分成两部分，使两者乘积为10；

④将10分成两部分，使两者乘积为40.

从而引出实数不够用了,数的概念需要进一步发展,实数需要扩充.

二、 学生活动

1、前车之鉴:结合下面的问题寻找数系扩充的规律和办法.

请分别在相应数集中解下列方程：

143x 自然数集