知识讲解-三角恒等变换-基础

三角恒等变换内容一、什么是三角恒等变换呀三角恒等变换就是对三角函数进行各种变形，让它们在形式上发生变化，但本质上还是相等的。

就像是给三角函数换了一身衣服，但还是同一个“人”哦。

这在数学里可太有用啦，就像搭积木一样，可以把复杂的三角函数表达式通过恒等变换变成我们容易处理的形式。

比如说，sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB，这就是一个很经典的三角恒等变换公式呢。

它可以帮助我们计算很多和三角函数有关的问题，像在物理里计算波的叠加之类的。

二、常见的三角恒等变换公式1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式对于正弦，sin(A ± B)=sinAcosB±cosAsinB。

咱可以想象成把两个角的正弦和余弦按照一定的规则组合起来。

就好比是两个人合作完成一件事，每个人都出一部分力，最后组合成一个结果。

余弦呢，cos(A ± B)=cosAcosB∓sinAsinB。

这个公式和正弦的有点像，但是符号有些不同，就像是双胞胎，长得很像但是有一些小区别。

正切的公式是tan(A ± B)=(tanA±tanB)/(1∓tanAtanB)。

这个公式相对来说就有点复杂啦，不过只要记住分子分母分别是什么就好啦。

2. 二倍角公式sin2A = 2sinAcosA。

这个可以理解为角加倍了，正弦的表达式就变成了这样。

就好像是一个任务原来是一个人用一种方式做，现在变成两个人合作的方式来做了。

cos2A = cos²A - sin²A = 2cos²A - 1 = 1 - 2sin²A。

这个公式有三种不同的形式呢，可以根据具体的题目情况来选择使用哪种形式更方便。

tan2A=(2tanA)/(1 - tan²A)。

这个和两角和的正切公式有点联系，也是要小心分子分母的内容哦。

三、怎么运用这些公式进行三角恒等变换呢1. 化简三角函数表达式当我们看到一个复杂的三角函数表达式时，首先要观察它里面有哪些角，是和差的形式还是倍角的形式。

三角恒等变换知识点总结详解三角恒等变换是指一些与三角函数相关的恒等式或等式组，通过这些等式可以将一个三角函数表达式转化为另一个三角函数表达式，或者简化一个复杂的三角函数表达式。

这些恒等变换在解决三角函数相关问题时非常有用。

下面是对一些常见的三角恒等变换进行总结和详解。

1.正弦函数的恒等变换：- 正弦函数的定义：对于任意实数x，sin(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。

- 正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，即正弦函数以2π为周期。

- 正弦函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，即正弦函数是奇函数。

2.余弦函数的恒等变换：- 余弦函数的定义：对于任意实数x，cos(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。

- 余弦函数的周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，即余弦函数以2π为周期。

- 余弦函数的奇偶性：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数是偶函数。

3.正切函数的恒等变换：- 正切函数的定义：对于任意实数x（除了例如π/2 + kπ，其中k 为整数），tan(x) = y，其中y为整个实数轴上的值。

- 正切函数的周期性：tan(x + π) = tan(x)，即正切函数以π为周期。

- 正切函数的奇偶性：tan(-x) = -tan(x)，即正切函数是奇函数。

4.三角函数的平方和差公式：- sin²(x) + cos²(x) = 1，即正弦函数的平方与余弦函数的平方和等于1- sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，即正弦函数的和的正弦等于两个正弦函数的乘积和。

- cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)，即余弦函数的和的余弦等于两个余弦函数的乘积差。

- sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)，即正弦函数的差的正弦等于两个正弦函数的乘积差。

三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结三角恒等变换是高考数学中的重要内容，涉及到三角函数的性质和等价关系。

在解决三角函数相关题目时，熟练掌握三角恒等变换可帮助我们简化计算和推导过程，提高解题效率。

本文将对三角恒等变换中的关键知识点进行总结。

一、基本恒等式1. 余弦、正弦和正切的平方和恒等式：$cos^2(x) + sin^2(x) = 1$$1 - tan^2(x) = sec^2(x)$$1 - cot^2(x) = csc^2(x)$这些恒等式是三角函数中最为基础的恒等式，也是其他恒等式的基础。

通过这些基本恒等式，我们可以推导出其他更复杂的恒等式。

2. 三角函数的互余关系：$sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$$tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{cot(x)}$$cot(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{tan(x)}$互余关系表明，角度x和其余角之间的三角函数之间存在特定的关系。

3. 三角函数的倒数关系：$sin(-x) = -sin(x)$$cos(-x) = cos(x)$$tan(-x) = -tan(x)$$cot(-x) = -cot(x)$三角函数的倒数关系表明，对于同一角度的正负，其正弦、余弦、正切和余切的值也是相反的。

二、和差恒等式和差恒等式是三角恒等变换中的重要内容，它们可用于将角度的和或差转化为其他三角函数表示，从而简化解题过程。

1. 正弦和差恒等式：$sin(x \pm y) = sin(x)cos(y) \pm cos(x)sin(y)$2. 余弦和差恒等式：$cos(x \pm y) = cos(x)cos(y) \mp sin(x)sin(y)$3. 正切和差恒等式：$tan(x \pm y) = \frac{tan(x) \pm tan(y)}{1 \mp tan(x)tan(y)}$这些和差恒等式在解决角度和为特定值时的三角函数计算中起到了重要的作用。

2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，

用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2

2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos

2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos

2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]

2

2

2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2

【解析】
（1）原式
=
（2）原式=
【总结升华】
（1）三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系．因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察．
（2）三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式： ， .
∵sin(α＋β)＝－ ，cos(α－β)＝ ，
∴cos(α＋β)＝－ ，sin(α－β)＝
∴sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝ ．
【总结升华】
（1）解题中应用了 式子的变换，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有 , 等.
（2）已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.
举一反三：
【变式1】化简：
（1） ；（2）
【答案】（1）4（3）
【解析】
（1）原式= ；
（2）原式=
= .
类型四：三角函数知识的综合应用
例7．（2015广东江门一模）已知函数 的最小正周期为π，x∈R，ω＞0是常数．
（1）求ω的值；
（2）若 ， ，求sin2θ．
【思路点拨】（1）由两角和的正弦公式化简解析式可得 ，由已知及周期公式即可求ω的值．
举一反三：
【变式1】（2015春甘肃高台县期末）化简 ．
【答案】－1
【解析】
．
例6.化简：
（1） ；(2）
【思路点拨】
（1）题中首先“化切为弦”，同时用好“ ”和“ ”的互余关系，注意逆用和角公式化简；

三角恒等变换讲解三角恒等变换是指在三角函数之间相互变换的一系列等式关系，常用于简化和证明三角函数的性质以及求解三角方程。

下面介绍一些常见的三角恒等变换：1. 基本恒等变换：-正弦与余弦的关系：sin²θ+ cos²θ= 1-正切与余切的关系：tanθ= sinθ/ cosθ，cotθ= cosθ/ sinθ-余割与正割的关系：cscθ= 1 / sinθ，secθ= 1 / cosθ2. 倍角恒等变换：-正弦的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ-余弦的倍角公式：cos(2θ) = cos²θ- sin²θ= 2cos²θ- 1 = 1 - 2sin²θ-正切的倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)3. 和差恒等变换：-正弦的和差公式：sin(A ±B) = sinAcosB ±cosAsinB-余弦的和差公式：cos(A ±B) = cosAcosB ∓sinAsinB-正切的和差公式：tan(A ±B) = (tanA ±tanB) / (1 ∓tanAtanB)4. 反函数恒等变换：-正弦的反函数：sin⁻¹(x) = θ，其中sinθ= x，-π/2 ≤θ≤π/2-余弦的反函数：cos⁻¹(x) = θ，其中cosθ= x，0 ≤θ≤π-正切的反函数：tan⁻¹(x) = θ，其中tanθ= x，-π/2 < θ< π/2注意，上述恒等变换只是一部分常见的例子，实际上还有许多其他的三角恒等变换。

在解题或证明过程中，根据需要，可以根据题目的要求和三角函数的关系，使用适当的三角恒等变换来简化计算或推导出所需的结果。

三角恒等变换知识点总结三角恒等变换是解决三角函数中相关问题的重要工具，它们可以帮助我们简化表达式、证明恒等式以及解决三角方程等。

在本文中，将总结三角恒等变换的一些基本知识点，包括正弦、余弦和正切的恒等变换。

1. 正弦和余弦的恒等变换：(1) 余弦的恒等变换：a. 基本恒等式：cos^2θ + sin^2θ = 1，该恒等式也被称为三角恒等式之母。

b. 余弦的平方差公式：cos(α - β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ，该公式可以用于简化两个余弦的差的表达式。

c. 余弦的和的公式：cos(α + β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ，该公式可以用于简化两个余弦的和的表达式。

d. 余弦的倍角公式：cos2θ = 2cos^2θ - 1或cos2θ = 1 - 2sin^2θ，该公式可以用于简化余弦的倍角表达式。

(2) 正弦的恒等变换：a. 正弦的平方差公式：sin(α - β) = sinα·cosβ - cosα·sinβ，该公式可以用于简化两个正弦的差的表达式。

b. 正弦的和的公式：sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ，该公式可以用于简化两个正弦的和的表达式。

c. 正弦的倍角公式：sin2θ = 2sinθ·cosθ，该公式可以用于简化正弦的倍角表达式。

2. 正切的恒等变换：正切的恒等变换是基于正弦和余弦的恒等变换推导而来的：a. 正切的平方差公式：tan(α - β) = (tanα - tanβ)/(1 + tanα·tanβ)，该公式可以简化两个正切的差的表达式。

b. 正切的和的公式：tan(α + β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanα·tanβ)，该公式可以简化两个正切的和的表达式。

c. 正切的倍角公式：tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan^2θ)，该公式可以简化正切的倍角表达式。

感谢您的观看
THANKS
详细描述
在三角恒等变换中，角度的取值范围对计算结果有着重 要的影响。如果角度的取值超出了特定范围，如90度 到270度或0度到180度，那么就需要使用不同的公式 或定理进行计算。忽视这一点，就会导致错误的结果。
不能灵活运用三角恒等变换的技巧
总结词
不能灵活运用三角恒等变换的技巧是学习中的一大难点。
详细描述
05
三角恒等变换的易错点分 析
忽视公式条件的使用范围
总结词
不重视公式条件的使用范围是三角恒等变换中的常见 错误。
详细描述
三角恒等变换的公式和定理都有一定的使用范围和条 件，如角度的范围、函数的种类等。如果忽视这些条 件，随意使用公式，会导致错误的结果。
忽视角度的范围对结果的影响
总结词
忽视角度的范围对三角恒等变换的结果有重要影响。
三角恒等变换的基本思路
通过引入已知的三角函数式，利用已知的三角恒等式将它们 联系起来，从而找到需要解决的表达式与已知表达式之间的 联系。
三角恒等变换的性质
三角恒等变换的性 质
三角恒等变换的性质主要包括奇 偶性、周期性、对称性以及三角 函数的和差倍角公式等。
奇偶性
对于一个函数f(x)，如果f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数 ；如果f(-x)=-f(x)，那么f(x)就 叫做奇函数。
常数变易的技巧
总结词
灵活运用，随机应变
详细描述
常数变易是通过将常数项变为变量，从而 改变等式中变量的系数，以达到简化计算 的目的。在三角恒等变换中，常数变易是 一种非常重要的技巧，可以广泛应用于各 种不同类型的等式中。
04
三角恒等变换的常见题型
求值题

三角恒等变换三角恒等变换是指一系列等效的三角函数表达式之间的变换关系。

这些变换关系对于解决三角函数的各种问题非常有用。

本文将介绍三角恒等变换的基本概念、常见的恒等变换公式以及应用案例。

一、三角恒等变换的基本概念三角恒等变换是指将一个三角函数的表达式通过等效变换转化为另一个等价的表达式的过程。

三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。

恒等变换意味着两个表达式在任何实数取值范围内都成立，即两个表达式所代表的函数图像完全一致。

二、常见的三角恒等变换公式1. 余弦函数的恒等变换：- 余弦函数的平方与正弦函数平方的关系：cos^2θ + sin^2θ = 1。

- 余弦函数的两倍角公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ。

- 余弦函数的和差公式：cos(α ± β) = cosαcosβ - sinαsinβ。

2. 正弦函数的恒等变换：- 正弦函数的平方与余弦函数平方的关系：sin^2θ + cos^2θ = 1。

- 正弦函数的两倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ。

- 正弦函数的和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ。

3. 正切函数的恒等变换：- 正切函数的平方与余切函数平方的关系：tan^2θ + 1 = sec^2θ。

- 正切函数的两倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)。

- 正切函数的和差公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)。

4. 余切函数的恒等变换：- 余切函数的平方与正切函数平方的关系：cot^2θ + 1 = cosec^2θ。

- 余切函数的两倍角公式：c ot(2θ) = (cot^2θ - 1) / 2cotθ。

- 余切函数的和差公式：cot(α ± β) = (cotαcotβ ± 1) / (cotβ ± cotα)。

交流电路
在交流电路中，三角函数用于描 述电压、电流等物理量的周期性
变化。
三角函数在工程学中应用
建筑设计
01
三角函数用于计算建筑物的角度、高度和距离等参数，以确保
设计的准确性和稳定性。
航空航天
02
在航空航天领域，三角函数用于描述飞行器的轨迹、速度和姿
态等运动特性。
测绘学
03
在测绘学中，三角函数用于进行地图投影、坐标转换和距离测
三角恒等变形图文
目 录
• 三角恒等式基本概念 • 三角恒等变形方法 • 图形化理解三角恒等变形 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01 三角恒等式基本概念
定义与性质
三角恒等式是指在三角函数中，无论角度如何变化，等式两边始终保持相等的数学 表达式。
三角恒等式具有普遍性、必然性和稳定性，是三角函数的重要基础。
03 图形化理解三角恒等变形
单位圆与三角函数关系
1 2
单位圆定义
平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为1的 圆。
三角函数与单位圆关系
正弦、余弦、正切等三角函数值可通过单位圆上 点的坐标来表示。
3
诱导公式推导
利用单位圆对称性，可推导出三角函数的诱导公 式。
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变三角函数前的系数，可实现 图像在y轴方向上的拉伸或压缩。
三角恒等式的变形包括和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等，这些变形在 三角函数的计算、化简和证明中具有重要作用。
常见三角恒等式
基本三角恒等式
sin^2(x) + cos^2(x) = 1， tan(x) = sin(x)/cos(x)等。

三角恒等变换一．两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.两角和的余弦公式的推导设角度α和β为任意角，如图在平面直角坐标系xoy 中，作α=∠AOB ，β=∠BOC ,则βα+=∠AOC ．作单位圆，设角α和β分别与单位圆交于B 和C 两点，由三角函数定义可知：))sin(),(cos(,))sin(),(cos(,)sin ,(cos ,)0,1(βββαβααα--++D C B A ，由已知条件得：BOD AOC ∠=∠，∴弧DAB =弧ABC ，∴AC DB =， 因为[][][])(sin 1)cos()sin(sin )cos(cos 2222βαβαβαβα++-+=--+--， 所以[][][])(sin 1)cos()sin(sin )cos(cos 2222βαβαβαβα++-+=--+--，展开并整理得：)cos(22)sin sin cos (cos 22βαβαβα+-=--，化简后得：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+，此公式称为两角和的余弦公式，记作)(βα+C ．2.两角差的余弦公式的推导将公式中的β用β-替换后得：)sin(sin )cos(cos )cos(βαβαβα---=-，根据诱导公式化简后得：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，此公式称为两角差的余弦公式，记作)(βα-C ．3.两角和的正弦公式的推导由诱导公式（四）得：sin(α+β)=cos ［2π－(α+β)］=cos ［(2π－α)－β］，由两角差的余弦公式得：sin(α+β)=cos(2π－α)cos β+sin(2π－α)sin β=sin αcos β+cos αsin β，此公式称为两角和的正弦公式，记作)(βα+S .4.两角差的正弦公式的推导sin(α－β)=sin ［α+(－β)］=sin αcos(－β)+cos αsin(－β)=sin αcos β－cos αsin β，此公式称为两角差的正弦公式，记作)(βα-S .5.两角和的正切公式的推导tan(α+β)=βαβαβαβββsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++a a （cos(α+β)≠0），如果cos αcos β≠0，即cos α≠0且cos β≠0时，分子、分母同除以cos αcos β得：tan(α+β)=)tan(tan 1tan tan βαβα--+，此公式称为两角和的正切公式，记作)(βα+T .6.两角差的正切公式的推导由角的任意性可将上式β用－β替换：tan(α－β)=βαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan +-=---+，此公式称为两角差的正切公式，记作)(βα-T .7. 角的代换将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用于公式，像这样的代换方法就是角的代换. 常见的配角技巧：（1）22αα⋅=；（2）ββαα-+=)(；（3）)(αββα--=； （4）()()[]βαβαα-++=21；（5）()()[]βαβαβ--+=21．二．辅助角公式及其应用函数ααcos sin )(b a x f +=可化为)sin(cos sin )(22ϕααα++=+=b a b a x f 其中22cos b a a+=ϕ，22sin b a b +=ϕ，ab =ϕtan ，此公式称为辅助角公式，通过辅助角公式可以将函数ααcos sin )(b a x f +=化为标准型)sin()(ϕω+=x A x f 的形式．三．二倍角公式及其推导1.正弦二倍角公式推导∵βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+，由角的任意性可将上式中的β用α替换：ααααααααc o s s i n 2s i n c o s c o s s i n )s i n (=+=+，化简得：αααcos sin 22sin =，此公式称为正弦的二倍角公式，记作α2S .2.余弦二倍角公式的推导∵βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+，由角的任意性可将上式中的β用α替换：αααααααα22sin cos sin sin cos cos )cos(-=-=+,又∵αα22sin 1cos -=，αα22cos 1sin -=，∴1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=ααααα，此公式称为余弦的二倍角公式，记作α2C .3.正切二倍角公式的推导 ∵βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+，由角的任意性可将上式中的β用α替换： αααααααα2tan 1tan 2tan tan 1tan tan )tan(-=-+=+，此公式称为正切的二倍角公式，记作α2T .四．半角公式及其推导1.正弦半角公式 由二倍角公式2sin 21cos 2αα-=得2cos 12sin αα-±=．2.余弦半角公式 由二倍角公式12cos2cos 2-=αα得2cos 12cos αα+±=． 3.正切半角公式 由正弦半角公式和余弦半角公式得αααααcos 1cos 12cos 2sin 2tan +-±==， ∴ααααααααααcos 1sin )cos 1()cos 1)(cos 1(cos 1cos 12cos 2sin 2tan 2+=++-±=+-±==， ∴ααααααααααsin cos 1)cos 1)(cos 1()cos 1(cos 1cos 12cos 2sin 2tan 2-=-+-±=+-±==． 综上：αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=． 半角公式说明：（1）2sin α和2cos α中的角α是任意角，2tan α中的角要求Z k k ∈+≠,)12(πα．要注意半角是相对的，不能认为2α才是半角，比如α2是α4的半角，α23是α3的半角等． （2）半角公式的结构特点：上述半角公式中由于含有根式，因此也成为半角公式无理式．其特点是用αcos 表示2sin α、2cos α和2tan α．可以将半角公式看作倍角公式的变形．（3）正负号的选取：它取决于2sinα、2cos α和2tan α的正负，而不是取决于αcos 的正负，取正负号的关键是判断出角2α终边所在的象限，从而确定2sin α、2cos α和2tan α的符号，当角α的范围不明确时，需要在根号前保留正负号．五．降幂升角公式及其推导1.升角公式由αααcos sin 22sin =得ααα2sin cos sin 2=．2.降幂升角公式由1cos 22cos 2-=αα得212cos cos 2+=αα； 由αα2sin 212cos -=得22cos 1sin 2αα-=．六．和差化积公式与积化和差公式（非重点，了解即可） 1.和差化积公式（1）2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+；（2）2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-；（3）2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+；（4）2sin 2sin2cos cos βαβαβα-+-=-． 2.积化和差公式（1）[])sin()(sin 21cos sin βαβαβα-++=； （2）[])sin()(sin 21s cos βαβαβα--+=in ； （3）[])cos()(cos 21cos cos βαβαβα-++=； （4）[])cos()(cos 21sin sin βαβαβα--+-=．。

三角函数 三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2α所在的象限。

来判断3α所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。

注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(π∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。

三角恒等变换专题一、知识点总结1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 3、⇒（后两个不用判断符号，更加好用）4、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。

()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A． 5．（1）积化和差公式 sin α·cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)] cos α·sin β=21[sin(α+β)-sin(α-β)] cos α·cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)] sin α·sin β= -21[cos(α+β)-cos(α-β)] （2）和差化积公式sin α+sin β= 2cos 2sin 2βαβα-+ sin α-sin β=2sin 2cos 2βαβα-+ααααααα半角公式cos 1cos 12tan 2cos 12sin ;2cos 12cos :+-±=-±=+±=2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :222αααααα万能公式+-=+=cos α+cos β=2cos 2cos 2βαβα-+ cos α-cos β= -2sin 2sin 2βαβα-+ tan α+ cot α=ααα2sin 2cos sin 1=⋅ tan α- cot α= -2cot2α 1+cos α=2cos22α 1-cos α=2sin 22α 1±sin α=(2cos 2sin αα±)2 6。

高中数学三角恒等变换知识点归纳总结1. 基本定义三角恒等变换是指在三角函数运算中，通过等式的变换，得到具有相同意义但表达形式不同的等价关系。

2. 基本恒等式- 正弦函数的基本恒等式：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$- 余弦函数的基本恒等式：$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$- 正切函数的基本恒等式：$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$3. 和差恒等式- 正弦函数的和差恒等式：$\sin(\alpha \pm \beta) =\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$- 余弦函数的和差恒等式：$\cos(\alpha \pm \beta) =\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$- 正切函数的和差恒等式：$\tan(\alpha \pm \beta) =\dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$4. 二倍角恒等式- 正弦函数的二倍角恒等式：$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ - 余弦函数的二倍角恒等式：$\cos2\theta = \cos^2\theta -\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$- 正切函数的二倍角恒等式：$\tan2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$5. 三倍角恒等式- 正弦函数的三倍角恒等式：$\sin3\theta = 3\sin\theta -4\sin^3\theta$- 余弦函数的三倍角恒等式：$\cos3\theta = 4\cos^3\theta -3\cos\theta$- 正切函数的三倍角恒等式：$\tan3\theta = \dfrac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}$6. 半角恒等式- 正弦函数的半角恒等式：$\sin\dfrac{\theta}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \cos\theta}{2}}$- 余弦函数的半角恒等式：$\cos\dfrac{\theta}{2} =\sqrt{\dfrac{1 + \cos\theta}{2}}$- 正切函数的半角恒等式：$\tan\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1 -\cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$7. 和角恒等式- 正弦函数的和角恒等式：$\sin(\alpha + \beta) =\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$- 余弦函数的和角恒等式：$\cos(\alpha + \beta) =\cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\beta$以上是高中数学中常用的三角恒等变换知识点的归纳总结。

5.5.2简单的三角恒等变换（基础知识+基本题型）知识点一 半角公式 1.半角公式sin2α=；cos2α=tan2a =. 2.半角公式的推导(1)2cos212sin αα=-2αααα−−−−→代替2代替2cos 12sin sin22ααα=-→=； (2)222cos 22cos 1αααααα=-−−−−→代替代替2cos 2cos 1cos22ααα=-→=(3)sin2tan2cos 2ααα==【拓展】半角公式根号前符号的确定(1)当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符号(2)当给出角α的范围(即某一区间)时，可先求2的范围，再根据2的范围来确定各函数值的符号. (3)若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号. 3.半角公式的变形(1)sin sin2cos222tan2cos cos 2cos222ααααααα⋅==⋅2sin sin 1cos 2cos 2αααα==+；(2)sin 2sin sin 222tan2cos 2sincos222ααααααα⋅==⋅22sin 1cos 2sin sin αααα-==. 所以sin 1cos tan21cos sin ααααα-==+. 【提示】(1)重视得到结果的过程，从思考α与2α之间的关系入手，理解角的倍、半的相对性，思考cos α与2sin 2α之间的关系.(2)使用公式时要深刻体会α与2α的含义，如2α与α，αβ+与2αβ+等都可看成倍半关系.知识点二 积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.2.积化和差公式的推导由sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+， sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-，得 1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-，① 1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.②由cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-. cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，得 1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-，③1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--.④上面的①②③④四个式子统称为积化和差公式. 3.和差化积公式 sin sin 2sincos 22αβαβαβ+-+=； sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=； cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=； cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-.4.和差化积公式的推导在积化和差公式中，设,αβθαβϕ+=-=，则有2θϕα+=，2θϕβ-=，把,αβ代入①②③④，就得到sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=； ⑤ sin sin 2cossin22θϕθϕθϕ+--=； ⑥ cos cos 2coscos22θϕθϕθϕ+-+=； ⑦ cos cos 2sinsin22θϕθϕθϕ+--=-.⑧上面的⑤⑥⑦⑧四个式子统称为和差化积公式. 注意公式推导过程中换元思想与方程思想的应用. 【提示】(1)积化和差公式的记忆口诀前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差. (2)和差化积公式的记忆口诀 正加正，正在前；余加余，余并肩. 正减正，余在前；余减余，负正弦.考点一 半角公式的应用【例1】 已知角α为钝角,β为锐角,且4sin 5α=,12sin 13β=,求cos 2αβ-与tan 2αβ-的值.解:因为角α为钝角,β为锐角,且4sin 5α=,12sin 13β=,所以3cos 5α=-,5cos 13β=. 所以()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+35412513513⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪⎝⎭3365=. 又因为2παπ<<,且02πβ<<,所以0αβπ<-<,即022αβπ-<<.所以cos2αβ-===. 方法1:由022αβπ-<<,得sin2αβ-==. 所以tan2αβ-sin2cos2αβαβ-=-47=. 方法2：由330,cos()65αβπαβ<-<-=，得 56sin()65αβ-==. 所以56sin()465tan .3321cos()7165αβαβαβ--===+-+对于含有半角的求值问题,一定要判断角的取值范围,以免产生增根. 考点二 积化和差与和差化积公式的应用【例2】 在ABC 中,A C >,且60B =,能否利用44log sin log sin 1A C +=-求出A 和C 的大小?若能,请求出;若不能,请说明理由.解:在ABC 中,因为60B =,所以120A C +=. 因为44log sin log sin 1A C +=-,所以1sin sin 4A C =. 因为()()1sin sin cos cos 2A C A C A C =--+⎡⎤⎣⎦, 所以()()11cos cos 24A C A C --+=⎡⎤⎣⎦. 所以()()11cos cos cos120022A C A C -=++=+=. 又因为0180A C <-<,所以90A C -=.由①②,得105,15A C ==. 考点三 三角恒等式的证明【例3】 在ABC 中,求证:222sin sin sin 2sin sin cos A B C A B C +-=. 证明:因为左边()21cos 21cos 2sin 22B CB C --=++-① ()()21sin cos 2cos 22B C C B =++- ()()()2sinsin sin B C B C B C =+++- ②()()()sin sin sin B C B C B C =+++-⎡⎤⎣⎦ ()sin 2sin cos B C B C =+• ③ 2sin sin cos A B C ==右边 所以原命题成立.证明三角恒等式的基本思路:根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，当分式不好证时，可变形为整式来证。

三角恒等变换一、 三角基础知识1． 定义α终边过点),(y x P ,22y x OP r +==,则,sin r y =α,cos r x =α,tan x y =α ,csc y r =α,sec x r =α.cot yx =α其中αsec 称为角α的正割，αcsc 称为角α的余割.2． 同角三角函数的基本关系式(1) 平方关系：1cos sin 22=+αααα22sec 1tan =+ αα22csc 1cot =+(2) 商数关系：ααααααsin cos cot ,cos sin tan == (3) 倒数关系：1cot tan =∙αα1csc sin =⋅αα 1sec cos =⋅αα3． 诱导公式4． 三角函数恒等变形公式 （1） 两角和与差公式()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()βαβαβαsin sin cos cos cos =±()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±（2） 二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ααα2tan 1tan 22tan -=（3） 三倍角公式ααα3sin 4sin 33sin -= αααcos 3cos 43cos 3-=（4） 半角公式2cos 12sinαα-±= 2cos 12cos αα+±= αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±= （5） 万能公式2tan 12tan2sin 2ααα+=，2tan 12tan 1cos 22ααα+-=，2tan 12tan2tan 2ααα-=（6） 积化和差()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ， ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos ，()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos ，()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin（7） 和差化积2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+，2sin 2cos 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-，2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+，2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-，二、 例题讲解例1．（2004北京高考）在ABC ∆中，,3,2,22cos sin ===+AB AC A A 求A tan 的值和ABC ∆的面积.[解法一] 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 22cos sin 22A A A A 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=462cos 462sin A A ，故 32tan --=A 。

三角恒等变换知识点三角恒等变换是指一些与三角函数相关的等式，通过它们可以将一个三角函数表达式转化为另一个等价的三角函数表达式。

它们在解三角方程、简化三角函数表达式以及证明数学恒等式等方面具有重要的作用。

下面将介绍一些常用的三角恒等变换及其相关知识点。

1.余弦和差公式余弦和差公式是将两个角的余弦之间的关系进行表示的公式：cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B利用这个公式，可以将两个角的和（或差）的余弦值表达为这两个角的余弦值以及正弦值之间的关系。

2.正弦和差公式正弦和差公式是将两个角的正弦之间的关系进行表示的公式：sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B利用这个公式，可以将两个角的和（或差）的正弦值表达为这两个角的正弦值以及余弦值之间的关系。

3.二倍角公式二倍角公式是将一个角的两倍表达为这个角的余弦值或正弦值之间的关系：cos(2A) = cos^2 A – sin^2 Asin(2A) = 2 sin A cos A利用这个公式，可以将一些角的两倍的余弦值或正弦值表示为这个角的余弦值或正弦值的函数。

4.半角公式半角公式是将一个角的一半表达为这个角的余弦值或正弦值之间的关系：cos(A/2) = ±√[(1 + cos A)/2]sin(A/2) = ±√[(1 – cos A)/2]利用这个公式，可以将一些角的一半的余弦值或正弦值表示为这个角的余弦值或正弦值的函数。

5.和差化积公式和差化积公式是将两个三角函数的和（或差）表示为一个三角函数乘以另一个三角函数的表达式：sin A + sin B = 2 sin[(A + B)/2] cos[(A – B)/2]sin A – sin B = 2 cos[(A + B)/2] sin[(A – B)/2]cos A + cos B = 2 cos[(A + B)/2] cos[(A – B)/2]cos A – cos B = -2 sin[(A + B)/2] sin[(A – B)/2]利用这个公式，可以将两个三角函数的和（或差）表示为一个三角函数的乘积。