2015-2016学年黑龙江省大庆中学高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版) (2)

大庆中学2015—2016学年上学期期末高三数学（理科）试题考试时间：120分钟 分数：150分一、 选择题（共12个小题，均为单选题，每小题5分，共60分）1．已知{}}222,1,2xM y y x N x y ⎧⎪===+=⎨⎪⎩则M N ⋂=( )A ．{(1,1),(1,1)}-B ．{1} C． D ． [0,1]2．i 为虚数单位，则201411i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭( ) A. i B. 1- C. i - D.13．等差数列{}n a 中，已知121-=a ，013=S ，使得0>n a 的最小正整数n 为( ) A ．10B ．9C ．8D ．74．已知2)tan(-=-απ,则=+αα2cos 2cos 1( ) A ．3-B ．52 C ．3 D ．25-5．若x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥+-0402201y x y x y x ,则y x 2+的最大值为( )A ．132B ．6C ．11D ．106．已知直线n m ,和平面α，则n m //的必要非充分条件是( ) A ．n m ,与α成等角 B ．αα⊥⊥n m , C ．αα⊂n m ,// D ．αα//,//n m7.下列四个判断：①若两班级的人数分别是,m n ，数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②命题p ：01,2>-∈∀x R x ，则命题p 的否定是01,2≤-∈∃x R x ;③p ：),(2R b a ab b a ∈≥+q ：不等式x x >的解集是(－∞，0), 则‘p ∧q ’为假命题; ④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=.其中正确判断的个数有： ( )A ．3个B ．0个C ．2 个D ．1个 8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )C ．D ．﹣ 1A ．2B ．1C ．21D ．1-9．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A ．312+B ．328+C ．344+D ．1610．已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上,2,1,32===AC AB SA ,OBAC 60=∠, ⊥SA 面ABC,则球O 的表面积为( ) A ．4π B ．12π C ．16πD ．64π11．过原点的直线l 与双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右两支分别相交于A ，B两点，)0,3(-F 是此双曲线的左焦点，若4||||=+FB FA ，0=∙则此双曲线的方程是（ ）A ．1222=-y x B ．13422=-y x C ．1422=-y x D ．14822=-y x 12．设函数222)2(ln )()(a x a x x f -+-=,其中0>x ,存在0x 使得54)(0≤x f 成立, 则实数a 的值是( )A ．51B ． 52C ．21 D ．1二、 填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知向量)3,(),1,0(),1,3(k c b a =-==→→→,→→-b a 2与→c 共线，则k =__________．14. 已知⎰=62xdx a ,则axx )1-（的二项展开式中常数项为 . 15. 已知数列{}n a 中, 11=a ,231+=+n n a a ,则=n a ．16. 已知过定点)0,2(的直线l 与曲线22x y -=交于B A ,两点, O 为坐标原点,则AOB ∆面积最大时,直线的倾斜角是 .三、解答题（本大题共6道题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知ABC ∆是圆O (O 是坐标原点)的内接三角形,其中)23,21(),0,1(--B A , 角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,(1)若点)22,22(-C ,求COB ∠cos ; (2)若点C 在优弧AB 上运动,求b a +的最大值.18．如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,平面⊥BC A 1侧面11ABB A ,且21==AB AA .(1)求证: BC AB ⊥;(2)若直线AC 与平面BC A 1所成的角为6π,求锐二面角B C A A --1的大小.19．前不久，省社科院发布了2015年度“全省城市居民幸福排行榜”，我市成为本年度最“幸福城”．随后，我校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）： （Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．20. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，过顶点)1,0(A 的直线L 与椭圆C相交于两点B A , （1）求椭圆C 的方程；（2）若点M 在椭圆上且满足OB OA OM 2321+=，求直线L 的斜率k 的值.21． 已知函数21()e 1x f x ax +=-+，a ∈R ．（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点， 且不与△ABC 的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的 长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0 的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线221:1C x y +=，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin )6l cos ρθθ-=.（1）将曲线1C 上的所有点的横坐标、、2倍后得到曲线2C .试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值.24．（本小题满分10分）选修4—5，不等式选讲 已知函数()|1||f x x x a =-+- （1）若a=1，解不等式()2f x ≥；（2）若1,,()|1|2a x R f x x >∀∈+-≥，求实数a 的取值范围。

2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高二（上）开学数学试卷（理科）一．选择题（共12小题，每题5分）1．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2．（5分）过点A（1，﹣1）、B（﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2＝0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝4B．（x+3）2+（y﹣1）2＝4C．（x+1）2+（y+1）2＝4D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝43．（5分）在△ABC中，a2＝b2+c2+bc，则∠A等于（）A．60°B．45°C．120°D．150°4．（5分）设公比为q（q＞0）的等比数列{a n}的前n项和S n．若S2＝3a2+2，S4＝3a4+2，则q＝（）A．B．C．2D．35．（5分）在△ABC中，若＝，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝（）时，{a n}的前n 项和最大．A．8B．9C．10D．117．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．6B．8C．10D．128．（5分）已知点A（﹣3，﹣4），B（6，3）到直线l：ax+y+1＝0的距离相等，则实数a 的值等于（）A．B．﹣C．﹣或﹣D．或9．（5分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知点A是圆C：x2+y2+ax+4y+30＝0上任意一点，A关于直线x+2y﹣1＝0的对称点也在圆C上，则实数a的值（）A．10B．﹣10C．4D．﹣411．（5分）已知一个正四面体纸盒的棱长为，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（）A．1B．C．D．12．（5分）数列{a n}满足a n+1＝，若a1＝，则a2015＝（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题，每题5分）13．（5分）已知正数x，y满足x+2y＝2，则的最小值为．14．（5分）圆x2+y2＝1和圆（x+4）2+（y﹣a）2＝25外切，则常数a的值为．15．（5分）已知实数x，y满足，则|3x+4y﹣2|的取值范围是．16．（5分）如图，等腰梯形ABCD中，AB＝AD＝DC＝BC＝1，现将三角形ACD沿AC 向上折起，满足平面ABC⊥平面ACD，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为．三．解答题（17题10分，其它题12分，写出必要的文字说明）17．（10分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2（a2+b2﹣c2）＝3ab；（1）求；（2）若c＝2，求△ABC面积的最大值．18．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，P A⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点，AB＝AD＝1．（1）求证：EF∥平面P AD（2）若∠PDA＝，求直线AC与平面PCD所成角的正弦值．19．（12分）当a＜0时，解不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0．20．（12分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝（）2．（Ⅰ）证明数列{a n}为等差数列并求其通项公式；（Ⅱ）设c n＝，数列{c n}的前n项和为T n，证明：≤T n＜．21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，E，F分别是CC1，BC的中点．（Ⅰ）求证：B1F⊥平面AEF；（Ⅱ）求锐二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．22．（12分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝（n∈N*）．（1）求证：{+}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n＝（3n﹣1）••a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）*恒成立，求λ的取值范围．nλ＜Tn+对一切n∈N2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高二（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每题5分）1．【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、三角形可以确定一个平面，若三角形两边平行于一个平面，而它所在的平面与这个平面平行，故第三边平行于这个平面，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选：C．2．【解答】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y＝x，排除A，B选项；圆心在直线x+y﹣2＝0上验证D选项，不成立．故选：D．3．【解答】解：∵由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣2bc cos A又a2＝b2+c2+bc，∴cos A＝﹣又∵A是三角形的内角，∴A＝150°，故选：D．4．【解答】解：∵S2＝3a2+2，S4＝3a4+2，∴a1+a1q＝3a1q+2，＝，两式相减可得：2q2﹣q﹣3＝0，q＞0，解得q＝．故选：A．5．【解答】解：由正弦定理得：＝＝，∴sin A cos A＝sin B cos B，即sin2A＝sin2B，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A+2B＝180°，即A＝B或A+B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．6．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴a7+a8+a9＝3a8＞0，即a8＞0，又∵a7+a10＜0，∴a7+a10＝a8+a9＜0，∴a9＜0，∴当n＝8时，数列{a n}的前n项和最大，故选：A．7．【解答】解：由几何体的三视图知：该几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼接到右边而得到的，由俯视图得长方体的长、宽分别是0.6+2.4＝3和2，由正视图知长方体的高为1+1＝2，∴长方体的体积V＝3×2×2＝12．故选：D．8．【解答】解：由题意知点A和点B到直线l的距离相等得到＝，化简得6a+4＝﹣3a﹣3或6a+4＝3a+3解得a＝﹣或a＝﹣．故选：C．9．【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k P A，即k≥＝，或k≤＝﹣4，∴k≥，或k≤﹣4，即直线的斜率的取值范围是k≥或k≤﹣4．故选：A．10．【解答】解：点A是圆C：x2+y2+ax+4y+30＝0上任意一点，A关于直线x+2y﹣1＝0的对称点也在圆C上，说明直线经过圆的圆心，圆的圆心坐标（﹣，﹣2）代入直线方程x+2y﹣1＝0，得﹣﹣4﹣1＝0，所以a＝﹣10故选：B．11．【解答】解：设球的半径为：r，由正四面体的体积得：4××r××（）2＝××（）2×，所以r＝1，设正方体的最大棱长为a，∴3a2＝22，∴a＝．故选：B．12．【解答】解：由递推数列可得，a1＝，a2＝2a1﹣1＝2×﹣1＝，a3＝2a2＝2×＝，a4＝2a3＝2×＝，a5＝2a4﹣1＝2×﹣1＝，…∴a5＝a1，即a n+4＝a n，则数列{a n}是周期为4的周期数列，则a2015＝a503×4+3＝a3＝，故选：B．二．填空题（共4小题，每题5分）13．【解答】解：∵正数x，y满足x+2y＝2，∴＝＝＝9，当且仅当x＝4y＝时取等号．∴的最小值为9．故答案为：9．14．【解答】解：圆x2+y2＝1，圆心为O（0，0），半径r＝1．圆（x+4）2+（y﹣a）2＝25，圆心O′（﹣4，a），半径R＝5．∵两圆外切，∴|OO′|＝R+r．∴，解得．故答案为．15．【解答】解：由约束条件作出可行域，联立，解得C（﹣1，﹣1），又B（0，1）化目标函数z＝3x+4y﹣2，得，由图可知，当直线过B时，z有最大值为2；当直线过C时，z有最小值为﹣9．∴|3x+4y﹣2|的取值范围是[0，9]．故答案为：[0，9]．16．【解答】解：在等腰梯形ABCD中，∠D＝180°﹣∠B，∵AB＝AD＝DC＝BC＝1，故BC＝2，则AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠B＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos（180°﹣∠B），即5﹣4cos∠B＝2+2cos∠B，解得：cos∠B＝，故B＝60°，则AC＝，AB⊥AC，则将三角形ACD沿AC向上折起后，三棱锥D﹣ABC的外接球，即三棱锥B﹣ACD的外接球，相当于以△ACD为底面，以AB为高的棱柱的外接球；由△ACD的外接圆半径r＝1，球心到平面△ACD的距离d＝AB＝，故外接球的半径R满足：R2＝r2+d2＝，故外接球的表面积S＝4πR2＝5π，故答案为：5π．三．解答题（17题10分，其它题12分，写出必要的文字说明）17．【解答】解：（1）∵a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝，∵A+B＝π﹣C，∴＝＝＝；（2）∵a2+b2﹣c2＝ab，且c＝2，∴a2+b2﹣4＝ab，又a2+b2≥2ab，∴ab≥2ab﹣4，∴ab≤8，∵cos C＝，∴sin C＝＝＝，∴S△ABC＝ab sin C≤，当且仅当a＝b＝2时，△ABC面积取最大值，最大值为．18．【解答】（1）证明：取PD中点M，连结AM，FM，∵MF∥CD，MF＝CD，AE∥CD，AE＝CD，∴MF∥AE，MF＝AE，∴四边形AEFM为平行四边形所以AM∥EF，AM⊂平面P AD，∴EF∥平面P AD（2）解：连结AM，CM，由条件知AM⊥PD，CD⊥平面P AD，∴CD⊥AM，PD∩CD＝D所以AM⊥平面PCD，∴∠ACM就是直线AC与平面PCD所成的角经计算得AM＝，∴sin∠ACM＝．19．【解答】解：不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0可化为（ax﹣2）（x﹣2）＞0，∵a＜0，∴（x﹣）（x﹣2）＜0；又∵＜2，解不等式得＜x＜2；∴原不等式的解集为{x|＜x＜2}．20．【解答】（Ⅰ）证明：由，得，解得a1＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝，整理，得（a n﹣a n﹣1﹣2）（a n+a n﹣1）＝0，又数列{a n}为正项数列，∴a n﹣a n﹣1＝2，n≥2．∴{a n}是首项为1公差为2的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．（Ⅱ）c n＝＝＝（），∴T n＝＝＝．∵n∈N*，∴T n＝，T n﹣T n﹣1＝＝＞0，∴数列{T n}是一个递增数列，∴．综上所述：．21．【解答】（1）证明：由条件知AF⊥平面CCBB1，令AC＝1∴AF⊥B1F，经计算得，∴，即B1F⊥EF，又因为EF∩AF＝F，∴B1F⊥平面AEF；（2）过F作FM⊥AE，连结B1M，由已知得EA⊥MF，EA⊥B1F，∴EA⊥平面B1MF∴EA⊥B1M，∴∠B1MF就是二面角B1﹣AE﹣F的平面角经计算得，．22．【解答】解：（1）由数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝（n∈N*），可得＝1+．∴，∴{}是首项为，公比为3的等比数列，∴，化为．（2）由（1）可知：＝，T n＝+…+．…++，两式相减得﹣＝＝．∴．∴（﹣1）n•λ＜+＝4﹣．若n为偶数，则，∴λ＜3．若n为奇数，则，∴﹣λ＜2，解得λ＞﹣2．综上可得﹣2＜λ＜3．。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“若0,00ab a b ===则或”的逆否命题是（ ）A ．若0,00ab a b ≠≠≠则或B ．00,0a b ab ≠≠≠若或则C ．若0,00ab a b ≠≠≠则且D ．00,0a b ab ≠≠≠若且则【答案】D考点：四种命题2.命题01,:2>++∈∀ax ax R x p ，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,4 B ．[]0,4 C ． ),4[)0,(+∞⋃-∞ D ．()(),04,-∞⋃+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：由p ⌝是真命题，可得p 是假命题，当0a =时，10>，为真命题，舍去；当0a ≠时，只需24040a a a a =-≥∴≥≤或；综上，40a a ≥<或，故选C.考点：逻辑连接词3.下列各数中最大的数为（ ） A ．101111（2） B ．1210（3） C ．112（8） D ．69（12）【答案】D 【解析】试题分析：()012345210111112021212121261=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()0134312100313231348=⨯+⨯+⨯+⨯=，()012811228181874=⨯+⨯+⨯=()01126991261281=⨯+⨯=，故选D.考点：进位制4.如图所示的程序框图，若输出的S=31，则判断框内填入的条件是（ ） A ．4?i >B ．5?i >C ．4?i ≤D ．5?i ≤【答案】A考点：程序框图5.从某小学随机抽取200名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取36人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为( )．A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】B考点：（1）频率分布直方图（2）分层抽样6.袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（）A．“至少有一个黑球”和“没有黑球”B．“至少有一个白球”和“至少有一个红球”C．“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”D．“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”【答案】C【解析】试题分析：从3个黑球、2个白球、1个红球中任取2个球的取法有，2个黑球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白，则至少有一个白球和红球黑球各有一个是互斥而不对立的事件，故选C.考点：互斥事件与对立事件7.利用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据下图，读出的第3个数是（）A ．584B ．114C ．311D ．160【答案】C考点：简单随机抽样8.{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，p 在基底{},,a b c 下的坐标为(2,1,5)，则p 在基底{},,a b b c a c +++下的坐标为（ ）A ．(1,2,3)-B ．(1,2,3)-C ．(1,2,3)-D ．(3,2,1)-【答案】A 【解析】试题分析：由题意向量25p a b c =++，设向量p 在基底{},,a b b c a c +++下的坐标为{},,x y z()()()p x a b y b c z a c ∴=+++++，()()()25a b c x a b y b c z a c ∴++=+++++211253x z x x y y y z z +==-⎧⎧⎪⎪∴+=∴=⎨⎨⎪⎪+==⎩⎩，所以向量p 在基底{},,a b b c a c +++下的坐标为{}1,2,3-，故选A. 考点：空间向量基本定理9.假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（ ） A ．425 B ．259 C ．1625D ．2425【答案】C 【解析】试题分析：分别设两个互相独立的短信收到的事件为,x y ，则所有事件集可表示为05,05x y ≤≤≤≤，由题意得，如果手机受到干扰的事件发生，则必有2x y -≤。

2015～2016学年度上学期期末考试高二数学（理科）试题一、选择题：（每题5分，共12题，满分60分。

每题只有一个正确答案） 1、命题“00,30xx R ∃∈≤”的否定是（ ）A. 00,30xx R ∃∈≥ B.,30x x R ∀∈> C. 00,30xx R ∃∈> D. ,30x x R ∀∈≤ 2、设某中学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数(),i i x y ()1,2,3,,i n = ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为ˆ0.8585.71yx =-，给出下列结论，则错误的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgC ．回归直线至少经过样本数据(),i i x y ()1,2,3,,i n = 中的一个D ．回归直线一定过样本点的中心点(,)x y3、如图是2014年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为（ ）A ．84,，84B ．84，85C ．85，84D ．85, 854、要从已编号（1至360）的360件产品中随机抽取30件进行检验，用系统抽样的方法抽出样本，若在抽出的样本中有一个编号为105，则在抽出的样本中最大的编号为（ ） A ．355 B ．356 C ．357 D ．3585、已知一组数据12345,,,,x x x x x 的平均数是2x =，方差是13，那么另一组数据1234532,32,32,32,32x x x x x -----的平均数和方差分别是（ ）A ．12,3B ．2,1C ．14,3D ．4,36、通常在一个数字右下角加注角标()k 说明该数字是k 进制数．若()(2)211001k =，则()22222k 换算成10进制数为（ ）A.862B.682C.1024D.10237、已知真命题""a b c d ≥⇒>和""a b e f <⇔≤,则""c d ≤是""e f ≤的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要8、在30的展开式中，x 的幂指数是整数的共有（ ） A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项10、从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则()P B A =（ ）A ．18 B ．14 C ．25 D ．1211、某班在5男生4女生中选择4人参加演讲比赛，选中的4人中有男生有女生，且男生甲和女生乙最少选中一人，则不同的选择方法有（ ）种 A ．91 B 、90 C ．89 D 、8612、有10本不同的书紧贴着依次立放在书架上，摆成上层3本下层7本，现要从下层7本中任取2本再随机分别调整到上层，若其他书本的相对顺序不变，则上层新增的2本书不相邻的概率为（ ） A ．35 B ．310C ．12D ．25 二、填空题：（每题5分，共4题，计20分.）13、已知多项式函数5432()254367f x x x x x x =--+-+，当5x =时由秦九韶算法知012,2555,v v ==⨯-=则3v ＝ ．14、设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则178a a a +++= ．15、一个三角形的三边长分别是5，5，6,一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是 ．16、5个男生5个女生共10个同学排成一排，男生甲与男生乙之间有且只有2位女生，女生不能排在队伍的两端，则有 种排法. 三、解答题：（本大题共6个小题，满分70分。

大庆铁人中学高 二 学年 上 学期 期末 考试数学试题（理）试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。

2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。

第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。

） 1.( )2.已知命题下列命题为真命题的是( )3则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )B4()5( )A充要条件B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件6.A 甲B 乙C 丙D 丁7.( )8.则条件①为( )9.时的值( )10( )11）12）第Ⅱ卷解答题部分二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13. ______________；14.在随机数模拟试验中，若________ 。

15.采用系统抽样方法中抽做问卷调查，为此将他们随机编号为B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为__________；16.__________。

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. (本小题满分10分)(1)(2)18.(12分),θ为参数),(1)C的标准方程.(2),.19．(本小题满分12分)单位：万元)的数据：(1)(2)并据(1)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格(精确到0. 1万元)．，（1（2。

21.(本小题满分12分)观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2(众数保留整数)（3求他们在同一分数段的概率（成绩在同一组的为同一分数段）．22．（本题满分12分）（I（II为坐标原点）大庆铁人中学高 二 学年 上 学期 期 末考试数学试题答案（理）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。

） 1-6 DBBABD 7—12 CBDDCD二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13． 14.15. 11 16. 三、解答题17. (本小题满分10分)(1)(2)[解析] (1)由题意知，本题是一个古典概型，用(a ，b )表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件．依题意知，基本事件(a ，b )的总数共有36个，一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0有两正根，等价于⎩⎪⎨⎪⎧a －2>016－b 2>0Δ≥0即⎩⎪⎨⎪⎧a >2－4<b <4(a －2)2＋b 2≥16．………………………………….3 设“方程有两个正根”的事件为A ，则事件A 包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共4个，因此，所求的概率为P (A )＝436＝19． (5)(2)由题意知本题是几何概型，试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，其面积为S(Ω)＝16. 满足条件的事件为：B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2<16}，其面积为S(B)＝14×π×42＝4π， (8)因此，所求的概率为P(B)＝4π16＝π4． (10)18.(12分),θ为参数),(1)C的标准方程.(2),.【解题】(1)根据直线经过的点和倾斜角求直线的参数方程,消去参数得圆的普通方程.(2)将直线的参数方程代入圆的普通方程,利用参数的几何意义求值.【解析】(1)圆C:(x-1)2+(y-2)2=16, (3)为参数) (6)(2)将直线的参数方程代入圆的方程得:,设t1,t2是方程的两个根,则t1t2=-3,所以|PA||PB|=|t1||t2|=|t1t2|=3 (12)19．(本小题满分12分)单位：万元)的数据：(1)(2)并据(1)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格(精确到0. 1万元)．，解析] (1)x ＝15∑＝15x i ＝109， y ＝23. 2， (2)∑＝15(x i －x )2＝1570，∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝308． (4)则b ^＝∑＝15(x i －x )(y i －y )∑i ＝15(x i －x )2＝3081570≈0. 1962，……6 a ^＝y －b ^x ＝23. 2－0. 1962×109＝1. 8142．故所求回时直线方程为y ^＝0. 1962x ＋1. 8142. …………………………………8 (2)由(1)得： 当x ＝150时，销售价格的估计值为y ^＝0. 196×150＋1. 8142＝31. 2442≈31. 2(万元)．答: 当房屋面积为150 m 2时的销售价格估计为31. 2(万元)． (12)（1（2。

2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设复数z满足z﹣2i＝（4﹣3i）•i，则＝（）A．3+6i B．3﹣4i C．4+i D．3﹣6i2．（5分）设a，b是两个实数，给出下列条件：①a+b＞1；②a+b＝2；③a+b＞2；④a2+b2＞2；⑤ab＞1．其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是（）A．②③B．③C．①②③D．③④⑤3．（5分）由曲线y＝3，直线y＝x+2所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．4．（5分）设函数f（x）＝log4x﹣（）x，g（x）＝x﹣（）x的零点分别是x1，x2，则（）A．x1x2＝1B．0＜x1x2＜1C．1＜x1x2＜2D．x1x2＞25．（5分）设复数x＝（i是虚数单位），则x+x2+x3+ (x2016)（）A．0B．﹣2C．﹣1+i D．﹣1﹣i6．（5分）设整数m是从不等式x2﹣2x﹣8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m2，则ξ的数学期望E（ξ）＝（）A．1B．5C．D．7．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（mn）＝f（m）+f（n）（m，n＞0），且当x＞1时，f（x）＞0．①f（1）＝0；②f（）＝f（m）﹣f（n）；③若f（2）＝1，不等式f（x+2）﹣f（2x）＞2的解集为（0，）；④f（x）在（0，+∞）上单调递减；⑤f（）≥．以上说法正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（5分）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4＝0，曲线C的参数方程为（α为参数），设点Q是曲线C上的一个动点，则它到直线l的距离的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）余弦函数是偶函数，f（x）＝cos（x+2）是余弦函数，因此f（x）＝cos（x+2）是偶函数，以上推理（）A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确10．（5分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K2＝，算得K2＝≈7.8．附表：参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”11．（5分）2位女生和3位男生共5位同学站成一排，若女生甲不站两端，3位男生中有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是（）A．36B．42C．48D．6012．（5分）已知函数f（x）＝aln（x+1）﹣x2在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p ≠q ，不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[15，+∞）B．（﹣∞，15]C．（12，30]D．（﹣12，15]二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知a＝4cos（2x +）dx，则二项式（x2+）5的展开式中x4的系数为．14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆心为（）且过极点的圆的极坐标方程是．15．（5分）用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n＝k（k＞1）不等式成立，推证n＝k+1时，左边应增加的项数是．16．（5分）设集合A＝{（x，y）|（x+3）2+（y﹣4）2＝5}，B＝{（x，y）|（x+3）2+（y﹣4）2＝20}，C＝{（x，y）|2|x+3|+|y﹣4|＝λ}，若（A∪B）∩C≠∅，则实数λ的取值范围是．三、解答题（共6小题，共70分）17．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|P A|•|PB|＝1，求实数m的值．18．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程＝bx+a；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：b＝，a＝﹣b．）19．（12分）已知函数f（x）＝a2x2+ax﹣lnx．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）＝a2x2﹣f（x），且函数g（x）在点x＝1处的切线为l，直线l′∥l，且l′在y轴上的截距为1．求证：无论a取任何实数，函数g（x）的图象恒在直线l′的下方．20．（12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．21．（12分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣，g（x）＝2ln（x+1）+e﹣x．（I）x∈（﹣1，+∞）时，证明：f（x）＞0；（Ⅱ）a＞0，若g（x）≤ax+1，求a的取值范围．2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【解答】解：∵z﹣2i＝（4﹣3i）•i，∴z＝2i+4i﹣3i2＝3+6i，则．故选：D．2．【解答】解：因为a＝0.6，b＝0.7，则a+b＞1，所以①不正确．如果a＝b＝1则a+b＝2，不能得到a，b中至少有一个大于1．所以②不正确；如图中阴影部分，显然a，b中至少有一个大于1，③正确．如果a＝b＝﹣2，a2+b2＞2正确，但是a，b中至少有一个大于1，④不正确；如果a＝b＝﹣2，ab＞1正确，但是a，b中至少有一个大于1，⑤不正确；故只有③正确．故选：B．3．【解答】解：由曲线y＝3，直线y＝x+2可得交点坐标为（1，3），（4，6），∴由曲线y＝3，直线y＝x+2所围成的图形的面积为＝（2﹣x2﹣2x）＝．故选：C．4．【解答】解：由题意可得x1是函数y＝log4x的图象和y＝（）x的图象的交点的横坐标，x2是y＝的图象和函数y＝y＝（）x的图象的交点的横坐标，且x1，x2都是正实数，如图所示：故有x2＞log4x1，故log4x1﹣x2＜0，∴log4x1+log4x2＜0，∴log4（x1•x2）＜0，∴0＜x1•x2＜1，故选：B．5．【解答】解：复数x＝＝＝﹣1+i．则x+x2+x3+…+x2016＝（1+x）2016﹣＝i2016﹣1＝0．故选：A．6．【解答】解：由x2﹣2x﹣8≤0得﹣2≤x≤4，符合条件的整数解的集合S＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}∵ξ＝m2，故变量可取的值分别为0，1，4，9，16，相应的概率分别为，，，，∴ξ的数学期望Eξ＝0×+1×+4×+9×+16×＝5．故选：B．7．【解答】解：①令m＝n＝1，∴f（1）＝f（1）+f（1），∴f（1）＝0，故正确；②f（m）＝f（×n）＝f（）+f（n）∴f（）＝f（m）﹣f（n），故正确；③∵f（）＝f（m）﹣f（n），当m＞n时，f（m）﹣f（n）＝f（）＞0，故函数为增函数，若f（2）＝1，∴f（4）＝f（2）+f（2）＝2，∵f（x+2）﹣f（2x）＞2，∴x的范围为（0，），故正确；④由上面可知，f（x）在（0，+∞）上单调递增，故错误；⑤函数为增函数，∴f（）＝f（+）≥f（）＝f（）+f（）＝，故正确，故选：D．8．【解答】解：设Q，则点Q到直线l的距离d＝＝≥＝，当且仅当＝﹣1时取等号．∴点Q到直线l的距离的最小值为．故选：B．9．【解答】解：由f（x）＝cos（x+2）不是偶函数，因此小前提不正确，故选：C．10．【解答】解：由观测值K2＝≈7.8＞6.635．∴这个结论有0.01＝1%的机会说错，在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”，故选：C．11．【解答】解：从3名男生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22＝6种不同排法），剩下一名男生记作B，两名女生分别记作甲、乙；则女生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端．则为使A、B不相邻，只有把女生乙排在A、B之间，此时就不能满足女生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4＝48种不同排法．故选：C．12．【解答】解：∵的几何意义为：表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，∵实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内．不等式＞1恒成立，∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．由函数的定义域知，x＞﹣1，∴f′（x）＝＞1 在（1，2）内恒成立．即a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．由于二次函数y＝2x2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，故x＝2时，y＝2x2+3x+1在[1，2]上取最大值为15，∴a≥15∴a∈[15，+∞）．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：a＝4cos（2x+）dx＝2＝﹣2，则二项式（x2+）5即的展开式的通项公式：T r+1＝＝（﹣2）r x10﹣3r，令10﹣3r＝4，解得r＝2．∴展开式中x4的系数＝＝40．故答案为：40．14．【解答】解：∵在极坐标系中，圆心在（，π）且过极点的圆的直角坐标方程是：（x+）2+y2＝2，即x2+y2+2 x＝0，它的极坐标方程为：ρ＝﹣2cosθ．故答案为：ρ＝﹣2cosθ．15．【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n＝k，末项为到n＝k+1，末项为，∴应增加的项数为2k．故答案为2k．16．【解答】解：集合A＝{（x，y）|（x+3）2+（y﹣4）2＝5}表示以（﹣3，4）点为圆心半径为的圆，集合B＝{（x，y）|（x+3）2+（y﹣4）2＝}表示以（﹣3，4）点为圆心半径为的圆，集合C＝{（x，y）|2|x+3|+|y﹣4|＝λ}在λ＞0时，表示以（﹣3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形，如下图所示：若（A∪B）∩C≠∅，则菱形与A或B圆有交点，当λ＜时，菱形在小圆的内部，与两圆均无交点，不满足题意；当菱形与大圆相切时，圆心（﹣3，4）到菱形2|x+3|+|y﹣4|＝λ任一边的距离等于大于半径，当x＞﹣3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y+2﹣λ＝0，由d＝，得：λ＝10，故λ＞10时，两圆均在菱形内部，与菱形无交点，不满足题意．综上实数λ的取值范围是[，10]，故答案为：[10]．三、解答题（共6小题，共70分）17．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ＝2cosθ，化为ρ2＝2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2＝2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2＝2x化为：+m2﹣2m＝0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2＝m2﹣2m．∵|P A|•|PB|＝1＝|t1t2|，∴m2﹣2m＝±1，解得，1．又满足△＞0．∴实数m＝1，1．18．【解答】解：（1）由表中数据求得＝11，＝24，由b＝＝＝，a＝﹣b＝24﹣×11＝﹣y关于x的线性回归方程＝x﹣…（6分）（2）当x＝10时，＝，|﹣22|＝＜2；当x＝6时，＝，|﹣12|＝＜2．所以，该小组所得线性回归方程是理想的．…（12分）19．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝2a2x+a﹣＝，故当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0；故函数f（x）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+∞）；（Ⅱ）证明：g（x）＝a2x2﹣f（x）＝lnx﹣ax，g′（x）＝﹣a，g′（1）＝1﹣a；∵函数g（x）在点x＝1处的切线为l，直线l′∥l，∴直线l′的斜率为g′（1）＝1﹣a，又∵l′在y轴上的截距为1，∴直线l′的方程y＝（1﹣a）x+1；令F（x）＝（1﹣a）x+1﹣g（x）＝（1﹣a）x+1﹣（lnx﹣ax）＝x+1﹣lnx，F′（x）＝1﹣＝；故F（x）在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，故F（x）≥F（1）＝1+1﹣0＝2；故（1﹣a）x+1＞g（x）恒成立，即无论a取任何实数，函数g（x）的图象恒在直线l′的下方．20．【解答】解：（Ⅰ）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P（A1）＝（0.006+0.004+0.002）×50＝0.6，P（A2）＝0.003×50＝0.15，P（B）＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108，（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：，，，随机变量X的分布列为因为X～B（3，0.6），所以期望E（X）＝3×0.6＝1.8，方差D（X）＝3×0.6×（1﹣0.6）＝0.72．21．【解答】解：（I）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则P（A）＝＝所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为（II）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（X＝1）＝P（X＝2）＝P（X＝3）＝＝P（X＝4）＝＝X的分布列为EX＝＝22．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝e x﹣，f′（x）＝e x﹣x﹣1，令p（x）＝f′（x）＝e x﹣x﹣1，p′（x）＝e x﹣1，在（﹣1，0）内，p′（x）＜0，p（x）单减；在（0，+∞）内，p′（x）＞0，p（x）单增．所以p（x）的最小值为p（0）＝0，即f′（x）≥0，所以f（x）在（﹣1，+∞）内单调递增，即f（x）＞f（﹣1）＞0．（Ⅱ）令h（x）＝g（x）﹣（ax+1），则h′（x）＝﹣e﹣x﹣a，令q（x）＝﹣e﹣x﹣a，q′（x）＝﹣．由（Ⅰ）得q′（x）＜0，则q（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．（1）当a＝1时，q（0）＝h′（0）＝0且h（0）＝0．在（﹣1，0）上h′（x）＞0，h（x）单调递增，在（0，+∞）上h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）的最大值为h（0），即h（x）≤0恒成立．（2）当a＞1时，h′（0）＜0，x∈（﹣1，0）时，h′（x）＝﹣e﹣x﹣a＜﹣1﹣a＝0，解得x＝∈（﹣1，0）．即x∈（，0）时h′（x）＜0，h（x）单调递减，又h（0）＝0，所以此时h（x）＞0，与h（x）≤0恒成立矛盾．（3）当0＜a＜1时，h′（0）＞0，x∈（0，+∞）时，h′（x）＝﹣e﹣x﹣a＞﹣1﹣a＝0，解得x＝∈（0，+∞）．即x∈（0，）时h′（x）＞0，h（x）单调递增，又h（0）＝0，所以此时h（x）＞0，与h（x）≤0恒成立矛盾．综上，a的取值为1．。

2015-2016学年黑龙江省东部地区联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题提供的四个选项中，只有一项符合题目的要求）1．双曲线﹣=1的实轴长为（）A．6 B．3 C．4D．22．已知向量，则与的夹角为（）A．0°B．45°C．90°D．180°3．在区间[﹣2，3]中任取一个数m，则“方程+=1表示焦点x轴上的椭圆”的概率是（）A．B．C．D．4．下列各选项中叙述错误的是（）A．命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的否命题是“若x=1，则x2﹣3x+2=0”B．命题“∀x∈R，lg（x2+x+1）≥0”是假命题C．已知a，b∈R，则“a＞b”是“2a＞2b﹣1”的充分不必要条件D．命题“若x=2，则向量=（﹣x，1）与=（﹣4，x）共线”的逆命题是真命题5．已知双曲线x（b＞0），若右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．6．执行如图程序框图．若输入n=20，则输出的S值是（）A ．B ．C ．D ．7．已知a ＞0，a ≠1，x ＞0，则“a ＞2”是“log a ≥log a x ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．设椭圆C ：的左焦点为（﹣2，0），离心率为，则C 的标准方程为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ．x=1，y=1B ．x=1，y=C ．x=，y=D ．x=，y=110．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为135°，则E 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 是边长为2的正三角形，平面ABCD ⊥平面PAD ，M 是PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是（ ）A．B． C．D．12．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为30°的直线l与抛物线交于P、Q两点，分别过P、Q两点作PP1，QQ1垂直于抛物线的准线于P1、Q1，若|PQ|=2，则四边形PP1Q1Q 的面积是（）A．B．2 C．3 D．1二、填空题（本大题共4小题，每空5分，共20分）13．命题“存在x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是．14．已知点F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，P（2，y0）是抛物线上一点，若|PF|=3，则p=．15．双曲线的焦点为F1和F2，点P在双曲线上，如果线段PF1的中点在y轴上，|PF1|：|PF2|=．16．长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C（x，y）满足=2，则动点C的轨迹方程是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．设条件p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．为响应工业园区举行的万人体质监测活动，某高校招募了N名志愿服务者，将所有志愿者按年龄情况分为25～30，30～35，35～40，45～50，50～55六个层次，其频率分布直方图如图所示，已知35～45之间的志愿者共20人．（1）计算N的值；（2）从45～55之间的志愿者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取2名担任后勤保障工作，求恰好抽到1名女教师，1名男教师的概率．个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：（2）若销售额和利润额具有线性相关关系．用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆的右顶点，点D（1，0），点P，B在椭圆上，且在x轴上方，．（1）求直线BD的方程；（2）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）过点P，点Q是抛物线C上的动点，设点Q到点A的距离为d1，点Q到抛物线C的准线的距离为d2，求d1+d2的最小值．21．附加题（必做题）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．（1）设，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，求λ的值；（2）若点D是AB的中点，求二面角D﹣CB1﹣B的余弦值．22．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）上一点P到其焦点F的距离为，以P为原点且与抛物线准线l相切的圆恰好过原点O．（1）求抛物线C1的方程；（2）设点A（a，0）（a＞2），圆C2的圆心T是曲线C1上的动点，圆C2与y轴交于M、N 两点，且|MN|=4，若点A到点T的最短距离为a﹣1，试判断直线l与圆C2的位置关系，并说明理由．2015-2016学年黑龙江省东部地区联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题提供的四个选项中，只有一项符合题目的要求）1．双曲线﹣=1的实轴长为（）A．6 B．3 C．4D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a=3，即可得到双曲线的实轴长2a．【解答】解：双曲线﹣=1的a=3，可得双曲线的实轴长为2a=6．故选：A．2．已知向量，则与的夹角为（）A．0°B．45°C．90°D．180°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】设则与的夹角为θ由向量夹角的定义可得，0°≤θ≤180°可得θ=90°【解答】解：设则与的夹角为θ由向量夹角的定义可得，∵0°≤θ≤180°∴θ=90°故选C3．在区间[﹣2，3]中任取一个数m，则“方程+=1表示焦点x轴上的椭圆”的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由方程+=1表示焦点x轴上的椭圆得到关于m不等式，求出m范围，利用几何概型公式解答．【解答】解：因为方程+=1表示焦点x轴上的椭圆，则m+3＞m2+1，解得﹣1＜m＜2，所求概率为；故选A4．下列各选项中叙述错误的是（）A．命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的否命题是“若x=1，则x2﹣3x+2=0”B．命题“∀x∈R，lg（x2+x+1）≥0”是假命题C．已知a，b∈R，则“a＞b”是“2a＞2b﹣1”的充分不必要条件D．命题“若x=2，则向量=（﹣x，1）与=（﹣4，x）共线”的逆命题是真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出原命题的否命题，可判断A；举出反例x=﹣，可判断B；根据充要条件的定义，可判断C；写出原命题的逆命题，并根据向量共线的充要条件进行判断，可判断D．【解答】解：命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的否命题是“若x=1，则x2﹣3x+2=0”，故A正确；当x=﹣时，命题“∀x∈R，lg（x2+x+1）≥0”不成立，故命题“∀x∈R，lg（x2+x+1）≥0”是假命题，故B正确；“a＞b”时，“2a＞2b”，则“2a＞2b﹣1”成立，故“a＞b”是“2a＞2b﹣1”的充分条件；“2a＞2b﹣1”时，“2a＞2b”不一定成立，则“a＞b”不一定成立，“a＞b”是“2a＞2b﹣1”的不必要条件，故“a＞b”是“2a＞2b﹣1”的充分不必要条件，即C正确；命题“若x=2，则向量=（﹣x，1）与=（﹣4，x）共线”的逆命题是命题“若向量=（﹣x，1）与=（﹣4，x）共线，则x=2”，若向量=（﹣x，1）与=（﹣4，x）共线，则x2=4，解得；x=±2，故D错误；，故选：D5．已知双曲线x（b＞0），若右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由右焦点F（c，0）到一条渐近线y=bx的距离为b=2，结合a，可得c，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：右焦点F（c，0）到一条渐近线y=bx的距离为b=2，∵a=1，∴c=，∴双曲线的离心率为e==．故选：D．6．执行如图程序框图．若输入n=20，则输出的S值是（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】模拟执行程序框图，可知该算法的功能是计算并输出数列{}的求10项和，由裂项法即可求值．【解答】解：模拟执行程序框图，可知该算法的功能是计算并输出数列{}的求10项和．S=+++…+=+++…+=（1﹣+…﹣）=．故选：A．7．已知a＞0，a≠1，x＞0，则“a＞2”是“log a≥log a x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由a＞2，可知：函数y=log2x在（0，+∞）上单调递增；可知：“log a≥log a x”成立．反之不成立，因为a＞1即可．【解答】解：∵a＞2，可知：函数y=log2x在（0，+∞）上单调递增；∵x＞0，≥，∴“log a≥log a x”，当且仅当x=1时取等号．反之不成立，因为a＞1即可．故选：A．8．设椭圆C：的左焦点为（﹣2，0），离心率为，则C的标准方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知可得c=2，且，求出a后结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求．【解答】解：由题意知，c=2，且，∴a=4，又a2=b2+c2，∴b2=a2﹣c2=16﹣4=12．∴C的标准方程为．故选：A．9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若+，则x、y的值分别为（）A．x=1，y=1 B．x=1，y=C．x=，y=D．x=，y=1【考点】棱柱的结构特征；空间向量的加减法．【分析】画出正方体，表示出向量，为+的形式，可得x 、y 的值．【解答】解：如图，++（）．故选C ．10．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为135°，则E 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据△ABM 是顶角为135°的等腰三角形，得出|BM|=|AB|=2a ，∠MBx=45°，进而求出点M 的坐标，再将点M 代入双曲线方程即可求出离心率． 【解答】解：不妨取点M 在第一象限，如右图：设双曲线的方程为：（a ＞0，b ＞0），∵△ABM 是顶角为135°的等腰三角形，∴|BM|=|AB|=2a ，∠MBx=45°，∴点M 的坐标为（（+1）a ， a ），又∵点M 在双曲线上，∴将M 坐标代入坐标得﹣=1，整理上式得，a 2=（1+）b 2，而c 2=a 2+b 2=（2+）b 2，∴e 2==，因此e=，故选D ．11．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是边长为2的正三角形，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是（）A．B． C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】以O为原点，OA为x轴，过O作AB平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BM与平面PCO所成角的正弦值．【解答】解：以O为原点，OA为x轴，过O作AB平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，2，0），P（0，0，），C（﹣1，2，0），M（﹣，1，），O（0，0，0），=（0，0，），=（﹣1，2，0），=（﹣，﹣1，），设平面PCO的法向量=（x，y，z），，取x=2，得=（2，1，0），设直线BM与平面PCO所成角为θ，则sinθ===．∴直线BM与平面PCO所成角的正弦值是．故选：B．12．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为30°的直线l与抛物线交于P、Q两点，分别过P、Q两点作PP1，QQ1垂直于抛物线的准线于P1、Q1，若|PQ|=2，则四边形PP1Q1Q 的面积是（）A．B．2 C．3 D．1【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．【分析】分析：这是一个抛物线的焦点弦问题，所以要尽可能的利用抛物线的定义、性质结合图象将问题合理转化后求解．【解答】解：如图所示：由已知得|PP1|+|QQ1|=|PQ|=2，所以直角梯形PP1QQ1的面积S==|P1Q1|，又因为∠QPP1=30°，所以在直角梯形PP1QQ1中，|P1Q1|=|PQ|sin∠QPP1=2sin30°=1．所求四边形PP1Q1Q的面积为1．故选D二、填空题（本大题共4小题，每空5分，共20分）13．命题“存在x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是∀x∈Z，x2+2x+m＞0．【考点】命题的否定．【分析】将“存在”换为“∀”同时将结论“x2+2x+m≤0”换为“x2+2x+m＞0”．【解答】解：“存在x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是∀x∈Z，x2+2x+m＞0，故答案为∀x∈Z，x2+2x+m＞014．已知点F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，P（2，y0）是抛物线上一点，若|PF|=3，则p=2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值．【解答】解：∵点F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，P（2，y0）是抛物线上一点，|PF|=3，∴2+=3，解得：p=2，故答案为：2．15．双曲线的焦点为F1和F2，点P在双曲线上，如果线段PF1的中点在y轴上，|PF1|：|PF2|=9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求双曲线的焦点坐标，再根据点P在椭圆上，线段PF1的中点在y轴上，求得点P的坐标，进而计算|PF1|，|PF2|，即可求得|PF1|：|PF2|的值．【解答】解：由题意，a=2，b=，c=不妨设F1（﹣，0），则P（，），∴|PF2|=，|PF1|=4+=，∴|PF1|：|PF2|=9．故答案为：9．16．长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C（x，y）满足=2，则动点C的轨迹方程是x2+=1．【考点】轨迹方程．【分析】设出动点C（x，y），由定比分点坐标公式得到A、B的坐标，再根据线段AB的长度是3，建立方程并化简．【解答】解析：动点C（x，y）满足=2，则B（0，y），A（3x，0），根据题意得9x2+y2=9，即x2+y2=1．答案：x2+=1三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．设条件p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．【解答】解：由题意得，命题，命题q：B={x|a≤x≤a+1}，∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，即A⊆B，∴，∴．故实数a的取值范围为[0，]．18．为响应工业园区举行的万人体质监测活动，某高校招募了N名志愿服务者，将所有志愿者按年龄情况分为25～30，30～35，35～40，45～50，50～55六个层次，其频率分布直方图如图所示，已知35～45之间的志愿者共20人．（1）计算N的值；（2）从45～55之间的志愿者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取2名担任后勤保障工作，求恰好抽到1名女教师，1名男教师的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）通过频率分布直方图，即可计算出N；（2）从6名志愿者中抽取2名志愿者有15种情况，其中恰好抽到1名女教师，1名男教师共有8种，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）由题知35～40的频率为[1﹣（0.01+0.02+0.04+0.01）×5]=0.3，∴35～40的频率为0.3+0.04×5=0.5，∴N==40，（2）45～55之间的志愿者中女教师有4名，男教师有40×（0.01+0.02）×5﹣2=2名，记4名女教师为A1，A2，A3，A4，2名男教师为B1B2，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共有15种．其中恰好抽到1名女教师，1名男教师共有8种，故恰好抽到1名女教师，1名男教师的概率．个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：（2）若销售额和利润额具有线性相关关系．用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．【考点】回归分析的初步应用．【分析】（1）根据表中所给的五对数对，在平面直角坐标系中画出散点图．由散点图可以看出：各个点基本上是在一条直线的附近，销售额和利润额具有相关关系．（2）做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，把样本直线的代入求出a的值，协会粗线性回归方程．【解答】解：（1）根据表中所给的五对数对，在平面直角坐标系中画出散点图．由散点图可以看出：各个点基本上是在一条直线的附近，销售额和利润额具有相关关系．（2）∵=6，=3.4，b==0.5a=3.4﹣0.5×6=0.4∴回归直线方程y=0.5x+0.4．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆的右顶点，点D（1，0），点P，B在椭圆上，且在x轴上方，．（1）求直线BD的方程；（2）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）过点P，点Q是抛物线C上的动点，设点Q到点A的距离为d1，点Q到抛物线C的准线的距离为d2，求d1+d2的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得BP=DA=2，P（1，2），B（﹣1，2），由此能求出直线BD的方程．（2）由已知求出p=，d2=|QF|，从而当A、Q、F三点共线时，d1+d2有最小值．【解答】解：（1）∵BP=DA，且A（3，0），D（1，0），∴BP=DA=2，而B、P关于y轴对称，∴点P的横坐标为1，从而得到P（1，2），B（﹣1，2），∴直线BD的方程为：，整理，得：x+y﹣1=0．（2）∵抛物线C：x2=2py（P＞0）过点P（1，2），∴4p=1，即p=，∴抛物线C的焦点为F，则d2=|QF|，∴当A、Q、F三点共线时，d1+d2有最小值，即（d1+d2）min=|AF|==．21．附加题（必做题）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．（1）设，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，求λ的值；（2）若点D是AB的中点，求二面角D﹣CB1﹣B的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离．【分析】（1）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，以及向量，的坐标，结合，以及异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，得到关于λ的等式，即可求出结论．（2）先求两个平面法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可求出结论．【解答】解：（1）以CA，CB，CC1分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标，因为AC=3，BC=4，AA1=4，所以A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C1=（0，0，4），所以，因为，所以点D（﹣3λ+3，4λ，0），所以，因为异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，所以，解得．…（2）由（1）得B1（0，4，4），因为D是AB的中点，所以，所以，，平面CBB1C1的法向量=（1，0，0），设平面DB1C的一个法向量=（x0，y0，z0），则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角D﹣CB1﹣B的大小，由得令x0=4，则y0=﹣3，z0=3，所以=（4，﹣3，3），∴cos＜，＞===．所以二面角D﹣B1C﹣B的余弦值为．…22．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）上一点P到其焦点F的距离为，以P为原点且与抛物线准线l相切的圆恰好过原点O．（1）求抛物线C1的方程；（2）设点A（a，0）（a＞2），圆C2的圆心T是曲线C1上的动点，圆C2与y轴交于M、N 两点，且|MN|=4，若点A到点T的最短距离为a﹣1，试判断直线l与圆C2的位置关系，并说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）根据抛物线的定义结合圆的性质建立方程关系进行求解即可．（2）根据抛物线与圆的位置关系求出圆心T的坐标，结合直线和圆的位置关系进行求解即可．【解答】（1）∵y2=2px（p＞0）上一点P到其焦点F的距离为，∴|PF|=，∵以P为原点且与抛物线准线l相切的圆恰好过原点O，∴|PO|=|PF|=，即△POF为等腰三角形，过P作PQ⊥x于Q，则x=，∴得p=2，∴抛物线的方程为y2=4x．（2）设T（x0，y0），圆C2的半径为r，∵T是抛物线y2=4x上的动点，∴．y02=4x0，（x0≥0），∴|AT|==，∵a＞2，∴a﹣2＞0，则当x0=a﹣2时，AT取得最小值为2，由2=a﹣1，平方得a2﹣6a+5=0，得a=5或a=1（舍），则当x0=a﹣2=3，y02=4x0=12，即y0=±2，∴圆C2的圆心T（3，±2），∵圆C2与y轴交于M，N两点，且|MN|=4，∴|MN|=2=4，∴r==，∵点T到直线l的距离d=|x0+1|=4，∴直线l与圆C2相离．2016年5月11日。

2015-2016学年黑龙江省大庆中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣2x+1≥0B．∃x∈R，x2﹣2x+1＞0C．∀x∈R，x2﹣2x+1≥0D．∀x∈R，x2﹣2x+1＜02．（5分）抛物线y=﹣x2焦点坐标是（）A．（，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）3．（5分）如图是某篮球运动员在30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数和众数分别为（）A．3和3B．23和3C．3和23D．23和23 4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．4C．8D．165．（5分）有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表：根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间线性回归方程y=x+a的系数．则预测平均气温为﹣8℃时该商品销售额为（）A．34.6万元B．35.6万元C．36.6万元D．37.6万元6．（5分）某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶7．（5分）从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）等轴双曲线x2﹣y2=1上一点P与两焦点F1，F2连线互相垂直，则△PF1F2的面积（）A．B．2C．1D．49．（5分）已知条件p：﹣3≤x≤1，条件q：﹣a≤x≤a，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．1≤a≤3C．a≤1D．a≥310．（5分）ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为．14．（5分）若椭圆两个焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），椭圆的弦的AB过点F1，且△ABF2的周长为20，那么该椭圆的方程为．15．（5分）从集合{﹣1，1，2，3}中随机选取一个数记为m，从集合{﹣1，1，2}中随机选取一个数记为n，则方程=1表示双曲线的概率为．16．（5分）已知命题p：存在x∈[1，2]，使得x2﹣a≥0，命题q：指数函数是R上的增函数，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．18．（12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）．如表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中恰有1件是优等品的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且PD=AD=1．（Ⅰ）求证：MN∥平面PCD；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PBD．20．（12分）（Ⅰ）已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A（3，0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．（Ⅱ）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上一点P（﹣3，a）到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．22．（12分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．2015-2016学年黑龙江省大庆中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣2x+1≥0B．∃x∈R，x2﹣2x+1＞0C．∀x∈R，x2﹣2x+1≥0D．∀x∈R，x2﹣2x+1＜0【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x2﹣2x+1＜0”的否定是命题：∀x∈R，x2﹣2x+1≥0．故选：C．2．（5分）抛物线y=﹣x2焦点坐标是（）A．（，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）【分析】将抛物线的方程标准化，即可求得其焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y=﹣x2，∴其标准方程为：x2=﹣y，∴焦点F的坐标为F（0，﹣）．故选：C．3．（5分）如图是某篮球运动员在30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数和众数分别为（）A．3和3B．23和3C．3和23D．23和23【分析】根据茎叶图列出的数据，这组数据有30个，这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，再找出出现次数最多的数字．【解答】解：由茎叶图知这组数据有30个，∴这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数=23，众数是这些数字中出现次数最多的数字，是23，故选：D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．4C．8D．16【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选：C．5．（5分）有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表：根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间线性回归方程y=x+a的系数．则预测平均气温为﹣8℃时该商品销售额为（）A．34.6万元B．35.6万元C．36.6万元D．37.6万元【分析】先求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，根据所给的的值，写出线性回归方程，把样本中心点代入求出a的值，再代入数值进行预测．【解答】解：==﹣4，==25∴这组数据的样本中心点是（﹣4，25）∵．，∴y=﹣2.4x+a，把样本中心点代入得a=15.4，∴线性回归方程是y=﹣2.4x+15.4当x=﹣8时，y=34.6故选：A．6．（5分）某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶【分析】事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，它的互斥事件是两次都不中靶，实际上它的对立事件也是两次都不中靶．【解答】解：∵事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，它的互斥事件是两次都不中靶，故选：C．7．（5分）从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的总事件是从5张卡片中任取2张，有C52种取法，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的有A，B；B，C；C，D；D，E四种结果，代入公式，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的总事件是从5张卡片中任取2张，有C52中取法，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的有A，B；B，C；C，D；D，E四种结果，∴由古典概型公式得到P==．故选：B．8．（5分）等轴双曲线x2﹣y2=1上一点P与两焦点F1，F2连线互相垂直，则△PF1F2的面积（）A．B．2C．1D．4【分析】算出双曲线的焦距|F1F2|=2，利用勾股定理得出|PF1|2+|PF2|2=2，结合||PF1|﹣|PF2||=2联解得出|PF1|•|PF2|的值，即可算出△PF1F2的面积．【解答】解：∵双曲线x2﹣y2=1中，a=b=1，∴c==，得焦距|F1F2|=2设|PF1|=m，|PF2|=n，∵PF1⊥PF2，∴m2+n2=|F1F2|2=8…①由双曲线的定义，得|m﹣n|=2a=2…②①②联立，得mn=2∴△PF1F2的面积S=mn=1故选：C．9．（5分）已知条件p：﹣3≤x≤1，条件q：﹣a≤x≤a，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．1≤a≤3C．a≤1D．a≥3【分析】p是q的必要不充分条件，可得，解出即可得出．【解答】解：∵p是q的必要不充分条件，∴，解得a≤1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]．故选：C．10．（5分）ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到O的距离大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣故选：B．11．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．12．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y 的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为12．【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果．【解答】解：∵田径队有男运动员48人，女运动员36人，∴这支田径队共有48+36=84人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，∴每个个体被抽到的概率是，∵田径队有男运动员48人，∴男运动员要抽取48×=12人，故答案为：12．14．（5分）若椭圆两个焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），椭圆的弦的AB过点F1，且△ABF2的周长为20，那么该椭圆的方程为．【分析】由题意可知：c=4，由△ABF2的周长为20，即4a=20，a=5，根据椭圆的性质可知b2=a2﹣c2=25﹣16=9，即可求得椭圆方程．【解答】解：由题意可知：焦点在x轴上，设椭圆方程为：，（a＞b＞0），由c=4，由△ABF2的周长为20，即4a=20，a=5，b2=a2﹣c2=25﹣16=9，∴椭圆方程为：．故答案为：．15．（5分）从集合{﹣1，1，2，3}中随机选取一个数记为m，从集合{﹣1，1，2}中随机选取一个数记为n，则方程=1表示双曲线的概率为．【分析】先写出总的基本事件数，在由双曲线的方程特点需mn＜0，只需列举出符合条件的基本事件即可．【解答】解：由题意知基本事件总数为4×3=12，表示双曲线的要求为：mn＜0．当m=﹣1时，n=1、2；当n=﹣1时，m=1、2、3，共5种情况．故表示双曲线的概率为：故答案为：16．（5分）已知命题p：存在x∈[1，2]，使得x2﹣a≥0，命题q：指数函数是R上的增函数，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（2，4]（填{a|2＜a≤4}或2＜a≤4亦可）．【分析】先求出命题p，q为真命题的等价条件，然后利用“p且q”是真命题，确定a的取值范围．【解答】解：存在x∈[1，2]，使得x2﹣a≥0，即存在x∈[1，2]，使得x2≥a，所以a≤4，即p：a≤4．指数函数是R上的增函数，则log⁡2a＞1，解得a＞2，即q：a＞2．因为“p且q”是真命题，所以2＜a≤4．故答案为：（2，4]（填{a|2＜a≤4}或2＜a≤4亦可．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a的值；（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．18．（12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）．如表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中恰有1件是优等品的概率．【分析】（1）有分层抽样可知各层抽取的比例相等，先计算出甲厂抽取的比例，按此比例计算乙厂生产的产品总数即可．（2）先计算抽取的5件样品中优等品的概率，再由此概率估计乙厂生产的优等品的数量即可．（3）先列举出所有的基本事件有10种等可能的结果，找到满足条件的基本事件的事件有6种，根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（1）甲厂抽取的比例，因为乙厂抽出5件，故乙厂生产的产品总数35件．（2）x≥175，y≥75的有两件，比例为，因为乙厂生产的产品总数35件，故乙厂生产的优等品的数量为35×=14件．（3）从编号为1，2，3，4，5的5件产品中任取2件共有10种等可能的结果．分别是（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）设只有2号和5号产品是优等品，被抽中有以下6种：（1，2），（1，5），（2，3），（2，4），（3，5），（4，5）．∴抽取的2件产品中恰有1件是优等品的概率为P=．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且PD=AD=1．（Ⅰ）求证：MN∥平面PCD；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PBD．【分析】（Ⅰ）取AD中点E，连接ME，NE，证明平面MNE∥平面PCD，可得MN∥平面PCD；（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD，即可证明平面PAC⊥平面PBD．【解答】证明：（Ⅰ）取AD中点E，连接ME，NE，则ME∥PD，NE∥CD，∵ME，NE⊂平面MNE，ME∩NE=E，∴平面MNE∥平面PCD，∵MN⊂平面MNE，∴MN∥平面PCD；（Ⅱ）∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD．20．（12分）（Ⅰ）已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A（3，0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．（Ⅱ）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上一点P（﹣3，a）到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）分焦点在x轴与焦点在y轴讨论，结合题意即可求得椭圆的标准方程．（Ⅱ）先确定抛物线的焦点一定在x轴负半轴上，故可设出抛物线的标准方程，再由抛物线的定义，点M到焦点的距离等于到准线的距离，即可求得抛物线方程．【解答】解：（Ⅰ）若椭圆的焦点在x轴上，设方程为．由题意解得∴椭圆的方程为；若椭圆的焦点在y轴上，设方程为，由题意解得∴椭圆方程为．故椭圆方程为，或．（Ⅱ）由已知设所求抛物线的方程为y2=﹣2px（p＞0），则准线方程为．由定义知，得p=4，故所求方程为y2=﹣8x．21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．【分析】解法（一）：（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点E在AB的任何位置，D1E⊥A1D 总是成立的．（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离．本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据=既可以求得点E到面ACD 1的距离．（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，则∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD 1的法向量为，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D 1EC的法向量，可求得．，因为二面角D1﹣EC﹣D的大小为，所以根据余弦定理可得AE=时，二面角D1﹣EC ﹣D的大小为．【解答】解法（一）：（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故，而．∴，∴，∴．（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．设AE=x，则BE=2﹣x在Rt△D1DH中，∵，∴DH=1．∵在Rt△ADE中，DE=，∴在Rt△DHE中，EH=x，在Rt△DHC中CH=，在Rt△CBE中CE=．∴．∴时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD 1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD 1C 的距离为．（3）设平面D 1EC的法向量，∴，由令b=1，∴c=2，a=2﹣x，∴．依题意．∴（不合，舍去），．∴AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．22．（12分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．【分析】（1）由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为．根据题意知，解得，故椭圆C的方程为．（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为．当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即===，解得，即k=．故直线l的方程为或．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

大庆中学2016—2017学年上学期期末考试高二理科数学试题考试时间：120分钟 分数：150分 命题人:第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，均为单选题，每小题5分，共60分）1、抛物线x y 42=上的一点M 到焦点的距离为3，则点M 的横坐标为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 42、 已知向量()3,1=a ，()m ,2-b =，若a 与b 2+a 平行，则m 的值为（ ） A ． 1 B ． 1- C ． 2- D ． 6-3、在各项均为正数的等比数列}{a n 中，1a 和19a 为方程016x 10-x 2=+的两根，则=⋅⋅12108a a a （ ）A. 32B. 64C. 64±D. 256 4、已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n ym x 有公共的焦点，则双曲线的渐近线方程是（ ） A y x 215±=； B x y 215±=； C y x 43±=； D x y 43±= 5、已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中， 直角三角形的个数是( ) A 4 B 3 C 2 D 1 6、为了得到函数x 2cos 3y =的图像，只需将函数）（2x 2cos 3y π+=的图像上每一个点( )A ．横坐标向左平动4π个单位长度 B ．横坐标向右平移4π个单位长度 C ．横坐标向左平移8π个单位长度 D ．横坐标向右平移8π个单位长度7、执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出S ＝( )A.511 B.1011 C.3655 D.72558、抛掷一枚均匀的硬币4次，出现正面次数多余反面次数的概率是（ ） A.167 B. 81 C. 21 D.1659、已知l 是双曲线12-4x 22=y C ：的一条渐近线，P 是l 上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若21PF PF ⊥,则21F PF ∆的面积为（ ）A ．12 B. 23 C ．324 D ．32 10、已知直线1x 2-y +=与椭圆)0(1x 2222>>=+b a by a 相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在直线04y -x =上，则此椭圆的离心率为（ ） A.33 B.13 C.12 D.2211、已知直线l 过点）（1,0-，l 与圆()3y 1-x 22=+：C 相交于A ，B 两点，则弦长22||≥AB 的概率为( ) A.33 B. 13 C. 12 D.2212、设F 1，F 2分别是椭圆)10(1x :222<<=+b by E 的左、右焦点，已知点1F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若||2||11BF AF =,x 2⊥AF 轴，则椭圆E 的方程为（ ）A ．12322=+y x B ．156x 22=+y C ．145x 22=+y D ． 178x 22=+y二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知椭圆12m 1022=-+-m y x ，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于 .14、函数)(x f ，R ∈x ,满足如下性质：0)()(=-+x f x f ，)43()43(x f x f -=+，3)1(=f 则=)2(f15、函数给出下列说法，其中正确命题的序号为 .（1）命题“若613πα=，则23cos =α”的逆否命题；（2）命题R ∈∃0x p ：，使1sinx 0>,则R x p ∈∀⌝：，1sinx ≤； （3）“）（Z ∈+=k k 22ππϕ”是“函数若）（ϕ+=x 2sin y 为偶函数”的充要条件；（4）命题：p “），（20x π∈∃，使21cosx sinx =+”，命题：q “在ABC ∆中， 若使sinB sinA >则B A >”，那么命题q p ∧⌝）（为真命题16、已知抛物线x 4y 2=：C 的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线C 上一点，且P 在第一象限，l PM ⊥于点M ，线段MF 与抛物线C 交于点N ，若PF 的斜率为43，则=|||MN |NF . 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、已知数列}{a n 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ,1a 1=，且23a ，3S ，5a 成等比数列．(1)求数列}{a n 的通项公式； (2)设1-41b n n S =,求数列}{b n 的前n 项和n T .18、下图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，作抽样调查后画出的样本频率分布直方图， 已知图中第一组的频数为4000，请根据该图提供的信息解答下列问题：(图中每组包括左端点， 不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500)) (1)求样本中月收入在[2500,3500)的人数；(2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用 分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500,2000)的这段应抽多少人？ (3)试估计样本数据的中位数．19、如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，A A 1＝AC ＝CB ＝22AB . (1)证明：BC 1∥平面A 1CD;(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．20、已知向量），（x sin x cos ωω=a ，），（x cos 3x cos b ωω=,其中0>ω,函数21-b a x f ⋅=）（, 其最小正周期为π.(1)求函数）（x f 的表达式及单调减区间；(2)在ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为其面积, 若12A f =）（,1b =,3=∆ABC S 求a 的值．21、已知椭圆)0(1x :2222>>=+b a b y a C 经过点)231(，M ,1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，1F ，2F 是C 的两个焦点，32||21=F F ，P 是椭圆C 上的一个动点. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 在第一象限，且4121≤⋅PF ,求点P 的横坐标的取值范围； (3)是否存在过定点)2,0(N 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，使 090=∠AOB （其中O 是坐标原点）？若存在，求出直线l 的斜率k ；若不存在，请说明理由.22、已知圆16y 1x :22=++）（E ，点）（0,1F ,P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于点Q .(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)若直线）（1-x k y =与(1)中轨迹C 交于R ,S 两点,在x 轴上是否存在一点T ,使得当k 变动时总有OTR OTS ∠=∠?说明理由.大庆中学2016—2017学年度上学期期末高二理科数学答案一、选择题：BDBDA BADDD BC 二、填空题：13. 8 14. -3 15.4 16.10三、0、(2013·新课标全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB .(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．解：(1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连接DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)由AC ＝CB ＝22AB 得，AC ⊥BC .以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD →＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)，CA 1→＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0. 可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0.可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m|n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63. 即二面角D －A 1C －E 的正弦值为63.19、 解：(1)∵月收入在[1000,1500)的概率为 0．0008×500＝0.4，且有4000人， ∴样本的容量n ＝40000.4＝10000；月收入在[1500,2000)的频率为0.0004×500＝0.2； 月收入在[2000,2500)的频率为0.0003×500＝0.15； 月收入在[3500,4000)的频率为0.0001×500＝0.05. ∴月收入在[2500,3500)的频率为 1－(0.4＋0.2＋0.15＋0.05)＝0.2.∴样本中月收入在[2500,3500)的人数为0．2×10000＝2000. (2)∵月收入在[1500,2000)的人数为0．2×10000＝2000，∴再从10000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1500,2000)的这段应抽取100×200010000＝20(人)．(3)由(1)知月收入在[1000,2000)的频率为0．4＋0.2＝0.6>0.5， ∴样本数据的中位数为1500＋0.5－0.40.0004＝1500＋250＝1750(元)．。