拉普拉斯中心极限定理公式

N −120 −120 N −120 ≈Φ −Φ ≈Φ 48 48 48
N −120 由 Φ : ≥ 0.999, 48
N−120 − 查正态分布函数表得: Φ 查正态分布函数表得 (3.1) = 0.999, 故 , ： ≥ 3.1
: ,由 而 X = ∑Xk ,由 理可 随 变 : 定 , 知 机 量
k=1 近 地 似
400
概率论
X
400
~ N(400×1.1,400×0.19)
k
∑X
有 即 :
k=1
−400×1.1
400 0.19
X −400×0.8近似地 01 ) = ~ N（ ， 400 0.19
X −400×0.8 450−400×0.8 是 于 :P{X > 450 = P } > 400 0.19 400 0.19 X −400×0.8 =1− P ≤1.147 400 0.19
一 学 无 长 1名 长 2名 长 参 会 的 率 别 : 设 个 生 家 、 家 、 家 来 加 议 概 分 为 0.05、 、 若 校 有 名 生 0.8 0.15. 学 共 400 学 , 各 生 加 议 家 数 互 立 服 同 分 . 设 学 参 会 的 长 相 独 ,且 从 一 布
1 ） 参 会 的 长 X 过 的 率 （ 求 加 议 家 数 超 450 概 ； （ 求 1 家 来 加 议 学 数 多 的 率 2 ） 有 名 长 参 会 的 生 不 340 概 .
2) 独 同 布 心 限 理 另 种 式 写 : 立 分 中 极 定 的 一 形 可 为
似 近 地 似 σ2 X −µ 近 地 1 n 中 ~ N(0,1); X ~ Nµ, n , 其 X = n∑Xk . σ n k=1

拉普拉斯中心极限定理公式拉普拉斯中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它探讨了随机变量和正态分布之间的关系。

该定理为计算概率提供了一个有效的途径，下面将对拉普拉斯中心极限定理的公式及相关参考内容进行介绍。

拉普拉斯中心极限定理的公式是：P(a ≤ X ≤ b) ≈ Φ((b-μ)/σ) - Φ((a-μ)/σ)其中，Φ代表标准正态分布的累积分布函数，X代表随机变量，a和b分别是随机变量X的上下界，μ是X的期望值，σ是X的标准差。

这个公式的含义是，随机变量X的取值在区间[a, b]内的概率约等于标准正态分布在区间[(a-μ)/σ, (b-μ)/σ]内的概率。

为了更好地理解和应用拉普拉斯中心极限定理，可以参考以下内容：1. 概率论教材：概率论教材是学习拉普拉斯中心极限定理的基础，其中会详细介绍该定理的证明过程和相关概念。

例如，《概率论与数理统计》（吴喜之、徐锡麟著）等教材可以提供相关内容的学习参考。

2. 概率论相关论文：在概率论领域的学术论文中，通常会对拉普拉斯中心极限定理进行更深入的研究和探讨。

阅读这些论文可以了解到该定理的应用场景、证明方法以及相关的数学推导。

如《Central limit theorem for dependent variables》（BuldyginV.V., Goncharov V.M.）等论文可以提供更深入的学术理解。

3. 统计学课程材料：拉普拉斯中心极限定理在统计学中的应用十分广泛，学习相关统计学知识能够更好地理解和应用该定理。

例如，学习相关统计学课程中的教材和课件，如《数理统计学教程》（吕士杰、房建华著）等，可以提供详细的解释和案例。

4. 数学论坛和社区：在数学论坛和社区中，有很多热心的数学爱好者和专家可以与您分享关于拉普拉斯中心极限定理的知识和经验。

通过与他们的交流和讨论，可以加深对该定理的理解和应用。

例如，在数学交流平台Math Stack Exchange中，可以搜索相关问题并阅读专家的回答。

概率论与数理统计第四章正态分布§13 中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲第四章正态分布§13 中心极限定理主要内容一、林德伯格—莱维中心极限定理二、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理三、李雅普诺夫中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲例1炮火轰击敌方防御工事100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为2, 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.一、林德伯格—莱维中心极限定理解设X k 表示第k 次轰击命中的炮弹数,2()2,() 1.5,1,,100,k k E X D X k ==="相互独立,12100,,,X X X "苏保河主讲设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理, 例1 解(续1)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则2()200,()15,E X D X ==~(200,225).X N 近似地有{180}P X ≥1((180200)/15)Φ≈−−(1.33)Φ=(1)至少命中180发炮弹的概率;1( 1.33)Φ=−−0.9082.=1{180}P X =−<设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理,例1 解(续2)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则()200,()225,E X D X ==2~(200,15).X N 近似地有(2)命中的炮弹数不到200发的概率.{0200}P X ≤<((200200)/15)((0200)/15)ΦΦ≈−−−(0)(13.33)ΦΦ=−−0.5000.=例2检验员逐个检查某产品, 每查一个需用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次,再用去10 秒钟. 若产品需重复检查的概率为0.5, 求检验员在8 小时内检查的产品多于1900 个的概率.解在8 小时内检查的产品多于1900 个,即检查1900 个产品所用时间小于8 小时.设X为检查1900 个产品所用的时间(秒),设Xk 为检查第k个产品所用的时间(单位为秒), k= 1, 2, …, 1900.苏保河主讲例3某车间有200 台车床独立地工作,开工率为0.6, 开工时每台耗电为r 千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给该车间a千瓦的电力, X为开工的车床台数, 则X~ B(200, 0.6),由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理,X~ N(120, 48) (近似),欲求a, 使{0}99.9%.P rX a≤≤=苏保河主讲李雅普诺夫中心极限定理的意义如果随机变量X 可以看成许多相的总和,互独立的起微小作用的因素Xk则X 服从或近似服从正态分布.苏保河主讲苏保河主讲1. 离散型随机变量的数学期望第三章内容小结定义1设X 是离散型随机变量, 其分布律是P {X = x k } = p k (k = 1, 2, …),如果收敛, 定义X 的数学期望1||k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑一、数学期望2. 连续型随机变量的数学期望定义2设X 是连续型随机变量,()()d E X x f x x∞−∞=∫收敛, 定义X 的数学期望||()d x f x x ∞−∞∫其密度函数为f (x ), 如果苏保河主讲4. 数学期望的性质1.设C 是常数, 则E (C ) = C .4.设X , Y 独立, 则E (XY ) = E (X )E (Y ).2.若k 是常数, 则E (kX ) = kE (X ).3.E (X 1 + X 2) =E (X 1) + E (X 2).条件: X 1,X 2, …, X n 相互独立.11()().n n i i i i i i E C X C E X ===∑∑推广:11()().n n i i i i E X E X ===∏∏推广:苏保河主讲3. 方差的性质1)设a 是常数, 则D (a ) = 0.2)若a 是常数, 则D (aX ) = a 2D (X ).4)若X 1 与X 2相互独立, 则D (X 1±X 2) = D (X 1) + D (X 2).推广：若X 1, X 2, …, X n 相互独立, 则11[](),n ni i i i D X D X ===∑∑211[]().n n i i i i i i D C X C D X ===∑∑3)若a , b 是常数, 则D (aX + b ) = a 2D (X ).苏保河主讲4. 协方差的定义定义对于二维随机变量(X, Y),称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 为X与Y 的协方差, 记为Cov(X, Y), 即Cov(X, Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.5. 协方差的计算公式Cov(X,Y)=E(XY)–E(X)E(Y)推论: 若X 与Y 独立, 则Cov(X,Y) = 0.苏保河主讲6. 协方差的性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y), a,b是常数(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)苏保河主讲若X 1, X 2, …, X n 两两独立, 则D (X +Y ) = D (X )+D (Y )+2Cov(X , Y )7. 随机变量和的方差与协方差的关系11()().n ni i i i D X D X ===∑∑11()()2Cov(,)n ni i i j i i i j D X D X X X ==<=+∑∑∑苏保河主讲9. 相关系数的性质2)|| 1.XY ρ≤0,XY ρ=1) X 和Y 独立时但其逆不真.定义对于随机变量X , 如果E (X k )( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶原点矩或k 阶矩.10. 矩和中心矩如果E {[X -E (X )]k } ( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶中心矩.苏保河主讲三、切比雪夫不等式与大数定理1. 马尔科夫不等式2. 切比雪夫不等式3. 切比雪夫大数定理4. 独立同分布下的大数定理5. 伯努利大数定理苏保河主讲用X 表示n 重伯努利试验中事件A 出现(成功)的次数, 其分布律称r.v. X 服从参数为n 和p 的二项分布, 注当n = 1 时, 称X 服从参数为p 的伯努利分布，或0-1 分布.1. 二项分布{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,k n ="记作X ~ B (n , p ).苏保河主讲四、几个重要的随机变量苏保河主讲(),()(1).E X np D X np p ==−如果X ~ B (n , p ),结论：{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,,k n ="2. 超几何分布定义将N个元素分为2 类, M个属于第一类, N－M个属于第二类, 从中按不放回抽样随机取n个元素. 令X表示这n 个元素中第一类元素的个数, 则称X服从超几何分布, 记为X h n N M~(,,)苏保河主讲。

拉普拉斯中心极限定理公式(一)拉普拉斯中心极限定理公式什么是拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理（Laplace’s Central Limit Theorem）是概率论中的一个重要定理，它表明当独立随机变量的数量趋向于无穷大时，它们的和近似服从一个高斯分布（即正态分布）。

这个定理在统计学和概率论的应用非常广泛，它的公式可以用于研究和解释各种随机现象。

拉普拉斯中心极限定理公式根据拉普拉斯中心极限定理，当独立随机变量的数量趋向于无穷大时，这些独立随机变量的和的分布可以用以下公式来近似表示：[公式](这里，[公式]( 是标准正态分布的累积概率函数。

示例解释假设有一个硬币，抛掷一次正面的概率为，反面的概率也为。

我们现在抛掷这个硬币1000次，正面出现的次数记作随机变量X。

根据二项分布的性质，我们知道当n足够大时，X近似服从一个均值为n p，方差为n p*(1-p) 的正态分布。

根据拉普拉斯中心极限定理，当n足够大时，X也近似服从一个均值为n p，方差为n p*(1-p) 的正态分布。

我们可以利用这个定理来计算在这1000次抛掷中正面出现的次数在一个特定区间的概率。

假设我们想要计算正面出现次数在480到520之间的概率。

根据拉普拉斯中心极限定理的公式，我们可以将问题转化为计算正态分布的累积概率。

具体计算步骤如下：1.计算标准差（方差的平方根）：[公式](2.将上下限值转化为标准差单位的形式：[公式]( 和 [公式](3.利用正态分布的累积概率函数计算区间概率：[公式](所以，在1000次抛掷中，正面出现次数在480到520之间的概率约为。

通过以上的示例，我们可以看到拉普拉斯中心极限定理对于大量独立随机变量和的分布近似为正态分布的重要性，以及其在实际问题中的应用。

= Φ (1.83) = 0.966
练习：237页1、2
3、李雅普诺夫（独立不同分布） 、
设随机变量 X 1 , X 2 ,L, X n ,L相互独立 , 它 们具有数学期望 和方差： 和方差： E ( X k ) = µ k , D( X k ) = σ k ≠ 0 ( k = 1,2,L),
2 n
中心极限定理
林德贝格—勒维（独立同分布定理） 棣莫弗—拉普拉斯（二项分布的正态近似） 李雅普诺夫（独立不同分布）
一.依分布收敛
为随机变量序列， 为随机变量， 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其 对应的分布函数分别为F 若在F(x) 对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x) 的连续点， 的连续点，有 则称{F (x)}弱收敛于 弱收敛于F(x). 则称{Fn(x)}弱收敛于F(x). 可记为
由中心极限定理, 由中心极限定理,结论得证
记
2 2 Bn = ∑ σ k , k =1
若存在正数 δ , 使得当 n → ∞ 时, 1
2 Bn +δ
E {| X k − µ k |2+δ } → 0, ∑
k =1
n
则随机变量之和的标准化变量 n n n n ∑ X k − E ∑ X k ∑ X k − ∑ µk k =1 = k =1 k =1 Z n = k =1 Bn n D ∑ X k k =1 的分布函数 Fn ( x ) 对于任意 x 满足 n n ∑ X k − ∑ µk k =1 k =1 lim Fn ( x ) = lim P ≤ x n→ ∞ n→ ∞ Bn 2 t x 1 −2 e dt = Φ ( x ). =∫ −∞ 2π

x)
1
t2
e 2 dt Φ( x) .
n np(1 p)
2
该定理表明,当 n 时,二项分布以正态分布
为极限分布.
实际应用中,若随机变量X ~ B(n, p) ,只要 n 充
分大,即有
~ X 近似地 N(np, npq)，或
即有近似计算公式
~ X np 近似地 N(0,1)， npq
观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随 机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中 所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从 正态分布.
4
中心极限定理，正是从理论上证明，对于大 量的独立随机变量来说，只要每个随机变量在总 和中所占比重很小，那么不论其中各个随机变量 的分布函数是什么形状，也不论它们是已知还是 未知，而它们的和的分布函数必然和正态分布函 数很近似。这就是为什么实际中遇到的随机变量 很多都服从正态分布的原因，也正因如此，正态 分布在概率论和数理统计中占有极其重要的地位。
[1 Φ(1.34)] 2 0.1802．
12
~ Sn
12 /
n
近
似
地
N
(0,
1)
,
(2) 数据个数n应满足条件：
P{| Sn | 10 } P
| Sn | n / 12
10


0.90
,
n / 12
即 2Φ( 10 ) 1 0.90 , Φ( 10 ) 0.95 ,
P{40 X 60} Φ( 60 50) Φ( 40 50)
47.5
47.5
2Φ(1.45) 1 0.853 .
注 由切比雪夫不等式,

ab EX i 0 2
(b a) 2 1 DX i 12 3
1．设 X 1 , X 2 ,, X n 独立同分布，且 X i (i 1, 2,, n) 服从参数为 的指数分布， 则下列各式成立的是（ ）
n Xi n lim P i 1 x ( x) n n
一、问题的引入
• 例如对某物的长度进行测量, 在测量时有许 多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度等
因素对测量仪器的影响, 使测量产生误差X1;
测量者观察时视线所产生的误差X2; 测量者心
理和生理上的变化产生的测量误差X3; …显然
这些误差是微小的、随机的, 而且相互没有影 响. 测量的总误差是上述各个因素产生的误差 之和, 即∑Xi .
n Xi n x ( x) ( A ) lim P i 1 n n n Xi i 1 x ( x) (D) lim P n n
(B)
依分布收敛
林德伯格-列维 中心极限定理
辛钦大数定律
德莫佛-拉普拉斯 中心极限定理
n
的分布函数 Fn ( x ) 对于任意 x 满足
n t2 X k n k 1 x 1 e 2 dt ( x ). lim Fn ( x ) lim P x 2π n n n 上述定理表明:
1 (8.78) 0
2. 棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理
二项分布的正态近似
设 X ~ B n, p (0 p 1)的, 则 对于任意 x, 恒有 X np x 1 lim P x e dt ( x). n np(1 p) 2π

6000 6000 2 1 0.99995, 即 1/ 6 5 / 6 0. , 6000 6000 1 / 6 5 / 6
故近似地有
查表得
6000 6000 1 / 6 5 / 6
2.58,
0.0124 .
中心极限定理
§5.2 中心极限定理
李雅普诺夫定理 独立同分布的中心极限定理
德莫佛-拉普拉斯定理
1
中心极限定理
一、中心极限定理 李雅普诺夫(Liapunov)定理
设有独立的随机变量序列X1,X2，…,Xn…, 且有有限
的期望 E( X k ) k，D( X k ) k 0, (k 1,2,)，
V - 20 5 105 - 20 5 P{V 105} P 2 2 20 10 / 12 20 10 / 12 V - 100 P 0.387 1 (0.387) 0.348 20 (10 / 12 )
9
中心极限定理
r 120 ( ) 0.999, 48
r - 120 48 3. 1 ,
所以 r 141.
查表得
即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车 间正常生产。
10
中心极限定理
例2 今从良种率为1/6的种子中任取6000粒，问能以0.99 的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的 差的绝对值不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？ 解 设良种数为X，则X~B(6000,1/6) 设不超过的界限为α，则有 德莫佛-拉普拉斯定理
2
二项分布即可以用帕松分布近似代替，也可用正态 说明 当p很小，n很大时用帕松分布近似代替，p不太 分布近似代替，如何选择？ 接近0或1，n又较大时用此推论计算有关二项分布的

棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理是概率论中的重要定理之一，它描述了大量独立随机变量的和在适当的假设下会趋向于服从正态分布。

这个定理被广泛应用于统计学中，例如在估计总体均值和方差时，可以使用样本均值和样本方差，并利用中心极限定理来推断总体的均值和方差。

定理的证明使用了大量的数学工具，包括特征函数和随机过程的极限理论。

棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理是现代概率论和统计学中最重要的定理之一。

- 1 -。

n
分布, 只要满足定理的条件, 那么它们的和 X k
k 1
当 n 很大时,近似地服从正态分布.
定理三(德莫佛－拉普拉斯中心极限定理)
设随机变量n (n 1,2,) 服从参数为n, p
(0 p 1)的二项分布, 则 对于任意x, 恒有
lim P n
n np
np(1 p)
x
x
1
t2
并假设各次试验是独立的,在90 000次波浪冲击中
纵摇角大于 3º的次数为 X,
则 X 是一个随机变量,
且
X
~
b 90000,
1 3
.
分布律为
P{ X
k}
90 000
1
k
2 90000k
,
k 3 3
k 1,,90000.
所求概率为
P{29500
X
30500}
k
30500
2.321
1 (2.321) 0.01 .
例4对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是
一个随机变量. 设一个学生无家长、1名家长、 2名
家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15. 若
学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相
互独立, 且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长数
29501
90000 k
1 3
k
2 3
90000
k
.
直接计算很麻烦，利用德莫佛－拉普拉斯定理
P{29500 X 30500}
P
29500
np(1
np p)
X np np(1 p)
30500 np(1

由中心极限定理, 随机变量 Z 近似服从正态分布 N (0,1) ,
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V 20 5 其中 Z 100 100 20 20 12 12 V 20 5 105 20 5 } P{V 105} P { 100 100 20 20 12 12
k 1
2
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四、例题选讲 例1
一加法器同时收到 20 个噪声电压 Vk
20
( k 1, 2, 20 ), 设它们是相互独立的随机变量 , 且都在区间 (0,10) 上服从均匀分布, 记 V Vk ,
k 1
求 P{V 105} 的近似值.
解
E (Vk ) 5,
100 D(Vk ) ( k 1,2,,2对x R, 有
1 lim P{ Z n x } e dt n 2
x
t2 2
则称随机序列{Xn}服从中心极限定理.
当 n , 随机变量序列 Z n 的分布函数收敛于 标准正态分布的分布函数.
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一、独立同分布的中心极限定理
定理一 设随机变量 X 1 , X 2 ,, X n ,独立同分布,
X k 400 1.1
k 1
400
400 0.19
X 400 1.1 400 0.19
近似服从正态分布 N (0, 1),
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于是 P{ X 450}
X 400 1.1 450 400 1.1 P 400 0.19 400 0.19 X 400 1.1 1 P 1.147 400 0.19
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由中心极限定理, X X k N (150,100)
近似 k 1
100
故 P{ X k 120} P{ X 120}
k 1
100
X 150 120 150 P{ } 10 10
120 150 ( ) ( 3) 0.0013 10
nA n (3)估计频率与概率的误差: P{ p } 2( )1 n p(1 p)
证 : nA代表n重伯努利试验中A发生的次数,
1 第i次试验A发生 设X i 0 第i次试验A没有发生
nA : B(n, p)
(i 1, 2, ..., n)
X i : B(1, p)
则100次轰炸命中目标的次数 X X k
k 1 100
由题意 E( X k )=2, D( X k )=1.69
{ X k }独立同分布, 满足中心极限定理条件.
E ( X ) E ( X k ) 200
k 1 100
D( X ) D( X k ) 169 132
近似 k 1
20
或
Z
V E (V ) D(V )

V
k 1
20
k
100
近似 N (0,1)
10 20 / 12
V E (V ) 105 E (V ) } P{V 105} 1 P{V 105} 1 P{ D(V ) D(V ) V E (V ) 105 100 1 P{ } 1 ( 105 100 ) D(V ) 10 20 / 12 10 20 / 12
i 1
近似 根据独立同分布的中心极限定理,nA N (np, np(1 p))

第二节中心极限定理独立同分布序列的中心极限定理定理1设X1,X2,…Xn,…是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。

记随机变量的分布函数为F n（x），则对于任意实数x，有（不证）其中φ（x）为标准正态分布函数。

由这一定理知道下列结论：（1）当n充分大时，独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布N（nμ，nσ2）。

我们知道，n个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布。

中心极限定理进一步告诉我们。

不论X1,X2,…X n,…独立同服从什么分布，当n充分大时，其和Z n近似服从正态分布。

（2）考虑X1,X2,…X n,…的平均值，有它的标准化随机变量为，即为上述Y n。

因此的分布函数即是上述的F n（x），因而有由此可见，当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值的分布近似于正态分布[例5-3]对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，均方差为1.5，求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。

解设X i为第i次射击时命中目标的炮弹数（i=1,2,…,100），则为100次射击中命中目标的炮弹总数，而且X1，X2，…X100同分布且相互独立。

由定理1可知，随机变量近似服从标准正态分布，故有[例]某种电器元件的寿命服从均值为100（单位：小时）的指数分布。

现随机抽出16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1 920小时的概率。

解设第i只电器元件的寿命为X i=（i=1,2,…16）,E（X i）=100，D（X i）=1002=10 000，则是这16只元件的寿命的总和。

E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，则所求概率为：棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心极限定理下面介绍另一个中心极限定理，它是定理1的特殊情况。

拉普拉斯中心极限定理公式拉普拉斯中心极限定理是概率论中一个重要的极限定理，它揭示了随机变量和正态分布之间的紧密联系。

这个定理给出了一种近似计算概率的方法，不仅在理论上有重要意义，而且在实际应用中也有广泛的应用。

拉普拉斯中心极限定理的表述可以简单地理解为：当样本容量较大时，随机变量的和近似服从正态分布。

具体来说，设X₁，X₂，...，Xₙ是n个相互独立同分布的随机变量，它们的期望值为μ，方差为σ²，那么当n趋向于无穷大时，这n个随机变量的和的标准化形式(Sn - nμ) / √(nσ²) 的分布近似于标准正态分布。

拉普拉斯中心极限定理的证明是基于大数定律和中心极限定理的基础上进行的。

大数定律指出，当样本容量足够大时，随机变量的平均值会趋近于其期望值。

中心极限定理则进一步扩展了大数定律的应用范围，它告诉我们，当样本容量足够大时，随机变量的和的标准化形式会趋近于标准正态分布。

拉普拉斯中心极限定理的应用十分广泛。

在统计学中，我们经常需要进行概率计算，而有些概率分布并不容易直接计算。

利用拉普拉斯中心极限定理，我们可以将复杂的概率计算转化为对标准正态分布的计算，从而简化了问题的求解过程。

这为我们提供了一个有效的近似计算方法。

举个例子来说明拉普拉斯中心极限定理的应用。

假设一批产品的重量服从均值为10kg，标准差为1kg的正态分布。

现在我们想知道从这批产品中随机抽取100个产品，其总重量在11kg到12kg之间的概率是多少？利用拉普拉斯中心极限定理，我们可以将这个问题近似转化为计算标准正态分布在一定区间内的概率。

具体计算过程如下：计算随机变量的期望值和方差。

由于每个产品的重量服从均值为10kg，标准差为1kg的正态分布，所以100个产品的总重量X的期望值为100 * 10 = 1000kg，方差为100 * 1² = 100kg²。

然后，将问题转化为计算标准正态分布的概率。

中心极限定理公式中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论中的一个重要定理，它可以描述一类随机变量的分布特性。

该定理的公式形式如下：设X₁, X₂, ..., Xₙ是独立同分布的随机变量，它们具有相同的概率分布，且具有有限的均值μ和方差σ²。

令Sₙ = (X₁ + X₂ + ...+ Xₙ) / √n，则当n趋近于无穷大时，随机变量Sₙ的分布趋近于正态分布，其均值为μ，方差为σ²/n。

中心极限定理被认为是概率论和统计学的一个基本定理，它在理论和实际应用中都起到了至关重要的作用。

它的核心思想是，当一个随机变量是由大量相互独立的随机事件叠加而成时，其分布趋向于正态分布。

这意味着即使原始随机变量的分布不是正态分布，但当样本数足够大时，样本均值的分布将接近于正态分布。

中心极限定理的生动性在于它提供了一个如何从大量随机事件中得到可靠结论的方法。

假设我们想要研究某地区居民的身高。

如果我们直接从全体居民中随机抽取一些人，可能面临样本不足、样本不具有代表性等问题。

而中心极限定理告诉我们，只要我们能够抽取足够数量的样本，样本均值的分布将逐渐接近正态分布，从而能够提供关于全体居民身高的合理估计。

中心极限定理的全面性在于它适用于各种类型的随机变量。

无论原始分布是均匀分布、指数分布、二项分布还是任何其他形式，只要满足独立同分布的条件，中心极限定理都成立。

这使得中心极限定理成为处理实际问题的有力工具。

不论我们需要研究某种产品的质量、市场的需求量，还是其他任何具有随机性的现象，中心极限定理都可以帮助我们得到更准确的结果。

中心极限定理的指导意义在于它可以为我们提供关于样本大小的参考。

根据中心极限定理的要求，当我们想要得到一个具有一定可靠性的估计值时，我们需要确保样本数足够大。

通常，当样本数超过30时，中心极限定理的近似效果足够好；当样本数超过100时，其近似效果更加显著。

因此，在实际应用中，我们可以根据中心极限定理的指导，选择适当的样本大小，以获得可靠的结果。

§2-8 拉普拉斯(Laplace)定理 行列式的乘法规则一、拉普拉斯定理定义9 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列(n k ≤)，位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式.在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式.从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式.例1 在四级行列式 3100120012104121-=D 中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M ： 1042=M , M 的余子式为 1020='M . 例2 在五级行列式555453525125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a D=中,454342252322151312a a a a a a a a a M =和54513431a a a aM ='是一对互余的子式.定义10:设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)()(2121)1(k k j j j i i i +++++++- 后称做M 的代数余子式.因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述引理 行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项，而且符号也一致.定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k )个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .例3 利用拉普拉斯定理计算行列式1310310112104121-=D 从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用.二、行列式的乘积法则 定理7 两个n 级行列式nnn n n n a a a a a a a a a D2122221112111=和nnn n nn b b b b b b b b b D 2122221112112=的乘积等于一个n 级行列式nnn n n n c c c c c c c c c C212222111211=,其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和：∑==+++=nk kj ik nj in j i j i ij b a b a b a b a c 12211 .这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章§3中就完全清楚了.n , X ,相互独立且具有相同的数学期望和方2,( i 1, 2,)= 个随机变量的算术平均数ni 11X , i n ==∑X 对于任意正数i X |}με-<充分大时，算术平均数必然)独立 ，则 22-1}e dt 2t xπ-∞=⎰)具有怎样的分布，n X +=()50,()i i E X D X ==()50,()25n n E Y n D Y ∴==　由中心极限定理，有(5000)n Y ≤)之和，即,(k p D X =3得n lim P →∞⎧⎪⎨⎪⎩四个重要定理：梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充要条件是。

C1 X 1 C 2 X 2 ... C n X n
2 2 2 2 2 ~ N (C1 μ1 C 2 2 ... C n n , C12σ1 C 2 2 ... C n n ).
特别地，设X1,X2,…,Xn相互独立,且X1,X2,…,Xn服从同一 1 n 2 分布 N ( , ), X X i 是X1,X2,…,Xn的算术平值， n i 1 则有
因Ｎ为正整数，故取Ｎ＝33．即最多只能为33个顾客服务，才 能使总的服务时间不超过１小时的概率大于 0.95．
例2 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪的冲击, 纵摇角大于 3º的概率为1/3, 若船舶遭受了90 000次波浪冲 击, 问其中有29 500～30 500次纵摇角大于 3º的概率是多 少？ 解 将船舶每遭受一次海浪的冲击看作 一次试验, 并假设各次试验是独立的, 在90 000次波浪冲击中纵摇角大于 3º 的
(3) 0.0013.
(2) 设能对Ｎ位顾客服务，以Ｘi (i=1,2,…,100) 记对第i对顾客的服务时间．
按题意需要确定最大的Ｎ，使
N P X i 60 0.95. i 1
由定理１，当Ｎ充分大时，上式可写成
N X i N 1.5 60 N 1.5 i 1 60 N 1.5 0.95 P N 1 N 1 N 1

பைடு நூலகம்
60 N 1.5 1.645 N 1
N 5.8,
N 33.6
若 X ~ N ( 0,1), 则
σ σ
0 ( x ) 1 ( x ).
0
z1 z .