高考数学《矩阵与行列式》专题复习

高考专题训练三十一 行列式与矩阵(选修4－2)班级________ 姓名________ 时间：45分钟 分值：75分 总得________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．在矩阵⎝⎛⎭⎪⎫a b 0 1对应的变换下，将直线6x －5y ＝1变成2x ＋y ＝1.则a 2＋b 2等于( )A ．3B ．6C ．9D ．18答案：D2．直线x －y ＝1在矩阵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1 －11 －1变换下变成的图形是( ) A ．直线 B ．线段 C ．点 D ．射线答案：C3．设⎝ ⎛⎭⎪⎫32 －1212 32n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1.n ∈N *，则n 的最小值为( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12答案：D4．设矩阵A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1 32 －5.B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 31 －1.CA ＝B .则矩阵C 等于( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫16 9－3 2 B.⎝⎛⎭⎪⎫16 －93 2C.⎝⎛⎭⎪⎫－16 93 2 D.⎝⎛⎭⎪⎫16 93 2 答案：D5．设矩阵A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32 x ＋1，若A －1存在，则x 的取值范围是( )A ．x ≠2且x ≠－3B ．x ≠2或x ≠－3C ．x ≠6且x ≠－1D ．x ≠6或x ≠－1答案：A6．两个数列{a n }，{b n }满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝a n ＋b nb n ＋1＝4a n ＋b n .其中a 1＝2，b 1＝0，则a 10等于( )A ．310＋1B ．210＋1C ．39－1D ．29－1答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．(2011·上海)行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d (a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________．解析：⎝⎛⎭⎪⎫a b c d ＝ad －bc ，则a ＝d ＝2，bc ＝－2时，取最大值为6.答案：68．若直线x －y ＝4在矩阵M ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 1－1b 对应的变换作用下，把直线变为本身直线，则a ，b 的值分别为________．答案：0 29．设A 是一个二阶矩阵，满足A ⎝ ⎛⎭⎪⎫10＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫10，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫13.则A ＝________. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫3 10 6 10．已知a ，b ，c 为实数，A ，B ，C 为二阶矩阵，通过类比得出下列结论：①“若a ＝b ，则ac ＝bc .”类比“若A ＝B ，则AC ＝BC .” ②“若ac ＝bc ，且c ≠0，则a ＝b .”类比“若AC ＝BC ，且C 为非零矩阵，则A ＝B .”③若“ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.”类比“若AB ＝⎝⎛⎭⎪⎫0 00 0，则A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0 00 0或B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0 00 0.” ④“若a 2＝0，则a ＝0.”类比“若A 2＝⎝⎛⎭⎪⎫0 00 0，则A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0 00 0.” 其中不正确的为________． 答案：②③④三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)(2011·福建)设矩阵M ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 00b (其中a >0，b >0)． (1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩形M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．解：(1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1. 又M ＝⎝⎛⎭⎪⎫2 00 3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2003⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 1x 2y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1001. 所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13. 故所求的逆矩阵M －1＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫120013. (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′，又点P ′(x ′，y ′)，在曲线C ′上， 所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.12．(13分)(2011·扬州市四星级高中2月联考)变换T 1是逆时针旋转π2的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1101. (1)求点P (2,1)在T 1作用下的点P ′的坐标；(2)求函数y ＝x 2的图象依次在T 1，T 2变换的作用下所得曲线的方程．解：(1)M 1＝⎝⎛⎭⎪⎫0 －11 0，M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0 －11 0⎝ ⎛⎭⎪⎫21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以点P (2,1)在T 1作用下的点P ′的坐标是P ′(－1,2)．(2)M ＝M 2M 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1 －11 0，设⎝ ⎛⎭⎪⎫x y )是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x y )，也就是⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝xx 0＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝yy 0＝y －x ， 所以，所求曲线的方程是y －x ＝y 2.。

高三数学矩阵行列式试题1.矩阵与变换：已知a，b∈R，若所对应的变换把直线变换为自身，求实数，并求的逆矩阵．【答案】【解析】根据矩阵乘法求变换：设为直线上任意一点其在M的作用下变为则代入得：其与完全一样得则矩阵则解：设为直线上任意一点其在M的作用下变为则代入得： 3分其与完全一样得则矩阵 6分则 10分【考点】矩阵变换，逆矩阵2.已知矩阵，点，．求线段在矩阵对应的变换作用下得到线段的长度．【答案】【解析】先根据逆矩阵公式求逆矩阵：，即，再根据矩阵运算求出对应点的坐标，由，，知点，最后根据两点间距离公式求长度，．设，则，所以，解得，即．由，，知点，所以．【考点】逆矩阵，矩阵运算3.关于方程的解为．【答案】2【解析】原方程为，即，，所以，．【考点】行列式，指数方程．4.已知矩阵M＝，N＝．（1）求矩阵MN；（2）若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点P的坐标．【答案】（1）MN＝＝；（2）P(， 1).【解析】（1）利用矩阵乘法公式计算即可；（2）两种方法：法一，利用＝，转化为关于的二元一次方程，解出，即点P的坐标；法二，求出MN的逆矩阵，直接计算. 试题解析：（1）MN＝＝； 5分（2）设P(x，y)，则解法一：＝，即解得即P(， 1)． 10分解法二：因为＝．所以＝＝．即P(， 1)． 10分【考点】矩阵与变换、逆矩阵的求法、矩阵的计算.5.已知，，则y=．【答案】1【解析】由已知，，所以x﹣2=0，x﹣y=1所以x=2，y=1．【考点】二阶行列式的定义点评：本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题6.对于任意一个非零实数，它的倒数的倒数是它的本身．也就是说，连续施行两次倒数变换后又回到施行变换前的对象，我们把这样的变换称为回归变换．在中学数学范围内写出这样的变换（写对一个变换给2分，最多得4分）．【答案】相反数的相反数是它本身，集合A的补集的补集是它本身，一个复数的共轭的共轭是它本身，等等.【解析】一个非零向量的反向量的反向量是它本身；一个命题的否命题的否命题是它本身；一个函数的反函数的反函数是它本身。

高考数学 321精品系列 专题16 矩阵与变换、行列式【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换．（3）变换的复合——二阶方阵的乘法① 了解矩阵与矩阵的乘法的意义．② 理解矩阵乘法不满足交换律．③ 会验证二阶方阵乘法满足结合律．④ 理解矩阵乘法不满足消去律．（4）逆矩阵与二阶行列式① 理解逆矩阵的意义，懂得逆矩阵可能不存在．② 理解逆矩阵的唯一性和111()AB B A ---= 等简单性质，了解其在变换中的意义．③ 了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵．（5）二阶矩阵与二元一次方程组① 能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义．② 会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组．③ 理解线性方程组解的存在性、唯一性．（6）变换的不变量① 掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向量的意义．② 会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）．（7）矩阵的应用 利用矩阵A 的特征值、特征向量给出A nα简单的表示，并能用它来解决问题．例1：已知曲线C ：xy ＝1.(1)将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C ′的方程；(2)求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程．(2)曲线C ′的焦点坐标为F 1(0，－2)，F 2(0,2)，渐近线方程为y ＝±x .再顺时针旋转45°后，即可得到曲线C 的焦点坐标(－2，－2)和(2，2)；渐近线方程为：x ＝0，y ＝0. 【名师点睛】把握常见矩阵变换类型，比用一般矩阵运算处理要方便得多，同时，从前后曲线性质分析上，可以加深对曲线性质的理解． 考点二、二阶逆矩阵例2 求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3221的逆矩阵．解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z ω，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 22 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z ω＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2z 3y ＋2ω2x ＋z 2y ＋ω＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝1，3y ＋2ω＝0，2x ＋z ＝0，2y ＋ω＝1解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，ω＝－3，从而A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 22 －3.3)．(1) 求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量．解 (1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－3，所以a ＋1＝－3，所以a ＝－4.【名师点睛】(1)注意特征值与特征向量的求法及特征向量的几何意义：从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵M 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量．(2)计算矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征向量的步骤如下：①由矩阵M 得到特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ；②求特征多项式的根，即求λ2－(a ＋d )λ＋(ad －bc )＝0的根；③将特征多项式的根(特征值)代入特征方程⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0－cx ＋(λ－d )y ＝0，求解得非零解对应的向量，即是矩阵M 对应的特征向量．【三年高考】10、11、12 高考试题及其解析 12 高考试题及其解析1 ．（2012年高考（上海理））函数1sin cos 2)(-=xx x f 的值域是_________ .【解析】x x x x f 2sin 2cos sin 2)(21--=--=∈],[2325--.2 ．（2012年高考（上海春））若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭ 满足:11122122,,,{1,1},a a a a ∈-且111221220a a a a ＝　,则这样的互不相等的矩阵共有______个.【解析】23．（2012年高考（江苏））[选修4 - 2:矩阵与变换]已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ,求矩阵A 的特征值.【解析】∵1-A A =E ,∴()11--A =A . ∵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ,∴()11 2 32 1--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A =A . ∴矩阵A 的特征多项式为()22 3==342 1 f λλλλλ--⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦. 令()=0f λ,解得矩阵A 的特征值12=1=4λλ-，.【考点】矩阵的运算,矩阵的特征值.4．（2012年高考（福建理））选修4-2:矩阵与变换设曲线22221x xy y ++=在矩阵0(0)1a A a b ⎛⎫=> ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的曲线为221x y +=.(Ⅰ)求实数,a b 的值.(Ⅱ)求2A 的逆矩阵.11年高考试题及解析1、2011年数学理（上海）行列式a b c d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是【解析】62、2011年数学（江苏卷）已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求向量α，使得2A αβ=． 2111132212143A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦3、2011年数学理（福建）（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 设矩阵00a M b ⎛⎫=⎪⎝⎭（其中a ＞0，b ＞0）．（I ）若a=2，b=3，求矩阵M 的逆矩阵M -1；（II ）若曲线C ：x 2+y 2=1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ’：1y 4x 22=+，求a ，b 的值．本小题主要考查矩阵与交换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。

矩阵和行列式复习知识点汇总一、矩阵的定义和运算：1.矩阵是一个按照矩形排列的数字集合。

一个m×n的矩阵有m行和n列。

2. 矩阵的元素通常用小写字母表示，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。

3.矩阵的加法：若A和B是同型矩阵，则它们的和A+B也是同型矩阵，且相加的结果为对应位置的元素之和。

4.矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个标量，则kA是一个矩阵，且每个元素都乘以k。

5. 矩阵的乘法：若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则AB是一个m×p的矩阵，其中C_ij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。

二、矩阵的特殊类型：1.零矩阵：所有元素都为0的矩阵。

2.对角矩阵：主对角线上元素以外的其他元素均为0的矩阵。

3.单位矩阵：主对角线上元素都为1，其他元素为0的对角矩阵。

4.转置矩阵：将矩阵A的行和列互换得到的矩阵，记作A^T。

5.逆矩阵：对于一个n阶方阵A，如果存在一个矩阵B使得AB=BA=I （其中I为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵，记作A^(-1)。

只有非奇异矩阵才有逆矩阵。

三、行列式的定义和性质：1. 行列式是一个与方阵相关的标量值。

一个n阶方阵A的行列式通常用det(A)或，A，表示。

2. 二阶方阵A的行列式可表示为：det(A) = a11 * a22 - a12 *a213.计算三阶及以上行列式时，可利用代数余子式和拉普拉斯展开公式。

4.行列式的性质：a) 若A的其中一行（列）的元素全为0，则det(A) = 0。

b) 若A的两行（列）互换，则det(A)的符号会变化。

c) 若A的其中一行（列）的元素都乘以常数k，则det(kA) = k^n * det(A)。

d) 若A的两行（列）相等，则det(A) = 0。

e)若A的其中一行（列）的元素都乘以常数k，再加到另一行（列）上，对应行列式的值不变。

四、矩阵的行列式和逆矩阵：1. 对于一个n阶方阵A，若其行列式不为0（即det(A) ≠ 0），则A是一个非奇异矩阵，有逆矩阵A^(-1)。

高考数学专题训练——矩阵行列式（3）三、解答题1．已知二阶矩阵A 有特征值11λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e 和特征值22λ=及对应的一个特征向量210⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，试求矩阵A ．2．已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3241A （1）求A 的逆矩阵A -1；（2）求A 的特征值及对应的特征向量。

3．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于 特征值1的一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．4．已知二阶矩阵A 有特征值11λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e 和特征值22λ=及对应的一个特征向量210⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，试求矩阵A ．5．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵． 6．选修4－2：矩阵与变换若点A （-2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （2，2），求矩阵M ．7．在平面直角坐标系xOy 中，设曲线1C 在矩阵10102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥ ⎣⎦对应的变换作用下得到曲线222:14x C y +=，求曲线1C 的方程.8．选修4-2：矩阵与变换已知矩阵302a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，A 的逆矩阵11031b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A . （1）求a ，b 的值；（2）求A 的特征值.9．（1）已知矩阵1101,20201⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B ，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：20x y +-=变为直线'l ，求直线'l 的方程．（2）在极坐标系中，圆C的方程为)4πρθ=-，以极点为坐标原点，极轴为x 轴 的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），求直线l 被 圆C 截得的弦AB 的长度．10．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵A ＝01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (k ≠0)的一个特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．11．（本小题满分14分）已知二阶矩阵21M a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭),(R b a ∈，若矩阵M 属于特征值1-的一个特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=311α，属于特征值3的一个特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=112α． （Ⅰ）求实数b a ,的值；（Ⅱ）若向量35β-⎛⎫=⎪⎝⎭，计算5M β 的值． 12．已知矩阵A的逆矩阵122A -⎡⎢⎢=⎢⎢⎣，求曲线1xy =在矩阵A 对应的交换作用下所得的曲线方程． 13．（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上的任意一点()y x P ,变换为点()y x y x P +-',2．（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵1-M；（Ⅱ）求圆122=+y x 在矩阵M 对应的变换作用后得到的曲线C 的方程．14．（选修４－２：矩阵与变换） 已知矩阵1235A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， (1)求逆矩阵1A -；（2）若矩阵X 满足31AX ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试求矩阵X ． 15．（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵10a M b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中,a b R ∈．若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(1,4)P '--． （1）求实数,a b 的值；（2）若21a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求10.M a16．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a ，直线l ：x －y ＋4＝0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l '：x －y ＋2a ＝0． （1）求实数a 的值；（2）求A 2．17．（本题满分10分）已知矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式．18．（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点(,)P x y 变换为点(2,3)P x y x '+．（1）求矩阵M 的逆矩阵1M -；（2）求曲线410x y +-=在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C '的方程． 19．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵A ＝21a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值－1的一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，属于特征值4 的一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵A －1．20．（选修4—2：矩阵与变换）（本题满分10分）已知1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，设曲线sin y x =在矩阵MN 对应的变换作用下得到曲线F，求F方程参考答案1．2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：根据特征值与特征向量关系求矩阵：设矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则有11111ab c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，11200a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，11,20a b c d a c +=⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=⎩,,,从而2101a b c d ==-==,,,,所以2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 试题解析：设矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，这里a b c d ∈R ,,,， 因为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于11λ=的特征向量，则有11111a b cd ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ①， 4分又因为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于22λ=的特征向量，则有11200a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ② 6分 根据①②，则有11,20a b c d a c +=⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=⎩,,,8分从而2101a b c d ==-==,,,,所以2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 10分 考点：特征值与特征向量 2．（1）⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-515254531A ； （2）5=λ或1-=λ；当5=λ时，特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111ξ当1-=λ时，特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=122ξ 【解析】试题分析：（1）利用逆矩阵的计算公式求出A 的逆矩阵A -1；（2）利用特征多项式对应方程的根，求矩阵的特征值，再结合对应的方程，求出每个特征值所对应的特征向量．试题解析：解：（1）∵54231||-=⨯-⨯=A ∴A 可逆 1分∴⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-515254531A 3分 （2）A 的特征多项式548)3)(1(3241)(2--=---=----=λλλλλλλf 4分 由0)(=λf ，得5=λ或1-=λ； 5分当5=λ时，由⎩⎨⎧=+-=-022044y x y x 得特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111ξ 当1-=λ时，由⎩⎨⎧=--=--042042y x y x 得特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=122ξ 7分 考点：矩阵与变换．3．A ＝3324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，A 的逆矩阵21321132⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由特征值与特征向量关系得：33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝611⎡⎤⎢⎥⎣⎦，33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即c ＋d ＝6，3c －2d ＝－2，，因此24c d =⎧⎨=⎩即A ＝3324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而A 的逆矩阵是21321132⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．试题解析：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦可得，33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝611⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即c ＋d ＝6， 2分 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，可得33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即3c －2d ＝－2， 4分解得24c d =⎧⎨=⎩即A ＝3324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 6分 所以A 的逆矩阵是21321132⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 10分 考点：特征值与特征向量，逆矩阵4．2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 【解析】试题分析：设出二阶矩阵，利用待定系数法进行求解.试题解析：设矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，这里a b c d ∈R ,,,， 因为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于11λ=的特征向量，则有11111a b cd ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦①， 又因为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于22λ=的特征向量，则有11200a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦② 根据①②，则有11,20a b c d a c +=⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=⎩,,,从而2101a b c d ==-==,,,,所以2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦考点：1.矩阵；2.矩阵的特征向量；3.矩阵的特征量5．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32【解析】试题分析：由特征向量定义知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23，所以6=+d c ，223-=-d c ，解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32试题解析：解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，即6=+d c ；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23， 即223-=-d c ，解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32. 考点：特征向量，逆矩阵6．0110M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 【解析】试题分析：根据矩阵变换得：cos sin sin cos αααα-⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，sin 1cos 0αα=-⎧⎨=⎩，所以0110M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 试题解析：解: cos sin sin cos αααα-⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin 1cos 0αα=-⎧⎨=⎩0110M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 考点：矩阵变换7．224x y += 【解析】试题分析：实质为转移法求轨迹：设(,)P x y 是曲线1C 上任意一点，点(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点(,P x y '''，则有10102x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥' ⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即12x xy y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩22()()14x y ''+= 22()()142x y ∴+=，224x y += 试题解析：设(,)P x y 是曲线1C 上任意一点，点(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点(,)P x y '''则有10102x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥' ⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩5分 又因为点(,)P x y '''曲线222:14x C y +=上， 故22()()14x y ''+=，从而22()()142x y +=所以曲线1C 的方程是224x y +=． 10分 考点：矩阵变换8．（1）a ＝1，b ＝－23；（2）λ1＝1，λ2＝3；【解析】 试题分析：（1）利用逆矩阵的概念或公式求解；（2）利用特征多项式求特征值； 试题解析：（1）因为A A －1＝302a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1 03 b 1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝1023ab a ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 所以1,20.3a ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得a ＝1，b ＝－23．（2）由（1）得A ＝3021⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 则A 的特征多项式f （λ）＝321λλ---＝（λ－3）（ λ－1）． 令f （λ）＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝3． 考点：1.逆矩阵；2.矩阵的特征值； 9．（1）480x y +-=；（2）【解析】 试题分析：（1）先把AB 求出，再把直线l 上一点经矩阵AB 变换为直线'l 上一点，找到两者之间的关系，代入已知直线既得；相当于求轨迹方程中的相关点发；（2）先把C 和直线l 的方程化为直角坐标系下方程，再根据弦心距、弦长和半径之间的关系求出弦长．试题解析：（1）易得11101122020102AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，在直线l 上任取一点(,)P x y ''，经矩阵AB 变换为点(,)Q x y ，则11122022x x x y y y y ⎡⎤⎡⎤'''+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦'⎣⎦⎣⎦，∴122x x y y y ⎧''=+⎪⎨⎪'=⎩，即142x x y yy ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，代入20x y ''+-=中得12042y x y -+-=，∴直线l '的方程为480x y +-=；（2）解：C 的方程化为4cos 4sin ρθθ=+，两边同乘以ρ，得24cos 4sin ρρθρθ=+由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ，得22440x y x y +--=其圆心C 坐标为(2,2)，半径r =l 的普通方程为20x y --=，∴圆心C 到直线l的距离d ==AB == 考点：1．矩阵的变换；2．相关点法；3．极坐标与直角坐标的转换；4．弦心距、弦长和半径之间的关系；10．解：设特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的特征值为λ，则01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝λ1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即1ak k kλλ-=⎧⎨=⎩因为k ≠0，所以a ＝2． 5分 因为13111A -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以A 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即201k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以2＋k ＝3，解得 k ＝1．综上，a ＝2，k ＝1． 10分 【解析】试题分析：由 特征向量求矩阵A, 由逆矩阵求k 考点：特征向量, 逆矩阵点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵． 11．（Ⅰ）30a b =⎧⎨=⎩；（Ⅱ）241249-⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】试题分析：（1）（Ⅰ）由211133a b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2111311a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得333a b a b -+=-⎧⎨+=⎩ 即得；（Ⅱ）设311531m n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由 335m n m n -+=-⎧⎨+=⎩解得21m n =⎧⎨=-⎩ 计算122βαα=-，555122M M M βαα=- ．试题解析：（Ⅰ）由211133a b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2111311a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得333a b a b -+=-⎧⎨+=⎩解得30a b =⎧⎨=⎩ 4分（Ⅱ）设311531m n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则335m n m n -+=-⎧⎨+=⎩解得21m n =⎧⎨=-⎩ ∴122βαα=-∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=-=24924111331)1(225525155ααM M M 7分考点：1．矩阵与变换；2．方程思想． 12．222y x -=【解析】试题分析：由矩阵变换公式直接代入计算可求曲线方程．试题解析：解法一：设1xy =上任意一点(),x y 在矩阵A 对应的变换作用下对应的点(),x y ''，则1x x x y y y -⎡⎢''⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢==⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎣A ， 4分由此得)),,x x y y y x ⎧''=+⎪⎪⎨⎪''=-⎪⎩6分 代入方程1xy =，得222y x ''-=．所以1xy =在矩阵A 对应的线性变换作用下的曲线方程为222y x -=．10分解法二：22⎥=⎥⎢⎥⎣⎦A ， 4分 设1xy =上任意一点(),x y 在矩阵A 对应的线性变换作用下得到点(),x y ''，则2222x x y y -⎢'⎡⎤⎡⎤⎥=⎢⎥⎢⎥'⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦，其坐标变换公式为,22,22x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩由此得)),2,2x x y y y x ⎧''=+⎪⎪⎨⎪''=-⎪⎩6分 代入方程1xy =，得222y x ''-=．所以1xy =在矩阵A 对应的线性变换作用下的曲线方程为222y x -=． 10分 考点：矩阵变换． 13．（Ⅰ）⎝⎛-=-31311M ⎪⎪⎪⎪⎭⎫3132；（Ⅱ）952222=++y xy x . 【解析】试题分析：（Ⅰ）考查矩阵变换与矩阵的关系，设),(y x P '''，本题变换为⎩⎨⎧+='-='yx y yx x 2，则矩阵1211M -⎛⎫= ⎪⎝⎭，再求其逆矩阵，也可写出变换为⎩⎨⎧+='-='y x y yx x 2的逆变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'-='+'=y x y y x x 31313231，这样就得 ⎝⎛-=-31311M ⎪⎪⎪⎪⎭⎫3132； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得圆C 上的点(,)P x y 与变换后的点'(',')P x y 间的关系是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'-='+'=y x y y x x 31313231，把它代入C 的方程可得.试题解析：（Ⅰ）法一：设),(y x P '''，依题意得：⎩⎨⎧+='-='yx y yx x 2，∴ ⎝⎛=11M ⎪⎪⎭⎫-12， ∴3=M ， ∴⎝⎛-=-31311M⎪⎪⎪⎪⎭⎫3132． 法二：设),(y x P '''，依题意得：⎩⎨⎧+='-='yx y yx x 2，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'-='+'=y x y y x x 31313231 ， ∴ ⎝⎛-=-31311M ⎪⎪⎪⎪⎭⎫3132．（Ⅱ） ∵点()y x P ,在圆122=+y x 上，又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'-='+'=y x y y x x 31313231，∴13131323122=⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'-+⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'y x y x ，即得952222='+''+'y y x x ，∴变换作用后得到的曲线C 的方程为952222=++y xy x ． 考点：矩阵变换，二阶逆矩阵. 14．（1）5231-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；（2）138-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦【解析】试题分析：（1）求逆矩阵，可设1-A =ab cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，利用1AA E -=，列出关于,,,a b c d 的方程组得解；（2）由已知31AX ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，可得131X A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算即可.试题解析：（1）设1-A =ab cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1235-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=325325a b a b c d a d +--⎡⎤⎢⎥+--⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ∴3125030251a b a b c d c d +=⎧⎪--=⎪⎨+=⎪⎪--=⎩解得5231a b c d =-⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩∴1-A =5231-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,（2）523133118X --⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦.考点：逆矩阵，矩阵的运算. 15．（1）⎩⎨⎧==21b a ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛10241025． 【解析】试题分析：（1）矩阵，是线性代数中的基本概念之一,一个n m ⨯的矩阵就是n m ⨯个数排成m 行n 列的一个数阵．由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型．矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛，，掌握相乘⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡dy cx by ax y x d c b a ，列方程组求得； （2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令()0=λf 解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量． 试题解析：（1）由10a b ⎛⎫⎪⎝⎭12⎛⎫ ⎪-⎝⎭14-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，得121,24,a b -=-⎧⎨-=-⎩所以1,2.a b =⎧⎨=⎩ （2） 1102M ⎛⎫=⎪⎝⎭．令()1102f λλλ--=-()()120λλ=--=，得11λ=，22λ=． 属于11λ=的一个特征向量110e ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，属于22λ=的一个特征向量211e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12a e e =+ ．()101012M a M e e =+ 10101122e e λλ=+ 101110252011024⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．考点：矩阵的应用． 16．（1）2a =；（2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤5445 【解析】 试题分析：（1）矩阵变换问题，设直线l 上一点M 0(x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换作用下变为l '上点M(x ，y)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 0＋y 0x 0＋ay 0，即 ⎩⎨⎧x ＝ax 0＋y 0，y ＝x 0＋ay 0．，把(,)x y代入直线'l 方程化简得(a －1)x 0－(a －1)y 0＋2a ＝0．又由x 0－y 0＋4＝0，得1214a a-=，可得2a =；（2）由矩阵的乘法法则可得.试题解析：（1）设直线l 上一点M 0(x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换作用下变为l '上点M(x ，y)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 0＋y 0x 0＋ay 0， 所以⎩⎨⎧x ＝ax 0＋y 0，y ＝x 0＋ay 0．3分代入l '方程得(ax 0＋y 0)－(x 0＋ay 0)＋2a ＝0， 即(a －1)x 0－(a －1)y 0＋2a ＝0． 因为(x 0，y 0)满足x 0－y 0＋4＝0，所以2a a －1＝4，解得a ＝2． 6分（2）由A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112，得A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112⋅⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5445． 10分 考点：矩阵变换，矩阵运算. 17．x y 2sin 2=． 【解析】试题分析：利用矩阵的乘法公式可得到MN =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡20021，故在矩阵MN 变换下11122x x x y y y⎡⎤⎡⎡⎤⎤⎢⎥→=⎢⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎦⎣⎣⎢⎦⎣即可求得函数解析式 试题解析：MN = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡200214分 即在矩阵MN 变换下11122x x x y y y ⎡⎤⎡⎡⎤⎤⎢⎥→=⎢⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎦⎣⎣⎢⎦⎣ 6分即曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式为x y 2sin 2= 10分 考点：矩阵的乘法、函数解析式18．（1）1103213M -⎛⎫- ⎪⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭；012=++y x 【解析】试题分析：矩阵，是线性代数中的基本概念之一,一个n m ⨯的矩阵就是n m ⨯个数排成m 行n 列的一个数阵.由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型.矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛，，掌握相乘⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡dy cx by ax y x d c b a ，列方程组求得. 试题解析：（1）设点(),P x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)P x y '''， 则2,3,x x y y x '=+⎧⎨'=⎩即2130x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2130M ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 1分 又det()3M =-，∴1103213M -⎛⎫- ⎪⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭． 3分 （2）设点(),A x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)A x y '''， 则1103213x x x M y y y -⎛⎫- ⎪''⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪'' ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 即1,32,3x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪''=--⎪⎩5分∴代入410x y +-=，得241033y x y '⎛⎫''----= ⎪⎝⎭，即变换后的曲线方程为210x y ++=． 7分考点：1、求逆矩阵；2、矩阵的应用.19．2321⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11423142⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由特征值的定义转化已知的特征值与特征向量而求得矩阵A ,由逆矩阵公式或逆矩阵定义求得-1A ；试题解析：由矩阵A 属于特征值－1的一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦可得，21a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝111⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦，即a －b ＝－1；由矩阵A 属于特征值4的一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得21a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦32⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即3a+2b ＝12， 解得23a b =⎧⎨=⎩.即A ＝2321⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以A 逆矩阵A -1是11423142⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦考点：1.矩阵的特征值与特征向量；2.逆矩阵；20．x y 2sin 2= 【解析】试题分析：利用转移法求曲线方程，先设所求曲线F 上任意一点的坐标为(,)x y ，在矩阵MN 对应的变换作用下对应点的坐标为),(y x ''，由MN ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡y x y x 20021，解得⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212，把⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212代入 x y '='sin ，化简得x y 2sin 2=，所以，曲线F 的方程为x y 2sin 2=.试题解析：由题设得11100022020102MN ==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，设所求曲线F 上任意一点的坐标为(,)x y ，x y sin =上任意一点的坐标为),(y x ''，则MN ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡y x y x 20021，解得⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212，把⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212代入 x y '='sin ，化简得x y 2sin 2=，所以，曲线F 的方程为x y 2sin 2=.考点：矩阵变换。

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之13.矩阵行列式（含精析）
一、选择题。

1．已知
2010
20082006200426
24222018
16141210
864,则
bc ad d
c b a = （）
A ． 2008
B ．—2008
C ．2010
D ．—2010
二、填空题。

3．圆C ：x 2
+y 2
=1经过伸缩变换
（其中a ，b ∈R ，0＜a ＜2，0＜b ＜2，a 、b 的取值
都是随机的．）得到曲线C ′，则在已知曲线C ′是焦点在x 轴上的椭圆的情形下，C ′的离
心率的概率等于_________.
4．将正整数
2
1,2,3,4,,n （2n
）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a
b ）的比值
a b
，称这些比值中的最小值为这个数表的“特
征值”.若ij a 表示某个
n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ，1j n ），且满足
(1),(1),
ij
i j i
n i
j a i
n i
j
n i
j ，，，当3n
时数表的“特征值”为
_________.
5．各项都为正数的无穷等比数列
n
a ，满足
,,42
t a m a 且
t
y
m x 是增广矩阵。

第46讲 矩阵与行列式[基础篇]一、矩阵的有关概念：（1）矩阵的定义：由m n ⨯个数(1,2,3,;1,2,3,)ij a i m j n ==，按一定次序排列成的矩阵表111212122212()n n ij m nm m mn a a a a a a A a a a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭，叫做一个m 行n 列的矩阵，简记为m n ⨯矩阵. （2）在一般矩阵中，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素；线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩，矩阵A =111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭叫做一般线性方程组的系数矩阵，A -=11121121222212nnm m m a a a b a a a b a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭叫做一般线性方程组的增广矩阵；如：方程组2538x y x y -=⎧⎨+=⎩对应系数矩阵1231-⎛⎫⎪⎝⎭，其中1行2列的矩阵()()1,2,3,1-叫做系数矩阵的两个行向量；2行1列的矩阵12,31-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭叫做系数矩阵的列向量；（3）当矩阵的行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵；我们把主对角线元素为1、其余元素均为零的方矩阵，如1001⎛⎫⎪⎝⎭，叫做单位矩阵. 和}{φ的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2,3,;1,2,3,)m j n =都成立时，这两个矩二、矩阵的运算及其性质：（1）矩阵的加法，若111212122212()n n ij m nm m mn a a a a a a A a a a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭，111212122212()n n ij m n m m mn b b b b b b B b b b b ⨯⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则 C A B =+=111112121121212222221122n n n n m m m m mn mna b a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++++.（2）矩阵的加法满足性质: 交换律,结合律.（3）数与矩阵乘法定义：以数k 乘矩阵()ij A a =的每个元素所得的矩阵()ij ka 叫做数k 与矩阵A 相乘的积，记作kA ；（4）设矩阵111211121112212221222122,,a a b b c c A B C a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.如果它们元素间的关系可以用下列等式表示：1122(1,2;1,2)ij i j i j c a b a b i j =+==，则C 叫做矩阵A 和矩阵B 的积，记作C =AB（5）矩阵A 的初等变换，指的是对A 实施如下变换：三、行列式的有关概念与性质：（1）初中代数中，二元线性方程组111222,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩当12210a b a b -≠时，二元线性方程组有唯一解：1221122112211221c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，为了方便记忆，引入定义a c b d =ad bc -，a c b d 叫做二阶行列式， ad bc-叫做二阶行列式的展开式；设1122a b D a b =，1122x c b D c b =，1122y a c D a c =，则方程组的唯一解可表示为：xy D x D D y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（2）二元一次方程组的解的判别：（i ）0D ≠，方程组有唯一解；（ii ）0D =：①x y D D 、中至少有一个不为零，方程组无解；②0x y D D ==，方程组有无穷多解 表示向量12a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12b b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭平行；）当向量a 、b 不平行时，方程组有唯一解.（3）三阶行列式的两种展开方法： ①按对角线展开.123123123a b c b c a c a b =++321123132a b c b a c a b c ---②按一行（或一列）展开.111222333a b c a b c a b c =123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++--- 123321322312332()()()a b c b c b a c a c c a b a b =-+-+-(4)把三阶行列式某元素所在的行和列划去，剩下的元素组成的二阶行列式，叫做这个元素的余子式；如果用 ,i j 分别表示某个元素所在的行数和列数，那么这个元素的余子式． 乘以(1)i j+-所得的式子，叫做这个元素的代数余子式.（5）三阶行列式D 等于它的任意一行（或列）的所有元素分别和它们的代数余子式的乘积的和.例如：111222333a b c D a b c a b c ==222222a A b B c C ++.补充与提高：行列式运算性质：①把行列式的某一行的所有元素乘以一个数k ，等于用k 乘以这个行列式； ②行列式中某一行所有元素的公因子可以提到行列式记号的外边； ③如果行列式中某一行的元素全为0，那么这个行列式的值为0； ④交换行列式的任意两行，行列式的绝对值不变，符号相反； ⑤如果行列式有两行的对应元素相同，那么这个行列式的值为0； ⑥如果行列式有两行的对应元素成比例，那么这个行列式的值为0；⑦如果行列式的某一行的元素都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项组成相应的行，而其余行不变的两个行列式的和；例如：111222222333a b c a a b b c c a b c '''+++= 111222333a b c a b c a b c +111222333 a b c a b c a b c '''. 注意：红线上三元素的乘积均为正，蓝线上三元素的乘积均为负. 一个元素的代数余子式通常用这个元素相应的大写字母并附加相同的下标来表示111222333y a d c D a d c a d c =，111222333z a b d D a b d a b d =.①当0D ≠时，方程组有唯一解x y z D x D D y D D z D⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②当0=0x y D D D =且，时，方程组有无穷多解； ③当0x y D D D =且，不全为0时，方程组无解.(7) ①三角形的面积公式: △ABC 的三个顶点坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则ABC S =△11223311121x y x y x y . ②同一平面上A B C 、、三点共线的充要条件为112233111x y x y x y =0.[技能篇]例题1 写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵：（1）3560437x y x y ++=⎧⎨=-⎩ （2）214625x z y z x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩例题2 如果矩阵()111113-是线性方程组{111222a xb yc a x b y c +=+=的增广矩阵，则这个线性方程组的解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 可用矩阵表示为例题3 若关于x 、y 的二元一次方程组1,2mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩无解，则m =__________例题4 已知下列矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3110146,602413,591732C B A ，计算： （1）A(B+C) (2)(B+C)A (3)BA+CA (4)从（1）（2）（3）的计算结果你能得出什么结论？例题5 已知矩阵M=11a b ⎛⎫⎪⎝⎭，20c N d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2020MN ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， （Ⅰ）求实数,,,a b c d 的值；（Ⅱ）求直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程.例题6 在平面直角坐标系xoy 中，已知点(0,0),(2,0),(2,1)A B C --，设k 为非零实数，矩阵001,0110k M N ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点A B C 、、在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为111A B C 、、,111A B C 的面积是ABC 面积的2倍，求k 的值.例题7 展开并化简下列行列式： （1）3423- （2）245lg 2lg -例题8 判断m 取什么值时，下列关于x,y 的线性方程组（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷解？⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=--1)1()1(1)5(22y m x m y m x例题9 按要求计算下列行列式（1）直接化简计算行列式D=412101423--的值； （2）按照第一行展开； （3）按照第一列展开．例题10 通过对课本知识的学习，我们知道，对于三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a ，其中x ，y ，z是未知数，系数)3,2,1(=i c b a i i i 、、不全为零，当系数行列式D=0时，方程组无解或有无穷多解．以下是几位同学在D =0的条件下，类比二元一次方程组的解的情况，对三元一次方程组的解的情况的一些 探索结论：结论一：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组有无穷多解 结论二：当D=0，且都z y x D D D ,,不为零时，方程组有无穷多解 结论三：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组无解．可惜的是这些结论都不正确，下面分别给出了一些反例，现在请你分析一下，这些给出的方程组分别是哪个错误结论的反例，并说出你的理由．（A ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++232132032z y x z y x z y x （B ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+0420202y x z y x y x （C ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+230212z y x z y x y x[竞技篇]一、填空题：1、已知命题“03211111=a a”是命题“a A ∈”的必要非充分条件, 请写出一个满足条件的非空集合=A _________.2、关于z 的方程01131210izi i z-=+-(i 是虚数单位)的解是z =_________.3、将2333b c a c a b deed++用三阶行列式表示，可得 ．4、设三阶行列式[]1213,1,2411cx x x∈-中元素c 的代数余子式为y ，则y 的值域为_________.5、已知,,a b c 是ABC 的三边长，若01()1ac ba b a b c cb =--+，则ABC 的形状为_________. 6、设1,0≠>a a ,行列式34210231D -=xa 中第3行第2列的代数余子式记作y ,函数()x f y =的反函数图像经过点()1,2,则a =_________.7、设n 阶方阵21352121232541414345612(1)12(1)32(1)521n n n n n n A n n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅-⎛⎫⎪+++⋅⋅⋅- ⎪⎪=+++⋅⋅⋅-⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪ ⎪-+-+-+⋅⋅⋅-⎝⎭，任取n A 中一个元素，记为1x ；划去1x 所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成1n -阶方阵1n A -，记为2x ；划去2x 所在的行和列，……；将最后剩下的一个元素记为n x .记12n n S x x x =++⋅⋅⋅+，则3lim1nn S n →∞=+ ．8、在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为ij a (i ,j =1,2,···,n )．当9n =时，11223399a a a a ++⋅⋅⋅+= ．9、行列式a b c d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 ．10、若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭满足：{}11122122,,,1,1,a a a a ∈-且111221220a a a a =，则这样的互不相等是矩阵共 有 个.11、在数列{}n a 中，21nn a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为12、若点(,)p x y 在矩阵1122a b a b ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成点1122(,)Q a x b y a x b y ++.已知ABC 的顶点坐标为(1,1),(0,2),(3,3)A B C ，矩阵0110M ⎛⎫= ⎪⎝⎭,0110N -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则ABC 在乘积矩阵MN 的作用下变换成的图形面积是_________二、解答题：13、三阶行列式xb x x D 31302502-=,元素b ()R b ∈的代数余子式为()x H ,(){}0≤=x H x P ,(1) 求集合P ;(2)函数()()22log 22f x ax x =-+的定义域为,Q 若,P Q ⋂≠∅求实数a 的取值范围.14、（1）证明123213231222123111()()()x x x x x x x x x x x x =---； （2）利用（1）的规律，求函数212349827y xx =的最小值.。

数学《矩阵与变换》复习知识要点一、151．用行列式解关于x 、y 的方程组3(31)484mx y m x my m -=⎧⎨+-=+⎩，并讨论说明解的情况.【答案】当1m =时，无穷解；当14m =-时，无解；当1m ≠且14m ≠-时，有唯一解，441x m =+，8341m y m +=-+. 【解析】 【分析】 先求出系数行列式D ，x D ，y D ，然后讨论m ，从而确定二元一次方程解的情况． 【详解】 解：3(31)484mx y m x my m -=⎧⎨+-=+⎩Q 21431(41)(1)431mm D m m m m m -∴+-==-+=+-++，4443148x D m mm -==--+，()()23853*******y m D m m m m m m ==--+++=-，①当1m ≠且14m ≠-时，0D ≠，原方程组有唯一解，即144(41)4(14)x D m x m D m m -===+++-，()()()()8318341141y D m m m y D m m m +-+===-+-++， ②当1m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷解． ③当14m =-时，0D =，0x D ≠，原方程无解． 【点睛】本题主要考查了行列式，以及二元一次方程的解法，属于基础题．2．解方程：23649x xx=.【答案】1x = 【解析】 【分析】根据行列式的运算性质，求得29346xxx⨯-⨯=，转化为322()3()123xx ⨯-⨯=，令3()2x t =，得到方程1231t t ⨯-⨯=，进而即可求解【详解】根据行列式的运算性质，可得23293449xx xx=⨯-⨯，即29346x x x ⨯-⨯=，方程两边同除6x ，可得322()3()123xx⨯-⨯=，令3()2xt =，且0t >，则21()3xt =，可得1231t t⨯-⨯=，解32t =或1t =-（舍去）， 即33()22x=，解得1x =. 故答案为：1x =. 【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及指数幂的运算和一元二次方程的应用，其中解答中熟记行列式的运算性质，结合指数幂的运算和一元二次方程的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于基础题.3．计算：12131201221122120-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】91559124-⎛⎫⎪--⎝⎭【解析】 【分析】直接利用矩阵计算法则得到答案. 【详解】121312011213140222112212021122240-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 123319155213629124----⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查了矩阵的计算，意在考查学生的计算能力.4．解方程组32321x my m mx y m +=+⎧⎨+=-⎩.【答案】详见解析.【解析】 【分析】求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】由题意可得()()2933D m m m =-=--+，()()3(2)(21)231x D m m m m m =+--=--+，()()31y D m m =---.①当0D ≠时，即当3m ≠±时，()21313x y m D x D m D m y D m ⎧+==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩；②当3m =时，方程组335335335x y x y x y +=⎧⇔+=⎨+=⎩，令()x t t R =∈，得533t y -=，此时，该方程组的解有无数多个，为,()533x t t R t y =⎧⎪∈-⎨=⎪⎩；③当3m =-时，该方程组为331337x y x y -=-⎧⎨-+=-⎩17⇒-=，所以该方程组无解.【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.5．利用行列式讨论关于,x y 的方程组1323ax y ax ay a +=-⎧⎨-=+⎩解的情况.【答案】①当03a a ≠≠-且时，方程组有唯一解12x a y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；②当0a =时，方程组无解；③当3a =-时，方程组有无穷多解，可表示为()31x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【解析】 【分析】由题,可得()()()3,3,23x y D a a D a D a a =-+=-+=+,分别讨论方程组有唯一解,无解,无穷多解的情况即可 【详解】()21333a D a a a a a a==--=-+-, ()()11233323x D a a a a a a-==-+=--=-++-, ()()212332623323y aD a a a a a a a a a -==++=+=++,①当03a a ≠≠-且时,方程有唯一解,()()()()3132323xy a D x D a a a D a a y D a a ⎧-+===⎪-+⎪⎨+⎪===-⎪-+⎩,即12x a y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；②当0a =时,0D =，30x D =-≠,方程组无解；③当3a =-时,0x y D D D ===,方程组有无穷多解,设()x t t R =∈,则原方程组的解可表示为()31x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【点睛】本题考查利用行列式解方程组,考查运算能力,考查分类讨论思想6．已知P :矩阵图5110x x ⎛⎫+⎪+ ⎪ ⎝的某个列向量的模不小于2；Q :行列式114203121mx ----中元素1-的代数余子式的值不大于2,若P 是Q 成立的充分条件,求实数m 的取值范围.【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】先根据行列式中元素1-的代数余子式的值求出P ，再根据矩阵图某个列向量的模不小于2求出Q ，结合P 是Q 成立的充分条件可得实数m 的取值范围. 【详解】因为矩阵图5110x x ⎛⎫+⎪+ ⎪ ⎝的某个列向量的模不小于2，所以521x x +≥+，解得 13x -≤≤；因为行列式114203121mx ----中元素1-的代数余子式的值不大于2，所以2323211mm x x --=-+≤，即21m x ≤-； 因为P 是Q 成立的充分条件，所以213m -≥，解得2m ≥；故实数m 的取值范围是[2,)+∞.【点睛】本题主要考查矩阵和行列式的运算及充分条件，明确矩阵和行列式的运算规则是求解的关键，充分条件转化为集合的包含关系，侧重考查数学运算的核心素养.7．设点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下得到点(2,)x x y +． （1）求矩阵M ；（2）若直线:25l x y -=在矩阵M 对应变换作用下得到直线l '，求直线l '的方程．【答案】（1）2011⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）3x -4y -10=0. 【解析】 【分析】（1）设出矩阵M ，利用矩阵变换得到关于x 、y 的方程组，利用等式恒成立求出矩阵M ；（2）设点(,)x y 在直线l 上，利用矩阵变换得到点(,)x y ''，代入直线l 中，求得直线l '的方程． 【详解】解：（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 由题意，2a b x x M c d y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦g ， 所以2ax by x +=，且cx dy x y +=+恒成立； 所以2a =，0b =，1c =，1d =；所以矩阵2011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2）设点(,)x y 在直线l 上，在矩阵M 对应变换作用下得到点(,)x y ''在直线l '上， 则2x x '=，y x y '=+，所以12x x ='，12y y x ='-'； 代入直线:25l x y -=中，可得34100x y '-'-=；所以直线l '的方程为34100x y --=． 【点睛】本题考查了矩阵变换的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．8．已知线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．()1写出方程组的系数矩阵和增广矩阵；()2运用矩阵变换求解方程组．【答案】（1）矩阵为5225⎛⎫ ⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）34212021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】 【分析】()1由线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵． ()2由170345010521052102121258102540202001012121⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，能求出方程组的解． 【详解】（1）Q 线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．∴方程组的系数矩阵为5225⎛⎫⎪⎝⎭， 增广矩阵为5210.258⎛⎫⎪⎝⎭（2）因为5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，1703452105010521052105210212120258102540021202020010101212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴→→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，34212021x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知1m >，1n >，且1000mn <，求证：lg 901lg 4m n <. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由题意，求得11000mn <<，利用基本不等式，得到2lg lg 90lg lg 24m n m n +⎛⎫<<=⎪⎝⎭，再结合行列式的运算，即可求解. 【详解】由题意，实数1m >，1n >，且1000mn <，可得11000mn <<，则2lg lg 90lg lg 24m n m n +⎛⎫<<=⎪⎝⎭，又由lg 919lg ln 9lg ln 144lg 4m m n m n n=-⨯=-，所以lg 901lg 4m n <. 【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及对数的运算性质和基本不等式的应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，以及合理应用对数的运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10．已知关于x ,y 的一元二次方程组：223(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩，当实数m 为何值时，并在有解时求出方程组的解. （1）方程组有唯一解？ （2）方程组无解？（3）方程组有无穷多解？【答案】（1）2m ≠-且3m ≠，23233x mm y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩；（2）3m =；（3）2m =-【解析】 【分析】分别求出二元一次方程组对应的,,x y D D D ，再根据有唯一解、无解、无穷多解情况求解即可； 【详解】一元二次方程组：223(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩对应的()()2263231m D m m m m m ==--=-+-()2222211x D m m m ==-++-，()()2232321y m D m m m ==-++（1）当0D ≠时，方程组有唯一解，即3m ≠且2m ≠-，此时23233x y D x D mD m y D m ⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩，即23233x mm y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩； （2）方程组无解的情况等价于0D =时，0x D ≠或者0y D ≠，即只有3m =时符合情况；（3）方程组有无穷多解等价于0,0,0x y D D D ===，符合的解只有2m =- 【点睛】本题考查二元一次方程组用二阶行列式求解解的情况，属于中档题11．直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值. 【答案】2πθ=【解析】 【分析】在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)，根据矩阵变换运算得到x ′，y ′，代入直线l ′：y ＝2x ，得到直线l 方程，再由两直线垂直求解. 【详解】在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)cos sin cos sin sin cos sin cos x x y x y x y y θθθθθθθθ''-⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅+⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故cos sin sin cos x x y y x y θθθθ=-'=+'⎧⎨⎩，又P ′在直线l ′：y ＝2x 上，即y ′＝2x ′ 则sin cos 2cos 2sin x y x y θθθθ+=-即直线l ：(sin 2cos )(2sin cos )0x y θθθθ-++=因为l 与l ′垂直，故sin 2cos 1=cos 02sin cos 2θθθθθ-⇒=+又(0,)θπ∈，故2πθ=.【点睛】本题主要考查矩阵变换研究两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．已知函数cos 2()sin 2m x f x nx=的图象过点(12π和点2(,2)3π-. （1）求函数()f x 的最大值与最小值；（2）将函数()y f x =的图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位后，得到函数()y g x =的图象；已知点(0,5)P ，若函数()y g x =的图象上存在点Q ，使得||3PQ =，求函数()y g x =图象的对称中心.【答案】（1）()f x 的最大值为2，最小值为2-；（2）(,0)()24k k Z ππ+∈. 【解析】 【分析】（1）由行列式运算求出()f x ，由函数图象过两点，求出,m n ，得函数解析式，化函数式为一个角的一个三角函数式，可求得最值；（2）由图象变换写出()g x 表达式，它的最大值是2，因此要满足条件，只有(0,2)Q 在()g x 图象上，由此可求得ϕ，结合余弦函数的性质可求得对称中心．【详解】（1）易知()sin 2cos 2f x m x n x =-，则由条件，得sin cos 6644sin cos 233m n m n ππππ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得 1.m n ==- 故()2cos22sin(2)6f x x x x π=+=+.故函数()f x 的最大值为2，最小值为 2.-（2）由（1）可知： ()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++.于是，当且仅当(0,2)Q 在()y g x =的图象上时满足条件.(0)2sin(2)26g πϕ∴=+=. 由0ϕπ<<，得.6πϕ=故()2sin(2)2cos 22g x x x π=+=. 由22x k =+ππ，得().24k x k Z ππ=+∈ 于是，函数()y g x =图象的对称中心为：(,0)()24k k Z ππ+∈. 【点睛】本题考查行列式计算，考查两角和的正弦公式，图象平移变换，考查三角函数的性质，如最值、对称性等等．本题主要是考查知识点较多，但不难，本题属于中档题．13．关于x 的不等式201x a x+<的解集为()1,b -．()1求实数a ，b 的值；()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．【答案】（1）1a =-，2b =（2）12- 【解析】 【分析】(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】 解：(1)不等式201x a x+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -． 1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，解得1a =-,2b =． (2)由(1)知1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为纯虚数，20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,解得12tan α=-. 【点睛】本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.14．已知矩阵13m P m m ⎛⎫=⎪-⎝⎭，x Q y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2M m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，13N m ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，若PQ =M +N .(1) 写出PQ =M +N 所表示的关于x 、y 的二元一次方程组； (2) 用行列式解上述二元一次方程组.【答案】(1) 1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩；(2) 见解析【解析】 【分析】(1)利用矩阵的乘法和加法的运算法则直接计算并化简即可得出答案；(2)先由二元一次方程组中的系数和常数项计算出D ，D x ，D y ，然后再讨论m 的取值范围，①当m ≠0,且m ≠-3时，②当m =0时，③当m =-3时，分别求出方程组的解即可得出答案. 【详解】解：(1) 由题意可得PQ=13mm m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=3mx y mx my +⎛⎫ ⎪-⎝⎭，M+N=213m m -⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=123m -⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以由PQ= M+N ，可得3mx y mx my +⎛⎫ ⎪-⎝⎭=123m -⎛⎫⎪+⎝⎭，即得1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩； (2) 由题意可得行列式1(3)3m D m m m m==-+-，1(3)231x D m m m==--++- ,12(3)323y mD m m m m -==++①当m ≠0,且m ≠-3时，D ≠0，方程组有唯一解12x m y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；②当m =0时，D =0,但D x ≠0，方程组无解；③当m =-3时，D =D x =D y =0，方程组有无穷多解31x ty t =⎧⎨=-⎩(t ∈R ).【点睛】本题考查了矩阵的乘法加法运算法则的应用，考查了用行列式求解二元一次方程组方法的应用，对参数的讨论是用行列式解二元一次方程组的关键，考查了运算能力，属于一般难度的题.15．变换T 1是逆时针旋转2π角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）点P(2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'的坐标；（2）求曲线y ＝x 2先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线的方程. 【答案】（1）P'(-1,2).（2）y －x ＝y 2. 【解析】试题分析：（1）先写出旋转矩阵M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再利用矩阵运算得到点P'的坐标是P'(-1,2).（2）先按序确定矩阵变换M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再根据相关点法求曲线方程：即先求出对应点之间关系，再代入已知曲线方程，化简得y －x ＝y 2.试题解析：解：(1)M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦， M 121⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以点P(2,1)在T 1作用下的点P'的坐标是P'(-1,2). (2)M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则M 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,也就是000{x y x x y -==即00{y y x x y =-= 所以,所求曲线的方程是y －x ＝y 2. 考点：旋转矩阵，矩阵变换16．已知向量11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦v 是矩阵103a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值λ的一个特征向量. （1）求实数a ，λ的值；（2）求2A .【答案】（1）4,3.a λ=⎧⎨=⎩（2）216709A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）根据特征值的定义可知A αλα=u r u r，利用待定系数法求得实数a ，λ的值。