三角恒等变换求值期末复习

福州高级中学三角恒等变换复习提纲（十二）一、例题121cos(),sin(),0292322)2βαππαβαπβαβ-=--=∈∈+、设其中（，），（，）,求cos(2、化简求值：cos15°+sin15°3、（2009四川卷文）在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且sin A B ==，求C 的值；二、习题0、（1）求sin(712π-) （2）(2008·山东卷)已知cos()sin 6παα-+=7sin()6πα+的值。

1、（1）已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα =-54,sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2αβ=135,且2π＜α＜π,0＜β＜2π,求cos 2βα+的值； （2）已知tan α=43,cos(α+β)=-1411, α、β均为锐角，求cos β的值.2、（2009广东卷理） 已知向量)2,(sin -=θ与)cos ,1(θ=互相垂直，其中(0,)2πθ∈． （1）求θsin 和θcos 的值；（2）若sin()2πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值． 3、化简求值：(1) sin163°·sin223°+sin253°·sin313°(2) 2sin(54)cos(36)cos (54)x x x -++-。

4、(09福州市质检) 若1sin()cos cos()sin ,(,)32且παββαββαπ+-+=∈，求sin()cos()44ππαα+-和的值。

5、（07湖北高考）30,sin 225ππαβαββα∈∈=已知（，），（-，0）且cos(-)=求 6、（08江苏卷）若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，.求tan tan αβ=？ 7、(09福建高考文科)已知函数()sin(),f x x ωϕ=+其中0ω>，||2πϕ<（I ）若cos cos sin sin 0,44ππϕϕ3-=求ϕ的值； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若函数()f x 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于3π，求函数()f x 的解析式。

三角恒等变换专题复习一．要点精讲1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； S αβ±（）简记： βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； C αβ±（）简记： tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。

()T αβ±简记：2．二倍角公式αααcos sin 22sin =； 2S α简记ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 2C α简记22tan tan 21tan ααα=-。

（242k k πππααπ≠+≠+且）2T α简记二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，2α是4α的两倍， 3α是32α的两倍，3α是6α的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。

因此，要理解“二倍角”的含义，即当=2αβ时，α就是β的二倍角。

凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。

3．半角公式2cos 12sinαα-±=2c o s12c o s αα+±=αααc o s1c o s 12t a n +-±=【.2α±公式前的号，取决于所在的象限，注意讨论】（αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=）4. （1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos2αα+=。

（αα2cos 1sin22-= αα2c o s 1c o s 22+=）（2）辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中（3）万能公式5．三角函数式的化简、求值、证明（1）三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。

三角恒等变换【知识分析】1、本章网络结构2、要点概述（1）求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。

（2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如是的半角，是的倍角等。

（3）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。

（4）求值的类型：①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。

②“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。

③“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。

（5）灵活运用角和公式的变形，如：，等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。

（6）合一变形（辅助角公式）把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的形式。

，其中．（7）化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。

（8）三角恒等变换方法观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）① “变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，如α=(α+β)－β=(α－β)+β, 2α=(α+β)+ (α－β), 2α=(β+α)－(β－α),α+β=2·,= (α－)－(－β)等.②“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦），③“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等。

三角恒等变换复习教案学习目标:(1)了解两角和与差正弦、余弦、正切公式之间的内在联系.培养逻辑推理能力.(2)掌握两角和与差的正弦公式、正切公式,并会运用它们进行有关计算、化简、证明.(3)通过实例熟悉一些解题的技巧并增强利用公式解决具体问题的灵活性. 重点:熟练、灵活的应用三角公式.难点:变换中的技巧.复习与巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系：三角函数恒等变形实质是对角、函数名称的变化，而转化的依据就是一系列三角公式，如:①同角三角函数关系——可实现函数名称的转化；②诱导公式及和、差角的三角函数——可实现角的形式的转化.在应用公式时要注意它的逆向变换、多向变换，即对公式要“三会”:正用、逆用、变用.要注意通过拆角、拼角的技巧用已知角表示未知角.一、关于和角与差三角公式特别注意公式的结构,用活公式. :sin()sin cos cos sin ;sin()sin cos cos sin ,,:2sin cos sin()sin();2cos sin sin()sin().αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=+-=-=++-=+--如在公式中应用方程的思想得 :2cos cos cos()cos();2sin sin cos()cos()C C αβαβαβαβαβαβαβαβ+-=++--=+--同理由公式可得tan tan :tan(),:1tan tan tan tan tan()(1tan tan ),tan tan ,tan tan ,.αβαβαβαβαβαβαβαβ++=-+=+-+又如公式可以变形为特别是公式中有式子因此常又与一元二次方程联系在一起 二、习题复习与巩固231.sin ,,cos ,,tan().34αβαβαβ==-++例已知且是第二象角求的值()()S C αβαβ++()()S C αβαβ--ββ-以代ββ-以代tan(60)tan(30)2..1tan(60)tan(30)αααα+-+++⋅+ 例计算的值 1113.sin ,cos(),,(0,),7142πααβαββ=+=-∈例已知且求的值 31234.,cos(),sin(),sin 2,sin 224135ππβααβαβαβ<<<-=+=-例已知求的值 42sin 3cos (1)55.(1)sin().32cos 3sin (2)547(2)8sin 5cos 6,sin(),808cos 5sin .αβαβαβαβαβαβ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩+=+=+例已知求的值求的值6(1):3cos 3sin ;(2):;(3):sin .1212x x x x ππ-+例化简化简求值7.:tan15tan30tan15tan30++ 例计算():1.[0,];22.;3.;4.π请同学们把下列内容记一记或默一默间的特殊角的三角函数值同角三角函数基本关系式九组诱导公式两角和与差的三角函数公式三、综合训练题 28.0(0)tan ,tan ,tan().ax bx c a a c αβαβ++=≠≠+例已知一元二次方程且的两个根为求的值tan tan :tan()1tan tan αβαβαβ++=-分析tan tan .tan tan b a ca αβαβ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而代入即可 21.670tan ,tan ,:sin()cos()x x αβαβαβ++=+=+变式题已知一元二次方程的两个根为求证22.,(tan ,0),(tan ,0)()(23)20(0),tan().m A B f x mx m x m m y αβαβ=+-+-=≠=+变式题设为实数是二次函数图象上的两点求的最小值min 923:00,(,0)(0,],tan tan ,4233tan tan tan(),.24m m m m m y m y m αβαβαβ-∆≥≠∈-∞+=--=∴=+==-∴=- 分析且得 9.:tan tan tan tan tan tan ABC A B C A B C ∆++=⋅⋅例在中,求证:tan()tan .A B C +=-分析利用10.,(0,),:(1tan )(1tan )2:.24A B A B A B ππ∈++=+=例已知求证的充要条件是 :tan tan tan()(1tan tan )2T αβπαβαβαβ++=+-分析利用的变式.:(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 44)++++ 变式题化简11.:[2sin50sin10(1)]+ 例求值:50,10,80,60,90,.分析都不特殊角但其和却是特殊角故可考虑逆用两角和公式求其三角函数值:cos10(2sin 50sin10)80cos102cos(6010)(2sin 50sin10)cos1050cos10cos50sin10)60=+-=++==思路一原式:[2sin 50sin10(1tan 60tan10)]80tan 60tan10)[2sin 50sin10]tan(6010)2cos50(2sin 50sin10)cos10=++-=+-=+==思路二原式2222sin()sin()tan 12.:1.sin cos tan αβαββαβα+-=-例求证 :,,.分析观察左右两边的差异从左向右证明要解决角的差异如果从右向左证明解决名称的差异32sin 13.:tan tan .22cos cos 2x x x x x -=+例求证:,,.,,.分析此题各式间的差异较大不仅角之间的差异而且函数名称及结构之间也存在较大差异为此要重点抓住某一特征差异进行分析以求突破 3sin tantan ;322cos cos 222sin sin .333cos()cos()cos cos 222222x x x x x x x x x x x x x =-=⋅==-++⋅左边右边 114.,0,cos(),22292sin(),tan .232ππβαπβαααββ<<<<-=-+-=例已知求的值 :()(),,22242,,,4222αββαπβαβαππαπαββ+=---<-<+<-<分析而再求出的正弦余弦则问题可解22sin ;cos tan 227227235αβαβαβ+++==∴= 33:,0,cos(),4444535sin(),sin().413ππππαβαπβαβ<<<<-=-=+变式题已知求的值15.,,,,tan tan tan .2222ABC A B C A C A C ∆++例在已知成等差数列求的值:,,223tan()22,tan tan tan 2222A C A C A C A C π+=∴+=++=分析由题意得由公式变形得 2cos10sin 2016.cos 20-例求的值:103020=- 分析17.sin(2)2sin 0,:tan 3tan().αββααβ++==+例已知求证 :2();()αβαβαβαβα+=++=+-分析518.sin(),0,:4134cos 2.cos()4x x x x πππ-=<<+例已知求的值 :2()();().44424cos 22413cos()4x x x x x x x ππππππ=+--+=--==+ 分析 2219.(1)tan 5,sin 5(1tan 5tan 2.5).3tan 15(2).13tan 15a =+--例已知求的值求的值:(1),;(2),分析切化弦再逆用公式因式分解后引入辅助角再逆用公式20.,,,lgsin lgsin lgsin lg 2..A B C ABC A B C ∆--=例已知是的三个内角且试判断此三角形的形状特征 :,:sin sin()A B C =+分析利用在三角形中有。

三角恒等变换专题复习教学目标：1、能利用单位圆中的三角函数线推导出 απαπ±±,2的正弦、余弦、正切的诱导公式；2、理解同角三角函数的基本关系式：；3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题; 教学重难点：可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题 基础知识一、同角的三大关系：① 倒数关系 tan α•cot α=1 ② 商数关系 sin cos αα= tan α ； cos sin αα= cot α ③ 平方关系 22sin cos 1αα+=温馨提示：1求同角三角函数有知一求三规律,可以利用公式求解,最好的方法是利用画直角三角形速解;来源:学+科+网2利用上述公式求三角函数值时,注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号;二、诱导公式口诀：奇变偶不变,符号看象限用诱导公式化简,一般先把角化成,2k z α+∈的形式,然后利用诱导公式的口诀化简如果前面的角是90度的奇数倍,就是 “奇”,是90度的偶数倍,就是“偶”；符号看象限是,把α看作是锐角,判断角2k πα+在第几象限,在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”,就加在前面;用诱导公式计算时,一般是先将负角变成正角,再将正角变成区间0(0,360)的角,再变到区间00(0,180)的角,再变到区间00(0,90)的角计算;三、和角与差角公式 ：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=变 用 tan α±tan β=tan α±β1 tan αtan β四、二倍角公式：sin 2α= 2sin cos αα.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-五、注意这些公式的来弄去脉这些公式都可以由公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=推导出来;六、注意公式的顺用、逆用、变用;如：逆用sin cos cos sin sin()αβαβαβ±=± 1sin cos sin 22ααα=变用22cos 1cos 2αα+=22cos 1sin 2αα-= 21cos 4cos 22αα+= 七、合一变形辅助角公式把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式;()22sin cos αααϕA +B =A +B +,其中tan ϕB=A． 八、万能公式ααα2tan 1tan 22sin += ααα22tan 1tan 12cos +-= ααα2tan 1tan 22tan -=九、用αsin ,αcos 表示2tanααααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=十、积化和差与和差化积积化和差 )]sin()[sin(cos sin βαβαβα-++=； )]sin()[sin(sin cos βαβαβα--+=；)]cos()[cos(cos cos βαβαβα-++=； )]cos()[cos(sin sin βαβαβα--+=.和差化积 2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2cos 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=- 2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+ 2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=-十一、方法总结1、三角恒等变换方法观察角、名、式→三变变角、变名、变式1 “变角”主要指把未知的角向已知的角转化,是变换的主线,如α=α+β－β=α－β+β, 2α=α+β+ α－β, 2α=β+α－β－α,α+β=2·错误! , 错误! = α－错误!－错误!－β等.2“变名”指的是切化弦正切余切化成正弦余弦sin cos tan ,cot cos sin αααααα==, 3“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂,利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等; 2、恒等式的证明方法灵活多样①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子. ③比较法, 即设法证明: "左边－右边=0" 或" 错误! =1";④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.例题精讲例1 已知α为第四象限角,化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-解：1因为α为第四象限角所以原式=αααααα2222cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+-- ()ααααααααααsin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin 1cos -=---=--+-=例2 已知360270<<α,化简α2cos 21212121++ 解：360270<<α,02cos,0cos <>∴αα所以原式2111cos211cos 22222αα++=+21cos cos cos 222ααα+===- 例3 tan20°+4sin20°解：tan20°+4sin20°=0020cos 40sin 220sin +=0sin(6040)2sin 40cos 20-+00003340sin 403cos 20223cos 20+=== 例4 05天津已知727sin()2425παα-==,求sin α及tan()3πα+．解：解法一：由题设条件,应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=,即57cos sin =-αα ①由题设条件,应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722ααααααααα+-=+-=-== 故51sin cos -=+αα ② 由①和②式得53sin =α,54cos -=α因此,43tan -=α,由两角和的正切公式11325483343344331433tan 313tan )3tan(-=+-=+-=-+=+ααπα 解法二：由题设条件,应用二倍角余弦公式得αα2sin 212cos 257-==, 解得 259sin 2=α,即53sin ±=α 由1027)4sin(=-πα可得57cos sin =-αα由于0cos 57sin >+=αα,且057sin cos <-=αα,故α在第二象限于是53sin =α,从而5457sin cos -=-=αα 以下同解法一小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力,可从已知角和所求角的内在联系均含α进行转换得到．2、在求三角函数值时,必须灵活应用公式,注意隐含条件的使用,以防出现多解或漏解的情形． 例 5 已知,,A B C 为锐角ABC ∆的三个内角,两向量(22sin ,cos sin )p A A A =-+,(sin cos ,q A A =-1sin )A +,若p 与q 是共线向量.1求A 的大小；2求函数232sin cos()2C By B -=+取最大值时,B 的大小. 解：122// 2(1)(1+)- p q sinA sinA sin A cos A ∴-=22220 120cos A cos A cos A ∴+=∴+= 1cos 2A 2∴=-0<2A<π,002A 120 A=60∴=∴200A=60 B+C=120∴ 2013y=2sin B+cos(602B)1cos 2B+cos 2B sin 2B 22-=-+31 =sin 2B cos 2B+1=sin(2B )1226π--+ , 2B B 623πππ-=当时，即=． 小结：三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意例6 设关于x 的方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在0, 2π内有相异二解α、β.1求α的取值范围; 2求tan α＋β的值. 解: 1∵sinx ＋3cosx ＝221sinx ＋23cosx ＝2 sinx ＋3π, ∴方程化为sinx ＋3π＝－2a.∵方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在0, 2π内有相异二解, ∴sinx ＋3π≠sin 3π＝23 .又sinx ＋3π≠±1 ∵当等于23和±1时仅有一解, ∴|－2a |<1 . 且－2a≠23. 即|a |<2且a ≠－3.∴ a 的取值范围是－2, －3∪－3, 2.2 ∵α、 β是方程的相异解, ∴sin α＋3cos α＋a ＝0 ①. sin β＋3cos β＋a ＝0 ②. ①－②得sin α－ sin β＋3 cos α－ cos β＝0. ∴ 2sin2βα-cos2βα+－23sin2βα+sin2βα-＝0, 又sin2βα+≠0, ∴tan2βα+＝33.∴tan α＋β＝2tan22tan22βαβα+-+＝3.小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别,这里不能忘记0, 2π这一条件. 例7 已知函数()x x m x f cos sin 2-=在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上单调递减,试求实数m 的取值范围．解：已知条件实际上给出了一个在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上恒成立的不等式． 任取∈21,x x ⎪⎭⎫⎝⎛2,0π,且21x x <,则不等式()()21x f x f >恒成立,即>-11cos sin 2x x m 22cos sin 2x x m -恒成立．化简得()()2112sin 2cos cos x x x x m ->- 由2021π<<<x x 可知：0cos cos 12<-x x ,所以()1221cos cos sin 2x x x x m --<上式恒成立的条件为：()上的最小值，在区间⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--<20cos cos sin 21221πx x x x m . 由于()2sin 2cos 22sin 2sin 22cos 2sin4cos cos sin 22121212121211221x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-+--=-- 2sin2cos 2cos 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 221212121x x x x x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2tan2tan 2tan 2tan 122121x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=且当2021π<<<x x 时,42,2021π<<x x ,所以 12tan ,2tan 021<<x x , 从而 02tan 12tan 12tan 2tan 2tan 2tan1212121>⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x , 有 22tan2tan 2tan 2tan 122121>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x , 故 m 的取值范围为]2,(-∞.基础精练1．已知α是锐角,且sin 错误!＝错误!,则sin 错误!的值等于A.错误! B ．－错误! C.错误! D ．－错误!2．若－2π＜α＜－错误!,则 错误!的值是A ．sin 错误!B ．cos 错误!C ．－sin 错误!D ．－cos 错误!3.错误!·错误!等于A.－sinαB.－cosαC.sinαD.cosα4.已知角α在第一象限且cosα＝错误!,则错误!等于A.错误!B.错误!C.错误!D.－错误!5.定义运算错误!＝ad －bc.若cosα＝错误!,错误!＝错误!,0<β<α<错误!,则β等于A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!6.已知tanα和tan 错误!－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根,则a 、b 、c 的关系是A.b ＝a ＋cB.2b ＝a ＋cC.c ＝b ＋aD.c ＝ab7.设a ＝错误!sin56°－cos56°,b ＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°,c ＝错误!,d ＝错误!cos80°－2cos 250°＋1,则a,b,c,d 的大小关系为A.a ＞b ＞d ＞cB.b ＞a ＞d ＞cC.d ＞a ＞b ＞cD.c ＞a ＞d ＞b8．函数y ＝错误!sin2x ＋sin 2x,x ∈R 的值域是A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!9.若锐角α、β满足1＋错误!tanα1＋错误!tanβ＝4,则α＋β＝ .10.设α是第二象限的角,tanα＝－错误!,且sin 错误!<cos 错误!,则cos 错误!＝ .11.已知sin-4πx=135,0<x<4π,求)4cos(2cos x x +π的值;12.若),0(,πβα∈,31tan ,507cos -=-=βα,求α+2β;拓展提高1、设函数fx ＝sin 错误!－错误!－2cos 2错误!＋11求fx 的最小正周期.2若函数y ＝gx 与y ＝fx 的图像关于直线x ＝1对称,求当x ∈0,错误!时y ＝gx 的最大值2.已知向量a ＝cosα,sinα,b ＝cosβ,sinβ,|a －b|＝错误!1求cosα－β的值；2若0<α<错误!,－错误!<β<0,且sinβ＝－错误!,求sinα.3、求证：αβαsin 2sin ）（+－2cos α+β=αβsin sin .基础精练参考答案4．C 解析原式＝错误!＝错误!＝错误!＝2×cosα＋sinα＝2×错误!＋错误!＝错误!. 5.D 解析依题设得：sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin α－β＝错误!.∵0<β<α<错误!,∴cosα－β＝错误!. 又∵cosα＝错误!,∴sinα＝错误!.sinβ＝sinα－α－β＝sinα·cosα－β－cosα·sinα－β ＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!,∴β＝错误!.6.C 解析tan tan()4,tan tan(),4b a c a πααπαα⎧+-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴tan 错误!＝tan 错误!－α＋α＝错误!＝1,∴－错误!＝1－错误!,∴－b ＝a －c,∴c ＝a ＋b.7.B 解析a ＝sin56°－45°＝sin11°,b ＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin52°－40°＝sin12°,c ＝错误!＝cos81°＝sin9°,d ＝错误!2cos 240°－2sin 240°＝cos80°＝sin10°∴b ＞a ＞d ＞c.8.C 解析y ＝错误!sin2x ＋sin 2x ＝错误!sin2x －错误!cos2x ＋错误!＝错误!sin 错误!＋错误!,故选择C. 9. 错误!解析由1＋错误!tanα1＋错误!tanβ＝4,可得错误!＝错误!,即tanα＋β＝错误!. 又α＋β∈0,π,∴α＋β＝错误!.10. －错误!解析：∵α是第二象限的角,∴错误!可能在第一或第三象限,又sin 错误!<cos 错误!,∴错误!为第三象限的角, ∴cos 错误!<0.∵tanα＝－错误!,∴cosα＝－错误!,∴cos 错误!＝－ 错误!＝－错误!.12.解析∵),0(,πβα∈,507cos -=α∴),0,33(71tan -∈-=α),0,33(31tan -∈-=β∴),65(,ππβα∈,α+2β)3,25(ππ∈,又tan2β=43tan 1tan 22-=-ββ,12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα,来源:Zxxk ∴α+2β=411π拓展提高参考答案1、解析 1fx ＝sin 错误!cos 错误!－cos 错误!sin 错误!－cos 错误!x ＝错误!sin 错误!x －错误!cos 错误!x＝错误!sin 错误!x －错误!,故fx 的最小正周期为T ＝错误!＝82法一：在y ＝g x 的图象上任取一点 x,gx,它关于x ＝1的对称点2－x,gx.由题设条件,点2－x ,gx 在y ＝fx 的图象上,从而gx ＝f2－x ＝错误!sin 错误!2－x －错误! ＝错误!sin 错误!－错误!x －错误!＝错误!cos 错误!x ＋错误!,当0≤x≤错误!时, 错误!≤错误!x ＋错误!≤错误!,因此y ＝gx 在区间0,错误!上的最大值为gx max ＝错误!cos 错误!＝错误!.法二：因区间0,错误!关于x ＝1的对称区间为错误!,2,且y ＝gx 与y ＝fx 的图象关于x ＝1对称,故y ＝gx 在0,错误!上的最大值为y ＝fx 在错误!,2上的最大值,由1知fx ＝错误!sin 错误!x －错误!, 当错误!≤x ≤2时,－错误!≤错误!x －错误!≤错误!,因此y ＝gx 在0,错误!上的最大值为gx max ＝错误!sin 错误!＝错误!.2、解析1∵a ＝cos α,sinα,b ＝cosβ,sinβ, ∴a －b ＝cosα－cosβ,sinα－sinβ. ∵|a －b|＝错误!,∴错误!＝错误!, 即2－2cosα－β＝错误!,∴cosα－β＝错误!.2∵0<α<错误!,－错误!<β<0,∴0<α－β<π,∵cosα－β＝错误!,∴sinα－β＝错误! ∵sin β＝－错误!,∴cosβ＝错误!,∴sinα＝sinα－β＋β＝sinα－βcosβ＋cosα－βsinβ＝错误!·错误!＋错误!·－错误!＝错误!。

第三章 三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式⑴；⑵；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-⑶；⑷；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+⑸ （）；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+⑹ （）．()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴．sin 22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos 2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式⇒2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+降幂公式，． ⇒2cos 21cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=26、 ．22tan tan 21tan ααα=-27、（后两个不用判断符号，更加好用）⇒28、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的⇒形式。

，其B x A y ++=)sin(ϕϖ()sin cos αααϕA +B =+中．tan ϕB =A29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，αα2tan 2cos ==2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan2sin :222αααααα万能公式+-=+=灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；α2αα4α2α2α2α4α②；问：；2304560304515o ooooo=-=-==12sin π=12cosπ；③；④；ββαα-+=)()4(24αππαπ--=+⑤；等等)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。

知识点一．两角和与差的正余弦与正切①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ；③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=；知识点二．二倍角公式①sin22sin cos ααα=；②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-；补充：2倍角公式变形（扩角降幂）221cos 21cos 2sin cos 22αααα-+==；；知识点三．辅助角公式)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （其中a bb a a b a b =+=+=ϕϕϕtan cos sin 2222，，）．【常见式子变形】①2221cos 22cos 1cos 22sin 1sin 2(sin cos )ααααααα+=-=±=±；；②sin cos cos cos cos 22p p αβααβæöæö=Þ-=-=ç÷ç÷èøèø，具体是选2p α-还是2p α-要看题目给出的范围③sin cos tan 1tan sin cos tan 14βββp ββββ--æöÞ=+ç÷++èø高考数学复习：三角函数恒等变换求值2023新高考二卷T7：配完全平方公式【详解】因为cos 1α=-α为锐角，解得：sin2α==2023·新高考I 卷T8——和差公式+二倍角公式【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()αβ+，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12(39αβαβαβ+=+=-+=-´=.2022·新高考II 卷T6——和差公式【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-=所以()tan 1αβ-=-故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取=2pα，排除A, B ；再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β=4p，排除D ；选C.[方法三])cos()]44cos sin sin 444p pβαβαβαβp p pαβαβαβ+++++++=++++（）（）（（cos sin 44p pαβαβ+=+（）（）sin cos cos sin =044p p αβαβ+-+（）（）即sin =04pαβ+-（）sin =sin cos cos sin =0444p p p αβαβαβαβαβ\-+-+---（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ\----（）（）即t an(）=-1,2018全国II 卷（理）T15——一题多解【答案】12-【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．【详解】［方法一］：【最优解】两式两边平方相加得22sin()1αβ++=，1in()s 2αβ+=-．［方法二］： 利用方程思想直接解出sin 1αα=-=-1cos 2β=，则1sin 2α=．又cos sin αβìïïíïïîcos sin αβì=ïïíï=ïî，所以1in()s 2αβ+=-．［方法三］： 诱导公式+二倍角公式由cos sin 0αβ+=，可得3sin cos sin 2p βααæö=-=+ç÷èø，则322k pβp α=++或32()2k k p βp p αæö=+-+Îç÷èøZ ．若32()2k k pβp α=++ÎZ ，代入得sin cos 2sin 1αβα+==，即2131sin ,sin()sin 22cos22sin 1222k p ααβp αααæö=+=++=-=-=-ç÷èø．若2()2k k pβp α=--ÎZ ，代入得sin cos 0αβ+=，与题设矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=-．［方法四］：平方关系＋诱导公式由2222cos sin (1sin )(cos )22sin 1ββααα+=-+-=-=，得1sin 2α=．又sin 1cos tan tan tan cos sin 22αβββααβ-æö===-=-ç÷-èø，()2k k βαp =-ÎZ ，即22k αp β=-，则2()k k αβp α+=-ÎZ ．从而1sin()sin(2)sin 2k αβp αα+=-=-=-．［方法五］：和差化积公式的应用由已知得1(sin cos )(cos sin )(sin 2sin 2)cos()2αβαβαβαβ++=++-sin()cos()cos()0αβαβαβ=+-+-=，则cos()0αβ-=或sin()1αβ+=-．若cos()0αβ-=，则()2k k pαβp -=+ÎZ ，即()2k k pαβp =++ÎZ ．当k为偶数时，sin cos αβ=，由sin cos 1αβ+=，得1sin cos 2αβ==，又23cos sin 0,cos sin sin 4αβαββ+==-=-，所以131sin()sin cos cos sin 442αβαβαβ+=+=-=-．当k 为奇数时，sin cos αβ=-，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾．若sin()1αβ+=-，则2()2k k pαβp +=-ÎZ ．则sin sin 2cos 2k p αp ββæö=--=-ç÷èø，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=-．【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．题型一 知1求2长沙市明德中学2023-2024学年高三上学期入学考试T8【分析】由已知条件算出tan ,tan αβ即可求解.【详解】因为3πsin ,,π52ααæö=Îç÷èø，所以4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα==-==-，因为()sin sin cos cos sin 34sin cos tan tan 4cos cos 55αβαβαβααββββ++==+=-=g ，所以17tan 4β=-，所以()317tan tan 1644tan 3171tan tan 7144αβαβαβ--++===-æöæö--´-ç÷ç÷èøèø.2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学九月联考T15，【答案】4p【分析】根据已知得4sin 5α=，sin ββ==且π02αβ<-<，应用差角正弦公式求角的大小.【详解】由题设4sin 5α=，sin ββ==π0,2βæöÎç÷èø，而sin sin αβ>，故π02βα<<<，则π02αβ<-<，所以sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-=，则π4αβ-=题型二 结合平方公式sin cos q q ±，2sin 2q ±2024届·湖南长郡中学阶段考T73．已知π0,2αæöÎç÷èøπ2sin 4ααæö=+ç÷èø，则sin 2α=（ ）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】B【分析】法1：展开，结合平方公式；法2：换元+诱导公式.【详解】π2sin()4αα=+Q ，)22cos )cos sin αααα=+-Q ,1(cos sin )(cos sin )02αααα\+--=，又π0,2αæöÎç÷èø，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2αæöÎç÷èø，所以2(0,π)αÎ，sin20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.湖北省部分学校2024届高三上学期10月联考·T7【分析】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可.πcos 2sin 4αααæö===-=-ç÷èø，且π3π,24αæöÎç÷èø，则π2π4π,4αæö-Îç÷èø，可得πsin 04αæö->ç÷èø，)π2sin sin cos 4αααæö=--ç÷èø；cos α=，且π3π,24αæöÎç÷，可得cos 0α<，α=；)sin cos αααα=-=.5．已知22ppαβ-<-<，sin 2cos 1αβ+=，cos 2sin αβ-=sin(3pβ+=A B C D 【答案】A【分析】先由sin 2cos 1αβ+=，cos 2sin αβ-=αβ、的关系式，代入sin 3p βæö+ç÷èø，即可求出结果.【详解】由sin 2cos 1αβ+=，cos 2sin αβ-=将两个等式两边平方相加，得()543sin αβ+-=，()12sin αβ-=-，22p p αβ-<-<Q ，6pαβ\-=-，即6p αβ=-，代入sin 2cos 1αβ+=，得13p βæö+=ç÷èø，即sin 3p βæö+ç÷èø故选A 2023·浙江杭州二模T15【分析】将sin cos 2sin q q α+=平方，结合2sin cos sin q q β=可得22124sin 0sin βα+=-，利用二倍角余弦公式将224cos 2cos 2αβ-化简求值，可得答案.【详解】将sin cos 2sin q q α+=平方得212sin cos 4sin q q α+=，结合2sin cos sin q q β=可得221i s n 2i 4s n αβ+=，即22124sin 0sin βα+=-，则224cos 2cos 2(2cos 2cos 2)(2cos 2cos 2)αβαβαβ-=-+()()2214sin 2sin 2cos 2cos 20αβαβ=-++=2024届·浙江省Z20名校联盟第一次联考题T7【分析】利用和差公式和同角三角函数关系以及二倍角即可得出结论.【详解】将1sin cos 5αα-=平方得112sin cos 25αα-=，所以242sin cos 25αα=，则π0,2αæöÎç÷èø．所以()22449sin cos 12sin cos 12525αααα+=+=+=，从而7sin cos 5αα+=．联立1sin cos 57sin cos 5ααααì-=ïïíï+=ïî，得4sin 53cos 5ααì=ïïíï=ïî．所以24sin 22sin cos 25ααα==，2222347cos 2cos sin5525αααæöæö=-=-=-ç÷ç÷èø．故)π247sin 2sin 2cos 242525éùæöæö-=---=ç÷ç÷êúèøèøëûααα题型三 和差公式2024届·长沙一中校月考（三）T78．已知角(),0,παβÎ，且()()sin cos 0,sin sin 3cos cos 0αβαβαβαβ++-=-=，则()tan αβ+=（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】D【分析】由两角和与差公式化简后求解．【详解】由()()sin cos 0αβαβ++-=，可得sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ+++=，即sin cos cos sin 1cos cos sin sin αβαβαβαβ+=-+，故tan tan 11tan tan αβαβ+=-+.又sin sin 3cos cos 0αβαβ-=，故sin sin αβ3cos cos αβ=，即tan tan 3αβ=，代入tan tan 11tan tan αβαβ+=-+可得tan tan 4αβ+=-.故()tan tan tan 21tan tan αβαβαβ++==-云南师范大学附属中学2024届高三高考适应性月考卷（一）数学试题T7A ．()sin 31αβ-=B ．()sin 31αβ+=-C ．()sin 21αβ-=D ．()sin 21αβ+=-【答案】C【分析】对题中条件进行变化化简，可以得到π22αβ-=，进一步即可判断正确答案.【详解】tan cos 1sin ,αββ×=+Q sin cos 1sin ,cos αββα\×=+即sin cos cos sin cos ,αβαβα×=+×sin cos sin cos cos ,αββαα×-×=即πsin()cos sin(),2αβαα-==-又0,2p αæöÎç÷èø，0,2p βæöÎç÷èø，则ππππ,0,2222αβα-<-<<-<所以π2,sin(2)1,2αβαβ-=\-=，故C 正确.2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学十月联考T7【分析】根据题意，由同角的平方关系可得()cos αβ+，再由余弦的和差角公式，即可得到结果.【详解】因为(),0,παβÎ，且1cos 7α=，所以sin α因为()sin αβ+=，所以()sin sin ααβ>+，所以()αβ+为钝角，所以()11cos 14αβ+==-，则()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++=éùû11111472-´+=，且()0,βp Î，则π3β=2024届·重庆市第八中学校适应性月考（一）T7【分析】根据两角和与差的正弦公式，化简得到sin 1sin tan βαα=，得到πsin sin()2βα=-，再由π,0,2αβæöÎç÷èø，结合正弦函数的性质，即可求解【详解】由()()()sin 2sin[()]2cos 2cos sin sin αβααβαβαβαα+++-+=-+()sin cos()cos sin()2cos sin ααβααβαβα+++=-+cos sin()cos sin()sin cos()cos()sin sin ααβααβααβαβαα++-+=-+=sin[()]sin sin sin αβαβαα+-==，所以sin 1sin tan βαα=，可得sin cos sin sin βααα=，即sin cos βα=，即πsin sin()2βα=-，因为π,0,2αβæöÎç÷èø，可得ππ0,22αæö-Îç÷èø，所以π2βα=-，所以π2αβ+=【分析】法一：利用两角和与差的三角函数公式求解；法二：利用特殊值法求解.【详解】法1：()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--Q .tan tan tan tan 1αβαβ\+=-，()()()()cos sin 1tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan 2cos cos βααβαβαβαβαβαβ--+\=-++=--+=.2=èø题型四 2倍角公式2023届广州市一模T7【分析】由,2p αp æöÎç÷èø及二倍角的余弦公式可得()sin 1sin cos cos αβαβ+=，根据两角和的余弦公式可得()sin cos ααβ=+，由诱导公式及,αβ的范围即可求解.【详解】,,2p αβp æöÎç÷èøQ ，sin 0α\¹.由()()1cos 21sin sin 2cos αβαβ-+=，可得()22sin 1sin 2sin cos cos αβααβ+=，即()sin 1sin cos cos αβαβ+=.()sin cos cos sin sin cos ααβαβαβ\=-=+，()cos cos 2p αβαæö\+=-ç÷èø，,,2p αβp æöÎç÷èøQ ，2p αβp \<+<，且022pp α-<-<，根据函数cos y x =易知：22pαβαp +=-+，即得：522pαβ+=.【分析】利用降幂升角公式和诱导公式化简即可得到结果.【详解】221cos 21cos 222cos sin 4422x x x x p p p p æöæö++--ç÷ç÷æöæöèøèø++-=+ç÷ç÷èøèø1111sin 2sin 21sin 22222x x x =-+-=-【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式先化已知角x 为2x，然后再由正切的二倍角公式求tan x ．【详解】2222112sin 2sin cos 2sin 2sin cos 1cos sin 22222221cos sin 2cos 2sin cos 12cos 12sin cos222222x x x x x x x x x x x x x x x x æö--++ç÷-+èø-===++æö++-+ç÷èø2sin (sin cos )222tan 22cos (cos sin )222x x x x x x x +==+，∴222tan2(2)42tan 1(2)31tan 2xx x ´-===---．2024届广东实验中学校考T1516．若两个锐角α，β满足1cos21cos22cos sin2sin2αβααβ+-=+，则cos 23p αβæö++=ç÷èø.【答案】【分析】根据二倍角的正弦、余弦公式，化简可得角α，β的关系，代入cos 23p αβæö++ç÷èø即可求解.【详解】因为1cos21cos22cos sin2sin2αβααβ+-=+，所以()22112sin 12cos 12cos 2sin cos 2sin cos βααααββ--+-=+所以22cos sin cos sin cos sin cos αβαααββ=+，因为α，β为锐角，所以有cos sin 1sin cos αβαβ=+，所以()cos cos sin 1sin αββα=+，即cos cos sin sin sin αβββα=+，所以cos cos cos cos sin αβαββ-=，即()cos +sin αββ=，因为α，β为锐角，所以有+2pαββ+=，即+22pαβ=，所以cos 2cos sin 3233p p p p αβæöæö++=+=-=ç÷ç÷èøèø2024届·广州市越秀区高三月考（十月）T7【分析】由倍角余弦公式并整理得23sin 2sin 10αα+-=，结合角的范围得1sin 3α=，进而求tan α，应用倍角正切公式求值即可.【详解】由23cos24sin 36sin 4sin 1αααα-=--=，即23sin 2sin 1(3sin 1)(sin 1)0αααα+-=-+=，所以1sin 3α=或sin 1α=-，又π,π2αæöÎç÷èø，则1sin 3α=，所以cos α=，则tanα=由22tan tan 21tan ααα==-2024届·广州市天河区高三综合测试（一）T7【分析】由商数关系及两角差的正切公式将已知化为ππtan 2tan 34αβæöæö-=-ç÷ç÷èøèø，得出ππ2π34k αβ-=-+，再根据二倍角的余弦公式即可得解.【详解】由πtan tanπsin cos tan 1π4tan 2tan π3sin cos tan 141tan tan 4ββββαβββββ---æöæö-====-ç÷ç÷++èøèø+，所以ππ2π34k αβ-=-+，即π2π,Z 12k k αβ=++Î，()()2π12cos 2cos 22cos 2π12k αβαβββæö--=--=-++-ç÷èøπππcos 2πcos 2πcos 1266k k æöæö=-+=-+=-=ç÷ç÷èøèø武汉市硚口区2024届高三上学期起点质量检测T15【答案】9798【分析】根据辅助角公式可得π1 sin614qæö-=ç÷èø，再根据二倍角与诱导公式求解即可.【详解】17cosq q=+即114cos12q qö-=÷÷ø，故π1sin614qæö-=ç÷èø.故2ππ97cos212sin3698q qæöæö-=--=ç÷ç÷èøèø.则97sin2sin2cos2632398p p p pq q qæöæöæö+=-+=-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.题型五统一角度化简2024届·重庆市第一中学校高三上学期9月月考·T15【分析】利用和角的正余弦公式化简，再利用诱导公式及齐次式求法求解即可.【详解】πtan9α=，7π7ππππcos cos sin sin cos sin sin cos tan tan1818999πππππsin cos cos sin sin cos cos sin tan tan99999αααααααααα---==+++3=.2023届·江苏省七市三模·T7【分析】利用和差角公式展开，得到2cos40cos cos80cos sin80sin0q q q°+°+°=，即可得到2cos40cos80tansin80q°+°=-°，再利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为()()()cos40cos40cos800q q q°-+°++°-=，所以cos 40cos sin 40sin cos 40cos sin 40sin cos80cos sin 80sin 0q q q q q q °+°+°-°+°+°=，所以2cos 40cos cos80cos sin80sin 0q q q °+°+°=，所以2cos 40cos80sin80tan 0q °+°+°=，所以2cos 40cos80tan sin 80q °+°=-°()2cos 12080cos80sin 80°-°+°=-°()2cos120cos80sin120sin 80cos80sin 80°°+°°+°=-==°2022届·广东省汕头二模·T7【分析】根据诱导公式、同角三角函数基本关系、两角差的正弦公式和正弦的二倍角公式化简即可求解.【详解】因为sin160tan 20cos 70l ++=o o o 即()(sin 18020tan 20cos 9020l -++-o o o o o所以sin 20sin 20sin 20cos 20l ++=ooo o所以sin 20cos 20sin 20sin 20cos 20l ++=o o o o o o ，所以()11sin 20cos 2020sin 20220sin 202l ö+-=-÷÷øo o o oo o ，所以()()1sin 402sin 60cos 20cos 60sin 202sin 60202sin 402l +=-=-=o o o o o o o o ，所以122l +=，所以3l =题型六 和差公式+倍角公式2023湖南省五市十校高二下期末·T15【答案】19-【分析】化切为弦，然后逆用两角和正弦公式，求得1cos cos 2αβ=，再利用两角和与差的余弦公式求得()2cos 3αβ-=，根据二倍角公式即可得结果.【详解】()()sin sin cos sin cos 2sin tan tan cos cos cos cos αβαββααβαβαβαβ+++=+==，因为()1cos 3αβ+=，则()sin 0αβ+¹，因此1cos cos 2αβ=，而()1cos cos cos sin sin 3αβαβαβ+=-=，从而111sin sin 236αβ=-=，因此()112cos cos cos sin sin 263αβαβαβ-=+=+=，则()()21cos22cos 19αβαβ-=--=-.故答案为：19-.2024届·重庆市巴蜀中学适应性月考（二）·T11【分析】根据3cos25α=-，判断α的范围，再根据cos 2α，求出tan α，再由cos()αβ+=sin()αβ+，tan()βα-，cos()βα-，从而得出答案.【详解】因为0πα<<，所以022πα<<，又3cos 205α=-<，所以π3π222α<<，π3π44<<α，由3cos25α=-，得tan 2α=±.对于A 选项，若tan 2α=-，则π3π24α<<，又3ππ2β<<，所以3π9π24αβ<+<，而cos()0αβ+=<矛盾，所以tan 2α¹-.故A 错误；对于B 选项，根据A 选项知， tan 2α=，则ππ42α<<，又3ππ2β<<，所以5π2π4αβ<+<，而cos()0αβ+=<，所以5π3π42αβ<+<，这样sin()αβ+=B 正确；对于C 选项，根据A 2=，再根据B 选项中sin()αβ+=cos()αβ+=知tan()7αβ+=，从而tan()tan 1tan tan()1tan()tan 3αβαβαβααβα+-=+-==++，则tan tan tan()11tan tan βαβαβα--==-+，又3ππ2β<<，ππ24α-<-<-，π5π24βα<-<，所以3π4βα-=，故C 正确；对于D 选项，根据C 选项知3π4βα-=，所以cos()cos cos sin sinβαβααβ-=+=又cos()cos cos sinsin αβαβαβ+=-=解得cos cos αβ=D 错误2024·江苏省海安高级中学高三上学期10月月考·T6A ．53-B ．【答案】C【分析】根据三角函数的定义可得πtan 4,4q æö+=-ç÷èø进而又和差角公式得5tan θ3=，又二倍角和齐次式即可求解.【详解】由图可知πtan 4,4q æö+=-ç÷èø所以ππtan tan544tan ππ31tan tan44q q q æö+-ç÷èø==æö++ç÷èø，则()()()2sin cos 1sin 2sin cos tan 14cos 2cos sin cos sin cos sin 1tan q q q q q q q q q q q q q q++++====-+---【分析】注意到2236ππαβαβæö+=++-ç÷èø，后结合()0,πα，ππ,22βæöÎ-ç÷èø，利用二倍角，两角和的正弦公式可得答案.【详解】因()0,παÎ，则4333πππ，αæö+Îç÷è，又π1πsin sin 333æö+=<=ç÷èøα，则3πα+Îπ,π2æöç÷èø，得3πcos αæö+=ç÷èø.因πcos 6βæö-=ç÷èø22221663ππcos cosββéùæöæö-=--=-êúç÷ç÷èøèøëû.又ππ,22βæöÎ-ç÷èø，则π2ππ,633æö-Î-ç÷èøβ，结合π1πcos cos 623æö-=<=ç÷èøβ，则ππ,062æö-Î-ç÷èøβ，得6πsi n βæö-=-ç÷èø则22666πππsi n cos si n βββéùæöæöæö-=--=-êúç÷ç÷ç÷èøèøèøëû又注意到2236ππαβαβæö+=++-ç÷èø，则()ππππsin 2sin cos 2cos sin 23636éùéùæöæöæöæö+=+-++-ç÷ç÷ç÷ç÷êúêúøøèøëûαβαβαβ1233ææö=´-+´-=çç÷çèøè.。

期末专题02三角恒等变换小题综合一、单选题1.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知cos α+π4 =35，则sin2α=()A.725B.1825C.-725D.-1825【答案】A【分析】根据两角和的余弦公式及平方关系，结合正弦的二倍角公式即可求解.【详解】由cos α+π4 =35，得cos αcos π4-sin αsin π4=35，即cos α-sin α=325，两边平方，得2sin αcos α=725，即sin2α=725.故选：A .2.(2022春·江苏镇江·高一统考期末)计算：23sin70°-3sin10°cos10°=()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】根据两角差的正弦公式化简求解即可.【详解】23sin70°-3sin10°cos10°=23sin (60°+10°)-3sin10°cos10°=2332cos10°+12sin10°-3sin10°cos10°=3cos10°cos10°=3，故选：C3.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)若sin α+5π12 =13，则cos 2α-π6的值为()A.429B.-429C.79D.-79【答案】D【分析】设θ=α+5π12，再表达出2α-π6=2θ-π，从而根据诱导公式与二倍角公式求解即可【详解】设θ=α+5π12，则α=θ-5π12，故2α-π6=2θ-5π6-π6=2θ-π，故sin θ=13，则cos 2α-π6 =cos 2θ-π =-cos2θ=2sin 2θ-1=-79故选：D 4.(2022春·江苏淮安·高一统考期末)已知a =sin1，b =2cos1sin1，c =2tan12，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >c >aC.c >a >bD.c >b >a【答案】D【详解】b =2cos1sin1=sin2=sin (π-2)，又π2>π-2>1>0，所以sin (π-2)>sin1，即b >a ，利用三角函数线可以证明x 为锐角时，tan x >x ，如图，在单位圆中，以Ox 为始边，O 为顶点作出角x ，其终边与单位圆交于点P ，过单位圆与x 轴正半轴交点A 作x 轴的垂线，角x 的终边与这条垂线交于点T ，则AT =tan x ，劣弧PA的长为l =x ，扇形OPA 的面积为S 1=12lr =12x ，△OAT 面积为S 2=12OA AT =12tan x ，由图形，易知S 2>S 1，即12tan x >12x ，所以tan x >x ，所以c =2tan 12>2×12=1，b =sin2<1，所以c >b >a ．故选：D ．5.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y =sin2x 与y =32tan x 在区间π6,π上交点的横坐标为α，则α的值为()A.π3 B.2π3C.3π4D.5π6【答案】D 【分析】在区间π6,π 上，联立y =sin2x y =32tan x ，即可解出．【详解】在x ∈π6,π 上，由y =sin2x y =32tan x可得2sin x cos x =32×sin x cos x ，而sin x ≠0，所以，cos 2x =34，即cos x =32或cos x =-32，而x ∈π6,π ，所以x =5π6．故选：D ．6.(2022春·江苏苏州·高一统考期末)已知向量a =3sin α,-2 ,b =1,1-cos α ，若a ⋅b =-2，则tan2α=【分析】根据向量数量积的坐标表示a ⋅b=x 1x 2+y 1y 2，结合题意整理可得tan α，再代入二倍角的正切公式tan2α=2tan α1-tan 2α运算求解．【详解】由题意可得：a ⋅b =3sin α-21-cos α =-2，整理得3sin α=-2cos α，即tan α=-23∴tan2α=2tan α1-tan 2α=2×-23 1--23 2=-125故选：C ．7.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知a =22cos1°-sin1° ，b =1-tan 222.5°1+tan 222.5°，c =sin22°cos24°+cos22°sin24°，则a ，b ，c 的大小顺序为( ).A.b >a >cB.c >b >aC.c >a >bD.b >c >a【答案】B【分析】利用和差角正弦公式及商数关系可得a =sin44°、b =sin45°、c =sin46°，根据正弦函数的性质判断大小.【详解】a =cos1°sin45°-sin1°cos45°=sin44°，b =1-tan 222.5°1+tan 222.5°=cos 222.5°-sin 222.5°cos 222.5°+sin 222.5°=cos45°=sin45°，c =sin22°cos24°+cos22°sin24°=sin46°，所以c >b >a .故选：B8.(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)下列等式不正确的是()A.cos15°-sin15°=22B.1+tan15°1-tan15°=3C.sin22°sin38°-cos22°sin52°=12D.1-cos30°2=6-24【答案】C【分析】A 应用差角正弦公式化简；B 应用和角正切公式化简；C 应用诱导公式及差角正弦公式化简；D 写出特殊角的函数值，将分子因式分解化简求值.【详解】A ：cos15°-sin15°=2(sin45°cos15°-cos45°sin15°)=2sin30°=22，正确；B ：1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°1-tan45°tan15°=tan60°=3，正确；C ：sin22°sin38°-cos22°sin52°=sin22°cos52°-cos22°sin52°=-sin30°=-12，错误；D ：1-cos30°2=2-34=4-238=(3-1)28=3-122=6-24，正确；故选：Cππ10【分析】由三角恒等变换将等式化简为cos x-π4=55，即可求出sin x-π4，进一步求出sin x，cos x，即可求出tan x.【详解】因为sin x+sin x+π2=105，则sin x+cos x=2cos x-π4=105，则cos x-π4=55，因为x∈π2,π，所以x-π4∈π4,3π4，所以sin x-π4=255，所以sin x=sin x-π4+π4=sin x-π4cosπ4+cos x-π4sinπ4=255×22+55×22=31010，因为x∈π2,π，所以cos x=-1010,tan x=sin xcos x=-3.故选：A.10.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)已知α，β∈0，π，tan(α-β)=12，tanβ=-17，则2α-β=()A.5π4B.π4C.-π4D.-3π4【答案】D【分析】结合式子中角的特点以及范围，分别求tanα=tan[(α-β)+β]，tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]，再根据正切值缩小α,β的范围，从而得到2α-β的范围，即可得到角2α-β的大小.【详解】因为tanα=tanα-β+β=tanα-β+tanβ1-tanα-βtanβ=12-171+12×17=13<1，tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]=tan(α-β)+tanα1-tan(α-β)tanα=12+131-12×13=1，而α，β∈(0，π)，tanβ=-17>-1，所以0<α<π4，3π4<β<π，-π<-β<-3π4，-π<2α-β<-π4，所以2α-β=-3π4．故选：D．11.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)已知0<α<β<π，函数f(x)=5sin x-π6，若f(α)=f(β)=3，则sin(β-α)=( )．A.2425B.-2425C.1D.-35【答案】A【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得π<α<2π，2π<β<7π，从而利用sinβ-α=【详解】解：令f x =5sin x -π6 =0，0<x <2π，则x =π6或x =7π6，令f x =5sin x -π6 =5，0<x <2π，则x =2π3，又0<α<β<π，f α =f β =3，所以π6<α<2π3，2π3<β<7π6，sin α-π6 =35，sin β-π6 =35，因为0<α-π6<π2，π2<β-π6<π，所以cos α-π6 =45，cos β-π6 =-45，所以sin β-α =sin β-π6 -α-π6 =sin β-π6 cos α-π6 -cos β-π6 sin α-π6 =35×45+45×35=2425，故选：A .12.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知0°<α<90°，且sin18°1+sin2α =2cos 29°cos2α，则α=()A.9°B.18°C.27°D.36°【答案】D【分析】根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到cos 2α+9° =sin9°，结合0°<α<90°得到2α+9°=90°-9°，求出α.【详解】因为sin18°1+sin2α =2sin9°cos9°1+sin2α ，所以2cos 29°cos2α=2sin9°cos9°1+sin2α ，整理得：cos9°cos2α=sin9°sin2α+sin9°，cos9°cos2α-sin9°sin2α=sin9°，cos 2α+9° =sin9°，因为0°<α<90°，所以9°<2α+9°<189°，所以2α+9°=90°-9°，解得：α=36°故选：D .13.(2022春·江苏连云港·高一统考期末)如图，屋顶的断面图是等腰三角形ABC ，其中AC =BC ，横梁AB 的长为8米，∠BAC =α，为了使雨水从屋顶(设屋顶顶面为光滑斜面)上尽快流下，则α的值应为()A.30°B.45°C.60°D.75°【答案】B【分析】根据物体受力分析，利用二倍角的正弦公式化简后，由正弦函数的性质求出雨水流下时间的最小值对应α的值.则CD ⊥AB ,且AD =BD =12AB .因为F =mg sin α=ma ，所以a =g sin α；在直角三角形ACD 中，s =AD cos α=12at 2,所以t 2=2AD a cos α=AB g sin αcos α=2AB g sin2α≥2AB g =16g ,当sin2α=1,即α=45°时等号成立，故选：B .14.(2022春·江苏盐城·高一统考期末)已知函数f (x )=2x 2-3x +1，若方程f (sin x )=a +cos2x 在x ∈[0,2π)上恰有四个不同的解，则实数a 的取值范围是()A.-34<a <1 B.34≤a <1 C.-916<a <1 D.-916≤a <1【答案】C【分析】令t =sin x ∈[-1,1]，将问题转化为y =a 与g (t )=t (4t -3)有两个交点，注意正弦函数值对应自变量的个数确定a 的范围.【详解】由题设a =f (sin x )-cos2x =sin x (4sin x -3)在x ∈[0,2π)上恰有四个不同的解，令t =sin x ∈[-1,1]，则y =a 与g (t )=4t -38 2-916有两个交点，而g (-1)=7>g (1)=1，注意：a =g (-1)时t =-1，则对应x 在[0,2π)上有一个解；g (1)<a <g (-1)或a =g 38 时t 在[-1,1]只有一个对应值，则对应x 在[0,2π)上有两个解；a =g (1)时t =1或t =-14，对应x 在[0,2π)上有三个解；g 38<a <g (1)时t 在[-1,1]只有两个对应值，此时对应x 在[0,2π)上有四个解；综上，-916<a <1.故选：C15.(2022春·江苏南通·高一统考期末)△ABC 中，若A ,B ∈0，π2，sin C =sin A sin B ，则tan A +B 的取值范围是()A.-43,-1B.-43,-1C.1,43D.1,43【答案】A【分析】利用三角函数恒等变换进行化简，可得tan A +tan B =tan A tan B ，利用基本不等式得【详解】∵A ,B ∈0，π2，∴cos A cos B ≠0，∵sin C =sin A sin B ，即sin A +B =sin A sin B ，∴sin A cos B +cos A sin B =sin A sin B ，两边同时除以cos A cos B ，得tan A +tan B =tan A tan B ，∵tan A ,tan B >0，∴tan A +tan B ≥2tan A tan B ，当且仅当tan A =tan B 时等号成立，∴tan A tan B ≥2tan A tan B ，即tan A tan B ≥4，tan (A +B )=tan A +tan B 1-tan A tan B =tan A tan B1-tan A tan B =11tan A tan B-1，∵tan A tan B ≥4，∴0<1tan A ⋅tan B≤14，∴-1<1tan A ⋅tan B-1≤-34，∴-43≤11tan A ⋅tan B -1<-1，即tan A +B 的取值范围是-43,-1 ．故选：A ．二、多选题16.(2022秋·江苏苏州·高一统考期末)下列选项中，与sin -11π6的值相等的是()A.2sin15°sin75°B.cos18°cos42°-sin18°sin42°C.2cos 215°-1D.tan22.5°1-tan 222.5°【答案】ABD【解析】求出sin -11π6的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A ；利用两角和的余弦求值判断B ；利用二倍角的余弦求值判断C ；利用两角和的正切求值判断D .【详解】sin -11π6 =sin -2π+π6 =sin π6=12.对于A ，2sin15°sin75°=2sin15°cos15°=sin30°=12；对于B ，cos18°cos42°-sin18°sin42°=cos 18°+42°=cos60°=12；对于C ，2cos 215°-1=cos30°=32；对于D ，因为tan45°=2tan22.5°1-tan 222.5°=1，可得tan22.5°1-tan 222.5°=12.∴与sin -11π6的值相等的是ABD .故选：ABD .17.(2022秋·江苏连云港·高一校考期末)已知函数f (x )=cos 2x -π-cos2x ，则()B.f (x )的图象关于点7π6,0对称C.f (x )图象的对称轴方程为x =5π12+k π2(k ∈Z )D.f (x )在[0,2π]上有4个零点【答案】ACD【分析】先通过降幂公式、两角和与差的正弦公式及辅助角公式将函数化简，进而结合三角函数的图象和性质解得答案.【详解】f (x )=1+cos 2x -π3 2-cos2x =12+1212cos2x +32sin2x -cos2x =34sin2x -34cos2x +12=32sin 2x -π3 +12，则f x 的最大值为1+32，A 正确；易知f x 图象的对称中心的纵坐标为12，B 错误；令2x -π3=π2+k π(k ∈Z )，得x =5π12+k π2(k ∈Z )，此即f x 图象的对称轴方程，C 正确；由f (x )=32sin 2x -π3 +12=0，得sin 2x -π3 =-33，当x ∈[0,2π]时，2x -π3∈-π3,11π3，作出函数y =sin x x ∈-π3,11π3 的图象，如图所示：所以方程sin 2x -π3 =-33在[0,2π]上有4个不同的实根，即f (x )在[0,2π]上有4个零点，D 正确.故选：ACD .18.(2022秋·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末)已知函数f x =sin n x +cos n x x ∈N * ，则()A.对任意正奇数n ，f x 为奇函数B.对任意正整数n ，f x 的图象都关于直线x =π4对称C.当n =1时，f x 在-π2,π2上的最小值为-1【分析】对A：取n=1，易得f(x)=sin x+cos x不是奇函数，从而即可判断；对B：利用诱导公式计算fπ2-x=f(x)即可判断；对C：利用三角函数的知识即可求解；对D：n=4时，利用三角恒等变换化简解析式得f(x)=14cos4x+34，从而即可求解.【详解】解：对A：取n=1，则f(x)=sin x+cos x，此时f(0)=1≠0，所以f(x)不是奇函数，故选项A错误；对B：因为fπ2-x=sin nπ2-x+cos nπ2-x=cos n x+sin n x=f(x)，所以f(x)的图象关于直线x=π4对称，故选项B正确；对C：当n=1时，f(x)=sin x+cos x=2sin x+π4，因为-π2≤x≤π2，所以-π4≤x+π4≤3π4，所以-22≤sin x+π4≤1，所以-1≤2sin x+π4≤2，所以f x 在-π2,π2上的最小值为-1，故选项C正确；对D：当n=4时，f(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2x cos2x=1-12sin22x=1-1-cos4x4=14cos4x+34，由2kπ-π≤4x≤2kπ,k∈Z，可得-π4+kπ2≤x≤kπ2,(k∈Z)，则f(x)的递增区间为-π4+kπ2,kπ2(k∈Z)，故选项D正确．故选：BCD.19.(2022春·江苏盐城·高一统考期末)下列关于函数f x =sin4x+cos4x的说法正确的有()A.最小正周期为πB.在-π4,0上单调递增C.值域为12,1D.若x=x0为f x 的一条对称轴，则f x0=1【答案】BC【分析】利用二倍角公式化简可得f x =14cos4x+34，根据余弦型函数的最小正周期、单调性、值域和对称性的求法依次判断各个选项即可.【详解】f x =sin4x+cos4x=sin2x+cos2x2-2sin2x cos2x=1-12sin22x=14cos4x+34；对于A，f x 的最小正周期T=2π4=π2，A错误；对于B，当x∈-π4 ,0时，4x∈-π,0，∴f x 在-π4 ,0上单调递增，B正确；对于C，∵cos4x∈-1,1，∴14cos4x+34∈12,1，即f x 的值域为12,1，C正确；对于D，若x=x0为f x 的一条对称轴，则f x0=1或12，D错误.故选：BC.1C.cos20°cos40°+sin200°sin140°D.tan20°+tan25°+tan20°tan25°【答案】AC【分析】选项A 逆用二倍角的正弦求值；选项B 逆用二倍角的正切求值；选项C 逆用两角和的余弦公式求值；选项D 利用两角和的正切公式求值.【详解】解：因为2sin75°cos75°=sin 2×75° =12，故选项A 正确；因为3tan15°1-tan 215°=32×2tan15°1-tan 215°=32tan30°=32≠12，故选项B 错误；因为cos20°cos40°-sin20°sin40°=cos60°=12，故选项C 正确；因为1=tan 20°+25° =tan20°+tan25°1-tan20°tan25°，整理得，tan20°+tan25°+tan20°tan25°=1，故选项D错误；故选：AC .21.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知向量a =(sin ωx ，cos ωx )(ω>0)，b =sin 2ωx 2+π4 ,cos 2ωx 2，函数f x =a ⋅b，则()A.若f (x )的最小正周期为π，则f (x )的图象关于点3π8,0对称B.若f (x )的图象关于直线x =π2称，则ω可能为12C.若f (x )在-2π5,π6 上单调递增，则ω∈0,32D.若f (x )的图象向左平移π3个单位长度后得到一个偶函数的图象，则ω的最小值为32【答案】BC【分析】首先化简函数f x ，再根据三角函数的周期，对称，单调性，以及图象平移，即可判断选项.【详解】f x =a ⋅b =sin ωx ⋅sin 2ωx 2+π4 +cos ωx ⋅cos 2ωx2=sin ωx ⋅1-cos ωx +π2 2 +cos ωx ⋅1+cos ωx 2 =sin ωx ⋅1+sin ωx 2+cos ωx ⋅1+cos ωx2=12sin ωx +cos ωx +12=22sin ωx +π4 +12,A .若函数的最小正周期为π，则ω=2，即f x =22sin 2x +π4 +12，当x =3π8时，2×3π8+π4=π，此时f x =12，所以函数关于3π8,12对称，故A 错误；B .若函数的图象关于直线x =π2对称，则ω⋅π2+π4=π2+k π，k ∈Z ，得ω=12+2k ，k ∈Z ，所以ω的可能为12，故B 正确；C . 当x ∈-2π5,π6 时，ωx +π4∈-2π5ω+π4,π6ω+π4 ，则-2π5ω+π4≥-π2π6ω+π4≤π2ω>0，解得：0<ω≤32，故C 正确；D .函数f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到g x =22sin ωx +π3 +π4 +12，函数g x 是偶函数，则当x =0时，ω⋅π3+π4=π2+k π,k ∈Z ，得ω=34+3k ，k ∈Z ，且ω>0，所以ω的最小值是34，故D 错误.故选：BC22.(2022春·江苏镇江·高一统考期末)tan75°=()A.2+3B.1+cos150°1-cos150°C.sin150°1+cos150°D.tan25°tan35°tan85°【答案】ACD【分析】根据两角和的正切公式及特殊角的三角函数值判断A ，由正切半角公式判断BC ，由tan 60°-α tan 60°+α tan α=tan3α，令α=25°即可判断出D .【详解】tan75°=tan (45°+30°)=tan45°+tan30°1-tan45°tan30°=1+331-33=2+3，故A 正确；由正切的半角公式知tan75°=1-cos150°1+cos150°，故B 错误；tan75°=sin75°cos75°=2sin75°cos75°2cos 275°=sin150°1+cos150°，故C 正确；∵tan 60°-α tan 60°+α tan α=tan3α，令α=25°，得tan75°=tan25°tan35°tan85°，可得D 正确.故选：ACD .23.(2022春·江苏苏州·高一校联考期末)计算下列各式的值，其结果为1的有()A.cos40°1+3tan10°B.121cos80°-3sin80° C.sin140°3-tan190°D.4sin18°⋅sin54°【答案】ACD【分析】由商数关系、诱导公式、和差角公式及倍角公式依次化简求值即可求解.【详解】对于A ，cos40°1+3tan10° =cos40°1+3sin10°cos10° =cos40°⋅cos10°+3sin10°cos10°=cos40°⋅2sin 30°+10° cos10°=2sin40°cos40°cos10°=sin80°cos10°=sin 90°-10° cos10°=cos10°cos10°=1，A 正确；对于B ，121cos80°-3sin80° =12⋅sin80°-3cos80°sin80°cos80°=2sin 80°-60° sin160°=2sin20°sin 180°-20°=2，B错误；对于C ，sin140°3-tan190° =sin140°3-sin190°cos190° =sin140°⋅3cos190°-sin190°cos190°sin 190°+90° cos190°=cos190°cos190°=1，C 正确；对于D ，4sin18°⋅sin54°=4sin 90°-72° ⋅sin 90°-36° =4cos72°⋅cos36°=4cos72°⋅cos36°⋅sin36°sin36°=2cos72°⋅sin72°sin36°=sin144°sin36°=sin 180°-36° sin36°=sin36°sin36°=1，D 正确.故选：ACD .24.(2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末)已知函数f (x )=|cos2x |+cos |x |，有下列四个结论，其中正确的结论为()A.f (x )在区间3π4,3π2上单调递增 B.π是f (x )的一个周期C.f (x )的值域为-22,2D.f (x )的图象关于y 轴对称【答案】CD【解析】代入特殊值检验，可得A 错误；求得f (x +π)的表达式，即可判断B 的正误；分段讨论，根据x 的范围，求得cos x 的范围，利用二次函数的性质，即可求得f (x )的值域，即可判断C 的正误；根据奇偶性的定义，即可判断f (x )的奇偶性，即可判断D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：因为x ∈3π4,3π2 ，所以2x ∈3π2,3π，f 5π4 =cos 5π2 +cos 5π4 =-22,f (π)=cos2π +cosπ=0，所以f 5π4 <f (π)，所以f (x )在区间3π4,3π2上不是单调递增函数，故A 错误；对于B ：f (x +π)=|cos2(x +π)|+cos |x +π|=cos2x +cos |x +π|≠cos2x +cos |x |，所以π不是f (x )的一个周期，故B 错误；对于C ：f (x +2π)=|cos2(x +2π)|+cos |x +2π|=cos2x +cos |x |=f (x )，所以f (x )的周期为2π，当x ∈0,π4 时，cos x ∈22,1，f (x )=|cos2x |+cos |x |=cos2x +cos x =2cos 2x -1+cos x ∈22,2；当x ∈π4,3π4 时，cos x ∈-22,22，f (x )=|cos2x |+cos |x |=-cos2x +cos x =1-2cos 2x +cos x ∈-22,98；当x ∈3π4,5π4 时，cos x ∈-1,-22 ，f (x )=|cos2x |+cos |x |=cos2x +cos x =2cos 2x -1+cos x ∈-22,0；当x ∈5π4,7π4 时，cos x ∈-22,22，f (x )=|cos2x |+cos |x |=-cos2x +cos x =1-2cos 2x +cos x ∈-22,98；当x ∈7π4,2π 时，cos x ∈22,1 ，f (x )=|cos2x |+cos |x |=cos2x +cos x =2cos 2x -1+cos x ∈综上：f (x )的值域为-22,2，故C 正确；对于D ：f (-x )=|cos (-2x )|+cos |(-x )|=|cos2x |+cos |x |=f (x )，所以f (x )为偶函数，即f (x )的图象关于y 轴对称，故D 正确，故选：CD【点睛】解题的关键是根据的f (x )解析式，结合函数的奇偶性、周期性求解，考查分类讨论，化简计算的能力，综合性较强，属中档题.25.(2022秋·江苏无锡·高一统考期末)已知函数f (x )=sin n x +cos n x n ∈N * ，则()A.当n =4时，f (x )的最小正周期是π2B.当n =6时，f (x )的值域是14,1C.当n =2k -1k ∈N * 时，f (x )为奇函数D.对∀n ∈N *,f (x )的图象关于直线x =π4对称【答案】ABD【分析】先把n 值代入函数f (x )的解析式，化简整理成正弦型三角函数，再去求最小正周期、值域；依据定义去判断奇偶性、对称轴即可解决.【详解】选项A ：当n =4时，f (x )=sin 4x +cos 4x =sin 2x +cos 2x 2-2sin 2x cos 2x =1-12sin 22x =14cos4x +34最小正周期是π2.判断正确；选项B ：当n =6时，f (x )=sin 6x +cos 6x =sin 2x +cos 2x sin 4x -sin 2x cos 2x +cos 4x =sin 2x +cos 2x 2-3sin 2x cos 2x =1-34×1-cos4x 2=38cos4x +58f (x )的值域是14,1.判断正确；选项C ：当n =2k -1时，f (x )=sin 2k -1x +cos 2k -1x 则f (-x )=sin 2k -1-x +cos 2k -1-x =-sin 2k -1x +cos 2k -1x 故f (-x )≠-f (x )，即f (x )不是奇函数. 判断错误；选项D ：f (x )=sin n x +cos n x n ∈N * f π2-x =sin n π2-x +cos n π2-x =cos n x +sin n x =f (x )则f (x )的图象关于直线x =π4对称. 判断正确.故选：ABD三、填空题26.(2022春·江苏南京·高一统考期末)tan15°=.【答案】2-3##-3+2【分析】利用正切的差角公式进行求解.【详解】tan15°=tan 45°-30° =tan45°-tan30°=1-33=3-3=12-63=2-327.(2022春·江苏镇江·高一统考期末)求值：sinπ8⋅cos π8=．【答案】24【分析】根据二倍角的正弦公式逆用，计算即可得答案.【详解】由题意得sin π8⋅cos π8=12sin 2×π8 =12sin π4=24.故答案为：2428.(2022春·江苏南通·高一统考期末)如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC 的斜边AB ，直角边BC 、AC ，点D 在以AC 为直径的半圆上．已知以直角边AC 、BC 为直径的两个半圆的面积之比为3，cos ∠DAB =45，则cos ∠DAC =．【答案】43+310【分析】由以直角边AC 、BC 为直径的两个半圆的面积之比为3，可得ACBC=3，进而可得∠BAC =π6，从而利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】解：因为以直角边AC 、BC 为直径的两个半圆的面积之比为3，所以ACBC=3，所以在直角三角形ABC 中∠BAC =π6，因为cos ∠DAB =45，所以sin ∠DAB =35，所以cos ∠DAC =cos ∠DAB -π6 =cos ∠DAB cos π6+sin ∠DAB sin π6=45×32+35×12=43+310，故答案为：43+310.29.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)tan75°的值为．【答案】2+3##3+2【分析】根据tan75°=tan 30°+45° ，结合两角和的正切公式求解即可【详解】tan75°=tan 30°+45° =tan30°+tan45°1-tan30°tan45°=1+331-33=3+13-1=3+1 23-1 3+1=2+330.(2022春·江苏常州·高一校联考期末)已知cos α+sin α-π6=0，则tan2α=．【答案】-3【分析】由两角差的正弦公式展开，由商数关系求得tan α，然后由二倍角的正切公式计算．【详解】cos α+sin α-π6 =cos α+sin αcos π6-cos αsin π6=12cos α+32sin α=0，tan α=-33，tan2α=2tan α1-tan 2α=2×-33 1--332=-3．故答案为：-3．31.(2022春·江苏连云港·高一统考期末)已知α是锐角，sin α=35，则cos α-π4的值是．【答案】7210##7102【分析】结合同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式求得正确答案.【详解】由于α是锐角，sin α=35，所以cos α=1-sin 2α=45，所以cos α-π4 =cos αcos π4+sin αsin π4=2235+45 =7210.故答案为：721032.(2022秋·江苏常州·高一校考期末)已知tan α、tan β是方程x 2-33x +4=0的两根，且α、β∈-π2,π2，则α+β的值等于.【答案】2π3【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合两角和的正切公式进行求解即可.【详解】已知tan α、tan β是方程x 2-33x +4=0的两根，所以有tan αtan β=4>0tan α+tan β=33>0⇒α、β∈0,π2⇒α+β∈0,π ，tan α+β =tan α+tan β1-tan αtan β=331-4=-3，因为α+β∈0,π ，所以α+β=2π3，故答案为：2π333.(2022春·江苏淮安·高一统考期末)已知cos α+π3 =13，且α∈0,π2 ，则sin 2α+π6的值为．【答案】79【分析】由诱导公式与二倍角公式求解即可π2ππ2π故答案为：7934.(2022春·江苏扬州·高一期末)在△ABC 中，AC =2BC =6，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN =2，若CM ⋅CN的最小值为3，则cos ∠ACB =．【答案】2-2109【分析】取线段MN 的中点P ，结合向量数量积求出边AB 上的高CO ，进而求出∠OCA ,∠OCB 的正余弦即可求解作答.【详解】取线段MN 的中点P ，连接CP ，过C 作CO ⊥AB 于O ，如图，PM =12MN =1，依题意，CM ⋅CN =CP +PM ⋅CP -PM =CP 2-PM 2=CP2-1，因CM ⋅CN 的最小值为3，则CP 的最小值为2，因此CO =2，在Rt △AOC 中，cos ∠OCA =CO CA=13，sin ∠OCA =223，在Rt △BOC 中，cos ∠OCB =CO CB =23，sin ∠OCB =53，所以cos ∠ACB =cos (∠OCA +∠OCB )=cos ∠OCA cos ∠OCB -sin ∠OCA sin ∠OCB =2-2109.故答案为：2-2109【点睛】关键点睛：涉及定长的线段两端点向量数量积，取线段的中点，借助向量数量积的计算公式求解是关键.35.(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)如图，正方形ABCD 的边长为10米，以点A 为顶点，引出放射角为π6的阴影部分的区域，其中∠EAB =x ，π12≤x ≤π4，记AE ，AF 的长度之和为f x ．则f x 的最大值为．【答案】106【分析】由题意结合三角恒等变换得到f (x )=203sin x +π3sin 2x +π6+12且π12≤x ≤π4，令t =sin x +π3∈6+24,1 ，进一步得到f (x )=g (t )=2032t -1，由函数单调性求最大值即可.而∠FAD=∠EAB+∠EAF∈π4,5π12，故∠DAF=π3-x∈π12,π4，所以AF=ADcosπ3-x=10cosπ3-x，综上，f(x)=101cos x+1cosπ3-x且π12≤x≤π4，所以f(x)=101cos x+2cos x+3sin x=10⋅3cos x+3sin xcos x(cos x+3sin x)=203sin x+π3sin2x+π6+12，令t=sin x+π3∈6+24,1，则t2=sin2x+π3=1-cos2x+2π32=1-cosπ2+2x+π62=1+sin2x+π62，所以sin2x+π6=2t2-1，故f(x)=g(t)=2032t-12t 在t∈6+24,1上递减，所以f(x)max=g(t)max=g6+24=2036+22-26+2=106，此时x=π12或x=π4.故答案为：106。