2007年高考数学(理科)试卷及答案(宁夏卷)

样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差锥体体积公式(n s x x =++-13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >【答案】：C【分析】：p ⌝是对p 的否定，故有：,x ∃∈R sin 1.x > 2．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-，【答案】：D 【分析】：1322-=a b (12).-，3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）20,Ａ．Ｂ．4．已知{}n a是等差数列，1010a=，其前10项和1070S=，则其公差d=（）Ａ．23-Ｂ．13-Ｃ．13Ｄ．23【答案】：D【分析】：1101011()105(10)70 4.2a aS a a+⨯==+=⇒=1012.93a ad-∴==5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（）Ａ．2450 Ｂ．2500Ｃ．2550 Ｄ．2652【答案】：C【分析】：由程序知，15021222502502550.2S+=⨯+⨯++⨯=⨯⨯=6．已知抛物线22(0)y px p=>的焦点为F，点111222()()P x y P x y，，，，333()P x y，在抛物线上，且2132x x x=+，则有（）Ａ．123FP FP FP+=Ｂ．222123FP FP FP+=Ｃ．2132FP FP FP=+Ｄ．2213FP FP FP=·【答案】：C【分析】：由抛物线定义，2132()()(),222p p px x x+=+++即：2132FP FP FP=+．7．已知0x>，0y>，x a b y，，，成等差数列，x c d y，，，成等比数列，则2()a bcd+的最小值是（）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．4【答案】：D【分析】：,,a b x y cd xy+=+=22()()4.a b x ycd xy++∴=≥=8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中正视图侧视图BA 标出 的尺寸（单位：cm ），可得这个几 何体的体积是（ ）Ａ．34000cm 3Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cmＤ．34000cm 【答案】：B 【分析】：如图，18000202020.33V =⨯⨯⨯= 9．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sinαα+的值为（ ） Ａ．Ｂ．12-Ｃ．12【答案】：C【分析】：22cos 2cos )πsin 42αααα==+=⎛⎫- ⎪⎝⎭1cos sin .2αα⇒+= 10．曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．29e 2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e【答案】：D【分析】：11221(),2x x y e e ''⇒==曲线在点2(4e )，处的切线斜率为212e ，因此切线方程为221(4),2y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2(2,0),(0,),A B e -所以： 221||2.2AOB S e e ∆=-⨯=123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）AEＡ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >> Ｄ．231s s s >>【答案】：B 【分析】：(78910)58.5,20x +++⨯==甲2222215[(78.5)(88.5)(98.5)(108.5)]1.25,20s ⨯-+-+-+-== (710)6(89)48.5,20x +⨯++⨯==乙2222226[(78.5)(108.5)]4[(88.5)(98.5)]1.45,20s ⨯-+-+⨯-+-== (710)4(89)68.5,20x +⨯++⨯==丙2222234[(78.5)(108.5)]6[(88.5)(98.5)]1.05,20s ⨯-+-+⨯-+-== 22213213.s s s s s s >>>>2由得12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =（）2:22:2:【答案】：B 【分析】：如图，设正三棱锥P ABE -的各棱长为a ，则四棱锥P ABCD -的各棱长也为a ，于是1,2ha ==2,h h === 12::2:2.h h h ∴=第II 卷C B FA O y x本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．【答案】：3 【分析】：如图，过双曲线的顶点A 、焦点F 分别 向其渐近线作垂线，垂足分别为B 、C ，则：||||63.||||2OF FC c OA AB a =⇒== 14．设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a = ．【答案】：-1 【分析】：(1)(1)02(1)00, 1.f f a a +-=⇒++=∴=-15．i 是虚数单位，51034ii-+=+ ．（用a bi +的形式表示，a b ∈R ，） 【答案】：12i + 【分析】：510(510)(34)255012.34(34)(34)25i i i ii i i i -+-+-+===+++-16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答） 【答案】：240 【分析】：由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂一个班，共有123453240.C C A ⋅⋅=种安排方法。

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（宁夏）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第II卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫M的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式：样本数据，，，的标准差锥体体积公式其中为样本平均数其中为底面面积、为高柱体体积公式球的表面积、体积公式，其中为底面面积，为高其中为球的半径第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题，，则（）Ａ．，Ｂ．，Ｃ．， Ｄ．，2．已知平面向量，则向量（ ）Ａ． Ｂ．Ｃ．Ｄ．3．函数在区间的简图是（ ）4．已知是等差数列，，其前10项和其公差（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．如果执行右面的程序框图，那么输出的Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652 6．已知抛物线的焦点为，点，且， 则有（ ）Ａ．Ｂ．ＡＢ． Ｃ．． 输出Ｃ． Ｄ．7．已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ．9．若，则的值为（ ） Ａ．Ｂ．Ｃ． Ｄ．10．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）Ａ．Ｂ．正视图侧视图俯视图Ｃ．Ｄ．12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．第II卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试卷考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为．14．设函数为奇函数，则．15．是虚数单位，．（用的形式表示，）16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种．（用数字作答）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．（I ）求的取值范围； （II ）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为2，的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，以表示落入中的点的数目．（I ）求的均值； （II ）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率．附表：21．（本小题满分12分）设函数 （I ）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II ）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．22．请考生在三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知是的切线，为切点，是的割线，与交于两点，圆心在的内部，点是的中点．（Ⅰ）证明四点共圆；（Ⅱ）求的大小．22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程和的极坐标方程分别为．（Ⅰ）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求经过，交点的直线的直角坐标方程．22．Ｃ（本小题满分10分）选修；不等式选讲设函数．（I ）解不等式； （II ）求函数的最小值．2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷参考答案（宁夏）一、选择题1．Ｃ2．Ｄ3．Ａ4．Ｄ5．Ｃ6．Ｃ7．Ｄ8．Ｂ9．Ｃ10．Ｄ11．Ｂ12．Ｂ二、填空题13．14．15．16．240三、解答题17．解：在中，．由正弦定理得．所以．在中，．18．证明：（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而．所以为直角三角形，．又．所以平面．（Ⅱ）解法一：取中点，连结，由（Ⅰ）知，得．为二面角的平面角．由得平面．所以，又，故．所以二面角的余弦值为．解法二： 以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．设，则．的中点，．．故等于二面角的平面角．，所以二面角的余弦值为．19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得．整理得 ①直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或．即的取值范围为．（Ⅱ）设，则，由方程①，．②又．③而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．20．解：每个点落入中的概率均为．依题意知．（Ⅰ）．（Ⅱ）依题意所求概率为，．21．解：（Ⅰ），依题意有，故．从而．的定义域为，当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．（Ⅱ）的定义域为，．方程的判别式．（ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值．（ⅱ）若，则或．若，，．当时，，当时，，所以无极值．若，，，也无极值．（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．综上，存在极值时，的取值范围为．的极值之和为． 22．Ａ（Ⅰ）证明：连结． 因为与相切于点，所以．因为是的弦的中点，所以．于是．由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以．由（Ⅰ）得． 由圆心在的内部，可知． 所以． 22．Ｂ解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． （Ⅰ），，由得．所以． 即为的直角坐标方程． 同理为的直角坐标方程．（Ⅱ）由解得．即，交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为．22．Ｃ解： （Ⅰ）令，则．．．．．．．．．．．．．．．3分作出函数的图象，它与直线的交点为和．所以的解集为．（Ⅱ）由函数的图像可知，当时，取得最小值．。

2007-2013年宁夏高考理科数学解析几何、概率（2007）19．（ 12分）在平面直角坐标系x O y 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q 。

（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由。

20．（ 12分）如图，面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：在正方形ABCD 中随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为mS n，假设正方形ABCD 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目。

（Ⅰ）求X 的均值EX ；（Ⅱ）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值之差在区间（－0.03，，0.03）内的概率。

附表：1000010000()0.250.75ktt t P k C-=⨯⨯∑（2008）19．（12分）A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为X 1 5% 10%X 2 2% 8% 12% P0.80.2P0.20.50.3（1）在A 、B 两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差DY 1、DY 2；（2）将x （0≤x ≤100）万元投资A 项目，100－x 万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和,求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值.（注：D (aX + b ) = a 2DX ）20．（12分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2.F 2也是抛物线C 2：24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且25||3MF =.（1）求C 1的方程；（2）平面上的点N 满足12MN MF MF =+，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若OA ·OB =0，求直线l的方程.（2009）（19）（12分）某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数 学（理科）参考答案一、选择题1．C 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C 7．D 8．B 9．C 10．D 11．B 12．B二、填空题13．3 14．1- 15．12i + 16．240三、解答题17．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=-- 由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠ 所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠⋅==∠+在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ⋅=∠=+18．证明：（Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以2OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥，又SBC △为等腰三角形，故SO BC ⊥，且2SO SA =，从而222OA SO SA +- 所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥ 又AOBO O =．所以SO ⊥平面ABC （Ⅱ） 解法一：取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，，得O M S C A M SC ⊥⊥， OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC所以AO OM ⊥，又2AM SA =，故sin AO AMO AM ∠===所以二面角A SC B --的余弦值为3解法二：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -．设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，SC 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，， 111101(101)2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，00MO SC MA SC ==，∴··故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>，，<等于二面角A SCB --的平面角．3cos 3MO MA MO MA MO MA<>==，··，所以二面角A SC B --的余弦值为319．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =+代入椭圆方程得22(12x kx +=整理得 221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=-> ⎪⎝⎭，解得k <k >k 的取值范围为2⎛⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞ （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12212x x k+=-+ ②又 1212()y y k x x +=++ ③而(01)(A B AB =，，所以OP OQ +与AB 共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得k =由（Ⅰ）知k <k >，故没有符合题意的常数k 20．解：每个点落入M 中的概率均为14p =依题意知1~100004X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， （Ⅰ）11000025004EX =⨯= （Ⅱ）依题意所求概率为0.03410.0310000X P ⎛⎫-<⨯-< ⎪⎝⎭，0.03410.03(24252575)10000X P P X ⎛⎫-<⨯-<=<< ⎪⎝⎭2574100001000024260.250.75tt t t C-==⨯⨯∑ 25742425100001000011000010000242600.250.750.250.75ttttt t t CC --===⨯⨯-⨯⨯∑∑ =0.9570-0.0423 =0.914721．解：（Ⅰ）1()2f x x x a'=++， 依题意有(1)0f '-=，故32a =从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++'==++ ()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当112x -<<-时，()0f x '<； 当12x >-时，()0f x '> 从而，()f x 分别在区间31122⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∞单调增加，在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少（Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221()x ax f x x a++'=+方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=- （ⅰ）若0∆<，即a <<，在()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值（ⅱ）若0∆=，则a -a =若a =()x ∈+∞，2()f x '=当2x =-时，()0f x '=，当222x ⎛⎛⎫∈--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值若a =)x ∈+∞，2()0f x '=>，()f x 也无极值（ⅲ）若0∆>，即a>或a <，则22210xax ++=有两个不同的实根1x=，2x =当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值当a >1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+∞ ()f x 的极值之和为22121122()()ln()ln()f x f x x a x x a x +=+++++21ln 11ln 2ln 22ea =+->-=22． A 解：（Ⅰ）证明：连结OPOM ， 因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP AP ⊥因为M 是⊙O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥A于是180OPA OMA ∠+∠=°，由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A P O M ，，，四点共圆（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A P O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠． 由（Ⅰ）得OP AP ⊥由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=° 所以90OAM APM ∠+∠=° B 解：解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数 学（理科）参考答案一、选择题1．C 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C 7．D 8．B 9．C 10．D 11．B 12．B二、填空题13．3 14．1− 15．12i + 16．240三、解答题17．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=−− 由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠⋅==∠+在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ⋅=∠=+18．证明：（Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以2OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥，又SBC △为等腰三角形，故SO BC ⊥，且2SO SA =，从而222OA SO SA +− 所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥ 又AO BO O =I ． 所以SO ⊥平面ABC （Ⅱ） 解法一：取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，，得OM SC AM SC ⊥⊥，OMA ∠∴为二面角A SC B −−的平面角．由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥=I ，，得AO ⊥平面SBC 所以AO OM ⊥，又2AM SA =，故sin 3AO AMO AM ∠=== 所以二面角A SC B −−的余弦值为3解法二：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz −．设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S −，，，，，，，，SC 的中点11022M−，， 111101(101)2222MO MA SC =−=−=−− uuuu r uuu r uuu r ，，，，，，，00MO SC MA SC ==uuuu r uuu r uuu r uuu r，∴··故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>uuuu r uuu r，，<等于二面角A SC B −−的平面角．cos 3MO MA MO MA MO MA <>==uuuu r uuu ruuu u r uuu r uuuu r uuu r ，··，所以二面角A SC B −−的余弦值为319．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =代入椭圆方程得22(12x kx ++=整理得 221102k x+++=① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k∆=−+=−>，解得2k <−或2k >．即k 的取值范围为22 −−+U ，∞∞ （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++uuu r uuu r，，由方程①，12212x x k+=−+ ②又 1212()y y k x x +=++ ③而0)(01)(A B AB =uuu r，，所以OP OQ +uuu r uuu r 与AB uuur 共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得2k =由（Ⅰ）知2k <−或2k >，故没有符合题意的常数k 20．解：每个点落入M 中的概率均为14p =依题意知1~100004X B， （Ⅰ）11000025004EX =×= （Ⅱ）依题意所求概率为0.03410.0310000X P−<×−<，0.03410.03(24252575)10000X P P X−<×−<=<<2574100001000024260.250.75tt t t C −==××∑ 25742425100001000011000010000242600.250.750.250.75ttttt t t CC −−===××−××∑∑ =0.9570-0.0423 =0.914721．解：（Ⅰ）1()2f x x x a′=++， 依题意有(1)0f ′−=，故32a =从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++′==++ ()f x 的定义域为32−+，∞，当312x −<<−时，()0f x ′>；当112x −<<−时，()0f x ′<； 当12x >−时，()0f x ′> 从而，()f x 分别在区间31122−−−+，∞单调增加，在区间112−−，单调减少（Ⅱ）()f x 的定义域为()a −+，∞，2221()x ax f x x a++′=+方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=− （ⅰ）若0∆<，即a <<，在()f x 的定义域内()0f x ′>，故()f x 的极值（ⅱ）若0∆=，则a−或a =若a=()x ∈+∞，2()f x ′=当2x =−时，()0f x ′=，当22x ∈−−+U ，∞时，()0f x ′>，所以()f x 无极值若a =，)x ∈+∞，2()0f x ′=>，()f x 也无极值（ⅲ）若0∆>，即a>或a <，则22210x ax ++=有两个不同的实根12a x −=，22a x −+=当a <时，12x a x a <−<−，，从而()f x ′有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值当a >，1x a >−，2x a >−，()f x ′在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+∞()f x 的极值之和为22121122()()ln()ln()f x f x x a x x a x +=+++++21ln 11ln 2ln 22ea =+−>−=22． A 解：（Ⅰ）证明：连结OP OM ， 因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP AP ⊥因为M 是⊙O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥A于是180OPA OMA ∠+∠=°，由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A P O M ，，，四点共圆（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得AP O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠． 由（Ⅰ）得OP AP ⊥由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=° 所以90OAM APM ∠+∠=° B 解：解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位。

高考卷,普通高等学校招生考试宁夏海南理理科数学（宁夏、海南卷）2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（宁夏、海南卷）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第II卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式：样本数据，，，的标准差锥体体积公式其中为样本平均数其中为底面面积、为高柱体体积公式球的表面积、体积公式，其中为底面面积，为高其中为球的半径第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题，，则（）Ａ．，Ｂ．，Ｃ．，Ｄ．，：C ：是对的否定，故有：2．已知平面向量，则向量（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．：D ：3．函数在区间的简图是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．：A ：排除Ｂ、Ｄ，排除Ｃ。

也可由五点法作图验证。

4．已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．：D ：5．如果执行右面的程序框图，那么输出的（）Ａ．2450 Ｂ．2500 开始？是否输出结束Ｃ．2550 Ｄ．2652 ：C ：由程序知，6．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．：C ：由抛物线定义，即：．20 20 正视图20 侧视图10 10 20 俯视图7．已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．：D ：8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．：B ：如图，9．若，则的值为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．：C ：10．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．：D ：曲线在点处的切线斜率为，因此切线方程为则切线与坐标轴交点为所以：11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表甲的成绩环数7 8 9 10 频数5 5 5 5 乙的成绩环数7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩环数7 8 9 10 频数 4 6 6 4 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．：B ：12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．：B ：如图，设正三棱锥的各棱长为，则四棱锥的各棱长也为，于是第II卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为．：3 ：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，则：14．设函数为奇函数，则．：-1 ：15．是虚数单位，．（用的形式表示，）：：16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种．（用数字作答）：240 ：由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂一个班，共有种安排方法。

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（海南、宁夏卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上． 2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差 锥体体积公式(n s x x =++- 13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >2．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-，3．函数πsin 2y x ⎛⎫=- ⎪在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎦，的简图是（）xＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =（ ） Ａ．23-Ｂ．13-Ｃ．13Ｄ．235．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ） Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．26526．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上， 且2132x x x =+， 则有（ ） Ａ．123FP FP FP +=Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FP FP FP =·7．已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．4 8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）Ａ．34000cm 3 Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cm Ｄ．34000cm9．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ）Ａ．Ｂ．12-Ｃ．1210．曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．29e 2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>Ｄ．231s s s >>正视图侧视图俯视图12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =（ ） Ａ．3:1:1Ｂ．3:2:2Ｃ．3:2:2Ｄ．3:2:3第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．14．设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a = ．15．i 是虚数单位，51034ii-+=+ ．（用a bi +的形式表示，a b ∈R ，）16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点．（Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．O S B C19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）如图，面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：在正方形ABCD 中随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为mS n，假设正方形ABCD 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目．（I ）求X 的均值EX ；（II ）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值之差在区间(0.03)-0.03，内的概率． 附表：1000010000()0.250.75ktt t t P k C-==⨯⨯∑21．（本小题满分12分） 设函数2()ln()f x x a x =++（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于eln2． 22．请考生在A B C ，，三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，已知AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的割线，与O 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点．（Ⅰ）证明A P O M ，，，四点共圆； （Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小．22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，． （Ⅰ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．D CA22．Ｃ（本小题满分10分）选修45-；不等式选讲 设函数()214f x x x =+--． （I ）解不等式()2f x >； （II ）求函数()y f x =的最小值．2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案（宁夏）一、选择题 1．Ｃ 2．Ｄ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｃ7．Ｄ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｄ 11．Ｂ 12．Ｂ二、填空题 13．3 14．1- 15．12i + 16．240 三、解答题17．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD =∠∠． 所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．18．证明： （Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC△为等腰直角三角形，所以2OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥，又SBC △为等腰三角形，故SO BC ⊥，且2SO SA =，从而222OA SO SA +-．所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥． 又AO BO O =． 所以SO ⊥平面ABC ．（Ⅱ）解法一：取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，，得OM SC AM SC ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．由AO BC AO SOSO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ． 所以AO OM ⊥，又AM =，故sin 3AO AMO AM ∠===． 所以二面角A SC B --OSBCM解法二：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -． 设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，．SC 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，111101(101)2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，． 00MO SC MA SC ==，∴··．故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>，，<等于二面角A SCB --的平面角．3cos MO MA MO MA MO MA<>==，··所以二面角A SC B --19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y kx =代入椭圆方程得22(12x kx +=． 整理得221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为222⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12212x x k+=-+． ② 又1212()22y y k x x +=++． ③而(20)(01)(A B AB =-，，，，． 所以OP OQ +与AB 共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得2k =． 由（Ⅰ）知2k <-或2k >，故没有符合题意的常数k ．20．解：每个点落入M 中的概率均为14p =． 依题意知1~100004X B ⎛⎫⎪⎝⎭，． （Ⅰ）11000025004EX =⨯=．（Ⅱ）依题意所求概率为0.03410.0310000X P ⎛⎫-<⨯-< ⎪⎝⎭，0.03410.03(24252575)10000X P P X ⎛⎫-<⨯-<=<< ⎪⎝⎭2574100001000024260.250.75tt t t C-==⨯⨯∑ 25742425100001000011000010000242600.250.750.250.75ttttt t t CC --===⨯⨯-⨯⨯∑∑ 0.95700.04230.9147=-=．21．解：（Ⅰ）1()2f x x x a'=++，依题意有(1)0f '-=，故32a =．从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>．从而，()f x 分别在区间31122⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∞单调增加，在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少．（Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221()x ax f x x a++'=+． 方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=-．（ⅰ）若0∆<，即a <<，在()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值．（ⅱ）若0∆=，则aa =若a =()x ∈+∞，2()f x '=当x =时，()0f x '=，当222x ⎛⎛⎫∈--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值．若a=)x ∈+∞，2()0f x '=>，()f x 也无极值．（ⅲ）若0∆>，即a>a <22210xax ++=有两个不同的实根1x=，2x =．当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值．当a >1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．综上，()f x 存在极值时，a的取值范围为)+∞． ()f x 的极值之和为2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22ef x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．22．Ａ（Ⅰ）证明：连结OP OM ，．因为AP 与O 相切于点P ，所以OP AP ⊥．因为M 是O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥． 于是180OPA OMA ∠+∠=°．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A P O M ，，，四点共圆．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A P O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠．由（Ⅰ）得OP AP ⊥．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=°． 所以90OAM APM ∠+∠=°． 22．Ｂ解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． 所以224x y x +=． 即2240x y x +-=为1O 的直角坐标方程． 同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程．（Ⅱ）由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，解得1100x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=-⎩． 即1O ，2O 交于点(00)，和(22)-，．过交点的直线的直角坐标方程为y x =-．22．Ｃ解：（Ⅰ）令214y x x =+--，则1521334254x x y x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩， ，， ，， ．≤≥．．．．．．．．．．．．．．．3分 作出函数214y x x =+--的图象，它与直线2y =的交点为(72)-，和23⎪⎝⎭，． 所以2142x x +-->的解集为5(7)3x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，． （Ⅱ）由函数214y x x =+--的图像可知，当12x =-时，214y x x =+--取得最小A值92 ．。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）理科试卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的。

1．人长时间运动后，产生品渴感觉的原因是A．血浆CO2浓度升高B．血浆乳酸浓度升高C．血浆渗透压升高D．血糖浓度升高2．下列有关正常动物体细胞有丝分裂间期的叙述，错误．．的是A．分裂间期发生DNA复制B．分裂间期有蛋白质合成C．分裂间期有RNA合成D．分裂间期有逆转录发生3．下图表示某一生态系统中，取食方式为吞食的三个物种随食物颗粒大小而产生的种群数量分布。

下列对此图的分析，正确的是A．三个物种的食物资源完全相同B．物种甲与物种乙为竞争关系C．物种丙与物种甲为捕食关系D．能量流动方向由甲经乙到丙4．下列关于反射弧的叙述，正确的是A．刺激某一反射弧的感受器或传出神经，可使效应器产生相同的反应B．反射弧中的感受器和效应器均分布于机体同一组织或器官C．神经中枢的兴奋可以引起感受器敏感性减弱D．任何反射弧中的神经中枢都位于脊髓5．在寒温带地区，一场大火使某地的森林大面积烧毁，在以后漫长时间中，在原林地上依次形成了杂草地、白桦为主的阔叶林、云杉为主的针叶林，这种现象称为A．物种进化B．外来物种入侵C．群落演替D．垂直结构6．某种抗癌药可以抑制DNA的复制，从而抑制癌细胞的增殖，据此判断短期内使用这种药物对机体产生最明显的副作用是A．影响神经递质的合成，抑制神经系统的兴奋B．影响胰岛细胞合成胰岛素，造成糖代谢紊乱C．影响血细胞生成，使机体白细胞数量减少D．影响脂肪的合成，减少脂肪的贮存7．根据下表中烃的分子式排列规律，判断空格中烃的同分异构体数目是12345678CH4C2H4C3H8C4H8C6H12C7H16C8H16 A．3B．4C．5D．68．下列除去杂质的方法正确的是①除去乙烷中少量的乙烯：光照条件下通入Cl2，气液分离；②除去乙酸乙酯中少量的乙酸：用饱和碳酸氢钠溶液洗涤，分液、干燥、蒸馏；③除去CO2中少量的SO2：气体通过盛饱和碳酸钠溶液的洗气瓶；④除去乙醇中少量的乙酸：加足量生石灰，蒸馏。

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(海南、宁夏)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式： 样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >2．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-，3．函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）4．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =， 则其公差d =（ ） Ａ．23-Ｂ．13-Ｃ．13Ｄ．235．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ） Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．26526．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ， 点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上， 且2132x x x =+， 则有（ ） Ａ．123FP FP FP += Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+Ｄ．2213FP FP FP =· 7．已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ）Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．48．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺xＢ．Ｄ．正视图侧视图俯视图寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）Ａ．34000cm 3Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cmＤ．34000cm 9．若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为（ ）Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．1210．曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．29e 2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ） Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>Ｄ．231s s s >>12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =（ ）2:2第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．14．设函数(1)()()x x a f x x ++=为奇函数，则a = ．15．i 是虚数单位，510i34i-+=+ ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，）16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （I ）证明：SO ⊥平面ABC ；（II ）求二面角A SC B --的余弦值． 19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ．（I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由． 20．（本小题满分12分）如图，面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：在正方形ABCD 中随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为mS n，假设正方形ABCD 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目．DCBA OSBC（I ）求X 的均值EX ；（II ）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值之差在区间(0.03)-0.03，内的概率．附表：1000010000()0.250.75kll l l P k C-==⨯⨯∑21．（本小题满分12分） 设函数2()ln()f x x a x =++．（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于eln2． 22．请考生在A B C ，，三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．A （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O的割线，与O 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点．（I ）证明AP O M ，，，四点共圆； （II ）求OAM APM ∠+∠的大小．22．B （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．（I ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（II ）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．22．C（本小题满分10分）选修45-；不等式选讲 设函数()214f x x x =+--． （I ）解不等式()2f x >； （II ）求函数()y f x =的最小值．A2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1．Ｃ 2．Ｄ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｃ7．Ｄ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｄ 11．Ｂ 12．Ｂ二、填空题13．3 14．1- 15．12i +16．240三、解答题17．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠，所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．18．证明： （Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC△为等腰直角三角形，所以OA OB OC ===，且A OBC ⊥，又SBC △为等腰三角形，故SO BC ⊥，且2SO SA =，从而222OA SO SA +=． 所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥． 又AO BC O =．所以SO ⊥平面ABC ． （Ⅱ）解法一：取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，， 得OM SC AM SC ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ．所以AO OM ⊥，又AM =，故sin AO AMO AM ∠===OSBAC M所以二面角A SC B --的余弦值为3． 解法二：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴， 建立如图的空间直角坐标系O xyz -．设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，． SC 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，111101(101)2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，．00MO SC MA SC ==，∴··．故MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>，，<，等于 二面角A SC B --的平面角．3cos MO MA MO MA MO MA<>==，··， 所以二面角A SC B --． 19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y kx =代入椭圆方程得22(12x kx ++=． 整理得221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为2⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，， 由方程①，12212x x k+=-+． ② 又1212()y y k x x +=++ ③而(01)(A B AB =，，．所以OP OQ +与AB共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得k =．由（Ⅰ）知k <或k >，故没有符合题意的常数k ．20．解：每个点落入M 中的概率均为14p =． 依题意知1~100004X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （Ⅰ）11000025004EX =⨯=． （Ⅱ）依题意所求概率为0.03410.0310000X P ⎛⎫-<⨯-< ⎪⎝⎭，0.03410.03(24252575)10000X P P X ⎛⎫-<⨯-<=<< ⎪⎝⎭2574100001000024260.250.75l l l l C-==⨯⨯∑257424251000010000100001000000.250.750.250.75ll lll l l l CC --===⨯⨯-⨯⨯∑∑0.95700.04230.9147=-=．21．解：（Ⅰ）1()2f x x x a'=++， 依题意有(1)0f '-=，故32a =．从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，．当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<； 当12x >-时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间31122⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，单调增加，在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+∞，，2221()x ax f x x a++'=+． 方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=-．（ⅰ）若0∆<，即a <<()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 无极值．（ⅱ）若0∆=，则a =a =若a =()x ∈+∞，2()f x '=．当x =时，()0f x '=，当222x ⎛⎛⎫∈--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，()0f x '>，所以()f x 无极值．若a =)x ∈+∞，()0f x '=>，()f x 也无极值．（ⅲ）若0∆>，即a >a <22210x ax ++=有两个不同的实根1x =2x =．当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '在()f x 的定义域内没有零点， 故()f x 无极值．当a >1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+∞．()f x 的极值之和为2221211221e ()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．22．A（Ⅰ）证明：连结OP OM ，．因为AP 与O 相切于点P ，所以OP AP ⊥． 因为M 是O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥． 于是180OPA OMA ∠+∠=°． 由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以AP O M ，，，四点共圆． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得AP O M ，，，四点共圆， 所以OAM OPM ∠=∠．由（Ⅰ）得OP AP ⊥．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=°． 所以90OAM APM ∠+∠=°． 22．B解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系， 两坐标系中取相同的长度单位．（Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=．所以224x y x +=． 即2240x y x +-=为1O 的直角坐标方程． 同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程．（Ⅱ）由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，解得1100x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=-⎩． 即1O ，2O 交于点(00)，和(22)-，．过交点的直线的直角坐标方程为y x =-． 22．C解：（Ⅰ）令214y x x =+--，则1521334254x x y x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩， ，， ，， ．≤≥．．．．．．．．．．．．．．．3分作出函数214y x x =+--的图像，它与直线2y =的交点为(72)-，和523⎛⎫ ⎪⎝⎭，．所以2142x x +-->的解集为5(7)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，． （Ⅱ）由函数214y x x =+--的图像可知，当12x =-时，214y x x =+--取得最小值92-．A。

甲 乙 丙 种 群数量% （ ）食物大小绝密＊启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏）理科综合能力测试本试题分为第l 卷（选择题〕和第II 卷〔非选择题）两部分。

第II 卷第30、31、32题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案写在答题卡上．在本试卷上答题无效。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名、并将条形码粘贴在指定位置上。

2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

非选挥题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字〕笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.保持卡面清洁，不折叠．不破损。

5.作选择题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

可能用到的相对原子质量：H1 C12 N14 O16 S32 Fe56 Cu64 Zn65 Ag108一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的。

1． 人长时间运动后，产生口渴感觉的原因是 A ．血浆CO 2浓度升高 B 、血浆乳酸浓度升高 C ．血浆渗透压升高 D 、血糖浓度升高2． 下列有关正常动物体细胞有丝分裂间期的叙述，错误的是 A ．分裂间期发生DNA 复制 B 、分裂间期有蛋白质合成 C ．分裂间期有RNA 合成 D 、分裂间期有逆转录发生3下列对此图的分析，正确的是A ．三个物种的食物资源完全相同B ．物种甲与物种乙为竞争关第C ．物种丙与物种甲为捕食关系D ．能量流动方向由甲经乙到丙 4．下列关于反射弧的叙述，正确的是A ．刺激某一反射弧的感受器或传出神经，可使效应器产生相同的反应B ．反射弧中的感受器和效应器均分布于机体同一组织或器官C ．神经中枢的兴奋可以引起感受器敏感性减弱D ．任何反射弧中的神经中枢都位于脊髓5．在寒温带地区，一场大火使某地的森林大面积烧毁，在以后漫长时间中，在原林地上依次形成了杂草地、白桦为主的阔叶林、云杉为主的针叶林，这种现象称为A．物种进化B、外来物种入侵C．群落演替D、垂直结构6．某种抗癌药可以抑制DNA的复制，从而抑制癌细胞的增殖，据此判断短期内使用这种药物对机体产生最明显的副作用是A．影响神经递质的合成，抑制神经系统的兴奋B．影响胰岛细胞合成胰岛素，造成糖代谢紊乱C．影响血细胞生成，使机体白细胞数量减少D．影响脂肪的合成，减少脂肪的贮存7．根据下表中烃的分子式排列规律，判断空格中烃的同分异构体数目是1 2 3 4 5 6 7 8CH4C2H4C3H8C4H8C6H12C7H16C8H16A．3 B．4 C．5 D．68．下列除去杂质的方法正确的是①除去乙烷中少量的乙烯：光照条件下通入Cl2，气液分离；②除去乙酸乙酯中少量的乙酸：用饱和碳酸氢钠溶液洗涤，分液、干燥、蒸馏；③除去CO2中少量的SO2：气体通过盛饱和碳酸钠溶液的洗气瓶；④除去乙醇中少量的乙酸：加足量生石灰，蒸馏。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）理科试卷参考答案一、选择题1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．A8．B 9．D 10．C 11．D 12．B 13．A二、选择题：14．C 15．B 16．C 17．BD 18．A 19．B 20．D 21．A三、非选择题：包括必考题和选考题两部分。

第22题～第29题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第30题～第32题为选考题，考生根据要求做答。

22．（1）H 、R 1．R 2．ε（正对面积、板间距离、极板间的介质）（2）①②2； 998.323．如图选坐标，斜面的方程为：3tan 4y x x θ== ① 运动员飞出后做平抛运动0x v t = ②212y gt = ③ 联立①②③式，得飞行时间t ＝1.2 s落点的x 坐标：x 1＝v 0t ＝9.6 m 落点离斜面顶端的距离：112 m cos x s θ== 落点距地面的高度：11()sin 7.8 m h L s θ=-=接触斜面前的x 分速度：8 m/s x v =y 分速度：12 m/s y v gt ==沿斜面的速度大小为：cos sin 13.6 m/s B x y v v v θθ=+=设运动员在水平雪道上运动的距离为s 2，由功能关系得：2121cos ()2B mgh mv mg L s mgs μθμ+=-+ 解得：s 2＝74.8 m24．（1）由于粒子在P 点垂直射入磁场，故圆弧轨道的圆心在AP 上，AP 是直径。

设入射粒子的速度为v 1，由洛伦兹力的表达式和牛顿第二定律得：211/2v m qBv d = 解得：12qBd v m= （2）设O /是粒子在磁场中圆弧轨道的圆心，连接O /Q ，设O /Q ＝R /。

由几何关系得： /OQO ϕ∠=//OO R R d =+-由余弦定理得：2/22//()2cos OO R R RR ϕ=+-解得：[]/(2)2(1cos )d R d R R d ϕ-=+- 设入射粒子的速度为v ，由2/v m qvB R= 解出：[](2)2(1cos )qBd R d v m R d ϕ-=+-25．（15分）（1）坩埚钳、酒精灯（可以不答“火柴”）（2）步骤②有错误 应先将试样研细，后放入坩埚称重（3）因硫酸钠放置在空气中冷却时，会吸空气中的水分（4）保证试样脱水完全（5）B 、D 、F26．（14分）（1）22Zn e Zn -+-= 22ZH e H +-+=↑（2）①锌片与银片减少的质量等于生成氯气所消耗的质量，设产生的氢气体积为x 。

年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >2．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-，3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）4．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =， 则其公差d =（ ） Ａ．23-Ｂ．13-Ｃ．13Ｄ．235．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ）yx11-2π- 3π- O 6ππyx11-2π- 3π- O 6π π y x11-2π-3πO6π- πyxπ2π-6π- 1O1-3π Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．开始1k = 0S =50?k ≤是2S S k =+否输出S2450 Ｂ．2500Ｃ．2550 Ｄ．26526．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ， 点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上， 且2132x x x =+， 则有（ ） Ａ．123FP FP FP +=Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FP FP FP =· 7．已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．48．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）Ａ．34000cm 3Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cmＤ．34000cm 9．若c o s22π2s i n 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则c o s s i n αα+的值为（ ） Ａ．72-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．722020正视图20侧视图10 1020俯视图．曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．29e 2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>Ｄ．231s s s >>12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =（ ） Ａ．3:1:1Ｂ．3:2:2Ｃ．3:2:2Ｄ．3:2:3第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．14．设函数(1)()()x x a f x x ++=为奇函数，则a = ．15．i 是虚数单位，51034ii-+=+ ．（用a bi +的形式表示，a b ∈R ，）16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．甲的成绩环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 418．（本小题满分12分）如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值． 19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ + 与AB共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分） 如图，面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：在正方形ABCD 中随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为mS n，假设正方形ABCD 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目． （I ）求X 的均值EX ；（II ）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值之差在区间(0.03)-0.03，内的概率． 附表：1000010000()0.250.75ktt t t P k C-==⨯⨯∑ k 24242425 2574 2575 ()P k0.04030.04230.95700.959021．（本小题满分12分）D C BA MOSBAC2()ln()f x x a x =++（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln2． 22．请考生在A B C ，，三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的割线，与O 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点．（Ⅰ）证明AP O M ，，，四点共圆； （Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小．22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．（Ⅰ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．22．Ｃ（本小题满分10分）选修45-；不等式选讲 设函数()214f x x x =+--． （I ）解不等式()2f x >； （II ）求函数()y f x =的最小值．2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题 1．Ｃ 2．Ｄ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｃ7．Ｄ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｄ 11．Ｂ 12．Ｂ二、填空题 13．3 14．1- 15．12i +16．240三、解答题17．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--．AP O MCB弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠．所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·． 在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．18．证明： （Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC△为等腰直角三角形，所以22OA OB OC SA===，且AO BC ⊥，又SBC △为等腰三角形，故SO BC ⊥，且22SO SA =，从而222OA SO SA +-． 所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥． 又AO BO O = ．所以SO ⊥平面ABC ． （Ⅱ）解法一：取SC 中点M ，连结A M O M ，，由（Ⅰ）知S O O C S A A ==，，得O M S C A M S⊥⊥，． OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥= ，，得AO ⊥平面SBC ．所以AO OM ⊥，又32AM SA =， 故26sin 33AO AMO AM ∠===． 所以二面角A SC B --的余弦值为33． 解法二：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -．设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，． SC的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，OSBAC MOSBACMx zy111101(101)2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，，，，，，，．00MO SC MA SC ==，∴··．故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>，，<等于二面角A SC B --的平面角．3cos 3MO MA MO MA MO MA<>==，··， 所以二面角A SC B --的余弦值为33． 19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程得22(2)12x kx ++=． 整理得22122102k x kx ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭， 解得22k <-或22k >．即k 的取值范围为2222⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，1224212kx x k +=-+． ②又1212()22y y k x x +=++． ③而(20)(01)(21)A B AB =-，，，，，．所以OP OQ + 与AB共线等价于12122()x x y y +=-+，将②③代入上式，解得22k =． 由（Ⅰ）知22k <-或22k >，故没有符合题意的常数k ．20．解：每个点落入M 中的概率均为14p =． 依题意知1~100004X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （Ⅰ）11000025004EX =⨯=． （Ⅱ）依题意所求概率为0.03410.0310000X P ⎛⎫-<⨯-< ⎪⎝⎭，0.03410.03(24252575)10000X P P X ⎛⎫-<⨯-<=<< ⎪⎝⎭2574100001000024260.250.75t t t t C-==⨯⨯∑2574242510000100001100001000024260.250.750.250.75tt ttt t t CC --===⨯⨯-⨯⨯∑∑0.95700.04230.9147=-=．21．解： （Ⅰ）1()2f x x x a'=++， 依题意有(1)0f '-=，故32a =． 从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞，当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<； 当12x >-时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间31122⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∞单调增加，在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221()x ax f x x a++'=+．22210x ax ++=的判别式248a ∆=-．（ⅰ）若0∆<，即22a -<<，在()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值．（ⅱ）若0∆=，则2a -或2a =-．若2a =，(2)x ∈-+，∞，2(21)()2x f x x -'=+． 当22x =-时，()0f x '=，当22222x ⎛⎫⎛⎫∈---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值．若2a =-，(2)x ∈+，∞，2(21)()02x f x x -'=>-，()f x 也无极值． （ⅲ）若0∆>，即2a >或2a <-，则22210x a x ++=有两个不同的实根2122a a x ---=，2222a a x -+-=． 当2a <-时，12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值． 当2a >时，1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为(2)+，∞．()f x 的极值之和为2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln22ef x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．22．Ａ（Ⅰ）证明：连结OP OM ，．因为AP 与O 相切于点P ，所以OP AP ⊥． 因为M 是O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥．于是180OPA OMA ∠+∠=°．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A P O M ，，，四点共圆．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得AP O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠． 由（Ⅰ）得OP AP ⊥．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=°．APO MC B90OAM APM ∠+∠=°．22．Ｂ解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． 所以224x y x +=．即2240x y x +-=为1O 的直角坐标方程． 同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程．（Ⅱ）由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，解得1100x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=-⎩． 即1O ，2O 交于点(00)，和(22)-，．过交点的直线的直角坐标方程为y x =-． 22．Ｃ解：（Ⅰ）令214y x x =+--，则1521334254x x y x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩， ，， ，， ．≤≥．．．．．．．．．．．．．．．3分作出函数214y x x =+--的图象，它与直线2y =的交点为(72)-，和523⎛⎫ ⎪⎝⎭，．所以2142x x +-->的解集为5(7)3x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，． （Ⅱ）由函数214y x x =+--的图像可知，当12x =-时，214y x x =+--取得最小值92-．2008年普通高等学校统一考试（海南卷）数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。