2017_2018学年高中数学第03章直线与方程章末检测 新人教A版 必修2 含答案

第三章 直线与方程章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知直线l 上的两点A (－4,1)与B (x ，－3)，并且直线l 的倾斜角为135°，则x 的值是( )A ．－8B ．－4C ．0D ．8解析：直线l 的斜率k ＝tan 135°＝－1，所以－3－1x ＋4＝－1，解得x ＝0，故选C.答案：C2．已知直线的斜率k ＝－43，且直线不过第一象限，则直线的方程可能是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0解析：∵k ＝－43，排除A 、D ，又直线不过第一象限，在y 轴上截距小于0，故选B.答案：B3．过点P (4，－1)且与直线3x －4y －6＝0垂直的直线方程是( ) A ．4x ＋3y －13＝0 B ．4x －3y －19＝0 C ．3x －4y －16＝0D ．3x ＋4y －8＝0解析：所求直线的斜率为－43，由点斜式得y ＋1＝－43(x －4)，即4x ＋3y －13＝0. 答案：A4．如果直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0平行，则a 等于( ) A ．0 B.16C ．0或1D ．0或16解析：当a ＝0时，两直线为x ＝1，x ＝－1两直线平行． 当a ≠0时，两直线平行，则 13a －1＝2a －a ，解得a ＝16. 答案：D5．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( )A ．4 B.13 C.15 D.17 解析：由题意知x －22＝1，5－32＝y ，所以x ＝4，y ＝1，故P (4,1)到原点距离为42＋12＝17. 答案：D6．直线l 过点A (3,4)，且与点B (－3,2)的距离最远，则直线l 的方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x －y ＋5＝0 C ．3x ＋y ＋13＝0D ．3x ＋y －13＝0解析：当l ⊥AB 时，符合要求，∵k AB ＝4－23＋3＝13，∴l 的斜率为－3，∴直线l 的方程为y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.答案：D7．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值等于( ) A ．－2 B ．－12 C ．2 D.12解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.代入方程x ＋ky ＝0得－1－2k ＝0， 所以k ＝－12，选B.答案：B8．已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0,1)，B (1,0)，C (4,3)，则顶点D 的坐标为( ) A ．(3,4) B ．(4,3) C ．(3,1)D ．(3,8)解析：设D (m ，n )，由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n 4－m ，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4，∴点D 的坐标为(3,4)．答案：A9．已知点A (－1，－2)，B (2,3)，若直线l ：x ＋y －c ＝0与线段AB 有公共点，则直线l 在y 轴上的截距的取值范围是( )A ．[－3,5]B ．[－5,3]C ．[3,5]D ．[－5，－3]解析：直线l ：x ＋y －c ＝0表示斜率为－1的一组平行直线，所以把点A 、B 代入即可求得在y 轴上的截距的取值范围：代入点A 得c ＝－3，所以直线在y 轴上的截距为－3，同理代入点B 得直线在y 轴上的截距为5.故选A. 答案：A10．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 中点到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 3C ．3 3D ．4 2解析：所求最小值即为与l 1，l 2平行且到l 1，l 2距离相等的直线到原点的距离． 答案：A11．等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A (0,4)，则点B 的坐标可能是( ) A ．(2,0)或(4,6) B ．(2,0)或(6,4) C ．(4,6)D ．(0,2)解析：设B 点坐标为(x ，y )，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0×y －3x －3＝－1，x －2＋y －2＝－2＋－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6.答案：A12．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0 B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析：依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1， 因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)， 解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 解析：BC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋02，3＋12，即(－1,2)．所以BC 边上中线长为＋2＋－2＝10. 答案：1014．设点P 在直线x ＋3y ＝0上，且P 到原点的距离与P 到直线x ＋3y ＝2的距离相等，则点P 的坐标为________．解析：根据题意可设P (－3m ，m )， ∴－3m2＋m 2＝|－3m ＋3m －2|12＋32. 解之得m ＝±15.∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，15或⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，15或⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－1515．直线l 和两条直线l 1：x －3y ＋10＝0，及l 2：2x ＋y －8＝0都相交，且这两个交点所成的线段的中点是P (0,1)，则直线l 的方程是________． 解析：设两交点坐标分别为A (3y 1－10，y 1)，B (x 2，－2x 2＋8)，∵AB 的中点是P (0,1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 1－10＝0，－2x 2＋y 1＋8＝2，解得y 1＝2，x 2＝4.∴A ，B 两点坐标分别为A (－4,2)，B (4,0)． ∴过A ，B 两点的直线方程是x ＋4y －4＝0.答案：x ＋4y －4＝0 16．函数y ＝a2x －2(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点A ，则坐标原点O 到直线l 的距离的最大值为________． 解析：因为直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点A (1,1)， 所以m ＋n ＝1，所以坐标原点O 到直线l 的距离为d ＝1m 2＋n2＝1m 2＋－m2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋12，当m ＝12时，d 取最大值 2.答案： 2三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)一条直线被两条直线l 1：4x ＋y ＋6＝0和l 2：3x －5y －6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程． 解析：设所求直线与直线l 1交于A (x 0，y 0)，A 关于原点的对称点为B (－x 0，－y 0)．由题意得B 在直线l 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋6＝0，－3x 0＋5y 0－6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3623，y 0＝623，∴所求直线方程为x ＋6y ＝0.18．(本小题满分12分)已知直线l 平行于直线3x ＋4y －7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程． 解析：设l ：3x ＋4y ＋m ＝0， 当y ＝0时x ＝－m 3；当x ＝0时y ＝－m4.∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24， ∴12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m 3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m 4＝24. ∴m ＝±24.∴直线l 的方程为3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝0.19．(本小题满分12分)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0， (1)若l 1与l 2交于点P (m ，－1)，求m ，n 的值； (2)若l 1∥l 2，试确定m ，n 需要满足的条件； (3)若l 1⊥l 2，试确定m ，n 需要满足的条件．解析：(1)将点P (m ，－1)代入两直线方程得：m 2－8＋n ＝0和2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.(2)由l 1∥l 2得：m 2－8×2＝0⇒m ＝±4，又两直线不能重合，所以有8×(－1)－nm ≠0， 对应得n ≠±2，所以当m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2.(3)当m ＝0时，直线l 1：y ＝－n 8和l 2：x ＝12，此时l 1⊥l 2，当m ≠0时，此时两直线的斜率之积等于14，显然l 1与l 2不垂直，所以当m ＝0，n ∈R 时直线l 1和l 2垂直．20．(本小题满分12分)(1)求与点P (3,5)关于直线l ：x －3y ＋2＝0对称的点P ′的坐标； (2)求直线y ＝－4x ＋1关于点M (2,3)的对称直线的方程． 解析：(1)设P ′(x 0，y 0)，则k PP ′＝y 0－5x 0－3. PP ′中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋32，y 0＋52.根据对称关系x 0，y 0满足⎩⎪⎨⎪⎧y 0－5x 0－3·13＝－1，x 0＋32－3·y 0＋52＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝5，y 0＝－1.故点P ′坐标为(5，－1)．(2)设(x ，y )是对称直线上任一点，则(x ，y )关于M (2,3)的对称点为(4－x,6－y )，根据对称关系，则(4－x,6－y )在直线y ＝－4x ＋1上．代入整理有4x ＋y －21＝0，即为所求直线方程．21．(本小题满分13分)如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高所在直线l 的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0解得顶点A (－1,0)．又AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，AC 所在的直线方程为y ＝－(x ＋1)．已知BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，故BC 的斜率为－2，BC 所在的直线方程为y －2＝－2(x －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋，y －2＝－x －得顶点C 的坐标为(5，－6)．所以点A 的坐标为(－1,0)，点C 的坐标为(5，－6)．22．(本小题满分13分)已知点M (3,5)，在直线l ：x －2y ＋2＝0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 周长最小．解析：如图，由点M (3,5)及直线l ，可求得点M 关于l 的对称点M 1(5,1)，同样容易求得点M 关于y 轴的对称点M 2(－3,5)．根据M 1及M 2两点可得到直线M 1M 2的方程为x ＋2y －7＝0.令x ＝0，得到直线M 1M 2与y 轴的交点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －7＝0，x －2y ＋2＝0，得交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，94.故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，94，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72即为所求．。

本章测评(用时90分钟,满分100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.（经典回放）若直线x=1的倾斜角为α，则α( )A.等于0°B.等于45°C.等于90°D.不存在 解析:直线x=1是平行于y 轴的直线，故倾斜角为90°.答案：C2.直线（23-）x+y=3和直线x+（32-）y=2的位置关系是( )A.相交不垂直B.垂直C.平行D.重合解析:两条直线的斜率分别为32-和23231+=-，两斜率之积为)23()32(+⨯-=-1,故两直线垂直.答案：B3.点(1，-1)到直线x-y+1=0的距离是( ) A.21 B.23 C.22 D.223 解析:点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离d=223)1(1|1)1(1|22=-++--. 答案：D4.已知过点A(-2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为( )A.0B.-8C.2D.10解析:直线2x+y-1=0的斜率为-2，A 、B 两点连线的斜率为mm ---24，由两直线平行可得mm ---24=-2⇒m=-8. 答案：B5.过点（-1，3）且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为( )A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+7=0解析:与直线x-2y+3=0垂直的直线可设为2x+y+m=0，代入点（-1，3）得m=-1，即所求直线方程为2x+y-1=0.答案：A6.直线l 经过点(0,-1),且通过第二、三、四象限，并与坐标轴围成三角形面积为2的直线方程为( )A.x+y+4=0B.x+4y+4=0C.4x+y+16=0D.x+y-4=0解析:由直线l 经过点(0,-1)知：直线l 在y 轴上的截距为-1，由题意知直线l 在x 轴上的截距也为负值，设与x 轴的交点为（-a,0）(a ＞0),则根据面积公式得a=4,即直线方程为044114=++⇒=-+-y x y x .答案：B7.设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA|=|PB|，若直线PA 的方程为x-y+1=0，则直线PB 的方程是( )A.x+y-5=0B.2x-y-1=0C.2y-x-4=0D.2x+y-7=0解析:由|PA|=|PB|知点P 在线段AB 的垂直平分线上，又直线PA 的方程为x-y+1=0知：A(-1，0)，得B （5，0）、P （2,3），即由两点式方程得PB 的方程为⇒--=--525030x y x+y-5=0. 答案：A8.若点（5，b ）在两条平行直线6x-8y+1=0与3x-4y+5=0之间，则整数b 的值为( )A.5 B ．-5 C ．4 D ．-4解析:两条平行直线6x-8y+1=0与3x-4y+5=0之间的距离为d=1095|215|=-. 要使点（5，b ）在两条平行线之间有该点到两直线的距离均小于109， 即⎪⎩⎪⎨⎧<-<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<-.29|420|,9|831|1095|420|10910|831|b b b b 代入答案验证，得b=4.答案：C二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）9.已知过两点(5,m)和(m,8)的直线的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是______________. 解析:根据两点间连线的斜率公式，得k=⇒>--058mm (m-8)(5-m)＞0.解得5＜m ＜8. 答案：(5,8)10.已知直线l 被坐标轴截得线段中点是(1,-3)，则直线l 的方程是__________________. 解析:设直线l 与两坐标轴的交点分别是（a,0）、(0,b),则根据中点坐标公式，得a=2,b=-6.由截距式直线方程，得直线l 的方程是⇒=-+162y x 3x-y-6=0. 答案：3x-y-6=011.无论k 取何值，直线（2k+1）x-（k-2）y-（k+8）=0恒过点_____________.解析:（2k+1）x-（k-2）y-（k+8）=0变形为x+2y-8+（2x-y-1）k=0,因此直线恒过直线x+2y-8=0和2x-y-1=0的交点，解方程组⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=--=-+,3,2012,082y x y x y x 得即原直线恒过点（2，3）.答案：（2，3）12.若A(2,-3)是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点,则相异两点(a 1,b 1)和(a 2,b 2)所确定的直线的方程是__________________.解析:由题意知：2a 1-3b 1+1=0，2a 2-3b 2+1=0，即点(a 1，b 1)和点(a 2，b 2)都在直线2x-3y+1=0上，根据两点确定一条直线得：相异两点(a 1,b 1)和(a 2,b 2)所确定的直线的方程是2x-3y+1=0.答案：2x-3y+1=0三、解答题（本大题共4小题，共44分）13.（10分）求点P(-7,1)关于直线l :2x-7-5=0的对称点Q 的坐标.解：设点Q 的坐标为(x 0,y 0)，∵PQ ⊥l ，∴k l ·k PQ =-1. ∴7100+-x y ×2=-1，即x 0+2y 0=-5. ① 设线段PQ 的中点为M ，则M(21,2700+-y x )，∵点M 在直线l 上，∴2127200+--∙y x -5=0，即2x 0-y 0-25=0. ② 联立①②，解得⎩⎨⎧-==.7,900y x ∴点Q 的坐标为(9,-7).14.（10分）已知两定点A （2，5），B （-2，1），M （在第一象限）和N 是过原点的直线l 上的两个动点，且|MN|=22，l ∥AB ，如果直线AM 和BN 的交点C 在y 轴上，求点C 的坐标.解：由点A 、B 的坐标并利用斜率公式得k AB =1,于是k 1=1，从而l 的方程为y=x ，设M （a ，a ）（a ＞0），N （b ，b ），由｜MN ｜=22，得22)()(22=-+-b a b a ，故|a-b|=2，直线AM 的方程为y-5=25--a a (x-2)，令x=0，则得C 的坐标为(0,23-a a )， 直线BN 的方程为y-1=21+-b b (x+2)，令x=0，则得C 的坐标为(0,23+b b )，故2323+=-b b a a ，化简得a=-b ，将其代入|a-b|=2，并注意到a ＞0，得a=1，b=-1,∴C(0,-3).15.（12分）过A(-4,0)、B(0,-3)两点作两条平行线，若这两条直线各自绕A 、B 旋转，使它们之间的距离取最大值，求此最大值?解：当两直线的斜率不存在时，方程分别为x=-4,x=0,它们之间的距离d=4；当两直线的斜率存在时，设方程分别为y=k(x+4)与y=kx-3， d=1|34|2++k k ，∴d 2=19241622+++k k k . ∴(d 2-16)k 2-24k+d 2-9=0.∵k ∈R ,∴Δ≥0，即d 4-25d 2≤0.∴0＜d 2≤25.∴0＜d≤5.∴d max =5.当d=5时，k=34．∴d max =5. 16.（12分）在直角坐标系中，设矩形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O （0，0），P （1，t ），Q （1-2t ，2+t ），R （-2t ，2），其中t ∈（0，21）.求矩形OPQR 在第一象限部分的面积S （t ）.解：当0＜t ＜21时，点Q 在第一象限，如图，此时S （t ）为四边形OPQK 的面积，直线QR 的方程为y-2=t （x+2t ）.令x=0，得y=2t 2+2，点K 的坐标为（0，2t 2+2）.S 四边形OPQK =S 四边形OPQR -S △OKR =21)1(222-+t (2t 2+2)·2t=2(1-t+t 2-t 3). ∴S(t)=2(1-t+t 2-t 3)(0＜t ＜1).。

学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)一、选择题1．若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，有下列说法：①若l1∥l2，则斜率k1＝k2；②若斜率k1＝k2，则l1∥l2；③若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；④若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2.其中正确说法的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】需考虑两条直线重合的情况，②④都可能是两条直线重合，所以①③正确．【答案】 B2．已知过(－2，m)和(m,4)两点的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是( ) A．－8 B．0C．2 D．10【解析】由题意知m≠－2，m－4－2－m＝－2，得m＝－8.【答案】 A3．若点A(0,1)，B(3，4)在直线l1上，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为( ) A．－30°B．30°C．150°D．120°【解析】k AB＝4－13－0＝3，故l1的倾斜角为60°，l1⊥l2，所以l2的倾斜角为150°，故选C.【答案】 C4．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是( ) A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形【解析】 ∵k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32， ∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角．【答案】 C5．若点P (a ，b )与Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则l 的倾斜角为( )A ．135°B ．45°C ．30°D ．60° 【解析】 k PQ ＝a ＋1－b b －1－a＝－1，k PQ ·k l ＝－1， ∴l 的斜率为1，倾斜角为45°.【答案】 B二、填空题6．已知直线l 1过点A (－2,3)，B (4，m )，直线l 2过点M (1,0)，N (0，m －4)，若l 1⊥l 2，则常数m 的值是______.【解析】 由l 1⊥l 2，得k AB ·k MN ＝－1，所以m －34－－·m －40－1＝－1，解得m ＝1或6. 【答案】 1或67．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，则第四个顶点D 的坐标为________．【解析】 设D 点坐标为(x ，y )，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，即y －2x －3＝－1，① y －1x＝1， ② 联立①②解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3，所以顶点D 的坐标为(2,3)．【答案】 (2,3)三、解答题8．已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－a ＋13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13，C (2－2a,1)，D (－a,0)四点，当a 为何值时，直线AB 和直线CD 垂直？【解】 k AB ＝－13＋a ＋130－1＝－a 3，k CD ＝0－1－a －2＋2a ＝12－a(a ≠2)． 由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3×12－a＝－1，解得a ＝32. 当a ＝2时，k AB ＝－23，直线CD 的斜率不存在． ∴直线AB 与CD 不垂直．∴当a ＝32时，直线AB 与CD 垂直． 9．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判断▱ABCD 是否为菱形.【解】 (1)设D (a ，b )，由四边形为平行四边形，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝6，所以D (－1,6)．(2)因为k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，所以k AC ·k BD ＝－1， 所以AC ⊥BD ，故▱ABCD 为菱形．10．已知两点A (2,0)，B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，有O ，A ，B ，C 四点共圆，那么y 的值是( )A ．19B.194 C ．5 D ．4【解析】 由题意知AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即4－03－2×4－y 3－0＝－1，解得y ＝194，故选B. 【答案】 B11．已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2，－4)，B (6,6)，C (0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．【解】 由斜率公式可得kAB ＝6－－6－－＝54，k BC ＝6－66－0＝0，k AC ＝6－－0－－＝5.由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在． 设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2， 由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1，即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1， 解得k 1＝－45，k 2＝－15. ∴BC 边上的高所在直线的斜率不存在； AB 边上的高所在直线的斜率为－45； AC 边上的高所在直线的斜率为－15.。

人教A 版高中数学必修2 第3章 直线与方程 汇编目录人教A 版必修2试题：学业质量标准检测3 Word 版含解析第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．(2016～2017·烟台高一检测)若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为导学号 09024647( A ) A ．3B ．－3C ．33D ．－33[解析] 直线的斜率k ＝tan60°＝ 3.故选A ．2．若过两点A (4，y )、B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y 等于导学号 09024648( C ) A ．－32 B ．32C ．－1D ．1[解析] ∵直线的倾斜角为45°， ∴直线的斜率k ＝tan45°＝1， ＝－3－y 2－4＝1，∴y ＝－1. 3．(2016·肥城高一检测)若A (－2,3)、B (3，－2)、C (12，m )三点共线，则m 的值为导学号 09024649( A )A ．12B ．－12C ．－2D ．2[解析] 由已知得，k AB ＝k AC ， ∴－2－33－(－2)＝m －312－(－2)，解得m ＝12.[点评] 若k AB ＝k BC ，则A ，B ，C 三点共线；若AB 与BC 的斜率都不存在(即A 、B 、C 三点横坐标相同)，则A 、B 、C 三点共线．4．直线l 的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则l 的斜率为导学号 09024650( B )A ．1B ．3C ．233D ．－ 3[解析] ∵tan α＝33，0°≤α<180°，∴α＝30°，∴2α＝60°，∴k ＝tan2α＝ 3.故选B ．5．如下图，已知直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则导学号 09024651( D )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2 [解析] 可由直线的倾斜程度，结合倾斜角与斜率的关系求解．设直线l 1、l 2、l 3的倾斜角分别是α1、α2、α3，由图可知α1>90°>α2>α3>0°，所以k 1<0<k 3<k 2.6．设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为导学号 09024652( D )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° [解析] 根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知： 当0°≤α<135°，l 1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l 1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 故选D ．7．经过两点A (2,1)、B (1，m 2)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是导学号 09024653( C ) A ．m ＜1 B ．m ＞－1 C ．－1＜m ＜1 D ．m ＞1或m ＜－1 [解析] 设直线l 的倾斜角为α，则k AB ＝m 2－11－2＝tan α＞0.∴1－m 2＞0，解得－1＜m ＜1.8．已知点A (1,3)、B (－2，－1)．若过点P (2,1)的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是导学号 09024654( D )A ．k ≥12 B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12[解析] 过点P (2,1)的直线可以看作绕P (2,1)进行旋转运动，通过画图可求得k 的取值范围．由已知直线l 恒过定点P (2,1)，如图．若l 与线段AB 相交，则k P A ≤k ≤k PB ，∵k P A ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k ≤12.[点评] 在同一坐标系中，直线向右上方倾斜时，k >0； 向左上方倾斜时，k <0；在y 轴右侧，各直线交点最右边逆时针方向，k 依次增大． 二、填空题9．设P 为x 轴上的一点，A (－3,8)、B (2,14)，若P A 的斜率是PB 的斜率的两倍，则点P 的坐标为__(－5,0)__.导学号 09024655[解析] 设P (x,0)为满足题意的点，则k P A ＝8－3－x ，k PB ＝142－x ，于是8－3－x ＝2×142－x，解得x ＝－5. 10．直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是__[0,2]__.导学号 09024656 [解析] 如图，当直线l 在l 1位置时，k ＝tan0°＝0；当直线l 在l 2位置时，k ＝2－01－0＝2.故直线l 的斜率的取值范围是[0,2]．三、解答题11．在同一坐标平面内，画出满足下列条件的直线：导学号 09024657(1)直线l 1过原点，斜率为1；(2)直线l 2过点(3,0)，斜率为－23；(3)直线l 3过点(－3,0)，斜率为23；(4)直线l 4过点(3,1)斜率不存在． [解析] 如图所示．12．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.导学号09024658(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．[解析]如图，由题意可知，直线P A的斜率k P A＝4－0－3－1＝－1，直线PB的斜率k PB＝2－03－1＝1，(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1.(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与P A的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线P A 的倾斜角是135°，故α的取值范围是45°≤α≤135°.第三章 3.1 3.1.2一、选择题 1．(2016·临沧高一检测)直线l 1、l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是导学号 09024675( D )A ．平行B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直[解析] 设方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1、x 2，则x 1x 2＝－1. ∴直线l 1、l 2的斜率k 1k 2＝－1， 故l 1与l 2垂直． 2．(2016·盐城高一检测)已知直线l 的倾斜角为20°，直线l 1∥l ，直线l 2⊥l ，则直线l 1与l 2的倾斜角分别是导学号 09024676( C )A ．20°，20°B ．70°，70°C ．20°，110°D ．110°，20°[解析] ∵l 1∥l ，∴直线l 1与l 的倾斜角相等， ∴直线l 1的倾斜角为20°， 又∵l 2⊥l ，∴直线l 2的倾斜角为110°. 3．满足下列条件的直线l 1与l 2，其中l 1∥l 2的是导学号 09024677( B )①l 1的斜率为2，l 2过点A (1,2)、B (4,8)；②l 1经过点P (3,3)、Q (－5,3)，l 2平行于x 轴，但不经过P 点； ③l 1经过点M (－1,0)、N (－5，－2)，l 2经过点R (－4，3)、S (0,5)． A ．①② B ．②③ C ．①③D ．①②③[解析] k AB ＝8－24－1＝2，∴l 1与l 2平行或重合，故①不正确，排除A 、C 、D ，故选B ． 4．若过点A (2，－2)、B (5,0)的直线与过点P (2m,1)、Q (－1，m )的直线平行，则m 的值为导学号 09024678( B )A ．－1B ．17C ．2D ．12[解析] k AB ＝0－(－2)5－2＝23，∴k PQ ＝m －1－1－2m ＝23，解得m ＝17.5．已知，过A (1,1)、B (1，－3)两点的直线与过C (－3，m )、D (n,2)两点的直线互相垂直，则点(m ，n )有导学号 09024679( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个[解析] ∵由条件知过A (1,1)，B (1，－3)两点的直线的斜率不存在，而AB ⊥CD ，∴k CD ＝0，即2－mn ＋3＝0，得m ＝2，n ≠－3，∴点(m ，n )有无数个．6．以A (－1,1)、B (2，－1)、C (1,4)为顶点的三角形是导学号 09024680( C ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形[解析] k AB ＝－1－12－(－1)＝－23，k AC ＝4－11－(－1)＝32.∴k AB ·k AC ＝－23×32＝－1，∴AB ⊥AC ，故选C ．7．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)、(6，y )，且l 1⊥l 2，则y ＝导学号 09024681( D )A ．2B ．－2C ．4D ．1 [解析] ∵l 1⊥l 2且k 1不存在，∴k 2＝0， ∴y ＝1.故选D ．8．已知两点A (2,0)、B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，且O 、A 、B 、C 四点共圆，那么y 的值是导学号 09024682( B )A ．19B ．194C ．5D ．4[解析] 由于A 、B 、C 、O 四点共圆，所以AB ⊥BC ，∴4－03－2·4－y 3－0＝－1，∴y ＝194.故选B ． 二、填空题9．直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝__2__；若l 1∥l 2，则b ＝__－98__.导学号 09024683[解析] 当l 1⊥l 2时，k 1k 2＝－1，∴－b2＝－1.∴b ＝2.当l 1∥l 2时，k 1＝k 2，∴Δ＝(－3)2＋4×2b ＝0.∴b ＝－98.10．经过点P (－2，－1)和点Q (3，a )的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a ＝__4__.导学号 09024684 [解析] 由题意，得tan45°＝a ＋13＋2，解得a ＝4. 三、解答题11．已知在▱ABCD 中，A (1,2)、B (5,0)、C (3,4).导学号 09024685 (1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？[解析] (1)设D (a ，b )，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝6.∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1.∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．12．△ABC 的顶点A (5，－1)、B (1,1)、C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值.导学号 09024686 [解析] (1)若∠A ＝90°，则AB ⊥AC ，k AB ·k AC ＝－1，k AB ＝1＋11－5＝－12，k AC ＝m ＋12－5＝－m ＋13.∴－12×(－m ＋13)＝－1，∴m ＝－7.(2)若∠B ＝90°，则BA ⊥BC ，k BA ·k BC ＝－1，k BC ＝m －12－1＝m －1，k BA ＝－12，∴(m －1)×(－12)＝1，∴m ＝3.(3)若∠C ＝90°，则CA ⊥CB ，k CA ·k CB ＝－1，k CA ＝m ＋12－5＝－m ＋13，k CB ＝m －12－1＝m －1，k CA ·k CB ＝－1，∴(－m ＋13)×(m －1)＝－1，∴m 2＝4，∴m ＝±2.综上所述，m ＝－2,2，－7,3.13．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )、B (5，－1)、C (4,2)、D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形.导学号 09024687[解析] (1)如图，当∠A ＝∠D ＝90°时，∵四边形ABCD 为直角梯形， ∴AB ∥DC 且AD ⊥AB .∵k DC ＝0，∴m ＝2，n ＝－1. (2)如图，当∠A ＝∠B ＝90°时，∵四边形ABCD 为直角梯形，∴AD ∥BC ，且AB ⊥BC ，∴k AD ＝k BC ，k AB k BC ＝－1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝2－(－1)4－5，n ＋1m －5·2－(－1)4－5＝－1，解得m ＝165、n ＝－85.综上所述，m ＝2、n ＝－1或m ＝165、n ＝－85.第三章 3.2 3.2.1一、选择题1．直线y ＝－2x －7在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a 、b 的值是导学号 09024703( D ) A ．a ＝－7，b ＝－7B ．a ＝－7，b ＝－72C ．a ＝－72，b ＝7D ．a ＝－72，b ＝－7[解析] 令x ＝0，得y ＝－7，即b ＝－7，令y ＝0，得x ＝－72，即a ＝－72.2．若直线y ＝－12ax －12与直线y ＝3x －2垂直，则a 的值为导学号 09024704( D )A ．－3B ．3C ．－23D ．23[解析] 由题意，得－12a ×3＝－1，∴a ＝23.3．(2016大同高一检测)与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程为导学号 09024705( D )A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋44．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于导学号 09024706( B ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1[解析] 根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k 1＝a ，k 2＝2－a .两直线平行，则有k 1＝k 2. 所以a ＝2－a ，解得a ＝1.5．y ＝a |x |(a <0)的图象可能是导学号 09024707( D )[解析] ∵a <0，∴y ≤0，其图象在x 轴下方，故选D ． 6．(2016·天水高一检测)直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有导学号 09024708( B )A ．k >0，b >0B ．k >0，b <0C ．k <0，b >0D ．k <0，b <0[解析] 如图，由图可知，k >0，b <0.7．方程y ＝ax ＋1a表示的直线可能是导学号 09024709( B )[解析] 直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距是1a .当a >0时，斜率a >0，在y 轴上的截距是1a>0，则直线y ＝ax ＋1a 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a <0时，斜率a <0，在y 轴上的截距是1a <0，则直线y ＝ax ＋1a过第二、三、四象限，仅有选项B 符合．8．(2016～2017合肥高一检测)下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为π2，则其方程为x ＝x 1；③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程为y ＝y 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程．其中正确的个数为导学号 09024711( B ) A ．1 B ．2C ．3D ．4[解析] ①④不正确，②③正确，故选B ． 二、填空题9．已知点(1，－4)和(－1,0)是直线y ＝kx ＋b 上的两点，则k ＝__－2__，b ＝__－2__.导学号 09024712[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＝k ＋b 0＝－k ＋b ，解得k ＝－2，b ＝－2.10．(2016·杭州高一检测)直线l 1与直线l 2：y ＝3x ＋1平行，又直线l 1过点(3,5)，则直线l 1的方程为__y＝3x －4__.导学号 09024713[解析] ∵直线l 2的斜率k 2＝3，l 1与l 2平行． ∴直线l 1的斜率k 1＝3. 又直线l 1过点(3,5)，∴l 1的方程为y －5＝3(x －3)，即y ＝3x －4. 三、解答题11．(2016～2017·福州高一检测)直线l 过点P (2，－3)且与过点M (－1,2)，N (5,2)的直线垂直，求直线l 的方程.导学号 09024714[解析] 过M ，N 两点的直线斜率k ＝0， ∴直线l 与直线MN 垂直， ∴直线l 的斜率不存在． 又直线l 过点P (2，－3)， ∴直线l 的方程为x ＝2.12．已知直线y ＝－33x ＋5的倾斜角是直线l 的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l 的方程.导学号 09024715(1)过点P (3，－4)； (2)在x 轴上截距为－2； (3)在y 轴上截距为3.[解析] 直线y ＝－33x ＋5的斜率k ＝tan α＝－33，∴α＝150°，故所求直线l 的倾斜角为30°，斜率k ′＝33.(1)过点P (3，－4)，由点斜式方程得：y ＋4＝33(x －3)，∴y ＝33x －3－4.(2)在x 轴截距为－2，即直线l 过点(－2,0)，由点斜式方程得：y －0＝33(x ＋2)，∴y ＝33x ＋233.(3)在y 轴上截距为3，由斜截式方程得y ＝33x ＋3.13．求与直线y ＝43x ＋53垂直，并且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线l 的方程.导学号 09024716[解析] 由直线l 与直线y ＝43x ＋53垂直，可设直线l 的方程为y ＝－34x ＋b ，则直线l 在x 轴，y 轴上的截距分别为x 0＝43b ，y 0＝b .又因为直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，所以S ＝12|x 0||y 0|＝24，即12|43b ||b |＝24，b 2＝36， 解得b ＝6，或b ＝－6.故所求的直线方程为y ＝－34x ＋6，或y ＝－34x －6.第三章 3.2 3.2.2一、选择题1．直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为导学号 09024735( B )A ．2,5B ．2，－5C ．－2，－5D ．－2,5[解析] 将x 2－y 5＝1化成直线截距式的标准形式为x 2＋y －5＝1，故直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为2、－5.2．已知点M (1，－2)、N (m,2)，若线段MN 的垂直平分线的方程是x2＋y ＝1，则实数m 的值是导学号 09024736( C )A ．－2B ．－7C ．3D ．1 [解析] 由中点坐标公式，得线段MN 的中点是(1＋m 2，0)．又点(1＋m2，0)在线段MN 的垂直平分线上，所以1＋m 4＋0＝1，所以m ＝3，选C ．3．如右图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋yb＝1，则有导学号 09024737( B )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0[解析] 很明显M (a,0)、N (0，b )，由图知M 在x 轴正半轴上，N 在y 轴负半轴上，则a >0，b <0.4．已知△ABC 三顶点A (1,2)、B (3,6)、C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为导学号 09024738( A )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0[解析] 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x ＋y －8＝0.5．如果直线l 过(－1，－1)、(2,5)两点，点(1 008，b )在直线l 上，那么b 的值为导学号 09024739( D ) A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 017[解析] 根据三点共线，得5－(－1)2－(－1)＝b －51 008－2，得b ＝2 017.6．两直线x m －y n ＝1与x n －ym＝1的图象可能是图中的哪一个导学号 09024740( B )[解析] 直线x m －yn＝1化为y ＝n m x －n ，直线x n －ym＝1化为y ＝mnx －m ，故两直线的斜率同号，故选B ．7．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线y ＝2x 和x ＋ay ＝0上，且线段AB 的中点为P (0，10a )，则直线AB 的方程为导学号 09024741( C )A ．y ＝－34x ＋5B ．y ＝34x －5C ．y ＝34x ＋5D ．y ＝－34x －5[解析] 依题意，a ＝2，P (0,5)．设A (x 0,2x 0)、B (－2y 0，y 0)，则由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0－2y 0＝02x 0＋y 0＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4y 0＝2，所以A (4,8)、B (－4,2)．由直线的两点式方程，得直线AB 的方程是y －82－8＝x －4－4－4，即y ＝34x ＋5，选C ．8．过P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有导学号 09024742( B )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 [解析] 解法一：设直线方程为y ＋3＝k (x －4)(k ≠0)．令y ＝0得x ＝3＋4kk，令x ＝0得y ＝－4k －3.由题意，3＋4k k ＝－4k －3，解得k ＝－34或k ＝－1.因而所求直线有两条，∴应选B ．解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a,0)，(0，a )，a ≠0，则直线方程为x a ＋ya＝1，把点P (4，－3)的坐标代入方程得a ＝1.∴所求直线有两条，∴应选B ． 二、填空题9．已知点P (－1,2m －1)在经过M (2，－1)、N (－3,4)两点的直线上，则m ＝__32__.导学号 09024743[解析] 解法一：MN 的直线方程为：y ＋14＋1＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0，代入P (－1,2m －1)得m ＝32.解法二：M 、N 、P 三点共线， ∴4－(2m －1)－3＋1＝4－(－1)－3－2，解得m ＝32.10．(2016～2017·衡水高一检测)已知直线l 的斜率为6，且在两坐标轴上的截距之和为10，则此直线l 的方程为__6x －y ＋12＝0__.导学号 09024744[解析] 设l ：y ＝6x ＋b ，令y ＝0得x ＝－b 6.由条件知b ＋⎝⎛⎭⎫－b6＝10，∴b ＝12. ∴直线l 方程为y ＝6x ＋12.解法2：设直线l ：x a ＋y b ＝1，变形为y ＝－ba x ＋b .由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝6，a ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12，a ＝－2.∴直线l 方程为x －2＋y12＝1.即6x －y ＋12＝0.三、解答题11．求分别满足下列条件的直线l 的方程：导学号 09024745 (1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A (1,0)、B (m,1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．[解析] (1)设直线l 的方程为y ＝34x ＋b .令y ＝0，得x ＝－43b ，∴12|b ·(－43b )|＝6，b ＝±3. ∴直线l 的方程为y ＝43x ±3.(2)当m ≠1时，直线l 的方程是 y －01－0＝x －1m －1，即y ＝1m －1(x －1) 当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1.(3)设l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b .当a ≠0，b ≠0时，l 的方程为x a ＋yb ＝1；∵直线过P (4，－3)，∴4a －3b＝1.又∵|a |＝|b |，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －3b ＝1a ＝±b，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7b ＝－7. 当a ＝b ＝0时，直线过原点且过(4，－3)，∴l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＋y ＝1或x 7＋y －7＝1或y ＝－34x .12．△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)、B (－2,6)、C (－8,0).导学号 09024746 (1)分别求边AC 和AB 所在直线的方程；(2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边的中垂线所在直线的方程； (4)求AC 边上的高所在直线的方程；(5)求经过两边AB 和AC 的中点的直线方程．[解析] (1)由A (0,4)，C (－8,0)可得直线AC 的截距式方程为x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0.由A (0,4)，B (－2,6)可得直线AB 的两点式方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)设AC 边的中点为D (x ，y )，由中点坐标公式可得x ＝－4，y ＝2，所以直线BD 的两点式方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即2x －y ＋10＝0.(3)由直线AC 的斜率为k AC ＝4－00＋8＝12，故AC 边的中垂线的斜率为k ＝－2.又AC 的中点D (－4,2)，所以AC 边的中垂线方程为y －2＝－2(x ＋4)， 即2x ＋y ＋6＝0.(4)AC 边上的高线的斜率为－2，且过点B (－2,6)，所以其点斜式方程为y －6＝－2(x ＋2)，即2x ＋y －2＝0.(5)AB 的中点M (－1,5)，AC 的中点D (－4,2)，∴直线DM 方程为y －25－2＝x －(－4)－1－(－4)，即x －y ＋6＝0.13．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在此抛物线上，点N 在y 轴上，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，求点M 的坐标.导学号 09024747[解析] 容易求得抛物线与x 轴的交点分别为(－3,0)、(1,0)不妨设A (－3,0)、B (1,0)，由已知，设M (a ，b )、N (0，n )，根据平行四边形两条对角线互相平分的性质，可得两条对角线的中点重合．按A 、B 、M 、N 两两连接的线段分别作为平行四边形的对角线进行分类，有以下三种情况： ①若以AB 为对角线，可得a ＋0＝－3＋1，解得a ＝－2； ②若以AN 为对角线，可得a ＋1＝－3＋0，解得a ＝－4； ③若以BN 为对角线，可得a ＋(－3)＝1＋0，解得a ＝4. 因为点M 在抛物线上，将其横坐标的值分别代入抛物线的解析式，可得M (－2,3)或M (－4，－5)或M (4，－21)．第三章 3.2 3.2.3A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·南安一中高一检测)直线x －y ＋2＝0的倾斜角是导学号 09024768( B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90 [解析] 由x －y ＋2＝0，得y ＝x ＋2. 其斜率为1，倾斜角为45°. 2．(2016·葫芦岛高一检测)已知直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，则实数m 的值为导学号 09024769( A )A ．－12B ．12C ．2D ．－2[解析] ∵l 1∥l 2，∴1×(－1)－2m ＝0，∴m ＝－12.3．直线3x －2y －4＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是导学号 09024770( D )A ．34，－12B ．13，12C ．34，－2D ．43，－2[解析] 将3x －2y －4＝0化成截距式为x 43＋y －2＝1，故该直线在x 轴、y 轴上的截距分别是43，－2.4．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，则a 的值为导学号 09024771( D ) A ．1B ．－13C ．－23D ．－2[解析] 由题意，得(－a2)×(－1)＝－1，a ＝－2.5．直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，且l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程是导学号 09024772( A ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋2＝0[解析] 解法一：因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，又l 在y 轴上截距为2，所以所求直线l 的方程为y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.解法二：将直线y ＝x ＋1化为一般式x －y ＋1＝0，因为直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，可以设直线l 的方程为x ＋y ＋c ＝0，令x ＝0，得y ＝－c ，又直线l 在y 轴上截距为2，所以－c ＝2，即c ＝－2，所以直线l 的方程为x ＋y －2＝0.6．直线l ：(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0恒过定点导学号 09024773( B )A ．(－1,1)B ．(1，－1)C ．(－1，－1)D ．(1,1)[解析] 由(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0，得k (x －y －2)＋x ＋y ＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2＝0x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1. ∴直线l 过定点(1，－1)． 二、填空题7．若直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为__2或－3__.导学号 09024774[解析] 若m ＝－1，则l 1的斜率不存在，l 2的斜率为13，此时l 1与l 2不平行；若m ≠－1，则l 1的斜率为k 1＝－2m ＋1，l 2的斜率为k 2＝－m 3.因为l 1∥l 2，所以k 1＝k 2，即－2m ＋1＝－m3，解得m ＝2或－3.经检验均符合题意．8．若直线(2t －3)x ＋y ＋6＝0不经过第一象限，则t 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫32，＋∞__.导学号 09024775[解析] 直线方程可化为y ＝(3－2t )x －6，∴3－2t ≤0，∴t ≥32.三、解答题9．求与直线3x －4y ＋7＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 的方程.导学号 09024776 [解析] 解法一：由题意知：可设l 的方程为3x －4y ＋m ＝0，则l 在x 轴、y 轴上的截距分别为－m 3，m4.由－m 3＋m4＝1知，m ＝－12.∴直线l 的方程为：3x －4y －12＝0.解法二：设直线方程为x a ＋yb ＝1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－b a ＝34.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－3.∴直线l 的方程为：x 4＋y－3＝1.即3x －4y －12＝0.10．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定实数m 的值.导学号 09024777(1)l 在x 轴上的截距为－3； (2)斜率为1.[解析] (1)令y ＝0，依题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0 ①2m －6m 2－2m －3＝－3 ② 由①得m ≠3且m ≠－1；由②得3m 2－4m －15＝0，解得m ＝3或m ＝－53.综上所述，m ＝－53(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1≠0 ③－(m 2－2m －3)2m 2＋m －1＝1 ④，由③得m ≠－1且m ≠12，解④得m ＝－1或43，∴m ＝43.B 级 素养提升一、选择题1．(2016～2017·西宁高一检测)若直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的斜率为导学号 09024778( D )A ．1B ．－1C ．－2或1D ．－1或2[解析] 在方程ax ＋y －2－a ＝0中，令x ＝0得y ＝2＋a ，令y ＝0得，x ＝a ＋2a(a ≠0)．∴2＋a ＝a ＋2a，∴a ＝－2或1.当a ＝－2时，l 的斜率k ＝2； 当a ＝1时，l 的斜率k ＝－1. 故选D ．2．直线ax ＋by －1＝0(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是导学号 09024779( D ) A ．12abB ．12|ab |C ．12abD ．12|ab |[解析] ∵ab ≠0，∴令y ＝0，得x ＝1a，令x ＝0，得y ＝1b，∴三角形的面积S ＝12·1|a |·1|b |＝12|ab |.3．方程y ＝k (x ＋4)表示导学号 09024780( C )A ．过点(－4,0)的一切直线B ．过点(4,0)的一切直线C ．过点(－4,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(－4,0)且不平行于x 轴的一切直线[解析] 方程y ＝k (x ＋4)表示过点(－4,0)且斜率存在的直线，故选C ．4．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是导学号 09024781( D ) A ．m ＝1B ．m ＝±1C ．⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ≠－1D ．⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠1[解析] 根据两直线平行可得m 1＝1m，所以m ＝±1，又两直线不可重合，所以m ＝1时，n ≠－1；m ＝－1时，n ≠1.二、填空题5．(2016～2017·合肥高一检测)已知直线l 与直线3x ＋4y －7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l 的方程为__3x ＋4y ±24＝0__.导学号 09024782[解析] 设直线l 方程为3x ＋4y ＋b ＝0，令x ＝0得y ＝－b4；令y ＝0得x ＝－b3.由条件知12·⎪⎪⎪⎪－b 4·⎪⎪⎪⎪－b 3＝24. 解之得b ＝±24.∴直线l 方程为3x ＋y ±24＝0.6．若直线(m ＋1)x ＋(m 2－m －2)y ＝m ＋1在y 轴上截距等于1，则实数m 的值__3__.导学号 09024783 [解析] 直线(m ＋1)x ＋(m 2－m －2)y ＝m ＋1的方程可化为(m ＋1)x ＋(m ＋1)(m －2)y ＝m ＋1，由题意知m ＋1≠0，(m －2)y ＝1，由题意得1m －2＝1，∴m ＝3.C 级 能力拔高 1．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.导学号 09024784(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线l 不经过第一、三、四象限，求a 的取值范围．[解析] (1)将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，所以l 的斜率为a ，且过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35，而点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，直线l 恒过第一象限．(2)将方程化为斜截式方程：y ＝ax －a －35.要使l 经过第一、三、四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0－a －35<0，解得a >3.2．求满足下列条件的直线方程.导学号 09024785(1)经过点A (－1，－3)，且斜率等于直线3x ＋8y －1＝0斜率的2倍；(2)过点M (0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12.[解析] (1)因为3x ＋8y －1＝0可化为y ＝－38x ＋18，所以直线3x ＋8y －1＝0的斜率为－38，则所求直线的斜率k ＝2×(－38)＝－34.又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线的方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(2)设直线与x 轴的交点为(a,0)，因为点M (0,4)在y 轴上，所以由题意有4＋a 2＋42＋|a |＝12， 解得a ＝±3，所以所求直线的方程为x 3＋y 4＝1或x －3＋y4＝1，即4x ＋3y －12＝0或4x －3y ＋12＝0.第三章 3.3 3.3.1 3.3.2A 级 基础巩固一、选择题1．点M (1,2)关于y 轴的对称点N 到原点的距离为导学号 09024804( C ) A ．2 B ．1 C ．5 D ．5[解析] N (－1,2)，|ON |＝(－1)2＋22＝ 5.故选C ．2．已知A (2,1)、B (－1，b )，|AB |＝5，则b 等于导学号 09024805( C )A ．－3B ．5C ．－3或5D ．－1或－3[解析] 由两点间的距离公式知|AB |＝(－1－2)2＋(b －1)2＝b 2－2b ＋10， 由5＝b 2－2b ＋10， 解得b ＝－3或b ＝5. 3．经过两点A (－2,5)、B (1，－4)的直线l 与x 轴的交点的坐标是导学号 09024806( A )A ．(－13，0)B ．(－3,0)C ．(13，0)D ．(3,0)[解析] 过点A (－2,5)和B (1，－4)的直线方程为3x ＋y ＋1＝0，故它与x 轴的交点的坐标为(－13，0)．4．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y ＝1，和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值等于导学号 09024807( B ) A ．－2B ．－12C ．2D ．12[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝12x ＋3y ＋8＝0，得交点(－1，－2)，代入x ＋ky ＝0得k ＝－12，故选B ．5．一条平行于x 轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A (2,1)，则它的另一个端点B 的坐标为导学号 09024808( A )A ．(－3,1)或(7,1)B ．(2，－2)或(2,7)C ．(－3,1)或(5,1)D ．(2，－3)或(2,5) [解析] ∵AB ∥x 轴，∴设B (a,1)，又|AB |＝5，∴a ＝－3或7.6．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于导学号 09024809( C ) A ．5 B ．42 C ．25 D ．210[解析] 设A (x,0)、B (0，y )，由中点公式得x ＝4，y ＝－2，则由两点间的距离公式得|AB |＝(0－4)2＋(－2－0)2＝20＝2 5. 二、填空题7．已知A (1，－1)、B (a,3)、C (4,5)，且|AB |＝|BC |，则a ＝__12__.导学号 09024810[解析](a －1)2＋(3＋1)2＝(4－a )2＋(5－3)2，解得a ＝12.8．直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线(a ＋2)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0不相交，则实数a ＝__－2或－23__.导学号 09024811[解析] 由题意，得(a ＋2)(2a ＋3)－(1－a )(a ＋2)＝0，解得a ＝－2或－23.9．(2016～2017·哈尔滨高一检测)求平行于直线2x －y ＋3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形面积为9的直线方程.导学号 09024812[解析] 设所求的直线方程为2x －y ＋c ＝0，令y ＝0，x ＝－c 2，令x ＝0，y ＝c ，所以12⎪⎪⎪⎪c ·⎝⎛⎭⎫－c 2＝9，解得c ＝±6，故所求直线方程为2x －y ±6＝0.解法2：设所求直线方程为x a ＋yb＝1.变形得bx ＋ay －ab ＝0.由条件知⎩⎨⎧b 2＝a －1①12|ab |＝9②由①得b ＝－2a 代入②得a 2＝9， ∴a ＝±3.当a ＝3时，b ＝－6，当a ＝－3时，b ＝6， ∴所求直线方程为2x －y ±6＝0. 三、解答题10．已知直线x ＋y －3m ＝0和2x －y ＋2m －1＝0的交点M 在第四象限，求实数m 的取值范围.导学号 09024813[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3m ＝02x －y ＋2m －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝m ＋13y ＝8m －13.∴交点M 的坐标为(m ＋13，8m －13)．∵交点M 在第四象限，∴⎩⎨⎧m ＋13>08m －13<0，解得－1<m <18.∴m 的取值范围是(－1，18)．B 级 素养提升一、选择题1．已知点A (2,3)和B (－4,1)，则线段AB 的长及中点坐标分别是导学号 09024814( C ) A ．210，(1,2) B ．210，(－1，－2) C ．210，(－1,2)D ．210，(1，－2)[解析] |AB |＝(－4－2)2＋(1－3)2＝210，中点坐标为(2－42，3＋12)，即(－1,2)，故选C ．2．已知两点P (m,1)和Q (1,2m )之间的距离大于10，则实数m 的范围是导学号 09024815( B ) A ．－45＜m ＜2B ．m ＜－45或m ＞2C ．m ＜－2或m ＞45D ．－2＜m ＜45[解析] 根据两点间的距离公式|PQ |＝(m －1)2＋(1－2m )2＝5m 2－6m ＋2＞10，∴5m 2－6m －8＞0，∴m ＜－45或m ＞2.3．(2016～2017·宿州高一检测)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是导学号09024816( B )[解析] l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，由图A 中l 1知，－b >0，与l 2中－b <0矛盾，排除A ；同理排除D ．在图C 中，由l 1知－b <0，与l 2中，－b >0矛盾，排除C ．选B ．4．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为导学号 09024817( B )A ．24B ．20C ．0D ．－4[解析] ∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1，∴－m 4·25＝－1，∴m ＝10.又∵垂足为(1，p )，∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12， ∴m －n ＋p ＝20. 二、填空题5．已知直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围是__－32<a <2__.导学号 09024818[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝2a ＋12x ＋3y ＝a ，得⎩⎨⎧x ＝2a ＋37y ＝a －27.交点在第四象限，所以⎩⎨⎧2a ＋37>0a －27<0，解得－32<a <2.6．已知点A (5,2a －1)、B (a ＋1，a －4)，若|AB |取得最小值，则实数a 的值是__12__.导学号 09024819[解析] 由题意得|AB |＝(5－a －1)2＋(2a －1－a ＋4)2＝2a 2－2a ＋25＝2(a －12)2＋492，所以当a ＝12时，|AB |取得最小值．C 级 能力拔高1．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A 、B 两点．若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程.导学号 09024820[解析] 解法一：设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0，2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0－2x 0＋(2－y 0)－8＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4y 0＝2， ∴k AP ＝1－20＋4＝－14，故所求直线l 的方程为：y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0.解法二：设所求直线l 方程为：y ＝kx ＋1，l 与l 1、l 2分别交于M 、N .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1x －3y ＋10＝0，得N (73k －1，10k －13k －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12x ＋y －8＝0，得M (7k ＋2，8k ＋2k ＋2)．∵M 、N 的中点为P (0,1)则有： 12(73k －1＋7k ＋2)＝0，解得∴k ＝－14. 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.2．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问是否在BC 上存在一点M ，使得两条小路AC 与DM 相互垂直？若存在，则求出小路DM 的长.导学号 09024821[解析] 以B 为坐标原点，BC 、BA 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AD ＝5 m ，AB ＝3 m ， 所以C (5,0)、D (5,3)、A (0,3)．设点M 的坐标为(x,0)，因为AC ⊥DM ， 所以k AC ·k DM ＝－1， 即3－00－5·3－05－x＝－1. 所以x ＝3.2，即|BM |＝3.2，即点M 的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC 与DM 相互垂直． 故在BC 上存在一点M (3.2,0)满足题意．由两点间距离公式得|DM |＝(5－3.2)2＋(3－0)2＝3345.第三章 3.3 3.3.3 3.3.4A 级 基础巩固一、选择题1．两直线3x ＋4y －2＝0与6x ＋8y －5＝0的距离等于导学号 09024839( C ) A ．3B ．7C ．110D ．12[解析] 在3x ＋4y －2＝0上取一点(0，12)，其到6x ＋8y －5＝0的距离即为两平行线间的距离，d ＝|0＋8×12－5|62＋82＝110. 2．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2,6)、B (－4,3)、C (2，－3)，则点A 到BC 边的距离为导学号 09024840( B )A ．92B ．922C ．255D ．4 3[解析] BC 边所在直线的方程为y －3－3－3＝x ＋42＋4，即x ＋y ＋1＝0；则d ＝|2×1＋6×1＋1|2＝922.3．若点A (－3，－4)、B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为导学号 09024841( C ) A ．79B ．－13C ．－79或－13D ．79或13[解析] 由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79. 4．若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为导学号 09024842( C )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 0＋y 0－5＝0|x 0－y 0－1|2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2y 0＝－1.5．已知点A (1,3)、B (3,1)、C (－1,0)，则△ABC 的面积等于导学号 09024843( C ) A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.6．直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，且l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程是导学号 09024844( A ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0[解析] 方法1：因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，又l 在y 轴上截距为2，所以所求直线l 的方程为y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.方法2：将直线y ＝x ＋1化为一般式x －y ＋1＝0，因为直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，可以设直线l 的方程为x ＋y ＋c ＝0，令x ＝0，得y ＝－c ，又直线l 在y 轴上截距为2，所以－c ＝2，即c ＝－2，所以直线l 的方程为x ＋y －2＝0.二、填空题7．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则l 1与l 2间的距离为__52或510__.导学号 09024845 [解析] ∵l 1∥l 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(k －3)×(－2)－2(k －3)(4－k )＝0(－2)×1－(4－k )×3≠0， 解得k ＝3或k ＝5.当k ＝3时，l 1：y ＝－1，l 2：y ＝32，此时l 1与l 2间的距离为52；当k ＝5时，l 1：2x －y ＋1＝0，l 2：4x －2y ＋3＝0，此时l 1与l 2间的距离为|3－2|42＋(－2)2＝510.8．过点A (－3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是__3x －y ＋10＝0__.导学号 09024846 [解析] 当原点与点A 的连线与过点A 的直线垂直时，距离最大．∵k OA ＝－13，∴所求直线的方程为y－1＝3(x ＋3)，即3x －y ＋10＝0.三、解答题9．已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0和x ＋y ＋1＝0的交点，其一边所在直线的方程为x ＋3y －5＝0，求其它三边的方程.导学号 09024847[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝0. 即该正方形的中心为(－1,0)．所求正方形相邻两边方程3x －y ＋p ＝0和x ＋3y ＋q ＝0. ∵中心(－1,0)到四边距离相等， ∴|－3＋p |10＝610，|－1＋q |10＝610，解得p 1＝－3，p 2＝9和q 1＝－5，q 2＝7，∴所求方程为3x －y －3＝0,3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0.10．已知三条直线l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my －4＝0.求m 的值，使它分别满足以下条件：(1)l 1，l 2，l 3交于同一点；(2)l 1，l 2，l 3不能围成三角形.导学号 09024848[解析] (1)由4x ＋y －4＝0得y ＝－4x ＋4代入l 2，l 3的方程中分别得x 1＝－4m －4，x 2＝6m ＋31＋6m ，由－4m －4＝6m ＋36m ＋1，解得m ＝－1或23，经检验都符合题意．(2)首先由(1)知，当m ＝－1或23时，不能围成三角形；又kl 1＝－4，kl 2＝－m ，kl 3＝23m，若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；由于kl 2与kl 3异号，显然l 2与l 3不平行．综上知，m ＝－1，－16，23或4.B 级 素养提升一、选择题1．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ |的最小值为导学号 09024849( C ) A ．95 B ．185C ．3D ．6[解析] |PQ |的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x ＋4y －12＝0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ |的最小值为3.2．(2016·潍坊高一检测)与直线l ：3x －4y －1＝0平行且到直线l 的距离为2的直线方程是导学号 09024850( A )A ．3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0B ．3x －4y －11＝0C ．3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝0D ．3x －4y ＋9＝0[解析] 设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0，由题意得|m －(－1)|32＋(－4)2＝2，解得m ＝9或－11.3．到两条直线l 1：3x －4y ＋5＝0与l 2：5x －12y ＋13＝0的距离相等的点P (x ，y )必定满足方程导学号 09024851( D )A ．x －4y ＋4＝0B ．7x ＋4y ＝0C ．x －4y ＋4＝0或4x －8y ＋9＝0D ．7x ＋4y ＝0或32x －56y ＋65＝0[解析] 结合图形可知，这样的直线应该有两条，恰好是两条相交直线所成角的平分线．由公式可得|3x －4y ＋5|32＋(－4)2＝|5x －12y ＋13|52＋(－12)2，即3x －4y ＋55＝±5x －12y ＋1313，化简得7x ＋4y ＝0或32x －56y ＋65＝0. 4．(2016～2017山西吕梁汾阳四中期中)已知两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为导学号 09024852( D )A ．4B ．21313C ．51326D ．71020[解析] ∵两直线平行， ∴63＝m 1. ∴m ＝2. ∴两直线方程为6x ＋2y －6＝0和6x ＋2y ＋1＝0，其距离d ＝|－6－1|62＋22＝71020.故选D ． 二、填空题5．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是__8__.导学号 09024710[解析] x 2＋y 2表示直线上的点P (x ，y )到原点距离的平方，∵原点到直线x ＋y －4＝0的距离为|－4|2＝22，∴x 2＋y 2最小值为8.6．已知点A (1,1)、B (2,2)，点P 在直线y ＝12x 上，则当|P A |2＋|PB |2取得最小值时点P 的坐标为__(95，910)__.导学号 09024853[解析] 设P (2t ，t )，则|P A |2＋|PB |2＝(2t －1)2＋(t －1)2＋(2t －2)2＋(t －2)2＝10t 2－18t ＋10＝10(t 2－95t ＋1)＝10(t －910)2＋1910，当t ＝910时，|P A |2＋|PB 2|取得最小值，即P (95，910)．C 级 能力拔高1．(2016～2017·嘉兴高一检测)在△ABC 中，已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2).导学号 09024854(1)求直线BC 的方程． (2)求直线AB 的方程．[解析] (1)设AD ⊥BC ，垂足为D ，则k AD ＝12，∴k BC ＝－2.∴BC 边所在直线方程为y －2＝－2(x －1)． 即2x ＋y －4＝0.(2)∵∠A 的平分线所在直线方程为y ＝0， ∴设A (a,0)．又点A 在直线AD 上，∴a －0＋1＝0， ∴a ＝－1. ∴A (－1,0)，∴直线AB 方程为：y ＝x ＋1.即x －y ＋1＝0.2．已知直线l 经过点A (2,4)，且被平行直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y －1＝0所截得的线段的中点M 在直线x ＋y －3＝0上．求直线l 的方程.导学号 09024855[解析] 解法一：∵点M 在直线x ＋y －3＝0上，∴设点M 坐标为(t,3－t )，则点M 到l 1、l 2的距离相等， 即|t －(3－t )＋1|2＝|t －(3－t )－1|2，解得t ＝32，∴M ⎝⎛⎭⎫32，32. 又l 过点A (2,4)，由两点式得y －324－32＝x －322－32，即5x －y －6＝0，故直线l 的方程为5x －y －6＝0.解法二：设与l 1、l 2平行且距离相等的直线l 3：x －y ＋c ＝0，由两平行直线间的距离公式得|c －1|2＝|c ＋1|2，解得c ＝0，即l 3：x －y ＝0.由题意得中点M 在l 3上，又点M 在x ＋y －3＝0上．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝32y ＝32.∴M ⎝⎛⎭⎫32，32.又l 过点A (2,4)，故由两点式得直线l 的方程为5x －y －6＝0. 解法三：由题意知直线l 的斜率必存在， 设l ：y －4＝k (x －2)，。

(时间120分钟，满分150分）一、选择题（共10小题，每小题6分,共60分）1.如图，直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则有( ) A．α1＜α2＜α3B．α1＜α3＜α2C．α3＜α2＜α1D．α2＜α1＜α3答案:B2．已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为( ) A．30° B．45°C．60°D．135°答案:D3．点（1,1)到直线x＋y－1＝0的距离为（)A．1 B．2C.错误!D.错误!答案：C4．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1），则直线l的斜率为（)A.错误!B．－错误!C．3 D．－3答案：B5．已知P（－1，0)在直线l：ax＋by＋c＝0上的射影是点Q（－2，错误!），则直线l的倾斜角是（）A．60°B．30°C．120°D．90°答案:B6．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线错误!x－y＝3错误!的倾斜角的2倍,则（)A．m＝－错误!，n＝1B．m＝－错误!，n＝－3C．m＝错误!，n＝－3D．m＝错误!,n＝1答案：D7．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( ）A．3x＋4y＋5＝0B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0D．－3x＋4y＋5＝0答案：A8．若点A(3，1),B（－2，b),C(8,11）在同一直线上,则实数b等于( ）A．2 B．3C．9 D．－9答案:D9．等腰直角三角形ABC的直角顶点为C（3，3)，若点A的坐标为(0,4)，则点B的坐标可能是（）A．（2,0）或（4，6) B．(2,0)或(6，4)C．(4，6）D．（0，2)答案：A10．设点A(2,－3），B（－3,－2）,直线l过P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（）A.错误!B.错误!C.错误!D．以上都不对答案：A二、填空题(共4小题，每小题5分,共20分)11．不论a为何实数,直线(a＋3）x＋(2a－1)y＋7＝0恒过定点________．答案：(－2,1）12．经过点A(1，1)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线方程是________．答案：x－y＝0或x＋y－2＝013．过点A（2，1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为____________．答案：2x＋y－5＝014．已知点A（4，－3)与B(2，－1）关于直线l对称，在l上有一点P,使点P到直线4x＋3y－2＝0的距离等于2，则点P的坐标是____________．答案:(1，－4）或错误!三、解答题(共6小题,共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分10分）已知直线l的倾斜角为135°,且经过点P(1,1）．（1)求直线l的方程；(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A′的坐标．解：(1）∵k＝tan 135°＝－1，∴l：y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0。

第三章《直线与方程》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1. 不论刃为何值，直线(m —\)x+ (2/7?—l)y=/77—5恒过定点()( \\ A. 1,—— B. (-2,0) C. (2,3) D. (9, -4) I 2丿 '2.x — y — 3 S 02. 已知不等式组x + y-3>0表示的平面区域为M,若以原点为圆心的圆0与M 无公x — 2y + 3 n 0共点，则圆。

的半径的取值范围为()A. (0,—)B. (3匹,+8)C. (0,VK)U(3^,+8)D. (0,—)U(3V2,+oo) 3. 若直线厶：x+ay+6=0与厶：U-2)%+3y+2a=0平行,则厶与厶之间的距离为 ()A. V2B.吨C. V3D.出3 84. 若点A (l,l)关于直线y = kx + b 的对称点是3(-3,3),则直线y = kx + b 在y 轴上 的截距是( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知直线/I ：x-y-l=0,动直线?2：(k + l)x +炒+ k = 0(kw/?)，则下列结论够 误的是( )A.存在k, I 、使得厶的倾斜角为90。

B.对任意的k, I 、与厶都有公共点C.对任意的4人与厶都不重合D.对任意的人与厶都不垂皐 3(-3,-2),直线1过点且与线段AB 相交，则1的斜 率k 的取值范围( A. k> — ^ik<-4 43 C. — 一 <^<4 D.4 7.图中的直线/,,/2,/3的斜率分别是，则有( )B. k y <k }< k 2C. k 3<k 2< k 、D. k 2<k y < k 、6.设点 A (2,—3),)B. -4<k<-4 以上都不对A. ky<k 2< k 3TV TV 27V 5 7TA. 3 B . 6 c. 3 D . 69. 直线3x + y-4 = 0的斜率和在y 轴上的截距分别是（）A. 一3,4B. 3,-4C. -3,-4D. 3,410. 过点（一2, 1）,且平行于向量v=（2, 1）的直线方程为（）A. % — 2y + 4 = 0B. % 4- 2y — 4 = 0C. % — 2y — 4 = 0D. % + 2y + 4 =11・过点水3, 3）且垂直于直线4x + 2y - 7 = 0的直线方程为A. y = -x + 2B. y = —2x + 7 C ・ y = -x + - D. y = -x - 丿 2 J 丿 22 丿 2212. 在平面直角坐标系中，己知A （l,-2）, B （3,0）,那么线段A3中点的坐标为（）. A.（2,-1） B.（2,1） C.（4,-2） D. （-1,2）二、填空题13. 已知G,b,c 为直角三角形的三边长，C 为斜边长，若点在直线Z ：Q + by + 2c = 0上，则加2 +/?2的最小值为 __________ ・14. me R ,动直线 l }\x + my -1 =（）过定点 动直线 /2: nix - y- 2m + A /3 = 0 定点3,若直线1与人相交于点P (异于点A,B),则\PAB 周长的最大值为15. ______________________________________________________________ 过点(2, —3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 ________________________ 16. 定义点POoJo)到直线上似+ By + C = 0(护+ B 2^ 0)的有向距离为d =已知点Pi ，P2到直线2的有向距离分别是心,〃2,给出以下命题: ① 若di — d.2 - ② 若心+ d = =0,则直线P1P2与直线2平行；=0,则直线EE 与直线/平行；③若心+ 〃2 = 0,则直线RE 与直线2垂直；④若didzVO,则直线ED 与直线2相交; 其中正确命题的序号是 ___________________ •三、解答题17. 求符合下列条件的直线方程：(1) 过点P(3,—2),且与直线4% 4- y - 2 = 0平行;(2) 过点P(3,—2),且与直线4% 4- y - 2 = 0垂直;(3) 过点P(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等.18.己知ZMBC的三个顶点坐标分别为＞1(-4,-2), B(4,2), C(1 , 3).(1)求边上的高所在直线的一般式方程；(2)求边4B上的中线所在直线的一般式方程.19.已知直线/ :3x + 2y-2 + 22x + 4y + 22 = 0(1)求证：直线1过定点。

章末综合测评(三) 直线与方程(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x －y ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°A [因为直线的斜率为1，所以tan α＝1，即倾斜角为45°.故选A.]2．经过点(－1，1)，斜率是直线y ＝22x －2的斜率的2倍的直线方程是( ) A ．x ＝－1B ．y ＝1C ．y －1＝2(x ＋1)D ．y －1＝22(x ＋1) C [直线y ＝22x －2的斜率为22，由题意可知所求直线的斜率为2，直线方程为y －1＝2(x ＋1)，故选C.]3．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：mx ＋4y ＋2＝0互相平行，则实数m 的值为( )A ．－2B ．2C ．±2D ．2或4 C [由l 1∥l 2得m 2－4＝0.解得m ＝±2.经验证均符合题意，故选C.]4．直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)，则m ＋n 的值为( )A ．12B ．10C ．－8D ．－6B [将点(2，－1)代入3x ＋my －1＝0可求得m ＝5，将点(2，－1)代入4x ＋3y －n ＝0，得n ＝5，所以m ＋n ＝10，故选B.]5．已知直线mx ＋ny ＋1＝0平行于直线4x ＋3y ＋5＝0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n 的值分别为( )A ．4和3B ．－4和3C ．－4和－3D ．4和－3C [由题意知：－m n ＝－43，即3m ＝4n ，且有－1n ＝13，∴n ＝－3，m ＝－4.] 6．已知等边△ABC 的两个顶点A (0，0)，B (4，0)，且第三个顶点在第四象限，则BC 边所在的直线方程是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－3(x －4)C ．y ＝3(x －4)D ．y ＝3(x ＋4)C [由题意知∠A ＝∠B ＝60°，故直线BC 的倾斜角为60°，∴k BC ＝tan 60°＝3，则BC 边所在的直线方程为y ＝3(x －4).]7．已知点A (1，－2)，B (m ，2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1C [由已知条件可知线段AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m ＝3.]8．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点( )A ．(0，0)B ．⎝⎛⎭⎫17，27C ．⎝⎛⎭⎫27，17D ．⎝⎛⎭⎫17，114 C [直线方程变形为k (3x ＋y －1)＋(2y －x )＝0，则直线通过定点⎝⎛⎭⎫27，17. ]9．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝0A [由已知得A (－1，0)，P (2，3)，由|P A |＝|PB |，得B (5，0)，由两点式得直线PB 的方程为x ＋y －5＝0.]10．点P (a ，b )关于l ：x ＋y ＋1＝0对称的点仍在l 上，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．0A [∵点P (a ，b )关于l ：x ＋y ＋1＝0对称的点仍在l 上，∴点P (a ，b )在直线l 上，∴a ＋b ＋1＝0，即a ＋b ＝－1.]11．已知点A (1，1)，B (3，5)到经过点(2，1)的直线l 的距离相等，则l 的方程为( )A ．2x －y －3＝0B ．x ＝2C ．2x －y －3＝0或x ＝2D ．以上都不对C [当A ，B 都在l 的同侧时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)，此时，AB ∥l ，所以k ＝k AB ＝5－13－1＝2，l 的方程为2x －y －3＝0. 当A ，B 在l 的两侧时，A ，B 到x ＝2的距离相等，因此，l 的方程为x ＝2，故选C.]12．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A ，C 的坐标分别为(0，4)，(3，3)，则点B 的坐标可能是( )A ．(2，0)或(4，6)B ．(2，0)或(6，4)C ．(4，6)D ．(0，2)A [设B (x ，y )，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |，即⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0·y －3x －3＝－1，（x －3）2＋（y －3）2＝（0－3）2＋（4－3）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝6，所以B (2，0)或B (4，6).] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若过点P (1－a ，1＋a )与点Q (3，2a )的直线的倾斜角是钝角，则实数a 的取值X 围是________．(－2，1)[k ＝2a －（1＋a ）3－（1－a ）＝a －1a ＋2＜0，得－2＜a ＜1. ] 14．若点A (4，－1)在直线l 1：ax －y ＋1＝0上，则l 1与l 2：2x －y －3＝0的位置关系是________．l 1⊥l 2[将A (4，－1)点的坐标代入ax －y ＋1＝0，得a ＝－12，则kl 1·kl 2＝－12×2＝－1，∴l 1⊥l 2.] 15．已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则a 2＋b 2的最小值为________．3[a 2＋b 2的最小值为原点到直线3x ＋4y ＝15的距离：d ＝|0＋0－15|32＋42＝3.] 16．若直线l 被直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0截得的线段长为22，则直线l 的倾斜角θ(0°≤θ<90°)的值为________．15°或75°[易求得平行线l 1，l 2之间的距离为|1－3|2＝ 2. 画示意图(图略)可知，要使直线l 被l 1，l 2截得的线段长为22，必须使直线l 与直线l 1，l 2成30°的夹角.∵直线l 1，l 2的倾斜角为45°，∴直线l 的倾斜角为45°－30°＝15°或45°＋30°＝75°.]三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 经过点P (－2，5)且斜率为－34. (1)求直线l 的方程；(2)若直线m 平行于直线l ，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．[解] (1)直线l 的方程为：y －5＝－34(x ＋2)，整理得3x ＋4y －14＝0. (2)设直线m 的方程为3x ＋4y ＋n ＝0，d ＝|3×（－2）＋4×5＋n |32＋42＝3， 解得n ＝1或－29.∴直线m 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.18．(本小题满分12分)直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P (4，3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．[解] 若l 在两坐标轴上截距为0，设l ：y ＝kx ，即kx －y ＝0，则|4k －3|1＋k 2＝3 2.解得k ＝－6±3214. 此时l 的方程为y ＝⎝⎛⎭⎫－6±3214x ；若l 在两坐标轴上截距不为0，设l ：x a ＋y a ＝1，即x ＋y －a ＝0，则|4＋3－a |12＋12＝3 2. 解得a ＝1或13.此时l 的方程为x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.综上，直线l 的方程为y ＝⎝⎛⎭⎫－6±3214x 或x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0. 19．(本小题满分12分)已知点A (0，3)，B (－1，0)，C (3，0)，试求点D 坐标使四边形ABCD 为等腰梯形．[解] 设所求D 点坐标为(x ，y )，(1)若AD ∥BC ，|AB |＝|CD |，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，（0＋1）2＋（3－0）2＝（x －3）2＋y 2．解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3.(不合题意，舍去) (2)若AB ∥CD ，|BC |＝|AD |，则⎩⎪⎨⎪⎧y －0x －3＝3－00＋1，（－1－3）2＋02＝x 2＋（y －3）2．解得⎩⎨⎧x ＝165，y ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3.(不合题意，舍去) 综上，得点D 的坐标为(2，3)或⎝⎛⎭⎫165，35.20．(本小题满分12分)已知直线l 过点P (0，1)，且分别与直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0交于B ，A 两点，线段AB 恰被点P 平分．(1)求直线l 的方程；(2)设点D (0，m )，且AD ∥l 1，求△ABD 的面积．[解] (1)∵点B 在直线l 1上，∴可设B (a ，8－2a ).又P (0，1)是AB 的中点，∴A (－a ，2a －6).∵点A 在直线l 2上，∴－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即B (4，0).故直线l 的方程是x ＋4y －4＝0.(2)由(1)，知A (－4，2).又AD ∥l 1，∴k AD ＝2－m －4－0＝－2，∴m ＝－6. 点A 到直线l 1的距离d ＝|2×（－4）＋2－8|22＋12＝1455， |AD |＝（－4－0）2＋（2＋6）2＝45，∴S △ABD ＝12|AD |·d ＝12×45×1455＝28. 21．(本小题满分12分)已知一束光线经过直线l 1：3x －y ＋7＝0和l 2：2x ＋y ＋3＝0的交点M ，且射到x 轴上一点N (1，0)后被x 轴反射．(1)求点M 关于x 轴的对称点P 的坐标；(2)求反射光线所在的直线l 3的方程；(3)求与直线l 3的距离为10的直线方程．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋7＝0，2x ＋y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1， ∴M (－2，1).∴点M 关于x 轴的对称点P 的坐标为(－2，－1).(2)易知l 3经过点P 与点N ，∴l 3的方程为y －0－1－0＝x －1－2－1，即x －3y －1＝0. (3)设与l 3平行的直线为y ＝13x ＋b . 根据两平行线之间的距离公式，得⎪⎪⎪⎪b ＋131＋19＝10， 解得b ＝3或b ＝－113， ∴与直线l 3的距离为10的直线方程为y ＝13x －113或y ＝13x ＋3，即x －3y －11＝0或x －3y ＋9＝0.22．(本小题满分12分)△ABC 中，A (0，1)，AB 边上的高CD 所在直线的方程为x ＋2y －4＝0，AC 边上的中线BE 所在直线的方程为2x ＋y －3＝0.(1)求直线AB 的方程；(2)求直线BC 的方程；(3)求△BDE 的面积．[解] (1)由已知得直线AB 的斜率为2，∴AB 边所在的直线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.即直线AB 与直线BE 的交点为B ⎝⎛⎭⎫12，2.设C (m ，n )，则由已知条件得⎩⎨⎧m ＋2n －4＝0，2·m 2＋n ＋12－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，∴C (2，1).∴BC 边所在直线的方程为y －12－1＝x －212－2， 即2x ＋3y －7＝0.(3)∵E 是线段AC 的中点，∴E (1，1). ∴|BE |＝⎝⎛⎭⎫12－12＋（2－1）2＝52， 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x ＋2y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝95，∴D ⎝⎛⎭⎫25，95， ∴D 到BE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪2×25＋95－322＋12＝255，∴S △BDE ＝12·d ·|BE |＝110.。

本章检测一、选择题（共10个小题；每小题4分，共40分）1若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a 等于（ ） A.23 B.32 C.23- D.32- 解析：由（32-）·(a 1-)=-1得a=32-. 答案：D2若直线(m-2)x+y-4=0的倾斜角α是钝角，则m 的范围是（ ）A.m>-2B.m>2C.m<-2D.m<2解析：直线的倾斜角α为钝角，则其斜率k=tanα<0,即2-m<0.∴m>2.答案：B3直线3x-2y=4的截距式方程是（ ） A.243y x -=1 B.2131y x -=4 C.243-+y x =1 D.234-=y x =1 解析：直线方程的截距式为by a x +=1.由此可将方程化为24-+y c x =1. 答案：D4直线Ax+By+C=0，当A>0，B<0，C>0时，此直线必经过的象限是（ ）A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限解析：令x=0得直线在y 轴上的截距y=BC -;令y=0得直线在x 轴上的截距x=A C -;∵A>0,B<0,C>0，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-.0,0AC B C 答案：A5直线(2m 2+m-3)x+(m 2-m)y=4m-1与直线2x-3y=5平行，则m 的值等于（ ） A.23-或1 B.89-或1 C.89- D.1 解析：将直线方程化为（2m+3）(m-1)x+m(m-1)·x=4m-1.显然m≠1,从而选C.答案：C6已知点P(x,-4)在点A(0,8)和B(-4,0)的连线上，则x 的值为（ ）A.-2B.2C.-8D.-6解析：由条件知A 、B 、P 三点共线，由k AB =k AP 得x8448--=,∴x=-6. 答案：D7直线(m+2)x+(m 2-2m-3)y=2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为（ ） A.56 B.-6 C.56- D.6 解析：由条件知直线在x 轴上截距为3，即直线过点（3，0）代入得3（m+2）=2m. ∴m=-6.答案：B8下列直线中，斜率为34-，且不经过第一象限的是（ ） A.3x+4y+7=0 B.4x+3y+7=0C.4x+3y-42=0D.3x+4y-42=0解析：由于k=34-排除A 与D ，又知该直线不经过第一象限，∴y 轴上截距应小于0. 答案：B9已知两直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离等于（ ）A.4B.13132 C.26135 D.26137 解析：∵两直线平行，∴斜率相等，即m 623-=-，∴m=4,从而两直线方程可化为6x+4y-6=0与6x+4y+1=0, 由平行线距离公式得132671636|16|=+--. 答案：D10若点P(4,a)到直线4x-3y=1的距离不大于3，则a 的取值范围是（ ）A.［0,10］B.(0,10)C.［133,31］ D.(-∞,0］∪［10,+∞) 解析：由点到直线的距离公式得 22)3(4|1316|-+--a ≤3，即|3a-15|≤15,∴|a-5|≤5.∴-5≤a -5≤5,即0≤a≤10.答案：A二、填空题（共4个小题；每小题4分，共16分）11已知直线l 经过点A(3,-1)和B(3,2)，则直线l 的倾斜角α=_____，直线l 的方程为_____. 解析：∵直线l 过点A （3，-1）和B （3，2），从而可知l ⊥x 轴，∴α=90°，方程为x=3. 答案：90° x=312三条直线x+y+1=0，2x-y+8=0和ax+3y-5=0只有两个不同的交点，则a=_____.解析：由条件知直线x+y+1=0与2x-y+8=0相交一点，若这三条直线只有两个不同的交点，则ax+3y-5=0与另外两条中的一条必平行，因此有3a -=2或3a -=-1，即a=-6或a=3. 答案：-6或313若点P(2,1)是直线夹在两坐标轴之间的线段的中点，则此直线的方程是______. 解析：设直线与x 轴，y 轴分别交于A （a ，0）、B （0，b ），则AB 中点为P （2，1） ∴⎩⎨⎧==∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.2,4120,220b a b a ，∴a=4,b=2.由截距式得方程为24y x +=1即x+2y-4=0. 答案：x+2y-4=014不论m 为何实数，直线l:(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过一个定点,求出此定点坐标__________. 解法一：只要取两条直线求其交点即可，令m=1,则l 化为y=-4；令m=21得l 方程为-21x=29-，即x=9. 由⎩⎨⎧-==4,9y x 得定点（9，-4）. 解法二：l 方程可化为m(x+2y-1)-x-y+5=0由⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+--=-+.4,905,012y x y x y x 得∴定点为（9，-4）. 答案：（9，-4）三、解答题（共4个小题，共44分）15(本小题满分10分)求倾斜角为直线y=-x+1的倾斜角的31,且分别满足下列条件的直线方程:（1）经过点(-4,1);（2）在y 轴上的截距为-10.解：由于直线y=-x+1的斜率为-1，所以其倾斜角为135°,由题意知所求直线的倾斜角为45°，所求直线的斜率k=1.（1）由于直线过点（-4，1），由直线的点斜式方程得y-1=x+4,即x-y+5=0;(2)由于直线在y 轴上的截距为-10，由直线的斜截式方程得y=x-10,即x-y-10=0.16(本小题满分10分)已知直线l 经过点(3,-2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程. 解法一：由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设其斜率为k ，则直线方程为y+2=k(x-3). 令x=0,得y=-2-3k;令y=0,得x=k 2+3. 由题意，得-2-3k=3+k 2,解得k=-1或k=32-. 所以l 的方程为y+2=-(x-3) 或y+2=32-(x-3),即x+y-1=0或2x+3y=0.解法二：设直线l 在两坐标轴上的截距均为a,(1)若a=0，则直线l 过原点，此时l 的方程是2x+3y=0;(2)若a≠0,则l 的方程可设为ay a x +=1. 因为l 过点（3，-2），则a a 23-+=1,即a=1. 所以直线l 的方程为x+y-1=0.综合（1）（2），可知直线l 的方程为x+y-1=0或2x+3y=0.17(本小题满分12分)已知A(0,3),B(-1,0),C(3,0)，求D 点的坐标，使四边形ABCD 是等腰梯形.解：如右图，设D （x,y ）,若AB ∥CD ，则k AB =k CD ,且|AD|=|BC|，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+≠+-+=-+--=+-.53,516)03()10()3(,|13|)3(,3010032222222y x y x y x x y 解得 所以点D 的坐标为（53,516）；若AD ∥BC ，则k AB =k BC ,且|AB|=|CD|，即⎩⎨⎧==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+≠-++=+-=--.3,2)13()3(,31)3(,0032222222y x y x y x x y 解得所以点D 的坐标为（2，3）. 综上，可知所求点D 的坐标为（53,516）或（2，3）. 18(本小题满分12分)有一块如图所示的矩形地面CDEF ，在角F 处有一块三角形的绿化区AFB ，某房地产开发公司要在此矩形地面上划出一块长方形地面（要求不改变长方形的方向）建造一幢公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求最大面积.解：以FC 所在直线为x 轴，点F 为原点建立直角坐标系，如右图则点A （0，20）、B （30，0），由截距式可得直线AB 的方程为2030y x +=1.设线段AB 上任意一点为M （x,y ），划出的矩形地面为MPDQ ，则y=20(1-30x ),且y≥0, ∴1-30x ≥0,即x≤30. ∴S 矩形MPDQ =(100-x)(80-y)=(100-x)(60+32x)=32-x 2+320x+6 000=32-(x-5)2+318050(其中0<x≤30).∴当x=5,y=350时，S 矩形MPDQ 有最大值，其最大值为318050. ∴当划出的矩形MPDQ 长MP=95米，宽PQ=3190米时，可使公寓占地面积最大且最大面积为318050平方米.。

阶段质量检测（三） 直线与方程(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．经过A (2,0)，B (5,3)两点的直线的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．90°D ．60°解析：选A ∵A (2,0)，B (5,3)， ∴直线AB 的斜率k ＝3－05－2＝1.设直线AB 的倾斜角为θ(0°≤θ<180°)， 则tan θ＝1，∴θ＝45°.故选A.2．点F (3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为( ) A. 3 B.3m C ．3D ．3m 解析：选A 由点到直线的距离公式得点F (3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为3·3m ＋33m ＋3＝ 3.3．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.4．如果直线l 过(－2，－2)，(2,4)两点，点(1 344，m )在直线l 上，那么m 的值为( )A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 017解析：选D 由两点式，得y ＋24＋2＝x ＋22＋2，∴当x ＝1 344时，m ＝2 017，故选D.5．已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0,1)，B (1,0)，C (4,3)，则顶点D 的坐标为( )A ．(3,4)B ．(4,3)C ．(3,1)D ．(3,8)解析：选A 设D (m ，n )，由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n 4－m ，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4，∴点D 的坐标为(3,4)．6．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( ) A ．3x －y －13＝0 B ．3x －y ＋13＝0 C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C 由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线，∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k l ＝－3，由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.7．等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A (0,4)，则点B 的坐标可能是( ) A ．(2,0)或(4,6) B ．(2,0)或(6,4) C ．(4,6)D ．(0,2)解析：选A 设B 点坐标为(x ，y )，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0×y －3x －3＝－1，(x －3)2＋(y －3)2＝(0－3)2＋(4－3)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6.8．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0 B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析：选D 依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0， 则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)， 解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．已知点M (5,3)和点N (－3,2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5.答案：(1，－5)10．若过点P (1－a,1＋a )与点Q (3,2a )的直线的倾斜角是钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：k ＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －1a ＋2<0，得－2<a <1.答案：(－2,1)11．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为________________．解析：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，∴12|ab |＝3，且－b a ＝16，解得a ＝－6，b ＝1或a ＝6，b ＝－1，∴直线l 的方程为x －6＋y ＝1或x6－y ＝1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.答案：x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝012．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则m ＝________，n ＝________.解析：依题意得：直线3x －y ＝33的斜率为3，∴其倾斜角为60°.∴－3n ＝－3，－m n ＝tan 120°＝－3，得m ＝3，n ＝1.答案： 3 113．设两直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m 与l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8，若l 1∥l 2，则m ＝____________；若l 1⊥l 2，则m ＝____________.解析：由l 1∥l 2得(3＋m )(5＋m )－4×2＝0，解得m ＝－1或m ＝－7，当m ＝－1时，两直线重合，舍去．由l 1⊥l 2得(3＋m )×2＋4×(5＋m )＝0，解得m ＝－133.答案：－7 －13314．已知直线x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线x ＋ny －3＝0互相平行，且它们间的距离是5，则m ＝______________，n ＝______________.解析：由题意，所给两条直线平行，∴n ＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|m ＋3|12＋(－2)2＝|m ＋3|5＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)．答案：2 －215．已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)，则求直线l 的方程为________，点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．解析：∵k ＝tan 135°＝－1， ∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 设A ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)． 答案：x ＋y －2＝0 (－2，－1) 三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)在x 轴的正半轴上求一点P ，使以A (1,2)，B (3,3)及点P 为顶点的△A BP 的面积为5.解：设点P 的坐标为(a,0)(a >0)，点P 到直线AB 的距离为d .由已知，得S △ABP ＝12|AB |·d＝12(3－1)2＋(3－2)2·d ＝5，解得d ＝2 5. 由已知易得，直线AB 的方程为x －2y ＋3＝0， 所以d ＝|a ＋3|1＋(－2)2＝25，解得a ＝7或a ＝－13(舍去)， 所以点P 的坐标为(7,0)．17．(本小题满分15分)一条光线从点A (2,3)出发，经y 轴反射后，通过点B (4，－1)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．解：点A (2,3)关于y 轴的对称点为A ′(－2,3)，点B (4，－1)关于y 轴的对称点为B ′(－4，－1)．则入射光线所在直线的方程为AB ′：y ＋13＋1＝x ＋42＋4，即2x －3y ＋5＝0.反射光线所在直线的方程为A ′B ：y ＋13＋1＝x －4－2－4，即2x ＋3y －5＝0.18．(本小题满分15分)已知点A (m －1,2)，B (1,1)，C (3，m 2－m －1)．(1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值； (2)若AB ⊥BC ，求实数m 的值．解：(1)因为A ，B ，C 三点共线，且x B ≠x C ，则该直线斜率存在，则k BC ＝k AB ，即m 2－m －22＝1m －2，解得m ＝1或1－3或1＋ 3. (2)由已知，得k BC ＝m 2－m －22，且x A －x B ＝m －2.①当m －2＝0，即m ＝2时，直线AB 的斜率不存在，此时k BC ＝0，于是AB ⊥BC ； ②当m －2≠0，即m ≠2时，k AB ＝1m －2， 由k AB ·k BC ＝－1，得1m －2·m 2－m －22＝－1，解得m ＝－3.综上，可得实数m 的值为2或－3. 19．(本小题满分15分)直线过点P⎝⎛⎭⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB 的周长为12；②△AOB 的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由条件①可知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.由条件②可得12ab ＝6.又直线过点P ⎝⎛⎭⎫43，2，∴43a ＋2b ＝1， 联立，得⎩⎨⎧a ＋b ＋a 2＋b 2＝12，12ab ＝6，43a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.∴所求直线方程为x 4＋y3＝1.20．(本小题满分15分)已知点P (2，－1)． (1)求过点P 且与原点O 的距离为2的直线的方程；(2)求过点P 且与原点O 的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；(3)是否存在过点P 且与原点O 的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)①当直线的斜率不存在时，方程x ＝2符合题意． ②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.根据题意，得|2k＋1|k2＋1＝2，解得k＝34.则直线方程为3x－4y－10＝0.故符合题意的直线方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0.(2)过点P且与原点的距离最大的直线应为过点P且与OP垂直的直线．则其斜率k＝2，所以其方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.最大距离为 5.(3)不存在．理由：由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为5，而6>5，故不存在这样的直线．。

高中数学第三章直线与方程评估验收（三）（含解析）新人教A版必修2(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：由3x ＋y ＋1＝0，知直线的斜率为－3， 所以tan α＝－3，则倾斜角α＝120°. 答案：D2．无论k 为何值，直线(k ＋2)x ＋(1－k )y －4k －5＝0都过一个定点，则定点坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(3，1)D ．(3，－1)解析：直线方程可化为(2x ＋y －5)＋k (x －y －4)＝0，由直线系方程知，此直线系过两直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －4＝0，2x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即定点为(3，－1)． 答案：D3．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 6 C ．2D. 2解析：由k AB ＝1，得b －a ＝1，所以|AB |＝（5－4）2＋（b －a ）2＝1＋1＝ 2. 答案：D4．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0垂直，则实数a ＝( ) A.23 B ．－1 C ．2D ．－1或2解析：由a ×1＋2×(a －1)＝0，得a ＝23.答案：A5．若直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x ＋3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：因为直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，故可设l 的方程为3x ＋2y ＋b ＝0，又因为直线l 过点(－1，2)，所以－3＋4＋b ＝0，即b ＝－1. 故所求直线l 的方程为3x ＋2y －1＝0. 答案：A6．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4D ．以上都不对解析：易知k PA ＝－4，k PB ＝34，画图观察可知k ≥34或k ≤－4.答案：A7．已知直线x －2y ＋m ＝0(m ＞0)与直线x ＋ny －3＝0互相平行，且两者之间的距离是5，则m ＋n 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：由题意知所给两条直线平行，所以n ＝－2. 由两条平行直线间的距离公式， 得d ＝|m ＋3|12＋（－2）2＝|m ＋3|5＝ 5. 解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝0.答案：B8．已知定点P (－2，0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离的最大值为( )A ．2 3 B.10 C.14D ．215解析：把直线l 的方程化为x ＋y －2＋λ(3x ＋2y －5)＝0， 则直线l 过直线x ＋y －2＝0与3x ＋2y －5＝0的交点． 设两直线的交点为Q ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，解得Q (1，1)， 所以点P 到直线l 的距离d ≤|PQ |＝（1＋2）2＋12＝10. 故点P 到直线l 的距离的最大值为10. 答案：B9．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋y －7＝0解析：由|PA |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0，1)关于直线x ＝3的对称点(6，1)在直线PB 上，所以直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.答案：D10．直线l 1与直线l 2：2x －3y －10＝0的交点在x 轴上，且l 1⊥l 2，则直线l 1在y 轴上的截距是( )A ．5B ．－5 C.152D ．－152解析：依题意得直线l 2：2x －3y －10＝0与x 轴的交点为(5，0)，斜率kl 2＝23.因为l 1⊥l 2，所以直线l 1的斜率kl 1＝－32.于是直线l 1的方程为y ＝－32(x －5)，即3x ＋2y －15＝0.令x ＝0，得y ＝152，即直线l 1在y 轴上的截距是152.答案：C11．若在直线y ＝－2上有一点P ，它到点A (－3，1)和B (5，－1)的距离之和最小，则该最小值为( )A ．2 5B ．4 5C ．5 2D ．10 2解析：如图所示，点B (5，－1)关于直线y ＝－2的对称点为B ′(5，－3)，设AB ′交y ＝－2于点P ，因为|PB |＝|PB ′|，所以|PA |＋|PB |＝|PA |＋|PB ′|.所求最小值即为|AB ′|，|AB ′|＝（5＋3）2＋（－3－1）2＝4 5. 答案：B12．如图所示，已知两点A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5解析：易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4，2)，点P 关于y 轴对称的点为A ′(－2，0)，则光线所经过的路程即A 1(4，2)与A ′(－2，0)两点间的距离．于是|A 1A ′|＝（4＋2）2＋（2－0）2＝210. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________．解析：设P (x ，1)，则Q (2－x ，－3)，将点Q 的坐标代入x －y －7＝0，得2－x ＋3－7＝0. 所以x ＝－2，所以P (－2，1)， 所以k l ＝－23.答案：－2314．由点P (2，3)发出的光线射到直线x ＋y ＝－1上，反射后过点Q (1，1)，则反射光线所在直线的一般式方程为________________．解析：设点P 关于直线x ＋y ＝－1的对称点为P ′(x 0，y 0)，则P ′(x 0，y 0)满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋22＋y 0＋32＝－1，y 0－3x 0－2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4，y 0＝－3，所以点P ′的坐标为(－4，－3)．所以由直线的点斜式方程可求得反射光线所在直线方程为y －1＝－3－1－4－1·(x －1)，即4x －5y ＋1＝0. 答案：4x －5y ＋1＝015．已知a ，b ，c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边长，若点(m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：设P (m ，n )，原点为O ，则|OP |2＝m 2＋n 2，显然|OP |的最小值即为点O 到直线ax ＋by ＋2c ＝0的距离d ，且d ＝|2c |a 2＋b2＝2ca 2＋b2＝2cc＝2.所以m 2＋n 2的最小值为4. 答案：416．已知平面上一点M (5，0)，若在某一直线上存在点P 使得|PM |＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线是“切割型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝1；③y ＝43x ；④y ＝2x ＋1.解析：看所给直线上的点到定点M 的距离能否取4，可通过各直线上的点到点M 的最小距离，即点M 到直线的距离d 来分析；①d ＝5＋12＝32＞4，故直线上不存在到点M 的距离等于4的点P ，该直线不是“切割型直线”；②d ＝1＜4，所以在直线上可以找到两个不同的点P ，使之到M 的距离等于4，该直线是“切割型直线”；③d ＝205＝4，所以直线上存在一个点P ，到点M 的距离等于4，该直线是“切割型直线”；④d ＝115＝1155＞4，故直线上不存在到点M的距离等于4的点P ，该直线不是“切割型直线”．答案：②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)当m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1满足下列条件？(1)倾斜角为45°； (2)在x 轴上的截距为1.解：(1)倾斜角为45°，则斜率为1.所以－2m 2＋m －3m 2－m ＝1，解得m ＝－1或m ＝1(舍去)．直线方程为2x －2y －5＝0，符合题意，所以m ＝－1. (2)当y ＝0时，x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，解得m ＝－12或m ＝2，当m ＝－12或m ＝2时都符合题意，所以m ＝－12或m ＝2.18．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1. (1)求证：直线l 过定点；(2)当－3＜x ＜3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．证明：(1)由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线过定点(－2，1)．(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)．若当－3＜x ＜3时，直线上的点都在x 轴上方，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）≥0，f （3）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0.解得－15≤k ≤1.故实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1. 19．(本小题满分12分)已知直线l 过两直线3x －y －10＝0和x ＋y －2＝0的交点，且直线l 与点A (1，3)和点B (5，2)的距离相等，求直线l 的方程．解：法一 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －10＝0，x ＋y －2＝0，得交点为(3，－1)．设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)． 即kx －y －3k －1＝0. 则|－2k －4|k 2＋1＝|2k －3|k 2＋1，解得k ＝－14.所以直线l 的方程为y ＋1＝－14(x －3)，即x ＋4y ＋1＝0.又当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，也满足题意，故所求的直线l 的方程为x ＋4y ＋1＝0或x ＝3.法二 同法一求得两直线的交点为(3，－1)．由直线l 与A ，B 的距离相等，可知l ∥AB 或l 过AB 的中点，所以由l ∥AB ，得l 的方程为y ＋1＝－14(x －3)，即x ＋4y ＋1＝0.由l 过AB 的中点，得l 的方程为x ＝3. 故x ＋4y ＋1＝0或x ＝3为所求．法三 设直线l 的方程为3x －y －10＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(3＋λ)x ＋(λ－1)y －10－2λ＝0， 由题意，得|（3＋λ）＋3（λ－1）－10－2λ|（3＋λ）2＋（λ－1）2＝|5（3＋λ）＋2（λ－1）－10－2λ|（3＋λ）2＋（λ－1）2. 解得λ＝－133或λ＝1.故所求的直线l 的方程为x ＋4y ＋1＝0或x ＝3.20．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求点A 和点C 的坐标．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.所以点A 的坐标为(－1，0)． 因为直线y ＝0为∠A 的平分线， 故k AC ＝－k AB ＝－2－01＋1＝－1.于是，直线AC 的方程为x ＋y ＋1＝0.因为BC 边上的高所在直线的斜率为12，所以k BC ＝－2.于是BC 所在直线的方程为y －2＝－2(x －1)， 即2x ＋y －4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－6. 所以点C 的坐标为(5，－6)．21．(本小题满分12分)直线l 经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点．(1)若直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行，求直线l 的方程； (2)点A (3，1)到直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2， 所以两直线的交点M (－2，2)．(1)设直线l 的方程为3x ＋y ＋c ＝0(c ≠－1)， 把点(－2，2)代入方程，得c ＝4， 所以直线l 的方程为3x ＋y ＋4＝0.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－2， 此时点A (3，1)到直线l 的距离为5，满足题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y －2＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋2＝0，则点A (3，1)到直线l 的距离d ＝|3k －1＋2k ＋2|k 2＋1＝|5k ＋1|k 2＋1＝5，所以k ＝125，则直线l 的方程为12x －5y ＋34＝0.故直线l 的方程为x ＝－2或12x －5y ＋34＝0.22．(本小题满分12分)已知直线l ：2x －y ＋1＝0和点O (0，0)，M (0，3)，试在l 上找一点P ，使得||PO |－|PM ||的值最大，并求出这个最大值．解：如图，设点O (0，0)关于直线l ：2x －y ＋1＝0的对称点O ′(x ，y )，则y x ·2＝－1，且2·x 2－y 2＋1＝0，由此得O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，25， 则直线MO ′的方程为y －3＝134x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝134x ，2x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－85，y ＝－115，即P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－115，||PO |－|PM ||≤|MO ′|＝1855， 即||PO |－|PM ||的最大值为1855.。