2013年高考数学理科(宁夏)试卷后附解析答案

第1页，总14页…………装…………○…___________姓名：___________班级…………装…………○…2013年高考理数真题试卷（江苏卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明一、填空题（题型注释）1.函数y=3sin （2x+ π4 ）的最小正周期为 ．2.设z=（2﹣i ）2（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ．3.双曲线 x 216−y 29=1 的两条渐近线方程为 ．则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ．5.现在某类病毒记作X m Y n ， 其中正整数m ，n （m≤7，n≤9）可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为 ．6.如图，在三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F ﹣ADE 的体积为V 1 ， 三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 的体积为V 2 ， 则V 1：V 2= ．7.抛物线y=x 2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界）．若点P （x ，y ）是区域D 内的任意一点，则x+2y 的取值范围是 ．8.设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC上的点，AD= 12 AB ，BE= 23BC ，若 DE → =λ1 AB → +λ2AC →（λ1 ， λ2为实数），则λ1+λ2的值为 ．9.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 x 2a 2+y 2b 2=1 （a ＞b ＞0），右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d 1 ， F 到l 的距离为d 2 ， 若d 2= √6d 1 ，则椭圆C 的离心率为 ．答案第2页，总14页装…………○………※要※※在※※装※※订※※线※装…………○………10.在平面直角坐标系xOy 中，设定点A （a ，a ），P 是函数y= 1x （x ＞0）图象上一动点，若点P ，A 之间的最短距离为2 √2 ，则满足条件的实数a 的所有值为 ． 11.在正项等比数列{a n }中， a 5=12 ，a 6+a 7=3，则满足a 1+a 2+…+a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为 ．二、解答题（题型注释）12.设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列（d≠0），S n 是其前n 项和．记b n = nSnn 2+c ，n∈N * ，其中c 为实数．（1）若c=0，且b 1 ， b 2 ， b 4成等比数列，证明：S nk =n 2S k （k ，n∈N *）； （2）若{b n }是等差数列，证明：c=0．13.设函数f （x ）=lnx ﹣ax ，g （x ）=e x ﹣ax ，其中a 为实数．（1）若f （x ）在（1，+∞）上是单调减函数，且g （x ）在（1，+∞）上有最小值，求a 的取值范围；（2）若g （x ）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f （x ）的零点个数，并证明你的结论．14.如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D 、C ，AC 经过圆心O ，且BC=2OC ． 求证：AC=2AD ．15.已知矩阵A= [−1002] ，B= [126] ，求矩阵A ﹣1B ． 16.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 {x =t +1y =2t（ 为参数），曲线C 的参数方程为 {x =2t 2y =2t（t 为参数）．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．17.已知a≥b＞0，求证：2a 3﹣b 3≥2ab 2﹣a 2b ．第3页，总14页○…………线…………○…_○…………线…………○…18.如图，在直三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA 1=4，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； （2）求平面ADC 1与ABA 1所成二面角的正弦值．19.设数列{a n }：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…， (−1)k−1k,⋯,(−1)k−1k ︷k 个 ，…，即当(k−1)k 2 ＜n≤ (k+1)k 2（k∈N *）时， a n =(−1)k−1k ．记S n =a 1+a 2+…+a n （n∈N ∗）．对于l∈N ∗ ， 定义集合P l =﹛n|S n 为a n 的整数倍，n∈N ∗ ， 且1≤n≤l}（1）求P 11中元素个数；（2）求集合P 2000中元素个数．答案第4页，总14页参数答案1.π【解析】1.解：∵函数表达式为y=3sin （2x+ π4 ）， ∴ω=2，可得最小正周期T=| 2πω |=| 2π2 |=π 所以答案是：π 2.5【解析】2.解：z=（2﹣i ）2=4﹣4i+i 2=3﹣4i ． 所以，|z|= √32+(−4)2=5． 所以答案是5． 3.y =±34x【解析】3.解：∵双曲线 x 216−y 29=1 的a=4，b=3，焦点在x 轴上而双曲线 x 2a 2−y 2b2=1 的渐近线方程为y=± ba x ∴双曲线 x 216−y 29=1 的渐近线方程为 y =±34x所以答案是： y =±34x4.2【解析】4.解：由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为： 甲：87，91，90，89，93； 乙：89，90，91，88，92；x 甲¯=87+91+90+89+935=90 ， x 乙¯=89+90+91+88+925=90 ．方差 S 甲2=（87−90）2+（91−90）2+（90−90）2+（89−90）2+（93−90）25=4 =4．S 乙2=（89−90）2+（90−90）2+（91−90）2+（88−90）2+（92−90）25=2 =2．所以乙运动员的成绩较稳定，方差为2． 所以答案是2．【考点精析】解答此题的关键在于理解极差、方差与标准差的相关知识，掌握标准差和方差越大，数据的离散程度越大；标准差和方程为0时，样本各数据全相等，数据没有离散性；方差与原始数据单位不同，解决实际问题时，多采用标准差．第5页，总14页…○…………外…………○…………装…………○……学校:___________姓名：___________班级：__…○…………内…………○…………装…………○…… 5.2063【解析】5.解：m 取小于等于7的正整数，n 取小于等于9的正整数，共有7×9=63种取法． m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况， 则m ，n 都取到奇数的方法种数为4×5=20种． 所以m ，n 都取到奇数的概率为 4×57×9=2063 ． 所以答案是 2063 ．6.1：24【解析】6.解：因为D ，E ，分别是AB ，AC 的中点，所以S △ADE ：S △ABC =1：4， 又F 是AA 1的中点，所以A 1到底面的距离H 为F 到底面距离h 的2倍． 即三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 的高是三棱锥F ﹣ADE 高的2倍． 所以V 1：V 2= 13S △ADE ⋅ℎS△ABC ⋅H=124 =1：24．所以答案是1：24． 7.[﹣2， 12 ]【解析】7.解：由y=x 2得，y′=2x，所以y′|x=1=2，则抛物线y=x 2在x=1处的切线方程为y=2x ﹣1．令z=x+2y ，则 y =−12x =z2．画出可行域如图，所以当直线 y =−12x =z2过点（0，﹣1）时，z min =﹣2．过点（ 12,0 ）时， z max =12 ． 所以答案是[﹣2， 12 ]．答案第6页，总14页……○…………订…………○…………线※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………订…………○…………线【考点精析】根据题目的已知条件，利用基本求导法则的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导． 8.12【解析】8.解：由题意结合向量的运算可得 DE →= DB →+BE →= 12AB →+23BC →=12AB →+23(BA→+AC →)= 12AB→−23AB→+23AC →=−16AB→+23AC →又由题意可知若 DE →=λ1 AB →+λ2 AC →， 故可得λ1= −16 ，λ2= 23 ，所以λ1+λ2= 12所以答案是： 12【考点精析】本题主要考查了平面向量的基本定理及其意义的相关知识点，需要掌握如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使才能正确解答此题．9.√33【解析】9.解：如图，准线l ：x= a 2c ，d 2= a 2c−c =b 2c， 由面积法得：d 1= bca ， 若d 2= √6d 1 ，则 b 2c=√6×bca ，整理得 √6a 2﹣ab ﹣ √6b 2 =0，两边同除以a 2， 得 √6 (b a )2 +（ ba ）﹣ √6=0，解得b a =√63．∴e= √1−(b a )2= √33 ．第7页，总14页○…………外…………○………装…………○…………订…………………线…………○…学__________姓名：___________班级：___________考号：_________○…………内…………○………装…………○…………订…………………线…………○…所以答案是： √33．10.﹣1或 √10【解析】10.解：设点P (x,1x )(x >0) ，则|PA|===，令 t =x +1x ，∵x＞0，∴t≥2，令g （t ）=t 2﹣2at+2a 2﹣2=（t ﹣a ）2+a 2﹣2，①当a≤2时，t=2时g （t ）取得最小值g （2）=2﹣4a+2a 2= (2√2)2，解得a=﹣1； ②当a ＞2时，g （t ）在区间[2，a ）上单调递减，在（a ，+∞）单调递增，∴t=a，g （t ）取得最小值g （a ）=a 2﹣2，∴a 2﹣2= (2√2)2，解得a= √10 ． 综上可知：a=﹣1或 √10 ． 所以答案是﹣1或 √10 ．11.12【解析】11.解：设正项等比数列{a n }首项为a 1 ， 公比为q ，由题意可得，解之可得：a 1= 132 ，q=2，故其通项公式为a n = 132×2n−1=2n ﹣6 ．记T n =a 1+a 2+…+a n =132(1−2n )1−2=2n −125，S n =a 1a 2…a n =2﹣5×2﹣4…×2n ﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6= 2(n−11)n2 ．答案第8页，总14页……订…………○…………线…………○线※※内※※答※※题※※……订…………○…………线…………○由题意可得T n ＞S n ， 即 2n −125＞ 2(n−11)n2 ，化简得：2n﹣1＞ 212n 2−112n+5 ，即2n﹣ 212n 2−112n+5 ＞1，因此只须n ＞ 12n 2−112n +5 ，即n 2﹣13n+10＜0解得13−√1292 ＜n ＜ 13+√1292， 由于n 为正整数，因此n 最大为 13+√1292的整数部分，也就是12．所以答案是：12【考点精析】关于本题考查的解一元二次不等式和等差数列的前n 项和公式，需要了解求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边；前n 项和公式：才能得出正确答案．12. （1）证明：若c=0，则a n =a 1+（n ﹣1）d ， S n =n[(n−1)d+2a]2， b n=nS n n 2=(n−1)d+2a2． 当b 1，b 2，b 4成等比数列时，则 b 22=b 1b 4 ，即： (a+d 2)2=a(a +3d2) ，得：d 2=2ad ，又d≠0，故d=2a ．因此： S n =n 2a ， S nk =(nk)2a =n 2k 2a ， n 2S k =n 2k 2a ． 故： S nk =n 2S （k ，n∈N*）．（2） 证明： b n =nS n n 2+c=n 2(n−1)d+2a2n 2+c=n 2(n−1)d+2a 2+c (n−1)d+2a 2−c (n−1)d+2a2n 2+c= (n−1)d+2a 2−c (n−1)d+2a2n 2+c． ①若{b n }是等差数列，则{b n }的通项公式是b n =A n +B 型． 观察①式后一项，分子幂低于分母幂， 故有：c(n−1)d+2a2n 2+c，即 c(n−1)d+2a2，而(n−1)d+2a2≠0 ，故c=0．经检验，当c=0时{b n }是等差数列．第9页，总14页…○…………线…………____…○…………线…………【解析】12.（1）写出等差数列的通项公式，前n 项和公式，由b 1 ， b 2 ， b 4成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n 项和公式得到S n ， 在前n 项和公式中取n=nk 可证结论； （2）把S n 代入 b n =nS nn 2+c中整理得到b n = (n−1)d+2a 2−c (n−1)d+2a2n 2+c，由等差数列的通项公式是a n =An+B 的形式，说明c(n−1)d+2a2n 2+c=0 ，由此可得到c=0．【考点精析】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式和等比关系的确定的相关知识点，需要掌握前n 项和公式：；等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n 项和法进行判断才能正确解答此题．13.（1）解：求导数可得f′（x ）= 1x ﹣a∵f（x ）在（1，+∞）上是单调减函数，∴ 1x ﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立， ∴a≥ 1x ，x∈（1，+∞）．∴a≥1．令g′（x ）=e x ﹣a=0，得x=lna ．当x ＜lna 时，g′（x ）＜0；当x ＞lna 时，g′（x ）＞0． 又g （x ）在（1，+∞）上有最小值，所以lna ＞1，即a ＞e ． 故a 的取值范围为：a ＞e ．（2）解：当a≤0时，g （x ）必为单调函数；当a ＞0时，令g′（x ）=e x ﹣a ＞0，解得a ＜e x ，即x ＞lna ，因为g （x ）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，类似（1）有lna≤﹣1，即0＜ a ≤1e ．结合上述两种情况，有 a ≤1e．①当a=0时，由f （1）=0以及f′（x ）= 1x ＞0，得f （x ）存在唯一的零点；②当a ＜0时，由于f （e a ）=a ﹣ae a =a （1﹣e a ）＜0，f （1）=﹣a ＞0，且函数f （x ）在[e a ，1]上的图象不间断，所以f （x ）在（e a ，1）上存在零点．另外，当x ＞0时，f′（x ）= 1x ﹣a ＞0，故f （x ）在（0，+∞）上是单调增函数，所以f （x ）只有一个零点．③当0＜a≤ 1e 时，令f′（x ）= 1x ﹣a=0，解得x= 1a ．当0＜x ＜ 1a 时，f′（x ）＞0，当x ＞ 1a 时，f′（x ）＜0，所以，x= 1a 是f （x ）的最大值点，且最大值为f （ 1a ）=﹣lna ﹣1． （i ）当﹣lna ﹣1=0，即a= 1e 时，f （x ）有一个零点x=e ；答案第10页，总14页……外…………○……※※请※……内…………○……（ii ）当﹣lna ﹣1＞0，即0＜a ＜ 1e 时，f （x ）有两个零点；实际上，对于0＜a ＜ 1e ，由于f （ 1e ）=﹣1﹣ ae ＜0，f （ 1a ）＞0，且函数f （x ）在[ 1e ,1a ]上的图象不间断，所以f （x ）在（ 1e ,1a ）上存在零点．另外，当0＜x ＜ 1a 时，f′（x ）= 1x ﹣a ＞0，故f （x ）在（0， 1a ）上时单调增函数，所以f （x ）在（0， 1a ）上只有一个零点． 下面考虑f （x ）在（ 1a ，+∞）上的情况，先证明f （ 1e a ）=a （ 1a 2−e1a ）＜0．为此，我们要证明：当x ＞e 时，e x ＞x 2．设h （x ）=e x ﹣x 2，则h′（x ）=e x ﹣2x ，再设l （x ）=h′（x ）=e x ﹣2x ，则l′（x ）=e x ﹣2．当x ＞1时，l′（x ）=e x ﹣2＞e ﹣2＞0，所以l （x ）=h′（x ）在（1，+∞）上时单调增函数；故当x ＞2时，h′（x ）=e x ﹣2x ＞h′（2）=e 2﹣4＞0，从而h （x ）在（2，+∞）上是单调增函数，进而当x ＞e 时，h （x ）=e x ﹣x 2＞h （e ）=e e ﹣e 2＞0，即当x ＞e 时，e x ＞x 2 当0＜a ＜ 1e ，即 1a ＞e时，f （ 1e a ）= 1a −ae 1a =a （ 1a 2−e1a ）＜0，又f （ 1a ）＞0，且函数f （x ）在[ 1a ， 1e a ]上的图象不间断，所以f （x ）在（ 1a ， 1e a ）上存在零点． 又当x ＞ 1a 时，f′（x ）= 1x ﹣a ＜0，故f （x ）在（ 1a ，+∞）上是单调减函数，所以f （x ）在（ 1a ，+∞）上只有一个零点．综合（i ）（ii ）（iii ），当a≤0或a= 1e 时，f （x ）的零点个数为1，当0＜a ＜ 1e 时，f （x ）的零点个数为2．【解析】13.（1）求导数，利用f （x ）在（1，+∞）上是单调减函数，转化为 1x ﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g （x ）在（1，+∞）上有最小值，结合导数知识，即可求得结论；（2）先确定a 的范围，再分类讨论，确定f （x ）的单调性，从而可得f （x ）的零点个数．【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．14.证明：连接OD ．因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以ADO=∠ACB=90° 又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，………外……………………装…………○…………订………○…………线…………○…校:___________姓名：___________班级：___________考号：_______………内……………………装…………○…………订………○…………线…………○…所以 ，因为BC=2OC=2OD ． 所以AC=2AD ．【解析】14.证明Rt△ADO∽Rt△ACB，可得 BCOD =ACAD ，结合BC=2OC=2OD ，即可证明结论．15.解：设矩阵A 的逆矩阵为 ，则 = ，即 = ，故a=﹣1，b=0，c=0，d= ，从而A ﹣1= ，∴A ﹣1B= = ．【解析】15.设矩阵A ﹣1= [abc d] ，通过AA ﹣1为单位矩阵可得A ﹣1 ， 进而可得结论． 16.解：直线l 的参数方程为（ 为参数），由x=t+1可得t=x ﹣1，代入y=2t ， 可得直线l 的普通方程：2x ﹣y ﹣2=0．曲线C 的参数方程为 （t 为参数），化为y 2=2x ，答案第12页，总14页………外…………○…………线…………○※※请※………内…………○…………线…………○联立 ，解得 ， ，于是交点为（2，2）， ．【解析】16.运用代入法，可将直线l 和曲线C 的参数方程化为普通方程，联立直线方程和抛物线方程，解方程可得它们的交点坐标．17.证明：2a 3﹣b 3﹣2ab 2+a 2b=2a （a 2﹣b 2）+b （a 2﹣b 2）=（a ﹣b ）（a+b ）（2a+b ）， ∵a≥b＞0，∴a﹣b≥0，a+b ＞0，2a+b ＞0， 从而：（a ﹣b ）（a+b ）（2a+b ）≥0， ∴2a 3﹣b 3≥2ab 2﹣a 2b ．【解析】17.直接利用作差法，然后分析证明即可．【考点精析】本题主要考查了不等式的证明的相关知识点，需要掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等才能正确解答此题． 18.（1）解：以{ AB →,AC,→AA 1→}为单位正交基底建立空间直角坐标系A ﹣xyz ， 则由题意知A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0）， A 1（0，0，4），D （1，1，0），C 1（0，2，4）， ∴ A 1B →=(2,0,−4) ， C 1D →=（1，﹣1，﹣4）， ∴cos＜ A 1B →,C 1D →＞=A 1B →⋅C 1D→|A 1B →|⋅|C 1D →|= √20⋅√18 = 3√1010 ，∴异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为3√1010．（2）解： AC →=(0,2,0) 是平面ABA 1的一个法向量，设平面ADC 1的法向量为 m →=(x,y,z) ， ∵ AD →=(1,1,0),AC 1→=(0,2,4) ， ∴ {m →⋅AD →=x +y =0m →⋅AC 1→=2y +4z =0，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC 1的法向量为 m →=(2,−2,1) ， 设平面ADC 1与ABA 1所成二面角为θ， ∴cosθ=|cos＜ AC →,m →＞|=| 2×√9 |= 23 ，∴sinθ= √1−(23)2= √53 ．∴平面ADC 1与ABA 1所成二面角的正弦值为 √53 ．【解析】18.（1）以{ AB →,AC,→AA 1→}为单位正交基底建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，利用向量法能求出异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA 1的法向量和平面ADC 1的法向量，利用向量法能求出平面ADC 1与ABA 1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC 1与ABA 1所成二面角的正弦值．【考点精析】掌握异面直线及其所成的角是解答本题的根本，需要知道异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系． 19. （1）解：由数列{a n }的定义得a 1=1，a 2=﹣2，a 3=﹣2，a 4=3， a 5=3，a 6=3，a 7=﹣4，a 8=﹣4，a 9=﹣4，a 10=﹣4，a 11=5， 所以S 1=1，S 2=﹣1，S 3=﹣3，S 4=0，S 5=3，S 6=6，S 7=2， S 8=﹣2，S 9=﹣6，S 10=﹣10，S 11=﹣5，从而S 1=a 1，S 4=0•a 4，S 5=a 5，S 6=2a 6，S 11=﹣a 11， 所以集合P 11中元素的个数为5；（2）解：先证：S i （2i+1）=﹣i （2i+1）（i∈N*）．事实上，①当i=1时，S i （2i+1）=S 3=﹣3，﹣i （2i+1）=﹣3，故原等式成立； ②假设i=m 时成立，即S m （2m+1）=﹣m （2m+1），则i=m+1时， S （m+1）（2m+3）=S m （2m+1）+（2m+1）2﹣（2m+2）2=﹣m （2m+1）﹣4m ﹣3 =﹣（2m 2+5m+3）=﹣（m+1）（2m+3）．综合①②可得S i （2i+1）=﹣i （2i+1）．于是S （i+1）（2i+1）=S i （2i+1）+（2i+1）2 =﹣i （2i+1）+（2i+1）2=（2i+1）（i+1）．由上可知S i （2i+1）是2i+1的倍数，而a i （2i+1）+j=2i+1（j=1，2，…，2i+1），答案第14页，总14页又S （i+1）（2i+1）=（i+1）•（2i+1）不是2i+2的倍数， 而a （i+1）（2i+1）+j=﹣（2i+2）（j=1，2，…，2i+2），所以S （i+1）（2i+1）+j=S （i+1）（2i+1）+j （2i+2）=（2i+1）（i+1）﹣j （2i+2） 不是a （i+1）（2i+1）+j （j=1，2，…，2i+2）的倍数，故当l=i （2i+1）时，集合P l 中元素的个数为1+3+…+（2i ﹣1）=i 2，于是，当l=i （2i+1）+j （1≤j≤2i+1）时，集合P l 中元素的个数为i 2+j ． 又2000=31×（2×31+1）+47，故集合P 2 000中元素的个数为312+47=1008．【解析】19.（1）由数列{a n }的定义，可得前11项，进而得到前11项和，再由定义集合P l ， 即可得到元素个数；（2）运用数学归纳法证明S i （2i+1）=﹣i （2i+1）（i∈N*）．再结合定义，运用等差数列的求和公式，即可得到所求．【考点精析】通过灵活运用数学归纳法的定义，掌握 数学归纳法是证明关于正整数n 的命题的一种方法即可以解答此题．。

2007-2013年宁夏高考理科数学试卷及答案2007年（宁夏卷）数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题:p x∀∈R，sin x≤1，则（）A．:p x⌝∃∈R，sin x≥1B．:p x⌝∀∈R，sin x≥1C．:p x⌝∃∈R，sin x>1D．:p x⌝∀∈R，sin x>12．已知平面向量a=（1，1），b（1，－1），则向量1322-=a b（）A．（－2，－1）B．（－2，1）C．（－1，0）D．（－1，2）3．函数πsin23y x⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（）4．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10则其公差d=（）A．23-xπ6π-1O1-3πD．B ．13-C ．13D ．235．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（ ）A ．2450B ．2500C ．2550D ．26526．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（x 3，y 3）在抛物线上，且2x 2=x 1+x 3， 则有（ ）A ．123FP FP FP +=B ．222123FP FP FP +=C ．2132FP FP FP =+D ．2213FP FP FP =·7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．48．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．34000cm 3B ．38000cm 3C ．2000cm 3D ．4000cm 3 9．若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为（ ） A． B ．12- C ．12D10．曲线12ex y =在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．29e 2B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2s 1，s 2，s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）A ．s 3>s 1>s 2B ．s 2>s 1>s 3C ．s 1>s 2>s 3D ．s 2>s 3>s 112．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。

2013年全国卷新课标——数学理科（适用地区：吉林 黑龙江 山西、河南、新疆、宁夏、河北、云南、内蒙古） 本试卷包括必考题和选考题两部分，第1-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22题~第24题，考生根据要求作答.一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. 8 D. 10【解析】选D.法一：按x y -的值为1，2，3，4计数，共432110+++=个；法二：其实就是要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x ，小的是y ，共2510C =种选法.2. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种 【解析】选A.只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共1224C C 种安排方案.3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题： :1P 2||=z:2P i z 22= :3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ，3PB. 1P ，2PC. 2P ，4PD. 3P ，4P【解析】选C.经计算， 221,21 z i z i i ==--=-+.4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23ax =上的一点，12PF F △是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为A.21 B.32 C.43 D.54 【解析】选C.画图易得,21F PF △是底角为30的等腰三角形可得212PF F F =，即3222a c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 所以34c e a ==. 5. 已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a a A.7B. 5C.5-D. 7-【解析】选D.472a a +=,56478a a a a ==-,474,2a a ∴==-或472,4a a =-=,14710,,,a a a a 成等比数列，1107a a ∴+=-.6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数 【解析】选C.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【解析】选B.由三视图可知，此几何体是底面为俯视图三角形，高为3的三棱锥，113932V =⨯⨯=.8. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，两点，34||=AB ，则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 8【解析】选C.易知点(4,-在222x y a -=上，得24a =，24a =. 9. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(【解析】选A. 由322,22442Z k k k ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈得，1542,24Z k k k ω+≤≤+∈， 15024ωω>∴≤≤ .10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为【解析】选B.易知ln(1)0y x x =+-≤对()1,x ∈-+∞恒成立，当且仅当0x =时，取等号.11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为A.62 B.63 C.32 D.22 【解析】选A.易知点S 到平面ABC 的距离是点O 到平面ABC 的距离的2倍.显然O ABC -是棱长为11312O ABC V -==，26S ABC O ABC V V --== 12. 设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+【解析】选B.12x y e =与ln(2)y x =互为反函数，曲线12x y e =与曲线ln(2)y x =关于直线y x =对称，只需求曲线12x y e =上的点P 到直线y x =距离的最小值的2倍即可.设点1,2x P x e ⎛⎫⎪⎝⎭，点P 到直线y x =距离d =.令()12x f x e x=-，则()112xf x e '=-.由()0f x '>得ln 2x >；由()0f x '<得ln 2x <，故当ln 2x =时，()f x 取最小值1l n 2-.所以d=1x e x -=，min d =所以)min min ||21ln 2PQ d ==-.二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 夹角为︒45，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .【解析】由已知得，()22222244||-=-=-a b a b a a b +b 2244cos 45=- a a b +b2410=-=+b，解得=b14. 设yx,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-31yxyxyx则yxZ2-=的取值范围为.【解析】[]3,3-.画出可行域，易知当直线2Z x y=-经过点()1,2时，Z取最小值3-；当直线2Z x y=-经过点()3,0时，Z取最大值3.故2Z x y=-的取值范围为[]3,3-.15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布)50,1000(2N，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.【解析】38.由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为211311228⎡⎤⎛⎫--⨯=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.16. 数列}{na满足12)1(1-=-++naannn，则}{na的前60项和为.【解析】1830.由1(1)21nn na a n++-=-得，22143k ka a k--=-……①21241k ka a k+-=-……②,再由②-①得,21212k ka a+-+=……③由①得, ()()()214365S S a a a a a a-=-+-+-+奇偶…()6059a a+-159=+++ (117)+()11173017702+⨯==由③得, ()()()3175119S a a a a a a =++++++奇…()5959a a ++21530=⨯=所以, ()217702301830S S S S S S =+=-+=+⨯=60奇奇奇偶偶.三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分） 已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，0s i n 3c o s =--+c b C a C a .(Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .解：(Ⅰ)法一:由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=,()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=,sin cos sin sin 0A C A C C --=,sin 0C > ,cos 10A A --=,2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=3A π∴=法二:由正弦定理可得sin sin a C c A =，由余弦定理可得 222cos 2a b c C ab +-=.再由cos sin 0a C C b c --=可得，222sin 02a b c a A b c ab+-⋅+--=，即2222sin 220a b c A b bc +-+--=，2222sin 220a b c A b bc +-+--=22212b c a A bc +--+=cos 1A A -=，2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 0A π<< ，5666A πππ∴-<-<， 66A ππ∴-=3A π∴=(Ⅱ)ABC S = △，1sin 24bc A ∴==4bc ∴=， 2,3a A π==， 222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=， 228b c ∴+=. 解得2b c ==.18. （本小题满分12分） 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由. 解：(Ⅰ) ()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（n N ∈）； (Ⅱ) （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 的分布列为X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.XX 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花.19. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1(Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.(Ⅰ) 证明：设112AC BC AA a ===， 直三棱柱111C B A ABC -，1DC DC ∴==， 12CC a =，22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥.又1DC BD ⊥ ，1DC DC D = ，1DC ∴⊥平面BDC .BC ⊂ 平面BDC ,1DC BC ∴⊥.(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，1DC =，1BC =，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=. 在Rt ABD △中，,,90BD AD a DAB =∠= ，AB ∴=.222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥.法一：取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ， 已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C DE △中，1111sin 2C EC DE C D∠===，130C DE ∴∠= .即二面角11C BD A --的大小为30.法二：以点C 为坐标原点，为x 轴，CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B aD a a C a .()()1,,,,0,DB a a a DC a a =--=- ，设平面1DBC 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111110n DB ax ay az n DC ax az ⎧=-+-=⎪⎨=-+=⎪⎩,不妨令11x =,得112,1y z ==,故可取()11,2,1n = . 同理,可求得平面1DBA 的一个法向量()21,1,0n =.设1n 与2n 的夹角为θ,则1212cos 2n n n n θ⋅===, 30θ∴= . 由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角11C BD A --的大小为30.20. （本小题满分12分）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90BFD ∠=︒，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =.点A 到准线l的距离d FB FD ===.由ABD S =△,11222BD d p ⨯⨯=⨯=2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90o ADB ∠=,2BD p ∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x 22=得A x . 直线m的斜率为AF k ==.直线m的方程为02x +=. 由py x 22= 得22x y p=,x y p '=.由x y p '==, x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为6p ⎫⎪⎪⎝⎭, 直线n的方程为0x =.所以坐标原点到m ，n3=.21. （本小题满分12分） 已知函数121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+. (Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间；(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值 解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f e f x -''=-+,令1x =得,(0)1f =,再由121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+,令0x =得()1f e '=. 所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+.()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔< 所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞.(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立, 即()()21()102xh x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立，()()1x h x e a '=-+ ,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意;(2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=;(3)当10a +>时, ()()1xh x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+,故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-. 依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥,即()()11ln 1b a a a ≤+-++,10a +> ,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++,令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-,()00()0u x x u x x ''>⇔<<⇔,所以当x =, ()u x 取最大值2e u =.故当12a b +==时, ()1a b +取最大值2e . 综上, 若b ax x x f ++≥221)(，则 b a )1(+的最大值为2e .请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的 外接圆于F ，G 两点.若AB CF //，证明：(Ⅰ) BC CD =；(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.证明：(Ⅰ) ∵D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，∴//DE BC .//CF AB ,//DF BC ,CF BD ∴ 且 =CF BD ，又∵D 为AB 的中点，CF AD ∴ 且 =CF AD ，CD AF ∴=.//CF AB ，BC AF ∴=.CD BC ∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC GF ，GB CF BD ∴==， BGD BDG DBC BDC ∠=∠=∠=∠ BCD GBD ∴△∽△.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围. 解：(Ⅰ)依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为.所以点A ，B ，C ，D 的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-； (Ⅱ) 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则 2222||||||||PD PC PB PA +++())2212cos 3sin ϕϕ=-+()()222cos 13sin ϕϕ++- ()()2212cos 3sin ϕϕ+--+)()222cos 13sin ϕϕ++-- 2216cos 36sin 16ϕϕ=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集； (Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围.解：(Ⅰ) 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥.所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥.(Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立，即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立，即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立， 所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩，即30a -≤≤. 所以a 的取值范围为[]3,0-.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么·球的体积公式 其中R 表示球的半径.)()()(B P A P A P B ⋃=+)()(()B P A A P P B =34.3V R π=一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则(A)(B) [1,2](C) [－2,2](D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件则目标函数z =y －2x 的最小值为 (A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的, 则其体积缩小到原来的;②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③ (B) ①②(C) ①③(D) ②③(5) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为, 则p =(A) 1(B)(C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中,则 =(A)(B) (C)(D)(7) 函数的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数. 设关于x 的不等式 的解集为A , 若,A B ⋂=(,2]-∞360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩12182212x y +=22221(0,0)x y a b a b -=>>22(0)px p y =>332,2,3,4AB BC ABC π∠===sin BAC ∠101010531010550.5()2|log |1xf x x =-()(1||)f x x a x =+()()f x a f x +<11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦则实数a 的取值范围是(A)(B) (C)(D)2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分. 二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . (10)的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为, 圆心为C , 点P 的极坐标为, 则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, , E 为CD 的中点.若AC ·BE ＝1, 则AB 的长为 . (13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)15,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭13,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭15,02130,2⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭52,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭4cos ρθ=4,3π⎛⎫⎪⎝⎭60BAD ︒∠=1||2||a a b +已知函数.(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆的左焦点为F , 离心率为, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若, 求k 的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n 项和为, 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列的通项公式;2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦2622221(0)x y a b a b +=>>33433··8AC DB AD CB +=32{}n a (*)n S n ∈N {}n a(Ⅱ) 设, 求数列的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为, 证明: 当时, 有.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(天津卷)第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：D解析：解不等式|x |≤2，得－2≤x ≤2，所以A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}．故选D. 2．答案：A解析：作约束条件360,20,30x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩所表示的可行区域，如图所示，z ＝y －2x 可化为y ＝2x ＋z ，z 表示直线在y 轴上的截距，截距越大z 越大，作直线l 0：y ＝2x ，平移l 0过点A (5,3)，此时z 最小为－7，故选A.3．答案：B解析：由程序框图，得x ＝1时，S ＝1；x ＝2时，S ＝9；x ＝4时，S ＝9＋64＝73，结束循环输出S 的值为73，故选B. 4．答案：C*()1n n nT S n S ∈=-N {}n T 2l ()n f x x x =()t f s =()s g t =2>e t 2ln ()15ln 2g t t <<解析：设球半径为R ，缩小后半径为r ，则r ＝12R ，而V ＝34π3R ，V ′＝33344114πππ33283r R R⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，所以该球体积缩小到原来的18，故①为真命题；两组数据的平均数相等，它们的方差可能不相等，故②为假命题；圆x 2＋y 2＝12的圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d＝=，因为该距离等于圆的半径，所以直线与圆相切，故③为真命题．故选C.5．答案：C解析：设A 点坐标为(x 0，y 0)，则由题意，得S △AOB ＝|x 0|·|y 0|.抛物线y 2＝2px 的准线为2p x =-，所以02p x =-，代入双曲线的渐近线的方程b y xa =±，得|y 0|＝2bpa .由2222,,ca abc ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得b，所以|y 0|p .所以S △AOB2p =，解得p ＝2或p ＝－2(舍去)． 6． 答案：C解析：在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC＝2923+-＝5，即得AC.由正弦定理sin sin AC BCABC BAC =∠∠，即3sin BAC=∠，所以sin ∠BAC.7．答案：B解析：函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点也就是方程2x |log 0.5x |－1＝0的根，即2x|log 0.5x |＝1，整理得|log 0.5x |＝12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.令g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，作g (x )，h (x )的图象如图所示．因为两个函数图象有两个交点，所以f (x )有两个零点．8． 答案：A解析：f (x )＝x (1＋a |x |)＝22,0,,0.ax x x ax x x ⎧+≥⎨-+<⎩若不等式f (x ＋a )＜f (x )的解集为A ，且11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A ⊆，则在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，函数y＝f(x＋a)的图象应在函数y＝f(x)的图象的下边．(1)当a＝0时，显然不符合条件．(2)当a＞0时，画出函数y＝f(x)和y＝f(x＋a)的图象大致如图．由图可知，当a＞0时，y＝f(x＋a)的图象在y＝f(x)图象的上边，故a＞0不符合条件．(3)当a＜0时，画出函数y＝f(x)和y＝f(x＋a)的图象大致如图．由图可知，若f(x＋a)＜f(x)的解集为A，且11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A ⊆，只需1122f a f⎛⎫⎛⎫-+<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可，则有2211112222a a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-+<---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(a＜0)，整理，得a2－a－1＜0a<<.∵a＜0，∴a∈⎫⎪⎪⎭.综上，可得a的取值范围是⎫⎪⎪⎭.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．答案：1＋2i解析：由(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝b i，得10,1,aa b-=⎧⎨+=⎩解方程组，得a＝1，b＝2，则a＋b i＝1＋2i. 10．答案：15解析：二项展开式的通项为3662166C(1)Crrr r r rrT x x--+⎛==-⎝，3602r-=得r＝4，所以二项展开式的常数项为T5＝(－1)446C＝15.11．答案：解析：由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得圆心C的直角坐标为(2,0)，点P的直角坐标为(2,)，所以|CP|＝12．答案：1 2解析：如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC ＝AB ＋AD ，BE ＝BC ＋CE ＝12-AB ＋AD .所以AC ·BE ＝(AB ＋AD )·12AB AD ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝12-|AB |2＋|AD |2＋12AB ·AD ＝12-|AB |2＋14|AB |＋1＝1，解方程得|AB |＝12(舍去|AB |＝0)，所以线段AB 的长为12.13．答案：83解析：∵AE 为圆的切线，∴由切割线定理，得AE 2＝EB ·ED . 又AE ＝6，BD ＝5，可解得EB ＝4. ∵∠EAB 为弦切角，且AB ＝AC ， ∴∠EAB ＝∠ACB ＝∠ABC . ∴EA ∥BC .又BD ∥AC ，∴四边形EBCA 为平行四边形． ∴BC ＝AE ＝6，AC ＝EB ＝4. 由BD ∥AC ，得△ACF ∽△DBF ，∴45CF AC BF BD ==. 又CF ＋BF ＝BC ＝6，∴CF ＝83.14．答案：－2解析：因为a ＋b ＝2，所以1＝1||22||a b a a b +⋅+＝||||22||4||4||a ba ab a a b a a b ++=++≥+14||4||a a a a +=，当a ＞0时，5+1=4||4a a ，1||52||4a a b +≥； 当a ＜0时，3+1=4||4a a ，1||32||4a a b +≥，当且仅当b ＝2|a |时等号成立． 因为b ＞0，所以原式取最小值时b ＝－2a .又a ＋b ＝2，所以a ＝－2时，原式取得最小值．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．解：(1)f (x )＝sin 2x·ππcossin 44x ⋅＋3sin 2x －cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝π24x⎛⎫-⎪⎝⎭.所以，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数．又f(0)＝－2，3π8f⎛⎫=⎪⎝⎭，π22f⎛⎫=⎪⎝⎭，故函数f(x)在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为，最小值为－2. 16．解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝1322252547C C+C C6C7=.所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝3347C1C35=， P(X＝2)＝3447C4C35=， P(X＝3)＝3547C2C7=， P(X＝4)＝3647C4C7=.所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望EX＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.17．解：(方法一)(1)证明：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．易得11B C＝(1,0，－1)，CE＝(－1,1，－1)，于是11B C·CE＝0，所以B1C1⊥CE.(2)1B C＝(1，－2，－1)．设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，则10,0,B CCE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩mm即20,0.x y zx y z--=⎧⎨-+-=⎩消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)．由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C 1⊥平面CEC 1，故11B C＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量．于是cos〈m，11B C〉＝1111||||14B CB C⋅==⋅mm，从而sin 〈m ，11B C.所以二面角B 1－CE －C 1.(3)AE ＝(0,1,0)，1EC ＝(1,1,1)．设EM ＝λ1EC ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM ＝AE ＋EM ＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB ＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量． 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则sin θ＝|cos 〈AM ，AB 〉|＝AM ABAM AB⋅⋅=.=，解得13λ=，所以AM . (方法二)(1)证明：因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A1B 1C 1D 1， 所以CC1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E B 1C 1，EC 1， 从而B 1E 2＝22111B C EC +， 所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ，又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1， 所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE .(2)过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ，连接C 1G .由(1)，B 1C 1⊥CE ，故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ， 所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角．在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E ，CC 1＝2，可得C 1G.在Rt △B 1C 1G 中，B 1G ， 所以sin ∠B 1GC 1，即二面角B 1－CE －C 1.(3)连接D 1E ，过点M作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连接AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MHx ，AHx .在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1，得EH13x =. 在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EHcos 135°，得221711189x x x =++，整理得5x 2－－6＝0，解得x.所以线段AM.18．解：(1)设F (－c,0)，由c a=a =.过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有2222()1c y a b -+=，解得y ==，解得b =， 又a 2－c 2＝b 2，从而ac ＝1， 所以椭圆的方程为22=132x y +.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)， 由方程组221,132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.求解可得x 1＋x 2＝22623k k -+，x 1x 2＝223623k k -+.因为A (3-，0)，B (3，0)，所以AC ·DB ＋AD ·CB＝(x 1y 1－x 2，－y 2)＋(x 2y 2x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝22212623k k +++. 由已知得22212623k k +++＝8，解得k ＝. 19．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是25314a q a ==. 又{a n }不是递减数列且132a =，所以12q =-. 故等比数列{a n }的通项公式为11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=-⋅ ⎪⎝⎭. (2)由(1)得11,121121,.2n n n n n S n ⎧⎫+⎪⎪⎪⎛⎫=--=⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎪⎪⎩⎭为奇数，为偶数 当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1＝32， 故11113250236n n S S S S <-≤-=-=. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n ＜1， 故221134704312n n S S S S >-≥-=-=-. 综上，对于n ∈N *，总有715126n n S S -≤-≤. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为712-. 20．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x =当x－ ＋所以函数f (x )的单调递减区间是⎛ ⎝，单调递增区间是⎫+∞⎪⎭. (2)证明：当0＜x ≤1时，f (x )≤0.设t ＞0，令h (x )＝f (x )－t ，x ∈[1，＋∞)．由(1)知，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．h (1)＝－t ＜0，h (e t )＝e 2t ln e t －t ＝t (e 2t －1)＞0.故存在唯一的s ∈(1，＋∞)，使得t ＝f (s )成立．(3)证明：因为s ＝g (t )，由(2)知，t ＝f (s )，且s ＞1，从而2ln ()ln ln ln ln ln ()ln(ln )2ln ln(ln )2ln g t s s s u t f s s s s s u u ====++，其中u＝ln s.要使2ln()15ln2g tt<<成立，只需0ln2uu<<.当t＞e2时，若s＝g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．所以s＞e，即u＞1，从而ln u＞0成立．另一方面，令F(u)＝ln2uu-，u＞1.F′(u)＝112u-，令F′(u)＝0，得u＝2.当1＜u＜2时，F′(u)＞0；当u＞2时，F′(u)＜0. 故对u＞1，F(u)≤F(2)＜0.因此ln2uu<成立．综上，当t＞e2时，有2ln()15ln2g tt<<.祝福语祝你考试成功!。

11224S h Sh =【提示】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的【解析】由题意212112()++323263DE BE BD BC BA AC AB AB AB AC =-=-=-=-，（步骤2【提示】由题意和向量的运算可得12+63DE AB AC =-，结合12+DE AB AC λλ=，可得【考点】平面向量的几何表示和加法、减法及数乘等线性运算． 5,0)(5,+)∞先求出函数()f x 在R 2()x =--5,0)(5,+)∞（步骤时，()f x 的图象，根据6bca．所以3132++n a =21nn a a q =12++n n a a a a >可得21(2232⎫⎪，整理得22． （步骤3）12++n n a a a a >，故n 的最大值为++n a 及12n a a 的表达式，化简可得关于【考点】等比数列的通项公式，求和公式以及不等式的性质．2||2a b -=，即222()2+2a b a a b b -=-=．（步骤又因为2222||||1a b a b ====，所以22a b =，即0a b =，故a b ⊥．（步骤）因为+(cos )(0,1)a b α==，所以cos +cos 0,sin +sin 1,αβαβ=⎧⎨=⎩+sin 1β=，得2由给出的向量a ，b 的坐标，求出a b -的坐标，）由向量坐标的加法运算求出+a b ，由+(0,1)a b =列式整理得到EFEG E =，所以SBC ，且交线为5）AF BC ⊥．AFAB A =，因为SA SAB ⊂平面，所以BC SA ⊥．（步骤8）63651260sin C B =63651260sin A B =550(m)，还需走50071014b b ，又22BC OC OD ==，故2AC AD =．（步骤2）a b c d ⎤⎡⎤=⎥⎢⎥⎦⎣⎦12=，（步骤{}1,,AB AC AA 为单位正交基底建立空间直角坐标系∴1(2,0,A B =，1(1,C D =-111111,20A B C DA B C D A B C D <>==1与1D 所成角的余弦值为）(0,2,0)AC =的法向量为(,,m x y =∵(1,1,0)AD =，1(0,2,4)AC =由m AD ⊥，1m AC ⊥，∴⎧⎨的法向量为(2,2,1)m =-4,2||||AC m AC m AC m -<>==⨯所成二面角的正弦值为311a ，440S a =，551S a =，662S a =，11111S a =，（步骤(2+1)m m 故原式成立．则：+1i m =，时，22(+1)[2(+1)+1](+1)(2+3(2+1)(2+1)(2+2)m m m m m m S S S m m ==+-）222(2+1)(2+1)(2+2)(2+5+3)(+1)(2+3)m m m m m m m m =-+-=-=-，（步骤5）综合①②得：(2+1)(2+1)i i S i i =-于是22(+1)[2+1](2+1+(2+1)(2+1)+(2+1)(2+1)(+1)i i i i S S i i i i i i ==-=），（步骤6）由上可知：(2+1)i i S 是(2+1)i 的倍数，而(+1)(2+1)2+1(122+1)i i j a i j i +==，，，，所以(2+1)+(2+1)(2+1)i i j i i S S j i =+，（步骤7）是(+1)(2+1)+i i j a (122+1)j i =，，，的倍数，又(+1)(2+1)(+1)(2+1)i i S i i =不是2+2i 的倍数，而(+1)(2+1)+(2+2)i i j a i =-(122+2)j i =，，，，所以(+1)(2+1)+(2+1)(+1)(2+2)i i j S i i j i =-，(+1)(2+1)+(+1)(2+1)(2+2)i i j i i S S j i =-不是(+1)(2+1)(122+2)i i j a j i +=，，，的倍数，（步骤8）故当(2+1)l i i =时，集合l P 中元素的个数为21+3++21i i -=（），（步骤9） 于是当(2+1)+12+1l i i j j i =≤≤（）时，集合l P 中元素的个数为2+i j ，又200031231+1+47=⨯⨯（），故集合2000P 中元素的个数为231+471008=．（步骤10）【提示】给出数列的规律，由此求出数列相应的项及各项之和，采用列举法写出所满足的元素；由特殊形式推广到一般形式，采用计数原理和数学归纳法来证明得之．【考点】集合，数列的概念和运算，计数原理，数学归纳法．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B = ·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] (2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为 (A) －7 (B) －4(C) 1(D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③ (B) ①② (C) ②③(D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A ,B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1(B)32(C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D)(7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x ⎛⎝的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE = , 则AB 的长为 . (13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分) 已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。

实用标准文档文案大全宁夏回族自治区2013年中考数学试卷一、选择题（下列每小题所给的四个答案中只有一个是正确的，每小题3分，共24分）1．（3分）（2013?宁夏）计算（a2）3的结果是（）A． a5 B． a6 C． a8 D． 3a2考点：幂的乘方与积的乘方．分析：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算后直接选取答案．解答：解：（a2）3=a6．故选B．点评：本题考查了幂的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键．2．（3分）（2013?宁夏）一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是（）A．﹣1 B． 2 C． 1和2 D．﹣1和2考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析移项得到）=，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．解答：解：x（x﹣2）+（x﹣2）=0，∴（x﹣2）（x+1）=0，∴x﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．故选D．点评：本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．3．（3分）（2013?宁夏）如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是（）A． 25mB． 25m C． 25m D． m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：首先过点C作CE⊥AB于点E，易得∠CBE=60°，在Rt△CBE中，BC=50m，利用正弦函数，即可求得答案．解答：解：过点C作CE⊥AB于点E，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=60°，在Rt△CBE中，BC=50m，实用标准文档文案大全∴CE=BC?sin60°=25（m）．故选A．点评：此题考查了坡度坡角问题．注意能构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．4．（3分）（2013?宁夏）如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B 恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（）A． 44° B． 60° C． 67° D． 77°考折变换（折叠问分析AB中，ACB=9，A=2，可求得的度数，由折叠的性质可得CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC，由三角形外角的性质，可求得∠ADE的度数，继而求得答案．解答：解：△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，∴∠B=90°﹣∠A=68°，由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC，∴∠ADE=∠CED﹣∠A=46°，∴∠BDC==67°故选C．点评：此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．5．（3分）（2013?宁夏）雅安地震后，灾区急需帐篷．某企业急灾区之所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共1500顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置8000人．设该企业捐助甲种帐篷x顶、乙种帐篷y顶，那么下面列出的方程组中正确的是（）A． B．C． D．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．分析：等量关系有：①甲种帐篷的顶数+乙种帐篷的顶数=1500顶；②甲种帐篷安置的总人数+乙种帐篷安置的总人数=8000人，进而得出答案．实用标准文档文案大全解答：解：根据甲、乙两种型号的帐篷共1500顶，得方程x+y=1500；根据共安置8000人，得方程6x+4y=8000．列方程组为：．故选：D．点评：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，列方程组解应用题的关键是找准等量关系，此题中要能够分别根据帐篷数和人数列出方程．6．（3分）（2013?宁夏）函数（a≠0）与y=a（x﹣1）（a≠0）在同一坐标系中的大致图象是（）B．C．D．考比例函数的图象；一次函数的图象分析先把一次函数化y=a，再分情况进行讨论时时，分别讨论出函数所在象限，即可选出答案解答y==a时，反比例函数在第一、三象限，一次函数在第一、三、四象限时，反比例函数在第二、四象限，一次函数在第二、三、四象限故选点评题主要考查了反比例函数与一次函数图象，关键是掌握一次函数图象与系数的系．一次函y=kx+的图象有四种情况，函y=kx+的图象经过第一、二、三象限的值的值增而增大，函y=kx+的图象经过第一、三、四象限的值的值增而增大时，函y=kx+的图象经过第一、二、四象限的值的值增大而减小；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．7．（3分）（2013?宁夏）如图是某几何体的三视图，其侧面积（）实用标准文档文案大全A． 6 B． 4π C． 6π D． 12π考点：由三视图判断几何体．分析：先判断出该几何体为圆柱，然后计算其侧面积即可．解答：解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为3cm，底面直径为2cm，侧面积为：πdh=2π×3=6π故选C．点评：本题考查了由三视图判断几何体及圆柱的计算，解题的关键是首先判断出该几何体．8．（3分）（2013?宁夏）如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）A． B． C． D．考形面积的计算；相切两圆的性质分析：根据题意可判断⊙A与⊙B是等圆，再由直角三角形的两锐角互余，即可得到∠A+∠B=90°，根据扇形的面积公式即可求解．解答：解：∵⊙A与⊙B恰好外切，∴⊙A与⊙B是等圆，∵AC=2，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=2，∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和=+==πR2=．故选B．点评：本题考查了扇形的面积计算及相切两圆的性质，解答本题的关键是得出两扇形面积之和的表达式，难度一般．实用标准文档文案大全二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）（2013?宁夏）分解因式：2a2﹣4a+2=2（a﹣1）2考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：计算题．分析：先提公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可．解答：解：2a2﹣4a+2，=2（a2﹣2a+1），=2（a﹣1）2．点评：本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．10．（3分）（2013?宁夏）点 P（a，a﹣3）在第四象限，则a的取值范围是0＜a＜3考点：点的坐标；解一元一次不等式组．分析：根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可．解答：∵）在第四象限解故答案为：0＜a＜3．点评：本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．11．（3分）（2013?宁夏）如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有3种．考点：概率公式；轴对称图形．分析：根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．解答：解：选择小正三角形涂黑，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，实用标准文档文案大全选择的位置有以下几种：1处，2处，3处，选择的位置共有3处．故答案为：3．点评：本题考查了利用轴对称设计图案的知识，关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．12．（3分）（2013?宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为2cm．．考径定理；勾股定理分析过作辅助线，过作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．解答：解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，∵OA=2OD=2cm，∴AD===cm，∵OD⊥AB，∴AB=2AD=cm．．点评：本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用．13．（3分）（2013?宁夏）如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数的图象经过点C，则k的值为﹣6实用标准文档文案大全考点：反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．专题：探究型．分析：先根据菱形的性质求出C点坐标，再把C点坐标代入反比例函数的解析式即可得出k的值．解答：解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，∴A（﹣3，2），∵点A在反比例函数y=的图象上，∴2=，解得k=﹣6．故答案为：﹣6．点评题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．14．（3分）（2013?宁夏）△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC=4，下面四个结论：①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4；④△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：4；其中正确的有①②③（只填序号）考似三角形的判定与性质；三角形中位线定理分析根据题意做出图形，分别AA的中点，可DBDEBC=则可证AD∽AB，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证AD面积AB的面积之比，然后由三角形的周长比等于相似比，证AD的周长AB的周长之比，选出正确的结论即可解答：∵AB中分别AA的中点DBDEBC=∴△ADE∽△ABC，故①②正确；∵△ADE∽△ABC，=，∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4，△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：2，故③正确，④错误．故答案为：①②③．实用标准文档文案大全点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，要求同学们掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方．15．（3分）（2013?宁夏）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为2a考转的性质．分析：由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，可求得：∠B=90°﹣α，由旋转的性质可得：CB=CD，根据等边对等角的性质可得∠CDB=∠B=90°﹣α，然后由三角形内角和定理，求得答案．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，∴∠B=90°﹣α，由旋转的性质可得：CB=CD，∴∠CDB=∠B=90°﹣α，∴∠BCD=180°﹣∠B﹣∠CDB=2α．即旋转角的大小为2α．故答案为：2α．点评：此题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．16．（3分）（2013?宁夏）若不等式组有解，则a的取值范围是a＞﹣1考点：不等式的解集．分析：先解出不等式组的解集，根据已知不等式组有解，即可求出a的取值范围．解答：解：∵由①得x≥﹣a，由②得x＜1，故其解集为﹣a≤x＜1，实用标准文档文案大全∴﹣a＜1，即a＞﹣1，∴a的取值范围是a＞﹣1．故答案为：a＞﹣1．点评：考查了不等式组的解集，求不等式组的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，求出不等式组的解集并与已知解集比较，进而求得另一个未知数的取值范围．三、解答题（共24分）17．（6分）（2013?宁夏）计算：．考点：实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：分别进行负整数指数幂、二次根式的化简及绝对值的运算，代入特殊角的三角函数值合并即可．解答解：原==．点评：本题考查了实数的运算，涉及了绝对值、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，属于基础题．18．（6分）（2013?宁夏）解方程：．考分式方程分析察可得最简公分母是x+，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解答：解：方程两边同乘以（x﹣2）（x+3），得6（x+3）=x（x﹣2）﹣（x﹣2）（x+3），6x+18=x2﹣2x﹣x2﹣x+6，化简得，9x=﹣12x=，解得x=．．经检验，x=是原方程的解．点评：本题考查了分式方程的解法，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定要验根．实用标准文档文案大全19．（6分）（2013?宁夏）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．考点：作图-位似变换；作图-旋转变换．分析：（1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质即可画）由位似三角形的性质，即可画解答：如图即为所求即为所求点评题考查了位似变换的性质与旋转的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想应用20．（6分）（2013?宁夏）某校要从九年级（一）班和（二）班中各选取10名女同学组成礼仪队，选取的两班女生的身高如下：（单位：厘米）（一）班：168 167 170 165 168 166 171 168 167 170 （二）班：165 167 169 170 165 168 170 171 168 167 （1）补充完成下面的统计分析表班级平均数方差中位数极差一班 168 168 6 二班 168 3.8（2）请选一个合适的统计量作为选择标准，说明哪一个班能被选取．实用标准文档文案大全考点：方差；加权平均数；中位数；极差；统计量的选择．分析：（1）根据方差、中位数及极差的定义进行计算，得出结果后补全表格即可；（2）应选择方差为标准，哪班方差小，选择哪班．解答：解：（1）一班的方差=[（168﹣168）2+（167﹣168）2+（170﹣168）2+…+（170﹣168）2]=3.2；二班的极差为171﹣165=6；二班的中位数为168；补全表格如下：班级平均数方差中位数极差一班 168 3.2 168 6 二班 168 3.8 168 6 （2）选择方差做标准，∵一班方差＜二班方差，∴一班可能被选取．点评：本题考查了方差、极差及中位数的知识，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散度越小，稳定性越好四、解答题（共48分）21．（6分）（2013?宁夏）小明对自己所在班级的50名学生平均每周参加课外活动的时间进行了调查，由调查结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题：（1）求m的值；（2）从参加课外活动时间在6～10小时的5名学生中随机选取2人，请你用列表或画树状图的方法，求其中至少有1人课外活动时间在8～10小时的概率．考点：频数（率）分布直方图；列表法与树状图法．分析：（1）根据班级总人数有50名学生以及利用条形图得出m的值即可；（2）根据在6～10小时的5名学生中随机选取2人，利用树形图求出概率即可．解答：解：（1）m=50﹣6﹣25﹣3﹣2=14；（2）记6～8小时的3名学生为，8～10小时的两名学生为，实用标准文档文案大全P（至少1人时间在8～10小时）=．点评：此题主要考查了频数分布表以及树状图法求概率，正确画出树状图是解题关键．22．（6分）（2013?宁夏）在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F；求证：DF=DC．考形的性质；全等三角形的判定与性质专明题分析据矩形的性质DA可以得到DECAEDFEC=9进而AA可以证DF≌DC．然后利用全等三角形的性质解决问题解答明：连D分AD=A∴AEDAD分∵有矩ABCAB，C=分∴ADEDE分∴DECAE又DA∴DFEC=DE=D分∴DF≌DCDF=D分点评题比较简单，主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，综合利用它们题实用标准文档文案大全23．（8分）（2013?宁夏）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．且BD=BF．（1）求证：AC与⊙O相切．（2）若BC=6，AB=12，求⊙O的面积．考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．分析：（1）连接OE，求出∠ODE=∠F=∠DEO，推出OE∥BC，得出OE⊥AC，根据切线的判定推出即可；（2）证△AEO∽△ACB，得出关于r的方程，求出r即可．解答明）连OOD=O∴ODEOEBD=B∴ODE∴OEDOB∴AEOACB=9A与相切）解：由）知AEOAC，又AAO∽AB设的半径，解得r=∴的面π=点评题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，平行线的性质和判定，相似三角形的性实用标准文档文案大全质和判定的应用，主要考查学生的推理和计算能力，用了方程思想．24．（8分）（2013?宁夏）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析）根据抛物线的对称轴得到抛物线的顶点式，然后代入已知的两点理由待定系法求解即可）首先求得的坐标，然后CM=B时BC=B时两种情况根据等腰三形的性质求得的坐标即可解答解）设抛物线的解析）代入得解得）y==3（CM=BBO=CO=3BO是等腰直角三角∴点在原时MB是等腰三角点坐标实用标准文档文案大全②BC=BM时在Rt△BOC中，BO=CO=3，由勾股定理得∴BC=∴BM=∴M点坐标（点评：本题考查了二次函数的综合知识，第一问考查了待定系数法确定二次函数的解析式，较为简单．第二问结合二次函数的图象考查了等腰三角形的性质，综合性较强．25．（10分）（2013?宁夏）如图1，在一直角边长为4米的等腰直角三角形地块的每一个正方形网格的格点（纵横直线的交点及三角形顶点）上都种植同种农作物，根据以往种植实验发现，每株农作物的产量y（单位：千克）受到与它周围直线距离不超过1米的同种农作物的株数x（单位：株）的影响情况统计如下表：x（株） 1 2 3 4 y（千克） 21 18 15 12 （1）通过观察上表，猜测y与x之间之间存在哪种函数关系，求出函数关系式并加以验证；（2）根据种植示意图填写下表，并求出这块地平均每平方米的产量为多少千克？y（千克） 21 18 15 12 频数（3）有人为提高总产量，将上述地块拓展为斜边长为6米的等腰直角三角形，采用如图2所示的方式，在每个正方形网格的格点上都种植了与前面相同的农作物，共种植了16株，请你通过计算平均每平方米的产量，来比较那种种植方式更合理？考点：一次函数的应用．分析：（1）设y=kx+b，然后根据表格数据，取两组数x=1，y=21和x=2，y=18，利用待定系数法求一次函数解析式解答；（2）根据图1查出与它周围距离为1米的农作物分别是1株、2株、3株、4株棵树即为相应的频数，然后利用加权平均数的计算方法列式进行计算即可得解；（3）先求出图2的面积，根据图形查出与它周围距离为1米的农作物分别是1株、2株、3株、4株棵树即为相应的频数，然后利用加权平均数的计算方法列式进行计算求出平均每平方米的产量，然后与（2）的计算进行比较即可得解．解答：解（1）设y=kx+b，把x=1，y=21和x=2，y=18代入y=kx+b得，实用标准文档文案大全，解得，则y=﹣3x+24，当x=3时 y=﹣3×3+24=15，当x=4时 y=﹣3×4+24=12，故y=﹣3x+24是符合条件的函数关系；（2）由图可知，y（千克）21、18、15、12的频数分别为2、4、6、3，图1地块的面积：×4×4=8（m2），所以，平均每平方米的产量：（21×2+18×4+15×6+12×3）÷8=30（千克）；（3）图2地块的面积：×6×3=9，y（千克）21、18、15、12的频数分别为3、4、5、4，所以，平均每平方米产量23+14+15+19=2528.6（千克328.6∴按图）的种植方式更合理点评题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式）个小题，理频的含义并根据图形求出相应的频数是解题的关键26．（10分）（2013?宁夏）在?ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A=60°；（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．（2）试探究当△CPE≌△CPB时，?ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？考点：四边形综合题．专题：计算题．分析：（1）延长PE交CD的延长线于F，设AP=x，△CPE的面积为y，由四边形ABCD 为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到AB=DC，AD=BC，在直角三角形APE 中，根据∠A的度数求出∠PEA的度数为30度，利用直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半表示出AE与PE，由AD﹣AE表示出DE，再利用对顶角相等得到∠DEF为30度，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出DF，由两直线平行内错角相等得到∠F为直角，表示出三角形CPE的面积，得出y与x的函数解析式，利用二次函数的性质即可得到三角形CPE面积的最大值，以及此时AP的长；（2）由△CPE≌△CPB，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到BC=CE，实用标准文档文案大全∠B=∠PEC=120°，进而得出∠ECD=∠CED，利用等角对等边得到ED=CD，即三角形ECD为等腰三角形，过D作DM垂直于CE，∠ECD=30°，利用锐角三角形函数定义表示出cos30°，得出CM与CD的关系，进而得出CE与CD的关系，即可确定出AB与BC满足的关系．解答：解：（1）延长PE交CD的延长线于F，设AP=x，△CPE的面积为y，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=DC=6，AD=BC=8，∵Rt△APE，∠A=60°，∴∠PEA=30°，∴AE=2x，PE=x，在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD﹣AE=8﹣2x，∴DF=DE=4﹣x，∵AB∥CD，PF⊥AB，∴PF⊥CD，∴S△CPE=PE?CF，y1+配方得yx=时有最大A的长时CP的面积最大，最大面积）CP≌CP时，BC=C，BPEC=12∴CED=18﹣AE﹣PEC=3∵ADC=12∴ECDCED=18123=3DE=C，ED是等腰三角形DC，CMCRCM中，ECD=3cos3CMCCECBC=CAB=CBCA则CP≌CP时BA满足的关系BCA实用标准文档文案大全点评：此题考查了四边形的综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，含30度直角三角形的性质，平行线的判定与性质，以及二次函数的性质，是一道多知识点综合的探究题．。

2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0] 12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选：B．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【考点】B3：分层抽样方法．【专题】21：阅读型．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选：A．【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选：A．【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．6【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，所以公差d=a m﹣a m=1，+1S m==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•=+，即有0=+，解得m=5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）=﹣2，m（a1+a m）=0，（m+1）（a1+a m+1）=3，可得a1=﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0，解得m=5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】16：压轴题；27：图表型．【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选：A．【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．8【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选：D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B nC n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，又由题意，b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴b n+1∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB ⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos ＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：X 400 500 800P故EX=400×+500×+800×=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R ≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由，能求出C1的极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，与C1的普通方程联立，求出C1与C2交点的直角坐标，由此能求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2=25，即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0，。

绝密★启用前（下午3：00）2013年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学（宁夏高考最新密破考情卷)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++- 13V Sh = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 24S R π= 343V R π=其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数312a ii＋＋（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 A ．－2 B. 4 C. －6 D. 62．某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的 茎叶图如右图所示，则中位数与众数分别为 A ．23，21 B ．23，23C ．23，25D ．25，253．已知,m n 为直线，,αβ为平面，给出下列命题：①//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩②//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩③//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ④////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩其中的正确命题序号是A ．③④B ．②③C ．①②D ．①②③④4. 等比数列{a n }中，a 3=6，前三项和3304S xdx =⎰，则公比q 的值为A.1B.12-C.1或12-D.1-或12-5. 右面的程序框图输出的结果为A ．62 B. 126 C. 254 D. 5106．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点是F 1，F 2，设P 是双曲线右支上一点，121F F F P在上的投影的大小恰好为1||F P 且它们的夹角为6π，则双曲线的离心率e 为 A ．212+ B ．312+ C ．31+ D ．21+7．若函数)(,)0,4()4sin()(x f P x y x f y 则对称的图象关于点的图象和ππ+==的表达式是 A ．)4cos(π+x B ．)4cos(π--xC ．)4cos(π+-x D ．)4cos(π-x8. 以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆222690x y x y +-++=圆心的抛物线方程是 A ．23x y =或23x y -= B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92=9．已知函数x x x f ωωcos sin )(+=，如果存在实数1x ，使得对任意的实数x ，都有11()()(2011)f x f x f x ≤≤+成立，则ω的最小值为A.12011 B. 2011π C. 14022 D. 4022π 10.ABC ∆中，60,A A ∠=︒∠的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB=3，且1()3AD AC AB R λλ=+∈，则AD 的长为A ．1B ．3C ．23D ．311．设函数141()log ()4x f x x =-、2141()log ()4x f x x =-的零点分别为12x x 、，则A. 1201x x <<B. 1212x x <<C. 121x x =D. 122x x ≥12. 已知有穷数列A ：n a a a ,,,21⋅⋅⋅（N n n ∈≥,2）.定义如下操作过程T ：从A 中任取两项j i a a ,,将ji j i a a a a ++1的值添在A 的最后，然后删除j i a a ,,这样得到一系列1-n 项的新数列A 1 (约定:一个数也视作数列)；对A 1的所有可能结果重复操作过程T 又得到一系列2-n 项的新数列A 2，如此经过k 次操作后得到的新数列记作A k . 设A ：31,21,43,75-,则A 3的可能结果是 A.34 B. 12C. 13D. 0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，若11=a ，51=n a ，则d n +的最小值等于 ．14. 一盒中装有分别标记着1，2，3，4的4个小球，每次从袋中取出一只球，设每只小球被取出的可能 性相同.若每次取出的球不放回．．．盒中，现连续取三 次球，求恰好第三次取出的球的标号为最大数字的 球的概率是 ．15．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ． 16. 若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则123452345a a a a a ++++等于_________.三、解答题：解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．已知：函数x x x p x f ωωω2cos cos sin )(-⋅=)0,0(>>ωp 的最大值为21，最小正周期为2π． （Ⅰ）求：p ，ω的值，)(x f 的解析式；（Ⅱ）若ABC ∆的三条边为a ，b ，c ，满足bc a =2，a 边所对的角为A ．求：角A 的取值范围及函数)(A f 的值域．18. (本小题满分12分)如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1,60AD DC CB ABC ===∠= ，四边形ACFE为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =. （Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACFE ；（Ⅱ）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为(90)θθ≤ ，试求cos θ的取值范围.19.（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1,2,,8…，其中5ξ≥为标准A ，3ξ≥为标准B ，产品的等级系数越大表明产品的质量越好. 已知某厂执行标准B 生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7该行业规定产品的等级系数7ξ≥的为一等品，等级系数57ξ≤<的为二等品，等级系数35ξ≤<的为三等品．（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率． 20.(本小题满分12分)已知函数2()2ln f x ax x x =-+．(Ⅰ)若)(x f 无极值点，但其导函数()f x '有零点，求a 的值；(Ⅱ)若)(x f 有两个极值点，求a 的取值范围，并证明)(x f 的极小值小于32-．OEDCBA已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d ，且2122d d =． (Ⅰ)求动点P 所在曲线C 的方程；(Ⅱ)直线l 过点F 且与曲线C 交于不同两点A 、B (点A 或B 不在x 轴上)，分别过A 、B 点作直线1:2l x =-的垂线，对应的垂足分别为M N 、，试判断点F 与以线段MN 为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；(Ⅲ)记1FAM S S ∆=，2FMN S S ∆=，3FBN S S ∆=(A 、B 、M N 、是(2)中的点)，问是否存在实数λ，使2213S S S =λ成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲如图，直线AB 经过⊙O 上一点C ，且OA=OB ，CA=CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D. （Ⅰ）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若1tan ,2CED ∠=⊙O 的半径为3，求OA 的长.24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设()f x =|x|+2|x-a|（a>0）． （I ）当a=l 时，解不等式()f x ≤4；（II ）若()f x ≥4恒成立，求实数a 的取值范围.宁夏高考最新密破考情卷答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B C D C B D BCAA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13. 16 14.13 15． 193π 16. 10 三、解答题：本大题共6小题，满分70分17、（12分）（1）21)2sin(21212cos 212sin 2)(2--+=--=θωωωx p x x p x f ， 由222πωπ=，得2=ω………………2分 由2121212=-+p 及0>p ，得3=p ………………4分 ∴21)64sin()(--=πx x f …………6分（2）212222cos 22222=-≥-+=-+=bc bc bc bc bc c b bc a c b A ．………………8分 A 为三角形内角，所以30π≤<A ………………10分67646πππ≤-<-∴A ，1)64sin(21≤-≤-πA ，21)(1≤≤-∴A f …………12分18.（I ）证明：在梯形ABCD 中，∵ //AB CD ,1AD DC CB ===，∠ABC ＝60 ，∴ 2AB = …………………2分 ∴ 360cos 2222=⋅⋅-+=o BC AB BC AB AC ∴ 222BC AC AB +=∴ BC ⊥AC ………………… 4分 ∵ 平面ACFE ⊥平面ABCD ,平面ACFE ∩平面ABCD AC =,BC ⊂平面ABCD∴ BC ⊥平面ACFE ………6分 （II ）由（I ）可建立分别以直线,,CA CB CF 为轴轴轴，z y x ,的如图所示空间直角坐标系，令)30(≤≤=λλFM ，则)0,0,3(),0,0,0(A C ， ()()1,0,,0,1,0λM B∴ ()()1,1,,0,1,3-=-=λBM AB …………8分 设()z y x n ,,1=为平面MAB 的一个法向量，由⎩⎨⎧=⋅=⋅0011BM n AB n 得⎩⎨⎧=+-=+-003z y x y x λ 取1=x ，则()λ-=3,3,11n ，…………10分 ∵ ()0,0,12=n 是平面FCB 的一个法向量 ∴()()122212||11cos ||||133134n n n n θλλ⋅===⋅++-⨯-+………11分∵ 03λ≤≤∴ 当0λ=时，θc o s 有最小值77， 当3λ=时，θcos 有最大值12。

2013年天津市耀华中学高考数学一模试卷（理科）一、本卷共8题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．1．（5分）（2009•宁夏）复数﹣=（）解：﹣﹣=﹣=i+i=2i，则m+n=n=3．（5分）（2007•海南）如果执行程序框图，那么输出的S=（）×4．（5分）（2010•辽宁）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，B）个单位后为=，所以有=2k，即≥，6．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，由F向其渐近线上引垂线，垂中为P，若B．y=的斜率为﹣，设，x=，））把中点坐标代入双曲线方程=7．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P为矩形内一点，且，若（λ，μ∈R），B．=）进行坐标变换得出）），得=∵即（y=，∴=，的最大值为．8．（5分）高三年级有文科、理科共9个备课组，每个备课组的人数不少于4个，现从这9个备课组中抽二、填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在后面的答题卡上；9．（5分）（2011•山东）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为16．每个个体被抽到的概率是=×10．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是30+6．=5AB==2BD==AD==ADB==ADB=××××=30+611．（5分）如图所示，直线PA切⊙O于点A，直线PO分别与⊙O相交子点B、C，已知，则线段AB长4．，，412．（5分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为，设圆C与直线l交于点A、B，则弦AB长为．（=0的方程为ρ+，的圆．d==．13．（5分）已知实数x，y∈（0，），且tanx=3tany，则x﹣y的最大值是．）=，∵≥，当且仅当≤）的最大值为，﹣，则最大值为，故答案为：．14．（5分）函数f（x）=，若直线y=kx﹣1与函数y=f（x）有3个公共点，则实数k的取值范围是（0，1）．三．解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=tan（2x+）（I）求该函数的定义域，周期及单调区间；（II）若f（θ）=，求的值．”T=≠（）得，）得，综上得，函数的周期是{x|单调增区间是（）式子==①，∴），）﹣]=得，，得，=代入上式①得，=216．（13分）某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门课程课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：（I）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；（II）设3名学生选择A选修课的人数为ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．（=，，=，=×+1×+2×+3×=（17．（13分）已知三棱柱A1B1C1﹣ABC中，三个侧面均为矩形，底面ABC为等腰直角三角形，C1C=CA=CB=2，点D为棱CC1的中点，点E在棱B1C1上运动．（I）求证A1C⊥AE；（II）当点E到达某一位置时，恰使二面角E﹣A1D﹣B的平面角的余弦值为，求；（III）在（II）的条件下，在平面ABC上确定点F，使得EF⊥平面A1DB？并求出EF的长度．可证⊥，只需证明=0的一个法向量，由两法向量夹角余弦值的绝对值等于，可知与平面||=，因为所以⊥，即==，即，取==，设=，即，取=，得||=所以；，且=，且，所以所以||=的长度为，此时点18．（13分）已知数列{a n}满足：（I）求a2，a3；（II）设，求证：数列{b n}是等比数列，并求其通项公式；（Ⅲ）求数列{a n}前20项中所有奇数项的和．）利用等比数列的定义证出=+1=﹣，且==，﹣++90+（（18+﹣=﹣19．（14分）已知点D（0，﹣2），过点D作抛物线C1：x2=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图（Ⅰ）求切点A的纵坐标；（Ⅱ）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求椭圆方程．，且的斜率为，得的方程为，再）由得，由，所以椭圆方程为，由此能求出椭圆方程．，且的斜率为的方程为，又点∴，即点，切线斜率，由所以椭圆方程为，且过，∴，椭圆方程为．20．（14分）（2013•济南二模）设，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．（1）求a的值；（2）若∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的范围．（3）求证：．先将原来的恒成立问题转化为时，时，成立．不妨令，得由题设∴）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣时，时，方程﹣，综上所述，．时，时，不妨令所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣累加可得。

.绝密★启用前2013 年一般高等学校招生全国一致考试( 新课标Ⅱ卷 )理科综合能力测试注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号框。

写在本试卷上无效。

3.答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量： H 1 C 12 N 14 O 16 F 19 Na 23 Al 27 S 32 Cl35.5 K 39 Ca 40 Cr 52 Fe 56 Ni 59 Cu 64 Zn 65一、选择题：此题共13 小题，每题 6 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。

1.对于 DNA和 RNA的表达，正确的选项是有氢键， RNA没有氢键 B.一种病毒同时含有DNA和 RNAC.原核细胞中既有DNA，也有 RNAD. 叶绿体、线粒体和核糖体都含有DNA2.对于叶绿素的表达，错误的选项是A.叶绿素 a 和叶绿素 b 都航油镁键B.叶绿素汲取的光可能用于光合作用C.叶绿素 a 和叶绿素 b 在红光区的汲取峰值不一样.D.植物体现绿色是因为叶绿素能有效地汲取绿光3.以下曰微生物疑心有关的表达，错误的选项是A.肺炎双球菌无线粒体，但能进行有氧呼吸B.与细菌呼吸有关的酶由拟核中的基因编码C.破伤风芽孢杆菌适合生活在有氧的环境中D.有氧和无氧时，酵母菌呼吸作用产物不痛4.对于免疫细胞的表达，错误的选项是A. 淋巴细胞包含 B 细胞、 T 细胞和吞噬细胞B. 血液和淋巴液中都含有T 细胞和 B 细胞C.吞噬细胞和 B 细胞都属于免疫细胞D.浆细胞经过胞吐作用分泌抗体5.在生命科学发展过程中，证明 DNA是遗传物质的实脸是①孟德尔的豌豆杂交实验②摩尔根的果蝇杂交实脸③肺炎双球菌转变实验④T2 噬菌体侵染大肠杆菌实验⑤ DNA的X光衍射实脸A. ①②B.②③C.③④D.④⑤6.对于酶的表达，错误的选项是A. 同一种酶可存在于分化程度不一样的适细胞中B.低温能降低酶活性的原由是其损坏了酶的空间结构C.酶经过降低化学反响的活化能来提升化学反响速度D.酶既能够作为催化剂，也能够作为另一个反响的底物7.在必定条件下，动植物油脂与醇反响可制备生物柴油，化学方程式以下:.以下表达错误的是 .A. 生物柴油由可重生资源制得B. 生物柴油是不一样酯构成的混淆物C.动植物油脸是高分子化合物D. “地沟油”可用于制备生物柴油8.以下表达中，错误的选项是A.苯与浓硝酸、浓硫酸共热并保持 55-60 ℃反响生成硝基苯B.苯乙烯在适合条件下催化加氢可生成乙基环己烷C.乙烯与溴的四氯化碳溶液反响生成1,2- 二澳乙烷D.甲苯与氯气在光照下反响主要生成2,4- 二氯甲笨9.N0 为阿伏伽德罗常数的值. 以下表达正确的选项是·L-1 的 NaAIO2水溶液中含有的氧原子数为2N0B.12g 石墨烯 ( 单层石墨 ) 中含有六元环的个数为C. 25 ℃时 pH=13的 NaOH溶液中含有 OH一的数量为 0.1 N0D. I mol 的羟基与 1 mot 的氢氧根离子所含电子数均为 9 N010.能正确表示以下反响的离子方程式是A.浓盐酸与铁屑反响： 2Fe+6H+=2Fe3++3H2↑B.钠与 CuSO4溶液反响： 2Na+Cu2+=Cu↓溶液与稀 H2SO4反响： CO2-3+2H+-H2O+CO2↑.D.向 FeCl3 溶液中加入Mg(OH)2:3Mg(OH)2+2Fe3+=2Fe(OH)3+3Mg2+11. “ZEBRA”蓄电池的结构以下图，电极资料多孔 Ni/Nicl2和金属钠之间由钠离子导系统作的陶瓷管相隔。

试题及答案、解析2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1. 本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题 .。

2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷 类型信息.。

3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共 分，共50分) 1.设全集为R,函数f(x)乞1 -x 2的定义域为 M,则C R M 为 (A) [ - 1,1] (B) (- 1,1)(C) ( J ：，-1] -•[1, (D) ( -：：, -〔)_. (1, ■：：)【答案】D2. 根据下列算法语句,当输入x 为60时, 输出y 的值为(A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 【答案】C【解析】 x =60,. y =25 0.6 (x-50) =31 ,所以选 C3.设 a, b 为向量，贝U “ab |=|a || b |”是 a // b”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】C10小题，每小题5【解析】1-X 2 _0,. 一1 乞 x 叮.即 M =[-1,1],c M—(—cQ , 一 1)U (1&),所以选D:输入xI:If x < 50 ThenI:y=0.5 * x :Else； y=25+0.6*( x-50) :End If i 输出y【解析】a b a | |b | COST若| a b|=| a | |b| ： cos)- -1,则向量a与b的夹角为0或二，即a//b为真；相反，若a//b，则向量0与b的夹角为0或二，即|a 6鬥2| |b|。

所以“ab 旧a || b |”是a // b”的充分必要条件。

另：当向量a 或b 为零向量时，上述结论也成立。

2013年高考数学考试大纲权威解读适用于：河南，黑龙江，吉林，陕西，宁夏，海南，内蒙古2013年全国新课标数学学科《考试大纲》和《考试说明》文理科和2012年对比，在内容、能力要求、时间、分值（含选修比例）、题型题量等几个方面都没有发生变化。

注重对数学思想与方法的考查，体现数学的基础、应用和工具性的学科特色，多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质和思维能力，考查考生对数学本质的理解，考查考生的数学素养和学习潜能。

新课标考试说明与去年的考试说明比较，可以看出：依然是对如下知识和能力的考查1.坚持对五种能力的考查：（1）空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.这一能力的考查在试卷中主要以立体几何中的三视图得以体现，且难度有逐年递增的趋势。

（2）抽象概括能力：对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或作出新的判断.（3）推理论证能力：根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力．推理包括合情推理和演绎推理，论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法．一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明.（4）运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.（5）数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断．数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.2.两个意识的考查：（1）应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.（2）创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.3．2013年高考数学主客观题考试特点：理科必考知识点（即近三年高考每年都考的知识点，主要针对客观题）：复数、常用逻辑用语、程序框图、三视图、球的组合体、概率、函数与导数、圆锥曲线、三角函数等。

YN输出n 开始1a 2n ←←，1n n ←+32a a ←+20a <结束（第5题） 2013年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）数学Ⅰ 注意事项绝密★启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符. 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1.函数)42sin(3π-=x y 的最小正周期为 ▲ .2.设2)2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ .3.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ . 4.集合{}1,0,1-共有 ▲ 个子集.5.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲6.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次甲 87 91 90 89 93乙8990918892 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ .7.现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到奇数的概率为 ▲ .8.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ .9.抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界）。

若点(,)P x y 是区域D 内的任意一点，则10.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 ▲ .11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 ▲ .12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ,右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d .若126d d =，则椭圆的离心率为 ▲ .13.平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数)0(1>=x xy 图像上一动点，若点A P ,之间最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ . 14.在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a .则满足n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利! 注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式: ·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+ ·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷一、选择题1．已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B 等于( )A ．(－∞，2]B ．[1,2]C ．[－2,2]D ．[－2,1] 答案 D解析 A ＝{x ∈R ||x |≤2}＝[－2,2]，B ＝{x ∈R |x ≤1}＝(－∞，1]，∴A ∩B ＝[－2,2]∩(－∞，1]＝[－2,1]，选D.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2答案 A解析 可行域如图阴影部分(含边界)令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过A 点时，z 取得最小值． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得A (5,3)． ∴z 最小＝3－2×5＝－7，选A.3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )A ．64B ．73C ．512D ．585 答案 B解析 第1次运行：S ＝0＋13＝1<50 第2次运行：x ＝2，S ＝1＋23＝9<50 第3次运行：x ＝4，S ＝9＋43＝73>50 ∴输出S ＝73，选B.4．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切，其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③ 答案 C解析 ①正确，②不正确，③正确，选C.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p 等于( )A ．1 B.32C ．2D ．3答案 C解析 e ＝2，⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝4，∴b a ＝3，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， ∴|AB |＝2·p2tan 60°又S △AOB ＝3，即12·p 2·2·p 2tan 60°＝3，∴p 24＝1，∴p ＝2，选C.6．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )A.1010B.105C.31010D.55答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC ＝3×sin π45＝3×225＝31010，选C.7．函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 当0<x <1时，f (x )＝2x log 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f (x )在(0,1)上有一个零点． 当x >1时，f (x )＝－2x log 0.5x －1＝2x log 2x －1，令f (x )＝0得log 2x ＝⎝⎛⎭⎫12x，由y ＝log 2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.8．已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A .若⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 答案 A解析 f (x )＝x (1＋a |x |)，f (x ＋a )＝(x ＋a )(1＋a |x ＋a |)， 由f (x ＋a )<f (x )得，x ＋a ＋a (x ＋a )|x ＋a |<x ＋ax |x |， 而a ＋a (x ＋a )|x ＋a |<ax |x |， (1)当a ＝0时，不合题意．(2)当a >0时有1＋(x ＋a )|x ＋a |<x |x |由于当x ＝0时1＋|a |<0无解，故a <0，去掉C. (3)当a <0时，1＋(x ＋a )|x ＋a |>x |x |取a ＝－12，则1＋⎝⎛⎭⎫x －12⎪⎪⎪⎪x －12>x |x |* ①当x ≤0时，由*得－34<x ≤0②当0<x ≤12时，由☆得0<x ≤2＋279>12此时⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A 符合题意，由于－12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0， －12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－52去掉B 、D ，故选A.第Ⅱ卷二、填空题9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 答案 1＋2i解析 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ， ⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. ∴a ＋b i ＝1＋2i.10.⎝⎛⎭⎫x －1x 6的二项展开式中的常数项为________． 答案 15解析 T r ＋1＝C r 6x 6－r(－x －12)r ＝(－1)r C r 6x 6－3r 2(r ＝0,1，…，6)， 由题意得6－3r2＝0，∴r ＝4.故常数项为T 4＋1＝C 46(－1)4＝C 26＝6×52×1＝15.11．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，则|CP |＝________. 答案 2 3解析 由ρ＝4cos θ得：ρ2＝4ρcos θ而x 2＋y 2＝4x ，∴(x －2)2＋y 2＝4，圆心C (2,0)，点P ⎝⎛⎭⎫4，π3的直角坐标为P (2,23)． ∴|CP |＝2 3.12．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →， ∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.13．如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为________．答案 83解析 设EB ＝x ，则ED ＝x ＋5，由切割线定理知x (x ＋5)＝62，∴x ＝4.∵AC ∥ED ，∴AB ＝CD ，又AB ＝AC .∴∠2＝∠3＝∠4＝∠5，又∠1＝∠3，∠3＝∠6. ∴∠1＝∠6，∴AE ∥BC ，即EBCA 为平行四边形． ∴AC ＝EB ＝4，BC ＝6，由△AFC ∽△BFD . ∴AC BD ＝CF 6－CF . 即45＝CF 6－CF ，∴CF ＝83.14．设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值．答案 －2解析 ∵a ＋b ＝2，b >0，显然b ≠2(∵a ≠0)， ∴a ＝2－b .①当0<b <2时，a ＝2－b >0，f (b )＝12|a |＋|a |b ＝12(2－b )＋2－b b ＝12(2－b )＋2b－1，f ′(b )＝12(2－b )2－2b2， 令f ′(b )＝0得b ＝43.当b ∈⎝⎛⎭⎫0，43时f ′(b )<0， 当b ∈⎝⎛⎭⎫43，2时f ′(b )>0.故当b ＝43，f (b )最小＝54.②当b >2时，a ＝2－b <0，f (b )＝12(b －2)＋b －2b ＝12(b －2)－2b ＋1，f ′(b )＝－12(b －2)2＋2b2， 令f ′(b )＝0得b ＝4.当2<b <4时，f ′(b )<0， 当b >4时，f ′(b )>0.故当b ＝4时，f (b )最小＝34，此时a ＝2－b ＝－2.三、解答题15．已知函数f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2 x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π4＋3sin 2x －cos 2x＝2sin 2x －2cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π8上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤3π8，π2上是减函数．又f (0)＝－2，f ⎝⎛⎭⎫3π8＝22， f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为22，最小值为－2.16．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)． (1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 解 (1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67. 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望EX ＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.17．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点． (1)证明B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM 的长．如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．方法一 (1)证明 易得B 1C 1→＝(1,0，－1)，CE →＝(－1,1，－1)，于是B 1C 1→·CE →＝0，所以B 1C 1⊥CE .(2)解 B 1C →＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0.消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)．由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→|m |·|B 1C 1→|＝－414×2＝－277，从而sin 〈m ，B 1C 1→〉＝217，所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217.(3)解 AE →＝(0,1,0)，EC 1→＝(1,1,1)，设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB →＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →|·|AB →|＝2λλ2＋(λ＋1)2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1，于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13，所以AM ＝ 2.方法二 (1)证明 因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从而B 1E 2＝B 1C 21＋EC 21，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ，又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE .(2)解 过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ，连接C 1G .由(1)，B 1C 1⊥CE ，故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角．在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E ＝3，CC 1＝2，可得C 1G ＝263.在Rt △B 1C 1G 中，B 1G ＝423，所以sin ∠B 1GC 1＝217，即二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217.(3)解 连接D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连接AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM与平面ADD1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH ＝26x ，AH ＝346x .在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1＝2，得EH ＝2MH ＝13x .在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos 135°，得1718x 2＝1＋19x 2＋23x ，整理得5x 2－22x －6＝0，解得x ＝ 2.所以线段AM 的长为 2.18．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．解 (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.求解可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以 AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.19．已知首项为32的等比数列{a n }不是．．递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎨⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.20．已知函数f (x )＝x 2ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明：对任意的t >0，存在唯一的s ，使t ＝f (s )；(3)设(2)中所确定的s 关于t 的函数为s ＝g (t )，证明：当t >e 2时，有25<ln g (t )ln t <12.(1)解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞.(2)证明 当0<x ≤1时，f (x )≤0，设t >0，令h (x )＝f (x )－t ，x ∈[1，＋∞)，由(1)知，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增，h (1)＝－t <0，h (e t )＝e 2t ln e t －t ＝t (e 2t －1)>0.故存在唯一的s ∈(1，＋∞)，使得t ＝f (s )成立． (3)证明 因为s ＝g (t )，由(2)知，t ＝f (s )，且s >1，从而 ln g (t )ln t ＝ln s ln f (s )＝ln s ln (s 2ln s )＝ln s 2ln s ＋ln ln s ＝u2u ＋ln u， 其中u ＝ln s ．要使25<ln g (t )ln t <12成立，只需0<ln u <u2，当t >e 2时，若s ＝g (t )≤e ，则由f (s )的单调性，有t ＝f (s )≤f (e)＝e 2，矛盾．所以s >e ，即u >1，从而ln u >0成立．另一方面，令F (u )＝ln u －u 2，u >1.F ′(u )＝1u －12，令F ′(u )＝0，得u ＝2.当1<u <2时，F ′(u )>0；当u >2时，F ′(u )<0.故对u >1，F (u )≤F (2)<0，因此ln u <u2成立．综上，当t >e 2时，有25<ln g (t )ln t <12.。

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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学（江苏卷)数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．1．(2013江苏，1)函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为__________．2．（2013江苏,2)设z ＝（2－i ）2（i 为虚数单位)，则复数z 的模为__________．3．（2013江苏，3)双曲线22=1169x y -的两条渐近线的方程为__________．4．(2013江苏，4）集合{－1，0，1｝共有__________个子集． 5．（2013江苏，5）下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________．6．（2013江苏，6）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(7．(2013江苏，7）现有某类病毒记作X m Y n ,其中正整数m ，n （m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为__________．8．（2013江苏,8）如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ,E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点,设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝__________。

因为SA SAB ⊂平面，所以BC SA ⊥．（步骤8）又22BC OC OD ==，故2AC AD =．（步骤2）323.【答案】（1）由数列{}n a 的定义得：11a =，22a =-，32a =-，43a =，53a =，63a =，74a =-，84a =-，94a =-，104a =-，115a =，∴11S =，21S =-，33S =-，40S =，53S =，66S =，72S =，82S =-，96S =-，1010S =-，115S =-（步骤1）∴111S a =g ，440S a =g ，551S a =g ，662S a =g ，11111S a =-g ，（步骤2）∴集合11P 中元素的个数为5.（步骤3）（2）证明：用数学归纳法先证(21)(21)i i S i i +=-+，事实上，①当1i =时，(21)31(2+1)3i i S S +==-⨯=-故原式成立；②假设当i m =时，等式成立，即(2+1)(2+1)m m S m m =-g 故原式成立．（步骤4）则：+1i m =，时，22(+1)[2(+1)+1](+1)(2+3(2+1)(2+1)(2+2)m m m m m m S S S m m ==+-）222(2+1)(2+1)(2+2)(2+5+3)(+1)(2+3)m m m m m m m m =-+-=-=-，（步骤5）综合①②得：(2+1)(2+1)i i S i i =-于是22(+1)[2+1](2+1+(2+1)(2+1)+(2+1)(2+1)(+1)i i i i S S i i i i i i ==-=），（步骤6）由上可知：(2+1)i i S 是(2+1)i 的倍数，而(+1)(2+1)2+1(122+1)i i j a i j i +==L ，，，，所以(2+1)+(2+1)(2+1)i i j i i S S j i =+，（步骤7）是(+1)(2+1)+i i j a (122+1)j i =L ，，，的倍数，又(+1)(2+1)(+1)(2+1)i i S i i =不是2+2i 的倍数，而(+1)(2+1)+(2+2)i i j a i =-(122+2)j i =L ，，，，所以(+1)(2+1)+(2+1)(+1)(2+2)i i j S i i j i =-，(+1)(2+1)+(+1)(2+1)(2+2)i i j i i S S j i =-不是(+1)(2+1)(122+2)i i j a j i +=L ，，，的倍数，（步骤8）故当(2+1)l i i =时，集合l P 中元素的个数为21+3++21i i -=L （），（步骤9） 于是当(2+1)+12+1l i i j j i =≤≤（）时，集合l P 中元素的个数为2+i j ，又200031231+1+47=⨯⨯（），故集合2000P 中元素的个数为231+471008=．（步骤10）【提示】给出数列的规律，由此求出数列相应的项及各项之和，采用列举法写出所满足的元素；由特殊形式推广到一般形式，采用计数原理和数学归纳法来证明得之．【考点】集合，数列的概念和运算，计数原理，数学归纳法．。