第二节中心极限定理解读

k 1
定理的应用：对于独立的随机变量序列 X n，不管
Xi (i 1, 2, , n) 服从什么分布，只要它们是同分布，
且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这
n
些随机变量之和 X i 近似地服从正态分布 N n, n 2 i 1
从演示不难看到中心极限定理的客观背景
f
g
h
例:20个0-1分布的和的分布
k 1
概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。
独立同分布的中心极限定理
设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，服从同一分
布，且有有限的数学期望 和方差 2 ，则随机变量
n
Xi n
Yn i1 n 的分布函数 Fn (x) 满足如下极限式
lim n
lim
n
P
i 1
n
x
(
x);
这一讲我们介绍了中心极限定理 中心极限定理是概率论中最著名的结果 之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和 的近似概率的简单方法，而且有助于解释为 什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲 线这一值得注意的事实.
在后面的课程中，我们还将经常用到中心 极限定理.
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
正态分布的概率密度的图形
x
二项分布的随机变量可看作许多相互独立
的0-1分布的随机变量之和, 下面是当x-
(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.

x,总成立
lim P{ μn np x} x
n np(1 p)
1
t2
e 2 dt
2π
定理表明：若 Yn服从二项分布，当n很大时， Yn
的标准化随机变量 Yn np 近似服从标准正态 np(1 p)
分布.
由此可知：当n很大，0<p<1是一个定值时（或
者说，np(1-p)也不太小时），服从二项分布B（n，p) 的随机变量 Yn近似服从正态分布 N(np,np(1-p)).
200 200} 15
P{13.33 X 200 0} Φ(0) Φ(13.33)
15
Φ(0) [1 Φ(13.33)] 0.5 （1 1） 0.5
例2.一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕 是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变 量，它取1(元)，1.2 (元)，1.5(元)各值的概率分别为 0.3，0.2，0.5.某天售出300只蛋糕.求这天的收入至少 达400 (元)的概率
D( X i ) E（X i2） [E（X i）]2 1.713 1.292 0.0489
由独立同分布中心极限定理知：
300
X i 300 1.29近似
i 1
~ N (0，1）)
即
300 0.0489
300
i 1
Xi
387近似
~
N (0，1）)
3.8301
300
300
P{ i 1
Xi
400}
X i 387 P{ i1
3.8301
400 387 }
3.8301
300
X i 387
P{ i1
3.39} 1 Φ(3.39)

n
的分布函数 Fn ( x ) 对于任意 x 满足
n
lim Fn ( x ) lim P {Yn x } lim P{ k 1
n x n
Xk n
n
n
x}


1 2π
t2 e 2 dt
( x ).
定理4.6表明:
当 n , 随机变量序列 Yn 的分布函数收敛于 标准正态分布的分布函 数.
x
x
1 e 2π
t2 2
dt ( x ).
注 1º 定理4.7表明: 正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大 时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.
即 若n ~ B( n, p ) ( n 1,2,; 0 p 1)，则
n的标准化随机变量： n E (n ) n np Yn D(n ) np(1 p )
例4 对于一个学生而言, 来参加家长会的家长 人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名 家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05、 0.8、0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加 会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求 参加会议的家长数X超过450的概率; (2) 求有1名 家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 解 (1) 以 X k ( k 1, 2,, 400) 记
且都在区间 ( 0,10) 上服从均匀分布 , 记 V Vk ,
k 1 20
求 P {V 105} 的近似值 .
解
100 E (Vk ) 5, D(Vk ) ( k 1,2,,20). 12 V E (V ) V 20 5 Z 100 D(V ) 20 12

1 2

e
x
t2 2
dt
q=1-p
定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值 时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变 量的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).
例2某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被 盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户 中因被盗向保险公司索赔的户数 （1） 写出X的概率分布
第五章
Hale Waihona Puke 大数定律和中心极限定理§5.2 中心极限定理
大数定律揭示了大量随机变量的算术平均值
在一定条件下具有某种稳定性这一重要规律。
而在概率论中还有一类重要的极限定理，它是 解决在什么条件下，大量独立的随机变量的和 的分布是以正态分布为极限分布。
列维一林德伯格（Levy－Lindberg）定理. 定理1（独立同分布下的中心极限定理） 设X1, X2, …是独立同分布的随机变量序 列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2 ，i=1,2,…， 则 n X i n x 1 -t 2 2 i 1 e dt lim P{ x } n - 2 n
解: 设Xi (i=1,2…n)为第i箱重量,n为所求箱 数由条件知X1 , X2 … Xn是独立同分布的， 而n箱总重量X = X1 +X2 + … + Xn E(Xi )=50 DX 5
i
E(X ) = 50n
D(X) = 25n
由中心极限定理, X近似N(50n,25n)
P(X ≤5000)= P ( X 50n 5000 50n ) 5 n 5 n 1000 10n ( ) 0.977 ( 2) n 1000 10n 由此可见 2 n

x)
1
t2
e 2 dt Φ( x) .
n np(1 p)
2
该定理表明,当 n 时,二项分布以正态分布
为极限分布.
实际应用中,若随机变量X ~ B(n, p) ,只要 n 充
分大,即有
~ X 近似地 N(np, npq)，或
即有近似计算公式
~ X np 近似地 N(0,1)， npq
观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随 机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中 所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从 正态分布.
4
中心极限定理，正是从理论上证明，对于大 量的独立随机变量来说，只要每个随机变量在总 和中所占比重很小，那么不论其中各个随机变量 的分布函数是什么形状，也不论它们是已知还是 未知，而它们的和的分布函数必然和正态分布函 数很近似。这就是为什么实际中遇到的随机变量 很多都服从正态分布的原因，也正因如此，正态 分布在概率论和数理统计中占有极其重要的地位。
[1 Φ(1.34)] 2 0.1802．
12
~ Sn
12 /
n
近
似
地
N
(0,
1)
,
(2) 数据个数n应满足条件：
P{| Sn | 10 } P
| Sn | n / 12
10


0.90
,
n / 12
即 2Φ( 10 ) 1 0.90 , Φ( 10 ) 0.95 ,
P{40 X 60} Φ( 60 50) Φ( 40 50)
47.5
47.5
2Φ(1.45) 1 0.853 .
注 由切比雪夫不等式,

n
n
●伯努利大数定律说明了当重复独立试验次数 n 很大时，频率与其概率之差可为任意小， 即说明了其频率的稳定性。
从而在实际推断中，当试验次数较大时，可以 用事件发生的频率来近似代替概率。
若记
1, 第i次实验中事件A发生 Xi 0，第i次实验中事件A不发生
(i 1, 2
n)
n
P400 X 600 由切比谢夫不等式得
P400 500 X 500 600 500 P| X E(X ) | 100
1
D(X ) 100 2

1

250 100 2

0.975
(2)设需要做n次独立试验, 则X ～ B(n, 0.5), 求n使得
P
0.35

X n

0.65

0.95
P0.35

X n

0.65

P0.35
n
0.5
n

X

0.5 n

0.65n

0.5n
PX 0.5n 0.15n 0.95
成立,由切比谢夫不等式得
DX
0.25n
P X 0.5n 0.15n 1 (0.15n)2 1 (0.15n)2
D( Xi ) c(i 1, 2 ),则对任意 0,有
lim P(
n
1 n
n i 1
Xi

1 n
n i 1
E( Xi )
)
1
证明: 由期望与方差的性质知
E(1
n
n i 1
Xi)

P(940 X 1060 )
用正态分布近似计算
由中心极限定理,
1000, 5000 X ~ N 6
近似
1000, 5000 X ~ N 6 1 X P(940 X 1060 ) P 0.01 6000 6 1060 1000 940 1000 5000 6 5000 6
1 令 Xi 0
第i位顾客选择了甲 i 1,2 2000 否则
1 令 Xi 0
第i位顾客选择了甲 否则
1 X i ~ (0 1)分布 P( X i 1) P ( X i 0) 2 1 即 X i ~ B (1, ) 诸Xi独立同分布,
2
设 Y Xi
由题给条件知，诸Xi独立同分布，
E(Xi)=100,
D(Xi)=10000
16 k 1
16只元件的寿命的总和为 Y X k
解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 诸Xi独立同分布, E(Xi)=100,D(Xi)=10000 16 16只元件的寿命的总和为 Y X
分析： 求的是100个独立且均服从均匀分布的 随机变量和的概率分布问题 解： 设 X i 为第i段的误差 i=1,2,…100 由题给条件知,诸Xi独立同分布, 1 X i ~ U (1,1) 则 EXi 0, DX i
总误差Y X i
i 1 100
100 则 EY 0, DY 3
在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正 态分布这一类定理都叫做中心极限定理. 我们只讨论几种简单情形. 下面给出的独立同分布随机变量序列 的中心极限定理, 也称列维一林德伯格 （Levy－Lindberg）定理.

四、拉普拉斯中心极限定理
例3 100台车床独立工作，每台实际工作时间占全部 工作时间的80%. 求任一时刻有70至86台车床工作的 概率.
解：设
Xi
0, 1,
第i台床不工作 第i台床工作
i 1, 2,
,100
则 Xi B(1, 0.8)
100
100
依题意， E( X ) E( Xi ) E( Xi ) 80
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2, )独立同分布，
EXi , DXi 2 , i 1, 2, ，则
lim
n
P
n i 1
n
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1
x
lim P n
n i 1
Xi n n 2
x
1
x t2
e 2 dt ( x)
2
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2, )独立同0-1分布，即
n
Xi B(1, p), EXi p, DX i pq, i 1, 2, ， X i nA，
i 1
n
n
lim n
P
i 1
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1
x
lim
n
P
nA np npq
x

近似
Xi N (n，n 2 ),
i 1
X
1 n
n
近似
X i N (， 2
i 1
n)
n
近似
~ Xi独立同0 - 1分布 Xi nA N (np，npq)
i 1
大数定律与中心极限定理

i=1
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定理2: 定理
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贝努利大数定律) (贝努利大数定律)设nA是n次独立重复试 次独立重复试 定理3: 定理 验中事件A出现的次数 是事件 出现的次数. 是事件A在每次试验中发生的 验中事件 出现的次数 p是事件 在每次试验中发生的 概率 (0<p<1),则对任意的ε >0有: 则对任意的 有 或 证明:设Xi表示第 i 次试验中事件 出现的次数, 次试验中事件A出现的次数 出现的次数, 证明: i=1,2,…,n,则X1,X2,…,Xn相互独立且均服从参数为 的 相互独立且均服从参数为p的 则 (0-1)分布,故有 E(Xi)=p, D(Xi)=p(1-p) i=1,2,…,n 分布, 分布 由契比雪夫大数定律知, 且 ,由契比雪夫大数定律知,对于任意 的 ,有
定理1: 定理
相互独立, 证 因X1,X2,…相互独立,所以 相互独立
1 n 1 n 1 l D ∑ X i = 2 ∑ D( X i ) < 2 nl = n n n i =1 n i =1
又因
1 n 1 n E ∑ X i = ∑ E ( X i ), n i =1 n i =1
ε
ε2
可见契比雪夫不等式成立. 可见契比雪夫不等式成立
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设电站供电网有10000盏电灯 夜晚每一盏灯开灯的 盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的 例2 设电站供电网有 盏电灯 概率都是0.7,而假定开,关时间彼此独立 估计夜晚同时 而假定开, 概率都是 而假定开 关时间彼此独立,估计夜晚同时 开着的灯数在6800与7200之间的概率 之间的概率. 开着的灯数在 与 之间的概率 表示在夜晚同时开着的灯的数目,它服从参数为 解 设X表示在夜晚同时开着的灯的数目 它服从参数为 表示在夜晚同时开着的灯的数目 n=10000,p=0.7的二项分布 的二项分布. 的二项分布 若要准确计算,应该用贝努利公式 应该用贝努利公式: 若要准确计算 应该用贝努利公式:

中心极限定理
§5.2 中心极限定理
一. 中心极限定理的定义与意义
定义5.2.1 设随机变量X, X1, X2, …的分布函 数分别为F( x ),F1( x ), F2( x ), …, 若极限式
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x
)
在F( x )的每一个连续点上都成立，称随机变 量序列{Xk}, k = 1,2,…依分布收敛于X .
中心极限定理
二. 中心极限定理
定理5.2.1（林德伯格—列维定理、独立
同分布中心极限定理）
设{ Xk }, k =1,2…为相互独立, 具有相同分
布的随机变量序列, 且E( Xk ) = m, D( Xk ) = s2,
则{ Xk }满足中心极限定理，即 有
n
lim
P
k
1
X
k
nm
x
Φ( x)
100
X Xi
i 1
电子科技大学
中心极限定理
并且随机变量 X1, X2, ···, X100 独立同分布,
具有分布律:
P{ X i
k}
1 (2)k1, 33
k 1,2,
因 1
E( X i ) 1 3, 3
2
D( X i )
3
(
1 3
)2
6
i = 1, 2, ···, 100;
根据林德伯格—列维定理, 所求概率
电子科技大学
中心极限定理
100
P{280 Xi 300}
i 1
(0) (0.8165)
0.5 1 (0.8165) 0.293
电子科技大学
中心极限定理