下载文档原格式
循环小数简便形式表示循环小数是指一个有限小数部分和一个无限重复的小数部分组成的小数。
它可以用简便形式来表示，即将重复的部分用括号括起来。
循环小数的出现可以追溯到古希腊时期。
希腊数学家克里希提亚劳斯在他的著作《元素》中首次提到了循环小数的概念。
他解释了循环小数是一种无理数，即不能用两个整数的比例来表示的数。
循环小数的简便形式表示方法非常简单。
我们以一个例子来说明：假设我们有一个循环小数0.1666...，我们可以将重复的部分用括号括起来，得到0.16(6)。
循环小数在数学中有着广泛的应用。
例如，在计算机科学中，循环小数常常用于表示无限不循环小数。
在统计学中，循环小数被用来表示概率。
在金融领域中，循环小数则用于计算利息和汇率等。
循环小数的简便形式表示可以提高计算的效率和准确性。
除了简便形式表示，循环小数还可以通过一些运算方法来进行转换。
例如，我们可以通过除法运算将循环小数转换为分数。
具体方法是将循环小数的重复部分作为分子，分母则是一个与循环部分长度相等的全为9的数。
例如，将循环小数0.16(6)转换为分数时，分子为16，分母为99。
循环小数还可以进行加、减、乘、除等基本运算。
在进行这些运算时，我们需要注意保留足够的位数，以保证结果的准确性。
另外，我们还可以使用循环小数的性质来简化运算。
例如，将循环小数除以10可以将小数点向左移动一位，将循环小数乘以10则将小数点向右移动一位。
循环小数的研究对于数学的发展具有重要意义。
它不仅帮助我们理解无理数的性质，还为其他数学领域的研究提供了基础。
循环小数的简便形式表示方法更是为数学计算提供了便利，使得复杂的运算变得简单而高效。
总结起来，循环小数是由有限小数部分和无限重复小数部分组成的小数。
它可以用简便形式表示，即将重复的部分用括号括起来。
循环小数在数学中有着广泛的应用，并且可以通过一些运算方法进行转换和简化。
循环小数的研究对于数学的发展有着重要意义，它不仅帮助我们理解无理数，还提高了数学计算的效率和准确性。
循环小数的分类
循环小数可分为纯循环小数和混循环小数。
一个数的小数部分从某一位起，一个或几
个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数。
两个整数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数；另一种，
得到无限小数。
从小数点后某一位已经开始依次不断地重复发生前一个或一节数字的十进制无限小数，叫作循环小数，如 2....*（搭循环小数），35....（循环小数），20.…（循环小数）等，其中依次循环不断重复发生的数字叫做循环节。
循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两
位上方各添一个小点。
循环小数可以利用等比数列议和公式的方法化成分数，所以循环小数均属有理数。
将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同。
将搭循环小数重写成分数，分子就是不循环部分与第一个循环节连成的数字共同组成
的数，乘以不循环部分数字共同组成的.数之差；分母的头几位数字就是9，末几位数字就是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不能循环部分的数位相同。
什么叫循环小数什么叫循环小数\r\r在数学中，循环小数是一种有限小数或无限小数中的一种特殊形式。
循环小数可以被表示为一个整数部分和一个叫做循环节的无限重复的数字串。
循环小数常常和无理数联系在一起，它们的无限数字序列不具有循环结构。
循环小数可以通过将一个分数用十进制形式表示来得到。
分数是一个有理数，可以表示为两个整数之间的比值。
例如，1/3 =0.3333333333...，0表示整数部分，33表示循环节的数字序列。
为了更好地理解循环小数，我们可以通过一些例子来进行说明。
考虑一个分数4/7。
我们可以使用长除法来将这个分数转化为十进制的循环小数。
我们将4除以7，得到的商是0，余数是4。
将余数乘以10，再除以7，得到的商是5，余数是5。
再将余数乘以10，再除以7，得到的商是7，余数是1。
以此类推，可以得到一个无限的数字序列：0.57142857142857...。
在这个例子中，循环节是142857，这个数字序列无限重复。
在数学中，循环小数可以用括号来表示循环节。
对于上述例子，我们可以用括号来表示循环节：0.571(428571)。
可以通过将循环小数转化为分数来得到原始有理数。
以前面的例子为例，我们可以将0.57142857142857...转化为分数。
假设这个循环小数为x，我们可以得到以下方程：7x = 5.7142857142857...接下来，我们通过变换来消除循环节。
我们将10倍的循环小数减去原始的循环小数：10x - x = 5.7142857142857... - 0.57142857142857...得到9x = 5.142857142857...然后，我们可以将9x除以9，得到：x = 5.142857142857... / 9通过计算，我们可以得到结果：x = 4/7可以看出，得到的结果与原始的分数4/7相同。
这表明，循环小数可以表示有理数，并且有理数可以转化为一个有限或无限的循环小数。
循环小数一定是无限小数吗？
对的，循环小数一定是无限小数。
因为，循环小数的定义：一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数。
循环小数首先是在无限小数的基础上讲的，所以循环小数一定是无限小数。
无限小数
1、定义：指经计算化为小数后，小数部分无穷尽，不能整除的数。
包括分数和无理数。
2、分类：无线循环小数和无限不循环小数，无线小数是说小数点后面的小数是无限多个，如果周期性出现相同的一组小数就叫循环小数，如果没有一个重复的就叫不循环小数。
无理数
也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有非完全平方数的平方根、π。
无理数是无限小数的一种。
循环小数的计算范文循环小数的计算是数学中的一个重要概念，它是指除法计算中出现的一种特殊情况。
循环小数的特点是小数部分中存在一段重复的数字，这个数字序列会一直循环下去。
在本文中，我们将介绍循环小数的计算方法以及相应的例题。
一、循环小数的定义循环小数是指一个无限不循环小数的一种特殊情况，其小数部分中存在一段重复的数字序列。
它可以用有限小数和循环节表示，循环节是重复出现的数字序列。
二、循环小数的计算方法1.除数与被除数的形式：循环小数的计算是通过除法来完成的。
我们先写出除数和被除数的形式。
例如，要计算4除以3的循环小数，我们可以写成4÷32.商与余数的计算：开始计算时，我们先将除数除以被除数，得到一个商和一个余数。
商是整数部分，余数是小数部分的最高位数。
例如，4除以3等于1余1，所以商为1，余数为13.余数的进位：我们将余数乘以10，并再次除以被除数，得到新的商和余数。
这个过程可以一直执行下去，直到遇到循环节为止。
例如，余数1乘以10再除以3等于3余1，商为3，余数为14.循环节的确定：在得到新的商和余数后，我们将新的余数与之前的余数进行比较。
如果两个余数相等，说明出现了循环节，我们就可以确定出循环小数的循环节。
例如，在上一步的计算中，新的余数与之前的余数相等，说明循环小数的循环节为15.循环小数的表示：最后，我们把商和循环节放在一起，就可以表示循环小数。
例如，4除以3的循环小数表示为1.1三、循环小数的例题1.计算0.15的循环小数。
解析：我们可以将0.15写成15÷100，然后开始除法计算。
15除以100等于0.15，所以0.15是个有限小数，没有循环节。
2.计算1除以7的循环小数。
解析：我们可以将1写成1÷7，然后开始除法计算。
1除以7等于0余1，所以商为0，余数为1接下来，我们将余数1乘以10再除以7，得到新的商和余数。
10除以7等于1余3，所以新的商为1，新的余数为3四、总结循环小数的计算是通过除法来完成的，我们可以将除数与被除数写成分数的形式，并使用商和余数的计算方法得出循环小数。
循环小数表示方法
循环小数，顾名思义就是一种无限循环的小数。
它的表示方法有多种，我们可
以通过不同的方式来将循环小数表示出来。
接下来，我们将介绍几种常见的表示方法。
首先，我们可以使用带括号的表示方法来表示循环小数。
比如，当我们遇到
0.3333...这样的循环小数时，可以用0.(3)来表示。
这种表示方法简洁明了，一目了然，非常容易理解。
其次，我们还可以使用带横线的表示方法来表示循环小数。
当我们遇到
0.1666...这样的循环小数时，可以用0.16-来表示。
这种表示方法在一些场合下也很
实用，尤其是在纸质文档中，带横线的表示方法更加清晰美观。
除了以上两种表示方法，我们还可以使用分数来表示循环小数。
这种表示方法
可以将循环小数转化为分数形式，更加直观清晰。
比如，0.4545...可以表示为
45/99。
这种表示方法在数学运算中也很方便，可以直接进行分数运算，避免了循
环小数带来的繁琐计算。
另外，我们还可以使用无限不循环小数的表示方法来表示循环小数。
当我们遇
到0.121212...这样的循环小数时，可以用0.12(无限)来表示。
这种表示方法将循环
部分和非循环部分分开，更加清晰明了。
总的来说，循环小数有多种表示方法，每种方法都有其独特的优势和适用场合。
我们可以根据实际情况选择合适的表示方法来表示循环小数，使其更加直观清晰。
希望本文介绍的表示方法能够帮助大家更好地理解和运用循环小数。
关于什么是循环小数在数学中，循环小数是基础学习知识之一，下面是unjs小编为您整理关于循环小数，欢迎阅读!循环小数循环小数，是指从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，可分为有限循环小数,如：1.123123123(不可添加省略号)和无限循环小数，如：1.123123123……(有省略号)。
前者是有限小数，后者是无限小数。
循环小数介绍循环小数英文名：circulating decimal两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数。
一种，得到无限小数。
从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如 2.1666...*(混循环小数)，35.232323...(循环小数)，20.333333…(循环小数)等，被重复的一个或一节数字称为循环节。
循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。
例如：2.966666... 缩写为 2. 96(6上面有一个点;它读作“二点九六，六循环”)35.232323…缩写为35.23(2、3上面分别有一个点;它读作“三十五点二三，二三循环”)循环小数可以利用等比数列求和(附链接：等比数列)的方法化为分数。
例如图中的化法。
所以在数的分类中，循环小数属于有理数。
循环小数一个“特殊”性质我们熟悉的七分之几化成循环小数为：以第一个分数为例：取它的循环节142857，共六位，从中间分成两段：142和857，对应相加!看看下图，发现了什么吗?没错!999!再试试其他几个循环小数的循环节，也是这样吗?我们再换一个分数。
比如1/11=0.090909……2/11=0.181818……3/11=0.272727…………循环节都是两位，分成两段，对应相加，9!再看一个：1/13=0.0769********……2/13=0.153846153846……3/13=0.230769230769…………第一个：循环节为076923，6位，分成两段， 076和923，对应相加：999!第二个：循环节为153846，6位，分成两段，153和846，对应相加，999!……再看一个长一点的：1/17=0.0588235294117647……2/17=0.1176470588235294……第一个：循环节为0588235294117647，16位，分成两段，05882352和94117647，对应相加，99999999!第二个：循环节为1176470588235294，16位，分成两段，11764705和88235294，对应相加：99999999!……一个调查：没错!7、11、13、17都是质数!其他质数呢?有没有兴趣试一试?特别是，有兴趣拿出一张大一点的纸，计算一下1/109吗?还有，背后的原因是什么呢?您会提出这个问题，并且试图解决吗? [关于什么是循环小数]。
循环小数的简便写法
如：10.7363636…是一个循环小数，它的循环节是36，用简便写法来表示这个小数应为：10.7
一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数（circulating decimal）。
循环小数会有循环节（循环点），并且可以化为分数。
表示方法是上划线，上点，大括号。
扩展资料：
化分数表示：
1、纯循环小数
将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同。
例如：0.111...=1/9、0.12341234...=1234/9999
2、混循环
将混循环小数改写成分数，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的数之差；分母的头几
位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同。
例如：0.1234234234…=(1234-1)/9990
0.55889888988898...=(558898-55)/999900。
五年级数学循环小数
一、循环小数的定义
循环小数是一种特殊的分数小数，它具有特定的循环特征。
在数学上，循环小数被定义为具有无尽循环模式的数字序列。
例如，1/3=0.333333……是一个循环小数，因为它的小数部分3是不断重复的。
二、循环小数的表示方法
循环小数通常可以用两种方式表示：一般形式和特殊形式。
1.一般形式：通过在数字后面添加一个无穷的小数来表示循环小数。
例如，
1/3=0.333333……可以表示为1.333333……
2.特殊形式：通过在数字后面添加一个循环节来表示循环小数。
例如，
1/3=0.333333……可以表示为0.3（3无限循环）。
三、循环小数的性质
循环小数有一些重要的性质：
1.循环小数的整数部分始终保持不变。
2.循环小数的循环节始终重复出现。
3.循环小数的和、差、积和商都可以表示为循环小数。
4.循环小数的倍数仍然为循环小数。
四、循环小数的简单运算
对于循环小数的简单运算，可以遵循以下步骤：
1.将循环小数转换为分数。
2.对分数进行运算。
3.将结果再转换为循环小数（如果需要的话）。
五、应用循环小数解决实际问题
循环小数在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在时间计算中，我们常常会遇到“一刻钟”这样的表述，其中的“一刻”实际上是15分钟，是一个循环
小数的表示。
此外，循环小数也出现在物理学、工程学和其他科学领域中。
通过对循环小数的理解，我们可以更好地解决实际问题。
苏教版课程标准小学数学五年级上册
《循环小数》教学设计
下蜀中心小学凌云
一、备学生：以前学生对小数概念的认识仅限于有限小数，到学习了循环小数以后，小数概念的内涵进一步扩展了，学生认识到除了有限小数以外，还有无限小数，循环小数就是一种无限小数。
二、教学课题：人教版五年级上册第二单元中的一节：《循环小数》，在教材的第27-28页例8和例9。
三、备内容：
循环小数是在学生学习了小数除法的意义、小数除法的计算及商的近似值的基础上进行教学的。
这部分内容概念较多，又比较抽象，是教学的一个难点。
课本的例8，是教学从某一位起，一个数字重复出现的情况，为认识循环小数提供感性材料。
例9通过计算两道除法式题，呈现了除不尽时商的两种情况：一种是从某位起重复某个数字；另一种是从某位起几个数字依次不断重复出现。
由此引出循环小数的概念并介绍循环小数的简便记法。
接着教材用想一想的方式组织学生讨论“两个数相除，如果不能得到整数商，所得到的商会有哪些情况”。
由两个数相除时商的两种情况，介绍有限小数和无限小数的概念。
1、教学目标
知识目标：初步理解循环小数、有限小数、无限小数的意义，能正确地区分有限小数和无限小数，了解循环节的概念和循环小数的简便记法。
能力目标：培养发现问题、提出问题、解决问题的能力，提高观察、分析、比较、判断、抽象概括能力。
情感目标：感受数学的美与乐趣，激发探究的欲望，增强学好数学的信心，初步渗透集合思想。
2、教学重点、难点及关键
教学重点难点：理解循环小数的意义。
教学关键：通过生活实例、实践、观察、分析，理解什么是“循环”，进而理解什么是循环小数。
四、备方法：
教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。
“循环小数”正是一个能很好体现这一理念的题材。
基于上述认识，在本节课的教学中，我将主要采用自主探究的方法引导学生学习，并注重师生、生生之间的互动与交流。
五、教学过程：
（一）认识循环
1、从生活现象中，感知“循环”
师：你们最喜欢星期几？为什么？
生：星期六、星期天。
师：为什么？
生：星期六、星期天不用上课。
师：星期一、星期二、一直到星期日，一个挨一个按一定的顺序出现，我们把它叫做“依次”，（教师板书：依次。
）一个星期之后又是星期一、星期二至星期日，是“重复出现”，（板书：重复出现）之后又是星期一、星期二至星期日…是“依次不断重复出现”，（完整板书：依次不断重复出现）师：说说生活中还在哪些地方见过这种“依次不断的重复出现的”的现象。
学生举例后教师小结：生活中象这种“依次不断重复出现”的现象很多，我们把这种现象还可以叫做——（循环现象，板书：循环）
2、认识生活中的循环小数
【百度搜索】/question/185288481.html?si=5
（二）自主探索，学习新课
1、认识循环小数
师：请同学们看黑板，出示32÷6和2.7÷11
两个除法算式请同学们分组计算。
通过计算你们有什么发现？
生：除不尽。
师：除了除不尽外你们还发现什么没有？
生：商不断的重复出现。
师：为什么商会重复不断的出现呢?
生：因为它们的余数会重复出现,所以商也会重复出现。
师：32÷6的商怎么表示？
生：商用5.333……表示。
师：5.333……会一直重复出现什么？里面会有多少个3呢？
师：“……”这个省略号表示什么意思？商是从第几位开始重复出现的？（板书：从第一位开始）请同学们用这样的方法表示出2.7÷11商。
师：0.24545……会一直重复出现什么？里面会有多少个45呢）那么这样的商怎么来表示呢？
2、小练习
能说出省略号表示的意思吗？
2÷9=0.222……5÷12=0.4166……
9÷55=0.16363……
3、概括
师：像这些小数，就是我们今天要学习的“循环小数”，谁能说一说，循环小数都有哪些特征？（注意引导学生概括意义时候语言表达的科学性和完整性。
）对照课本上的概
念，你们概括的还有哪些地方不全面？概括出循环小数的意义：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。
4、引导学生自学课本第28页。
思考下面几个问题：
①什么是循环小数？你觉得重点词语有哪些？
②什么是循环节？
③怎样简便写出循环小数？
④怎样读循环小数？
【百度搜索】/view/324983.htm
（三）巩固练习
1、下面哪些数是循环小数？哪些不是？为什么？
8.252525 0.2020202……21.327327……
1.548845458……1
2.4916916…… 9.03
3.1415926……
0.9999……
师：说说你是如何判断的？为什么？
师：根据上面小数的特点，你能将这些小数进行分类吗？并说一说为什么这样分？
师：像3.1415926…… 1.548845458……小数与循环小数有什么共同的特点？尽管无限，但不满足依次不断重复出现的，我们称他是无限不循环小数。
无限小数和无限不循环小数又统称为无限小数。
像9.03 8.252525 小数位数是有限的，我们称他是有限小数。
2、对于循环小数，也可以根据实际需要，取它的近似值。
像2.7÷11 ＝ 0.24545……
（1）这道题的商保留两位小数，近似值（）
（2）商保留三位小数，近似值是（）。
（3）商保留四位小数，近似值是（）。
3、比一比
（1）0.37676……与 0.376376……哪个更大？
（2）0.37676……与 0.376376……小数位数第10位各是几？第30位呢？第100位呢？
4、你知道吗？
你一定没有想到，1，2，3，4，5，6分别除以7，会呈现出十分有趣的结果。
不妨试一试。
1÷7=0.1428571427857……
2÷7=0.285714285714……
3÷7=0.428571428571……
4÷7=0.571428571428……
5÷7=0.714285714285……
6÷7=0.857142857142……
5、动脑筋：
循环小数0.48536536……的小数部分第60位上的数是几？第100位上的数呢？
六、教学反思：
（一）关注学生已有的生活经验和知识背景——为学生架起知识迁移的桥梁。
《数学课程标准》强调：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。
”新课开始，我用两道“找规律，再填空”的练习题，以及学生身边的循环现象为导入点，让学生体验“循环”的意思，从而说说生活中的“循环现象”，将生活与数学融合在一起，使学生真正理解了“循环”含义，从而为进一步探究“循环小数”的意义及写法架起桥梁。
（二）关注学生发展——给学生提供自主合作探究的空间
《数学课程标准》指出：教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
数学学习不应是简单个体接受知识的过程，而是一个主体对自己感兴趣的且是现实的生活性主题的探究与发展的过程。
在新课中，我首先从生活中的现象入手，计算大枣和核桃的单价，从而引导学生主动探究数学中的问题，通过让学生笔算、计算器验证，不断地观察、分析、比较、讨论等学习方式充分调动学生多种感官的参与，给学生提供自主合作探究的空间，让学生全面参与新知的发生、发展和形成过程，使学生
真正体验到探究的乐趣和做数学的价值。
（三）关注学生实际应用——让学生在练习中巩固、内化
从认识的过程来说，形成概念是从感性认识上升到理性认识的过程，即从个别的事例总结出一般性的规律；巩固概念则是识记概念和保持概念的过程，是加深理解和灵活运用概念的过程，即从一般到个别的过程。
好的练习设计能够巩固学生的知识，进而延伸知识，培养学生的创新意识。
教学完新知后，根据由浅入深的原则，力求做到人人学有必须的数学，我设计了三个不同层次的练习，使不同层面的学生都学有所获。
第一题是基本题，是通过从数字乐园中，找循环小数。
第二题综合题，通过根据实际情况，取循环小数的近似值，加强知识间的联系，培养实际应用能力。
最后一道是发展题，一方面让学生研究循环小数的规律，另一方面激发学生的学习兴趣。
