第八章 第三节 圆的方程

【解】 设点M的坐标是(x，y)，点A 的坐标是(x0，y0)，由于点B的坐标是 (4,3)且M是线段AB的中点，
所以 x＝x0＋2 4，y＝y0＋2 3， 于是有 x0＝2x－4，y0＝2y－3. ① 因为点 A 在圆(x＋1)2＋y2＝4 上运动，
所以点 A 的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝ 4， 即(x0＋1)2＋y20＝4. ② 把 ①代入 ②， 得(2x－ 4＋ 1)2＋ (2y－ 3)2 ＝4，
(2)求圆的方程有两类方法 ①几何法，即通过研究圆的性质、直 线和圆、圆和圆的位置关系，进而求 得圆的基本量(圆心、半径)和方程；
②代数法，即用“待定系数法”求圆 的方程，其一般步骤是：a.根据题意 选择方程的形式——标准形式或一般 形式(本例题中涉及圆心及切线，故设 标准形式较简单)；b.利用条件列出关 于a，b，r或D，E，F的方程组；c.解 出a，b，r或D，E，F，代入所设的标 准方程或一般方程．
第八章 平面解析几何
第3课时 圆的方程
回归教材•夯实双基
基础梳理 1．圆的方程 (1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中 (a_，__b_)____为圆心，r为半径．
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝
0(D2＋E2－4F＞0)其中圆心为
__－__D2_，__－__E2___，半径为_12__D__2_＋__E_2－ __4_F_.
d＝|2－－1－1|＝ 2.
1＋1
又直线y＝x－1被圆截得的弦长为2， ∴2＝2，即2＝2，解得r＝2. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝ 4.
(2)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y
－b)2＝r2，则有
b＝－4a，
3－a2＋－2－b2＝r2， |a＋b－1|＝r， 2

第3课 圆的方程【考点导读】1. 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。

2. 本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程，利用三角换元或数形结合求最值问题，题型难度以容易题和中档题为主. 【基础练习】1.已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB 为直径的圆的方程为(x + 1)2+ (y －1)2= 252.过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（x －1）2＋（y－1）2＝43.已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为0422=-+x y x4.圆22420x y x y c +-++=与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=120°，则实数c 值为_-11__5.如果方程220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->所表示的曲线关于直线y x =对称，那么必有__D=E__ 【范例导析】【例1】 设方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程。

分析:配成圆的标准方程再求解解：配方得：[]2222(3)(14)167x m y m m m ⎡⎤-++--=+-⎣⎦ 该方程表示圆，则有21670m m +->，得1(,1)7m ∈-，此时圆心的轨迹方程为2341x m y m =+⎧⎨=-⎩，消去m ，得24(3)1y x =--，由1(,1)7m ∈-得x =m +320,47⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴所求的轨迹方程是24(3)1y x =--，20,47x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中20,47x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭变式1：方程224(1)40ax ay a x y +--+=表示圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。

C
[解析] 设圆心 的坐标为 ，圆的半径为 ，因为圆心 在直线 上，所以 。因为 ，所以 ，解得 , ,所以 。所以方程为 。
二、易错题
4.（错用点与圆的位置关系致误）若点 在圆 的内部，则实数 的取值范围是( )A. B. C. 或 D.
A
[解析] 设圆心为 ，半径为 ，圆 被 轴分成两部分的弧长之比为 ，则其中劣弧所对圆心角为 ，由圆的性质可得 ，又圆被 轴截得的弦长为4，所以 ，所以 。变形为 ，即 在双曲线 上，易知双曲线 上与直线 平行的切线的切点为 ，此点到直线 的距离最小。设切线方程为 ，由
类型二 与圆有关的轨迹问题
【例2】（1） 平面内到两定点 ， 的距离之比等于常数 （ 且 ）的动点 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆。已知 , , ，则点 的轨迹围成的平面图形的面积为( )A. B. C. D.
B
[解析] 设 ，由 ，得 , , ， ，则点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，所以所求面积 。
2.（微考向2）已知点 为圆 上一点， 为圆心，则 （ 为坐标原点）的取值范围是( )A. B. C. D.
C
[解析] 将圆 的方程 化为 ，所以圆心 的坐标为 。所以 。而 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 ,即 。因此 ，从而 （ 为坐标原点）的取值范围为 。故选C。
2.点与圆的位置关系 平面上的一点 与圆 之间存在着下列关系：
（1） 在_______，即 在圆外；
（2） 在_______，即 在圆上；
（3） 在_______，即 在圆内。
圆外
圆上
圆内
小题·微演练
一、基础题
1.圆 的圆心坐标是( )A. B. C. D.
[解析] 由题意可设点 的坐标为 ，因为满足 ，由两点间的距离公式可得 ，即 ，所以 即为点 的轨迹方程。故选B。

第三节圆的方程一、教材概念·结论·性质重现1．圆的定义及方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2，半径：12D2＋E2－4F(1)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质．①圆心在过切点且与切线垂直的直线上．②圆心在任一弦的中垂线上．③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线．(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2，半径r＝D2＋E2－4F2的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．00(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.3．常用结论以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)确定圆的几何要素是圆心与半径． (√) (2)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆． (×) (3)圆x 2＋2x ＋y 2＋y ＝0的圆心是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12．(×)(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0内，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F＞0． (×)2．若圆(x －1)2＋(y －1)2＝2关于直线y ＝kx ＋3对称，则k 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1B 解析：由题意知直线y ＝kx ＋3过圆心(1,1)， 即1＝k ＋3，解得k ＝－2.3．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4C 解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r .因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，所以b ＝2－a .又|CA |2＝|CB |2，所以(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2，所以a ＝1，b ＝1.所以r ＝2.所以方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.4．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．a ＝±1A 解析：因为点(1,1)在圆的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2<4，所以－1<a <1.5．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(－2，－4)5解析：由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．考点1求圆的方程——基础性(1)(2020·北京高三一模)已知圆C与x轴的正半轴相切于点A，圆心在直线y＝2x上．若点A在直线x－y－4＝0的左上方且到该直线的距离等于2，则圆C的标准方程为()A．(x－2)2＋(y＋4)2＝4B．(x＋2)2＋(y＋4)2＝16C．(x－2)2＋(y－4)2＝4D．(x－2)2＋(y－4)2＝16D解析：因为圆C的圆心在直线y＝2x上，所以可设C(a,2a)．因为圆C与x轴正半轴相切于点A，所以a>0且圆C的半径r＝2a，A(a,0)．因为点A到直线x－y－4＝0的距离d＝2，所以d＝|a－0－4|1＋1＝2，解得a＝6或a＝2，所以A(2，0)或A(6,0)．因为A在直线x－y－4＝0的左上方，所以A(2,0)，所以C(2,4)，r＝4，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝16.(2)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A (－a,0)，B (a,0)，动点P 满足|P A ||PB |＝λ(其中a 和λ是正常数，且λ≠1)，则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为________．2aλ|1－λ2| 解析：设P (x ，y )，由动点P 满足|P A ||PB |＝λ(其中a 和λ是正常数，且λ≠1)，所以(x ＋a )2＋y 2＝λ(x －a )2＋y 2，化简得x 2＋2a (1＋λ2)1－λ2x ＋a 2＋y 2＝0， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋a (1＋λ2)1－λ22＋y 2＝a 2(1＋λ2)2(1－λ2)2－a 2，所以该圆半径r ＝a 2(1＋λ2)2(1－λ2)2－a 2＝2aλ|1－λ2|.求圆的方程的两种方法(1)几何法．通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．(2020·重庆育才中学3月月考)圆C 以直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＋2m ＝0上的定点为圆心，半径r ＝4，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝16B ．(x －2)2＋(y －2)2＝16C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝16D ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16A 解析：由(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＋2m ＝0，可得(2x ＋y ＋2)m ＋(x ＋y )＝0，所以直线过⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋2＝0，x ＋y ＝0的交点，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即直线过定点(－2,2)，则所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝16.故选A ．考点2 与圆有关的轨迹问题——综合性设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N 在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况)．求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：由题设直接求出动点坐标所满足的关系式． (2)定义法：利用定义写出动点的轨迹方程．(3)代入法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，可将点Q 的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．1．若动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16B 解析：设P (x ，y )，则由题意可得2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16.2．如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，点C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至点D ，使得|CD |＝|BC |.求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．解：设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心． 由A (－1,0)，B (1,0)，设动点C (x 0，y 0)，则D (2x 0－1,2y 0)． 由重心坐标公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y 2(y ≠0)，代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)，故所求轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)．考点3 与圆有关的最值问题——综合性考向1 斜率型、截距型、距离型最值问题已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3(如图1)．所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图2)．所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，最小值是(2－3)2＝7－4 3.与圆有关的最值问题的3种几何转化法(1)形如m＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．考向2利用对称性求最值已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为() A．52－4 B．17－1 C．6－2 2 D．17A解析：P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝52，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．1．设点P是函数y＝－4－(x－1)2图象上的任意一点，点Q的坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________．5－2解析：函数y＝－4－(x－1)2的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4在x轴及下方的部分．令点Q的坐标为(x，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x＝2a，y＝a－3，得y＝x2－3，即x－2y －6＝0，作出图象如图所示．由于圆心(1,0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝|1－2×0－6|12＋(－2)2＝5>2，故直线x －2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是5－2.2．已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y ＝0上，则|P A|＋|PQ|的最小值是________．25解析：因为圆C化为标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，所以圆C是以C(2，1)为圆心，r＝5为半径的圆．设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故⎩⎪⎨⎪⎧m＋02＋n＋22＋2＝0，n－2m－0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m＝－4，n＝－2.故A′(－4，－2)．所以|A′C|＝(2＋4)2＋(1＋2)2＝3 5.连接A′C交圆C于点Q，由对称性可知|P A|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2 5.。