2018高考数学(理)二轮专题复习突破精练二：专题对点练15 4-1~4-2组合练(附解析)

(二)直线与圆锥曲线(2)1．(2017届浙江省嘉兴一中适应性测试)如图，已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的一个焦点为(3，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32是椭圆上的一个点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的上、下顶点分别为A ，B ，P (x 0，y 0)(x 0≠0)是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点，直线AM 交直线l ：y ＝－1于点C ，N 为线段BC 的中点，如果△MON 的面积为32，求y 0的值． 解 (1)设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1， 由题意，得c ＝ 3.因为a 2－c 2＝b 2，所以b 2＝a 2－3.又⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32是椭圆上的一个点， 所以1a 2＋34a 2－3＝1，解得a 2＝4或a 2＝34(舍去)， 从而椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)因为P (x 0，y 0)，x 0≠0，则Q (0，y 0)，且x 204＋y 20＝1.因为M 为线段PQ 的中点， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 0. 又A (0,1)，所以直线AM 的方程为y ＝2(y 0－1)x 0x ＋1. 因为x 0≠0，所以y 0≠1，令y ＝－1，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 01－y 0，－1.又B (0，－1)， N 为线段BC 的中点，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02(1－y 0)，－1. 所以NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02－x 02(1－y 0)，y 0＋1.因此，OM →·NM →＝x 02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02－x 02(1－y 0)＋y 0·(y 0＋1) ＝x 204－x 204(1－y 0)＋y 20＋y 0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20－x 204(1－y 0)＋y 0 ＝1－(1＋y 0)＋y 0＝0.从而OM ⊥MN .因为|OM |＝x 204＋y 20＝1， |ON |＝ x 204(1－y 0)2＋1＝ 1－y 20(1－y 0)2＋1＝ 21－y 0， 所以在Rt△MON 中，|MN |＝|ON |2－|OM |2，因此S △MON ＝12|OM ||MN |＝121＋y 01－y 0. 从而有121＋y 01－y 0＝32，解得y 0＝45. 2．(2017届江西省重点中学盟校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A (2,0)，离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设B 为椭圆上顶点，P 是椭圆C 在第一象限上的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问△PMN 与△PAB 面积之差是否为定值？说明理由．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，a 2－b 2＝c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1， 则椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则x 20＋4y 20＝4，直线PA ：y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2， 则|BM |＝|1－y M |＝y M －1＝－1－2y 0x 0－2. 直线PB ：y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1， 则|AN |＝|2－x N |＝x N －2＝－2－x 0y 0－1，∴S △PMN －S △PAB ＝12|AN |·(|OM |－|OB |) ＝12|AN |·|BM | ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2y 0x 0－2 ＝12·x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝12·4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2. 3．(2017·山西省实验中学模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)过点(0，－2)，F 1，F 2分别为其左、右焦点，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，PF 1⊥x 轴，且△OPF 1的面积为 2.(1)求椭圆E 的离心率和方程；(2)设A ，B 是椭圆上两动点，若直线AB 的斜率为－14，求△OAB 面积的最大值． 解 (1)因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，－2)，所以b ＝2，由PF 1⊥x 轴，且△OPF 1的面积为2， 得12×c ×b 2a ＝2， 所以c a ＝22，即离心率e ＝22. 因为a 2＝b 2＋c 2，所以a 2－c 2＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－c 2＝4，c a ＝22，解得⎩⎨⎧ a ＝22，c ＝2(舍负)，故椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)设直线AB 的方程为y ＝－14x ＋t ， 与x 2＋2y 2＝8联立，消去y ，整理得98x 2－tx ＋2t 2－8＝0， 由Δ＝(－t )2－4×98(2t 2－8)＝－8t 2＋36>0，得－322<t <322， x 1＋x 2＝8t 9，x 1x 2＝89(2t 2－8)， 故|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋116× 64t 281－329(2t 2－8) ＝174×1699－2t 2 ＝41799－2t 2， 易知点O 到直线AB 的距离为d ＝4|t |17， 则△OAB 的面积S ＝12×4|t |17×41799－2t 2 ＝8922t 2(9－2t 2) ≤892×2t 2＋9－2t 22＝22， 当且仅当2t 2＝9－2t 2，即t ＝±32时取“＝”，经检验，满足要求，故△OAB 面积的最大值为2 2. 4．(2017·湖南省长沙市长郡中学临考冲刺训练)在平面直角坐标系xOy 中，点F 1(－3，0)，圆F 2：x 2＋y 2－23x －13＝0，以动点P 为圆心的圆经过点F 1，且圆P 与圆F 2内切．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)若直线l 过点(1,0)，且与曲线E 交于A ，B 两点，则在x 轴上是否存在一点D (t,0)(t ≠0)，使得x 轴平分∠ADB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)圆F 2的方程可化为(x －3)2＋y 2＝16，故圆心F 2(3，0)，半径r ＝4，而|F 1F 2|＝23<4，所以点F 1在圆F 2内．又由已知得圆P 的半径R ＝|PF 1|，由圆P 与圆F 2内切，可得圆P 内切于圆F 2，即|PF 2|＝4－|PF 1|，所以|PF 1|＋|PF 2|＝4>|F 1F 2|，故点P 的轨迹即曲线E 是以F 1，F 2为焦点，长轴长为4的椭圆．显然c ＝3，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1，故曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线AB 的斜率不为0且存在时，设直线l ：x ＝ny ＋1，代入x 2＋4y 2－4＝0，得(n 2＋4)y 2＋2ny －3＝0，Δ＝16(n 2＋3)>0恒成立．由根与系数的关系，可得y 1＋y 2＝－2nn 2＋4，y 1y 2＝－3n 2＋4，设直线DA ，DB 的斜率分别为k 1，k 2，则由∠ODA ＝∠ODB ，得k 1＋k 2＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )(x 1－t )(x 2－t )＝y 1(ny 2＋1－t )＋y 2(ny 1＋1－t )(x 1－t )(x 2－t )＝2ny 1y 2＋(1－t )(y 1＋y 2)(x 1－t )(x 2－t )＝0.所以2ny 1y 2＋(1－t )(y 1＋y 2)＝0，将y 1＋y 2＝－2n n 2＋4，y 1y 2＝－3n 2＋4代入得－6n －2n ＋2nt ＝0，因此n (t －4)＝0，故存在t ＝4满足题意．当直线AB 的斜率为0时，直线为x 轴，取A (－2,0)，B (2，0)，满足∠ODA ＝∠ODB ， 当直线AB 的斜率不存在时，取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，满足∠ODA ＝∠ODB .综上，在x 轴上存在一点D (4,0)，使得x 轴平分∠ADB .。

限时规范训练十一 数列求和及综合应用限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ∈N *都有a 1·a 2·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( ) A.6116 B.259 C.2516D.3115解析：选A.当n ≥1时，a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2；当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2.两式相除，得a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n n －12.∴a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116，故选A.2．已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 019＝( ) A ．1 008×2 020 B ．1 008×2 019 C ．1 009×2 019D ．1 009×2 020解析：选C.在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，得a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0；令n ＝2，得a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，S 2 019＝2 019×2 0182＝1009×2 019.3．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝35，则a 2等于( )A ．2 B.12 C ．3D.13解析：选C.∵S 1＝a 1，S 3＝3a 2，S 5＝5a 3， ∴35＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 1a 3， ∵a 1a 2a 3＝15.∴35＝a 315＋a 115＋a 215＝a 25，即a 2＝3. 4．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( ) A ．120 B ．99 C ．11 D ．121解析：选A.a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－nn ＋1＋n n ＋1－n＝n ＋1－n ，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n ) ＝n ＋1－1＝10.即n ＋1＝11，所以n ＋1＝121，n ＝120. 5.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋12－1的值为( )A.n ＋12n ＋2B.34－n ＋12n ＋2C.34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋2解析：选C.∵1n ＋12－1＝1n 2＋2n ＝1nn ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. ∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋12－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.6．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．若已知正项数列{a n }的前n项的“均倒数”为12n ＋1，又b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝( )A.111 B.112 C.1011D.1112解析：选C.设数列{a n }的前n 项和为S n ，由na 1＋a 2＋…＋a n ＝12n ＋1得S n ＝n (2n ＋1)，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1，∴b n ＝4n －1＋14＝n ，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝11×2＋12×3＋…＋110×11＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫110－111＝1－111＝1011.故选C.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＋(－1)na n ＝cos(n ＋1)π，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 019＝________.解析：∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π＝(－1)n ＋1，∴当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝－1，k ∈N *，∴S 2 019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 018＋a 2 019)＝1＋(－1)×1 009＝－ 1008.答案：－1 0088．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________.解析：当n ＝1时，由已知S n ＝23a n ＋13，得a 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，由已知得到S n－1＝23a n －1＋13，所以a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23a n －23a n －1，所以a n ＝－2a n －1，所以数列{a n }为以1为首项，－2为公比的等比数列，所以a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n －19．在等比数列{a n }中，0＜a 1＜a 4＝1，则能使不等式⎝⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫a n －1an≤0成立的最大正整数n 是________．解析：设等比数列的公比为q ，由已知得a 1q 3＝1，且q ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝a 11－q n 1－q －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1q n 1－1q≤0，化简得q －3≤q4－n，则－3≤4－n ，n ≤7. 答案：7三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分) 10．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n＋n . 所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋ (10)＝21－2101－2＋1＋10×102＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.11．已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)(n ∈N *)． (1)求a n ；(2)若b n ＝2n·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)＝a 2n ＋2a n －3， ∴当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3， 两式相减得，4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1，化简得，(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， ∵{a n }是正项数列，∴a n ＋a n －1≠0，∴a n －a n －1－2＝0，对任意n ≥2，n ∈N *都有a n －a n －1＝2， 又由4S 1＝a 21＋2a 1－3得，a 21－2a 1－3＝0， 解得a 1＝3或a 1＝－1(舍去)，∴{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1. (2)由已知及(1)知，b n ＝(2n ＋1)·2n ，T n ＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，①2T n ＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，②②－①得，T n ＝－3×21－2(22＋23＋24＋…＋2n )＋(2n ＋1)·2n ＋1＝－6－2×41－2n －11－2＋(2n ＋1)·2n ＋1＝2＋(2n －1)·2n ＋1.12．若数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在y ＝16－13x 的图象上(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c 1＝0，且对任意正整数n 都有c n ＋1－c n ＝log 12a n .求证：对任意正整数n ≥2，总有13≤1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ＜34.解：(1)∵S n ＝16－13a n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －1－13a n ，∴a n ＝14a n －1.又∵S 1＝16－13a 1，∴a 1＝18，∴a n ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＋1.(2)证明：由c n ＋1－c n ＝log 12a n ＝2n ＋1，得当n ≥2时，c n ＝c 1＋(c 2－c 1)＋(c 3－c 2)＋…＋(c n －c n －1)＝0＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2－1＝(n ＋1)(n －1)．∴1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ＝122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1 ＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＜34. 又∵1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ≥1c 2＝13，∴原式得证．。

专题对点练154.1~4.2组合练(限时90分钟,满分100分)专题对点练第21页一、选择题(共9小题,满分45分)1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5B.7C.9D.11答案A解析由a1+a3+a5=3,得3a3=3,解得a3=1.故S5==5a3=5.2.(2017全国Ⅱ,理3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案B解析设塔的顶层共有x盏灯,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由=381,可得x=3,故选B.3.已知等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.答案A解析∵a2,a4,a8成等比数列,∴=a2·a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.∴S n=na1+d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选A.4.(2017宁夏银川一中二模,理8)公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n.若a4是a3与a7的等比中项,S8=16,则S10等于()A.18B.24C.30D.60答案C解析设等差数列{a n}的公差为d≠0.由题意,得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),即2a1+3d=0.①∵S8=16,∴8a1+×d=16,②联立①②解得a1=-,d=1.则S10=10××1=30.5.等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.-C.D.-答案C解析设数列{a n}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.∵当q≠1时,S3==a1·q+10a1,∴=q+10,整理得q2=9.∵a5=a1·q4=9,即81a1=9,∴a1=.6.已知{a n}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-7答案D解析∵{a n}为等比数列,∴a5a6=a4a7=-8.联立可解得时,q3=-,故a1+a10=+a7q3=-7;当时,q3=-2,同理,有a1+a10=-7.故选D.7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.6答案C解析∵S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,∴a m=S m-S m-1=0-(-2)=2,a m+1=S m+1-S m=3-0=3.∴d=a m+1-a m=3-2=1.∵S m=ma1+×1=0,∴a1=-.又=a1+m×1=3,∴-+m=3.∴m=5.故选C.8.(2017江西新余一中模拟,理8)设等差数列{a n}满足3a8=5a15,且a1>0,S n为其前n项和,则数列{S n}的最大项为()A.S23B.S24C.S25D.S26答案C解析设等差数列{a n}的公差为d,∵3a8=5a15,∴3(a1+7d)=5(a1+14d),即2a1+49d=0.∵a1>0,∴d<0,∴等差数列{a n}单调递减.∵S n=na1+d=n d=(n-25)2- d.∴当n=25时,数列{S n}取得最大值,故选C.9.(2017辽宁沈阳三模,理11)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n+a n+1=3×2n-1,则S2 017=()A.22 018-1B.22 018+1C.22 017-1D.22 017+1答案C解析由a1=1和a n+1=3×2n-1-a n,可知数列{a n}唯一确定,且a2=2,a3=4,a4=8, 猜测a n=2n-1,经验证a n=2n-1是满足题意的唯一解.∴S2 017==22 017-1.二、填空题(共3小题,满分15分)10.(2017辽宁鞍山一模,理15)已知等差数列{a n},a1=tan 225°,a5=13a1,设S n为数列{(-1)n a n}的前n项和,则S2 017= .答案-3 025解析设{a n}的公差为d,由题意,得a1=tan 225°=tan 45°=1,a5=13a1=13,a5-a1=4d=12,∴d=3,∴a n=1+3(n-1)=3n-2,∴S2 017=-1+(-3)×=-3 025,故答案为-3 025.11.(2017江苏无锡一模,9)设等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=4,则a8的值为.答案2解析∵等比数列{a n}的前n项和为S n,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=4,∴解得a1q=8,q3=-,∴a8=a1q7=(a1q)(q3)2=8×=2.12.已知等差数列{a n},a3=9,a5=17,记数列的前n项和为S n.若S2n+1-S n≤(m∈Z)对任意的n∈N*成立,则整数m的最小值为.答案4解析设公差为d,由a3=9,a5=17,得解得∴a n=4n-3,∴S n=1++…+,令b n=S2n+1-S n=+…+,则b n+1-b n=+…+<0,∴{b n}是递减数列, ∴b1最大,为,∴根据题意,S2n+1-S n≤,∴,m≥,∴整数m的最小值为4.三、解答题(共3个题,分别满分为13分,13分,14分)13.已知数列{a n}的前n项和为S n,且对任意正整数n,都有3a n=2S n+3成立.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log3a n,求数列{b n}的前n项和T n.解(1)在3a n=2S n+3中,令n=1,得a1=3.当n≥2时,3a n=2S n+3,①3a n-1=2S n-1+3,②①-②得a n=3a n-1,∴数列{a n}是以3为首项,3为公比的等比数列,∴a n=3n.(2)由(1)得b n=log3a n=n,数列{b n}的前n项和T n=1+2+3+…+n=.14.(2017江苏南京一模,19)已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足S n+n=2a n(n∈N*). (1)证明:数列{a n+1}为等比数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(2n+1)a n+2n+1,数列{b n}的前n项和为T n,求满足不等式>2 010的n的最小值.(1)证明当n=1时,2a1=a1+1,∴a1=1.∵2a n=S n+n,n∈N*,∴2a n-1=S n-1+n-1,n≥2,两式相减,得a n=2a n-1+1,n≥2,即a n+1=2(a n-1+1),n≥2,∴数列{a n+1}为以2为首项,2为公比的等比数列,∴a n+1=2n,∴a n=2n-1,n∈N*.(2)解b n=(2n+1)a n+2n+1=(2n+1)·2n,∴T n=3×2+5×22+…+(2n+1)·2n,∴2T n=3×22+5×23+…+(2n+1)·2n+1,两式相减可得-T n=3×2+2×22+2×23+…+2·2n-(2n+1)·2n+1,∴T n=(2n-1)·2n+1+2,∴>2 010可化为2n+1>2 010.∵210=1 024,211=2 048,∴满足不等式>2 010的n的最小值为10.15.(2017河南新乡二模,理17)在数列{a n}和{b n}中,a1=,{a n}的前n项和为S n,满足S n+1+=S n+(n∈N*),b n=(2n+1)a n,{b n}的前n项和为T n.(1)求数列{b n}的通项公式b n以及T n;(2)若T1+T3,mT2,3(T2+T3)成等差数列,求实数m的值.解(1)∵S n+1+=S n+(n∈N*),∴a n+1=S n+1-S n=.∴当n≥2时,a n=.又a1=,因此当n=1时也成立.∴a n=,∴b n=(2n+1)a n=(2n+1)·.∴T n=+…+,T n=+…+,∴T n=+2+2×,∴T n=5-.(2)由(1)可得T1=,T2=,T3=.∵T1+T3,mT2,3(T2+T3)成等差数列,∴+3×=2×m×,解得m=.。

寒假作业(二) 函数的图象与性质(注意速度和准度)一、“12＋4”提速练1．已知函数y ＝2x ＋1，x ∈{x ∈Z|0≤x <3}，则该函数的值域为( ) A ．{y |1≤y <7} B ．{y |1≤y ≤7} C ．{1,3,5,7}D ．{1,3,5}解析：选D 由题意可知，函数的定义域为{0,1,2}，把x ＝0,1,2代入函数解析式可得y ＝1,3,5，所以该函数的值域为{1,3,5}．2．函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．[1，＋∞)解析：选B由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1.则x ∈(0,1]．∴原函数的定义域为(0,1]．3．(2017·成都第一次诊断性检测)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝( )A ．－18 B.18C ．－1258 D.1258解析：选B 由f (x ＋3)＝f (x )知，函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 3＝18. 4．(2018届高三·长沙四校联考)函数y ＝ln|x |－x 2的图象大致为( )解析：选A 令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln|x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D ；当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x－2x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，22时，y ′＝1x－2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.故A 符合．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤0，－log 3x ，x >0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( )A ．－log 37B ．－34C ．－54D ．－74解析：选D 当a ≤0时，2a －2＝－2无解；当a >0时，由－log 3a ＝－2，解得a ＝9，所以f (7－a )＝f (－2)＝2－2－2＝－74. 6．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：选D ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.7．(2017·衡阳四中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72解析：选B 因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称，又因为函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.8．设函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )(x ∈R ，a >0且a ≠1)是偶函数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：选A 法一：因为函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )(x ∈R ，a >0且a ≠1)是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立，所以－x 3(a －x ＋m ·a x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )，即x 3(1＋m )(a x＋a －x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以1＋m ＝0，即m ＝－1.法二：因为f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )是偶函数，所以g (x )＝a x ＋m ·a －x 是奇函数，且g (x )在x ＝0处有意义，所以g (0)＝0，即1＋m ＝0，所以m ＝－1.9．若函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f x x在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：选D ∵函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，图象开口向上，对称轴为x ＝a ，∴a <1.∴g (x )＝f x x＝x ＋a x－2a .若a ≤0，则g (x )＝x ＋a x－2a 在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增．若0<a <1，则g (x )＝x ＋a x－2a 在(a ，＋∞)上单调递增，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．综上可得g (x )＝x ＋a x－2a 在(1，＋∞)一定是增函数．10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x －x ，x >0，－ln －x ＋x ，x <0，则关于m 的不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m <ln 12－2的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(0,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－2,0)∪(0,2)解析：选C 因为函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x >0时，－x <0，f (－x )＝－ln x －x ＝f (x )，同理，当x <0时，也有f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝－ln 2－2＝ln 12－2，所以由偶函数的性质知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m <f (2)，且m ≠0，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m >2，且m ≠0，解得0<m <12或－12<m <0.11．若函数f (x )＝x 2＋ln(x ＋a )与g (x )＝x 2＋e x －12(x <0)的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，e)B ．(e ，＋∞)C ．(0，e) D ．(0，e ]解析：选C 若函数f (x )与g (x )的图象上存在关于y 轴对称的点，则f (x )与g (－x )＝x 2＋e －x －12(x >0)的图象有交点，也就是方程ln(x ＋a )＝e －x －12有正数解，即函数y ＝e －x －12与函数y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，结合图象可知，只需ln a <e 0－12，∴ln a <12，∴0<a <e.12．已知函数f (x )的定义域为D ，若对任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数．设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＝12f (x )；③f (1－x )＝2－f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝( )A.32 B ．1C ．2 D.52解析：选A 令x ＝1，可得f (1)＝2，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12f (1)＝1，令x ＝12，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，令x ＝13，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12，因为函数是非减函数，所以12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝1＋12＝32.13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：因为f (x )是奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，所以当－1≤x <0时，0<－x ≤1，f (－x )＝－2x (1＋x )＝－f (x )，即f (x )＝2x (1＋x )(－1≤x <0)．又f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＝－12.答案：－1214．已知函数f (x )＝4＋x 2ln1＋x1－x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上的最大值与最小值分别为M 和m ，则M ＋m ＝________.解析：令g (x )＝x 2ln1＋x 1－x， 则g (－x )＝(－x )2ln1－x 1＋x ＝－x 2ln 1＋x1－x＝－g (x )，所以函数g (x )为奇函数，其图象关于原点对称，则函数g (x )＝f (x )－4的最大值M －4和最小值m －4之和为0，即M －4＋m －4＝0，∴M ＋m ＝8.答案：815．(2018届高三·江西师大附中月考)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －a 2x 在[0,1]上单调递增，则a 的取值范围为________．解析：令2x ＝t ，t ∈[1,2]，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t 在[1,2]上单调递增．当a ＝0时，y ＝|t |＝t 在[1,2]上单调递增显然成立；当a >0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[a ，＋∞)，此时a ≤1，即0<a ≤1时成立；当a <0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t ＝t －at ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[－a ，＋∞)，此时－a ≤1，即－1≤a <0时成立．综上可得a 的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]16．已知函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如：函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．给出下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数； ②指数函数f (x )＝2x (x ∈R)是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中真命题的序号是________．解析：对于①，当x 1＝2，x 2＝－2时，f (x 1)＝4＝f (x 2)，故①错；对于②，f (x )＝2x 为单调递增函数，故②正确；而③④显然正确．答案：②③④二、能力拔高练1．当a >0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x 的图象大致是( )解析：选B 由f (x )＝0，得x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－2a ，∵a >0，∴x ＝－2a <0，故排除A 、C ；当x 趋近于－∞时，e x 趋近于0，故f (x )趋近于0，排除D.2．设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．1解析：选C 依题意得，曲线y ＝f (x )，即为－x ＝(－y )2＋a (y <0)，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，解得a ＝23.3．已知定义在D ＝[－4,4]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4，对任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9，故选C.4．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若不等式f (x 3－x 2＋a )＋f (－x 3＋x 2－a )≥2f (1)对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2327，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2327，1 C ．[1,3]D ．(－∞，1]解析：选B ∵函数f (x )是定义域在R 上的偶函数，且－x 3＋x 2－a ＝－(x 3－x 2＋a )，∴f (x 3－x 2＋a )＋f (－x 3＋x 2－a )≥2f (1)对x ∈[0,1]恒成立等价于2f (x 3－x 2＋a )≥2f (1)对x ∈[0，1]恒成立，又∵f (x )在[0，＋∞)上单调递减，∴－1≤x 3－x 2＋a ≤1对x ∈[0,1]恒成立．设g (x )＝x 3－x 2，则g ′(x )＝x (3x －2)，则g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1上单调递增，又g (0)＝g (1)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－427，∴g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－427，0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a －427≥－1，∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2327，1.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，x ＋1，x ≤0，g (x )＝log 2x ，若f (a )＋f (g (2))＝0，则实数a 的值为________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，x ＋1，x ≤0，g (x )＝log 2x ，所以g (2)＝log 22＝1，f (g (2))＝f (1)＝1， 由f (a )＋f (g (2))＝0，得f (a )＝－1.当a >0时，因为f (a )＝a 2>0，所以此时不符合题意； 当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－1，解得a ＝－2. 答案：－26.如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6)上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④。

专题对点练2函数与方程思想、数形结合思想一、选择题1、设a>1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=3，这时a的取值的集合为( )A、{a|1<a≤2}B、{a|a≥2}C、{a|2≤a≤3}D、{2，3}答案 B解析依题意得y=，当x∈[a，2a]时，y=、由题意可知⊆[a，a2]，即有a2≥a，又a>1，所以a≥2、故选B、2、椭圆+y2=1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，其一交点为P，则|PF2|=( )A、B、C、D、4答案 C解析如图，令|F1P|=r1，|F2P|=r2，则故r2=、3、若关于x的方程2sin=m在上有两个不等实根，则m的取值范围是( )A、(1，)B、[0，2]C、[1，2)D、[1，]答案 C解析方程2sin=m可化为sin，当x∈时，2x+，画出函数y=f(x)=sin在x∈上的图象如图所示:由题意，得<1，则m的取值范围是[1，2)，故选C、4、函数f(x)是定义在区间(0，+∞)上的可导函数，其导函数为f'(x)，且满足xf'(x)+2f(x)>0，则不等式的解集为( )A、{x|x>-2 011}B、{x|x<-2 011}C、{x|-2 016<x<-2 011}D、{x|-2 011<x<0}答案 C解析由xf'(x)+2f(x)>0，则当x∈(0，+∞)时，x2f'(x)+2xf(x)>0，即[x2f(x)]'=x2f'(x)+2xf(x)，所以函数x2f(x)为单调递增函数，由，即(x+2 016)2f(x+2 016)<52f(5)，所以0<x+2 016<5，所以不等式的解集为{x|-2 016<x<-2 011}，故选C、5、对任意a∈[-1，1]，函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零，则x的取值范围是( )A、{x|1<x<3}B、{x|x<1或x>3}C、{x|1<x<2}D、{x|x<1或x>2}答案 B解析由f(x)=x2+(a-4)x+4-2a>0，得a(x-2)+x2-4x+4>0、令g(a)=a(x-2)+x2-4x+4，由a∈[-1，1]时，不等式f(x)>0恒成立，即g(a)>0在[-1，1]上恒成立、则解得x<1或x>3、6、抛物线y2=2px(p>0)的焦点为圆x2+y2-6x=0的圆心，过圆心且斜率为2的直线l与抛物线相交于M，N两点，则|MN|= ( ) A、30 B、25 C、20 D、15答案 D解析圆x2+y2-6x=0的圆心(3，0)，焦点F(3，0)，抛物线y2=12x，设M(x1，y1)，N(x2，y2)、直线l的方程为y=2x-6，联立即x2-9x+9=0，∴x1+x2=9，∴|MN|=x1+x2+p=9+6=15，故选D、7、若0<x1<x2<1，则( )A、>ln x 2-ln x1B、<ln x2-ln x1C、x 2>x1D、x2<x1答案 C解析设f(x)=e x-ln x(0<x<1)，则f'(x)=e x-、令f'(x)=0，得xe x-1=0、根据函数y=e x与y=的图象(图略)可知两函数图象交点x0∈(0，1)，因此函数f(x)在(0，1)内不是单调函数，故A选项不正确;同理可知B选项也不正确;设g(x)=(0<x<1)，则g'(x)=、又0<x<1，∴g'(x)<0、∴函数g(x)在(0，1)上是减函数、又0<x1<x2<1，∴g(x1)>g(x2)、∴x2>x1、故C选项正确，D项不正确、8、已知在正四棱锥S-ABCD中，SA=2，则当该棱锥的体积最大时，它的高为( )A、1B、C、2D、3答案 C解析设正四棱锥S-ABCD的底面边长为a(a>0)，则高h=，所以体积V=a2h=、设y=12a4-a6(a>0)，则y'=48a3-3a5、令y'>0，得0<a<4;令y'<0，得a>4、故函数y在(0，4]上单调递增，在[4，+∞)内单调递减、可知当a=4时，y取得最大值，即体积V取得最大值，此时h==2，故选C、9、(2017河南郑州一中质检一，理12)已知函数f(x)=x+xln x，若k∈Z，且k(x-1)<f(x)对任意的x>1恒成立，则k的最大值为( )A、2B、3C、4D、5答案 B解析由k(x-1)<f(x)对任意的x>1恒成立，得k<(x>1)，令h(x)=(x>1)，则h'(x)=，令g(x)=x-ln x-2=0，得x-2=ln x，画出函数y=x-2，y=ln x的图象如图，g(x)存在唯一的零点，又g(3)=1-ln 3<0，g(4)=2-ln 4=2(1-ln 2)>0，∴零点属于(3，4)，∴h(x)在(1，x0)内单调递减，在(x0，+∞)内单调递增，而3<h(3)=<4，<h(4)=<4，∴h(x0)<4，k∈Z，∴k的最大值是3、二、填空题10、使log2(-x)<x+1成立的x的取值范围是、答案 (-1，0)解析在同一坐标系中，分别作出y=log2(-x)，y=x+1的图象，由图可知，x的取值范围是(-1，0)、11、若函数f(x)=(a>0，且a≠1)的值域是[4，+∞)，则实数a的取值范围是、答案 (1，2]解析由题意f(x)的图象如图，则∴1<a≤2、12、已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R}，且在(0，+∞)内单调递增，若f(1)=0，则满足x·f(x)<0的x的取值范围是、答案 (-1，0)∪(0，1)解析作出符合条件的一个函数图象草图如图所示，由图可知x·f(x)<0的x的取值范围是(-1，0)∪(0，1)、13、已知圆M与y轴相切，圆心在直线y=x上，并且在x轴上截得的弦长为2，则圆M的标准方程为、答案 (x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4解析设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，由题意可得解得∴圆M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4、14、已知P是直线l:3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A，B 是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为、答案 2解析如图，S Rt△PAC=|PA|·|AC|=|PA|，当CP⊥l时，|PC|==3，∴此时|PA|min==2、∴(S四边形PACB)min=2(S△PAC)min=2、15、我们把函数y1=x2-3x+2(x>0)沿y轴翻折得到函数y2，函数y1与函数y2的图象合起来组成函数y3的图象，若直线y=kx+2与函数y3的图象刚好有两个交点，则满足条件的k的值为、答案 (-3，3)解析依题意，作出函数y3的图象，如下图:∵函数y1=x2-3x+2(x>0)沿y轴翻折得到函数y2，∴y2=x2+3x+2(x<0)、若要直线y=kx+2与函数y3的图象刚好有两个交点，则需直线y=kx+2与y1，y2均有交点、将直线y=kx+2分别代入y1，y2中得x2-(3+k)x=0，x2+(3-k)x=0、解得x1=3+k，x2=k-3，x3=0(舍去)，∵y1=x2-3x+2(x>0)，∴x1=3+k>0;∵y2=x2+3x+2(x<0)，∴x2=k-3<0、联立得解得-3<k<3、三、解答题16、已知数列{a n}是等差数列，a1=1，a2+a3+…+a10=144、(1)求数列{a n}的通项a n;(2)设数列{b n}的通项b n=，记S n是数列{b n}的前n项和，若n≥3时，有S n≥m恒成立，求m的最大值、解 (1)∵{a n}是等差数列，a1=1，a2+a3+…+a10=144，∴S10=145，∴S10=、∴a10=28，∴公差d=3、∴a n=3n-2、(2)由(1)知b n=，∴S n=b1+b2+…+b n=，∴S n=、∵S n+1-S n==>0，∴数列{S n}是递增数列、当n≥3时，(S n)min=S3=，依题意，得m≤，∴m的最大值为、。

阶段提升突破练(二)(数列)(60分钟100分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.已知等比数列{a n}满足a1=3，a2a3a4=54，则a3a4a8=()A.162B.±162C.108D.±108【解析】选C.设等比数列{a n}的公比为q，因为a1=3，a2a3a4=54，所以33q6=54，可得q6=2.则a3a4a8=54q6=108.2.已知等比数列{a n}中，a1+a6=33，a2a5=32，且公比q>1，则a2+a7=()A.129B.128C.66D.36【解析】选C.由a1+a6=33，，a2a5=32=a1a6，得a1=1，a6=32，则a2+a7=66.3.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则=()A.2B.4C.8D.16【解题导引】设等比数列{a n}的公比为q，由于a3=2，a4a6=16，可得a1q2=2，q8=16，解得q2.可得=q4.【解析】选B.设等比数列{a n}的公比为q，因为a3=2，a4a6=16，所以a1q2=2，q8=16，解得q2=2.则= =q4=4.4.(2017·新余二模)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中，甲所得为()A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱【解析】选B.依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得分别为a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a-2d+a-d=a+a+d+a+2d，即a=-6d，又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5，所以a=1，则a-2d=a-2×= a= .5.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=S n+1(n∈N*)，则S5=()A.31B.42C.37D.47【解题导引】a n+1=S n+1(n∈N*)，可得S n+1-S n=S n+1(n∈N*)，变形为：S n+1+1=2(S n+1)(n∈N*)，利用等比数列的通项公式即可得出.【解析】选D.因为a n+1=S n+1(n∈N*)，所以S n+1-S n=S n+1(n∈N*)，变形为：S n+1+1=2(S n+1)(n∈N*)，所以数列{S n+1}为等比数列，首项为3，公比为2.则S5+1=3×24，解得S5=47.6.若数列{a n}满足a1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1=a n+n+1，则+ +…++等于()A. B. C. D.【解析】选C.由a n+1=a n+n+1得，a n+1-a n=n+1，则a2-a1=1+1，a3-a2=2+1，a4-a3=3+1，…，a n-a n-1=(n-1)+1，以上等式相加，得a n-a1=1+2+3+…+(n-1)+n-1，把a1=1代入上式得，a n=1+2+3+…+(n-1)+n= ，= =2 ，则+ +…++ =2[ + +…++]=2 = .7.已知数列{a n}前n项和满足S n-S n-1= + (n≥2)，a1=1，则a n=()A.nB.2n-1C.n2D.2n2-1【解题导引】利用平方差公式对已知数列的递推式化简整理，求得- =1，根据等差数列的定义判断出数列{ }是一个首项为1，公差为1的等差数列.求得数列{ }的通项公式，再由a n=S n-S n-1求得a n.【解析】选B.由S n-S n-1= + ，得( + )( - ) = + ，所以- =1，所以数列{ }是一个首项为1，公差为1的等差数列.所以=1+(n-1)×1=n，所以S n=n2.当n≥2，a n=S n-S n-1=n2-(n -1)2=2n-1.a1=1适合上式，∴a n=2n-1.8.已知T n为数列的前n项和，若n>T10+1013恒成立，则整数n的最小值为()A.1026B.1025C.1024D.1023【解题导引】利用等比数列的求和公式可得T n，即可求解.【解析】选C.因为=1+ ，所以T n=n+1- ，所以T10+1013=11- +1013=1024-，又n>T10+1013恒成立，所以整数n的最小值为1024.【加固训练】1.已知数列{a n}中，前n项和为S n，且S n= a n，则的最大值为()A.-3B.-1C.3D.1【解题导引】利用递推关系可得= =1+ ，再利用数列的单调性即可得出. 【解析】选C.因为S n= a n，所以n≥2时，a n=S n-S n-1= a n- a n-1，化为：= =1+ ，由数列单调递减，可得：n=2时，取得最大值2.所以的最大值为3.2.已知a>0，b>0，且为3a与3b的等比中项，则的最大值为()A. B. C. D.【解题导引】由等比中项推导出a+b=1，从而= == ，由此利用基本不等式能求出的最大值.【解析】选B.因为a>0，b>0，且为3a与3b的等比中项，所以3a·3b=3a+b=( )2=3，所以a+b=1，所以= == ≤= .当且仅当= 时，取等号，所以的最大值为.二、填空题(每小题5分，共20分)9.已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2a n}的前7项之和为__________.【解题导引】由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4，再利用指数与对数的运算性质即可求解.【解析】由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4，所以数列{log2a n}的前7项和为log2a1+log2a2+…+log2a7=log2(a1a2…a7)=log227=7.答案：7【加固训练】若数列{a n}满足a1=2，a n=1- ，则a2017=__________.【解题导引】数列{a n}满足a1=2，a n=1- ，可得a n+3=a n，利用周期性即可得出.【解析】数列{a n}满足a1=2，a n=1- ，可得a2=1- = ，a3=1-2=-1，a4=1-(-1)=2，a5=1-= ，…，所以a n+3=a n，数列的周期为3.所以a2017=a672×3+1=a1=2.答案：210.设T n为数列{a n}的前n项之积，即T n=a1a2a3…a n-1a n，若a1=2，- =1，当T n=11时，n的值为______.【解题导引】由题意可得数列是以=1为首项，以1为公差的等差数列，求其通项公式，可得数列{a n}的通项公式，再由累积法求得T n，则n值可求.【解析】由a1=2，- =1，可得数列是以=1为首项，以1为公差的等差数列，则=1+(n-1)×1=n，所以a n=1+ = ，则T n=a1a2a3…a n-1a n= ·…=n+1，由T n=n+1=11，得n=10.答案：1011.若数列{a n}满足a1= ，a n+1=220 ，则a1a2…a n的最小值为__________________.【解析】依题易知：a n>0，log2a n+1=20+2log2a n⇒(log2a n+1+20)=2(log2a n+20)，则{log2a n+20} 是首项为1，公比为2的等比数列，log2a n+20=2n-1⇒a n= ，a1a2…a n=…= ，令b n=2n-1-20n，b n+1-b n=2n-20≥0⇒n ≥5，{b n}递增，b5=-69最小，a1a2…a n的最小值为2-69.答案：2-69【加固训练】正项数列{a n}满足：a1=1，a2=2，2 = + (n∈N*，n≥2)，则a7=__________.【解题导引】由2 = + (n∈N*，n≥2)，可得数列{ }是等差数列，通过求出数列{ }的通项公式，求得a n，再求a7.【解析】由2 = + (n∈N*，n≥2)，可得数列{ }是等差数列，公差d= -=3，首项=1，所以=1+3×(n-1)=3n-2，a n= ，所以a7= .答案：12.高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110 个，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}=x-[x]表示x的非负纯小数，则y=[x]称为高斯函数，已知数列{a n}满足：a1= ，a n+1=[a n]+ (n∈N*)，则a2017=__________.【解题导引】由于：a1= ，a n+1=[a n]+ (n∈N*)，经过计算可得：数列{a2k-1}成等差数列，首项为，公差为3.即可得出.【解析】满足：a1= ，a n+1=[a n]+ (n∈N*)，所以a2=1+ =2+ ，a3=2+ =3+ =4+( -1)，a4=4+ =5+ ，a5=5+ =6+ =7+( -1)，a6=7+ =8+ ，a7=8+ =9+ =10+( -1)，…，可得：数列{a2k-1}成等差数列，首项为，公差为3.则a2017= +3×(1009-1)=3024+ .答案：3024+【加固训练】已知数列{a n}满足：2a1+22a2+23a3+… +2n a n=n(n∈N*)，数列的前n项和为S n，则S1·S2·S3…S10=__________.【解题导引】根据2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n，求出a n= ，再利用对数的运算性质和裂项法即可得到= - ，裂项求和得到S n，代值计算即可.【解析】因为2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n，所以2a1+22a2+23a3+…+2n-1a n-1=n-1，所以2n a n=1，所以a n= ，所以== = - ，所以S n=1- + - +…+-=1- = ，所以S1·S2·S3…S10= ×××…××= .答案：三、解答题(每小题10分，共40分)13.(2017·全国卷Ⅲ)设数列满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n.(1)求的通项公式.(2)求数列的前n项和.【解析】(1)由已知可得：a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n，所以当n>1时有a1+3a2+…+(2n-3)a n-1=2(n-1)，所以两式作差可得：(2n-1)a n=2，即a n= (n>1，且n∈N*)，又因为n=1时，a1=2符合，所以a n= (n∈N*).(2)设b n= ，则b n= = - ，所以数列的前n项和为S n=b1+b2+…+b n=1- + - +…+-=1- = .14.已知数列{a n}的前n项和为S n，S n= (n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若数列{b n}满足a n·b n=log3a4n+1，记T n=b1+b2+b3+…+b n，求证：T n< (n∈N+).【解题导引】(1)利用递推关系：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n-S n-1，利用等比数列的通项公式即可得出.(2)求出b n= =(4n+1) ，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.【解析】(1)由S n= (n∈N+)可知，当n=1时，a1=S1，2S1+3=3a1，得a1=3.n=2时，2S2+3=3a2，即2(a1+a2)+3=3a2，解得a2=9.当n≥2时，a n=S n-S n-1，因为2S n+3=3a n(n∈N+)，2S n-1+3=3a n-1，两式相减可得2a n= 3a n-3a n-1，所以a n=3a n-1，所以a n=3n.对n=1也成立.故数列{a n}的通项公式为a n=3n.(2)由a n·b n=log3a4n+1=log334n+1=4n+1，得b n= =(4n+1) ，所以T n=b1+b2+b3+…+b n=5·+9·+…+(4n+1)·，T n=5·+9·+…+(4n+1)·，两式相减得，T n= +4×[+ +…+]-(4n+1)·= +4×-(4n+1)·，化简可得T n= - (4n+7)·< .15.在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T n，再令a n=lgT n，n≥1.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=(a n-2)·2n-1，求数列{b n}的前n项和S n.【解析】(1)t1，t2，…t n+2构成递增的等比数列，其中t1=1，t n+2=100，则T n=t1·t2…t n+2=t n+2·t n+1…t1，又，t n+2·t1=t n+ 1·t2=…=t1·t n+2=102，得=102(n+2)，a n=lgT n=lg10n+2=n+2，n≥1.(2)b n=n·2n-1，故S n=1×20+2×21+3×22+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1，2S n=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n，上述两式相减，得-S n=1×20+1×21+1×22+…+1×2n-1-n×2n，整理，得S n=n·2n-2n+1.16.若数列{a n}满足+ +…+= - .(1)求通项公式a n.(2)求数列{a n}的前n项和.【解析】(1)因为+ +…+= - ，所以当n≥2时，+ +…+= - ，11两式相减得：= - = ，所以a n=(2n-1)·(n≥2)，又因为= - =- 不满足上式，所以a n=(2)当n≥2时，S n=- +3×+5×+7×+…+(2n-1)×，S n=- +3×+5×+…+(2n-3)·+(2n-1)·，两式相减得S n=- + +2[ + +…+]-(2n-1)·= +2·-(2n-1)·= + -10·-(2n-1)·= -(2n+9)·，所以S n= -(10n+45)·(n≥2).12当n=1时，也符合上式，所以S n=-(10n+45)·.13。

跟踪强化训练(一)一、选择题1．(2017·银川模拟)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A ．4 B ．－4 C.94 D ．－94[解析] ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0， 即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.故选B. [答案] B2．(2017·沈阳模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 解法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项a 1＝13可推知数列{a n }递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时，S n 最大．故选C.解法二：设{a n }的公差为d ，由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大．故选C.解法三：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n＝3＋112＝7时，S n取得最大值．故选C.[答案] C3．(2017·武汉市武昌区高三调研考试)已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)C．(－3,1) D．(1，＋∞)[解析] 依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1，故选A.[答案] A4．(2017·济南一模)方程m＋1－x＝x有解，则m的最大值为( ) A．1 B．0 C．－1 D．－2[解析] 由原式得m＝x－1－x，设1－x＝t(t≥0)，则m＝1－t2－t＝54－⎝⎛⎭⎪⎫t＋122，∵m＝54－⎝⎛⎭⎪⎫t＋122在[0，＋∞)上是减函数．∴t＝0时，m的最大值为1，故选A.[答案] A5．(2017·辽宁省沈阳市高三教学质量监测)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)<g(1)的解集是( )A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0,1)C．(－1,1) D．(－1,0)∪(0,1)[解析] 因为g(x)＝x2f(x)，所以g′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝x[xf′(x)＋2f (x )]，由题意知，当x >0时，xf ′(x )＋2f (x )>0，所以g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为偶函数，则g (x )也是偶函数，所以g (x )＝g (|x |)，由g (x )<g (1)得g (|x |)<g (1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0，则x ∈(－1,0)∪(0,1)．故选D.[答案] D6．(2017·杭州质检)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1 [解析] 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 22p.设M (x ′，y ′)，由PM →＝2MF →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝－y ，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．[答案] C 二、填空题7．(2017·厦门一中月考)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于________．[解析] y ′＝x －－x ＋x －2＝－2x －2，将x ＝3代入，得曲线y＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线斜率k ＝－12，故与切线垂直的直线的斜率为2，即－a ＝2，得a ＝－2.[答案] －28．(2017·南昌模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．[解析] 利用双曲线的性质建立关于a ，b ，c 的等式求解．如图，由题意知|AB |＝2b 2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理，得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．[答案] 29．(2017·衡水中学检测)已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________．[解析] 如图所示，设正四棱锥的底面边长为a ，高为h .则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323，故a 2h ＝32，即a 2＝32h .则其侧棱长为l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a 22＋h 2＝16h＋h 2.令f (h )＝16h＋h 2，则f ′(h )＝－16h 2＋2h ＝2h 3－16h2， 令f ′(h )＝0，解得h ＝2.显然当h ∈(0,2)时，f ′(h )<0，f (h )单调递减； 当h ∈(2，＋∞)时，f ′(h )>0，f (h )单调递增． 所以当h ＝2时，f (h )取得最小值f (2)＝162＋22＝12， 故其侧棱长的最小值l ＝12＝2 3. [答案] 2 3 三、解答题10．(2017·湖南湘中联考)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围． [解] (1)∵a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，∵sin A ≠0， ∴sin B ＝12，又△ABC 为锐角三角形，∴B ＝π6.(2)∵B ＝π6，∴cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6－A＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A＝cos A ＋12cos A ＋32sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3.由△ABC 为锐角三角形知，A ＋B >π2，∴π3<A <π2，∴2π3<A ＋π3<5π6， ∴12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，∴32<3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，∴cos A ＋sin C 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32. 11．(2017·合肥模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求证：T n ≤49. [解] (1)由a 1＝9，a 2为整数可知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 5，∴a 5≥0，a 6≤0， 于是9＋4d ≥0,9＋5d ≤0， 解得－94≤d ≤－95.∵d 为整数，∴d ＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝11－2n . (2)证明：由(1)，得1a n a n ＋1＝1－2n－2n＝12⎝⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ，∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫19－2n －19. 令b n ＝19－2n ，由函数f (x )＝19－2x 的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性，知0<b 1<b 2<b 3<b 4，b 5<b 6<b 7<…<0，∴b n ≤b 4＝1.∴T n ≤12×⎝⎛⎭⎪⎫1－19＝49.12．(2017·长沙模拟)已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率等于223，P 是椭圆E 上的点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1→·PF 2→＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围．[解] (1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，半焦距为c .∵椭圆E 的离心率等于223，∴c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2＝a 29.∵以线段PF 1为直径的圆经过F 2， ∴PF 2⊥F 1F 2.∴|PF 2|＝b 2a.∵9PF 1→·PF 2→＝1，∴9|PF 2→|2＝9b4a2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝a 29，9b 4a 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝1，∴椭圆E 的方程为y 29＋x 2＝1. (2)∵直线2x ＋1＝0与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－12相交，∴直线l 不可能与x 轴垂直，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，9x 2＋y 2＝9，得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2－9)＝0.∵直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ， ∴Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)>0，即m 2－k 2－9<0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2km k 2＋9.∵线段MN 被直线2x ＋1＝0平分， ∴2×x 1＋x 22＋1＝0，即－2kmk 2＋9＋1＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－k 2－9<0，－2kmk 2＋9＋1＝0，得⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋92k 2－(k 2＋9)<0. ∵k 2＋9>0，∴k 2＋94k2－1<0，∴k 2>3，解得k >3或k <－ 3.∴直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3.跟踪强化训练(二)一、选择题1．(2017·沈阳质检)方程sinπx ＝x4的解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 在同一平面直角坐标系中画出y 1＝sinπx 和y 2＝x4的图象，如右图：观察图象可知y 1＝sinπx 和y 2＝x4的图象在第一象限有3个交点，根据对称性可知，在第三象限也有3个交点，再加上原点，共7个交点，所以方程sinπx ＝x4有7个解，故选C.[答案] C2．(2017·郑州模拟)若实数x ，y 满足等式x 2＋y 2＝1，那么yx －2的最大值为( )A.12B.33C.32D. 3[解析] 设k ＝yx －2，如图所示，k PB ＝tan ∠OPB ＝122－12＝33，k PA ＝－tan ∠OPA ＝－33，且k PA ≤k ≤k PB ，∴k max ＝33，故选B.[答案] B3．(2017·宝鸡质检)若方程x ＋k ＝1－x 2有且只有一个解，则k 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．k ＝± 2C ．[－1,1]D ．k ＝2或k ∈[－1,1)[解析] 令y 1＝x ＋k ，y 2＝1－x 2，则x 2＋y 2＝1(y ≥0)．作出图象如图：而y 1＝x ＋k 中，k 是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一个公共点⇔k ＝2或－1≤k <1，故选D.[答案] D4．(2016·广州检测)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)[解析] 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选B.[答案] B5．(2017·西安二模)若方程x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ＝0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则ba的取值范围是( )A ．(－2，－1)B ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12D ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞[解析] 由题意可知，方程的一个根位于(0,1)之间，另一个根大于1.设f (x )＝x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧f，f，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b >0，2a ＋b ＋3<0.作出可行域如图中阴影部分所示．ba可以看作可行域内的点(a ，b )与原点O (0,0)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3＝0，a ＋b ＋1＝0可解得A (－2,1)，过点A 、O 作l 1，过点O 作平行于直线2a ＋b ＋3＝0的直线l 2，易知kl 2<b a <kl 1，又kl 1＝－12，kl 2＝－2，∴－2<b a<－12.故选C. [答案] C6．(2017·南宁一模)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1][解析] 设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1. 又∵OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →| ＝x －2＋y ＋32.∴|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义是点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离(如图)，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1，故选D.[答案] D 二、填空题7．(2017·青岛二模)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．[解析] 作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．[答案] (－1,0)∪(0,1)8．(2017·合肥质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．[解析] 画出函数f (x )的图象如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，由图象易知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，19．(2017·山西四校模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．[解析]由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ，故此题可转化为线性规划问题．画出可行域如图所示．作出直线a 1＋3d ＝0，经平移可知当直线a 4＝a 1＋3d 过可行域内点A (1,1)时，截距最大，此时a 4取最大值4.[答案] 4 三、解答题10．(2017·海口模拟)设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实数α、β.(1)求实数a 的取值范围； (2)求α＋β的值．[解] (1)原方程可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝－a2，作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈(0,2π))的图象．由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a2<1，－a 2≠32，即－2<a <－3或－3<a <2.(2)由图知：当－3<a <2，即－a 2∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，32时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为7π6，所以α＋β2＝7π6， 所以α＋β＝7π3.当－2<a <－3，即－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，1时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象有两交点A 、B ，由对称性知，α＋β2＝π6，所以α＋β＝π3， 综上所述，α＋β＝π3或7π3.11．(2017·福州质检)已知圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，求PE →·PF →的最小值．[解] 由题意，可知圆心M 的坐标为(2＋5cos θ，5sin θ)，由此可知圆心M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝25，如图，经分析可知，只有当P 在线段MC 上时，才能够使PE →·PF →最小，此时PC ＝4，又Rt △PEC 中，EC ＝2，则PE ＝23，∠EPC ＝30°，∴PF ＝PE ＝23，∠EPF ＝2∠EPC ＝2×30°＝60°，故(PE →·PF →)min ＝(23)2×cos60°＝6.12.右面的图形无限向内延续，最外面的正方形的边长是2，从外到内，第n 个正方形与其内切圆之间的深色图形面积记为S n (n ∈N *)．(1)证明：S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)； (2)证明：S 1＋S 2＋…＋S n <8－2π.[证明] (1)设第n (n ∈N *)个正方形的边长为a n ，则其内切圆半径为a n2，第n ＋1个正方形的边长为22a n ，其内切圆半径为24a n ，所以S n ＝a 2n －π⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 22＝a 2n ⎝⎛⎭⎪⎫1－π4(n ∈N *)，S n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22a n 2－π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫24a n 2＝a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－π8＝12S n(n ∈N *)．所以S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S 1＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π4＝4－π，S 2＝2－π2，…，S n ＝(4－π)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝(4－π)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＝(4－π)×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝(8－2π)⎝⎛⎭⎪⎫1－12n<8－2π.跟踪强化训练(三)一、选择题1．(2017·武汉二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析] 解法一：当a <0时，不等式f (a )<1为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.解法二：取a ＝0, f (0)＝0<1，符合题意，排除A ，B ，D. [答案] C2．(2017·大同二模)已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(0,4]D ．[0,4)[解析] 因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f (x )＝1，其定义域是实数集R ；当m >0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4.[答案] B3．(2017·太原模拟)4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用1名大学生的情况有( )A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种[解析] 每家企业至少录用一名大学生的情况有两类：一类是每家企业都录用一名，有C 34A 33＝24(种)；一类是其中一家企业录用了2名，有C 24A 33＝36(种)，所以一共有24＋36＝60(种)，故选D.[答案] D4．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则该双曲线的离心率为( )A ．2或 3B ．2或233C.233D ．2[解析] 当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝tan π3＝3，故双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a2＝1＋3＝2；当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±a b x ，所以a b ＝tan π3＝3，则b a ＝33，所以双曲线的离心率e ＝ca＝ 1＋b 2a2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝233.故选B. [答案] B5．(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] ∵a ，b >0且a ≠1，b ≠1，∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为a log a b >a 1，即b >a >1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为a log a b <a 1，即0<b <a <1， ∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0. 综上可知，选D. [答案] D6．如图，过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面CB 1D 1平行的直线有( )A ．18条B ．20条C．21条D．22条[解析] 设各边的中点如图所示，其中与直线D1B1平行的有F1G1，E1H1，FG，EH，NL，共5条；与直线CD1平行的有G1M，GN，LE1，KE，H1F，共5条；与直线CB1平行的有F1M，FL，HK，NH1，GE1，共5条．分别取CB1，B1D1，CD1的中点如图，连接CO，D1P，B1T，与直线CO平行的有GH1，FE1，共2条；与直线D1P 平行的有H1L，NF，共2条；与直线B1T平行的有E1N，GL，共2条．故与平面CB1D1平行的直线共有5＋5＋5＋2＋2＋2＝21条．[答案] C二、填空题7．(2017·郑州模拟)过点P(3,4)与圆x2－2x＋y2－3＝0相切的直线方程为______________．[解析] 圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.当直线的斜率不存在时，直线x＝3适合；当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0.由|k－0＋4－3k|k2＋1＝2，得k＝34.此时直线方程为y－4＝34(x－3)，即3x－4y＋7＝0.综上所述，所求切线的方程为x ＝3或3x －4y ＋7＝0. [答案] x ＝3或3x －4y ＋7＝08．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________．[解析] 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V ＝2×3×12×4＝43；当长、宽分别为4和6时，体积V ＝43×233×12×6＝833.综上所述，所求体积为43或833.[答案] 43或8339．(2017·深圳模拟)若函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x 存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x，即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解． 当m ≤0时显然成立；当m >0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m>0，故需且只需Δ>0，即1－8m >0，故0<m <18.综上所述，m <18，故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，18.[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，18三、解答题10．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．[解] (1)设数列{a n}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，a n＝2；当d＝4时，a n＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{a n}的通项公式为a n＝2或a n＝4n－2.(2)当a n＝2时，S n＝2n.显然2n<60n＋800，此时不存在正整数n，使得S n>60n＋800成立．当a n＝4n－2时，S n＝n[2＋n－2＝2n2.令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，解得n>40或n<－10(舍去)，此时存在正整数n，使得S n>60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当a n＝2时，不存在满足题意的n；当a n＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a cos B.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．[解] (1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin A cos B，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故－π<A －B <π，所以，B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ， 所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.12．(2017·唐山模拟)已知函数f (x )＝ax＋ln x －2，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，m )处的切线平行于直线y ＝－32x ＋1，求函数f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使函数f (x )在(0，e 2]上有最小值2？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．[解] (1)∵f (x )＝a x＋ln x －2(x >0)，∴f ′(x )＝－a x 2＋1x(x >0)，又曲线y ＝f (x )在点P (2，m )处的切线平行于直线 y ＝－32x ＋1，∴f ′(2)＝－14a ＋12＝－32⇒a ＝8.∴f ′(x )＝－8x 2＋1x ＝x －8x2(x >0)，令f ′(x )>0，得x >8，f (x )在(8，＋∞)上单调递增； 令f ′(x )<0，得0<x <8, f (x )在(0,8)上单调递减．∴f (x )的单调递增区间为(8，＋∞)，单调递减区间为(0,8)． (2)由(1)知f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －a x2(x >0)．(ⅰ)当a ≤0时， f ′(x )>0恒成立，即f (x )在(0，e 2]上单调递增，无最小值，不满足题意．(ⅱ)当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，所以当f ′(x )>0时，x >a ，当f ′(x )<0时，0<x <a ，此时函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减． 若a >e 2，则函数f (x )在(0，e 2]上的最小值f (x )min ＝f (e 2)＝ae2＋lne 2－2＝a e 2，由ae2＝2，得a ＝2e 2，满足a >e 2，符合题意； 若a ≤e 2，则函数f (x )在(0，e 2]上的最小值f (x )min ＝f (a )＝aa＋ln a －2＝ln a －1，由ln a －1＝2，得a ＝e 3，不满足a ≤e 2，不符合题意，舍去．综上可知，存在实数a ＝2e 2，使函数f (x )在(0，e 2]上有最小值2.跟踪强化训练(四)一、选择题1．函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1D ．2，－2[解析] y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，所以最大值为2，最小值为－2.[答案] D2．(2017·沈阳质监)在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a ＋c ＝3b ，则tanA2tan C2的值为( ) A.15 B.14 C.12 D.23[解析] 令a ＝4，c ＝5，b ＝3，则符合题意． 则由∠C ＝90°，得tan C2＝1，由tan A ＝43，得tan A 2＝12.∴tan A 2·tan C 2＝12·1＝12，选C.[答案] C3．(2017·山西四校联考)P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和圆(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，则其分别为已知两圆的圆心，由已知|PF1|－|PF2|＝2×3＝6.要使|PM|－|PN|最大，需PM，PN分别过F1、F2点即可．∴(|PM|－|PN|)max＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝9.故选D.[答案] D4．(2017·保定模拟)函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(1)＝0，当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0，则使得f(x)<0成立的x的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)[解析] 设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)．∵当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0，∴当x<0时，g′(x)>0，∴函数g(x)＝xf(x)在(－∞，0)上为增函数，∵函数f(x)是奇函数，∴g(－x)＝(－x)f(－x)＝(－x)·[－f(x)]＝xf(x)＝g(x)(x∈R)，∴函数g(x)在R上为偶函数，由f(1)＝0，得g(1)＝0，函数g(x)的图象大致如图所示，∵f(x)<0，∴x≠0，g xx<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x <0，g x 或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，g x ，由函数图象知，－1<x <0或x >1.∴使得f (x )<0成立的x 的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)．故选B. [答案] B5．(2017·南昌调研)某重点中学在一次高三诊断考试中要安排8位老师监考某一考场的语文、数学、理综、英语考试，要求每堂安排两位老师且每位老师仅监考一堂，则其中甲、乙老师不监考同一堂的概率是( )A.314B.67C.37D.17[解析] 利用间接法，安排8位老师监考某一考场的方法共有C 28C 26C 24C 22种，而安排甲、乙两位老师监考同一堂的方法有C 14C 26C 24C 22，所以甲、乙两位老师不监考同一堂的概率为1－C 14C 26C 24C 22C 28C 26C 24C 22＝1－17＝67，故选B.[答案] B6．(2017·江南十校联考)若α、β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是( )A ．α>βB ．α＋β>0C ．α<βD ．α2>β2[解析] 令f (x )＝x sin x ，则f ′(x )＝sin x ＋x ·cos x .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，f (x )为偶函数，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为减函数．∴αsin α－βsin β>0⇔f (|α|)>f (|β|)⇒|α|>|β|⇒α2>β2，故选D.[答案] D二、填空题7．(2017·安徽省合肥市高三二检)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________． [解析]因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.[答案] [1，＋∞)8．如图，已知在△ABC 中，∠BAC ＝120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．[解析] 因为AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)×AB →·AC →－4λ＋9＝0，AB →·AC →＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－3，所以－3(λ－1)－4λ＋9＝0，得λ＝127.[答案]1279．(2017·赣中南五校联考)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值为________．[解析] 连接A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开，使与△A 1BC 1在同一个平面内，如图所示，连接A 1C .则A 1C 的长度就是所求的最小值．易知∠A 1C 1B ＝90°，∠BC 1C ＝45°，所以∠A 1C 1C ＝135°，在△A 1C 1C 中，由余弦定理可得A 1C ＝5 2.故CP ＋PA 1的最小值为5 2. [答案] 5 2 三、解答题10．(2017·广西南宁月考)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，－fx ，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1的区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．[解] (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >0，－x ＋2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，从而|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．11．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)如图，过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍去)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k x 1－x 1－t ＋k x 2－x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒k 2－k 2＋1－2k 2t ＋k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．12．已知函数f (x )＝ln x －(x ＋1)． (1)求函数f (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．[解] (1)∵f (x )＝ln x －(x ＋1)， ∴f ′(x )＝1x－1(x >0)．令f ′(x )>0，解得0<x <1； 令f ′(x )<0，解得x >1.∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴f (x )极大值＝f (1)＝－2.(2)证明：由(1)知x ＝1是函数f (x )的极大值点，也是最大值点， ∴f (x )≤f (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)，取t ＝1n(n ∈N *)时，则1n>ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， 叠加得1＋12＋13＋…＋1n>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·32·43·…·n ＋1n ＝ln(n ＋1)． 即1＋12＋13＋…＋1n>ln(n ＋1)．跟踪强化训练(五)1．[直接法](2017·济南二模)某班有6位学生与班主任老师毕业前夕留影，要求班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻，则排法的种数为( )A ．96B ．432C ．480D ．528[解析] 当甲、乙在班主任两侧时，甲、乙两人有3×3×2种排法，共有3×3×2×24种排法；当甲乙在班主任同侧时，有4×24种排法，因此共有排法3×3×2×24＋4×24＝528(种)．[答案] D2．[直接法](原创题)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，点B (－1,3)，C (3，－1)，且其“欧拉线”与圆x 2＋(y －2)2＝r 2相切，则该圆的面积为( )A ．π B．2π C．4π D．5π[解析] 依题意，△ABC 的外心、重心、垂心均在边BC 的垂直平分线上，BC 的中点为M (1,1)，直线BC 的斜率为－1，因此△ABC 的“欧拉线”方程是y－1＝x －1，即x －y ＝0.圆心(0,2)到直线x －y ＝0的距离d ＝r ＝22＝2，则该圆的面积为πr 2＝2π.[答案] B3．[特例法]计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1[解析] 取α＝π12，则原式＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π12cosπ62cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π12＝3×322×34＝1.故选D.[答案] D4．[特例法]已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( ) A.32 B. 2 C ．1 D.12[解析] 如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点，AO →＝23AD →，则有13AB →＋13AC →＝2m ·AO →，∴13(AB →＋AC →)＝2m ×23AD →，∴13·2AD →＝43mAD →，∴m ＝32.故选A. [答案] A5．[排除法](2017·重庆一诊)若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－1,2)C ．(－∞，0)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[解析] 当a ＝0时，P (1,1)，Q (3,0)，因为k PQ ＝0－13－1＝－12<0，此时过点P (1,1)，Q (3,0)的直线的倾斜角为钝角，排除C ，D ；当a ＝1时，P (0,2)，Q (3,2)，因为k PQ ＝0，不符合题意，排除B ，选A.[答案] A6．[排除法](2017·武汉汉中二检)函数f (x )＝sin2x ＋e ln|x |图象的大致形状是( )[解析] 因为f (x )＝sin2x ＋e ln|x |，所以f (－x )＝－sin2x ＋e ln|x |. 显然f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )，所以函数f (x )为非奇非偶函数，可排除A ，C.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1＋π4<0，可排除D.选B.[答案] B7．[图解法]已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°[解析] 如图，因为〈a ，b 〉＝120°，|b |＝2|a |，a ＋b ＋c ＝0，所以在△OBC 中，BC 与CO 的夹角为90°，即a 与c 的夹角为90°.[答案] B8．[图解法](2017·东北三校联考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cosπx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cosπx ＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＝－2cosπx ，令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)，h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)，又因为g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，1≤x ≤4，2x －1，－2≤x <1.在同一坐标系中分别作出函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的图象(如图)，由图象可知，函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|关于x ＝1对称，又x ＝1也是函数h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的对称轴，所以函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的交点也关于x ＝1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.[答案] C9．[估算法]图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )[解析] 由题图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.[答案] B10．[估算法]已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积是( )A.36B.26C.23D.22 [解析] 容易得到△ABC 的面积为34，而三棱锥的高一定小于球的直径2，所以V <13×34×2＝36，立即排除A 、C 、D ，答案选B.[答案] B11．[概念辨析法](2017·南昌一模)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若α＝2π＋π6，β＝π6，α>β，但sin α＝sin β，若α＝π3，β＝2π＋π6，sin α>sin β，但此时α>β不成立，因而“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件．[答案] D12．[概念辨析法](2017·襄阳调研)非空集合A 中的元素个数用(A )表示，定义(A －B )＝⎩⎪⎨⎪⎧A －B ，A B ，B －A ，AB若A ＝{－1,0}，B ＝{x ||x 2－2x －3|＝a }，且(A －B )≤1，则实数a 的所有可能取值为( )A ．{a |a ≥4}B ．{a |a >4或a ＝0}C ．{a |0≤a ≤4}D ．{a |a ≥4或a ＝0}[解析] 因为A ＝{－1,0}，所以集合A 中有2个元素，即(A )＝2.因为B ＝{x ||x 2－2x －3|＝a }，所以(B )就是函数f (x )＝|x 2－2x －3|的图象与直线y ＝a 的交点个数，作出函数f (x )的图象如图所示．由图可知，(B )＝0或(B )＝2或(B )＝3或(B )＝4.①当(A )≥(B )时，又(A －B )≤1，则(B )≥(A )－1，所以(B )≥1，又(A )≥(B )，所以1≤(B )≤2，所以(B )＝2，由图可知，a ＝0或a >4；②当(A )<(B )时，又(A －B )≤1，则(B )≤(A )＋1，即(B )≤3，又(A )<(B )，所以2<(B )≤3，所以(B )＝3，由图可知，a ＝4.综上所述，a ＝0或a ≥4，故选D. [答案] D跟踪强化训练(六)1．[直接法]对于锐角α，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.[解析] 由α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12sin π4＝45×22－35×22＝210，于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2102－1＝－2425. [答案] －24252．[直接法]已知(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x 的系数为2，则实数a 的值为________．[解析] 因为(1－2x )5的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 15×(－2)＝－10；(1＋ax )4的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 14a ＝4a ，所以(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x 的系数为1×4a ＋1×(－10)＝2，所以a ＝3.[答案] 33．[特例法]已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________．[解析] 令a n＝n，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316.[答案] 13 164．[特例法]如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．[解析] 要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E，F，G分别为中点即可．故可以将三条棱长分别取为OA＝6，OB ＝4，OC＝2，如图，则可计算S1＝35，S2＝210，S3＝13，故S3<S2<S1.[答案] S3<S2<S15．[图解法]设方程1x＋1＝|lg x|的两个根为x1，x2，则x1·x2的取值范围________．[解析] 分别作出函数y＝1x＋1和y＝|lg x|的图象如图，不妨设0<x 1<1<x 2，则|lg x 1|>|lg x 2|， ∴－lg x 1>lg x 2，即lg x 1＋lg x 2<0，∴0<x 1x 2<1. [答案] (0,1)6．[图解法]不等式4－x 2－kx ＋1≤0的解集非空，则k 的取值范围为________．[解析] 由4－x 2－kx ＋1≤0，得4－x 2≤kx －1，设f (x )＝4－x 2，g (x )＝kx －1，其中－2≤x ≤2.如图，作出函数f (x )，g (x )的图象，不等式的解集非空，即直线l 和半圆有公共点．由图可知k AC ＝0－－－2－0＝－12，k BC ＝0－－2－0＝12. 所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞7．[构造法]如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．[解析] 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.[答案]6π8．[构造法]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1，则{a n }的通项公式为________．[解析] 由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋12＝32·3n －1，故a n ＝3n－12.[答案] a n ＝3n －129．[归纳推理法](2017·辽宁丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为________．[解析] 因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．[答案] (4,9)10．[归纳推理法]若直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b2.类比以上结论，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO为该棱锥的高，记M ＝1PO 2，N ＝1PA 2＋1PB 2＋1PC 2，那么M ，N 的大小关系是M ________N ．(填>，<或＝)[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2△ABC ＝S 2△ABP ＋S 2△PBC ＋S 2△APC ，S △ABC ·PO ＝12·PA ·PB ·PC ，所以M ＝1PO 2＝S 2△ABCS 2△ABCPO 2＝S 2△ABP ＋S 2△PBC ＋S 2△APC14PA 2·PB 2·PC 2＝1PA 2＋1PB 2＋1PC 2＝N .即M ＝N .[答案] ＝11．[正反互推法]给出以下命题：①双曲线y 22－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x ；②命题p ：“∀x ∈R ＋，sin x ＋1sin x≥2”是真命题；③已知线性回归方程为y ^＝3＋2x ，当变量x 增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；④设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝0.2，则p (－1<ξ<0)＝0.6.则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号)．[解析] ①由y 22－x 2＝0可以解得双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，正确．②命题不能保证sin x ，1sin x 为正，故错误；③根据线性回归方程的含义正确； ④P (ξ>1)＝0.2， 可得P (ξ<－1)＝0.2，所以P (－1<ξ<0)＝12P (－1<ξ<1)＝0.3，故错误．。

2018高三数学（理）二轮阶段提升突破练全集（人教版6份有答案）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址阶段提升突破练一、选择题.已知等比数列{an}满足a1=3，a2a3a4=54，则a3a4a8=A.162B.±162c.108D.±108【解析】选c.设等比数列{an}的公比为q，因为a1=3，a2a3a4=54，所以33q6=54，可得q6=2.则a3a4a8=54q6=108.2.已知等比数列{an}中，a1+a6=33，a2a5=32，且公比q&gt;1，则a2+a7=A.129B.128c.66D.36【解析】选c.由a1+a6=33，，a2a5=32=a1a6，得a1=1，a6=32，则a2+a7=66.3.已知等比数列{an}中，a3=2，a4a6=16，则=A.2B.4c.8D.16【解题导引】设等比数列{an}的公比为q，由于a3=2，a4a6=16，可得a1q2=2，q8=16，解得q2.可得=q4.【解析】选B.设等比数列{an}的公比为q，因为a3=2，a4a6=16，所以a1q2=2，q8=16，解得q2=2.则==q4=4.4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”.这个问题中，甲所得为A.钱B.钱c.钱D.钱【解析】选B.依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得分别为a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a-2d+a-d=a+a+d+a+2d，即a=-6d，又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5，所以a=1，则a-2d=a-2×=a=.5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=Sn+1，则S5=A.31B.42c.37D.47【解题导引】an+1=Sn+1，可得Sn+1-Sn=Sn+1，变形为：Sn+1+1=2，利用等比数列的通项公式即可得出.【解析】选D.因为an+1=Sn+1，所以Sn+1-Sn=Sn+1，变形为：Sn+1+1=2，所以数列{Sn+1}为等比数列，首项为3，公比为2.则S5+1=3×24，解得S5=47.6.若数列{an}满足a1=1，且对于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1，则++…++等于A.B.c.D.【解析】选c.由an+1=an+n+1得，an+1-an=n+1，则a2-a1=1+1，a3-a2=2+1，a4-a3=3+1，…，an-an-1=+1，以上等式相加，得an-a1=1+2+3+…++n-1，把a1=1代入上式得，an=1+2+3+…++n=，==2，则++…++=2[++…++]=2=.7.已知数列{an}前n项和满足Sn-Sn-1=+，a1=1，则an=A.nB.2n-1c.n2D.2n2-1【解题导引】利用平方差公式对已知数列的递推式化简整理，求得-=1，根据等差数列的定义判断出数列{}是一个首项为1，公差为1的等差数列.求得数列{}的通项公式，再由an=Sn-Sn-1求得an.【解析】选B.由Sn-Sn-1=+，得=+，所以-=1，所以数列{}是一个首项为1，公差为1的等差数列.所以=1+×1=n，所以Sn=n2.当n≥2，an=Sn-Sn-1=n2-2=2n-1.a1=1适合上式，∴an=2n-1.8.已知Tn为数列的前n项和，若n&gt;T10+1013恒成立，则整数n的最小值为世纪金榜导学号92494195A.1026B.1025c.1024D.1023【解题导引】利用等比数列的求和公式可得Tn，即可求解.【解析】选 c.因为=1+，所以Tn=n+1-，所以T10+1013=11-+1013=1024-，又n&gt;T10+1013恒成立，所以整数n的最小值为1024.【加固训练】1.已知数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn=an，则的最大值为A.-3B.-1c.3D.1【解题导引】利用递推关系可得==1+，再利用数列的单调性即可得出.【解析】选 c.因为Sn=an，所以n≥2时，an=Sn-Sn-1=an-an-1，化为：==1+，由数列单调递减，可得：n=2时，取得最大值2.所以的最大值为3.2.已知a&gt;0，b&gt;0，且为3a与3b的等比中项，则的最大值为A.B.c.D.【解题导引】由等比中项推导出a+b=1，从而===，由此利用基本不等式能求出的最大值.【解析】选B.因为a&gt;0，b&gt;0，且为3a与3b的等比中项，所以3a&#8226;3b=3a+b=2=3，所以a+b=1，所以===≤=.当且仅当=时，取等号，所以的最大值为.二、填空题9.已知等比数列{an}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2an}的前7项之和为__________.【解题导引】由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4，再利用指数与对数的运算性质即可求解.【解析】由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4，所以数列{log2an}的前7项和为log2a1+log2a2+…+log2a7=log2=log227=7.答案：7【加固训练】若数列{an}满足a1=2，an=1-，则aXX=__________.【解题导引】数列{an}满足a1=2，an=1-，可得an+3=an，利用周期性即可得出.【解析】数列{an}满足a1=2，an=1-，可得a2=1-=，a3=1-2=-1，a4=1-=2，a5=1-=，…，所以an+3=an，数列的周期为3.所以aXX=a672×3+1=a1=2.答案：20.设Tn为数列{an}的前n项之积，即Tn=a1a2a3…an-1an，若a1=2，-=1，当Tn=11时，n的值为______.世纪金榜导学号92494196【解题导引】由题意可得数列是以=1为首项，以1为公差的等差数列，求其通项公式，可得数列{an}的通项公式，再由累积法求得Tn，则n值可求.【解析】由a1=2，-=1，可得数列是以=1为首项，以1为公差的等差数列，则=1+×1=n，所以an=1+=，则Tn=a1a2a3…an-1an=&#8226;…=n+1，由Tn=n+1=11，得n=10.答案：101.若数列{an}满足a1=，an+1=220，则a1a2…an的最小值为__________________.世纪金榜导学号92494197【解析】依题易知：an&gt;0，log2an+1=20+2log2an&#8658;=2，则{log2an+20}是首项为1，公比为2的等比数列，log2an+20=2n-1&#8658;an=，a1a2…an=…=，令bn=2n-1-20n，bn+1-bn=2n-20≥0&#8658;n≥5，{bn}递增，b5=-69最小，a1a2…an的最小值为2-69.答案：2-69【加固训练】正项数列{an}满足：a1=1，a2=2，2=+，则a7=__________.【解题导引】由2=+，可得数列{}是等差数列，通过求出数列{}的通项公式，求得an，再求a7.【解析】由2=+，可得数列{}是等差数列，公差d=-=3，首项=1，所以=1+3×=3n-2，an=，所以a7=.答案：2.高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}=x-[x]表示x的非负纯小数，则y=[x]称为高斯函数，已知数列{an}满足：a1=，an+1=[an]+，则aXX=__________.世纪金榜导学号92494198【解题导引】由于：a1=，an+1=[an]+，经过计算可得：数列{a2k-1}成等差数列，首项为，公差为3.即可得出.【解析】满足：a1=，an+1=[an]+，所以a2=1+=2+，a3=2+=3+=4+，a4=4+=5+，a5=5+=6+=7+，a6=7+=8+，a7=8+=9+=10+，…，可得：数列{a2k-1}成等差数列，首项为，公差为3.则aXX=+3×=3024+.答案：3024+【加固训练】已知数列{an}满足：2a1+22a2+23a3+…+2nan=n，数列的前n项和为Sn，则S1&#8226;S2&#8226;S3…S10=__________.【解题导引】根据2a1+22a2+23a3+…+2nan=n，求出an=，再利用对数的运算性质和裂项法即可得到=-，裂项求和得到Sn，代值计算即可.【解析】因为2a1+22a2+23a3+…+2nan=n，所以2a1+22a2+23a3+…+2n-1an-1=n-1，所以2nan=1，所以an=，所以===-，所以Sn=1-+-+…+-=1-=，所以S1&#8226;S2&#8226;S3…S10=×××…××=. 答案：三、解答题3.设数列满足a1+3a2+…+an=2n.求的通项公式.求数列的前n项和.【解析】由已知可得：a1+3a2+…+an=2n，所以当n&gt;1时有a1+3a2+…+an-1=2，所以两式作差可得：an=2，即an=，又因为n=1时，a1=2符合，所以an=.设bn=，则bn==-，所以数列的前n项和为Sn=b1+b2+…+bn=1-+-+…+-=1-=.4.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=.世纪金榜导学号92494199求数列{an}的通项公式.若数列{bn}满足an&#8226;bn=log3a4n+1，记Tn=b1+b2+b3+…+bn，求证：Tn&lt;.【解题导引】利用递推关系：当n=1时，a1=S1，当n ≥2时，an=Sn-Sn-1，利用等比数列的通项公式即可得出.求出bn==，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.【解析】由Sn=可知，当n=1时，a1=S1，2S1+3=3a1，得a1=3.n=2时，2S2+3=3a2，即2+3=3a2，解得a2=9.当n≥2时，an=Sn-Sn-1，因为2Sn+3=3an，2Sn-1+3=3an-1，两式相减可得2an=3an-3an-1，所以an=3an-1，所以an=3n.对n=1也成立.故数列{an}的通项公式为an=3n.由an&#8226;bn=log3a4n+1=log334n+1=4n+1，得bn==，所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=5&#8226;+9&#8226;+…+&#8226;，Tn=5&#8226;+9&#8226;+…+&#8226;，两式相减得，Tn=+4×[++…+]-&#8226;=+4×-&#8226;，化简可得Tn=-&#8226;&lt;.5.在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令an=lgTn，n≥1. 世纪金榜导学号92494200求数列{an}的通项公式.设bn=&#8226;2n-1，求数列{bn}的前n项和Sn.【解析】t1，t2，…tn+2构成递增的等比数列，其中t1=1，tn+2=100，则Tn=t1&#8226;t2…tn+2=tn+2&#8226;tn+1…t1，又，tn+2&#8226;t1=tn+1&#8226;t2=…=t1&#8226;tn+2=102，得=102，an=lgTn=lg10n+2=n+2，n≥1.bn=n&#8226;2n-1，故Sn=1×20+2×21+3×22+…+×2n-2+n×2n-1，2Sn=1×21+2×22+3×23+…+×2n-1+n×2n，上述两式相减，得-Sn=1×20+1×21+1×22+ (1)2n-1-n×2n，整理，得Sn=n&#8226;2n-2n+1.6.若数列{an}满足++…+=-.求通项公式an.求数列{an}的前n项和.【解析】因为++…+=-，所以当n≥2时，++…+=-，两式相减得：=-=，所以an=&#8226;，又因为=-=-不满足上式，所以an=当n≥2时，Sn=-+3×+5×+7×+…+×，Sn=-+3×+5×+…+&#8226;+&#8226;，两式相减得Sn=-++2[++…+]-&#8226;=+2&#8226;-&#8226;=+-10&#8226;-&#8226;=-&#8226;，所以Sn=-&#8226;.当n=1时，也符合上式，所以Sn=-&#8226;.。

热点专题突破 解析几何的综合问题1C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点A 1，22，其焦距为2，已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，P 为直线x=2上一点.直线PF 1，PF 2与圆x 2+y 2=1的另外一个交点分别为M ，N. (1)求椭圆C 1的方程； (2)求证：直线MN 恒过一定点.【解析】(1)由题意知，c=1，F 1(-1，0)，F 2(1，0)， ∴2a=|AF 1|+|AF 2|= (1+1)2+222+222=2 2， ∴a= 2，b= a 2-c 2=1，∴椭圆C 1的方程为x 22+y 2=1. (2)设P (2，t )，直线PF 1：y=t3(x+1)，由y =t3(x +1)，x 2+y 2=1得(t 2+9)x 2+2t 2x+t 2-9=0，∴-1·x M =t 2-9t +9，∴x M =9-t 2t +9，∴M 9-t 2t +9，6tt +9 . 同理可得N t 2-1t +1，-2tt +1 ，∴k MN =4t3-t ， 直线MN 的方程为y--2tt +1=4t3-t x -t 2-1t +1 ， 即y-4t3-t x+2t3-t =0， ∴y-4t3-t x -12 =0，∴直线MN 恒过定点T 12，0 .2.如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2= 32，且|F 2F 4|= 3-1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点.当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值.【解析】(1)因为e1e2=32，所以a2-b2a·a2+b2a=32，即a4-b4=34a4，因此a2=2b2，从而F2(b，0)，F4(，0)，于是3b-b=|F2F4|=3-1，所以b=1，a2=2，故C1，C2的方程分别为x 22+y2=1，x22-y2=1.(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(-1，0)，故可设直线AB的方程为x=my-1.由x=my-1，x22+y2=1得(m2+2)y2-2my-1=0.易知此方程的判别式大于0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1+y2=2mm+2，y1y2=-1m+2.因此x1+x2=m(y1+y2)-2=-4m+2，于是AB的中点为M-2m+2，mm+2，故直线PQ的斜率为-m2，PQ的方程为y=-m2x.即mx+2y=0.由y=-m2x，x22-y2=1得(2-m2)x2=4，所以2-m2>0，且x2=42-m，y2=m22-m，从而|PQ|=2 x2+y2=2m2+42-m2.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d=1122m2+4.因为点A，B在直线mx+2y=0的异侧，所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0，于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|.从而2d=2122.又因为|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=22·2m2+2，所以2d=2·1+m2m2+4.故四边形APBQ的面积S=12|PQ|·2d=2·1+m22-m2=22·-1+32-m2.而0<2-m2≤2，故当m=0时，S取得最小值2，综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.3C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.【解析】由题设F12，0.设l1：y=a，l2：y=b，则ab≠0，且A a 22，a ，B b22，b ，P-12，a ，Q-12，b ，R-12，a+b2.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)由于F在线段AB上，故1+ab=0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1，0)，则S△ABF=12|b-a||FD|=12|b-a| x1-12，S△PQF=|a-b|2.由题意可得|b-a| x1-12=|a-b|2，所以x1=0(舍去)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x，y).当AB 与x 轴不垂直时，由k AB =k DE 可得2a +b =y x -1(x ≠1).而a +b 2=y ，所以y 2=x-1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合. 所以所求轨迹方程为y 2=x-1.4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为 22的椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a>b>0)的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点.若直线PQ 斜率为 22时，PQ=2 3. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)试问以MN 为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)?请证明你的结论.【解析】(1)∵直线PQ 斜率为 22时，PQ=2 3，此时可设点P 的坐标为 x 0，22x 0，∴x 02+22x 0 2=3，解得x 02=2.∴2a 2+1b 2=1， ∵e=ca =a 2-b 2a=22，∴a 2=4，b 2=2. ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1.(2)以MN 为直径的圆过定点F (± 2，0). 设P (x 0，y 0)，则Q (-x 0，-y 0)，且x 024+y 022=1，即x 02+2y 02=4， ∵A (-2，0)，∴直线PA 方程为y=y 0x 0+2(x+2)，∴M 0，2y 0x 0+2，同理，直线QA 方程为y=y 0x-2(x+2)，∴N 0，2y 0x 0-2，以MN 为直径的圆为(x-0)(x-0)+ y -2y 0x+2y -2y 0x 0-2=0，即x2+y2-4x0y0x02-4y+4y02x02-4=0，∵x02-4=-2y02，∴x2+y2+2x0y0y-2=0，令y=0，解得x=±2，∴以MN为直径的圆过定点(±2，0).5.已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到直线y=x+2的距离的最小值为22.(1)求抛物线的方程.(2)若过(3，0)且斜率为1的直线交抛物线于D，H两点，将线段DH向左平移3个单位长度至D1H1，则在抛物线上是否存在点E，使得S△EDH-S△ED1H1最大?若存在，求出最大值及点E的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设抛物线y2=2px(p>0)上任意一点的坐标为y 22p，y ，其到直线y=x+2的距离为y2-y+22=222p=2222p.显然，当y=p时，抛物线上任意一点到直线y=x+2的距离最小，且最小值为222p.由222p=22，得|p-4|=2，解得p=2或p=6.当p=6时，直线y=x+2与y2=12x有公共点，与题意不符，舍去.故所求抛物线的方程为y2=4x.(2)由题意得DH的方程为y=x-3，由y=x-3，y2=4x得x=1，y=-2或x=9，y=6.不妨设D(1，-2)，H(9，6)，得|DH|=82.当线段DH向左平移3个单位长度至D1H1时，两线段间的距离为322.要使S△EDH-S△ED1H1最大，应有S△EDH>S△ED1H1，此时点E应该位于直线DH左侧的抛物线上，设点E到直线DH的距离为h，则点E到直线D1H1的距离为322-h，S△EDH-S△ED1H1=12×82×h-12×82×322-ℎ =82h-12，显然h达到最大时，S△EDH-S△ED1H1取得最大值，此时点E为与DH平行的直线与抛物线相切的切点.设切线方程为y=x+b，由y=x+b，y2=4x得x2+(2b-4)x+b2=0，由(2b-4)2-4b2=0得b=1，此时解得x=1，y=2，即点E的坐标为(1，2)，从而可得h=2=22，所以S△EDH-S△ED1H1的最大值为20.6M(x，y)与两定点A(-0)，B(0)的连线的斜率之积为-13，记动点M的轨迹为C.(1)求动点M的轨迹C的方程.(2)定点F(-2，0)，T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交曲线C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；②当|TF||PQ|最小时，求点T的坐标.【解析】(1)由已知可知k MA·k MB=x+6·x-6=-13，所以动点M的轨迹C的方程是x 26+y22=1(y≠0).(2)①设T点的坐标为(-3，m)，则直线TF的斜率k TF=m-0-3-(-2)=-m.当m≠0时，直线PQ的斜率k PQ=1m，直线PQ的方程是x=my-2，当m=0时，PQ的方程是x=-2，也符合上述方程.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程x=my-2与椭圆C的方程联立得x2 6+y22=1，x=my-2，消去x，得(m2+3)y2-4my-2=0，其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0，所以y1+y2=4mm2+3，y1y2=-2m2+3，x1+x2=m(y1+y2)-4=-12m2+3，所以PQ的中点N的坐标为-6m+3，2mm+3，所以直线ON的斜率k ON=-m3.又直线OT的斜率k OT=-m3，所以点N在线段OT上，因此OT平分线段PQ.②由①可得|TF|= m2+1，|PQ|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2]=(m2+1)4mm+32-4·-2m+3=24(m 2+1)m+3，所以|TF||PQ|=124·(m2+3)m2+1=124· m2+1+4m2+1+4≥124·(4+4)=33，当且仅当m2+1=4m+1，即m=±1时，等号成立.所以当|TF||PQ|最小时，T点的坐标是(-3，1)或(-3，-1).7C：x 2a +y2b=1(a>b>0)的左焦点为F，A1，22为椭圆上一点，AF交y轴于点M，且M为AF的中点.(1)求椭圆C的方程.(2)直线l与椭圆C有且只有一个公共点A，平行于OA的直线交l于点P，交椭圆C于不同的两点D，E，问是否存在常数λ，使得|PA|2=λ|PD|·|PE|?若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设椭圆的右焦点是F1，在△AFF1中，OM∥AF1，∴c=1，即a2-b2=c2=1，∴A1，22在椭圆上，∴b2a=22，∴a=2，b=1，∴椭圆C的方程为x 22+y2=1.(2)设直线DE的方程为y=22x+t，由y=22x+t，x22+y2=1消去y，得x2+2tx+t2-1=0，设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1+x2=-t，x1x2=t2-1，其中Δ=4-2t2>0.∴|PD|·|PE|=1+2222|x P-x1|·|x P-x2|=32|x P2-x P(x1+x2)+x1x2|，又直线l与椭圆C有且只有一个公共点A1，22，则l与椭圆C相切，∴直线l的方程为x2+2y2=1，联立直线l与直线DE的方程，求得点P的坐标为2-2t2，2+t2.∴|PD|·|PE|=34t2，|AP|2=2-2t2-12+2+t2-222=34t2.∴存在常数λ=1使得|PA|2=λ|PE|·|PD|.。

专题对点练4从审题中寻找解题思路一、选择题1.已知方程错误!未找到引用源。

=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,错误!未找到引用源。

)C.(0,3)D.(0,错误!未找到引用源。

)答案A解析因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1.又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)>0,解得-1<n<3,故选A.2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A.6B.7C.8D.9答案B解析当0≤x<2时,令f(x)=x3-x=0,得x=0或x=1,根据周期函数的性质,由f(x)的最小正周期为2,可知y=f(x)在[0,6)上有6个零点,又f(6)=f(3×2)=f(0)=0,所以f(x)在[0,6]上与x轴的交点个数为7.3.已知F1,F2是双曲线C:错误!未找到引用源。

=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小的内角为30°,则双曲线C的渐近线方程是()A.错误!未找到引用源。

x±y=0B.x±错误!未找到引用源。

y=0C.x±2y=0D.2x±y=0答案A解析由题意,不妨设|PF1|>|PF2|,则根据双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a, 解得|PF1|=4a,|PF2|=2a.在△PF1F2中,|F1F2|=2c,而c>a,所以有|PF2|<|F1F2|,所以∠PF1F2=30°,所以(2a)2=(2c)2+(4a)2-2·2c·4a cos 30°,得c=错误!未找到引用源。