2007年高考数学(理科)试卷及答案(宁夏卷)

样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差锥体体积公式(n s x x =++-13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >【答案】：C【分析】：p ⌝是对p 的否定，故有：,x ∃∈R sin 1.x > 2．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-，【答案】：D 【分析】：1322-=a b (12).-，3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）20,Ａ．Ｂ．4．已知{}n a是等差数列，1010a=，其前10项和1070S=，则其公差d=（）Ａ．23-Ｂ．13-Ｃ．13Ｄ．23【答案】：D【分析】：1101011()105(10)70 4.2a aS a a+⨯==+=⇒=1012.93a ad-∴==5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（）Ａ．2450 Ｂ．2500Ｃ．2550 Ｄ．2652【答案】：C【分析】：由程序知，15021222502502550.2S+=⨯+⨯++⨯=⨯⨯=6．已知抛物线22(0)y px p=>的焦点为F，点111222()()P x y P x y，，，，333()P x y，在抛物线上，且2132x x x=+，则有（）Ａ．123FP FP FP+=Ｂ．222123FP FP FP+=Ｃ．2132FP FP FP=+Ｄ．2213FP FP FP=·【答案】：C【分析】：由抛物线定义，2132()()(),222p p px x x+=+++即：2132FP FP FP=+．7．已知0x>，0y>，x a b y，，，成等差数列，x c d y，，，成等比数列，则2()a bcd+的最小值是（）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．4【答案】：D【分析】：,,a b x y cd xy+=+=22()()4.a b x ycd xy++∴=≥=8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中正视图侧视图BA 标出 的尺寸（单位：cm ），可得这个几 何体的体积是（ ）Ａ．34000cm 3Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cmＤ．34000cm 【答案】：B 【分析】：如图，18000202020.33V =⨯⨯⨯= 9．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sinαα+的值为（ ） Ａ．Ｂ．12-Ｃ．12【答案】：C【分析】：22cos 2cos )πsin 42αααα==+=⎛⎫- ⎪⎝⎭1cos sin .2αα⇒+= 10．曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．29e 2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e【答案】：D【分析】：11221(),2x x y e e ''⇒==曲线在点2(4e )，处的切线斜率为212e ，因此切线方程为221(4),2y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2(2,0),(0,),A B e -所以： 221||2.2AOB S e e ∆=-⨯=123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）AEＡ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >> Ｄ．231s s s >>【答案】：B 【分析】：(78910)58.5,20x +++⨯==甲2222215[(78.5)(88.5)(98.5)(108.5)]1.25,20s ⨯-+-+-+-== (710)6(89)48.5,20x +⨯++⨯==乙2222226[(78.5)(108.5)]4[(88.5)(98.5)]1.45,20s ⨯-+-+⨯-+-== (710)4(89)68.5,20x +⨯++⨯==丙2222234[(78.5)(108.5)]6[(88.5)(98.5)]1.05,20s ⨯-+-+⨯-+-== 22213213.s s s s s s >>>>2由得12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =（）2:22:2:【答案】：B 【分析】：如图，设正三棱锥P ABE -的各棱长为a ，则四棱锥P ABCD -的各棱长也为a ，于是1,2ha ==2,h h === 12::2:2.h h h ∴=第II 卷C B FA O y x本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．【答案】：3 【分析】：如图，过双曲线的顶点A 、焦点F 分别 向其渐近线作垂线，垂足分别为B 、C ，则：||||63.||||2OF FC c OA AB a =⇒== 14．设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a = ．【答案】：-1 【分析】：(1)(1)02(1)00, 1.f f a a +-=⇒++=∴=-15．i 是虚数单位，51034ii-+=+ ．（用a bi +的形式表示，a b ∈R ，） 【答案】：12i + 【分析】：510(510)(34)255012.34(34)(34)25i i i ii i i i -+-+-+===+++-16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答） 【答案】：240 【分析】：由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂一个班，共有123453240.C C A ⋅⋅=种安排方法。

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（宁夏、 海南卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式： 样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差锥体体积公式其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >【答案】：C【分析】：p ⌝是对p 的否定，故有：,x ∃∈R sin 1.x >2．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-， 【答案】：D【分析】：1322-=a b (12).-，3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）0,4．已知10Ａ．23-Ｄ．23110)a +=5S =Ａ．Ｃ．6F ，点1(P 3)y 在抛物线上， 且2132x x x =+， 则有（ ） Ａ．123FP FP FP +=Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FP FP FP =·【答案】：C【分析】：由抛物线定义，2132()()(),222p p px x x +=+++即：2132FP FP FP =+．BA7．已知0x>，0y>，x a b y，，，成等差数列，x c d y，，，成等比数列，则2()a bcd+的最小值是（）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．4【答案】：D【分析】：,,a b x y cd xy+=+=8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）Ａ．34000cm3Ｂ．38000cm3Ｃ．32000cmＤ．34000cm【答案】：B【分析】：如图，18000202020.33V=⨯⨯⨯=9．若cos2πsin4αα=⎛⎫-⎪⎝⎭，则cos sinαα+的值为（）Ａ．Ｂ．12-Ｃ．12【答案】：C【分析】：22cos2cos)π2sin4αααα==+=-⎛⎫-⎪⎝⎭10．曲线12e xy=在点2(4e)，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．29e2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e【答案】：D【分析】：11221(),2x xy e e''⇒==曲线在点2(4e)，处的切线斜率为212e，因此切线方程正视图侧视图为221(4),2y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2(2,0),(0,),A B e -所以：123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >> Ｄ．231s s s >>【答案】：B 【分析】：(78910)58.5,20x +++⨯==甲12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =（ ）2:222【答案】：B【分析】：如图，设正三棱锥P ABE -的各棱长为a ，则四棱锥P ABCD -的各棱长也为a ， 于是1,2h a == 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21必考题，每个试题考生都必须做答，第22生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2的距离为6，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】：3【分析】：如图，过双曲线的顶点A 、焦点F 分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B 、C ，则：||||63.||||2OF FC c OA AB a =⇒== 14．设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a = ．【答案】：-1【分析】：(1)(1)02(1)00, 1.f f a a +-=⇒++=∴=-15．i 是虚数单位，51034ii-+=+ ．（用a bi +的形式表示，a b ∈R ，）【答案】：12i + 【分析】：510(510)(34)255012.34(34)(34)25i i i ii i i i -+-+-+===+++-16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答） 【答案】：240【分析】：由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂一个班，共有123453240.C C A ⋅⋅=种安排方法。

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（宁夏）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第II卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫M的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式：样本数据，，，的标准差锥体体积公式其中为样本平均数其中为底面面积、为高柱体体积公式球的表面积、体积公式，其中为底面面积，为高其中为球的半径第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题，，则（）Ａ．，Ｂ．，Ｃ．， Ｄ．，2．已知平面向量，则向量（ ）Ａ． Ｂ．Ｃ．Ｄ．3．函数在区间的简图是（ ）4．已知是等差数列，，其前10项和其公差（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．如果执行右面的程序框图，那么输出的Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652 6．已知抛物线的焦点为，点，且， 则有（ ）Ａ．Ｂ．ＡＢ． Ｃ．． 输出Ｃ． Ｄ．7．已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ．9．若，则的值为（ ） Ａ．Ｂ．Ｃ． Ｄ．10．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）Ａ．Ｂ．正视图侧视图俯视图Ｃ．Ｄ．12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．第II卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试卷考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为．14．设函数为奇函数，则．15．是虚数单位，．（用的形式表示，）16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种．（用数字作答）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．（I ）求的取值范围； （II ）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为2，的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，以表示落入中的点的数目．（I ）求的均值； （II ）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率．附表：21．（本小题满分12分）设函数 （I ）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II ）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．22．请考生在三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知是的切线，为切点，是的割线，与交于两点，圆心在的内部，点是的中点．（Ⅰ）证明四点共圆；（Ⅱ）求的大小．22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程和的极坐标方程分别为．（Ⅰ）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求经过，交点的直线的直角坐标方程．22．Ｃ（本小题满分10分）选修；不等式选讲设函数．（I ）解不等式； （II ）求函数的最小值．2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷参考答案（宁夏）一、选择题1．Ｃ2．Ｄ3．Ａ4．Ｄ5．Ｃ6．Ｃ7．Ｄ8．Ｂ9．Ｃ10．Ｄ11．Ｂ12．Ｂ二、填空题13．14．15．16．240三、解答题17．解：在中，．由正弦定理得．所以．在中，．18．证明：（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而．所以为直角三角形，．又．所以平面．（Ⅱ）解法一：取中点，连结，由（Ⅰ）知，得．为二面角的平面角．由得平面．所以，又，故．所以二面角的余弦值为．解法二： 以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．设，则．的中点，．．故等于二面角的平面角．，所以二面角的余弦值为．19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得．整理得 ①直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或．即的取值范围为．（Ⅱ）设，则，由方程①，．②又．③而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．20．解：每个点落入中的概率均为．依题意知．（Ⅰ）．（Ⅱ）依题意所求概率为，．21．解：（Ⅰ），依题意有，故．从而．的定义域为，当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．（Ⅱ）的定义域为，．方程的判别式．（ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值．（ⅱ）若，则或．若，，．当时，，当时，，所以无极值．若，，，也无极值．（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．综上，存在极值时，的取值范围为．的极值之和为． 22．Ａ（Ⅰ）证明：连结． 因为与相切于点，所以．因为是的弦的中点，所以．于是．由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以．由（Ⅰ）得． 由圆心在的内部，可知． 所以． 22．Ｂ解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． （Ⅰ），，由得．所以． 即为的直角坐标方程． 同理为的直角坐标方程．（Ⅱ）由解得．即，交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为．22．Ｃ解： （Ⅰ）令，则．．．．．．．．．．．．．．．3分作出函数的图象，它与直线的交点为和．所以的解集为．（Ⅱ）由函数的图像可知，当时，取得最小值．。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数 学（理科）参考答案一、选择题1．C 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C 7．D 8．B 9．C 10．D 11．B 12．B二、填空题13．3 14．1- 15．12i + 16．240三、解答题17．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=-- 由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠ 所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠⋅==∠+在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ⋅=∠=+18．证明：（Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以2OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥，又SBC △为等腰三角形，故SO BC ⊥，且2SO SA =，从而222OA SO SA +- 所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥ 又AOBO O =．所以SO ⊥平面ABC （Ⅱ） 解法一：取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，，得O M S C A M SC ⊥⊥， OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC所以AO OM ⊥，又2AM SA =，故sin AO AMO AM ∠===所以二面角A SC B --的余弦值为3解法二：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -．设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，SC 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，， 111101(101)2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，00MO SC MA SC ==，∴··故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>，，<等于二面角A SCB --的平面角．3cos 3MO MA MO MA MO MA<>==，··，所以二面角A SC B --的余弦值为319．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =+代入椭圆方程得22(12x kx +=整理得 221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=-> ⎪⎝⎭，解得k <k >k 的取值范围为2⎛⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞ （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12212x x k+=-+ ②又 1212()y y k x x +=++ ③而(01)(A B AB =，，所以OP OQ +与AB 共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得k =由（Ⅰ）知k <k >，故没有符合题意的常数k 20．解：每个点落入M 中的概率均为14p =依题意知1~100004X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， （Ⅰ）11000025004EX =⨯= （Ⅱ）依题意所求概率为0.03410.0310000X P ⎛⎫-<⨯-< ⎪⎝⎭，0.03410.03(24252575)10000X P P X ⎛⎫-<⨯-<=<< ⎪⎝⎭2574100001000024260.250.75tt t t C-==⨯⨯∑ 25742425100001000011000010000242600.250.750.250.75ttttt t t CC --===⨯⨯-⨯⨯∑∑ =0.9570-0.0423 =0.914721．解：（Ⅰ）1()2f x x x a'=++， 依题意有(1)0f '-=，故32a =从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++'==++ ()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当112x -<<-时，()0f x '<； 当12x >-时，()0f x '> 从而，()f x 分别在区间31122⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∞单调增加，在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少（Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221()x ax f x x a++'=+方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=- （ⅰ）若0∆<，即a <<，在()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值（ⅱ）若0∆=，则a -a =若a =()x ∈+∞，2()f x '=当2x =-时，()0f x '=，当222x ⎛⎛⎫∈--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值若a =)x ∈+∞，2()0f x '=>，()f x 也无极值（ⅲ）若0∆>，即a>或a <，则22210xax ++=有两个不同的实根1x=，2x =当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值当a >1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+∞ ()f x 的极值之和为22121122()()ln()ln()f x f x x a x x a x +=+++++21ln 11ln 2ln 22ea =+->-=22． A 解：（Ⅰ）证明：连结OPOM ， 因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP AP ⊥因为M 是⊙O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥A于是180OPA OMA ∠+∠=°，由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A P O M ，，，四点共圆（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A P O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠． 由（Ⅰ）得OP AP ⊥由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=° 所以90OAM APM ∠+∠=° B 解：解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位。

2007年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏、海南卷)理科
数学
佚名
【期刊名称】《上海中学数学》
【年(卷),期】2007(000)007
【摘要】无
【总页数】6页(P32-33,22,94-96)
【正文语种】中文
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2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（宁夏、 海南卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式：样本数据1x ，2x ，L ，n x 的标准差锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >【答案】：C【分析】：p ⌝是对p 的否定，故有：,x ∃∈R sin 1.x >2．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-，【答案】：D 【分析】：1322-=a b (12).-，3．函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）【答案】：A【分析】：π()sin 23f ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭排除Ｂ、Ｄ， π()sin 20,663f ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭排除Ｃ。

2007宁夏卷二、选择题：本题共8小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14.天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。

由此可推算出A.行星的质量B.行星的半径C.恒星的质量D.恒星的半径【解析】根据22)2(Tmr rMm Gπ=可知M=2324Tr G⋅π，所以C 正确；而行星的质量、行星的半径及恒星的半径是无法求出的，所以正确答案为C 。

答案：C15.下列说法正确的是A.行星的运动和地球上物体的运动遵循不同的规律B.物体在转弯时一定受到力的作用C.月球绕地球运动时受到地球的引力和向心力的作用D.物体沿光滑斜面下滑时受到重力、斜面的支持力和下滑力的作用【解析】行星的运动和地球上物体的运动遵循同样的规律，则A 不正确；物体在转弯时，做的是曲线运动，根据物体做曲线运动的条件可知，一定有外力，则B 正确；月球绕地球运动时受到地球的引力，此引力充当向心力，并不是受到地球的向心力，则C 不正确；物体沿光滑斜面下滑时受到重力、斜面的支持力，并没有下滑力，则D 不正确，所以正确答案为B 。

答案：B16.甲乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向作直线运动，t =0时刻同时经过公路旁的同一个路标。

在描述两车运动的v －t 图中（如图），直线a 、b 分别描述了甲乙两车在0~20秒的运动情况。

关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是A.在0~10秒内两车逐渐靠近B.在10~20秒内两车逐渐远离C.在5~15秒内两车的位移相等D.在t =10秒时两车在公路上相遇【解析】在0－10 s 内，乙车的速度一直比甲车大，两车应逐渐远离，则A 不正确；在10－20 s 内，甲车的速度一直比乙车大，两车逐渐靠近，则B 不正确；在5－15 s 内，两图象与坐标轴的面积相等，则两车的位移相等，则C 正确；在t ＝10 s 时两车速度相等，相距最远，则D 不正确，所以正确答案为C 。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数 学（理科）参考答案一、选择题1．C 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C 7．D 8．B 9．C 10．D 11．B 12．B二、填空题13．3 14．1− 15．12i + 16．240三、解答题17．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=−− 由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠⋅==∠+在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ⋅=∠=+18．证明：（Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以2OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥，又SBC △为等腰三角形，故SO BC ⊥，且2SO SA =，从而222OA SO SA +− 所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥ 又AO BO O =I ． 所以SO ⊥平面ABC （Ⅱ） 解法一：取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，，得OM SC AM SC ⊥⊥，OMA ∠∴为二面角A SC B −−的平面角．由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥=I ，，得AO ⊥平面SBC 所以AO OM ⊥，又2AM SA =，故sin 3AO AMO AM ∠=== 所以二面角A SC B −−的余弦值为3解法二：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz −．设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S −，，，，，，，，SC 的中点11022M−，， 111101(101)2222MO MA SC =−=−=−− uuuu r uuu r uuu r ，，，，，，，00MO SC MA SC ==uuuu r uuu r uuu r uuu r，∴··故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>uuuu r uuu r，，<等于二面角A SC B −−的平面角．cos 3MO MA MO MA MO MA <>==uuuu r uuu ruuu u r uuu r uuuu r uuu r ，··，所以二面角A SC B −−的余弦值为319．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =代入椭圆方程得22(12x kx ++=整理得 221102k x+++=① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k∆=−+=−>，解得2k <−或2k >．即k 的取值范围为22 −−+U ，∞∞ （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++uuu r uuu r，，由方程①，12212x x k+=−+ ②又 1212()y y k x x +=++ ③而0)(01)(A B AB =uuu r，，所以OP OQ +uuu r uuu r 与AB uuur 共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得2k =由（Ⅰ）知2k <−或2k >，故没有符合题意的常数k 20．解：每个点落入M 中的概率均为14p =依题意知1~100004X B， （Ⅰ）11000025004EX =×= （Ⅱ）依题意所求概率为0.03410.0310000X P−<×−<，0.03410.03(24252575)10000X P P X−<×−<=<<2574100001000024260.250.75tt t t C −==××∑ 25742425100001000011000010000242600.250.750.250.75ttttt t t CC −−===××−××∑∑ =0.9570-0.0423 =0.914721．解：（Ⅰ）1()2f x x x a′=++， 依题意有(1)0f ′−=，故32a =从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++′==++ ()f x 的定义域为32−+，∞，当312x −<<−时，()0f x ′>；当112x −<<−时，()0f x ′<； 当12x >−时，()0f x ′> 从而，()f x 分别在区间31122−−−+，∞单调增加，在区间112−−，单调减少（Ⅱ）()f x 的定义域为()a −+，∞，2221()x ax f x x a++′=+方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=− （ⅰ）若0∆<，即a <<，在()f x 的定义域内()0f x ′>，故()f x 的极值（ⅱ）若0∆=，则a−或a =若a=()x ∈+∞，2()f x ′=当2x =−时，()0f x ′=，当22x ∈−−+U ，∞时，()0f x ′>，所以()f x 无极值若a =，)x ∈+∞，2()0f x ′=>，()f x 也无极值（ⅲ）若0∆>，即a>或a <，则22210x ax ++=有两个不同的实根12a x −=，22a x −+=当a <时，12x a x a <−<−，，从而()f x ′有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值当a >，1x a >−，2x a >−，()f x ′在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+∞()f x 的极值之和为22121122()()ln()ln()f x f x x a x x a x +=+++++21ln 11ln 2ln 22ea =+−>−=22． A 解：（Ⅰ）证明：连结OP OM ， 因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP AP ⊥因为M 是⊙O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥A于是180OPA OMA ∠+∠=°，由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A P O M ，，，四点共圆（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得AP O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠． 由（Ⅰ）得OP AP ⊥由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=° 所以90OAM APM ∠+∠=° B 解：解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位。