第一讲 数系的扩充

1 《数系的扩充与复数的引入》内容扩充

数信学院 2010级研究生 学科教学（数学） 谢苏理 2010120029

"实数"、"虚数"这两个词是由法国数学家笛卡尔在1637年率先提出来的。而用ｉ表示虚数的单位是18世纪著名数学家欧拉的功绩。后来的人在这两个成果的基础上，把实数和虚数结合起来，记成ａ＋ｂｉ形式，称为复数。

在本专题中，我们将了解数系扩充的过程以及复数的在某些领域的应用，学习复数的一些基本知识，体会复数解题的数学思想．

一、 开设意义

数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．

二、 内容与要求

1.了解数系的扩充过程。

2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．

3. 了解复数的代数表示法及其几何意义．

4. 能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．

三、 复数的应用

在复数集中出现了“虚数”一词，给人一种“虚无缥缈”的感觉，教材上则引用了莱布尼茨的话：“虚数是奇妙的人类精神寄托，它好像是存在与不存在间的一种两栖动物。”其实，虚数一点也不虚，用处还非常大。我们先从一个古老的传说说起。

(一) 一个有趣的故事

从前有个叫巴达的年轻人在他祖父的遗嘱中发现了一张精致的纸片，上面记载了祖父的遗产的埋藏的地方：“乘船至xx岛，即可在该岛找到一大片草地。草地上有一株橡树和一株松树，还有一间草房，那间草房是我们在岛上休息的地方。从草房走到橡树并记住走了多少步，到了橡树向右拐个直角再走这么多步，并在这里做个记号。然后回到草房，再朝松树走去，同时记住所走的步数，到了松树向左拐个直角再走这么多步，在这里也做个记号，在两个记号的正当中挖掘，就可找到埋藏的遗产。”

数系扩充过程

嘿，朋友！咱今儿来聊聊数系扩充这事儿，可有意思啦！

咱一开始认识的数，那就是自然数，像 1、2、3 这些，用来数数儿，简单明了。比如说你有几个苹果，几只笔，自然数就够用啦。

可后来呢，发现光有自然数不行啊！比如说，你把 5 个苹果分给 8

个人，每个人能分多少？这时候，整数就登场啦！整数包括正整数、零和负整数。负整数就像个救兵，来解决不够分这种让人头疼的问题。

再往后走，整数也不够用啦！就像你做个蛋糕，要把它平均分成 3

份，每份是多少？这时候分数就跳出来帮忙啦！分数让我们能更精细地去表达数量。

分数还没得意多久，又出现新状况啦！你想想，那个圆的周长和直径的比值，用分数可不好表示，这时候就有了无理数。无理数就像个神秘的小精灵，看似没规律，其实藏着大奥秘。

数系的扩充就像我们的成长，不断遇到新问题，然后找到新办法。这不就像我们小时候只会走路，后来要学骑车，再后来要学开车，能力越来越强嘛！

那为什么要不断扩充数系呢？这就好比我们盖房子，刚开始用几块砖头就能搭个小棚子，可随着需求增加，要盖高楼大厦，那材料和工具就得不断丰富。数系也是这样，社会发展，科学进步，原来的数不够用啦，就得扩充。

数系扩充的过程，也是人类智慧不断闪光的过程。从简单的数数，到复杂的计算，每一次扩充都是一次大跨越。这难道不像是一次次勇敢的探险，不断开拓新的领域吗？

数系扩充还没结束呢，说不定未来还有新的数等着我们去发现。就像宇宙那么大，未知的东西多着呢！所以啊，我们得保持好奇心，说不定哪天，你也能在数的世界里有新的发现！

总之，数系扩充是个精彩又有趣的过程，它见证了人类智慧的不断进步，也为我们探索世界提供了更强大的工具。咱们可不能小瞧这数系扩充，它可是数学发展的重要一步，让我们能更深入地理解这个奇妙的世界！

数系的构造与逐步扩充：自然数系——整数系和分数系——实数系——复数系

从自然数到有理数，两个方向的需求：

（1）作为度量工具的有理数，度量时间、长度、面积、体积等能任意细分的量：度量单位——分数单位——分数。

问题1：为什么把叫做“有理数”？“有理”在哪里？——因为它的加法和乘法与自然数的加法和乘法有同样的规律！只要我们按照如下定义行事

bdbcaddcba，bdacdcba，1aa，babcac。

在此定义下，就可以证明：自然数的算术基本规律，即交换律、结合律、分配律等，在有理数范围内仍然成立。

问题2：为什么不把加法定义为dbcadcba？

逻辑上允许，但从创造一个恰当的度量工具的角度看，没有意义。例如，422121，从度量的角度看是不合适的。

（2）数学内部的需求：自然数集中，加法和乘法的“逆运算”不能通行。为此，需要引进符号0以及―1，―2，―3，„„，并定义a＜b时，a－b＝－(b－a)，以及在“使算术运算的运算律保持不变”的原则下，定义(－1)×(－1)＝1。

问题3：为什么不是(－1)×(－1)＝－1？

与引入0和负整数的数学需求类似，分数的引进使得除法消除了障碍：定义符号ba，称为分数，它服从b×ba=a（b≠0）。

这样，全体有理数——整数和分数、正数和负数——的纯算术意义就清楚了。在这一扩展了的数的范围内，不仅形式上的运算律成立，而且保证加、减、乘、除的封闭性——这个封闭的数的范围叫做域。

上述数的范围的扩充过程，反映了数学推广过程的一个重要特性——使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。非常幸运，从自然数到有理数的这一推广，完全满足了用数来表示度量结果的实际需要。

从有理数到无理数，也可以看成是两个方面需求的结果：

（1）度量线段中发现的存在着不可公度线段——每一条这样的线段都对应着借助于单位长度而给出的一个数，这样的数就是无理数。“这是科学史上极其重要的事件，它很可能标志着数学上严格推理的起源。肯定地说，从希腊人的时代直到今天，它一直深刻地影响着数学和哲学。”（柯朗，什么是数学，72）

数系的扩充

江苏省新海高级中学 潘彩

教学目标：

知识与技能：（1）了解引进复数的必要性,了解数系发展的过程,了解数的分类;

（2）理解复数的基本概念,掌握复数的代数表示；

（3）理解复数biaz是纯虚数的充要条件,掌握复数相等的充要条件.

过程与方法：（1）经历数系扩充的过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用;

（2）感知引进虚数单位i、虚数单位i与实数进行四则运算的合理性;

（3）分析复数的代数形式，渗透分类讨论、化归等数学思想方法.

情感、态度与价值观：

（1）在经历数的概念的发展和数系扩充的过程中,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，体会数学发现和创造的过程以及数学发生发展的客观需求;

（2）通过教学方式的改变,营造和谐的课堂氛围,培养学生勇于知疑问难,善于探索的学习习惯和良好的思维品质.

教学重点： （1）了解引进复数的必要性,了解数系发展的过程；

（2）理解复数的基本概念,掌握复数的代数表示；

（3）理解复数biaz是纯虚数的充要条件,掌握复数相等的充要条件.

教学难点：复数概念的引入，虚数单位的理解.

教学方法与教学手段：

1．在轻松的游戏情境中，让学生感受实数不够用了,数的概念需要进一步发展,实数需要扩充;

2．借助方程求解，通过前车之鉴，寻找数系扩充的一般规律;

3．在教学过程中，利用问题使学生处于愤悱的状态，激起他们求知的欲望，通过自由讨论与交流使他们能够在合作中解决问题.

教学过程

一、 问题情境

数学游戏

①将5分成两部分，使两者乘积为6；

②将6分成两部分，使两者乘积为8；

③将8分成两部分，使两者乘积为10；

④将10分成两部分，使两者乘积为40.

从而引出实数不够用了,数的概念需要进一步发展,实数需要扩充.

二、 学生活动

1、前车之鉴:结合下面的问题寻找数系扩充的规律和办法.

请分别在相应数集中解下列方程：

143x 自然数集