中心极限定理的创立与发展

中心极限定理的概念中心极限定理（Central Limit Theorem，CLT）是概率论中的一条重要定理，它描述了当样本容量足够大时，一组独立随机变量的和或平均值的分布将近似服从正态分布。

中心极限定理在统计学、概率论、金融数学等领域起着重要的作用，为许多统计推断和假设检验提供了理论基础。

中心极限定理有三种形式：林德伯格-列维中心极限定理（Lyapunov–Lindeberg central limit theorem）、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理（De Moivre-Laplace central limit theorem）和林德伯格-费勒中心极限定理（Lyapunov-Feller central limit theorem），它们分别适用于不同的随机变量。

首先讨论林德伯格-列维中心极限定理。

设X1, X2, ..., Xn是从同一总体分布函数F(x)独立且具有相同的期望μ和方差σ²的随机变量，令Sn = X1 + X2 + ... + Xn。

那么当n趋于无穷大时，标准化的和（即(Sn - nμ) / (σ√n)）近似服从标准正态分布。

其中μ是总体的期望，σ²是总体的方差。

中心极限定理的意义在于，即使原本的随机变量并不遵循正态分布，只要样本容量足够大，样本的均值或和的分布就会接近于正态分布。

这种正态近似的性质使得许多统计推断成为可能，例如构建置信区间和进行假设检验。

棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理是中心极限定理的一个特殊情况，适用于二项分布（Binomial Distribution）的情况。

二项分布描述了n次独立的伯努利试验中成功的次数，其中每次试验成功的概率为p。

当n足够大时，二项分布可以用正态分布来近似。

具体而言，当n趋于无穷大时，伯努利试验成功的次数（或称为成功的概率）的标准化形式（即（X - np）/ (np(1-p))）将近似服从标准正态分布。

林德伯格-费勒中心极限定理是中心极限定理的另一个扩展形式，适用于一组独立随机变量的和或平均值具有不同方差的情况。

第四章大数定律与中心极限定理第一节大数定律一、历史简介概率论历史上第一个极限定理属于贝努里,后人称之为“大数定律”.1733年,德莫佛——拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步,证明了时二项分布的极限分布是正态分布.拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布.1900年,李雅普诺夫进一步推广了他们的结论,并创立了特征函数法.这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题,卜里耶为之命名“中心极限定理”.20世纪初,主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件,二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展.在第一章已经指出,随机事件在大量重复试验中呈现明显的统计规律性,即一个事件在大量重复试验中出现的频率具有稳定性.这种稳定性的提法应该说是什么形式? 贝努里是第一个研究这一问题的数学家.他于是1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.二、大数定律定理1(贝努里大数定律) 设是重贝努里试验中事件出现的次数,是事件在每次试验中出现的概率,则对任意的,有证明:令表示在第次试验中出现的次数.若第次试验中出现,则令;若若第次试验中不出现,则令.由贝努里试验定义,是个相互独立的随机变量,且而于是由契比晓夫不等式有又由独立性知道有从而有这就证明了定理1.若是随机变量序列,如果存在常数列,使得对任意的,有成立,则称随机变量序列服从大数定律.定理2(契比晓夫大数定律) 设是一列两两不相关的随机变量,又设它们的方差有界,即存在常数,使有则对于任意的,有证明:利用契比晓夫不等式,有因为是一列两两不相关的随机变量,它们的方差有界,即可得到从而有从而定理2得证.[例1] 设为独立同分布的随机变量,均服从参数为的普哇松分布.由以往的讨论知道,,因而满足定理2的要求,则由定理2 的结论可知定理3(马尔科夫大数定律) 对于随机变量序列,若有则有证明:利用契比晓夫不等式,有由假设知,右端趋于1,于是于是定理3得证.一般称条件为马尔科夫条件.定理4(辛钦大数定律) 设是独立同分布的随机变量序列,且有有限的数学期望,则对于任意的,有上式也可表示为或,并且称依概率收敛于.三、大数定律的应用[例2] 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?解:由契比晓夫不等式,有令,其中,则.即至少需要抛掷27778次才能至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01[例3] (蒙特卡洛方法求积分) 计算.解:任取一列相互独立的都具有上均匀分布的随机变量,则也是一列相互独立且具有相同分布的随机变量,而因此,.为求,自然想到大数定律:这样一来,只要能生成随机变量序列,就能计算积分.现在借助计算机,产生上的随机数,然后通过大数定律,算出,最后由算出.这就是一种新的计算方法:概率计算方法,也称蒙特卡洛方法.[例4] 设随机变量序列的方差一致有界,即,且当时, 与的相关系数,证明服从大数定律.证明:因为由题设知,任给,存在当时,.这表明,在共有个中,绝对值超过的元素不多于个,其余的个元素的绝对值不超过,故有由于可任意小,故马尔科夫条件成立,所以服从大数定律.[例5] 设相互独立且,.证明服从大数定律.证明:因为,故故马尔科夫条件成立,所以服从大数定律.[例6] 设相互独立且分别具有以下分布,试确定是否满足马尔科夫条件.(1)(2)(3)解:(1)易知.由于故不满足马尔科夫条件.(2) 易知.由于故不满足马尔科夫条件.(3) 易知.由于注意到,故满足马尔科夫条件. [例7] 设相互独立且分别具有以下分布:(1)的分布函数为(2)(3) 的密度函数为(4)问是否满足大数定律.解:(1)因为,这是柯西分布,它的数学期望不存在,因此,不满足大数定律.(2)因为,由辛钦大数定律,知满足大数定律.(3)因为是奇函数,故.由辛钦大数定律,知满足大数定律.(4)而,故级数收敛,满足大数定律.作业:P221 EX 19,24,25,26。

中心极限定理并没有一个单一的原著，因为它是由多位数学家在不同的时期提出和证明的。

中心极限定理的基本思想是，对于任意分布的独立随机变量，它们的和趋近于正态分布。

这个理论是统计学中非常重要的一部分，广泛应用于概率论和统计学中。

有两个主要的中心极限定理：林德贝格-列维中心极限定理（Lyapunov Central Limit Theorem）和杰拉德-布朗中心极限定理（Lindeberg-Levy Central Limit Theorem）。

这两个定理都为不同的随机变量集合提供了极限分布的性质。

1. 林德贝格-列维中心极限定理：提出者是俄国数学家切比雪夫（Chebyshev），后来由俄国数学家林德贝格（Lyapunov）和法国数学家列维（Levy）独立地发展和证明。

它基本上表述了对于独立同分布的随机变量序列，它们的和在适当的条件下趋近于正态分布。

2. 杰拉德-布朗中心极限定理：这个定理是根据瑞士数学家杰拉德（Lindeberg）和法国数学家布朗（Levy）的工作而得名。

该定理更为弱化，它指出只要序列中的随机变量具有有限的均值和方差，并且序列中的方差趋于零，那么和的分布趋近于正态分布。

这些中心极限定理对于理解随机现象的规律以及在统计学和概率论中的应用非常重要。

大数定理概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。

概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。

概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。

发展历史1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。

拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。

1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。

这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。

20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。

伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。

表现形式大数定律有若干个表现形式。

这里仅介绍高等数学概率论要求的常用的三个重要定律：∙切比雪夫大数定理设是一列两两不相关的随机变量，他们分别存在期望和方差。

若存在常数C使得：则对任意小的正数ε，满足公式一：将该公式应用于抽样调查，就会有如下结论：随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。

从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。

∙伯努利大数定律设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的概率为P，则对任意正数ε，有公式二：该定律是切比雪夫大数定律的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。

在抽样调查中，用样本成数去估计总体成数，其理论依据即在于此。

∙辛钦大数定律辛钦大数定律：常用的大数定律之一设{，i>=1}为独立同分布的随机变量序列，若的数学期望存在，则服从大数定律:即对任意的ε>0，有公式三：、中心极限定理中心极限定理（central limit theorem）是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。

统计学中心极限定理统计学中心极限定理是统计学中一个重要的概念和方法，它是对大数定律的推广和应用。

所谓大数定律是指在一定条件下，大量相互独立的随机变量的平均值趋向于一个确定的常数。

而中心极限定理则是关于随机变量和概率分布的一个定理，它揭示了随机变量和概率分布之间的关系。

中心极限定理的核心思想是，如果一个随机变量是由多个相互独立的随机变量的和或平均值构成的，那么当这些随机变量的数量足够大时，它的分布将逐渐接近于正态分布。

具体来说，中心极限定理分为三种形式：李雅普诺夫型、林德贝格-列维型和费歇尔-拉普拉斯型。

首先是李雅普诺夫型中心极限定理。

该定理是由俄国数学家亚历山大·利亚普诺夫于1901年提出的，它针对独立同分布的随机变量序列。

如果这个序列的方差有限，那么当随机变量的数量足够大时，它们的和的分布将逐渐接近于正态分布。

这个定理在实际应用中非常重要，例如在样本均值的抽样分布中，李雅普诺夫型中心极限定理可以帮助我们进行假设检验和置信区间的计算。

其次是林德贝格-列维型中心极限定理。

该定理由瑞典数学家约瑟夫·林德贝格和法国数学家保罗·列维于1922年独立提出，它针对独立同分布的随机变量序列。

如果这个序列的方差无限大，但是它们的均值的标准差趋向于零，那么当随机变量的数量足够大时，它们的标准化和的分布将逐渐接近于标准正态分布。

林德贝格-列维型中心极限定理在实际应用中常用于描述随机过程的极限行为，例如在金融市场中的股票价格变动。

最后是费歇尔-拉普拉斯型中心极限定理。

该定理由法国数学家西蒙·费歇尔和法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯于1812年独立提出，它针对二项分布的随机变量序列。

如果这个序列的样本容量足够大，那么它的二项分布可以近似为正态分布。

费歇尔-拉普拉斯型中心极限定理在实际应用中常用于二项分布的近似计算，例如在品质控制中的不良品率的估计。

总结来说，统计学中心极限定理是关于随机变量和概率分布之间的一个重要定理。

中心极限定理含义及背景
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了当独立随机变量之和趋向于无穷大时，其分布将逐渐接近于正态分布的现象。

背景：
中心极限定理最早由法国数学家拉普拉斯在1810年左右提出，但其概念和思想始于18世纪的
普遍研究。

在此之前，人们普遍认为大数定律只适用于确切发生概率大于0的事件，而对于连
续的随机变量分布则不能套用大数定律进行研究。

然而中心极限定理的出现打破了这种思维定式。

它告诉我们，即使随机变量之间没有严格的关联，它们的和的分布趋于正态分布。

这个定理极大地推动了概率论的发展，为统计学提供了强大的工具。

含义：
中心极限定理的含义是，对于独立同分布的随机变量，它们的和的分布（或均值的分布）将近似服从正态分布，尤其是当样本容量足够大时。

换句话说，当我们把多个随机变量进行求和，其结果的分布逐渐趋近于正态分布。

中心极限定理的重要性在于，正态分布具有许多重要的性质。

具体来说，正态分布对称且钟形，可以用数学上的公式来精确描述，这使得我们可以通过正态分布来近似描述和计算其他复杂的随机现象。

因此，中心极限定理被广泛应用于统计推断、假设检验和置信区间等统计学的领域。

它使得我们能够通过样本数据来了解总体分布，并做出相应的推断和决策。

中心极限定理历史演变过程
中心极限定理是概率论中的一项重要成果，它指出，在一定条件下，大量独立同分布的随机变量的算术平均值的分布会逼近于正态分布。

中心极限定理的演变过程如下：
1. 1713年：雅各布·贝努利提出贝努利大数定律，该定律指出，独立重复试验的结果平均值会趋近于其期望值。

2. 1733年：亚伯拉罕·德·摩瓦尔扩展了贝努利大数定律，提出
了中心极限定理的初步形式，他认为大量独立的随机变量之和将近似于正态分布。

3. 1810年：皮埃尔·西蒙·拉普拉斯对中心极限定理进行了深入
研究，并提出了一个更加精确的定理，即拉普拉斯中心极限定理。

他通过将连续函数近似为多项式，推导出了正态分布的密度函数。

4. 1860年：阿希尔·约翰·林德勒夫证明了中心极限定理的另一
种形式，即林德勒夫中心极限定理。

他证明了随机变量的平均值，经过适当的标准化，收敛到标准正态分布。

5. 1920年代：哈罗德·霍普金斯扩展了中心极限定理的应用范围，提出了多元中心极限定理，适用于多维随机变量的和的情况。

中心极限定理的历史演变过程，经过了数百年的研究与发展。

从最初的贝努利大数定律到拉普拉斯和林德勒夫提出的更加精
确的定理，中心极限定理不断得到完善和扩展，成为现代概率论中的重要基石之一。

中心法则的发展历程
中心法则，又称中心极限定理，是统计学中非常重要的一种定理，它描述了当随机变量的样本容量足够大时，随机变量的样本平均值会
越来越接近于其期望值。

中心法则在统计学的应用非常广泛，包括了
样本大量采样时估计总体平均数、估计总体标准偏差和建立置信区间
等等。

中心法则的研究历程可以追溯到18世纪，当时瑞士数学家Jacob Bernoulli通过对大数定律的研究，发现当样本容量足够大时，随机变量的样本平均值会趋于正态分布。

而后在19世纪，高斯将其加以发扬，提出了正态分布理论，使中心法则得到了更为严谨的数学证明。

20世纪初，Kolmogorov进一步发展了中心法则，提出了极限定
理的概念，并将中心法则从正态分布扩展到了更广泛的情况，包括了
泊松分布、二项分布等等。

而后随着计算机技术的快速发展，中心法
则的研究也变得更加深入和精确，比如Monte Carlo方法和蒙特卡洛
模拟等等的应用，使得中心法则在实际应用中更加方便和可靠。

总的来说，中心法则的发展历程是一个不断完善和拓展的过程，
从最初的大数定律、正态分布到现在的极限定理、蒙特卡洛模拟，每
一次的发展都为我们更好地应用中心法则提供了更为广泛和精确的方法。

作为一种重要的统计学理论，中心法则的应用在各个领域都得到
了广泛的关注和应用，推动了统计学的发展。

中心法则的提出及其发展中心法则（Central Limit Theorem）是概率论与数理统计中的一条基本定理，描述了独立同分布随机变量和的极限分布的性质。

中心法则在统计学和概率论中扮演着重要的角色，对于解决各种实际问题具有广泛的应用。

中心法则最早的提出可以追溯到18世纪法国数学家拉普拉斯。

他在1810年的著作《大数定律》中首次提出了类似于中心法则的概念。

然而，真正对中心法则进行系统研究和证明的人是德国数学家莱维（Pierre-Simon Laplace）。

莱维在1820年左右证明了中心法则，但没有对结果进行详细的陈述和解释。

20世纪初，俄罗斯数学家切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）对中心法则进行了改进和推广。

他提出了切比雪夫不等式，通过使用方差的概念，更加准确地描述了中心法则。

尽管切比雪夫不等式的结果对于一般分布来说并不精确，但它为后来对中心法则的证明提供了重要的思路。

20世纪20年代，美国数学家菲歇尔（Ronald Fisher）给出了一个更加准确和精确的中心法则的证明。

他使用了数学分析和特征函数的技巧，提出了中心极限定理的一个一般形式。

菲歇尔的证明为后来对中心法则的研究和应用奠定了坚实的基础。

随着时间的推移，中心法则得到了进一步的发展和拓展。

20世纪50年代，英国数学家杰森（Dudley E. G. J. Harris）进一步推广了中心法则的应用范围，提出了极限理论中的中心法则。

随着统计学和概率论领域的发展，中心法则的应用也越来越广泛。

中心法则为统计推断、假设检验、置信区间等提供了有力的工具和方法。

通过使用中心法则，可以对大量数据进行分析和处理，从而得出相对准确和可信的结果。

总之，中心法则是统计学和概率论中的一个重要理论，描述了独立同分布随机变量和的极限分布的性质。

它在18世纪由拉普拉斯首次提出，经过莱维、切比雪夫、菲歇尔等人的研究和改进，逐渐发展成为一个重要的原理，并得到了广泛的应用。

概率论中的极限理论发展概率论是数学中的一个重要分支，研究的是随机事件的发生概率及其规律。

而在概率论的发展历程中，极限理论是其中的一块核心内容。

本文将系统地介绍概率论中的极限理论的发展。

一、大数定律的提出与发展大数定律是概率论中的基础定理之一，它揭示了随机事件的频率稳定性。

其中最早的大数定律要追溯到17世纪，由法国数学家雅各布·伯努利提出。

他证明了当事件重复进行时，事件发生的频率将会稳定在一个固定的概率上。

这个定律对概率论的发展起到了重要的推动作用。

随着时间的推移，不同的数学家对大数定律进行了深入研究，并提出了多个版本的大数定律。

例如，俄国数学家切比雪夫于1867年提出了切比雪夫大数定律，它是大数定律的一个重要推广。

切比雪夫大数定律给出了依概率收敛的条件，并且包含了伯努利大数定律作为特例。

二、中心极限定理的发现与演变中心极限定理是概率论中另一个重要的理论成果，它描述了随机变量序列和近似正态分布之间的关系。

最早的中心极限定理要追溯到18世纪，由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯提出。

他证明了一类随机变量序列的和服从正态分布，这个发现对于统计学的发展产生了深远的影响。

随着时间的推移，中心极限定理得到了广泛的发展和推广。

20世纪初，列维首次给出了广义中心极限定理，将其推广到了独立非同分布变量的和的情况。

此后，众多学者对中心极限定理进行了进一步的研究，提出了不同的版本和推论，从而丰富了概率论的理论体系。

三、大数定律与中心极限定理的关系大数定律和中心极限定理是概率论中两个相互关联的理论。

从某种程度上来说，大数定律是中心极限定理的一个重要推论。

大数定律表明，当事件重复进行时，随着事件次数的增加，事件发生的频率将会稳定在其概率上。

而中心极限定理则说明，当随机变量序列的个数足够多时，这些随机变量的和近似服从正态分布。

大数定律和中心极限定理的发展为统计学和概率论的相互应用提供了基础。

通过这些理论，我们可以更好地理解和分析复杂的随机现象，为实际问题的解决提供了有效的方法和工具。

概率论中的极限理论发展概率论是一门研究随机现象的数学理论，而极限理论是概率论的重要分支之一。

它研究的是随机变量序列的极限行为，揭示了概率分布的一些重要性质和规律。

在过去的几个世纪里，概率论中的极限理论得到了迅速发展。

本文将对概率论中的极限理论的发展进行探讨，并介绍其中的一些重要成果和应用。

一、初步形成概率论的起源可以追溯到17世纪，而极限理论的雏形则可以追溯到18世纪。

当时，数学家们开始研究大数定律和中心极限定理，为后来的极限理论的发展奠定了基础。

然而，当时的研究还不够系统和完善。

直到19世纪，随机变量和概率分布的概念逐渐被正式引入到概率论中，极限理论才开始逐渐成为一门独立的数学分支。

二、大数定律大数定律是极限理论的重要内容之一，它研究的是在独立随机变量序列下，随着样本量的增加，样本平均值趋于某个确定的常数。

大数定律最早由贝努利提出，并在后来得到了康托尔、切比雪夫和伯努利等数学家的进一步发展。

大数定律的成果为概率论的发展奠定了基础，并且在实际应用中具有重要价值。

三、中心极限定理中心极限定理是极限理论的另一个重要内容，它研究的是在一定条件下，大量独立随机变量之和的极限分布趋近于高斯分布。

中心极限定理最早由莱普尼兹提出，并在后来得到了黎曼、狄利克雷等数学家的推广和完善。

中心极限定理的成果为统计学的发展提供了基础，并且在科学研究和实际应用中得到了广泛的应用。

四、近代发展随着统计理论的进一步发展和计算机技术的日益完善，概率论中的极限理论得到了更深入的研究和应用。

比如，大数定律和中心极限定理的推广和拓展，分布的收敛性、极限分布的计算方法等等，都成为了概率论中的研究热点。

而随机过程、马尔可夫链等新的研究方向也为概率论中的极限理论提供了更广阔的应用领域。

五、应用与展望概率论中的极限理论不仅在概率论和统计学中具有重要意义，而且在各个领域的研究和应用中也发挥着重要作用。

比如，极限理论在金融学中的应用，可以用于对股票价格、汇率等金融变量的预测和分析。

概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于 正态分布的一类定理。

1920 年，G.波伊亚称这类定理为中心极限定理。

它是概率论中最重要的一类定理， 有 着广泛的实际背景。

在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素 的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时， 总的影响可以看作是服从正态 分布的。

中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。

独立随机变量的中心极限定理历史上最初的中心极限定理是讨论 n 重伯努利试验（见 二项分布）中，事 件A 出现的次数卩n 渐近于正态分布的问题。

若记事件 A 出现的概率为P （A ）=P ， 不出现的概率为q=1-p ，1716年前后，A.棣莫弗对p= 1/2作了讨论，随后，P.-S. 拉普拉斯推广到一般情形，得到：当— ％ <a vbvu ，有式中是标准正态分布函数，这就是棣莫弗-拉普拉斯定理。

为讨论一般形式的中心极 限定理，A . M .李亚普诺夫改进了 n.八.切比雪夫创立的矩法，给出了独立随机 变量序列｛ X n ｝服从中心极限定理的李亚普诺夫条件，其结论称为李亚普诺夫定-C y _2 = 2L理：记数学期望 宀；:，方差— 二 部分和片 ~ 另心,S ； = £ [X k - （称为Sn 的标准化）。

若存在正数S >0，使当用用一丑| E +砒工+厅、门一Q* ■- ' ■ ■那么当n —X ， ■的分布渐近于标准正态分布11H1 P①0)- 0依),随着特征函数(见概率分布)的引入，中心极限定理的研究得到了很快的发 展。

20世纪20年代，Y.W.林德伯格和P.莱维证明了林德伯格—莱维定理：对于 独立同分布的随机变量序列｛x n ｝，当Exk=a 及varxk= Z 2有限时，部分和S 的标准化■■- 的分布渐近于标准正态分布。

它在数理统计的大样本理 论中有重要的应用。

1935年，林德伯格和 W 费勒又进一步解决了独立随机变量hm 尸二 Q&), 序列的中心极限定理的一般情形，即林德伯格-费勒定理：(7?Inn max —r- = 0且费勒条件■ ■■ 成立，当且仅当林德伯格条件成立，即对任给正实数n ，式中F k (x)=p(xk <x)。

中心极限定理φ中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论和数理统计学中的一个重要定理，它指出在特定条件下，大量独立同分布的随机变量的和的分布会趋近于一个正态分布。

这个定理的重要性在于它提供了一种近似计算随机现象的方法，不仅在统计学中有广泛应用，也在其他领域中起到了重要作用。

中心极限定理最早由拉普拉斯在19世纪初提出，但直到20世纪初才得到严格的数学证明。

它的基本思想是，当独立同分布的随机变量足够多时，它们的和的分布会趋近于一个正态分布。

也就是说，无论原始随机变量的分布是什么样的，只要满足一定的条件，和的分布都会接近正态分布。

中心极限定理的条件包括：随机变量必须是独立同分布的，且具有有限的均值和方差。

这意味着变量之间的相互影响很小，并且它们的平均值和变化程度是有限的。

中心极限定理的应用非常广泛。

举个例子来说，假设我们有一个骰子，每次掷出的结果是一个1到6之间的整数，这个结果是一个离散的随机变量。

如果我们连续掷100次骰子，并记录每次掷出的点数，那么这100个点数的和就是一个连续的随机变量。

根据中心极限定理，这个和的分布会趋近于一个正态分布。

这意味着当我们统计这100次掷骰子的结果时，大部分情况下和的值会接近于350（6的平均值乘以100），而较极端的值出现的概率会较小。

中心极限定理的另一个应用是在抽样调查中。

假设我们想要了解一个国家的人口平均身高，但是实际上无法对整个国家的人口进行测量。

这时，我们可以从人口中随机抽取一部分样本，并测量他们的身高。

根据中心极限定理，当样本足够大时，样本的平均身高的分布会接近于整个人口的平均身高的分布。

这样，我们就可以通过对样本进行测量，得到对整个人口平均身高的近似估计。

除了上述应用外，中心极限定理还在金融、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

例如，在金融领域，中心极限定理可以用于研究股票价格的波动情况；在物理学中，中心极限定理可以用于分析粒子的速度分布；在工程学中，中心极限定理可以用于分析信号的噪声特性。