自动控制原理-二阶系统的响应

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二、欠阻尼二阶系统性能指标的定义和计算 条件：系统初始条件为零；单位阶跃 输入 使用条件的原因是，基准相同，系统间 便于比较；而单位阶跃信号易于产生， 其他输入也可由此计算出来。
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1、上升时间 t r 定义：响应曲线第一次达到稳态值的时间。 即
c(tr ) = 1 −
1 1− ζ
2
e
−ζωn tr
(ζ = 1)
2 n
G(S ) =
C (S ) R(S )
ω = 2 ( S + ωn )
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1 而 R( S ) = S ，故
ω 1 C (S ) = ⋅ 2 S ( S + ωn )
2 n
ωn ωn 1 = − − 2 S ( S + ωn ) S + ωn
∴ c(t ) = 1 − e
S1,2 = −ωn
⎤ σ% = ⎡ c ( t ) 1 100% e − × = p ⎣ ⎦
−
ζπ
1−ζ 2
×100%
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系统超调量仅与 ζ 有关， ζ 越小，超调 量越大。超调量的数值直接说明了系 统的相对稳定性。
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4、调整时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ t s
调整时间是指响应值c(t)达到95%-105%(98%--102%)稳态值，并且永 远保持在这个区间内所需的时间。 调整时间可从 c (t ) = 0.95(0.98)出发， 但求解比较困难。巳知：
jω
− ωn t
(1 + ωnt )
c(t )
t≥0
× ×
σ
1
0
t
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系统响应是单调上升，无超调、无振荡的 过渡过程。 3、过阻尼情况 (ζ
> 1)
2
此时，系统有两个不相等的负实根，即
S1,2 = −ζωn ± ωn ζ − 1
故
1 − S1t 1 − S2t c(t ) = 1 − ( e − e ) 2 S2 2 ζ − 1 S1
2
= −σ ± jω d（一对共轭复根）
2
ωd = ωn 1−ζ
---阻尼振荡自然（角）频率
σ = ζ ω n ---衰减系数
4
阻尼比的大小决定了闭环极点在根平面的 位置，反映了解的性质；极点的实部的大 小，决定了指数衰减的快慢；极点虚部的 大小，则决定了系统响应振荡的快慢。
S1+
jω
β
jω n 1 − ζ
(ζ < 0)
此时，系统响应表达式的各指数项均为 正指数，其阶跃响应是发散的：
h(t )
h(t )
0
t
0
t
5、二阶系统在各种阻尼比下的h(t)
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讨论： a.阻尼比 ζ 是二阶系统最重要的特征参数， 只要知道 ζ 的大小，而不必求解方程，就 可知道系统响应的大致情况；
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b.阻尼比过大 (ζ ≥ 1) ，系统响应迟钝，调节时 间增长，快速性较差；而阻尼比太小，使振 荡加剧，衰减变缓，调节时间长，快速性也 差。因而阻尼比一般取值为： 0.4 < ζ < 0.8 ， 此时快速性和平稳性均较好； c. ωn也是系统重要的特征参数。在相同的ζ ωn 越大，系统振荡角频率ωd 越大，致使 下， 系统的平稳性变差，但调整时间减小。 d. ζ = 0.707 称为最隹阻尼比，此时， 超调量较小，调整时间(5%误差带)最短。
0 < ζ <1
6
故
c(t ) = 1 − e
−ζωn t
cos ωd t −
ζ
1− ζ
2
e
−ζωn t
sin ωd t
= 1−
1 1− ζ
c(t )
1
2
e
−ζωn t
sin(ωd t + β )
t≥0
0
t
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a.此时系统响应曲线为衰减振荡过程；随 着ζ 的减小，振荡倾向增强，超调增大； b.当 ζ = 0 ,
× 100%
4
ζ
t s (2%) =
ζω n
ωn
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例1：如图所示系统，欲使系统的最大超调 量等于0.2，峰值时间等于1秒，试确定增益 K和K h 的数值，并确定在此K和K h数值下， 系统的上升时间 tr 和调整时间 t s 。
R( S )
+
−
−
K S ( S + 1)
C (S )
ζπ
1−ζ 2
欢迎光临
1
3-3 二阶系统的响应
一、二阶系统的数学摸型 典型二阶系统是由一惯性环节与积分环 节串联构成的闭环系统，其标准形式为：
R(S )
+
−
ω
S
2
+ 2ζ ω n S
2 n
C (S )
ω C (S ) = 2 G(S ) = 2 R( S ) S + 2ζωn S + ωn
2 n
2
ζ --阻尼系数
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由c '(t ) = 0 ，解出t值，最小解即为t p 。 故
dc(t ) dt
t =t p
=
ωn
1− ζ
2
e
−ζωn t
sin ωd t = 0
∴ωd t = 0, π ...
π π tp = = ωd ωn 1−ζ 2
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即峰值时间t p为阻尼振荡周期的一半。 3、超调量 σ %
最大超调量发生在峰值时间t p ，故有
sin(ωd tr + β ) = 1
sin(ωd tr + β ) = 0
ωd t r + β = π
π −β π −β ∴ tr = = 2 ωd ωn 1 − ζ
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其中：
S1+
−1
jω
β = cos ζ
β
ωn
jω n 1 − ζ
2
0
S 2+ ζω
n
σ
故增大自然振荡角频率或减小阻尼比， 都将减小上升时间。 2、峰值时间 t p
1 + Kh S
σ% = e
× 100% = 0.2% 20%
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∴ζ = 0.456
依题意：
π tp = = 1( S ) ωd ∴ωd = π (rad / S )
ωd
1− ζ
2
故 而
ωn =
= 3.53(rad / S )
2 n
ω C(S) K = 2 = 2 2 R(S) S + (KKh +1)S + K S + 2ζωnS + ωn
(0 < ζ < 0.9)
t s (2%) =
4
ζωn
(0 < ζ < 0.9)
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调整时间与闭环极点与虚轴的距离成反比， 极点离虚轴越远，调整时间越短。 由于ζ 与调整时间的实际关系曲线是非连 续的，因而ζ 值通常由系统允许的最大过 调量来确定,由调整时间确定ωn 。即
σ% = e
−
ζπ
1−ζ 2
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∴ K = ω = 3.53 = 12.5(rad / S )
2 n 2 2 2
2ζω n − 1 Kh = = 0.178( S ) K
tr =
1
ωd
(π − cos ζ ) = 0.65( S )
−1
t s (2%) =
4
ζω n
= 2.48( S )
28
习题: 3-5
29
再见
30
ωn
t≥0
11
Im
h(t )
Re
1
× × S
S2
1
0
t
a.过阻尼系统无振荡、无超调，但过渡过 程时间较长；显然：ess = 0 b.若 ζ >> 1, S1 << S 2 , 此时系统可用 一阶系统来近似，即
S1 C (S ) = R ( S ) S + S1
3 ts = S1
(5%)
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4、负阻尼情况
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c(t ) = 1 −
e
−ζωn t 2
1− ζ
sin(ωd t + β )
e
−ζω nt 2
c(t )是限制在 1 ± 显然， 即它们是 c(t)的包络线： 1 − ζ
之间，
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包络线的时间常数为：
T =
1
ζω n
3
可用包络线代替响应曲线，求出近似调 整时间，即
t s (5% ) =
ζωn
ωn--无阻尼自然振荡频率
二阶系统的响应通常被视为一种基准， 原因就是二阶系统具有定量的品质指标。 二、单位阶跃响应 1、欠阻尼情况 (0 < ζ < 1) 巳知二阶系统的特征方程式为：
3
S + 2ζω n S + ω = 0
2 2 n
当0 < ζ < 1 时，系统的闭环极点（特征根）为：
S1,2 = −ζωn ± jωn 1 − ζ
c(t ) = 1 − cos ωnt ，则
c(t )
Im
jωn
系统零阻尼，是 不衰减的等幅振 荡。
1
0
×
t
1 1− ζ
2
− jωn×
Re
c.∵e(t ) = r(t ) − c(t ) =
e
−ζωnt
sin(ωd t + β )
8
∴ ess = e(∞) = 0
即系统带有一个积分环节，对单位阶跃输 入，稳态误差为零。 2、临界阻尼情况 此时
2
0
S 2+ ζω
n
σ
5
当输入为单位阶跃函数时，则有
ω 1 C ( S ) = G ( S ) R( S ) = ⋅ 2 2 S S + 2ζωn S + ωn S + 2ζωn 1 = − 2 2 S S + 2ζωn S + ωn
2 n
S + ζωn ζωn 1 = − − 2 2 2 2 S ( S + ζωn ) + ωd ( S + ζωn ) + ωd