苏教版高中数学必修2(测试)第2章2.2-2.2.1圆的方程 Word版含解析

第2章 平面解析几何初步2.2 圆与方程2.2.1 圆的方程A 组 基础巩固1．圆心是O (－3，4)，半径长为5的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝5B ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝25C ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝5D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25解析：将O (－3，4)，r ＝5代入圆的标准方程可得．答案：D2．以点(2，－ 1)为圆心，且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的标准方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9解析：由已知，得圆的半径长r ＝|3×2＋4×1＋5|32＋（－4）2＝155＝3， 故所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.答案：C3．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5解析：直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0.由⎩⎨⎧x ＋1＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2，所以C (－1，2)，所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.答案：C4．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形是( )A ．以(a ， b )为圆心的圆B ．以(－a ，－b )为圆心的圆C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b )解析：配方，得(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，所以方程表示点(－a ，－b )．答案：D5．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径长分别为( )A ．(4，－6)，16B ．(2，－3)，4C ．(－2，3)，4D ．(2，－3)，16解析：由x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0，得(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，故圆心为(－2，3)，半径长为4.答案：C6．点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则a 的取值范围为________．解析：由(1－a )2＋(1＋a )2<4，所以2＋2a 2<4.所以a 2<1.答案：(－1，1)7．若点(1，－1)在圆x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0外，则m 的取值范围是________．解析：由题意可知⎩⎨⎧（－1）2＋12－4m >0，1＋（－1）2－1－1＋m >0，解得0<m <12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 8．点P (a ，10)与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2的位置关系是________． 解析：（a －1）2＋92>2，即点P (a ，10)在圆外．答案：在圆外9．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，1－t 21＋t 2与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________． 解析：将点P 坐标代入得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝4t 2＋（1－t 2）2（1＋t 2）2＝（1＋t 2）2（1＋t 2）2＝1，所以点P 在圆上． 答案：在圆上10．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－1，5)，B (－2，－ 2)，C (5，5)，求其外接圆的方程．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因圆过A ，B ，C 三点，故得⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0，－2D －2E ＋F ＋8＝0，5D ＋5E ＋F ＋50＝0.解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，所以△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.B 级 能力提升11．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( )A ．m <12B ．m <0C ．m >12D ．m ≤12解析：由D 2＋E 2－4F >0，得(－1)2＋12－4m >0，即m <12. 答案：A12．圆x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称的圆的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝12B ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝12 C ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝2D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝2解析：由x 2＋y 2－2x －1＝0，得(x －1)2＋y 2＝2，则圆心为(1，0)，半径长r ＝ 2.设圆心(1，0)关于直线2x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x 1，y 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y 1x 1－1＝－12，2×1＋x 12－y 12＋3＝0，解得⎩⎨⎧x 1＝－3，y 1＝2. 故x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称的圆的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝2.答案：C13．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )是轨迹上任一点，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1，0)，则|PA |2＋1＝|PB |2，所以(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝214．已知点M 与两个定点A (1，0)，B (3，2)的距离的比值为13，求点M 的轨迹．解：在给定的坐标系中，设M (x ，y )是满足条件的任意一点，则MA MB ＝13.由两点间的距离公式，得（x －1）2＋y 2（x －3）2＋（y －2）2＝13. 两边平方并化简，得x 2＋y 2－32x ＋12y －12＝0， 配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋142＝98. 所以所求轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－14，半径为324的圆． 15．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为________． 解析：因为所求圆的圆心与圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心(－2，0)关于原点(0，0)对称，所以所求圆的圆心为(2，0)，半径为5，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5.答案：(x －2)2＋y 2＝516．已知圆：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，求实数m 的值．解：将原点坐标(0，0)代入圆的方程，得2m 2－6m ＋4＝0，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，原方程为x 2＋y 2＝0，不表示圆，故舍去．当m ＝2时，原方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0表示圆，故所求的实数m 的值为2.17.如图所示，已知点A (0，2)和圆C ：(x －6)2＋(y －4)2＝8，M 和P 分别是x 轴和圆C 上的动点，求|AM |＋|MP |的最小值．解：如图所示，先作点A关于x轴的对称点A′(0，－2)，连接A′和圆心C，A′C交x轴于点M，交圆C于点P，这时|AM|＋|MP|最小．因为A′(0，－2)，C(6，4)，所以|A′C|＝（6－0）2＋（4＋2）2＝6 2.所以|A′P|＝|A′C|－R＝62－22＝42(R为圆的半径)．所以|AM|＋|MP|的最小值是4 2.。

2.2.2直线的两点式方程课后·训练提升基础巩固1.经过两点(5,0),(2,-5)的直线方程为()A.5x+3y-25=0B.5x-3y-25=0C.3x-5y-25=0D.5x-3y+25=0答案:B解析:经过(5,0),(2,-5)两点的直线方程为y-0-5-0=x-52-5,整理得5x-3y-25=0.故选B.2.已知直线的方程为xa2−yb2=1,则该直线在y轴上的截距是()A.|b|B.-b2C.b2D.±b答案:B解析:令x=0,得y=-b2,即直线在y轴上的截距是-b2.3.(多选题)下列说法正确的是()A.不经过原点的直线都可以表示为xa +yb=1B.若直线l与两坐标轴的交点分别为A,B,线段AB的中点为(4,1),则直线l的方程为x8+y2=1C.过点(1,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为y=x或x+y=2D.直线3x-2y=4的截距式方程为x43+y-2=1答案:BCD解析:对于A,与坐标轴垂直的直线不能用截距式表示,故A错误;对于B,由题意可知,线段AB的中点为(4,1),所以点A(8,0),B(0,2),则直线l的方程为x8+y2=1,故B正确;对于C,直线过原点时,直线方程为y=x,不过原点时,直线方程为x+y=2,故C正确;对于D,方程3x-2y=4可化为x43+y-2=1,故D正确.故选BCD.4.若直线l过点(-1,-1)和(2,5),且点(1 010,b)在直线l上,则b的值为()A.2 010B.2 020C.2 021D.2 019答案:C解析:由题意得,直线l的两点式方程为y-(-1)5-(-1)=x-(-1)2-(-1),即y=2x+1,将点(1010,b)代入方程,得b=2×1010+1=2021.5.已知直线l过点P(1,-2),且在x轴和y轴上的截距互为相反数,则直线l的方程为()A.x-y-3=0B.x+y+1=0或2x+y=0C.x-y-3=0或2x+y=0D.x+y+1=0或x-y-3=0或2x+y=0答案:C解析:当直线l过原点及P(1,-2)时,直线l的方程为2x+y=0;当直线不过原点时,可设直线l的方程为xa +y-a=1(a≠0),将点P(1,-2)代入,得a=3,此时直线l的方程为x-y-3=0.综上,直线l的方程为2x+y=0或x-y-3=0.6.直线l1:xa −yb=1和直线l2:xb−ya=1在同一平面直角坐标系中的位置可以是()答案:A解析:将两条直线的方程化为截距式分别为xa +y-b =1,xb +y-a =1.根据l 1的位置判断a ,b 的正负,再确定l 2的位置,知A 符合.7.已知直线l 过点P (-1,2),分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,若P 为线段AB 的中点,则直线l 的方程为 .答案:2x-y+4=0解析:设A (x ,0),B (0,y ).由P (-1,2)为AB 的中点,得{x+02=-1,0+y2=2,解得{x =-2,y =4.由截距式得直线l 的方程为x-2+y4=1, 即2x-y+4=0.8.过点(1,3),且在x 轴上的截距为2的直线方程是 . 答案:3x+y-6=0解析:由题意知直线过点(2,0),又直线过点(1,3),由两点式,可得y -03-0=x -21-2,整理得3x+y-6=0.9.过点(0,3),且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是 . 答案:x2+y3=1解析:由题意可设直线方程为xa+y b=1,则{b =3,a +b =5,解得a=2,b=3,则直线方程为x 2+y3=1.10.求经过点A (-2,3),B (4,-1)的直线的两点式方程,并把它化成点斜式、斜截式和截距式. 解:过A ,B 两点的直线的两点式方程是y -3-1-3=x -(-2)4-(-2).因为k AB =-1-34-(-2)=-23,所以点斜式方程为y-(-1)=-23(x-4)或y-3=-23[x-(-2)]. 因为当x=0时,y=53,所以斜截式方程为y=-23x+53. 又当y=0时,x=52,所以截距式方程为x 52+y53=1.11.已知直线l 经过点P (4,1),(1)若直线l 经过点Q (-1,6),求直线l 的两点式方程;(2)若直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍,求直线l 的方程.解:(1)已知直线l 经过点P (4,1),Q (-1,6),由两点式,得直线l 的方程为y -16-1=x -4-1-4. (2)由题意知,直线l 的斜率存在且不为0,所以设直线l 的斜率为k , 则其方程为y-1=k (x-4).令x=0,得y=1-4k ;令y=0,得x=4-1k . 由题意得1-4k=2(4-1k ),解得k=14或k=-2.因此,直线l 的方程为y-1=14(x-4)或y-1=-2(x-4),即x-4y=0或2x+y-9=0.能力提升1.已知△ABC 的两个顶点A (-3,0),B (2,1),△ABC 的重心G (-1,1),则AB 边中线所在的直线方程为( ) A.x+y=0 B.x-y=0 C.x+2y=0 D.x-2y=0答案:A解析:设点C的坐标为(x 0,y 0),则由重心的坐标公式得{-3+2+x 03=-1,0+1+y3=1,解得{x 0=-2,y 0=2,所以点C的坐标为(-2,2).设AB 的中点为点D ,则可得点D 的坐标为-12,12,所以AB 边中线CD 所在的直线方程为y -212-2=x -(-2)-12-(-2),即x+y=0.2.若经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正数,且截距之和最小,则直线的方程为( ) A.x+2y-6=0 B.2x+y-6=0 C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0答案:B解析:设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ,b ,其中a>0,b>0,则该直线的截距式方程为xa+y b=1,由该直线经过点P (1,4),得1a +4b =1,则截距之和a+b=(a+b )(1a +4b )=5+ba +4a b≥5+2√ba ·4ab=9,当且仅当b a =4a b,且1a+4b=1,即a=3,b=6时取等号,此时直线方程为x 3+y6=1,即2x+y-6=0.故选B .3.(多选题)已知直线l 过点(1,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可以是( ) A .2x-y=0 B .x+y=3 C .x-2y=0 D .x-y+1=0答案:ABD解析:由题意设所求直线的横截距为a ,当a=0时,由题意可设直线的方程为y=kx ,将点(1,2)代入,可得k=2,所以直线的方程为2x-y=0;当a ≠0时,由截距式方程可设直线的方程为xa +ya=1(截距相等)或x a +y-a =1(截距相反),将点(1,2)代入,可得a=3或a=-1,所以直线的方程为x+y=3或x-y+1=0.故选ABD .4.若直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1,且过定点A (6,-2),则直线l 的方程为 .答案:x 3+y 2=1或x2+y=1解析:设直线l 在y 轴上的截距为a (a ≠0,a ≠-1),则l 在x 轴上的截距为a+1,则l 的方程为xa+1+ya =1,将点A 的坐标(6,-2)代入方程,得6a+1−2a =1,即a 2-3a+2=0,解得a=2或a=1,故直线l 的方程为x 3+y 2=1或x2+y=1.5.直线l 过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l 的方程. 解:设直线l 的方程为xa +yb =1(a ≠0,b ≠0), 则a+b=12.①又直线l 过点(-3,4),即-3a +4b =1.②由①②解得{a =9,b =3或{a =-4,b =16.故所求的直线方程为x 9+y 3=1或x -4+y16=1, 即x+3y-9=0或4x-y+16=0.6.在△ABC 中,已知A (5,-2),B (7,3),且AC 边的中点M 在y 轴上,BC 边的中点N 在x 轴上,求: (1)顶点C 的坐标; (2)直线MN 的方程.解:(1)设C (x 0,y 0),则AC 边的中点为M (x 0+52,y 0-22),BC 边的中点为N (x 0+72,y 0+32).因为点M 在y 轴上,所以x 0+52=0,解得x 0=-5.又点N 在x 轴上,所以y 0+32=0,解得y 0=-3.所以顶点C 的坐标为(-5,-3). (2)由(1)可得M (0,-52),N (1,0),故直线MN 的方程为x 1+y-52=1,即5x-2y-5=0.。

2.2.1圆的方程
一、填空题
1、圆2)3()2(22=++-y x 的圆心和半径分别是____________ (2,-3), 2
2、过两点P (2,2),Q (4,2)且圆心在直线x-y=0上的圆的标准方程是___2)3()3(22=-+-y x
3、方程052422=+-++m y x y x 表示圆的条件是___________________1<m
4、圆034222=++-+y x y x 的圆心到直线x-y=1的距离为___________2
5、圆0222222=-++y x y x 关于y=x 对称的圆的方程_________
6、)0,3(M 是圆0102822=+--+y x y x 内一点，过M 点最长的弦所在的直线
方程是_______ x-y-3=0
7、已知点)1,6(),5,4(---B A ，则以线段AB 为直径的圆的方程____(x-1)2+(y+3)2=29
8、若实数x 、y 满足042422=--++y x y x ，则22y x +的最大值是____5+3
9、设圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点为P(3,1)，则直线AB 的方程是_x+y-4=0
二、解答题：
10、求经过点)2,3(),2,5(B A ，圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程。

答案：(x-4)2+(y-5)2=10
11、求经过三点)2,4(),4,1(),1,1(--C B A 的圆的方程。

答案：x 2+y 2-7x-3y+2=0
12、已知点)1,1(-A 和圆4)7()5(:22=-+-y x C ，求一束光线从点A 经x 轴反射
到圆周C 的最短路程。

答案：8。