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波函数概率波即波函数。
量子力学中描写微观系统状态的函数。
在经典力学中，用质点的位置和动量(或速度)来描写宏观质点的状态，这是质点状态的经典描述方式，它突出了质点的粒子性。
由于微观粒子具有波粒二象性，粒子的位置和动量不能同时有确定值(见测不准关系)，因而质点状态的经典描述方式不适用于对微观粒子状态的描述。
波函数(wave function)是量子力学中用来描述粒子的德布罗意波的函数。
波为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数，并用ψ表示。
一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即ψ=ψ(x，y，z，t)。
将爱因斯坦的“鬼场”和光子存在的概率之间的关系加以推广，玻恩假定就是粒子的概率密度，即在时刻t，在点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率。
波函数ψ因此就称为概率幅。
电子在屏上各个位置出现的概率密度并不是常数：有些地方出现的概率大，即出现干涉图样中的“亮条纹”；而有些地方出现的概率却可以为零，没有电子到达，显示“暗条纹”。
波函数由此可见，在电子双缝干涉实验中观察到的，是大量事件所显示出来的一种概率分布，这正是玻恩对波函数物理意义的解释，即波函数模的平方对应于微观粒子在某处出现的概率密度(probability density)：即是说，微观粒子在各处出现的概率密度才具有明显的物理意义。
据此可以认为波函数所代表的是一种概率的波动。
这虽然是人们对物质波所能做出的一种理解，但是波函数概念的形成正是量子力学完全摆脱经典观念、走向成熟的标志；波函数和概率密度，是构成量子力学理论的最基本的概念。
概率幅满足于迭加原理,即：ψ12=ψ1+ψ2相应的概率分布为公式1波函数ψ(r,t)是坐标和时间t的复函数。
ψ(r,t)的绝对值二次方乘上r 处的体积元dxdydz与粒子在这个体积元中出现的几率p(r,t)成比例。
p(r,t)=с|ψ(r),t)|²dxdydz, с是比例常数。
17.4 概率波学习目标1．了解经典的粒子和经典的波的基本特征。
2．了解并掌握光和物质波都是概率波。
重点：概率波的理解。
难点：理解概率波的统计规律。
知识点一、经典的粒子和经典的波在经典物理学的观念中，人们形成了一种观念，物质要么具有粒子性，要么具有波动性，非此即彼。
任意时刻的确定位置和速度以及空中的确定轨道，是经典物理学粒子运动的基本特征。
与经典的粒子不同，经典的波在空间中是弥散开来的，其特征是具有频率和波长，也就是具有时空的周期性。
显而易见，在经典物理学中，波和粒子是两种不同的研究对象，具有非常不同的表现。
1．经典粒子（1）含义：粒子有一定的空间大小，具有一定的质量，有的还带有电荷。
（2）运动的基本特征：遵从牛顿运动定律，任意时刻有确定的位置和速度，在时空中有确定的轨道。
2．经典的波（1）含义：在空间是弥散开来的。
（2）特征：具有频率和波长，即具有时空的周期性。
【题1】在单缝衍射实验中，中央亮纹的光强占从单缝射入的整个光强的95%以上。
假设现在只让一个光子通过单缝，那么该光子A．一定落在中央亮纹处B．一定落在亮纹处C．可能落在暗纹处D．落在中央亮纹处的可能性最大【答案】CD【解析】由于光是一种概率波，对于一个光子通过单缝后落在何处，是不可能确定的，但概率最大的1是落在中央亮纹处，可达到95%以上，当然也可落在其他亮纹处，还可能落在暗纹处，不过，落在暗纹处的概率很小，故C、D 正确。
【题2】有关光的本性，下列说法正确的是A．光既具有波动性，又具有粒子性，这是互相矛盾和对立的B．光的波动性类似于机械波，光的粒子性类似于质点C．大量光子才具有波动性，个别光子只具有粒子性D．由于光既有波动性，又具有粒子性，无法只用其中一种去说明光的一切行为，只能认为光具有波粒二象性【答案】D【解析】19 世纪初，人们成功地在实验中观察到了光的干涉、衍射现象，这属于波的特征，微粒说无法解释。
但到了19 世纪末又发现了光的新现象——光电效应，这种现象波动说不能解释，证实光具有粒子性。
第十七章第4、5节概率波不确定性关系1. 经典的粒子和经典的波(1) 经典物理学中粒子运动的基本特征：任意时刻有确定的位置和速度以及有确定的轨道.(2) 经典的波的特征：具有频率和波长，也就是具有时空的周期性.2. 概率波(1)光波是概率波双缝干涉实验中（如图17-4-1甲所示），在光屏处放置照相底片，并设法减弱光的强度，使光子只能是一个一个地通过狭缝.①曝光时间不太长时，底片上出现一些无规则分布的亮点，因为曝光时间不太长，所以通过狭缝的光子数目很少，在底片上出现亮点，说明少数光子的行为容易表现出粒子性，即粒子性占上风.如图17-4-1乙所示..②曝光时间足够长时，底片上出现规则的干涉条纹.因曝光时间足够长，所以通过狭缝的光子数目多，在底片上呈现干涉条纹，说明光子在亮纹处出现的概率大，在暗纹处出现的概率小.由于它在底片各处分布的概率和某种波的干涉条纹相一致，所以把光称为一种波——概率波.③光的波动性与粒子性的统一a. 大量光子产生的效果显示出波动性，个别光子产生的效果显示出粒子性.b. 光子和电子、质子等实物粒子一样，具有能量和动量.与其他物质相互作用时，粒子性起主导作用；在光的传播过程中，光子在空间各点出现的可能性的大小（概率），由波动性起主导作用，因此称光波为概率波.c. 光子的能量与其对应的频率成正比，而频率是波动性特征的物理量，因此E = hν，揭示了光的粒子性与波动性之间的密切联系.d. 对不同频率的光，频率低、波长长的光，波动性特征显著；而频率高，波长短的光，粒子性特征显著.综上所述，光的粒子性和波动性组成一个有机的统一体，相互间并不是独立存在的.波动性不是由光子间相互作用引起的，而是单个光子的固有属性，光子的行为服从统计规律.(2)物质波也是概率波电子和其他微观粒子，同样具有波粒二象性，所以与它们相联系的物质波也是概率波.3. 位置和动量的不确定性关系由于要同时测出微观粒子的位置和动量是不太可能的，因此也不能同时用这两个量来描述它的运动，造成这一问题的原因是由于微观粒子具有波粒二象性.在粒子的衍射现象中，设有粒子通过狭缝后落在屏上，狭缝宽度为a （用坐标表示为△x)，那么某个粒子通过狭缝时位于缝中的哪一点是不确定的，不确定的范围为△x;若是宏观粒子，它通过狭缝后会直接落到缝的投影位置上.我们知道微观粒子具有波动性，经过狭缝后会发生衍射，有些粒子会偏离原来的运动方向跑到了投影位置以外的地方，这就意味着粒子有了与原来运动方向垂直的动量（位于与原运动方向垂直的平面上）.又由于粒子落在何处是随机的，所以粒子在垂直于运动方向的动量具有不确定性，不确定量为△p海森伯经过缜密的数学推算，得出如下关系：△x △p ≥h/4πh 为普朗克常量这个关系叫不确定性关系，简称为不确定关系.4. 物理模型和物理现象建立模型是科学研究的需要.模型的正确与否要看能否正确反映研究对象的客观规律.【例1】 为了观察到纳米级的微小结构，需要用到分辨率比光学显微镜更高的电子显微镜。
（或速用质点的位置和动量波函数是量子力学中描写微观系统状态的函数。
在经典力学中，由于度）来描写宏观质点的状态，这是质点状态的经典描述方式，它突出了质点的粒子性。
，因而质微观粒子具有波粒二象性，粒子的位置和动量不能同时有确定值（见测不准关系）物质波于宏观尺度下表现为对几率点状态的经典描述方式不适用于对微观粒子状态的描述，波函数的期望值，不确定性失效可忽略不计。
年代，理论量子物理学者大致分为两个阵营。
第一个阵营的成员主19301920年代与，他们共同创建了微积分·薛定谔等等，他们使用的数学工具是埃尔温要为路易·德布罗意和，他线性代数·玻恩等等，使用波动力学。
第二个阵营的成员主要为维尔纳·海森堡和马克斯们建立了矩阵力学。
后来，薛定谔证明这两种方法完全等价。
德布罗意于1924年提出的德布罗意假说表明，每一种微观粒子都具有波粒二象性。
电子也不例外，具有这种性质。
电子是一种波动，是电子波。
电子的能量与动量分别决定了它的物质波频率与波数。
既然粒子具有波粒二象性，应该会有一种能够正确描述这种量子特性的波动方程，这给予了埃尔温·薛定谔极大的启示，他因此开始寻找这波动方程。
薛定谔参考威廉·哈密顿先前关于牛顿力学与光学之间的类比这方面的研究，在其中隐藏了一个奥妙的发现，即在零波长极限，物理光学趋向于几何光学；也就是说，光波的轨道趋向于明确的路径，而这路径遵守最小作用量原理。
哈密顿认为，在零波长极限，波传播趋向于明确的运动，但他并没有给出一个具体方程来描述这波动行为，而薛定谔给出了这方程。
他从哈密顿-雅可比方程成功地推导出薛定谔方程。
他又用自己设计的方程来计算氢原子的谱线，得到的答案与用玻尔模型计算出的答案相同。
他将这波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文，1926年，正式发表于物理学界。
从此，量子力学有了一个崭新的理论平台。
薛定谔给出的薛定谔方程能够正确地描述波函数的量子行为。
关于波函数的几种理解在经典力学中，如果我们已知粒子在某一时刻的确切位置（t=0）和动量，我们就可以求解方程，给出粒子在任何时刻的位置和动量。
这就是经典物理中的“决定性观念”，或严格的因果律。
而对于微观粒子，我们不能同时确定物质或辐射的位置与动量，不能比海森伯不确定关系所允许的更准确。
海森伯和波尔认为，概率性观点在量子力学中是基本观点。
因此，微粒的状态由波函数来完全描写：1.微粒具有波粒二象形，因此不可能同时具有确定的动量和位矢，进而也就不可能有确定的轨道。
2.为了描述粒子的状态，量子力学用一个反应其波粒二象性的波函数来描写。
3.波函数决定微粒的一切力学量和行为，能够完全描述微观粒子状态，且变化遵从薛定谔方程。
波函数的统计解释波粒二象性必然导致事物的统计规律；统计性把波与粒子两个截然不同的经典概念联系了起来。
与物质波相联系的不仅有一个波长，而且还有一个振幅，称之为波函数。
波恩把解释为在给定时间，在r处的单位体积内发现一个粒子的概率。
波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方），与在该点找到粒子的概率成正比。
但对于概率分布来说，重要的是相对概率分布。
因为粒子在空间各点出现的概率只取决于波函数在空间各点的相对强度，而不取决于波函数强度的绝对大小。
如果把波函数乘以常数C，波函数在空间各点的强度将同时增大倍，但空间个点的相对强度没有变化，因此各点的概率没有变化，所描写的状态也没有改变。
即波函数有一个常数因子不确定性。
而对于经典的波（如光波，声波），如果振幅增大，其强度增大平方倍，这就完全是另一个状态。
这一点与概率波是完全不同的。
德布罗意波与经典波根本不同，我们绝不能用经典波的图像来想象微观粒子。
电子经过狭缝时出现的干涉和衍射与经典波的图像毫无关系，它的起因是统计规律中的概率幅的相加律。
在双缝干涉实验中，干涉是自己与自己的干涉，绝不是两个电子的干涉。
另外，两个量子波（更确切的说法是，两个概率幅）和的叠加并不形成新的状态。
