(完整版)2017最新北师大版(新课标)高中数学必修2期末试卷及答案,推荐文档

第二章综合测试一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.()()AB MB BO BC OM ++++化简后等于（）A .AM B .0C .0D .AC2.已知向量(3,4)OA =- ，(6,3)OB =- ，(2,1)OC m m =+ ，若 AB OC∥，则实数m 的值为（）A .15B .35-C .3-D .17-3.ABC △三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()()()b c b c a b a +-=-，则内角C 等于（）A .6πB .3πC .23πD .56π4.在ABC △中，1AB =，3AC =， 1AB AC ⋅=-，则ABC △的面积为（）A .12B .1CD .25.已知向量(,2)a x =，(2,)b y =，(2,4)c =-，且a c ∥，b c ⊥，则a b -=（）A .3B C D .6.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得15BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，30CD =米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，则塔高AB=（）A .B .米C .米D .7.已知点P 是ABC △的内心（三个内角平分线交点），外心（三条边的中垂线交点），重心（三条中线交点），垂心（三个高的交点）之一，且满足222AP BC AC AB ⋅=-，则点P 一定是ABC △的（）A .内心B .外心C .重心D .垂心8.如图，在等腰直角ABC △中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =（）A .3155AB AC + B .21 55AB AC + C .481515AB AC + D .841515AB AC +二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是（）A .00a ⋅=B .()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅C .0a b a b⋅=⇒⊥D .22()()||||a b a b a b +⋅-=-10.点P 是ABC △所在平面内一点，满足|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，则ABC △的形状不可能是（）A .钝角三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .等边三角形11.已知向量(1,3)OA =- ，(2,1)OB =- ，(1,2)OC k k =+-，若ABC △中A 为钝角，则实数k 的值可以是（）A .1B .23-C .1-D .2-12.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是（）A .在ABC △中，若AB ＞，则sin sin A B ＞B .在锐角ABC △中，不等式sin cos A B ＞恒成立C .在ABC △中，若cos cos a A b B =，则ABC △必是等腰直角三角形D .在ABC △中，若60B =︒，2b ac =，则ABC △必是等边三角形三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.设向量(3,0)a =-，(2,6)b =-，则b 在a 上的投影为________.14.已知向量a ，b 满足||1a =，b =()a a b ⊥+，则a 与b 夹角的大小是________.15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ⊥，2AD DC AB ==，E 为AD 的中点，若CA CE DB λμ=+，则λ=________，μ=________.（本题第一空2分，第二空3分）16.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，a =A 的平分线交边BC于点D ，其中AD =，则ABC S =△________.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知两个非零向量a 与b 不共线，2OA a b =- ，3OB a b =+ ，5OC ka b =+.（1）若20OA OB OC -+=，求k 的值；（2）若A ，B ，C 三点共线，求k 的值.18.已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(3,1)c =-，t ∈R .（1）求a tb ＋的最小值及相应的t 值；（2）若a tb -与c 共线，求实数t .19.如图所示，在ABC △中，已知45B =︒，D 是BC 边上的一点，6AD =，AC =，4DC =.（1）求ADC ∠的大小；（2）求AB 的长.20.在①222b ac a c =＋＋，② cos sin a B b A =，③sin cos B B +=的问题中，并解决该问题.已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ________，3A π=，b =，求ABC △的面积.（已知562sin124π=）21.已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P ，连接AP ，用向量法证明：（1）BE CF ⊥；（2）AP AB =.22.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(2a a =，(,sin )b c C =，且a b ∥.（1）求角A ；（2）若2c ，且ABC △的面积为2，求AC 边上的中线BM 的大小.第二章综合测试答案解析一、1.【答案】D【解析】()()AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC ++++=++++=.2.【答案】C【解析】因为(3,1)AB OB OA =-= ，又AB OC∥，所以()312m m ⨯+=，3m ∴=-.3.【答案】B【解析】由()()()b c b c a b a +-=-得222a b c ab +-=，即222122a b c ab +-=，1cos 2C ∴=，又0C π＜＜，3C π∴=.4.【答案】C【解析】||cos 13cos 1AB AC AB AC A A ⋅==⨯⨯=-，1cos 3A ⋅∴=-，sin 3A ∴⋅==，1sin 2ABC S AB AC A ∴=⋅⋅△，1221323=⨯⨯⨯，=5.【答案】B【解析】a c ∥，b c ⊥，440440x y --=⎧∴⎨-=⎩，11x y =-⎧∴⎨=⎩即(1,2)a =-，(2,1)b =(3,1)a b ∴-=-，||a b ∴-=6.【答案】D【解析】因为15BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，所以135CBD ∠=︒，在BCD △中，根据正弦定理可知sin sin CD BC CBD BDC =∠∠，即30 sin135sin 30BC︒=︒，解得BC =，因为在Rt ABC △中，tan 60ABBC︒==，所以AB ==（米）.7.【答案】B【解析】设BC 的中点为M ，222AP BC AC AB ⋅=- ，()()AP BC AC AB AC AB ∴⋅=-+ ，()2AP BC BC AC AB ∴⋅=⋅+ ，()20BC AC AB AP ∴⋅+-=，()BC AC AP AB AP ∴⋅-+- ，即()0BC PC PB ⋅+=，即 20BC PM ⋅=，∴点P 与BC 的中点连线与BC 垂直，即点P 一定是ABC △的外心.8.【答案】D【解析】设6BC =，则3AB AC ==，2BD DE EC ===，AD AE ==，101044cos 2105DAE +-∠==⨯，所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD = ，因为()1121 3333AD AB BC AB AC AB AB =+=+-=+所以42184 5331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭.二、9.【答案】CD【解析】00a ⋅= ，∴A 中结论错误；向量的数量积不满足结合律，∴B 中结论错误；当0a b ⋅=，a 与b 的夹角为90︒，即a b ⊥，∴C 中结论正确；D 中结论正确.10.【答案】ACD【解析】 P 是ABC △所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，||)()0CB PB PA PC PA ∴--+-= ∣∣，答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

章末综合测评(二)解析几何初步(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.空间两点A(3，－2,5)，B(6,0，－1)之间的距离为()A.6B.7C.8D.9【解析】|AB|＝(3－6)2＋(－2－0)2＋(5＋1)2＝7，故选B.【答案】 B2.过两点A(－2，m)，B(m,4)的直线倾斜角是45°，则m的值是()【导学号：39292131】A.－1B.3C.1D.－3【解析】由k AB＝m－4－2－m＝tan 45°＝1，解得m＝1.【答案】 C3.过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为()A.x－2y＋7＝0B.2x＋y－1＝0C.x－2y－5＝0D.2x＋y－5＝0【解析】∵直线x－2y＋3＝0的斜率为12，∴所求直线的方程为y－3＝12(x＋1)，即x－2y＋7＝0.【答案】 A4.已知直线l1：ax－y－2＝0和直线l2：(a＋2)x－y＋1＝0互相垂直，则实数a的值为()A.－1B.0C.1D.2【解析】l1的斜率为a，l2的斜率为a＋2，∵l1⊥l2，∴a(a＋2)＝－1，∴a2＋2a＋1＝0即a＝－1.【答案】 A5.如图1，在正方体OABC -O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )图1A.(2,2,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，43 【解析】 ∵|EB |＝2|EB 1|，∴|EB |＝23|BB 1|＝43. 又E 在B 1B 上，∴E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，43.【答案】 D6.若以点C (－1,2)为圆心的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，255 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，355 C.(0，5)D.(0,25)【解析】 设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋(－2)2＝255.若直线与圆没有公共点，则0<r <255，故选A.【答案】 A7.已知直线l 1的方程为x ＋Ay ＋C ＝0，直线l 2的方程为2x －3y ＋4＝0，若l 1，l 2的交点在x 轴上，则C 的值为( )【导学号：39292132】A.2B.－2C.±2D.与A 有关【解析】 在2x －3y ＋4＝0中，令y ＝0，得x ＝－2，即直线2x －3y ＋4＝0与x 轴的交点为(－2,0).∵点(－2,0)在直线x ＋Ay ＋C ＝0上，∴－2＋A ×0＋C ＝0，∴C ＝2.【答案】 A8.若a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－16 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，16 【解析】 令a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝0，得直线方程分别为－x ＋3y ＋1＝0，x ＋3y ＝0，其交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16，此即为直线所过的定点.故选B.【答案】 B9.已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2， 5－2，则满足条件的直线l 的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】 由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条，又因为|AB |＝ 5，所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线，故共3条.【答案】 C10.若圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是( )A.(x －5)2＋y 2＝5B.(x ＋5)2＋y 2＝5C.(x －5)2＋y 2＝5D.(x ＋5)2＋y 2＝5【解析】 设圆心O (a,0)，(a <0)，则 5＝|a |1＋22， ∴|a |＝5， ∴a ＝－5，∴圆O 的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.【答案】 D11.直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦长为()A.2 2B.2C. 2D.与k的取值有关【解析】由于圆x2＋y2＝2的圆心在直线y＝kx上，所以截得弦为圆x2＋y2＝2的直径，又其半径为2，故截得的弦长为2 2.【答案】 A12.已知点P(x，y)是直线y＝22x－4上一动点，PM与PN是圆C：x2＋(y －1)2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为()【导学号：39292133】A.43 B.23C.53 D.56【解析】由题意知，圆C的圆心为C(0,1)，半径为1，故|PC|2＝|PN|2＋1.又S四边形PMCN ＝2×12×|PN|×1＝|PN|，故当|PN|最小时，四边形PMCN的面积最小，此时|PC|最小，又|PC|的最小值即为点C到直线的距离d＝5(22)2＋1＝53，此时|PN|＝43，故四边形PMCN面积的最小值为43，故选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13.两圆x2＋y2＝1，(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.【解析】当两圆外切时，由a2＋16＝6，得a＝±25；当两圆内切时，由a2＋16＝4，得a＝0.【答案】0，±2 514.经过点A(1,1)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线方程为______.【导学号：39292134】【解析】当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为xa＋ya＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a＝2，此时直线方程为x＋y－2＝0.【答案】x－y＝0或x＋y－2＝015.已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2＋b2的最小值为________.【解析】a2＋b2的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离d＝|0＋0－15|32＋42＝3.【答案】 316.设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________.【解析】圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝a2＋2.|AB|＝23，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝|0－a＋2a|2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎪⎫2322＋⎝⎛⎭⎪⎫|0－a＋2a|22＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.【答案】4π三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程.【解】设l：3x＋4y＋m＝0，当y＝0时，x＝－m 3；当x＝0时，y＝－m 4.∵直线l与两坐标轴围成的三角形面积为24，∴12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m4＝24，∴m＝±24，∴直线l的方程为3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0.18.(本小题满分12分)如图2所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度.图2【解】 以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)， 由中点坐标公式可得， D (1,1,0)，E (0,1,2)，F (1,0,0)，∴|DE |＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2＝5， |EF |＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2＝ 6.19.(本小题满分12分)菱形ABCD 中，A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1).求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程.【解】 (1)k BC ＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2， ∴直线AD 方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0.(2)k AC ＝－65，∵菱形对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56，而AC 中点(1,1)，也是BD 的中点，∴直线BD 的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0.20.(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程.【解】 (1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因直线l 过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为 y －2＝－12(x －2)， 即x ＋2y －6＝0.21.(本小题满分12分)自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程.【导学号：39292135】【解】 如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切.设l 的方程为y －3＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3＋3k ＝0. 则|5k ＋5|1＋k 2＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0，∴k 1＝－43，k 2＝－34. 则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0.22.(本小题满分12分)已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值.【解】 设P ，Q 两点坐标为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，由OP ⊥OQ 可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，x ＋2y －3＝0，可得5y 2－20y ＋12＋m ＝0， ①所以y 1y 2＝12＋m5，y 1＋y 2＝4.又x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2)＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2 ＝9－24＋45(12＋m )，所以x1x2＋y1y2＝9－24＋45(12＋m)＋12＋m5＝0，解得m＝3.将m＝3代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝100>0，可知m＝3满足题意，即实数m的值为3.。

最新课程标准考试数学试题(一)一、填空题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）1、数学是研究（空间形式和数量关系）的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。

2、数学教育要使学生掌握数学的基本知识、（基本技能）、基本思想。

3、高中数学课程应具有多样性和（选择性），使不同的学生在数学上得到不同的发展。

4、高中数学课程应注重提高学生的数学（思维）能力。

5、高中数学选修2-2的内容包括：导数及其应用、（推理与证明）、数系的扩充与复数的引入。

6、高中数学课程要求把数学探究、（数学建模）的思想以不同的形式渗透在各个模块和专题内容之中。

7、选修课程系列1是为希望在（人文、社会科学）等方面发展的学生设置的，系列2是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的。

8、新课程标准的目标要求包括三个方面：知识与技能，过程与方法，（情感、态度、价值观）。

9、向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与（三角函数）的一种工具。

10、数学探究即数学（探究性课题）学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。

二、判断题（本大题共5道小题，每小题2分，共10分）1、高中数学课程每个模块1学分，每个专题2学分。

（错）改：高中数学课程每个模块2学分，每个专题1学分。

2、函数关系和相关关系都是确定性关系。

（错）改：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系。

3、统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。

（对）4、数学是人类文化的重要组成部分，为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值。

（对）5、教师应成为学生进行数学探究的领导者。

（错）改：教师应成为学生进行数学探究的组织者、指导者和合作者。

三、简答题（本大题共4道小题，每小题7分，共28分）1、高中数学课程的总目标是什么？使学生在九年制义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。

必修2测试卷石油中学 齐宗锁一、选择题（每小题4分共40分） 1、圆锥过轴的截面是（ ）A 圆B 等腰三角形C 抛物线D 椭圆2、若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是( )。

A 平行B 相交C 在平面内D 平行或在平面内 3、一个西瓜切3刀，最多能切出（ ）块。

A 4B 6C 7D 8 4．下图中不可能成正方体的是（ ）5．三个球的半径之比是1：2：3，那么最大的球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ） A ．1倍 B ．2倍 C ．541倍 D ．431倍 6．以下四个命题中正确命题的个数是（ ） ①过空间一点作已知平面的垂线有且只有一条 ②过空间一点作已知平面的平行线有且只有一条 ③过空间一点作已知直线的垂线有且只有一条 ④过空间一点作已知直线的平行线有且只有一条 A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．78．已知直线06:1=++my x l 和直线023)2(:2=++-m y x m l 互相平行，则实数m 的值是（ ） A ．-1或3 B ．-1 C ．-3 D ．1或-39．已知直线l 的方程为02543=-+y x ，则圆122=+y x 上的点到直线l 的最大距离是( ) A ．1 B ．4 C ．5 D ．6 10．点)1,3,2(-M 关于坐标原点的对称点是（ ）A ．（-2，3，-1）B ．（-2，-3，-1）C ．（2，-3，-1）D ．（-2，3，1） 二、填空题（每题4分共16分）11、从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为6、8、12，则其对角线长为12．将等腰三角形绕底边上的高旋转180o ，所得几何体是______________；13．圆C ：1)6()2(22=-++y x 关于直线0543=+-y x 对称的圆的方程是___________________；A B C D14．经过点)4,3(--P ，且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线l 的方程是______________________。

最新北师大版高中数学必修二测试题全套含答案解析章末综合测评(一)立体几何初步(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列推理错误的是()A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒lαB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC.l⊆/α，A∈l⇒A∉αD.A∈l，lα⇒A∈α【解析】若直线l∩α＝A，显然有l⊆/α，A∈l，但A∈α，故C错.【答案】 C2.下列说法中，正确的是()A.经过不同的三点有且只有一个平面B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D.垂直于同一个平面的两个平面平行【解析】A中，可能有无数个平面；B中，两条直线还可能平行、相交；D中，两个平面可能相交.【答案】 C3.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图1所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是()图1A. 3B.2 2C.32 D.34【解析】由题图可知，原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC ＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故选A.【答案】 A4.下列四个命题判断正确的是()A.若a∥b，a∥α，则b∥αB.若a∥α，bα，则a∥bC.若a∥α，则a平行于α内所有的直线D.若a∥α，a∥b，b⊆/α，则b∥α【解析】A中b可能在α内；B中a与b可能异面；C中a可能与α内的直线异面；D 正确.【答案】 D5.已知一个圆锥的展开图如图2所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为()图2A.22π3 B.2π3C.2π3 D.3π【解析】因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为22，所求体积V＝1 3×π×12×22＝22π3.【答案】 A6.如图3所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()图3A.ACB.BDC.A1DD.A1D1【解析】CE平面ACC1A1，而BD⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥CE.【答案】 B7.正方体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是()A.12 B.32C.63 D.62【解析】连接BD1，则BD1∥EF，∠BD1A是异面直线AD1与EF所成的角.∵AB⊥AD1，∴cos∠BD1A＝AD1BD1＝63.【答案】 C8.如图4所示，则这个几何体的体积等于()图4 A.4 B.6C.8D.12【解析】由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S-ABCD，其中SA⊥平面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD 为直角梯形， ∠DAB ＝90°，∴V ＝13SA ×12(AB ＋CD )×AD ＝13×2×12×(2＋4)×2＝4，故选A. 【答案】 A9.如图5，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的是( )图5A.BD ∥平面CB 1D 1B.AC 1⊥BDC.AC 1⊥平面CB 1D 1D.异面直线AD 与CB 1所成的角为60°【解析】 由于BD ∥B 1D 1，易知BD ∥平面CB 1D 1；连接AC ，易证BD ⊥平面ACC 1，所以AC 1⊥BD ；同理可证AC 1⊥B 1C ，因BD ∥B 1D 1，所以AC 1⊥B 1D 1，所以AC 1⊥平面CB 1D 1；对于选项D ，∵BC ∥AD ，∴∠B 1CB 即为AD 与CB 1所成的角，此角为45°，故D 错.【答案】 D10.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图6所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )图6A.1B.2C.4D.8【解析】如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝12×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.【答案】 B11.如图7，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：图7①BD⊥AC；②△BCA是等边三角形；③三棱锥D-ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是()A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④【解析】由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错.故选B.【答案】 B12.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.26 B.36C.23 D.22【解析】由于三棱锥S-ABC与三棱锥O-ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S-ABC的高是三棱锥O-ABC高的2倍，所以三棱锥S-ABC的体积也是三棱锥O-ABC 体积的2倍.在三棱锥O -ABC 中，其棱长都是1，如图所示， S △ABC ＝34×AB 2＝34， 高OD ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63，∴V S -ABC ＝2V O -ABC＝2×13×34×63＝26. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13.设平面α∥平面β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________.【解析】 由面面平行的性质得AC ∥BD ，AS BS ＝CSSD ，解得SD ＝9. 【答案】 914.如图8所示，将等腰直角△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，此时∠B ′AC ＝60°，那么这个二面角大小是________.图8【解析】 连接B ′C ，则△AB ′C 为等边三角形，设AD ＝a ， 则B ′D ＝DC ＝a ，B ′C ＝AC ＝2a ， 所以∠B ′DC ＝90°. 【答案】 90°15.若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为________.【解析】 球的直径等于正六棱柱的体对角线的长.设球的半径为R ， 由已知，可得2R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62×22＋(6)2＝23，R ＝ 3.所以球的体积为43πR 3＝4π3×(3)3＝43π. 【答案】 43π16.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ，则异面直线AB 与CD 所成的角等于________.【解析】 如图所示，分别取BC ，AC 的中点G 、F ， 连接EG ，GF ，EF ， 则EG ∥CD ，GF ∥AB ，∴∠EGF 就是AB 与CD 所成的角. 由题意EG ＝GF ＝EF ＝a2，∴△EFG 是等边三角形，∴∠EGF ＝60°. 【答案】 60°三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)如图9所示，四棱锥V -ABCD 的底面为边长等于2 cm 的正方形，顶点V 与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC ＝4 cm ，求这个正四棱锥的体积.图9【解】 连接AC ，BD 相交于点O ，连接VO ， ∵AB ＝BC ＝2 cm ， 在正方形ABCD 中， 求得CO ＝ 2 cm ， 又在直角三角形VOC 中， 求得VO ＝14 cm ， ∴V V －ABCD ＝13S ABCD ·VO ＝13×4×14＝4314(cm 3). 故这个正四棱锥的体积为4314cm 3.18.(本小题满分12分)如图10所示，P 是▱ABCD 所在平面外一点，E ，F 分别在P A ，BD上，且PE∶EA＝BF∶FD.求证：EF∥平面PBC.图10 【证明】连接AF延长交BC于G，连接PG.在▱ABCD中，易证△BFG∽△DF A，∴GFF A＝BFFD＝PEEA，∴EF∥PG.而EF⊆/平面PBC，PG平面PBC，∴EF∥平面PBC.19.(本小题满分12分)如图11，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.图11(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.【解】(1)交线围成的正方形EHGF，如图：(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝EH2－EM2＝6，AH＝10，HB＝6.故S四边形A1EHA＝12×(4＋10)×8＝56，S四边形EB1BH＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97⎝⎛⎭⎪⎫79也正确.20.(本小题满分12分)如图12所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点.证明：平面ABM⊥平面A1B1M.图12【证明】由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.在Rt△B1C1M中，B1M＝B1C21＋MC21＝2，同理BM＝BC2＋CM2＝2，又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平面A1B1M，因为BM平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.21.(本小题满分12分)如图13，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点.图13(1)求证：AE⊥平面PCD；(2)求二面角A-PD-C的正弦值.【解】(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，因P A⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故CD⊥P A.由条件CD⊥AC，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC，又AE平面P AC，∴AE⊥CD.由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.(2)过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示.由(1)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD.因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角.由已知，可得∠CAD＝30°.22.(本小题满分12分)一个空间几何体的三视图及部分数据如图14所示.图14(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；(2)证明：A1C⊥平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论.【解】(1)几何体的直观图如图.四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝3，BC＝1，四边形AA1C1C是边长为3的正方形，且垂直于底面BB1C1C，∴其体积V＝12×1×3×3＝32.(2)证明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1C.∵四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1.∵B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1.(3)当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明：如图，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1.∵AB1平面AB1C1，EF⊆/平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.∵FD∥B1C1，∴FD∥平面AB1C1，又EF∩FD＝F，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.章末综合测评(二)解析几何初步(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.空间两点A(3，－2,5)，B(6,0，－1)之间的距离为()A.6B.7C.8D.9【解析】|AB|＝(3－6)2＋(－2－0)2＋(5＋1)2＝7，故选B.【答案】 B2.过两点A(－2，m)，B(m,4)的直线倾斜角是45°，则m的值是()A.－1B.3C.1D.－3【解析】由k AB＝m－4－2－m＝tan 45°＝1，解得m＝1.【答案】 C3.过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A.x －2y ＋7＝0 B.2x ＋y －1＝0 C.x －2y －5＝0D.2x ＋y －5＝0【解析】 ∵直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，∴所求直线的方程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.【答案】 A4.已知直线l 1：ax －y －2＝0和直线l 2：(a ＋2)x －y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( ) A.－1 B.0 C.1D.2【解析】 l 1的斜率为a ，l 2的斜率为a ＋2， ∵l 1⊥l 2，∴a (a ＋2)＝－1， ∴a 2＋2a ＋1＝0即a ＝－1. 【答案】 A5.如图1，在正方体OABC -O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )图1A.(2,2,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，43 【解析】 ∵|EB |＝2|EB 1|，∴|EB |＝23|BB 1|＝43. 又E 在B 1B 上，∴E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，43.【答案】 D6.若以点C (－1,2)为圆心的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，255 B.⎝⎛⎭⎪⎫0，355C.(0，5)D.(0,25)【解析】 设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋(－2)2＝255.若直线与圆没有公共点，则0<r <255，故选A.【答案】 A7.已知直线l 1的方程为x ＋Ay ＋C ＝0，直线l 2的方程为2x －3y ＋4＝0，若l 1，l 2的交点在x 轴上，则C 的值为( )A.2B.－2C.±2D.与A 有关【解析】 在2x －3y ＋4＝0中，令y ＝0，得x ＝－2，即直线2x －3y ＋4＝0与x 轴的交点为(－2,0).∵点(－2,0)在直线x ＋Ay ＋C ＝0上，∴－2＋A ×0＋C ＝0，∴C ＝2.【答案】 A8.若a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－16 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，16 【解析】 令a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝0，得直线方程分别为－x ＋3y ＋1＝0，x ＋3y ＝0，其交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16，此即为直线所过的定点.故选B. 【答案】 B9.已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2， 5－2，则满足条件的直线l 的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】 由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条，又因为|AB |＝ 5，所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线，故共3条.【答案】 C10.若圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是( )A.(x －5)2＋y 2＝5B.(x ＋5)2＋y 2＝5C.(x－5)2＋y2＝5D.(x＋5)2＋y2＝5【解析】设圆心O(a,0)，(a<0)，则5＝|a|1＋22，∴|a|＝5，∴a＝－5，∴圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.【答案】 D11.直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦长为()A.2 2B.2C. 2D.与k的取值有关【解析】由于圆x2＋y2＝2的圆心在直线y＝kx上，所以截得弦为圆x2＋y2＝2的直径，又其半径为2，故截得的弦长为2 2.【答案】 A12.已知点P(x，y)是直线y＝22x－4上一动点，PM与PN是圆C：x2＋(y－1)2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为()A.43 B.23C.53 D.56【解析】由题意知，圆C的圆心为C(0,1)，半径为1，故|PC|2＝|PN|2＋1.又S四边形PMCN＝2×12×|PN|×1＝|PN|，故当|PN|最小时，四边形PMCN的面积最小，此时|PC|最小，又|PC|的最小值即为点C到直线的距离d＝5(22)2＋1＝53，此时|PN|＝43，故四边形PMCN面积的最小值为43，故选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13.两圆x2＋y2＝1，(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.【解析】＝±25；当两圆内切时，由a2＋16＝4，得a＝0.【答案】 0，±2 514.经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程为______.【解析】 当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x －y ＝0；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a ＝2，此时直线方程为x ＋y －2＝0.【答案】 x －y ＝0或x ＋y －2＝015.已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则a 2＋b 2的最小值为________. 【解析】 a 2＋b 2的最小值为原点到直线3x ＋4y ＝15的距离d ＝|0＋0－15|32＋42＝3. 【答案】 316.设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.【解析】 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2， 所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2， 所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π. 【答案】 4π三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知直线l 平行于直线3x ＋4y －7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程.【解】 设l ：3x ＋4y ＋m ＝0，当y ＝0时，x ＝－m3； 当x ＝0时，y ＝－m4.∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24， ∴12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m 3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m 4＝24， ∴m ＝±24，∴直线l 的方程为3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝0.18.(本小题满分12分)如图2所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度.图2【解】以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，∴|DE|＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2＝5，|EF|＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2＝ 6.19.(本小题满分12分)菱形ABCD中，A(－4,7)，C(6，－5)，BC边所在直线过点P(8，－1).求：(1)AD边所在直线的方程；(2)对角线BD所在直线的方程.【解】(1)k BC＝2，∵AD∥BC，∴k AD＝2，∴直线AD方程为y－7＝2(x＋4)，即2x－y＋15＝0.(2)k AC＝－65，∵菱形对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴k BD＝56，而AC中点(1,1)，也是BD的中点，∴直线BD的方程为y－1＝56(x－1)，即5x－6y＋1＝0.20.(本小题满分12分)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2,2)，过点P作直线l交圆C 于A、B两点.(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程.【解】(1)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9的圆心为C(1,0)，因直线l过点P、C，所以直线l 的斜率为2，直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y－2＝－12(x－2)，即x ＋2y －6＝0.21.(本小题满分12分)自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程.【解】 如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切.设l 的方程为y－3＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3＋3k ＝0. 则|5k ＋5|1＋k 2＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0，∴k 1＝－43，k 2＝－34. 则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0.22.(本小题满分12分)已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值.【解】 设P ，Q 两点坐标为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，由OP ⊥OQ 可得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，x ＋2y －3＝0， 可得5y 2－20y ＋12＋m ＝0， ①所以y 1y 2＝12＋m5，y 1＋y 2＝4.又x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2)＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2 ＝9－24＋45(12＋m )，所以x 1x 2＋y 1y 2＝9－24＋45(12＋m )＋12＋m 5＝0， 解得m ＝3.将m ＝3代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝100>0， 可知m ＝3满足题意，即实数m 的值为3.模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.直线x 3－y3＝1的倾斜角的大小为( )A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】 由x 3－y 3＝1，得该直线的斜率k ＝33，故倾斜角为30°.【答案】 A2.在空间直角坐标系中，点B 是A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则|OB |等于( )A.14B.13C.2 3D.11【解析】 点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的投影为B (0,2,3)， ∴|OB |＝02＋22＋32＝13. 【答案】 B3.点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( ) A.(－a －1，－b －1) B.(－b －1，－a －1) C.(－a ，－b )D.(－b ，－a )【解析】 设对称点为(x ′，y ′)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y ′－b x ′－a ×(－1)＝－1，x ′＋a 2＋y ′＋b 2＋1＝0，解得：x ′＝－b －1，y ′＝－a －1. 【答案】 B4.已知M ，N 分别是正方体AC 1的棱A 1B 1，A 1D 1的中点，如图1是过M ，N ，A 和D ，N ，C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为( )图1【解析】由主视图的性质知，几何体的正投影为一正方形，正面有可见的一棱和背面有不可见的一棱，故选B.【答案】 B5.若{(x，y)|ax＋2y－1＝0}∩{(x，y)|x＋(a－1)y＋1＝0}＝∅，则a等于()A.32 B.2C.－1D.2或－1【解析】依题意，两直线平行.由a(a－1)－2×1＝0，得a2－a－2＝0，a＝2或－1.又当a＝－1时，两直线重合，故选B.【答案】 B6.已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是()A.l∥m，l⊥αB.l⊥m，l⊥αC.l⊥m，l∥αD.l∥m，l∥α【解析】如图l可以垂直m，且l平行α.【答案】 C7.已知A，B，C，D是空间不共面的四个点，且AB⊥CD，AD⊥BC，则直线BD与AC()A.垂直B.平行C.相交D.位置关系不确定【解析】过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，连接BO，CO并延长分别交CD，BD于F，E两点，连接DO.因为AB⊥CD，AO⊥CD，所以CD⊥平面AOB，所以BO⊥CD，同理DO ⊥BC ，所以O 为△BCD 的垂心，所以CO ⊥BD ， 所以BD ⊥AC .故选A. 【答案】 A8.已知一个正六棱锥的体积为12，底面边长为2，则它的侧棱长为( ) A.4 B.433 C. 6D.2【解析】 由正六棱锥可知，底面是由六个正三角形组成的，∴底面积S ＝6×12×2×3＝63，∴体积V ＝13Sh ＝12， ∴h ＝36S ＝3663＝23，在直角三角形SOB 中，侧棱长为SB ＝OB 2＋h 2＝4＋12＝4. 故选A. 【答案】 A9.过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.(0°，30°]B.(0°，60°]C.[0°，30°]D.[0°，60°]【解析】 如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B . 由题意知|OP |＝2，|OA |＝1， 则sin α＝12，所以α＝30°，∠BP A ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是[0°，60°].选D. 【答案】 D10.若M (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A.x －y －3＝0 B.2x ＋y －3＝0 C.x ＋y －1＝0D.2x －y －5＝0【解析】 设圆心为C ，其坐标为(1,0).则AB ⊥CM ，k CM ＝－1， ∴k AB ＝1，∴直线AB 的方程为y －(－1)＝1×(x －2)，即x －y －3＝0，故选A. 【答案】 A11.过点P (－3,4)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A.3x ＋4y －7＝0 B.3x －4y ＋25＝0 C.3x －4y ＋4＝0D.3x －4y ＝0【解析】 先求出以PO (O 为原点)为直径的圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋(y －2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，即x 2＋y 2＋3x －4y ＝0，再将两圆方程相减得3x －4y ＋4＝0，因为这条直线经过两圆的交点即切点A ，B ，所以3x －4y ＋4＝0就是直线AB 的方程，故选C.【答案】 C12.若直线y ＝kx －1与曲线y ＝－1－(x －2)2有公共点，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，43 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D.[0,1]【解析】 曲线y ＝－1－(x －2)2可化为(x －2)2＋y 2＝1它表示以(2,0)为圆心，1为半径的x 轴下方的半圆，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，要使直线与曲线有公共点(如图)，易知0≤k ≤1.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________.【解析】 设正方体的棱长为x ，其外接球的半径为R ，则由球的体积为9π2，得43πR 3＝9π2，解得R ＝32.由2R ＝3x ，得x ＝2R3＝ 3.【答案】314.在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，对角线AC ＝BD ＝2，且AC ⊥BD ，则四边形EFGH 的面积为______.【解析】 如图，由条件，易判断EH ═∥FG ═∥12BD ，所以EH ＝FG ＝1，同样有EF ═∥GH ═∥12AC ，EF ＝GH ＝1，又BD ⊥AC ，所以EF ⊥EH ，所以四边形EFGH 是边长为1的正方形，其面积S ＝12＝1.【答案】 115.已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过点A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为______.【解析】 由题意知，点A 在圆上，切线斜率为－1k OA＝－121＝－12，用点斜式可直接求出切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和52， 所以所求面积为12×52×5＝254. 【答案】 25416.如图2，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1垂直于底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是________.图2①CC 1与B 1E 是异面直线； ②AC ⊥平面ABB 1A 1；③AE 与B 1C 1是异面直线，且AE ⊥B 1C 1； ④A 1C 1∥平面AB 1E .【解析】 ①中，直线CC 1与B 1E 都在平面BCC 1B 1中，不是异面直线；②中，平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，而AC 与AB 不垂直，则AC 与平面ABB 1A 1不垂直； ③中，AE 与B 1C 1不平行也不相交，是异面直线，又由已知得平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，由△ABC 为正三角形，且E 为BC 的中点知AE ⊥BC ，所以AE ⊥平面BCC 1B 1，则AE ⊥B 1C 1；④中，A 1C 1与平面AB 1E 相交，故错误. 【答案】 ③三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积.【解】 设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则 120360πl 2＝3π，l ＝3；2π3×3＝2πr ，r ＝1； S 表面积＝S 侧面＋S 底面＝πrl ＋πr 2＝4π， V ＝13Sh ＝13×π×12×22＝223π.18.(本小题满分12分)已知直线l 过两直线3x －y －10＝0和x ＋y －2＝0的交点，且直线l 与点A (1,3)和点B (5,2)的距离相等，求直线l 的方程.【解】 由⎩⎨⎧3x －y －10＝0，x ＋y －2＝0，得交点为(3，－1)，当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)， 则|－2k －4|k 2＋1＝|2k －3|k 2＋1，解得k ＝－14，所以直线l 的方程为y ＋1＝－14(x －3)， 即x ＋4y ＋1＝0；又当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，也满足题意. 故x ＋4y ＋1＝0或x ＝3为所求方程.19.(本小题满分12分)如图3，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点.图3求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .【证明】 (1)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又AD 平面ABC ，所以CC 1⊥AD .又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE 平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1、B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD平面ADE，A1F⊆/平面ADE，所以A1F∥平面ADE.20.(本小题满分12分)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|P A|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值.【解】(1)设点P的坐标为(x，y)，则(x＋3)2＋y2＝2(x－3)2＋y2，化简可得(x－5)2＋y2＝16，此即为所求.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，则直线l是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16.当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝|5＋3|2＝42，∴|QM|最小＝4.21.(本小题满分12分)如图4，多面体EF -ABCD中，已知ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD，EF＝2.图4(1)若M，N分别是AB，CD的中点，求证：平面MNE∥平面BCF；(2)若△BCF中，BC边上的高FH＝3，求多面体EF -ABCD的体积V.【解】 (1)若M ，N 分别是AB ，CD 的中点， 则MN ∥BC ，MN ⊆/平面BCF ，BC 平面BCF ， ∴MN ∥平面BCF .又EF ∥AB ，EF ＝2＝12AB ， ∴EF ＝MB ，∴四边形BMEF 是平行四边形，∴ME ∥BF ， 又∵ME ⊆/平面BCF ，BF 平面BCF ， ∴ME ∥平面BCF ，又ME ∩MN ＝M ，由面面平行的判定定理知，平面MNE ∥平面BCF . (2)∵平面FBC ⊥平面ABCD ，FH ⊥BC ，AB ⊥BC ， ∴FH ⊥平面ABCD ，AB ⊥平面BCF ，∴FH 是四棱锥E -AMND 的高，MB 是三棱柱BCF -MNE 的高， ∴多面体EF -ABCD 的体积 V ＝V E -AMND ＋V BCF -MNE ＝13S AMND ·FH ＋S △BCF ·MB ＝13×4×2×3＋12×4×3×2＝20.22.(本小题满分12分)在一个居民小区内设计一个边长为5 m 的菱形喷水池，规划者要求，菱形的一条对角线长不大于6 m ，另一条长不小于6 m ，试问该菱形喷水池的两条对角线的长度之和的最大值为多少？【解】 设菱形喷水池的两条对角线的长度分别为x ，y ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝52，即x 2＋y 2＝100且x ≥6，y ≤6.如图作圆x 2＋y 2＝100，又作直线x ＝6，y ＝6，且y ＝6交圆周上一点P (8,6)，则满足条件的点(x ，y )应在阴影部分及AP ︵上变动.令b ＝x ＋y ，则b 是直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝－x ＋b 过点P (8,6)时，b ＝x ＋y 取得最大值8＋6＝14，即两条对角线的长度之和的最大值为14 m.。

2017-2018学年北师大版高中数学必修2全册同步检测试题一、选择题1．给出以下说法：①圆台的上底面缩小为一点时(下底面不变)，圆台就变成了圆锥；②球面就是球；③过空间四点总能作一个球．其中正确说法的个数是()A．0B．1C．2 D．32．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体由下面哪些简单几何体构成()A．一个圆台和两个圆锥B．两个圆台和一个圆锥C．两个圆柱和一个圆锥D．一个圆柱和两个圆锥3．下图是由哪个平面图形旋转得到的()4．以下几何体中符合球的结构特征的是()A．足球B．篮球C．乒乓球D．铅球5．如图所示的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)二、填空题6．直角三角形围绕其斜边所在的直线旋转得到的旋转体由________组成．7．给出下列四个命题：①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．其中正确命题的序号是________．8．圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm，母线长是310 cm，则它的轴截面的面积是______．三、解答题9．如图，将曲边图形ABCDE绕AE所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单的几何体构成的？其中CD∥AE，曲边DE为四分之一圆周且圆心在AE上．10．如图所示的四个几何体中，哪些是圆柱与圆锥，哪些不是，并指出圆柱与圆锥的结构名称．答案1. 解析：选B根据圆锥和圆台的形状之间的联系可知①正确；球面是曲面，球是球体的简称，是实心的几何体，故②不正确；当空间四点在同一条直线上时，过这四点不能作球，故③不正确．2. 解析：选D把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形、由旋转体的定义可知所得几何体．3. 解析：选A图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形．4. 解析：选D因为球包括球面及球体内部(即实心)．而足球、篮球、乒乓球都是中空的，可视为球面，铅球是球体，符合球的结构特征．5. 解析：选D轴截面为(1)，平行于圆锥轴截面的截面是(5)．6. 解析：所得旋转体如图，是由两个圆锥组成的．答案：两个圆锥7. 解析：①错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(1)．②正确，如图(2)．③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(3)．答案：②8. 解析：画出轴截面，如图，过A 作AM ⊥BC 于M ，则BM ＝5－2＝3(cm)，AM ＝AB 2－BM 2＝9(cm)， ∴S 四边形ABCD ＝(4＋10)×92＝63(cm 2)． 答案：63 cm 29. 解：将直线段AB ，BC ，CD 及曲线段DE 分别绕AE 所在的直线旋转，如下图中的左图所示，它们分别旋转得圆锥、圆台、圆柱以及半球．10. 解：②是圆锥，圆面AOB 是圆锥的底面，SO 是圆锥的高．SA ，SB 是圆锥的母线． ③是圆柱，圆面A ′O ′B ′和圆面AOB 分别为上、下底面．O ′O 为圆柱的高，A ′A 与B ′B 为圆柱的母线．①不是圆柱，④不是圆锥．一、选择题1．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形2．若正棱锥的底面边长和侧棱长相等，则该棱锥一定不是()A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥3．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有()A．1个B．2个C．3个D．4个4．观察图中四个几何体，其中判断正确的是()A．(1)是棱台B．(2)是圆台C．(3)是棱锥D．(4)不是棱柱5．有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是()A．底面为平行四边形的四棱柱B．五棱锥C．无平行平面的六面体D．斜三棱柱二、填空题6．在正方体上任意选择四个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．7．下列四个命题：(1)棱柱的两底面是全等的正多边形；(2)有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；(3)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；(4)四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确的序号是________．8．用铁丝作一个三角形，在三个顶点分别固定一根筷子，把三根筷子的另一端也可用铁丝连成一个三角形，从而获得一个几何模型，如果筷子长度相等，那么这个几何体可能是____________．三、解答题9．指出如图所示图形是由哪些简单几何体构成．10．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥，并用字母表示．答案1. 解析：选C如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．2. 解析：选D解答本题要看所给的四种棱锥中能否使所有的棱长都相等．3. 解析：选D如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，取四棱锥A1-ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．4. 解析：选C图(1)不是由棱锥截来的，所以(1)不是棱台；图(2)上下两个面不平行，所以(2)不是圆台；图(4)前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以(4)是棱柱；很明显(3)是棱锥．5. 解析：选D如图，正三棱锥A-BEF和正四棱锥B-CDEF的一个侧面重合后，面BCD和面AEF平行，其余各面都是四边形，故该组合体是斜三棱柱．6. 解析：如图所示，①显然可能；②不可能；③如四面体A′AB′D′满足条件；④如四面体A′BC′D满足条件；⑤如四面体A′ABC满足条件．答案：①③④⑤7. 解析：(1)棱柱的两底面全等，但不一定是正多边形；(2)，(3)都不能保证侧棱与底面垂直；(4)易知对角面是长方形，侧棱与底面垂直，正确．答案：(4)8. 解析：在该模型中已知一面为三角形，则根据筷子的位置情况，判断即可．答案：三棱柱或三棱台9. 解：分割原图，使它们每一部分都是简单几何体．(1)是一个三棱柱和一个四棱柱组成的几何体．(2)是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的几何体．10. 解：画三棱台一定要利用三棱锥．(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′-AB″C″.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′-ABC，B′-A′BC，C′-A′B′C.一、选择题1．下列说法中正确的个数是()①相等的角在直观图中对应的角仍然相等②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A．1B．2C．3 D．42．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，正确的是如图所示中的()3．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是()A．16B．64 C．16或64D．都不对4．如图，直观图所表示(A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′)的平面图形是()A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形5．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()A.24a2 B.433a2C.34a2D．22a2二、填空题5．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．8．如图所示是水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图，其中D是AC的中点，原△ACB中，∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．三、解答题9．画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm、2 cm，高为2 cm)．10.用斜二测画法得到一水平放置的三角形为直角三角形ABC，AC＝1，∠ABC＝30°，如图所示，试求原图的面积．答案1. 解析：选B只有③④正确．2. 解析：选D正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.3. 解析：选C当其中在x′轴上的边长为4时，正方形面积为16；当其中在y′轴上的边长为4时，正方形面积为64.4. 解析：选D由A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′，∠A′C′B′＝45°知对应的平面图形为直角三角形．5. 解析：选D 由题意知，平行四边形的直观图为对应在直角坐标系下的图形为：∴平行四边形的面积为S ′＝2×12×a ×22a ＝22a 2.6. 解析：在直观图中，A ′B ′C ′O ′是有一个角为45°且长边为2，短边为1的平行四边形，∴B ′到x ′轴的距离为22. 答案：227. 解析：由于直观图中，∠A ′C ′B ′＝45°，则在原图形中∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则斜边AB ＝5，故斜边AB 上的中线长为2.5. 答案：2.58. 解析：先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找与线段BD 长度相等的线段，把△ABC 还原后为直角三角形，则D 为斜边AC 的中点，∴AD ＝DC ＝BD .答案：29. 解：(1)画轴，以底面△ABC 的垂心O 为原点，OC 所在直线为y 轴，平行于AB 的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，以上底面△A ′B ′C ′的垂心O ′与O 的连线为z 轴，建立空间坐标系． (2)画下底面，在xOy 平面上画△ABC 的直观图，在y 轴上量取OC ＝33 cm ，OD ＝36cm.过D 作AB ∥x 轴，且AB ＝2 cm ，以D 为中点，连接AC 、BC ，则△ABC 为下底面三角形的直观图．(3)画上底面，在z 轴上截取OO ′＝2 cm ，过O ′作x ′轴∥x 轴，y ′轴∥y 轴，在y ′轴上量取O ′C ′＝36 cm ，O ′D ′＝312cm ，过D ′作A ′B ′∥x ′轴，A ′B ′＝1 cm ，且以D ′为中点，则△A ′B ′C ′为上底面三角形的直观图．(4)连线成图，连接AA ′，BB ′，CC ′，并擦去辅助线，则三棱台ABC －A ′B ′C ′，即为所要画的三棱台的直观图(如图)．10. 解：如图(1)所示，作AD ⊥BC 于D ，在BD 上取一点E 使DE ＝AD ，由AC ＝1，可知BC ＝2，AD ＝32，AE ＝62， 由斜二测画法(如图(2))可知B ′C ′＝BC ＝2，A ′E ′＝2AE ＝6， ∴S △A ′B ′C ′＝12B ′C ′·A ′E ′＝12×2×6＝ 6.(1) (2)一、选择题1．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为()A．圆台B．四棱锥C．四棱柱D．四棱台2．(湖南高考)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()A.32B．1C.2＋12 D. 23．三棱柱ABC-A1B1C1，如下图所示，以BCC1B1的前面为正前方画出的三视图，正确的是()4．(福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱5．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为( )A.32B.23 C ．12 D ．6 二、填空题6．如图所示，为一个简单几何体的三视图，它的上部是一个________，下部是一个________．7．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．8．如图(1)，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1和面BCC 1B 1的中心，则四边形BED 1F 在该正方体的面上的射影可能是图(2)中的________(要求：把可能的图的序号都填上)．三、解答题9．如图所示，图②是图①中实物的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出它的左视图．10．某建筑由若干个面积相同的房间组成，其三视图如下，其中每一个小矩形表示一个房间．(1)该楼有几层？共有多少个房间？ (2)画出此楼的大致形状．答 案1. 解析：选D 由主视图和左视图可以判断一定为棱台或圆台，又由俯视图可知其一定为棱台且为四棱台．2. 解析：选D 由已知，正方体的正视图与侧视图都是长为2，宽为1的矩形，所以正视图的面积等于侧视图的面积，为 2.3. 解析：选A 正面是BCC 1B 1的矩形，故主视图为矩形，左侧为△ABC ，所以左视图为三角形，俯视图为两个有一条公共边的矩形，公共边为CC 1在面ABB 1A 1内的投影．4. 解析：选D 球的三视图是三个相同的圆；当三棱锥为正三棱锥时其三视图可能是三个全等的三角形；正方体的三视图可能是三个相同的正方形；不论圆柱如何放置，其三视图形状都不会完全相同．5. 解析：选A 由主视图、左视图、俯视图之间的关系可以判断该几何体是一个底面为正六边形的正六棱锥．∵主视图中△ABC 是边长为2的正三角形，此三角形的高为3，∴左视图的高为 3.俯视图中正六边形的边长为1，其小正三角形的高为32，∴左视图的底为32×2＝3， ∴左视图的面积为12×3×3＝32.6. 解析：由三视图可知该几何体图示为所以，其上部是一个圆锥，下部是一个圆柱．答案：圆锥圆柱7. 解析：其俯视图如图所示时为小正方体个数最多情况(其中小正方形内的数字表示小正方体的个数)共需7个小正方体.答案：78. 解析：根据平行投影的理论，从正方体的上下、前后、左右三个角度分别投影，从上往下投影，选择②，从前往后投影，选择②，从左往右投影，选择③.答案：②③9. 解：图①是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误．俯视图应该画出不可见轮廓(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．10. 解：(1)由主视图和左视图可知，该楼共3层，由俯视图可知，该楼一楼有5个房间，结合主视图与左视图，易知二楼和三楼分别有4个，1个房间，故共10个房间．(2)此楼的大致形状如图：一、选择题1．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行2．若点A在直线b上，b在平面β内，则A，b，β之间的关系可以记作()A．A∈b，b∈βB．A∈b，bβC．A b，bβD．A b，b∈β3．如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR4．平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为() A．3 B．4 C．5 D．65．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上二、填空题6．空间四点A，B，C，D，其中任何三点都不在同一直线上，它们一共可以确定平面的个数为________．7．如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE 是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．8．有下面几个说法：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．其中正确的序号是__________(把你认为正确的序号都填上)．三、解答题9．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．10．已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a，b，c，d共面．答案1. 解析：选B若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB 与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．2. 解析：选B∵点A在直线b上，∴A∈b，又∵直线b在平面β内，∴bβ，∴A ∈b，bβ.3. 解析：选C∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC.而C∈β，lβ，R∈l，∴R∈β，∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR.4. 解析：选C如图，与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．5. 解析：选A因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上．6. 解析：四点共面时，确定1个平面，任何三点不共线，四点不共面时，确定4个平面．答案：1或47. 解析：观察图形可知①③错误，②④正确．答案：②④8. 解析：①中线段可与平面α相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中三边在同一平面内，可推知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面．答案：③④9. 证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．10. 证明：①无三线共点情况，如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.∴NQα，即bα.同理cα.∴a，b，c，d共面．②有三线共点的情况，如图所示，设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M，且K∉a，∵K∉a，∴K与a确定一个平面，设为β.∵N∈a，aβ，∴N∈β.∴NKβ，即bβ.同理，cβ，dβ.∴a，b，c，d共面．一、选择题1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．异面或相交2．如图所示，在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有()A．2对B．3对C．4对D．6对3．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()A．3条B．4条C．5条D．6条4．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是()A．5 B．10 C．12 D．不能确定5．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是() A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交二、填空题6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC 的两边与________的两边分别平行且方向相反．7．若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则直线a 与直线c 的位置关系是________． 8．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱C 1D 1，C 1C 的中点．有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线 ②直线AM 与BN 是平行直线 ③直线BN 与MB 1是异面直线 ④直线AM 与DD 1是异面直线其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)． 三、解答题9．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点．(1)求证：D 1E ∥BF ； (2)求证：∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.10．如图，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ.(1)当λ＝μ时，求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)当λ≠μ时，求证：①四边形EFGH 是梯形；②三条直线EF ，HG ，AC 交于一点．答案1. 解析：选D a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A 矛盾，而a与c异面、相交都有可能．2. 解析：选B据异面直线的定义可知共有3对．AP与BC，CP与AB，BP与AC.3. 解析：选B由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．4. 解析：选B如图所示，由三角形中位线的性质可得EH 12BD，FG12BD，再根据公理4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.5. 解析：选D若c与a、b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．6. 解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同；(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．答案：(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A17. 解析：如图，可借助长方体理解，令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．答案：平行、相交或异面8. 解析：由异面直线的定义知③④正确． 答案：③④9. 证明：(1)取BB 1的中点M ，连接EM ，C 1M .在矩形ABB 1A 1中，易得EM A 1B 1，∵A 1B 1C 1D 1，∴EMC 1D 1，∴四边形EMC 1D 1为平行四边形， ∴D 1E ∥C 1M .在矩形BCC 1B 1中，易得MBC 1F ，∴四边形BFC 1M 为平行四边形， ∴BF ∥C 1M ，∴D 1E ∥BF . (2)∵ED 1∥BF ，BB 1∥EA 1，又∠B 1BF 与∠D 1EA 1的对应边方向相同， ∴∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.10. 证明：在△ABD 中，AE AB ＝AHAD ＝λ，故EHλBD .同理FGμBD .由公理4得EH ∥FG ，又可得FG ＝μλEH .(1)若λ＝μ，则FG ＝EH ，故EFGH 是平行四边形． (2)①若λ≠μ，则EH ≠FG ，故EFGH 是梯形． ②在平面EFGH 中EF 、HG 不平行，必然相交． 设EF ∩HG ＝O ，则由O ∈EF ，EF 平面ABC ，得O ∈平面ABC .同理有O ∈HG平面ACD .而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，所以O ∈AC ，即EF 、HG 、AC 交于点O .一、选择题1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是()A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的所有直线不相交2．空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．平行或相交3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是()A．平面BME∥平面ACNB．AF∥CNC．BM∥平面EFDD．BE与AN相交4．已知m，n表示两条直线，α，β，γ表示平面，下列结论中正确的个数是()①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β；②若m，n相交且都在α，β外，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βA．1 B．2C．3 D．45．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1上的动点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．相交或平行二、填空题6．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是________．7．三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________．8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD 的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.三、解答题9．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，使A到A′的位置，M是A′B的中点，求证：ME∥平面A′CD.10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC 和SC的中点．求证：(1)EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.答案1. 解析：选D若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.2. 解析：选A如图所示，在平面ABC内，因为AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，所以AC∥EF.又因为AC 平面DEF，EF 平面DEF，所以AC∥平面DEF.3. 解析：选A作出如图所示的正方体．易知AN∥BM，AC∥EM，且AN∩AC＝A，所以平面ACN∥平面BEM.4. 解析：选A①仅满足mα，nβ，m∥n，不能得出α∥β，不正确；②设m，n 确定平面为γ，则有α∥γ，β∥γ，从而α∥β，正确；③④均不满足两个平面平行的条件，故③④均不正确．5. 解析：选D当M与D 1重合时，∵DD1∥A1A，DD1面AA1C1C，AA1面AA1C1C，∴MD∥面AA1C1C.当M不与D1重合时，DM与AA1相交，也即DM与面AA1C1C相交．6. 解析：由线面平行的判定定理知：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.答案：27. 解析：如图，取BC中点F，连SF.∵G为△ABC的重心，∴A，G，F共线且AG＝2GF.又∵AE＝2ES，∴EG∥SF.又SF 平面SBC，EG平面SBC，∴EG∥平面SBC.答案：EG∥平面SBC8. 解析：∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连接，有MN∥平面B1BDD1.答案：M∈线段FH9. 证明：如图所示，取A′C的中点G，连接MG，GD，∵M ，G 分别是A ′B ，A ′C 的中点，∴MG 12BC ， 同理DE12BC ，∴MG DE ，∴四边形DEMG 是平行四边形， ∴ME ∥DG . 又ME平面A ′CD ，DG 平面A ′CD ，∴ME ∥平面A ′CD .10. 证明：(1)如图所示，连接SB .∵E ，G 分别是BC ，SC 的中点， ∴EG ∥SB .又∵SB平面BDD 1B 1，EG 平面BDD 1B 1，∴EG ∥平面BDD 1B 1.(2)∵F ，E 分别是DC ，BC 的中点，∴FE ∥BD .又∵BD平面BDD 1B 1，FE 平面BDD 1B 1，∴FE ∥平面BDD 1B 1.又EG ∥平面BDD 1B 1，且EG 平面EFG ，EF平面EFG ，EF ∩EG ＝E ，∴平面EFG∥平面BDD 1B 1.一、选择题1．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，aβ，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面2．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b 的位置关系是()A．c与a，b都异面B．c与a，b都相交C．c至少与a，b中的一条相交D．c与a，b都平行3．下列说法正确的个数为()①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．A．1 B．2C．3 D．44．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC 于A′，B′，C′，若P A′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为()A．2∶5B．3∶8C．4∶9 D．4∶255．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A∉α，则()A．α∥平面ABCB．△ABC中至少有一边平行于αC．△ABC中至多有两边平行于αD．△ABC中只可能有一边与α相交二、填空题6．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．7．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________.8．如图所示，直线a ∥平面α，点A 在α另一侧，点B ，C ，D ∈a .线段AB ，AC ，AD 分别交α于点E ，F ，G .若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝________.三、解答题9．如图，棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值．10．在底面是平行四边形的四棱锥P -ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，如图，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ，证明你的结论．答 案1. 解析：选C a ∥α，a 与α内的直线没有公共点，所以，a 与α内的直线的位置关系是异面或平行，α内与b 平行的直线与a 平行，α内与b 相交的直线与a 异面．2. 解析：选D 如图：∵a ∥b ，且a γ，b γ，∴a ∥γ， ∵a α且α∩γ＝c ，∴a ∥c ，∴b ∥c .3. 解析：选B 易知①④正确，②不正确；③若α∥β、a β，则a 与α平行，故③不正确．4. 解析：选D 由题意知，△A ′B ′C ′∽△ABC ， 从而S △A ′B ′C ′S △ABC＝⎝⎛⎭⎫P A ′P A 2＝⎝⎛⎭⎫252＝425. 5. 解析：选B 若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故 △ABC 中至少有一边平行于α.6. 解析：因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ，又因为E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得：EF ＝12AC ，又因为在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝22，所以EF ＝ 2.答案： 27. 解析：∵MN ∥平面AC ，PQ ＝平面PMN ∩平面AC ， ∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a3.答案：22a 38. 解析：A ∉a ，则点A 与直线a 确定一个平面，即平面ABD . 因为a ∥α，且α∩平面ABD ＝EG ， 所以a ∥EG ，即BD ∥EG .所以AF AC ＝AE AB ，又EG BD ＝AE AB ，所以AF AC ＝EG BD .于是EG ＝AF ·BD AC ＝5×45＋4＝209.答案：2099. 解：设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，。

第四章综合测试一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.55 cos cos sin sin 8888ππππ+=（）A .1B .0C .1-D .122.若 sin 4cos 0αα-=，则3tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A .53B .53-C .35D .35-3.若()()4tan 114tan 17αβ+-=，则()tan αβ-的值为（）A .14B .12C .4D .124.已知3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2sin 4απα⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A .715B .715-C .4315D .4315-5.已知 tan 2α=，则22sin 1cos 24απα+⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭的值是（）A .53B .134-C .135D .1346.已知4sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，且β是第三象限角，则cos 2β的值等于（）A .55±B .255±C .55D .255-7.函数()22cos 2()f x x x x =⋅∈R 的最小正周期和最大值分别是（）A .2π，3B .2π，1C .π，3D .π，18.化简2222sin 1sin 2sin 3sin 89︒++++︒︒ 的结果是（）A .89B .892C .45D .452二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.下列各式中，值为12的是（）A .2tan15cos 15︒︒B .2233312312ππ-C .2tan 301tan 30︒︒⋅-D 10.下列各式与tan α不相等的是（）A B .sin 1cos αα+C .21cos sin 2αα--⋅D .sin 1cos 2aα-11.有下列四个函数，其中在2π上为递增函数的是（）A .sin cos y x x =+B .sin cos y x x=-C .sin cos y x x=D .sin cos x y x=12.关于函数()()2sin cos cos f x x x x =-有下列四个结论，其中正确的有（）AB .把函数() 21f x x =-的图象向右平移4π个单位长度后可得到函数()()2sin cos cos f x x x x =-的图象C .递增区间为711 ,88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z （）D .图象的对称中心为,1()28k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13.如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.14.已知tan 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan tan 2x x 的值为________.15.已知s 1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3παπ<<，则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________.16.ABC △的三个内角为A ，B ，C ，当A 为________时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，且这个最大值为________.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知1sin 0,tan 523a παβ⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭，，.（1）求tan α的值；（2）求tan(2)αβ+的值.18.在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点21,cos 2P θ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，点()2sin ,1Q θ-在角β的终边上，且12OP OQ ⋅=- .求：（1）cos 2θ的值；（2）sin()αβ+的值.19.从圆心角为120︒，半径为20 cm 的扇形铁片上截出一块矩形OPMN ，如图，让矩形的一边在扇形的一条半径OA 上，点M 在弧AB 上，求此矩形面积的最大值.20.已知函数()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的定义域与最小正周期；（2）设0,4a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若2cos 22f αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，求α的大小.21.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数a .①22sin 13cos 17sin13cos17︒︒︒+-︒；②22sin 15cos 15sin 15cos15︒︒︒+-⋅︒；③22sin 18cos 12sin 18cos12︒︒︒+-⋅︒；④()()22sin 18cos 48sin 18cos48︒︒︒-+--︒；⑤()()22sin 25cos 55sin 25cos55︒︒︒-+--︒.（1）从上述五个式子中选择一个，求出常数a ；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论.22.已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x '=⋅+-∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若()06 5f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值.第四章综合测试答案解析一、1.【答案】B 【解析】55 cos cos sin sin cos 088882πππππ+==，故选B .2.【答案】A【解析】由已知得sin tan 4cos ααα==，于是31tan 5tan 41tan 3πααα--⎛⎫-== ⎪-⎝⎭，故选A .3.【答案】C【解析】由已知得()()tan tan 161tan tan h αβαβ-=+，即tan tan 41tan tan αβαβ-=+，tan()4αβ∴-=，故选C .4.【答案】A【解析】因为3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以273sin 2cos 212cos ,sin cos 2425445ππππααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以27sin 725 315sin 54απα⋅==⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选A .5.【答案】D【解析】22222222sin 13sin cos 3sin cos 3tan 132113sin 22sin cos 2tan 224cos 24ααααααπααααα++++⨯+=====⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选D .6.【答案】A【解析】由已知，得4sin[()]sin()5αβαβ--=-=，4sin 5β∴=-，β 是第三象限角，3cos 5β∴=-，5cos25β∴=±，故选A .7.【答案】C【解析】13 ()cos 2122cos 2212cos 21223f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=-+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，T π∴=，max ()3f x =，故选C .8.【答案】B【解析】222222222 sin 1sin 2sin 3sin 89sin 1sin 2sin 45cos 44cos 1︒︒︒︒︒︒︒︒++++=++++++ ()()()2222222189sin 1cos 1sin 2cos 2sin 44cos 44sin 454422=+++++++=︒︒︒︒︒︒=︒+，故选B .二、9.【答案】BD【解析】A 中，2tan15cos 15sin15cos15︒︒︒︒=11sin 3024==︒⋅，A 不正确；B 中，221cos 312312362πππ-===，B 正确；C 中，2tan301tan 601tan 3022=︒-︒=︒，C 不正确；D12=，D 正确，故选BD .10.【答案】ABD【解析】A|tan |α=，A 不符合；B 中22sincos sin 22tan 1cos 22cos 2αααααα==+，B 不符合；C 中，21cos 22sin tan sin 22sin cos αααααα-==，C 符合；D 中，2sin sin 11cos 22sin sin ααααα==-，D 不符合，故选ABD .11.【答案】BD【解析】A中，sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由图象可知，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为递减函数，A 不符合；B中，4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，由图象可知，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为递增函数，B 符合；C 中，1sin cos sin 22y x x x ==，由图象知函数在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上先增后减，C 不符合；D 中，tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递增，D 符合，故选BD .12.【答案】CD【解析】因为2 ()2sin cos 2cos sin 2cos 21214f x x x x x x x π⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭，所以最大值为1-，A错误；将()21f x x =-的图象向右平移4π个单位长度后得到()214f x x π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦212x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，B 错误；由222,()242k x k k πππππ--+∈Z ，答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）文 科 数 学注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．设集合{}{}123234A B ==，，， ，，， 则=AB （ ）A. {}123,4，，B. {}123，，C. {}234，，D. {}134，，2．（1+i ）（2+i ）= （ ）A.1-iB. 1+3iC. 3+iD. 3+3i3．函数()sin(2)3π=+f x x 的最小正周期为（ ）A.4πB.2πC. πD.2π4．设非零向量，a b ，满足+=-a b a b 则A ．a ⊥bB. =a bC. a ∥bD. >a b5．若a ＞1，则双曲线2221-=x y a的离心率的取值范围是（ ）A. 2+∞（，）B. 22（，）C. 2（1，）D. 12（，）6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A. 90πB. 63πC. 42πD. 36π2017年高考数学试题（文） 第2页【共8页】7．设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+ 的最小值是（ ）A. -15B. -9C. 1D. 98．函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（ ）A. (-∞，-2)B. (-∞，-1)C. (1，+∞)D. (4，+∞)9．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2 位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A. 乙可以知道两人的成绩B. 丁可能知道两人的成绩C. 乙、丁可以知道对方的成绩D. 乙、丁可以知道自己的成绩10．执行右面的程序框图，如果输入的a = -1，则输出的S = （ ）A. 2B. 3C. 4D. 511．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）A. 110B. 15C. 310D. 2512．过抛物线C ：y 2 = 4x 的焦点FC 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l,则M 到直线NF 的距离为A.B.C.D. 第Ⅱ卷（非择题）二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．函数()2cos sin =+f x x x 的最大值为 .14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(0)，∈-∞x 时，32()=2+f x x x ，则(2)f = 15．长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 16．△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，若2b cos B =a cos C +c cos A ，则B = 三、解答题：（共70分。